โฟกัส (เรขาคณิต)

การกำหนดรูปกรวยในรูปแบบของจุดโฟกัสสองจุด

จุดโฟกัสของวงรี (ไม้กางเขนสีม่วง) อยู่ที่จุดตัดของแกนหลัก (สีแดง) และวงกลม (สีฟ้า) ของรัศมีเท่ากับแกนกึ่งหลัก (สีน้ำเงิน) ซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่ปลายแกนรอง (สีเทา)

วงรีสามารถกำหนดให้เป็นที่ตั้งของจุดสำหรับแต่ละจุดซึ่งผลรวมของระยะทางถึงสองจุดโฟกัสที่กำหนดเป็นค่าคงที่

วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีที่จุดโฟกัสทั้งสองตรงเข้าด้วยกัน ดังนั้นวงกลมจึงสามารถกำหนดได้ง่ายขึ้นว่าเป็นที่ตั้งของจุดซึ่งแต่ละจุดเป็นระยะทางคงที่จากโฟกัสที่กำหนดเพียงจุดเดียว วงกลมยังสามารถกำหนดได้ว่าเป็นวงกลมของ Apolloniusในรูปของจุดโฟกัสสองจุดที่แตกต่างกันเนื่องจากชุดของจุดที่มีอัตราส่วนคงที่ของระยะทางกับจุดโฟกัสสองจุด

รูปโค้งเป็นกรณีที่ จำกัด ของวงรีซึ่งเป็นหนึ่งในจุดโฟกัสเป็นจุดที่อินฟินิตี้

ไฮเพอร์โบลาสามารถกำหนดให้เป็นตำแหน่งของจุดสำหรับแต่ละจุดซึ่งค่าสัมบูรณ์ของความแตกต่างระหว่างระยะทางถึงสองจุดที่กำหนดเป็นค่าคงที่

การกำหนดรูปกรวยในแง่ของโฟกัสและไดเร็กซ์

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะอธิบายภาคตัดกรวยทั้งหมดในแง่ของโฟกัสเดียวและไดเรกริกซ์เดียวซึ่งเป็นเส้นที่กำหนดซึ่งไม่มีโฟกัส รูปกรวยถูกกำหนดให้เป็นสถานทีของคะแนนสำหรับแต่ละที่ไกลออกไปโฟกัสหารด้วยระยะทางที่ไดเรกตริกซ์เป็นบวกคงที่คงที่เรียกว่าเล็ก ๆ น้อยอี ถ้าeอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่งรูปกรวยจะเป็นวงรี ถ้าe = 1 รูปกรวยเป็นพาราโบลา และถ้าe > 1 รูปกรวยเป็นไฮเพอร์โบลา ถ้าระยะโฟกัสคงที่และ directrix เป็นเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นความเยื้องศูนย์จึงเป็นศูนย์รูปกรวยจะเป็นวงกลม

การกำหนดรูปกรวยในรูปแบบของโฟกัสและวงกลมไดเร็กซ์

นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะอธิบายภาคตัดกรวยทั้งหมดว่าเป็นตำแหน่งของจุดที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดโฟกัสเดียวและจุดเดียวแบบวงกลม สำหรับวงรีทั้งโฟกัสและจุดศูนย์กลางของวงกลมไดเรกริกซ์มีพิกัด จำกัด และรัศมีของวงกลมไดเรกริกซ์มากกว่าระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมนี้กับโฟกัส ดังนั้นโฟกัสจะอยู่ในวงกลมไดเร็กซ์ วงรีที่สร้างขึ้นจึงมีจุดโฟกัสที่สองที่ศูนย์กลางของวงกลมไดเรกริกซ์และวงรีจะอยู่ภายในวงกลมทั้งหมด

สำหรับพาราโบลาจุดศูนย์กลางของ Directrix จะเคลื่อนที่ไปยังจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด (ดูเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์ ) 'วงกลม' directrix กลายเป็นเส้นโค้งที่มีความโค้งเป็นศูนย์ซึ่งแยกไม่ออกจากเส้นตรง แขนทั้งสองข้างของพาราโบลาขนานกันมากขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อขยายออกไปและ 'ที่ไม่มีที่สิ้นสุด' จะขนานกัน โดยใช้หลักการของเรขาคณิตโปรเจกต์ทั้งสองแนวตัดกันที่จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดและพาราโบลาจะกลายเป็นเส้นโค้งปิด (การฉายภาพวงรี)

ในการสร้างไฮเพอร์โบลารัศมีของวงกลม directrix จะถูกเลือกให้น้อยกว่าระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของวงกลมนี้กับโฟกัส ดังนั้นโฟกัสจึงอยู่นอกวงกลม directrix แขนของไฮเพอร์โบลาเข้าใกล้เส้นกำกับและแขน 'มือขวา' ของกิ่งหนึ่งของไฮเพอร์โบลาตรงกับแขน 'มือซ้าย' ของอีกแขนงหนึ่งของไฮเพอร์โบลาที่จุดอินฟินิตี้ นี่เป็นไปตามหลักการที่ว่าในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์เส้นเดียวจะบรรจบกันที่จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ดังนั้นสองกิ่งของไฮเพอร์โบลาจึงเป็นสองซีก (บิด) ของเส้นโค้งที่ปิดทับอินฟินิตี้

ในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์รูปกรวยทั้งหมดมีความเท่าเทียมกันในแง่ที่ว่าทุกทฤษฎีบทที่สามารถระบุได้สำหรับข้อใดข้อหนึ่งสามารถระบุได้สำหรับข้ออื่น ๆ

ความสำคัญทางดาราศาสตร์

ในปัญหาความโน้มถ่วง สองร่างการโคจรของทั้งสองร่างที่เกี่ยวกันนั้นอธิบายได้จากส่วนรูปกรวยสองส่วนที่ทับซ้อนกันโดยจุดโฟกัสของจุดหนึ่งที่ตรงกับจุดโฟกัสของอีกจุดหนึ่งที่จุดศูนย์กลางมวล ( barycenter ) ของ ทั้งสองร่าง

ดังนั้นสำหรับตัวอย่างเช่นผู้เยาว์ดาวเคราะห์ พลูโตที่ใหญ่ที่สุดของดวงจันทร์ Charonมีวงโคจรเป็นรูปวงรีซึ่งมีหนึ่งโฟกัสที่ barycenter ระบบดาวพลูโตก่อนซึ่งเป็นจุดที่อยู่ในช่องว่างระหว่างสองหน่วยงานนั้น และดาวพลูโตยังเคลื่อนที่เป็นวงรีโดยมีจุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่งที่ศูนย์กลางแบริเออร์เดียวกันระหว่างร่างกาย วงรีของดาวพลูโตอยู่ภายในวงรีของ Charon ทั้งหมดดังที่แสดงในภาพเคลื่อนไหวของระบบนี้

จากการเปรียบเทียบดวงจันทร์ของโลกจะเคลื่อนที่เป็นวงรีโดยมีจุดโฟกัสจุดใดจุดหนึ่งที่จุดศูนย์กลางของดวงจันทร์และโลกศูนย์กลางแบรีเซนเตอร์นี้อยู่ภายในโลกในขณะที่โลก (ตรงกลางมากกว่า) จะเคลื่อนที่เป็นวงรีโดยมีจุดโฟกัสเพียงจุดเดียว ที่ barycenter เดียวกันภายในโลก ศูนย์แบรีเซ็นเตอร์อยู่ห่างจากใจกลางโลกถึงพื้นผิวประมาณสามในสี่ของระยะทาง

ยิ่งไปกว่านั้นระบบพลูโต - ชารอนยังเคลื่อนที่เป็นวงรีรอบศูนย์กลางของมันกับดวงอาทิตย์เช่นเดียวกับระบบโลก - ดวงจันทร์ (และระบบดาวเคราะห์ดวงจันทร์อื่น ๆ หรือดาวเคราะห์ที่ไม่มีดวงจันทร์ในระบบสุริยะ) ในทั้งสองกรณี barycenter อยู่ในร่างกายของดวงอาทิตย์ได้ดี

สองดาวคู่ยังย้ายเข้ามาอยู่ร่วมกันจุดโฟกัสที่ barycenter ของพวกเขา; สำหรับการเคลื่อนไหวให้ดูที่นี่

Cartesian รูปไข่เป็นชุดของคะแนนสำหรับแต่ละที่ที่น้ำหนักรวมของระยะทางถึงสองให้จุดโฟกัสเป็นค่าคงที่ ถ้าน้ำหนักเท่ากันกรณีพิเศษของผลลัพธ์วงรี

Cassini รูปไข่เป็นชุดของจุดซึ่งแต่ละผลิตภัณฑ์ของระยะทางถึงสองจุดโฟกัสที่กำหนดเป็นค่าคงที่

n -ellipseคือชุดของทุกจุดที่มีผลรวมของระยะทางเดียวกันกับnจุดโฟกัส (กรณีn = 2 คือวงรีธรรมดา)

แนวคิดของการโฟกัสสามารถนำไปสู่เส้นโค้งพีชคณิตโดยพลการ ให้Cเป็นเส้นโค้งของชั้นม.และปล่อยให้ผมและJแสดงถึงจุดวงกลมที่อินฟินิตี้ วาดเส้นสัมผัสmถึงCผ่านIและJแต่ละอัน มีสองชุดเป็นเมตรสายซึ่งจะมีม²จุดที่สี่แยกมีข้อยกเว้นในบางกรณีเกิดจากการเอก ฯลฯ จุดเหล่านี้แยกเป็นกำหนดให้เป็นจุดโฟกัสของC ในคำอื่น ๆ จุดPเป็นจุดสำคัญถ้าทั้งPIและPJที่มีการสัมผัสกันไปC เมื่อCเป็นเส้นโค้งจริงมีเพียงจุดตัดของคู่คอนจูเกตเท่านั้นที่เป็นจริงดังนั้นจึงมีmอยู่ในจุดโฟกัสจริงและจุดโฟกัสในจินตภาพm ² - m เมื่อCเป็นรูปกรวยจุดโฟกัสที่แท้จริงที่กำหนดไว้ในลักษณะนี้คือจุดโฟกัสที่สามารถใช้ในโครงสร้างทางเรขาคณิตของCได้

Let P ₁ , P ₂ , ... , P _ม.จะได้รับเป็นจุดโฟกัสของเส้นโค้งCของชั้นม. ให้Pเป็นผลคูณของสมการสัมผัสของจุดเหล่านี้และQผลคูณของสมการสัมผัสของจุดวงกลมที่อินฟินิตี้ จากนั้นทุกสายซึ่งเป็นเรื่องธรรมดาที่จะเสียบ้างทั้งP = 0 และQ = 0 มีการสัมผัสกันไปC ดังนั้นตามทฤษฎีบท AF + BGสมการสัมผัสของCจึงมีรูปแบบHP + KQ = 0 ตั้งแต่Cมีชั้นม. , Hจะต้องเป็นอย่างต่อเนื่องและKแต่มีระดับน้อยกว่าหรือเท่ากับเมตร -2 กรณีH = 0 สามารถกำจัดได้ว่าเสื่อมสภาพดังนั้นสมการสัมผัสของCจึงสามารถเขียนเป็นP + fQ = 0 โดยที่fเป็นพหุนามโดยพลการขององศาm −2 ^[1]

ตัวอย่างเช่นให้P ₁ = (1,0), P ₂ = (- 1,0) สมการสัมผัสคือX + 1 = 0 และX −1 = 0 ดังนั้นP = X ² -1 = 0 สมการสัมผัสสำหรับจุดวงกลมที่อินฟินิตี้เป็นX + iy = 0 และX - IY = 0 ดังนั้นQ = X ² + Y 2 ดังนั้นสมการสัมผัสของรูปกรวยที่มีจุดโฟกัสที่กำหนดคือX ² -1+ c ( X ² + Y ² ) = 0 หรือ (1+ c ) X ² + cY ² = 1 โดยที่cเป็นค่าคงที่โดยพลการ ในพิกัดจุดนี้จะกลายเป็น

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {1 + c}} + {\ frac {y ^ {2}} {c}} = 1.}$

• ฮิลตันแฮโรลด์ (1920) curves เครื่องบินพีชคณิต ออกซ์ฟอร์ด หน้า 69 .
• Weisstein, Eric W. "Focus" . แม ธ เวิลด์