เวกเตอร์แบบยุคลิด

แนวคิดของเวกเตอร์อย่างที่เรารู้จักกันในปัจจุบันค่อยๆพัฒนาขึ้นเรื่อย ๆ ในช่วงเวลากว่า 200 ปี ผู้คนประมาณหนึ่งโหลมีส่วนร่วมสำคัญในการพัฒนา ^[10]

ในปีพ. ศ. 2378 Giusto Bellavitis ได้เปลี่ยนแนวคิดพื้นฐานเมื่อเขากำหนดแนวคิดเรื่องความเท่าเทียมกัน การทำงานในระนาบแบบยุคลิดเขาสร้างส่วนของเส้นคู่ใด ๆ ที่มีความยาวและแนวเดียวกันเท่ากัน โดยพื้นฐานแล้วเขาตระหนักถึงความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันของคู่ของจุด (bipoints) ในระนาบและด้วยเหตุนี้จึงสร้างช่องว่างแรกของเวกเตอร์ในระนาบ ^{[10] : 52–4}

คำเวกเตอร์ถูกนำโดยวิลเลียมโรวันแฮมิลตันเป็นส่วนหนึ่งของquaternionซึ่งเป็นผลรวมQ = s + Vของจำนวนจริง s (ที่เรียกว่าสเกลาร์ ) และ 3 มิติเวกเตอร์ เช่นเดียวกับ Bellavitis แฮมิลตันมองว่าเวกเตอร์เป็นตัวแทนของคลาสของกลุ่มที่มีความสมดุล เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนใช้หน่วยจินตภาพเพื่อเสริมเส้นจริงแฮมิลตันจึงถือว่าเวกเตอร์vเป็นส่วนจินตภาพของควอเทอร์เนียน:

ส่วนจินตภาพเกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งสร้างทางเรขาคณิตโดยเส้นตรงหรือเวกเตอร์รัศมีซึ่งโดยทั่วไปแล้วสำหรับควอเทอร์เนียนที่กำหนดแต่ละครั้งความยาวที่กำหนดและทิศทางที่กำหนดในอวกาศอาจเรียกว่าส่วนเวกเตอร์หรือเรียกง่ายๆว่าเวกเตอร์ของ ควอเทอร์เนียน ^[11]

นักคณิตศาสตร์อื่น ๆ อีกหลายพัฒนาเวกเตอร์เหมือนระบบในช่วงกลางของศตวรรษที่สิบเก้ารวมทั้งAugustin Cauchy , แฮร์มันน์ Grassmann , สิงหาคมMöbius , Comte de Saint-Venantและแมทธิวโอไบรอัน งานของ Grassmann ในปี 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Theory of the Ebb and Flow) เป็นระบบแรกของการวิเคราะห์เชิงพื้นที่ที่คล้ายกับระบบปัจจุบันและมีแนวคิดที่สอดคล้องกับผลิตภัณฑ์ไขว้ผลิตภัณฑ์สเกลาร์และความแตกต่างของเวกเตอร์ งานของ Grassmann ถูกละเลยไปมากจนถึงช่วงทศวรรษที่ 1870 ^[10]

Peter Guthrie Taitมีมาตรฐานควอเทอร์เนียนตามหลังแฮมิลตัน เขา 1,867 ประถมศึกษาตำราของ Quaternionsรวมการรักษาที่กว้างขวางของ Nabla หรือผู้ประกอบการเด ∇

ในปี 1878, องค์ประกอบของแบบไดนามิกได้รับการตีพิมพ์โดยวิลเลียม Kingdon Clifford คลิฟฟอร์ดทำให้การศึกษาควอเทอร์เนียนง่ายขึ้นโดยการแยกผลิตภัณฑ์ดอทและผลคูณสองเวกเตอร์ออกจากผลิตภัณฑ์ควอเทอร์เนียนที่สมบูรณ์ วิธีนี้ทำให้การคำนวณเวกเตอร์พร้อมใช้งานสำหรับวิศวกรและคนอื่น ๆ ที่ทำงานในสามมิติและไม่เชื่อในสิ่งที่สี่

Josiah Willard Gibbsผู้ซึ่งสัมผัสกับ quaternions ผ่านบทความเกี่ยวกับไฟฟ้าและแม่เหล็กของJames Clerk Maxwellได้แยกส่วนเวกเตอร์ออกจากกันเพื่อการรักษาที่เป็นอิสระ ครึ่งแรกของ Gibbs's Elements of Vector Analysisซึ่งตีพิมพ์ในปี 2424 นำเสนอสิ่งที่เป็นพื้นฐานของระบบการวิเคราะห์เวกเตอร์สมัยใหม่ ^{[10] [7]}ในปี 1901 Edwin Bidwell Wilsonตีพิมพ์Vector Analysisซึ่งดัดแปลงมาจากการบรรยายของ Gibb ซึ่งขับไล่การกล่าวถึง quaternions ในการพัฒนาแคลคูลัสเวกเตอร์

ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรมโดยทั่วไปเวกเตอร์ถือได้ว่าเป็นเอนทิตีทางเรขาคณิตที่มีขนาดและทิศทาง มันถูกกำหนดอย่างเป็นทางการในฐานะที่เป็นผู้กำกับส่วนของเส้นหรือลูกศรในพื้นที่ Euclidean ^[12]ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ , เวกเตอร์ที่ถูกกำหนดให้มากขึ้นโดยทั่วไปเป็นองค์ประกอบของการใด ๆปริภูมิเวกเตอร์ ในบริบทนี้เวกเตอร์เป็นเอนทิตีนามธรรมซึ่งอาจมีลักษณะขนาดและทิศทางหรือไม่ก็ได้ นิยามทั่วไปนี่ก็หมายความว่าดังกล่าวข้างต้นหน่วยงานทางเรขาคณิตเป็นชนิดพิเศษของเวกเตอร์ที่พวกเขาเป็นองค์ประกอบของชนิดพิเศษของปริภูมิเวกเตอร์ที่เรียกว่าพื้นที่ Euclidean

บทความนี้เกี่ยวกับเวกเตอร์ที่กำหนดอย่างเคร่งครัดว่าเป็นลูกศรในอวกาศยุคลิด เมื่อมันกลายเป็นสิ่งจำเป็นที่จะแยกแยะความแตกต่างเวกเตอร์พิเศษเหล่านี้จากเวกเตอร์ที่กำหนดไว้ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ที่พวกเขากำลังบางครั้งเรียกว่าเรขาคณิต , อวกาศหรือยุคลิดเวกเตอร์

ในฐานะที่เป็นลูกศรเวกเตอร์แบบยุคลิดมีจุดเริ่มต้นและจุดปลายทางที่แน่นอน เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและขั้วคงเรียกว่าเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้ ^[13]เมื่อเพียง แต่ขนาดและทิศทางของเรื่องเวกเตอร์แล้วจุดเริ่มต้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นของที่ไม่มีความสำคัญและเวกเตอร์ที่เรียกว่าเวกเตอร์ฟรี ดังนั้นลูกศรสองดอก${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$ และ ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A'B '}}}$ในพื้นที่เป็นตัวแทนของเวกเตอร์ฟรีเดียวกันถ้าพวกเขามีขนาดเดียวกันและทิศทาง: นั่นคือพวกเขาจะequipollentถ้ารูปสี่เหลี่ยมABB'A 'เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน หากช่องว่างแบบยุคลิดมีตัวเลือกต้นกำเนิดให้เลือกเวกเตอร์อิสระจะเทียบเท่ากับเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้ที่มีขนาดและทิศทางเดียวกันซึ่งจุดเริ่มต้นคือจุดกำเนิด

คำว่าเวกเตอร์ยังมีลักษณะทั่วไปสำหรับมิติข้อมูลที่สูงขึ้นและแนวทางที่เป็นทางการมากขึ้นด้วยการใช้งานที่กว้างขึ้นมาก

ตัวอย่างในมิติเดียว

เนื่องจากแนวคิดเรื่องแรงของนักฟิสิกส์มีทิศทางและขนาดจึงอาจมองว่าเป็นเวกเตอร์ เป็นตัวอย่างให้พิจารณาบังคับทางขวาF 15 นิวตัน ถ้าแกนบวกชี้ไปทางขวาด้วยเช่นกันดังนั้นFจะแสดงด้วยเวกเตอร์ 15 N และถ้าจุดบวกไปทางซ้ายเวกเตอร์สำหรับFคือ −15 N ไม่ว่าในกรณีใดขนาดของเวกเตอร์คือ 15 N ในทำนองเดียวกัน แทนเวกเตอร์ของรางΔ s 4 เมตรจะเป็น 4 เมตรหรือ -4 เมตรขึ้นอยู่กับทิศทางและขนาดของมันจะเป็น 4 เมตรโดยไม่คำนึงถึง

สาขาฟิสิกส์และวิศวกรรม

เวกเตอร์เป็นพื้นฐานในวิทยาศาสตร์กายภาพ สามารถใช้เพื่อแสดงปริมาณใด ๆ ที่มีขนาดมีทิศทางและเป็นไปตามกฎของการบวกเวกเตอร์ ตัวอย่างคือความเร็วขนาดของซึ่งเป็นความเร็ว ตัวอย่างเช่นความเร็ว5 เมตรต่อวินาทีขึ้นไปอาจแสดงด้วยเวกเตอร์ (0, 5) (เป็น 2 มิติโดยมีแกนyบวกเป็น 'ขึ้น') ปริมาณอื่นที่แสดงโดยเวกเตอร์คือแรงเนื่องจากมีขนาดและทิศทางและเป็นไปตามกฎของการบวกเวกเตอร์ ^[8]เวกเตอร์ยังอธิบายถึงปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ อีกมากมายเช่นการเคลื่อนที่เชิงเส้นรางเร่งเชิงเส้นเร่งความเร็วเชิงมุม , โมเมนตัมเชิงเส้นและโมเมนตัมเชิงมุม เวกเตอร์ทางกายภาพอื่น ๆ เช่นสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็กจะแสดงเป็นระบบเวกเตอร์ในแต่ละจุดของพื้นที่ทางกายภาพ ที่เป็นสนามเวกเตอร์ ตัวอย่างของปริมาณที่มีขนาดและทิศทาง แต่ไม่ปฏิบัติตามกฎของการบวกเวกเตอร์ ได้แก่ การกระจัดเชิงมุมและกระแสไฟฟ้า ดังนั้นสิ่งเหล่านี้ไม่ใช่เวกเตอร์

ในช่องว่างคาร์ทีเซียน

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถแสดงเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้โดยการระบุพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดปลายทาง ตัวอย่างเช่นจุดA = (1, 0, 0)และB = (0, 1, 0)ในช่องว่างจะกำหนดเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}}}$ชี้จากจุดx = 1บนแกนxไปยังจุดy = 1บนแกนy

ในพิกัดคาร์ทีเซียนเวกเตอร์ฟรีอาจจะคิดว่าในแง่ของเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้ที่สอดคล้องกันในความรู้สึกนี้มีจุดเริ่มต้นที่มีพิกัดของจุดกำเนิดO = (0, 0, 0) จากนั้นจะถูกกำหนดโดยพิกัดของจุดเทอร์มินัลของเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้ ดังนั้นเวกเตอร์อิสระที่แทนด้วย (1, 0, 0) จึงเป็นเวกเตอร์ของความยาวหน่วย - ชี้ไปตามทิศทางของแกนx ที่เป็นบวก

การแสดงพิกัดของเวกเตอร์อิสระนี้ช่วยให้สามารถแสดงคุณลักษณะทางพีชคณิตในรูปแบบตัวเลขได้อย่างสะดวก ตัวอย่างเช่นผลรวมของเวกเตอร์สอง (ฟรี) (1, 2, 3) และ (−2, 0, 4) คือเวกเตอร์ (ฟรี)

(1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1 - 2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7)

เวกเตอร์แบบยุคลิดและ Affine

ในการตั้งค่าทางเรขาคณิตและทางกายภาพบางครั้งอาจเป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงในลักษณะที่เป็นธรรมชาติความยาวหรือขนาดและทิศทางไปยังเวกเตอร์ นอกจากนี้แนวความคิดเกี่ยวกับทิศทางยังเกี่ยวข้องอย่างเคร่งครัดกับความคิดของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว หากมีการกำหนดผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวซึ่งเป็นผลคูณที่มีค่าสเกลาร์ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ - ก็สามารถกำหนดความยาวได้เช่นกัน ผลิตภัณฑ์ดอทให้การระบุลักษณะทางพีชคณิตที่สะดวกของทั้งสองมุม (ฟังก์ชันของผลิตภัณฑ์ดอทระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว) และความยาว (รากที่สองของผลคูณดอทของเวกเตอร์ด้วยตัวมันเอง) ในสามมิติเป็นไปได้เพิ่มเติมที่จะกำหนดผลคูณไขว้ซึ่งให้การกำหนดลักษณะทางพีชคณิตของพื้นที่และการวางแนวในช่องว่างของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยเวกเตอร์สองตัว (ใช้เป็นด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ในมิติใด ๆ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งมิติที่สูงกว่า) เป็นไปได้ที่จะกำหนดผลิตภัณฑ์ภายนอกซึ่ง (เหนือสิ่งอื่นใด) ให้การระบุลักษณะทางพีชคณิตของพื้นที่และการวางแนวในอวกาศของขนานnมิติที่กำหนดโดยnเวกเตอร์

อย่างไรก็ตามเป็นไปไม่ได้เสมอไปหรือไม่พึงปรารถนาที่จะกำหนดความยาวของเวกเตอร์ด้วยวิธีที่เป็นธรรมชาติ เวกเตอร์เชิงพื้นที่ประเภททั่วไปมากขึ้นนี้เป็นหัวเรื่องของเวกเตอร์ปริภูมิ (สำหรับเวกเตอร์อิสระ) และช่องว่างที่เชื่อมโยงกัน (สำหรับเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้เนื่องจากแต่ละคู่แสดงด้วย "จุด" ที่เรียงตามลำดับ) ตัวอย่างที่สำคัญคือMinkowski space (ซึ่งมีความสำคัญต่อความเข้าใจของเราเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ) ซึ่งมีการสรุปความยาวที่อนุญาตให้เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์มีความยาวเป็นศูนย์ ตัวอย่างทางกายภาพอื่น ๆ มาจากอุณหพลศาสตร์ซึ่งปริมาณความสนใจจำนวนมากสามารถพิจารณาเวกเตอร์ในช่องว่างโดยไม่มีความยาวหรือมุม ^[14]

ลักษณะทั่วไป

ในฟิสิกส์เช่นเดียวกับคณิตศาสตร์เวกเตอร์มักจะถูกระบุด้วยtupleของส่วนประกอบหรือรายการของหมายเลขที่ทำหน้าที่เป็นค่าสัมประสิทธิ์เกลาสำหรับชุดของเวกเตอร์พื้นฐาน เมื่อพื้นฐานถูกเปลี่ยนตัวอย่างเช่นโดยการหมุนหรือการยืดส่วนประกอบของเวกเตอร์ใด ๆ ในแง่ของพื้นฐานนั้นก็จะเปลี่ยนไปในความหมายตรงกันข้าม เวกเตอร์เองไม่ได้เปลี่ยนแปลง แต่มีพื้นฐานดังนั้นส่วนประกอบของเวกเตอร์จึงต้องเปลี่ยนเพื่อชดเชย เวกเตอร์เรียกว่าcovariantหรือcontravariantขึ้นอยู่กับว่าการเปลี่ยนแปลงของส่วนประกอบของเวกเตอร์เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงของพื้นฐานอย่างไร โดยทั่วไปเวกเตอร์ตรงกันข้ามคือ "เวกเตอร์ปกติ" ที่มีหน่วยของระยะทาง (เช่นการกระจัด) หรือระยะทางคูณหน่วยอื่น ๆ (เช่นความเร็วหรือความเร่ง) เวกเตอร์ covariant บนมืออื่น ๆ ที่มีหน่วยของหนึ่ง-over-ระยะเช่นการไล่ระดับสี หากคุณเปลี่ยนหน่วย (กรณีพิเศษของการเปลี่ยนแปลงพื้นฐาน) จากเมตรเป็นมิลลิเมตรตัวคูณมาตราส่วน 1/1000 การกระจัด 1 ม. จะกลายเป็น 1,000 มม. ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงค่าตัวเลขที่ตรงกันข้าม ในทางตรงกันข้ามการไล่ระดับสี 1  K / m จะกลายเป็น 0.001 K / mm ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงค่าความแปรปรวนร่วม (สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดดูความแปรปรวนร่วมและความแตกต่างของเวกเตอร์ ) เทนเซอร์เป็นปริมาณอีกประเภทหนึ่งที่มีพฤติกรรมในลักษณะนี้ เวกเตอร์เป็นหนึ่งในประเภทของเมตริกซ์

บริสุทธิ์คณิตศาสตร์ , เวกเตอร์เป็นองค์ประกอบของใด ๆปริภูมิเวกเตอร์บางฟิลด์และมักจะแสดงเป็นประสานงานเวกเตอร์ เวกเตอร์ที่อธิบายไว้ในบทความนี้เป็นกรณีพิเศษของคำจำกัดความทั่วไปนี้เนื่องจากมีความแตกต่างกันเมื่อเทียบกับพื้นที่โดยรอบ ความแตกต่างจะรวบรวมสัญชาตญาณทางกายภาพที่อยู่เบื้องหลังแนวคิดที่ว่าเวกเตอร์มี "ขนาดและทิศทาง"

โดยปกติเวกเตอร์จะแสดงด้วยตัวพิมพ์เล็กตัวหนาเช่นเดียวกับใน${\ displaystyle \ mathbf {u}}$, ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ และ ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$, ^[4]หรือตัวพิมพ์เล็กตัวเอียงตัวหนาเช่นเดียวกับในก . ( โดยทั่วไปตัวอักษรตัวพิมพ์ใหญ่จะใช้แทนเมทริกซ์ ) อนุสัญญาอื่น ๆ ได้แก่${\ displaystyle {\ vec {a}}}$หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเขียนด้วยลายมือ หรือบางคนใช้เครื่องหมายทิลเดอ (~) หรือขีดเส้นใต้หยักที่วาดไว้ใต้สัญลักษณ์เช่น${\ displaystyle {\ underset {^ {\ sim}} {a}}}$ซึ่งเป็นแบบแผนในการระบุประเภทตัวหนา หากเวกเตอร์แสดงระยะทางหรือการกระจัดจากจุดAไปยังจุดB (ดูรูป) ก็สามารถแสดงเป็น${\ displaystyle {\ stackrel {\ longrightarrow} {AB}}}$หรือAB . ในวรรณคดีเยอรมันเป็นเรื่องปกติโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการแสดงเวกเตอร์ด้วยตัวอักษรfrakturขนาดเล็กเช่น${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$.

โดยปกติเวกเตอร์จะแสดงเป็นกราฟหรือแผนภาพอื่น ๆ เป็นลูกศร ( ส่วนของเส้นกำกับ) ดังที่แสดงในรูป นี่คือจุดเรียกว่าต้นกำเนิด , หาง , ฐานหรือจุดเริ่มต้นและจุดBที่เรียกว่าหัว , เคล็ดลับ , ปลายทาง , จุดสิ้นสุดหรือจุดสุดท้าย ความยาวของลูกศรเป็นสัดส่วนกับขนาดของเวกเตอร์ในขณะที่ทิศทางที่ลูกศรชี้แสดงทิศทางของเวกเตอร์

ในแผนภาพสองมิติบางครั้งต้องการเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบของแผนภาพ เวกเตอร์เหล่านี้มักแสดงเป็นวงกลมเล็ก ๆ วงกลมที่มีจุดอยู่ตรงกลาง (Unicode U + 2299 ⊙) หมายถึงเวกเตอร์ที่ชี้ออกจากด้านหน้าของแผนภาพไปทางผู้แสดง วงกลมที่มีไม้กางเขนจารึกอยู่ (Unicode U + 2297 ⊗) แสดงเวกเตอร์ที่ชี้เข้าและด้านหลังแผนภาพ สิ่งเหล่านี้สามารถคิดได้ว่าเป็นการดูปลายหัวลูกศรและดูเที่ยวบินของลูกศรจากด้านหลัง

เวกเตอร์ในระนาบคาร์ทีเซียนแสดงตำแหน่งของจุด Aพร้อมพิกัด (2, 3)

ในการคำนวณด้วยเวกเตอร์การแสดงกราฟิกอาจยุ่งยากเกินไป เวกเตอร์ในnมิติพื้นที่ Euclidean สามารถแสดงเป็นประสานงานเวกเตอร์ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ปลายทางของเวกเตอร์สามารถระบุได้กับรายการสั่งซื้อของnตัวเลขจริง ( n - tuple ) ตัวเลขเหล่านี้เป็นพิกัดของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ซึ่งเกี่ยวกับระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่กำหนดและโดยทั่วไปจะเรียกว่าส่วนประกอบสเกลาร์ (หรือการคาดคะเนสเกลาร์ ) ของเวกเตอร์บนแกนของระบบพิกัด

ดังตัวอย่างในสองมิติ (ดูรูป) เวกเตอร์จากจุดกำเนิดO = (0, 0) ไปยังจุดA = (2, 3) เขียนได้ง่ายๆว่า

${\ displaystyle \ mathbf {a} = (2,3).}$

ความคิดที่ว่าหางของเวกเตอร์เกิดขึ้นพร้อมกับจุดกำเนิดนั้นมีนัยและเข้าใจได้ง่าย ดังนั้นสัญกรณ์ที่ชัดเจนยิ่งขึ้น${\ displaystyle {\ overrightarrow {OA}}}$ มักจะถือว่าไม่จำเป็น (และแทบไม่ได้ใช้เลย)

ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ (หรือR ³ ) เวกเตอร์ถูกระบุด้วยส่วนประกอบสเกลาร์สามมิติ :

${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$

ยังเขียน

${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {x}, a_ {y}, a_ {z})}$

นี้สามารถทั่วไปเพื่อn มิติปริภูมิแบบยุคลิด (หรือR ⁿ )

${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ cdots, a_ {n-1}, a_ {n})}$

ตัวเลขเหล่านี้มักจะจัดเรียงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์หรือเวกเตอร์แถวโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อจัดการกับเมทริกซ์ดังต่อไปนี้:

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\\ end {bmatrix}} = [a_ {1} \ a_ {2} \ a_ {3}] ^ {\ operatorname {T}}}$

อีกวิธีหนึ่งในการแทนเวกเตอร์ในขนาดnคือการนำเวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐานมาใช้ ตัวอย่างเช่นในสามมิติมีสามมิติ:

${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1} = (1,0,0), \ {\ mathbf {e}} _ {2} = (0,1,0), \ {\ mathbf {e }} _ {3} = (0,0,1).}$

สิ่งเหล่านี้มีการตีความที่ใช้งานง่ายเป็นเวกเตอร์ของความยาวหน่วยที่ชี้ขึ้นx -, y - และz - แกนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตามลำดับ ในแง่ของสิ่งเหล่านี้เวกเตอร์aในR ³สามารถแสดงในรูปแบบ:

${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}) = a_ {1} (1,0,0) + a_ {2} (0,1,0) + ก _ {3} (0,0,1), \}$

หรือ

${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {1} + \ mathbf {a} _ {2} + \ mathbf {a} _ {3} = a_ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} {\ mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} {\ mathbf {e}} _ {3},}$

ที่₁ , ₂ , ₃จะเรียกว่าองค์ประกอบเวกเตอร์ (หรือประมาณการเวกเตอร์ ) ของพาหะพื้นฐานหรือเท่ากันบนแกน Cartesian สอดคล้องx , YและZ (ดูรูป) ในขณะที่₁ , ₂ , a ₃เป็นส่วนประกอบสเกลาร์ตามลำดับ(หรือการคาดคะเนสเกลาร์)

ในหนังสือเรียนฟิสิกส์เบื้องต้นมักจะใช้เวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐาน ${\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ แทน (หรือ ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {x}}, \ mathbf {\ hat {y}}, \ mathbf {\ hat {z}}}$ซึ่งโดยทั่วไปแล้วสัญลักษณ์หมวก ^หมายถึงเวกเตอร์หน่วย ) ในกรณีนี้เกลาเวกเตอร์และส่วนประกอบจะแสดงตามลำดับ_x , _Y , _Zและ_x , _Y , _Z (โปรดสังเกตความแตกต่างในตัวหนา) ที่ ด้วยประการฉะนี้

${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {x} + \ mathbf {a} _ {y} + \ mathbf {a} _ {z} = a_ {x} {\ mathbf {i}} + a_ {y} {\ mathbf {j}} + a_ {z} {\ mathbf {k}}}$

สัญกรณ์e _iเข้ากันได้กับสัญกรณ์ดัชนีและหลักการสรุปที่ใช้กันทั่วไปในคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรรมระดับสูงกว่า

การสลายตัวหรือความละเอียด

ตามที่อธิบายไว้ข้างต้นเวกเตอร์มักถูกอธิบายโดยชุดของส่วนประกอบเวกเตอร์ที่รวมกันเป็นเวกเตอร์ที่กำหนด โดยทั่วไปส่วนประกอบเหล่านี้เป็นเส้นโครงของเวกเตอร์บนชุดของแกนอ้างอิงที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน (เวกเตอร์พื้นฐาน) เวกเตอร์ได้รับการย่อยสลายหรือแก้ไขเมื่อเทียบกับเซตนั้น

ภาพประกอบของส่วนประกอบสัมผัสและปกติของเวกเตอร์กับพื้นผิว

การสลายตัวหรือความละเอียด^[15]ของเวกเตอร์เป็นส่วนประกอบนั้นไม่ซ้ำกันเพราะขึ้นอยู่กับการเลือกแกนที่จะฉายเวกเตอร์

นอกจากนี้การใช้เวกเตอร์หน่วยคาร์ทีเซียนเช่น ${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {x}}, \ mathbf {\ hat {y}}, \ mathbf {\ hat {z}}}$เป็นพื้นฐานในการแสดงเวกเตอร์ไม่ได้รับคำสั่ง เวกเตอร์สามารถแสดงในรูปแบบของเกณฑ์โดยพลการรวมถึงเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดทรงกระบอก (${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ hat {\ rho}}}, {\ boldsymbol {\ hat {\ phi}}}, \ mathbf {\ hat {z}}}$) หรือระบบพิกัดทรงกลม (${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {r}}, {\ boldsymbol {\ hat {\ theta}}}, {\ boldsymbol {\ hat {\ phi}}}}$). สองทางเลือกหลังนี้สะดวกกว่าสำหรับการแก้ปัญหาที่มีสมมาตรทรงกระบอกหรือทรงกลมตามลำดับ

การเลือกพื้นฐานไม่มีผลต่อคุณสมบัติของเวกเตอร์หรือพฤติกรรมของมันภายใต้การเปลี่ยนแปลง

นอกจากนี้เวกเตอร์ยังสามารถแยกย่อยได้เมื่อเทียบกับเวกเตอร์พื้นฐาน "ไม่คงที่" ซึ่งเปลี่ยนการวางแนวเป็นฟังก์ชันของเวลาหรือช่องว่าง ตัวอย่างเช่นเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติสามารถย่อยสลายได้โดยเทียบกับสองแกนตามลำดับปกติและแทนเจนต์กับพื้นผิว (ดูรูป) นอกจากนี้ยังมีรัศมีและส่วนประกอบสัมผัสของเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับรัศมีของการหมุนของวัตถุ อดีตขนานกับรัศมีและด้านหลังตั้งฉากกับมัน ^[16]

ในกรณีเหล่านี้ส่วนประกอบแต่ละส่วนอาจถูกย่อยสลายตามระบบพิกัดคงที่หรือชุดพื้นฐาน (เช่นระบบพิกัดโลกหรือกรอบอ้างอิงเฉื่อย )

ส่วนต่อไปนี้ใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนกับเวกเตอร์พื้นฐาน

${\ displaystyle {\ mathbf {e}} _ {1} = (1,0,0), \ {\ mathbf {e}} _ {2} = (0,1,0), \ {\ mathbf {e }} _ {3} = (0,0,1)}$

และถือว่าเวกเตอร์ทั้งหมดมีจุดกำเนิดเป็นจุดฐานร่วมกัน เวกเตอร์aจะเขียนเป็น

${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = a_ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} {\ mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} {\ mathbf {e}} _ {3}.}$

ความเท่าเทียมกัน

เวกเตอร์สองตัวมีค่าเท่ากันหากมีขนาดและทิศทางเท่ากัน พวกมันจะเท่ากันถ้าพิกัดเท่ากัน เวกเตอร์สองตัว

${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = a_ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} {\ mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} {\ mathbf {e}} _ {3}}$

และ

${\ displaystyle {\ mathbf {b}} = b_ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + b_ {2} {\ mathbf {e}} _ {2} + b_ {3} {\ mathbf {e}} _ {3}}$

มีค่าเท่ากันถ้า

${\ displaystyle a_ {1} = b_ {1}, \ quad a_ {2} = b_ {2}, \ quad a_ {3} = b_ {3}. \,}$

เวกเตอร์ตรงข้ามขนานและคู่ขนาน

เวกเตอร์สองตัวจะตรงข้ามกันหากมีขนาดเท่ากัน แต่มีทิศทางตรงกันข้ามกัน เวกเตอร์สองตัว

${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = a_ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} {\ mathbf {e}} _ {2} + a_ {3} {\ mathbf {e}} _ {3}}$

และ

${\ displaystyle {\ mathbf {b}} = b_ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + b_ {2} {\ mathbf {e}} _ {2} + b_ {3} {\ mathbf {e}} _ {3}}$

อยู่ตรงข้ามถ้า

${\ displaystyle a_ {1} = - b_ {1}, \ quad a_ {2} = - b_ {2}, \ quad a_ {3} = - b_ {3}. \,}$

เวกเตอร์สองตัวขนานกันหากมีทิศทางเดียวกัน แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากันหรือมีขนาดตรงกันข้ามหากมีทิศทางตรงกันข้าม แต่ไม่จำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน

การบวกและการลบ

สมมติว่าaและbไม่จำเป็นต้องเท่าเวกเตอร์ แต่อาจมีขนาดและทิศทางที่แตกต่างกัน ผลรวมของaและbคือ

${\ displaystyle \ mathbf {a} + \ mathbf {b} = (a_ {1} + b_ {1}) \ mathbf {e} _ {1} + (a_ {2} + b_ {2}) \ mathbf { จ} _ {2} + (a_ {3} + b_ {3}) \ mathbf {e} _ {3}.}$

นอกจากนี้อาจมีการแสดงกราฟิกโดยการวางหางของลูกศรขที่หัวลูกศรแล้ววาดลูกศรจากหางของที่หัวของข ลูกศรใหม่ที่วาดแทนเวกเตอร์a + bดังภาพประกอบด้านล่าง: ^[8]

วิธีการบวกนี้บางครั้งเรียกว่ากฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเนื่องจากaและb เป็นรูปด้านข้างของสี่เหลี่ยมด้านขนานและa + bเป็นหนึ่งในเส้นทแยงมุม ถ้าaและbเป็นเวกเตอร์ที่ถูกผูกไว้ที่มีจุดฐานเดียวกันจุดนี้จะเป็นจุดฐานของa + bด้วย เราสามารถตรวจสอบทางเรขาคณิตได้ว่าa + b = b + aและ ( a + b ) + c = a + ( b + c )

ความแตกต่างของaและbคือ

${\ displaystyle \ mathbf {a} - \ mathbf {b} = (a_ {1} -b_ {1}) \ mathbf {e} _ {1} + (a_ {2} -b_ {2}) \ mathbf { จ} _ {2} + (a_ {3} -b_ {3}) \ mathbf {e} _ {3}.}$

ลบของสองเวกเตอร์สามารถแสดงเรขาคณิตดังนี้ลบขจากวางหางของและขที่จุดเดียวกันแล้ววาดลูกศรจากหัวของขที่หัวของ ลูกศรใหม่นี้แสดงถึงเวกเตอร์(-b) + aโดย(-b)อยู่ตรงข้ามกับbดูรูปวาด และ(-b) + = - ข

การคูณสเกลาร์

การคูณเวกเตอร์สเกลาร์ด้วยตัวคูณ 3 จะยืดเวกเตอร์ออกไป

เวกเตอร์นอกจากนี้ยังอาจจะคูณหรืออีกปรับขนาดโดยจำนวนจริง R ในบริบทของพีชคณิตเวกเตอร์ธรรมดาจำนวนจริงเหล่านี้มักเรียกว่าสเกลาร์ (จากมาตราส่วน ) เพื่อแยกความแตกต่างจากเวกเตอร์ การดำเนินงานของการคูณเวกเตอร์โดยเกลาที่เรียกว่าคูณสเกลาร์ เวกเตอร์ที่ได้คือ

${\ displaystyle r \ mathbf {a} = (ra_ {1}) \ mathbf {e} _ {1} + (ra_ {2}) \ mathbf {e} _ {2} + (ra_ {3}) \ mathbf {e} _ {3}.}$

สัญชาตญาณคูณด้วยสเกลาRเหยียดเวกเตอร์ออกโดยปัจจัยของR ในทางเรขาคณิตสิ่งนี้สามารถมองเห็นได้ (อย่างน้อยในกรณีที่rเป็นจำนวนเต็ม) เมื่อวางrสำเนาของเวกเตอร์ในเส้นที่จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์หนึ่งเป็นจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ถัดไป

ถ้าrเป็นลบเวกเตอร์จะเปลี่ยนทิศทาง: มันจะหมุนไปรอบ ๆ ด้วยมุม 180 ° สองตัวอย่าง ( r = −1 และr = 2) แสดงไว้ด้านล่าง:

การคูณสเกลาร์ - aและ 2 aของเวกเตอร์ a

คูณสเกลาร์คือการจำหน่ายมากกว่านอกจากเวกเตอร์ในความรู้สึกต่อไปนี้: R ( + ข ) = R + R ขเวกเตอร์ทั้งหมดและขและสเกลาทั้งหมดr หนึ่งยังสามารถแสดงให้เห็นว่า- ข = + (-1)ข

ความยาว

ยาวหรือขนาดหรือบรรทัดฐานของเวกเตอร์จะเขียนแทนด้วย‖ ‖หรือน้อยกว่าปกติ | a | ซึ่งไม่ต้องสับสนกับค่าสัมบูรณ์ (สเกลาร์ "บรรทัดฐาน")

ความยาวของเวกเตอร์aสามารถคำนวณได้ด้วยบรรทัดฐานแบบยุคลิด

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = {\ sqrt {a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2}}}}$

ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสเนื่องจากเวกเตอร์พื้นฐานe ₁ , e ₂ , e ₃เป็นเวกเตอร์หน่วยมุมฉาก

สิ่งนี้จะเท่ากับรากที่สองของผลิตภัณฑ์ดอทซึ่งกล่าวถึงด้านล่างของเวกเตอร์ด้วยตัวมันเอง:

${\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = {\ sqrt {\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a}}}}$

เวกเตอร์หน่วย

การทำให้เป็นมาตรฐานของเวกเตอร์ aเป็นเวกเตอร์หน่วย â

เวกเตอร์หน่วยคือเวกเตอร์ใด ๆ กับความยาวของหนึ่ง; โดยปกติเวกเตอร์หน่วยใช้เพื่อระบุทิศทาง เวกเตอร์ของความยาวตามอำเภอใจสามารถหารด้วยความยาวเพื่อสร้างเวกเตอร์หน่วย ^[17]สิ่งนี้เรียกว่าการทำให้เวกเตอร์เป็นมาตรฐาน หน่วยเวกเตอร์มักจะถูกระบุด้วยหมวกเช่นเดียวกับในâ

ปกติเวกเตอร์= ( ₁ , ₂ , ₃ ) , ขนาดเวกเตอร์โดยซึ่งกันและกันของความยาว‖ ‖ นั่นคือ:

${\ displaystyle \ mathbf {\ hat {a}} = {\ frac {\ mathbf {a}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}} = {\ frac {a_ {1}} { \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}} \ mathbf {e} _ {1} + {\ frac {a_ {2}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}} \ mathbf {e} _ {2} + {\ frac {a_ {3}} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ |}} \ mathbf {e} _ {3}}$

เวกเตอร์ศูนย์

เวกเตอร์ศูนย์เป็นเวกเตอร์ที่มีความยาวเป็นศูนย์ เขียนออกมาในพิกัดเวกเตอร์คือ(0, 0, 0)และมักจะแสดง${\ displaystyle {\ vec {0}}}$, 0หรือ 0 ^[4]ต่างจากเวกเตอร์อื่น ๆ ตรงที่มีทิศทางตามอำเภอใจหรือไม่แน่นอนและไม่สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ (นั่นคือไม่มีเวกเตอร์หน่วยที่เป็นผลคูณของเวกเตอร์ศูนย์) ผลรวมของเวกเตอร์ศูนย์กับเวกเตอร์ใด ๆaคือa (นั่นคือ0 + a = a )

ผลิตภัณฑ์ดอท

คูณจุดของสองเวกเตอร์และข (บางครั้งเรียกว่าสินค้าภายในหรือเนื่องจากผลของการเป็นสเกลาร์ที่คูณ ) จะแสดงโดย ∙  B, ^[4]และถูกกำหนดให้เป็น:

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ cos \ theta}$

โดยที่θคือการวัดมุมระหว่างaและb (ดูฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับคำอธิบายของโคไซน์) เรขาคณิตที่นี้หมายถึงว่าและBจะมีการวาดที่มีจุดเริ่มต้นร่วมกันและแล้วความยาวของคูณกับความยาวขององค์ประกอบของขที่จุดในทิศทางเดียวกับ

ผลิตภัณฑ์ดอทยังสามารถกำหนดให้เป็นผลรวมของผลคูณของส่วนประกอบของเวกเตอร์แต่ละตัวได้อีกด้วย

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = a_ {1} b_ {1} + a_ {2} b_ {2} + a_ {3} b_ {3}.}$

ข้ามผลิตภัณฑ์

สินค้าข้าม (เรียกว่าสินค้าเวกเตอร์หรือสินค้านอก ) เป็นเพียงความหมายในสามหรือเจ็ดมิติ ผลคูณไขว้แตกต่างจากผลิตภัณฑ์ดอทโดยหลักแล้วผลลัพธ์ของผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวเป็นเวกเตอร์ ผลคูณไขว้แสดงa  ×  bเป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับทั้งaและbและถูกกำหนดให้เป็น

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} = \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {b} \ right \ | \ sin (\ theta) \, \ mathbf {n}}$

โดยที่θคือการวัดมุมระหว่างaและbและnคือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับทั้งaและbซึ่งทำให้ระบบมือขวาสมบูรณ์ จำเป็นต้องมีข้อ จำกัด ในการถนัดขวาเนื่องจากมีเวกเตอร์สองหน่วยที่ตั้งฉากกับทั้งaและbคือnและ (- n )

ภาพประกอบของผลิตภัณฑ์ครอส

ผลิตภัณฑ์กากบาทa  ×  bถูกกำหนดเพื่อให้a , bและa  ×  bกลายเป็นระบบมือขวา (แม้ว่าaและbจะไม่จำเป็นต้องตั้งฉากกัน ) นี่คือกฎขวามือ

ความยาวของ ×  ขสามารถตีความได้ว่าพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีและขเป็นด้านข้าง

ผลิตภัณฑ์กากบาทสามารถเขียนเป็น

${\ displaystyle {\ mathbf {a}} \ times {\ mathbf {b}} = (a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) {\ mathbf {e}} _ {1} + (a_ {3} b_ {1} -a_ {1} b_ {3}) {\ mathbf {e}} _ {2} + (a_ {1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1} ) {\ mathbf {e}} _ {3}.}$

สำหรับตัวเลือกการวางแนวเชิงพื้นที่โดยพลการ (นั่นคืออนุญาตให้ใช้ระบบพิกัดมือซ้ายและมือขวา) ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองตัวคือตัวปลอมแทนเวกเตอร์ (ดูด้านล่าง)

ผลิตภัณฑ์ Scalar Triple

ผลคูณสามสเกลาร์ (เรียกอีกอย่างว่าผลิตภัณฑ์กล่องหรือผลิตภัณฑ์สามอย่างผสม ) ไม่ใช่ตัวดำเนินการใหม่ แต่เป็นวิธีการใช้ตัวดำเนินการคูณอีกสองตัวกับเวกเตอร์สามตัว ผลคูณสามสเกลาร์บางครั้งแสดงโดย ( a b c ) และกำหนดเป็น:

${\ displaystyle (\ mathbf {a} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {c}) = \ mathbf {a} \ cdot (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c}).}$

มีการใช้งานหลักสามประการ ประการแรกค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์กล่องคือปริมาตรของขนานที่มีขอบซึ่งกำหนดโดยเวกเตอร์ทั้งสาม ประการที่สองผลคูณสามสเกลาร์จะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์ทั้งสามขึ้นอยู่กับเชิงเส้นซึ่งสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายโดยพิจารณาว่าเวกเตอร์ทั้งสามไม่สร้างปริมาตรพวกเขาทั้งหมดจะต้องอยู่ในระนาบเดียวกัน ประการที่สามผลิตภัณฑ์ในกล่องจะเป็นค่าบวกก็ต่อเมื่อเวกเตอร์สามตัวa , bและcเป็นมือขวาเท่านั้น

ในส่วนประกอบ ( เกี่ยวกับออร์โทนิกที่ถนัดขวา ) หากคิดว่าเวกเตอร์สามตัวเป็นแถว (หรือคอลัมน์ แต่อยู่ในลำดับเดียวกัน) ผลคูณสามสเกลาร์เป็นเพียงดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 ต่อ 3 มีเวกเตอร์สามตัวเป็นแถว

${\ displaystyle (\ mathbf {a} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {c}) = \ left | {\ begin {pmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \\ c_ {1} & c_ {2} & c_ {3} \\\ end {pmatrix}} \ right |}$

ผลคูณสามสเกลาร์เป็นเส้นตรงในทั้งสามรายการและต่อต้านสมมาตรในความหมายต่อไปนี้:

${\ displaystyle (\ mathbf {a} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {c}) = (\ mathbf {c} \ \ mathbf {a} \ Mathbf {b}) = (\ mathbf {b} \ \ mathbf {c} \ \ mathbf {a}) = - (\ mathbf {a} \ \ mathbf {c} \ \ mathbf {b}) = - (\ mathbf {b} \ \ mathbf {a} \ \ mathbf {c}) = - (\ mathbf {c} \ \ mathbf {b} \ \ mathbf {a})}$

การแปลงระหว่างฐานคาร์ทีเซียนหลาย ๆ

ตัวอย่างทั้งหมดป่านนี้ได้กระทำกับเวกเตอร์แสดงในแง่ของพื้นฐานเดียวกันคือที่จพื้นฐาน { อี₁ , E ₂ , อี₃ } อย่างไรก็ตามเวกเตอร์สามารถแสดงในรูปของฐานต่างๆจำนวนเท่าใดก็ได้ที่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกันและยังคงเป็นเวกเตอร์เดียวกัน ในพื้นฐานeเวกเตอร์aแสดงโดยนิยามเป็น

${\ displaystyle \ mathbf {a} = p \ mathbf {e} _ {1} + q \ mathbf {e} _ {2} + r \ mathbf {e} _ {3}}$.

ส่วนประกอบสเกลาร์ในพื้นฐานeคือตามคำจำกัดความ

${\ displaystyle p = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {1}}$,

${\ displaystyle q = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {2}}$,

${\ displaystyle r = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {e} _ {3}}$.

ในพื้นฐาน orthon ปกติอื่นn = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } ที่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกับeเวกเตอร์aจะแสดงเป็น

${\ displaystyle \ mathbf {a} = u \ mathbf {n} _ {1} + v \ mathbf {n} _ {2} + w \ mathbf {n} _ {3}}$

และส่วนประกอบสเกลาร์ในฐานnคือตามความหมาย

${\ displaystyle u = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {n} _ {1}}$,

${\ displaystyle v = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}}$,

${\ displaystyle w = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {n} _ {3}}$.

ค่าของP , Q , RและU , V , Wเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์หน่วยในลักษณะที่ทำให้เกิดการรวมเวกเตอร์เป็นเหมือนกับเวกเตอร์ทางกายภาพในทั้งสองกรณี เป็นเรื่องปกติที่จะพบเวกเตอร์ที่รู้จักกันในรูปของฐานที่แตกต่างกัน (ตัวอย่างเช่นพื้นฐานหนึ่งที่ยึดติดกับโลกและพื้นฐานที่สองที่ยึดติดกับยานพาหนะที่เคลื่อนที่) ในกรณีเช่นนี้จำเป็นต้องพัฒนาวิธีการแปลงระหว่างฐานเพื่อให้สามารถดำเนินการเวกเตอร์พื้นฐานเช่นการบวกและการลบได้ วิธีหนึ่งในการแสดงu , v , wในรูปของp , q , rคือการใช้เมทริกซ์คอลัมน์ร่วมกับเมทริกซ์โคไซน์ทิศทางที่มีข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับฐานทั้งสอง นิพจน์ดังกล่าวสามารถเกิดขึ้นได้จากการแทนที่สมการข้างต้นเพื่อสร้าง

${\ displaystyle u = (p \ mathbf {e} _ {1} + q \ mathbf {e} _ {2} + r \ mathbf {e} _ {3}) \ cdot \ mathbf {n} _ {1} }$,

${\ displaystyle v = (p \ mathbf {e} _ {1} + q \ mathbf {e} _ {2} + r \ mathbf {e} _ {3}) \ cdot \ mathbf {n} _ {2} }$,

${\ displaystyle w = (p \ mathbf {e} _ {1} + q \ mathbf {e} _ {2} + r \ mathbf {e} _ {3}) \ cdot \ mathbf {n} _ {3} }$.

การกระจายการคูณดอทให้

${\ displaystyle u = p \ mathbf {e} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {1} + q \ mathbf {e} _ {2} \ cdot \ mathbf {n} _ {1} + r \ mathbf {e} _ {3} \ cdot \ mathbf {n} _ {1}}$,

${\ displaystyle v = p \ mathbf {e} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {2} + q \ mathbf {e} _ {2} \ cdot \ mathbf {n} _ {2} + r \ mathbf {e} _ {3} \ cdot \ mathbf {n} _ {2}}$,

${\ displaystyle w = p \ mathbf {e} _ {1} \ cdot \ mathbf {n} _ {3} + q \ mathbf {e} _ {2} \ cdot \ mathbf {n} _ {3} + r \ mathbf {e} _ {3} \ cdot \ mathbf {n} _ {3}}$.

การแทนที่ผลิตภัณฑ์แต่ละจุดด้วยสเกลาร์ที่ไม่ซ้ำกันให้

${\ displaystyle u = c_ {11} p + c_ {12} q + c_ {13} r}$,

${\ displaystyle v = c_ {21} p + c_ {22} q + c_ {23} r}$,

${\ displaystyle w = c_ {31} p + c_ {32} q + c_ {33} r}$,

และสมการเหล่านี้สามารถแสดงเป็นสมการเมทริกซ์เดี่ยว

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} u \\ v \\ w \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} & c_ {13} \\ c_ {21} & c_ {22} & c_ {23} \\ c_ {31} & c_ {32} & c_ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p \\ q \\ r \ end {bmatrix}}}$.

สมการเมทริกซ์นี้เกี่ยวข้องกับส่วนประกอบสเกลาร์ของaในฐานn ( u , vและw ) กับที่อยู่ในฐานe ( p , qและr ) แต่ละองค์ประกอบเมทริกซ์ค_JKเป็นโคไซน์ทิศทางที่เกี่ยวข้องn _Jเพื่ออี k ^[18]คำว่าทิศทางโคไซน์หมายถึงโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองหน่วยซึ่งเท่ากับผลิตภัณฑ์ดอทด้วย ^[18]ดังนั้น

${\ displaystyle c_ {11} = \ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {e} _ {1}}$

${\ displaystyle c_ {12} = \ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {e} _ {2}}$

${\ displaystyle c_ {13} = \ mathbf {n} _ {1} \ cdot \ mathbf {e} _ {3}}$

${\ displaystyle c_ {21} = \ mathbf {n} _ {2} \ cdot \ mathbf {e} _ {1}}$

${\ displaystyle c_ {22} = \ mathbf {n} _ {2} \ cdot \ mathbf {e} _ {2}}$

${\ displaystyle c_ {23} = \ mathbf {n} _ {2} \ cdot \ mathbf {e} _ {3}}$

${\ displaystyle c_ {31} = \ mathbf {n} _ {3} \ cdot \ mathbf {e} _ {1}}$

${\ displaystyle c_ {32} = \ mathbf {n} _ {3} \ cdot \ mathbf {e} _ {2}}$

${\ displaystyle c_ {33} = \ mathbf {n} _ {3} \ cdot \ mathbf {e} _ {3}}$

โดยการอ้างอิงรวมถึงe ₁ , e ₂ , e ₃เป็นพื้นฐานeและn ₁ , n ₂ , n ₃เป็นพื้นฐานnเมทริกซ์ที่มีc _jkทั้งหมดเรียกว่า " เมทริกซ์การแปลงจากeเป็นn " หรือ " เมทริกซ์การหมุนจากeถึงn " (เนื่องจากสามารถจินตนาการได้ว่าเป็น "การหมุน" ของเวกเตอร์จากพื้นฐานหนึ่งไปยังอีกพื้นฐานหนึ่ง) หรือ " เมทริกซ์โคไซน์ทิศทางจากeถึงn " ^[18] (เนื่องจากประกอบด้วย ทิศทาง cosines) คุณสมบัติของเมทริกซ์การหมุนคือการผกผันเท่ากับทรานสโพส ซึ่งหมายความว่า "เมทริกซ์การหมุนจากeถึงn " คือทรานสโพสของ "เมทริกซ์การหมุนจากnถึงe "

คุณสมบัติของเมทริกซ์โคไซน์ทิศทาง C คือ: ^[19]

• ดีเทอร์มิแนนต์คือเอกภาพ | C | = 1
• ผกผันเท่ากับทรานสโพส
• แถวและคอลัมน์เป็นเวกเตอร์หน่วยมุมฉากดังนั้นผลิตภัณฑ์ดอทจึงเป็นศูนย์

ข้อดีของวิธีนี้คือโดยปกติเมทริกซ์โคไซน์ทิศทางสามารถหาได้อย่างอิสระโดยใช้มุมออยเลอร์หรือควอเทอร์เนียนเพื่อเชื่อมโยงเวกเตอร์ฐานทั้งสองดังนั้นการแปลงพื้นฐานจึงสามารถทำได้โดยตรงโดยไม่ต้องคำนวณหาผลิตภัณฑ์จุดทั้งหมดที่อธิบายไว้ข้างต้น .

ด้วยการใช้การคูณเมทริกซ์หลายตัวต่อเนื่องกันเวกเตอร์ใด ๆ สามารถแสดงในรูปแบบใดก็ได้ตราบเท่าที่ทราบว่าชุดของโคไซน์ของทิศทางนั้นเกี่ยวข้องกับฐานที่ต่อเนื่องกัน ^[18]

มิติอื่น ๆ

ยกเว้นผลิตภัณฑ์ครอสและผลิตภัณฑ์สามเท่าสูตรข้างต้นจะเน้นไปที่สองมิติและมิติที่สูงกว่า ตัวอย่างเช่นเพิ่ม Generalises เป็นสองมิติเป็น

${\ displaystyle (a_ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + a_ {2} {\ mathbf {e}} _ {2}) + (b_ {1} {\ mathbf {e}} _ {1} + b_ {2} {\ mathbf {e}} _ {2}) = (a_ {1} + b_ {1}) {\ mathbf {e}} _ {1} + (a_ {2} + b_ {2}) {\ mathbf {e}} _ {2}}$