เครื่องบิน (เรขาคณิต)

ยูคลิดได้กำหนดจุดสังเกตอันยิ่งใหญ่แห่งแรกของความคิดทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นแนวทางปฏิบัติจริงเกี่ยวกับเรขาคณิต ^[1]เขาเลือกแกนเล็ก ๆ ของคำศัพท์ที่ไม่ได้กำหนดไว้ (เรียกว่าแนวคิดทั่วไป ) และสมมุติฐาน (หรือสัจพจน์ ) ซึ่งเขาใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความทางเรขาคณิตต่างๆ แม้ว่าระนาบในความหมายสมัยใหม่จะไม่ได้ให้คำจำกัดความโดยตรงที่ใดก็ได้ในElementsแต่ก็อาจถือได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของแนวคิดทั่วไป ^{[2] ยู}คลิดไม่เคยใช้ตัวเลขในการวัดความยาว มุม หรือพื้นที่ ด้วยวิธีนี้เครื่องบินแบบยุคลิดจึงไม่เหมือนกับระนาบคาร์ทีเซียน

ระนาบคู่ขนานสามระนาบ

เครื่องบินเป็นพื้นผิวปกครอง

ส่วนนี้เกี่ยวข้องกับระนาบที่ฝังอยู่ในสามมิติเท่านั้น: โดยเฉพาะในR ³ .

การกำหนดโดยจุดและเส้นที่มีอยู่

ในปริภูมิแบบยุคลิดที่มีขนาดเท่าใดก็ได้ ระนาบถูกกำหนดโดยสิ่งต่อไปนี้โดยเฉพาะ:

• สามจุดที่ไม่ใช่แนวร่วม (จุดที่ไม่ได้อยู่ในบรรทัดเดียว)
• เส้นและจุดไม่อยู่บนเส้นนั้น
• เส้นสองเส้นที่แยกจากกันแต่ตัดกัน
• เส้นตรงสองเส้นแต่ขนานกัน

คุณสมบัติ

ข้อความต่อไปนี้มีอยู่ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติแต่ไม่ได้อยู่ในมิติที่สูงกว่า แม้ว่าจะมีแอนะล็อกที่มีมิติสูงกว่า:

• เครื่องบินสองลำที่แตกต่างกันมีทั้งแบบคู่ขนานหรือพวกเขาจะตัดกันที่บรรทัด
• เส้นขนานกับระนาบ ตัดกันที่จุดเดียว หรือมีอยู่ในระนาบ
• เส้นที่แตกต่างกันสองเส้นตั้งฉากกับระนาบเดียวกันต้องขนานกัน
• ระนาบที่แตกต่างกันสองระนาบตั้งฉากกับเส้นเดียวกันต้องขนานกัน

จุด-รูปแบบปกติและรูปแบบทั่วไปของสมการระนาบ

ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีการอธิบายเส้นในปริภูมิสองมิติโดยใช้รูปแบบจุด-ความชันสำหรับสมการ ระนาบในปริภูมิสามมิติมีคำอธิบายที่เป็นธรรมชาติโดยใช้จุดในระนาบและเวกเตอร์ตั้งฉากกับมัน ( เวกเตอร์ปกติ ) เพื่อระบุ "ความเอียง"

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ให้r ₀เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของบางจุดP ₀ = ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )และให้n = ( a , b , c )เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เครื่องบินที่กำหนดโดยจุดP ₀และเวกเตอร์nประกอบด้วยผู้ที่จุดPกับเวกเตอร์ตำแหน่งRเช่นว่าเวกเตอร์มาจากP ₀เพื่อPจะตั้งฉากกับn จำได้ว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากก็ต่อเมื่อดอทโปรดัคของพวกมันเป็นศูนย์ ก็จะตามมาว่าระนาบที่ต้องการสามารถอธิบายเป็นเซตของจุดทั้งหมดr ได้ดังนั้น

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.}$

จุดที่นี่หมายถึงจุด (เกลา) ผลิตภัณฑ์
ขยายนี้กลายเป็น

${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$

ซึ่งเป็นรูปแบบจุด-ปกติของสมการระนาบ ^[3]นี่เป็นเพียงสมการเชิงเส้น

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

ที่ไหน

${\displaystyle d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0})}$,

ซึ่งเป็นรูปขยายของ ${\displaystyle -{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.}$

ในวิชาคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติในการแสดงค่าปกติเป็นเวกเตอร์หน่วยแต่อาร์กิวเมนต์ข้างต้นถือเป็นเวกเตอร์ปกติที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์

ในทางกลับกัน จะแสดงให้เห็นได้ง่าย ๆ ว่าถ้าa , b , cและdเป็นค่าคงที่ และa , bและcไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด แสดงว่ากราฟของสมการนั้น

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

เป็นระนาบที่มีเวกเตอร์n = ( a , b , c )เป็นปกติ ^[4]สมการที่คุ้นเคยสำหรับระนาบนี้เรียกว่ารูปแบบทั่วไปของสมการระนาบ ^[5]

ตัวอย่างเช่นสมการถดถอยของรูปแบบy = d + ax + cz (ด้วยb = −1 ) กำหนดระนาบที่พอดีที่สุดในพื้นที่สามมิติเมื่อมีตัวแปรอธิบายสองตัว

อธิบายระนาบที่มีจุดและเวกเตอร์สองตัวนอนอยู่บนนั้น

อีกทางหนึ่ง ระนาบอาจอธิบายแบบพาราเมตริกเป็นเซตของจุดทั้งหมดของแบบฟอร์ม

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},}$

คำอธิบายเวกเตอร์ของเครื่องบิน

โดยที่ช่วงsและtเหนือจำนวนจริงทั้งหมดvและwจะได้รับเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นที่ กำหนดระนาบ และr ₀คือเวกเตอร์ที่แทนตำแหน่งของจุดใดๆ (แต่คงที่) บนระนาบ เวกเตอร์vและwสามารถแสดงเป็นภาพเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่r ₀และชี้ไปในทิศทางต่างๆ ตามระนาบ เวกเตอร์vและwสามารถตั้งฉากได้ แต่ไม่สามารถขนานกันได้

อธิบายระนาบผ่านสามจุด

ให้p ₁ =(x ₁ , y ₁ , z ₁ ) , p ₂ =(x ₂ , y ₂ , z ₂ )และp ₃ =(x ₃ , y ₃ , z ₃ )เป็นจุดที่ไม่ใช่แนวร่วม

วิธีที่ 1

ระนาบที่ผ่านp ₁ , p ₂ , และp ₃สามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมด (x,y,z) ที่เป็นไปตามสมการดีเทอร์มิแนนต์ต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2 }-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x- x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3} &z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.}$

วิธีที่ 2

เพื่ออธิบายระนาบด้วยสมการของรูปแบบ ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$แก้ระบบสมการต่อไปนี้:

${\displaystyle \,ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0}$

${\displaystyle \,ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0}$

${\displaystyle \,ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.}$

ระบบนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎของแครมเมอร์และการปรับเมทริกซ์พื้นฐาน ปล่อย

${\displaystyle D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3 }\end{vmatrix}}}$.

ถ้าDไม่ใช่ศูนย์ (ดังนั้นสำหรับระนาบที่ไม่ผ่านจุดกำเนิด) ค่าสำหรับa , bและcสามารถคำนวณได้ดังนี้:

${\displaystyle a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3} \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3} \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{ 3}&1\end{vmatrix}}.}$

สมการเหล่านี้เป็นตัวแปรในd การตั้งค่าdเท่ากับจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์และแทนที่ลงในสมการเหล่านี้จะได้ชุดคำตอบหนึ่งชุด

วิธีที่ 3

ระนาบนี้ยังสามารถอธิบายได้ด้วยใบสั่งยา" จุดและเวกเตอร์ปกติ " ด้านบน เวกเตอร์ปกติที่เหมาะสมถูกกำหนดโดยผลคูณไขว้ cross

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3} -{\boldsymbol {p}}_{1}),}$

และจุดr ₀สามารถนำมาเป็นจุดที่กำหนดp ₁ , p ₂หรือp ₃ ^[6] (หรือจุดอื่นใดในระนาบ)

ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเครื่องบิน

สำหรับเครื่องบิน ${\displaystyle \Pi :ax+by+cz+d=0}$ และจุด ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})}$ ไม่จำเป็นต้องนอนบนเครื่องบิน ระยะทางที่สั้นที่สุดจาก ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{1}}$ ขึ้นเครื่องบินคือ

${\displaystyle D={\frac {\left|ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^ {2}}}}.}$

เป็นไปตามนั้น ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{1}}$อยู่ในระนาบก็ต่อเมื่อ D=0เท่านั้น

ถ้า ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1}$หมายความว่าa , bและcถูกทำให้เป็นมาตรฐาน^[7]จากนั้นสมการจะกลายเป็น

${\displaystyle D=\ |ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d|.}$

รูปแบบเวกเตอร์อีกสมการของเครื่องบินที่เรียกว่ารูปแบบปกติเฮสส์อาศัยอยู่กับพารามิเตอร์D แบบฟอร์มนี้คือ: ^[5]

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}-D_{0}=0,}$

ที่ไหน ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$เวกเตอร์ตำแหน่งของจุดระนาบและD ₀ระยะห่างของระนาบจากจุดกำเนิด

สูตรทั่วไปสำหรับมิติที่สูงขึ้นสามารถมาถึงได้อย่างรวดเร็วโดยใช้สัญกรณ์เวกเตอร์ ให้ไฮเปอร์เพลนมีสมการ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0}$, ที่ไหน ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$เป็นเวกเตอร์ปกติและ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{10},x_{20},\dots ,x_{N0})}$เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งไปยังจุดในส่วนไฮเปอร์เพล เราต้องการระยะตั้งฉากกับจุด${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}=(x_{11},x_{21},\dots ,x_{N1})}$. ไฮเปอร์เพลนก็อาจจะเป็นตัวแทนจากสมการเกลา${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{N}a_{i}x_{i}=-a_{0}}$, สำหรับค่าคงที่ ${\displaystyle \{a_{i}\}}$. ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$ อาจแสดงเป็น ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{N})}$. เราต้องการเส้นโครงสเกลาร์ของเวกเตอร์${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0}}$ ในทิศทางของ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$. สังเกตว่า${\displaystyle {\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}={\boldsymbol {r}}_{0}\cdot {\boldsymbol {n}}=-a_{0} }$ (เช่น ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}}$เป็นไปตามสมการของไฮเปอร์เพลน ) ที่เรามี

${\displaystyle {\begin{aligned}D&={\frac {|({\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{0})\cdot {\boldsymbol {n}} |}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|{\boldsymbol {r}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {r} }_{0}\cdot {\boldsymbol {n}}|}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|{\boldsymbol {r}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}+a_{0}|}{|{\boldsymbol {n}}|}}\\&={\frac {|a_{1}x_{11}+a_{2}x_{ 21}+\dots +a_{N}x_{N1}+a_{0}|}{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\dots +a_{N} ^{2}}}}\end{aligned}}}$.

แยกเส้น-ระนาบ

ในเรขาคณิตวิเคราะห์จุดตัดของที่เส้นและเครื่องบินในพื้นที่สามมิติสามารถเป็นเซตว่างเป็นจุดหรือเส้น

เส้นตัดระหว่างระนาบสองลำ

ระนาบตัดกันสองระนาบในอวกาศสามมิติ

เส้นตัดระหว่างระนาบสองลำ ${\displaystyle \Pi _{1}:{\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{1}}$ และ ${\displaystyle \Pi _{2}:{\boldsymbol {n}}_{2}\cdot {\boldsymbol {r}}=h_{2}}$ ที่ไหน ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{i}}$ จะถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดย

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2})+\lambda ({\ สัญลักษณ์ตัวหนา {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2})}$

ที่ไหน

${\displaystyle c_{1}={\frac {h_{1}-h_{2}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1 -({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle c_{2}={\frac {h_{2}-h_{1}({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})}{1 -({\boldsymbol {n}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2})^{2}}}.}$

พบได้โดยสังเกตว่าเส้นจะต้องตั้งฉากกับเส้นปกติทั้งสองของระนาบและขนานกับผลคูณของเส้นนั้น ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}_{2}}$ (ผลคูณนี้เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อระนาบขนานกัน ดังนั้นจึงไม่ตัดกันหรือเกิดขึ้นพร้อมกันทั้งหมด)

ส่วนที่เหลือของนิพจน์มาถึงโดยการหาจุดใดก็ได้บนเส้น ในการทำเช่นนั้น ให้พิจารณาว่าจุดใดๆ ในช่องว่างอาจเขียนเป็น${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=c_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+c_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}+\lambda ({\boldsymbol { n}}_{1}\ครั้ง {\boldsymbol {n}}_{2})}$, ตั้งแต่ ${\displaystyle \{{\boldsymbol {n}}_{1},{\boldsymbol {n}}_{2},({\boldsymbol {n}}_{1}\times {\boldsymbol {n}} _{2})\}}$เป็นพื้นฐาน เราต้องการหาจุดที่อยู่บนระนาบทั้งสอง (เช่นบนทางแยกของพวกมัน) ดังนั้นให้ใส่สมการนี้ลงในสมการแต่ละระนาบของระนาบเพื่อให้ได้สมการสองสมการที่แก้ได้พร้อมกัน${\displaystyle c_{1}}$ และ ${\displaystyle c_{2}}$.

หากเราสมมติต่อไปว่า ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}}$ และ ${\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{2}}$เป็นออร์โธนอร์มอลแล้วจุดที่ใกล้ที่สุดบนเส้นตัดกับจุดกำเนิดคือ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=h_{1}{\boldsymbol {n}}_{1}+h_{2}{\boldsymbol {n}}_{2}}$. หากไม่เป็นเช่นนั้น จะต้องใช้ขั้นตอนที่ซับซ้อนกว่านี้ ^[8]

มุมไดฮีดรัล

ให้ระนาบตัดกันสองระนาบที่อธิบายโดย ${\displaystyle \Pi _{1}:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_{1}=0}$ และ ${\displaystyle \Pi _{2}:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_{2}=0}$ที่มุมไดฮีดรัระหว่างพวกเขาถูกกำหนดให้เป็นมุม${\displaystyle \alpha }$ ระหว่างทิศทางปกติ:

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\hat {n}}_{1}\cdot {\hat {n}}_{2}}{|{\hat {n}}_{1} ||{\hat {n}}_{2}|}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{{ \sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}}{\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{ 2}+c_{2}^{2}}}}}.}$

นอกเหนือไปจากที่คุ้นเคยของเรขาคณิตโครงสร้างกับisomorphismsที่มีisometriesเกี่ยวกับสินค้าภายในปกติเครื่องบินอาจจะดูที่ระดับอื่น ๆ ของสิ่งที่เป็นนามธรรม แต่ละระดับของนามธรรมสอดคล้องกับการที่เฉพาะเจาะจงหมวดหมู่

ที่สุดขั้วหนึ่งแนวความคิดเชิงเรขาคณิตและเมตริกทั้งหมดอาจถูกละทิ้งเพื่อออกจากระนาบทอพอโลยีซึ่งอาจถือได้ว่าเป็นแผ่นยางอนันต์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดในอุดมคติแบบhomotopicallyซึ่งยังคงมีแนวคิดเรื่องความใกล้ชิด แต่ไม่มีระยะทาง ระนาบทอพอโลยีมีแนวคิดเกี่ยวกับเส้นทางเชิงเส้น แต่ไม่มีแนวคิดของเส้นตรง เครื่องบินทอพอโลยีหรือเทียบเท่าเปิดแผ่นดิสก์ของมันคือย่านทอพอโลยีขั้นพื้นฐานที่ใช้ในการสร้างพื้นผิว (หรือ 2 แมนิโฟล) จัดให้อยู่ในโครงสร้างต่ำมิติ Isomorphisms ของเครื่องบินทอพอโลยีทุกคนอย่างต่อเนื่อง bijections เครื่องบินทอพอโลยีเป็นบริบทธรรมชาติสำหรับสาขาของทฤษฎีกราฟที่เกี่ยวข้องกับกราฟเชิงระนาบและผลเช่นทฤษฎีบทสี่สี

เครื่องบินอาจถูกมองว่าเป็นพื้นที่ที่สัมพันธ์กัน ซึ่ง isomorphisms เป็นการรวมกันของการแปลและแผนที่เชิงเส้นที่ไม่ใช่เอกพจน์ จากมุมมองนี้มีระยะทางไม่ แต่collinearityและอัตราส่วนของระยะทางบนเส้นใด ๆ จะถูกเก็บไว้

เรขาคณิตต่างมุมมองเครื่องบินเป็นจริง 2 มิตินานาเครื่องบินทอพอโลยีที่มีให้กับโครงสร้างค่า ในกรณีนี้ จะไม่มีแนวคิดเรื่องระยะทาง แต่ตอนนี้มีแนวคิดเรื่องความเรียบของแผนที่แล้ว เช่นเส้นทางที่มีความแตกต่างหรือราบรื่น (ขึ้นอยู่กับประเภทของโครงสร้างส่วนต่างที่ใช้) isomorphisms ในกรณีนี้คือ bijections ที่มีระดับความแตกต่างที่เลือกได้

ในทิศทางที่ตรงข้ามของนามธรรมที่เราอาจนำมาใช้เป็นโครงสร้างข้อมูลที่เข้ากันได้กับระนาบเรขาคณิตให้สูงขึ้นเพื่อซับซ้อนเครื่องบินและพื้นที่สำคัญของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน สนามที่ซับซ้อนมีเพียงสอง isomorphisms ที่ออกจากสายจริงคงเอกลักษณ์และผัน

เช่นเดียวกับในกรณีจริง ระนาบอาจถูกมองว่าเป็นท่อร่วมเชิงซ้อนที่มีมิติเดียว (เหนือจำนวนเชิงซ้อน) ที่ง่ายที่สุดซึ่งบางครั้งเรียกว่าเส้นเชิงซ้อน อย่างไรก็ตาม มุมมองนี้แตกต่างอย่างมากกับกรณีของเครื่องบินเป็นท่อร่วม 2 มิติจริง ค่า isomorphisms เป็นการbijections ที่เป็นไปตามรูปแบบของระนาบเชิงซ้อน แต่ความเป็นไปได้เพียงอย่างเดียวคือแผนที่ที่สอดคล้องกับองค์ประกอบของการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนและการแปล

นอกจากนี้ เรขาคณิตแบบยุคลิด (ซึ่งมีความโค้งเป็นศูนย์ในทุกๆ ที่) ไม่ใช่รูปทรงเรขาคณิตเพียงอย่างเดียวที่เครื่องบินอาจมี เครื่องบินอาจได้รับเรขาคณิตทรงกลมโดยใช้การฉาย stereographic สิ่งนี้สามารถคิดได้ว่าเป็นการวางทรงกลมบนระนาบ (เหมือนกับลูกบอลบนพื้น) ถอดจุดบนสุดออก และฉายทรงกลมลงบนระนาบจากจุดนี้) นี่เป็นหนึ่งในการคาดคะเนที่อาจใช้ในการสร้างแผนที่แบนของส่วนหนึ่งของพื้นผิวโลก รูปทรงที่ได้จะมีความโค้งเป็นบวกคงที่

อีกทางเลือกหนึ่งของเครื่องบินนอกจากนี้ยังสามารถกำหนดตัวชี้วัดซึ่งจะทำให้มันโค้งเชิงลบคงให้เป็นระนาบการผ่อนชำระ ความเป็นไปได้ประการหลังพบการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในกรณีแบบง่ายซึ่งมีมิติเชิงพื้นที่สองมิติและมิติเวลาเดียว (เครื่องบินผ่อนชำระเป็นtimelike hypersurfaceในสามมิติคอฟสกีพื้นที่ .)

การบดอัดแบบจุดเดียวของเครื่องบินเป็นแบบโฮโมมอร์ฟิคถึงทรงกลม (ดู การฉายภาพสามมิติ ); ดิสก์ที่เปิดอยู่นั้นเป็นโฮโมมอร์ฟิคถึงทรงกลมโดยที่ "ขั้วโลกเหนือ" หายไป การเพิ่มจุดนั้นจะทำให้ทรงกลม (กะทัดรัด) สมบูรณ์ ผลจากการ compactification นี้คือนานาเรียกว่าทรงกลม Riemannหรือซับซ้อน projective แถว ประมาณการจากเครื่องบินแบบยุคลิดเพื่อทรงกลมโดยไม่ต้องจุดเป็นdiffeomorphismและแม้แต่แผนที่มาตราส่วน

เครื่องบินที่ตัวเองเป็นมอร์ฟิค (และ diffeomorphic) เพื่อเปิดดิสก์ สำหรับระนาบไฮเปอร์โบลิก ดิฟเฟโอมอร์ฟิซึมดังกล่าวเป็นไปตามรูปแบบ แต่สำหรับระนาบแบบยุคลิดกลับไม่เป็นเช่นนั้น

• Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-271-58742-7
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry , I , บอสตัน: Allyn and Bacon, Inc.

• "เครื่องบิน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "เครื่องบิน" . คณิตศาสตร์โลก.
• "การบรรเทาความยากของเลขคณิตและเรขาคณิตระนาบ"เป็นต้นฉบับภาษาอาหรับจากศตวรรษที่ 15 ซึ่งทำหน้าที่เป็นบทช่วยสอนเกี่ยวกับเรขาคณิตระนาบและเลขคณิต