สมการ

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา
การใช้ครั้งแรกของเครื่องหมายเท่ากับเท่ากับ 14 x + 15 = 71 ในสัญกรณ์สมัยใหม่ จากThe Whetstone of WitteโดยRobert Recorde of Wales (1557) [1]

ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นสมการเป็นคำสั่งที่อ้างเป็นความเท่าเทียมกันของทั้งสองแสดงออกซึ่งมีการเชื่อมต่อโดยเท่ากับ "=" [2] [3] [4]คำว่าสมการและความรู้ความเข้าใจในภาษาอื่น ๆ อาจมีความหมายที่แตกต่างกันเล็กน้อย ตัวอย่างเช่นในฝรั่งเศสสมถูกกำหนดให้เป็นที่มีหนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งตัวแปรในขณะที่ในภาษาอังกฤษความเสมอภาคใด ๆ ที่เป็นสมการ[5]

การแก้สมการที่มีตัวแปรประกอบด้วยการกำหนดว่าค่าใดของตัวแปรที่ทำให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ตัวแปรที่ต้องแก้ไขสมการนั้นเรียกอีกอย่างว่า Unknownsและค่าของสิ่งที่ไม่รู้จักที่ตอบสนองความเท่าเทียมกันเรียกว่าการแก้ปัญหาของสมการ สมการมีสองชนิด:อัตลักษณ์และสมการเงื่อนไข เอกลักษณ์เป็นจริงสำหรับค่าทั้งหมดของตัวแปร สมการเงื่อนไขเป็นจริงสำหรับค่าเฉพาะของตัวแปรเท่านั้น [6] [7]

สมการเขียนเป็นสองนิพจน์เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมายเท่ากับ ("=") [3]นิพจน์ทั้งสองด้านของเครื่องหมายเท่ากับเรียกว่า "ด้านซ้ายมือ" และ "ด้านขวามือ" ของสมการ บ่อยครั้งที่ด้านขวามือของสมการถือว่าเป็นศูนย์ สมมติว่าสิ่งนี้ไม่ได้ลดความทั่วไปเนื่องจากสามารถรับรู้ได้โดยการลบด้านขวามือออกจากทั้งสองด้าน

ชนิดที่พบมากที่สุดของสมการเป็นสมการพหุนาม (ปกติจะเรียกว่าสมการพีชคณิต ) ซึ่งทั้งสองฝ่ายมีหลายชื่อ ด้านข้างของสมการพหุนามมีคำศัพท์ตั้งแต่หนึ่งคำขึ้นไป ตัวอย่างเช่นสมการ

มีด้านซ้ายมือซึ่งมีสี่เทอมและด้านขวามือประกอบด้วยเพียงหนึ่งเทอม ชื่อของตัวแปรบอกว่าxและyเป็นสิ่งที่ไม่รู้จักและ A , BและCเป็นพารามิเตอร์แต่โดยปกติจะถูกกำหนดโดยบริบท (ในบางบริบทyอาจเป็นพารามิเตอร์หรือA , BและCอาจเป็นตัวแปรธรรมดา)

สมการเปรียบได้กับมาตราส่วนที่วางตุ้มน้ำหนัก เมื่อนำสิ่งของที่มีน้ำหนักเท่ากัน (เช่นเมล็ดพืช) ใส่ลงในกระทะทั้งสองน้ำหนักทั้งสองจะทำให้เครื่องชั่งมีความสมดุลและกล่าวว่ามีค่าเท่ากัน หากปริมาณเมล็ดข้าวถูกนำออกจากถาดเครื่องชั่งหนึ่งถาดจะต้องนำเมล็ดข้าวออกจากถาดอีกใบในปริมาณที่เท่ากันเพื่อให้เครื่องชั่งมีความสมดุล โดยทั่วไปแล้วสมการจะยังคงสมดุลหากมีการดำเนินการเดียวกันกับทั้งสองด้าน

ในรูปทรงเรขาคณิต Cartesianสมการที่ใช้เพื่ออธิบายรูปทรงเรขาคณิตเนื่องจากสมการที่ได้รับการพิจารณาเช่นสมการนัยหรือสมการพาราเมตริกมีวิธีแก้ปัญหามากมายไม่สิ้นสุดวัตถุประสงค์จึงแตกต่างกัน: แทนที่จะให้คำตอบอย่างชัดเจนหรือนับจำนวนซึ่งเป็นไปไม่ได้เราจึงใช้สมการเพื่อศึกษาคุณสมบัติของตัวเลข นี่คือแนวคิดเริ่มต้นของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นส่วนสำคัญของคณิตศาสตร์

พีชคณิตศึกษาทั้งสองครอบครัวหลักของสมการ: สมการพหุนามและในหมู่พวกเขากรณีพิเศษของสมการเชิงเส้นเมื่อมีเพียงตัวแปรหนึ่งสมการพหุนามมีรูปแบบP ( x ) = 0 ที่Pเป็นพหุนามและสมการเชิงเส้นมีรูปแบบขวาน  +  B  = 0 ที่และเป็นพารามิเตอร์การแก้สมการทั้งจากครอบครัวหนึ่งใช้เทคนิคขั้นตอนวิธีการหรือรูปทรงเรขาคณิตที่มาจากพีชคณิตเชิงเส้นหรือการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์พีชคณิตยังศึกษาสม Diophantineที่ค่าสัมประสิทธิ์และการแก้ปัญหาเป็นจำนวนเต็ม เทคนิคที่ใช้จะแตกต่างกันและมาจากทฤษฎีจำนวน สมการเหล่านี้เป็นเรื่องยากโดยทั่วไป มักจะค้นหาเพียงเพื่อค้นหาการมีอยู่หรือไม่มีทางออกและหากมีอยู่ให้นับจำนวนโซลูชัน

สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันและอนุพันธ์อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชัน พวกเขาจะได้รับการแก้ไขโดยการหาการแสดงออกสำหรับฟังก์ชั่นที่ไม่เกี่ยวข้องกับการซื้อขายสัญญาซื้อขายล่วงหน้า สมการเชิงอนุพันธ์ใช้เพื่อสร้างแบบจำลองกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรและใช้ในสาขาต่างๆเช่นฟิสิกส์เคมีชีววิทยาและเศรษฐศาสตร์

"การ=สัญลักษณ์" ซึ่งจะปรากฏในทุกสมการเป็นผู้คิดค้นใน 1557 โดยโรเบิร์ต Recordeใครจะคิดอะไรที่อาจจะเท่ากับมากกว่าเส้นตรงขนานที่มีความยาวเดียวกัน [1]

บทนำ[ แก้ไข]

ภาพประกอบที่คล้ายคลึงกัน[ แก้ไข]

ภาพประกอบของสมการอย่างง่าย x , y , zเป็นจำนวนจริง, คล้ายกับน้ำหนัก

สมเป็นคล้ายกับที่ชั่งน้ำหนักสมดุลหรือแกว่งไปแกว่งมา

แต่ละด้านของสมการสอดคล้องกับด้านใดด้านหนึ่งของสมดุล สามารถวางปริมาณที่แตกต่างกันได้ในแต่ละด้าน: ถ้าน้ำหนักทั้งสองด้านเท่ากันการชั่งน้ำหนักและในการเปรียบเทียบความเท่าเทียมกันที่แสดงถึงความสมดุลก็จะสมดุลเช่นกัน (ถ้าไม่เช่นนั้นการขาดความสมดุลจะสอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันที่แสดง โดยอสมการ )

ในภาพประกอบx , yและzเป็นปริมาณที่แตกต่างกันทั้งหมด (ในกรณีนี้คือจำนวนจริง ) ที่แสดงเป็นน้ำหนักวงกลมและx , yและzแต่ละตัวมีน้ำหนักต่างกัน การบวกสอดคล้องกับการเพิ่มน้ำหนักในขณะที่การลบสอดคล้องกับการลบน้ำหนักออกจากสิ่งที่มีอยู่แล้ว เมื่อมีความเท่าเทียมกันน้ำหนักรวมในแต่ละด้านจะเท่ากัน

พารามิเตอร์และสิ่งที่ไม่รู้จัก[ แก้ไข]

สมการมักจะมีคำศัพท์อื่น ๆ นอกเหนือจากที่ไม่รู้จัก เหล่านี้เงื่อนไขอื่น ๆ ซึ่งจะถือว่าเป็นที่รู้จักกันมักจะเรียกว่าค่าคงที่ , ค่าสัมประสิทธิ์หรือพารามิเตอร์

ตัวอย่างของสมการที่เกี่ยวข้องกับxและyที่ไม่ทราบค่าและพารามิเตอร์Rคือ

เมื่อRถูกเลือกให้มีค่าเป็น 2 ( R = 2) สมการนี้จะได้รับการยอมรับในพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นสมการสำหรับวงกลมรัศมี 2 รอบจุดกำเนิด ดังนั้นสมการที่ไม่ระบุRจึงเป็นสมการทั่วไปของวงกลม

โดยปกติค่าที่ไม่รู้จักจะแสดงด้วยตัวอักษรที่อยู่ท้ายตัวอักษรx , y , z , w , ... , [2]ในขณะที่ค่าสัมประสิทธิ์ (พารามิเตอร์) จะแสดงด้วยตัวอักษรที่จุดเริ่มต้นa , b , c , d , ... . ตัวอย่างเช่นสมการกำลังสองทั่วไปมักเขียนเป็นขวาน2  +  bx  +  c  = 0

กระบวนการในการหาโซลูชั่นหรือในกรณีของพารามิเตอร์แสดงราชวงศ์ในแง่ของพารามิเตอร์ที่เรียกว่าการแก้สมการ การแสดงออกดังกล่าวของการแก้ปัญหาในแง่ของพารามิเตอร์ที่จะเรียกว่าการแก้ปัญหา

ระบบสมการคือชุดของสมการพร้อมกันมักจะอยู่ในหลายราชวงศ์ซึ่งแก้ปัญหาร่วมกันจะขอ ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาของระบบคือชุดของค่าสำหรับแต่ละสิ่งที่ไม่รู้จักซึ่งรวมกันเป็นคำตอบสำหรับแต่ละสมการในระบบ ตัวอย่างเช่นระบบ

มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะx  = −1, y  = 1

อัตลักษณ์[ แก้ไข]

ตัวตนเป็นสมการที่เป็นจริงสำหรับค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปร (s) มันมี อัตลักษณ์หลายอย่างเป็นที่รู้จักในพีชคณิตและแคลคูลัส ในกระบวนการแก้สมการมักใช้เอกลักษณ์เพื่อทำให้สมการง่ายขึ้นทำให้สามารถแก้ไขได้ง่ายขึ้น

ในพีชคณิตตัวอย่างของเอกลักษณ์คือความแตกต่างของสองกำลังสอง :

ซึ่งเป็นจริงสำหรับxและyทั้งหมด

ตรีโกณมิติเป็นพื้นที่ที่มีตัวตนมากมาย เหล่านี้มีประโยชน์ในการจัดการหรือการแก้สมการตรีโกณมิติ สองในจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ได้แก่ :

และ

ซึ่งมีทั้งที่เป็นจริงสำหรับทุกค่าของθ

ตัวอย่างเช่นในการแก้ค่าของθที่ตรงตามสมการ:

โดยที่θจำกัด อยู่ระหว่าง 0 ถึง 45 องศาอาจใช้ข้อมูลประจำตัวข้างต้นสำหรับผลิตภัณฑ์เพื่อให้:

ให้วิธีแก้ปัญหาต่อไปนี้สำหรับθ:

เนื่องจากฟังก์ชั่นไซน์เป็นฟังก์ชั่นเป็นระยะ ๆมีโซลูชั่นหลายอย่างมากมายหากมีไม่มีข้อ จำกัด ในθ ในตัวอย่างนี้การ จำกัดθให้อยู่ระหว่าง 0 ถึง 45 องศาจะ จำกัด การแก้ปัญหาให้มีเพียงตัวเลขเดียว

คุณสมบัติ[ แก้ไข]

สมการสองสมการหรือระบบสมการสองระบบจะเทียบเท่ากันถ้ามีชุดคำตอบเดียวกัน การดำเนินการต่อไปนี้จะเปลี่ยนสมการหรือระบบสมการให้เป็นสมการที่เท่ากันโดยมีเงื่อนไขว่าการดำเนินการมีความหมายสำหรับนิพจน์ที่ใช้กับ:

  • การเพิ่มหรือลบปริมาณเดียวกันทั้งสองด้านของสมการ นี่แสดงให้เห็นว่าทุกสมการเทียบเท่ากับสมการที่ด้านขวามือเป็นศูนย์
  • การคูณหรือหารทั้งสองข้างของสมการด้วยปริมาณที่ไม่ใช่ศูนย์
  • การใช้เอกลักษณ์เพื่อแปลงด้านหนึ่งของสมการ ยกตัวอย่างเช่นการขยายตัวของผลิตภัณฑ์หรือแฟผลรวม
  • สำหรับระบบ: เพิ่มทั้งสองด้านของสมการด้านที่สอดคล้องกันของสมการอื่นคูณด้วยปริมาณที่เท่ากัน

หากบางส่วนฟังก์ชั่นถูกนำไปใช้ทั้งสองข้างของสมการสมการส่งผลให้มีการแก้ปัญหาของสมการเริ่มต้นในหมู่โซลูชั่น แต่อาจจะมีการแก้ปัญหาต่อไปเรียกว่าการแก้ปัญหาภายนอก ตัวอย่างเช่นสมการมีคำตอบโดยยกทั้งสองข้างเป็นเลขชี้กำลังเป็น 2 (ซึ่งหมายถึงการใช้ฟังก์ชันกับทั้งสองด้านของสมการ) จะเปลี่ยนสมการซึ่งไม่เพียง แต่มีคำตอบก่อนหน้าเท่านั้น แต่ยังแนะนำวิธีการแก้ปัญหาภายนอกด้วยยิ่งไปกว่านั้น หากไม่ได้กำหนดฟังก์ชันไว้ที่ค่าบางค่า (เช่น 1 / xซึ่งไม่ได้กำหนดไว้สำหรับx= 0) โซลูชันที่มีอยู่ในค่าเหล่านั้นอาจสูญหายไป ดังนั้นจึงต้องใช้ความระมัดระวังเมื่อใช้การแปลงดังกล่าวกับสมการ

การแปลงข้างต้นเป็นพื้นฐานของวิธีการพื้นฐานส่วนใหญ่สำหรับการแก้สมการเช่นเดียวกับวิธีการพื้นฐานที่น้อยกว่าเช่นการกำจัดแบบเสียน

พีชคณิต[ แก้ไข]

สมการพหุนาม[ แก้ไข]

คำตอบ –1 และ 2 ของสมการพหุนาม x 2 - x + 2 = 0คือจุดที่กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y = x 2 - x + 2ตัดx -axis

โดยทั่วไปสมการพีชคณิตหรือสมการพหุนามคือสมการของรูปแบบ

, หรือ
[a]

ที่PและQเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในบางฟิลด์ (เช่นสรุปตัวเลข , ตัวเลขจริง , ตัวเลขที่ซับซ้อน ) สมการพีชคณิตเป็นunivariateถ้าเกี่ยวข้องกับเพียงหนึ่งตัวแปร ในทางกลับกันสมการพหุนามอาจเกี่ยวข้องกับตัวแปรหลายตัวซึ่งในกรณีนี้เรียกว่าหลายตัวแปร (ตัวแปรหลายตัว x, y, z ฯลฯ ) คำสมการพหุนามมักจะเป็นที่ต้องการสมการพีชคณิต

ตัวอย่างเช่น,

เป็นสมการพีชคณิต (พหุนาม) ตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและ

คือสมการพหุนามหลายตัวแปรเหนือจำนวนตรรกยะ

สมการพหุนามบางส่วน (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงเหตุผลมีคำตอบที่เป็นนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตโดยมีการดำเนินการจำนวน จำกัด ที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมประสิทธิ์เหล่านั้นเท่านั้น (กล่าวคือสามารถแก้ไขได้ในเชิงพีชคณิต ) สิ่งนี้สามารถทำได้สำหรับสมการระดับหนึ่งสองสามหรือสี่ แต่สำหรับสมการระดับห้าขึ้นไปมันสามารถแก้ได้สำหรับบางสมการ แต่ตามที่Abel – Ruffiniแสดงให้เห็นไม่ใช่สำหรับทั้งหมด

งานวิจัยจำนวนมากได้รับการอุทิศเพื่อคำนวณการประมาณค่าที่แม่นยำอย่างมีประสิทธิภาพของคำตอบจริงหรือเชิงซ้อนของสมการพีชคณิตเอกภาพ (ดูการหารากของพหุนาม ) และคำตอบทั่วไปของสมการพหุนามหลายตัวแปร (ดูระบบสมการพหุนาม )

ระบบสมการเชิงเส้น[ แก้ไข]

The Nine Chapters on the Mathematical Artเป็นหนังสือภาษาจีนนิรนามที่เสนอวิธีการแก้สมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้น (หรือระบบเชิงเส้น ) เป็นคอลเลกชันของสมการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับชุดเดียวกันของตัวแปร [b]ตัวอย่างเช่น

เป็นระบบสามสมการในสามตัวแปรx , Y , Z การแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นคือการกำหนดตัวเลขให้กับตัวแปรเพื่อให้สมการทั้งหมดเป็นที่พอใจพร้อมกัน วิธีการแก้ปัญหากับระบบดังกล่าวข้างต้นจะได้รับจาก

เนื่องจากมันทำให้ทั้งสามสมการถูกต้อง คำว่า " ระบบ " บ่งชี้ว่าสมการต่างๆจะต้องถูกพิจารณาโดยรวมมากกว่าทีละสมการ

ในคณิตศาสตร์ทฤษฎีระบบเชิงเส้นเป็นพื้นฐานและเป็นส่วนพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งเป็นวิชาที่ใช้ในส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ การคำนวณขั้นตอนวิธีการในการหาโซลูชั่นที่มีส่วนสำคัญในการพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและมีบทบาทที่โดดเด่นในฟิสิกส์ , วิศวกรรม , เคมี , วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และเศรษฐศาสตร์ ระบบสมการไม่เชิงเส้นมักจะสามารถห้วงโดยระบบเชิงเส้น (ดูเชิงเส้น ) ซึ่งเป็นเทคนิคที่เป็นประโยชน์เมื่อการทำแบบจำลองทางคณิตศาสตร์หรือการจำลองคอมพิวเตอร์ของระบบที่ค่อนข้างซับซ้อน

เรขาคณิต[ แก้ไข]

เรขาคณิตวิเคราะห์[ แก้ไข]

ภาคตัดกรวยเป็นจุดตัดของเครื่องบินและกรวยของการปฏิวัติ

ในเรขาคณิตแบบยูคลิดเป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงชุดของพิกัดกับแต่ละจุดในอวกาศตัวอย่างเช่นด้วยเส้นตารางมุมฉาก วิธีนี้ช่วยให้สามารถกำหนดลักษณะของรูปทรงเรขาคณิตตามสมการได้ ระนาบในปริภูมิสามมิติสามารถแสดงเป็นชุดคำตอบของสมการของรูปแบบโดยที่และเป็นจำนวนจริงและเป็นจำนวนที่ไม่รู้จักที่สอดคล้องกับพิกัดของจุดในระบบที่กำหนดโดยกริดมุมฉาก ค่าเป็นพิกัดของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยสมการ เส้นแสดงเป็นจุดตัดของระนาบสองระนาบนั่นคือชุดคำตอบของสมการเชิงเส้นเดี่ยวที่มีค่าเป็นหรือเป็นชุดคำตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มีค่าเป็น

ภาคตัดกรวยเป็นจุดตัดของที่กรวยกับสมการและเครื่องบิน กล่าวอีกนัยหนึ่งในอวกาศรูปกรวยทั้งหมดถูกกำหนดให้เป็นชุดคำตอบของสมการของระนาบและสมการของกรวยที่ให้มา พิธีการนี้ช่วยให้สามารถกำหนดตำแหน่งและคุณสมบัติของจุดสนใจของรูปกรวยได้

การใช้สมการช่วยให้สามารถเรียกใช้คณิตศาสตร์จำนวนมากเพื่อแก้คำถามทางเรขาคณิตได้ Cartesian ประสานงานการแปลงระบบเป็นปัญหาทางเรขาคณิตเป็นปัญหาการวิเคราะห์เมื่อตัวเลขจะกลายเป็นสมการ; จึงชื่อเรขาคณิตวิเคราะห์ มุมมองนี้อธิบายโดยเดส์การ์ตส์เสริมสร้างและปรับเปลี่ยนประเภทของรูปทรงเรขาคณิตที่คิดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ

ปัจจุบันเรขาคณิตวิเคราะห์กำหนดสาขาคณิตศาสตร์ที่ใช้งานอยู่ แม้ว่ามันจะยังคงใช้สมการที่จะอธิบายลักษณะตัวเลขก็ยังใช้เทคนิคที่ซับซ้อนอื่น ๆ เช่นการวิเคราะห์การทำงานและพีชคณิตเชิงเส้น

สมการคาร์ทีเซียน[ แก้ไข]

Cartesian ระบบพิกัดเป็นระบบพิกัดที่ระบุในแต่ละจุดที่ไม่ซ้ำกันในเครื่องบินโดยคู่ของตัวเลข พิกัดซึ่งเป็นลงนามในระยะทางจากจุดที่สองคงตั้งฉากเส้นกำกับที่ถูกทำเครื่องหมายโดยใช้แบบเดียวกันหน่วยของความยาว

หนึ่งสามารถใช้หลักการเดียวกันในการระบุตำแหน่งของจุดใด ๆ ในสามมิติ พื้นที่โดยการใช้สามพิกัดคาร์ทีเซียนซึ่งเป็นระยะทางที่ลงนามไปสามระนาบตั้งฉากซึ่งกันและกัน (หรือที่เท่ากันโดยประมาณการตั้งฉากเข้าสู่สามบรรทัดตั้งฉากซึ่งกันและกัน ).

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่มีวงกลมรัศมี 2 ศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดโดยมีเครื่องหมายสีแดง สมการของวงกลมคือ( x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2โดยที่aและbเป็นพิกัดของศูนย์กลาง( a , b )และrคือรัศมี

การประดิษฐ์ของพิกัดคาร์ทีเซียนในศตวรรษที่ 17 โดยRené Descartes ( Latinizedชื่อ: Cartesius ) ปฏิวัติคณิตศาสตร์โดยการให้การเชื่อมโยงอย่างเป็นระบบครั้งแรกระหว่างรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดและพีชคณิตการใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนรูปทรงเรขาคณิต (เช่นเส้นโค้ง ) สามารถอธิบายได้ด้วยสมการคาร์ทีเซียน : สมการพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับพิกัดของจุดที่อยู่บนรูปร่าง ตัวอย่างเช่นวงกลมของรัศมี 2 ในระนาบซึ่งมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่งที่เรียกว่าจุดกำเนิดอาจอธิบายได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดที่มีพิกัดxและyตรงตามสมการx2 + y 2 = 4 .

สมการพารามิเตอร์[ แก้ไข]

สมการตัวแปรสำหรับโค้งเป็นการแสดงออกถึงพิกัดของจุดของเส้นโค้งเป็นฟังก์ชั่นของการเป็นตัวแปรที่เรียกว่าพารามิเตอร์ [8] [9]ตัวอย่างเช่น

คือสมการพาราเมตริกสำหรับวงกลมหน่วยโดยที่tคือพารามิเตอร์ สมการเหล่านี้เรียกว่าการแสดงเส้นโค้ง แบบพาราเมตริก

ความคิดของสมการตัวแปรได้รับการทั่วไปที่จะพื้นผิว , แมนิโฟลและพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตสูงมิติที่มีจำนวนของพารามิเตอร์เท่ากับขนาดของท่อร่วมหรือความหลากหลายและจำนวนของสมการเท่ากับขนาดของพื้นที่ที่ พิจารณาความหลากหลายหรือความหลากหลาย (สำหรับเส้นโค้งมิติคือหนึ่งและใช้พารามิเตอร์หนึ่งสำหรับพื้นผิวมิติสองและพารามิเตอร์สองตัวเป็นต้น)

ทฤษฎีจำนวน[ แก้ไข]

สมการไดโอแฟนไทน์[ แก้ไข]

สม Diophantineเป็นสมการพหุนามในสองคนหรือมากกว่าไม่ทราบที่เฉพาะจำนวนเต็ม การแก้ปัญหาจะขอ (วิธีการแก้ปัญหาจำนวนเต็มเป็นวิธีการแก้ปัญหาดังกล่าวว่าไม่ทราบทั้งหมดที่ใช้จำนวนเต็มค่า) สมการเชิงเส้น Diophantineเป็นสมการระหว่างสองผลรวมของmonomialsของการศึกษาระดับปริญญาศูนย์หรือหนึ่ง ตัวอย่างของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นคือax + by = cโดยที่a , bและcเป็นค่าคงที่ สม Diophantine ชี้แจง เป็นค่าหนึ่งที่ไม่ทราบเลขชี้กำลังของเงื่อนไขของสมการ

ปัญหาไดโอแฟนไทน์มีสมการน้อยกว่าตัวแปรที่ไม่รู้จักและเกี่ยวข้องกับการหาจำนวนเต็มที่ทำงานได้อย่างถูกต้องสำหรับทุกสมการ ในภาษาทางเทคนิคมากขึ้นพวกเขากำหนดโค้งพีชคณิต , พื้นผิวพีชคณิตหรือวัตถุทั่วไปมากขึ้นและถามเกี่ยวกับจุดขัดแตะกับมัน

คำDiophantineหมายถึงนักคณิตศาสตร์ขนมผสมน้ำยาของศตวรรษที่ 3 Diophantusของอเล็กซานเดที่ทำให้การศึกษาของสมดังกล่าวและเป็นหนึ่งในนักคณิตศาสตร์คนแรกที่จะแนะนำสัญลักษณ์ลงในพีชคณิต การศึกษาทางคณิตศาสตร์ของปัญหา Diophantine ที่ Diophantus ริเริ่มเรียกว่าตอนนี้การวิเคราะห์ Diophantine

เลขพีชคณิตและยอดเยี่ยม[ แก้ไข]

จำนวนเกี่ยวกับพีชคณิตเป็นจำนวนที่มีการแก้ปัญหาของที่ไม่ใช่ศูนย์สมการพหุนามหนึ่งในตัวแปรที่มีเหตุผลสัมประสิทธิ์ (หรือเท่ากัน - โดยหารล้าง - มีจำนวนเต็มสัมประสิทธิ์) ตัวเลขเช่นπที่ไม่ใช่พีชคณิตจะกล่าวได้ว่าเหนือชั้น จำนวน จริงและจำนวนเชิงซ้อนเกือบทั้งหมดเป็นจำนวนที่ยอดเยี่ยม

เรขาคณิตพีชคณิต[ แก้ไข]

พีชคณิตเรขาคณิตเป็นสาขาของคณิตศาสตร์ , คลาสสิกการแก้ปัญหาการศึกษาของสมการพหุนามพีชคณิตเรขาคณิตโมเดิร์นขึ้นอยู่กับเทคนิคนามธรรมมากขึ้นของพีชคณิตนามธรรมโดยเฉพาะอย่างยิ่งพีชคณิตสับเปลี่ยนกับภาษาและปัญหาของรูปทรงเรขาคณิต

วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตพีชคณิตเป็นพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งเป็นอาการทางเรขาคณิตของการแก้ปัญหาของระบบสมการพหุนามตัวอย่างของการเรียนการศึกษามากที่สุดของพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตคือ: เครื่องบิน curves เกี่ยวกับพีชคณิตซึ่งรวมถึงสาย , วงกลม , parabolas , วงรี , hyperbolas , curves ลูกบาศก์เช่นเส้นโค้งรูปไข่และเส้นโค้ง quartic เช่นlemniscatesและวงรี Cassini. จุดของระนาบเป็นของเส้นโค้งพีชคณิตถ้าพิกัดของมันเป็นไปตามสมการพหุนามที่กำหนด คำถามพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาของจุดที่น่าสนใจเป็นพิเศษเช่นที่จุดเอกพจน์ที่จุดโรคติดเชื้อและจุดที่อินฟินิตี้ คำถามขั้นสูงเพิ่มเติมเกี่ยวข้องกับโทโพโลยีของเส้นโค้งและความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการที่แตกต่างกัน

สมการเชิงอนุพันธ์[ แก้ไข]

ตัวดึงดูดแปลก ๆซึ่งเกิดขึ้นเมื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์

สมการเชิงอนุพันธ์เป็นคณิตศาสตร์สมการที่เกี่ยวข้องบางฟังก์ชั่นที่มีสัญญาซื้อขายล่วงหน้าในแอปพลิเคชันฟังก์ชันมักจะแสดงถึงปริมาณทางกายภาพอนุพันธ์แสดงถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงและสมการจะกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสอง เพราะความสัมพันธ์ดังกล่าวจะพบมากสมการเชิงอนุพันธ์มีบทบาทที่โดดเด่นในหลายสาขาวิชารวมทั้งฟิสิกส์ , วิศวกรรม , เศรษฐศาสตร์และชีววิทยา

ในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์สมการเชิงอนุพันธ์จะได้รับการศึกษาจากมุมมองที่แตกต่างกันส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา - ชุดของฟังก์ชันที่ตอบสนองสมการ เฉพาะสมการเชิงอนุพันธ์ที่ง่ายที่สุดเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้ด้วยสูตรที่ชัดเจน อย่างไรก็ตามคุณสมบัติบางประการของการแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดอาจถูกกำหนดโดยไม่พบรูปแบบที่แน่นอน

หากไม่มีสูตรที่มีอยู่ในตัวสำหรับโซลูชันอาจใช้คอมพิวเตอร์ประมาณค่าโดยประมาณ ทฤษฎีของระบบพลวัตให้ความสำคัญกับการวิเคราะห์เชิงคุณภาพของระบบที่อธิบายโดยสมการเชิงอนุพันธ์ในขณะที่วิธีการเชิงตัวเลขจำนวนมากได้รับการพัฒนาเพื่อกำหนดวิธีแก้ปัญหาด้วยระดับความแม่นยำที่กำหนด

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ[ แก้ไข]

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญหรือODEเป็นสมการที่มีฟังก์ชั่นของหนึ่งตัวแปรอิสระและอนุพันธ์ คำว่า " สามัญ " ใช้ในทางตรงกันข้ามกับคำว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งอาจเกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระมากกว่าหนึ่งตัวแปร

สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นซึ่งมีคำตอบที่สามารถเพิ่มและคูณด้วยสัมประสิทธิ์ได้รับการกำหนดและเข้าใจเป็นอย่างดีและจะได้โซลูชันรูปแบบปิดที่แน่นอน ในทางตรงกันข้าม ODE ที่ไม่มีโซลูชันเสริมจะไม่เป็นเชิงเส้นและการแก้ปัญหานั้นซับซ้อนกว่ามากเนื่องจากแทบจะไม่สามารถแสดงโดยฟังก์ชันพื้นฐานในรูปแบบปิดได้ แต่โซลูชันที่แน่นอนและเชิงวิเคราะห์ของ ODE จะอยู่ในอนุกรมหรือรูปแบบอินทิกรัล วิธีการแบบกราฟิกและตัวเลขที่ใช้ด้วยมือหรือด้วยคอมพิวเตอร์อาจเป็นการประมาณโซลูชันของ ODE และอาจให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ซึ่งมักจะเพียงพอในกรณีที่ไม่มีโซลูชันเชิงวิเคราะห์ที่แน่นอน

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย[ แก้ไข]

แตกต่างบางส่วนสมการ ( PDE ) เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีไม่รู้จักฟังก์ชั่นหลายตัวแปรของพวกเขาและอนุพันธ์ (ซึ่งแตกต่างจากสมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาซึ่งจัดการกับฟังก์ชันของตัวแปรเดียวและอนุพันธ์) PDE ใช้เพื่อกำหนดปัญหาที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวและสามารถแก้ไขได้ด้วยมือหรือใช้เพื่อสร้างแบบจำลองคอมพิวเตอร์ที่เกี่ยวข้อง.

โคนสามารถนำมาใช้เพื่ออธิบายความหลากหลายของปรากฏการณ์เช่นเสียง , ความร้อน , ไฟฟ้าสถิต , ไฟฟ้ากระแส , การไหลของของเหลว , ความยืดหยุ่นหรือกลศาสตร์ควอนตัม ปรากฏการณ์ทางกายภาพที่ดูเหมือนจะแตกต่างกันเหล่านี้สามารถทำให้เป็นทางการได้เช่นเดียวกันในแง่ของ PDE เช่นเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญมักจะรูปแบบหนึ่งมิติระบบ dynamicalสมการอนุพันธ์ย่อยมักจะจำลองระบบหลายมิติ โคนพบทั่วไปในสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม

ประเภทของสมการ[ แก้ไข]

สมการสามารถจำแนกได้ตามประเภทของการดำเนินการและปริมาณที่เกี่ยวข้อง ประเภทที่สำคัญ ได้แก่ :

  • สมการพีชคณิตหรือพหุนามสมการเป็นสมการที่ทั้งสองฝ่ายมีหลายชื่อ (ดูระบบการทำงานของสมการพหุนาม ) เหล่านี้จำแนกตามระดับ :
    • สมการเชิงเส้นสำหรับดีกรีหนึ่ง
    • สมการกำลังสองสำหรับดีกรีสอง
    • กำลังสองสมการระดับสาม
    • สมการกำลังสองสำหรับดีกรีสี่
    • สมการที่เป็นแก่นสารระดับห้า
    • สมการ sexticระดับหก
    • สมการบำบัดน้ำเสียระดับเจ็ด
    • สมการเลขแปดสำหรับดีกรีแปด
  • สม Diophantineเป็นสมการที่ไม่ทราบจะต้องเป็นจำนวนเต็ม
  • สมอดิศัยเป็นสมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชั่นยอดเยี่ยมของราชวงศ์ของมัน
  • สมการตัวแปรคือสมการที่แก้ปัญหาสำหรับตัวแปรที่จะแสดงเป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรอื่น ๆ บางอย่างที่เรียกว่าพารามิเตอร์ที่ปรากฏในสมการ
  • สมการทำงานเป็นสมการที่ไม่ทราบที่มีฟังก์ชั่นมากกว่าปริมาณที่เรียบง่าย
  • สมการที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ปริพันธ์และความแตกต่าง จำกัด :
    • สมการเชิงอนุพันธ์เป็นสมการทำงานที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักที่ฟังก์ชั่นและอนุพันธ์จะมีการประเมินที่จุดเดียวกันเช่น สมการเชิงอนุพันธ์แบ่งย่อยออกเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเดียวและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว
    • สมการเป็นสมการทำงานที่เกี่ยวข้องกับการปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเดียวสมการดังกล่าวแตกต่างจากสมการเชิงอนุพันธ์โดยหลักแล้วโดยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรแทนที่ฟังก์ชันด้วยอนุพันธ์อย่างไรก็ตามนี่ไม่ใช่กรณีที่อินทิกรัลถูกยึดไว้บนพื้นผิวเปิด
    • integro- สมค่าเป็นสมการทำงานที่เกี่ยวข้องกับทั้งสัญญาซื้อขายล่วงหน้าและปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จัก สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรเดียวสมการดังกล่าวแตกต่างจากสมการเชิงปริพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์ผ่านการเปลี่ยนแปลงตัวแปรที่คล้ายกัน
    • สมการเชิงอนุพันธ์การทำงานของสมการล่าช้าค่าเป็นฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับสมการอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักการประเมินหลายจุดเช่น
    • สมการความแตกต่างคือสมการที่ไม่รู้จักเป็นหน้าที่ที่เกิดขึ้นในสมการผ่านF ( x ), F ( x -1), ... , F ( x - k ) สำหรับบางจำนวนเต็มทั้งkเรียกว่าการสั่งซื้อของสมการ ถ้าxถูก จำกัด ให้เป็นจำนวนเต็มสมการความแตกต่างจะเหมือนกับความสัมพันธ์การเกิดซ้ำ
    • สุ่มค่าสมการเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่หนึ่งหรือมากกว่าหนึ่งของข้อตกลงเป็นกระบวนการสุ่ม

ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]

  • สูตร
  • ประวัติพีชคณิต
  • สมการไม่แน่นอน
  • รายการสมการ
  • รายชื่อสมการทางวิทยาศาสตร์ที่ตั้งชื่อตามคน
  • เทอม (ตรรกะ)
  • ทฤษฎีสมการ
  • กำลังยกเลิก

หมายเหตุ[ แก้ไข]

  1. ^ เนื่องจากสมการดังกล่าวสามารถเขียนใหม่ได้ P - Q = 0ผู้เขียนหลายคนจึงไม่พิจารณากรณีนี้อย่างชัดเจน
  2. ^ หัวเรื่องของบทความนี้เป็นวิชาพื้นฐานในวิชาคณิตศาสตร์และได้รับการปฏิบัติในหนังสือเรียนจำนวนมาก ในหมู่พวกเขา Lay 2005, Meyer 2001 และ Strang 2005 มีเนื้อหาของบทความนี้

อ้างอิง[ แก้ไข]

  1. ^ a b Recorde โรเบิร์ตThe Whetstone of Witte … (ลอนดอนอังกฤษ: Jhon Kyngstone 1557) หน้าที่สามของบท
  2. ^ "ย่อของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-03-01 . สืบค้นเมื่อ2020-09-01 .
  3. ^ "สม - คณิตศาสตร์เปิดเอกสารอ้างอิง" www.mathopenref.com . สืบค้นเมื่อ2020-09-01 .
  4. ^ "สมการและสูตร" www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-09-01 .
  5. ^ มาร์คัสโซโลมอน; วัตต์ Stephen M. "สมการคืออะไร" . สืบค้นเมื่อ2019-02-27 .
  6. ^ Lachaud, Gilles "Équation, mathématique" . Encyclopædia Universalis (in ฝรั่งเศส).
  7. ^ "คำสั่งของความเท่าเทียมกันระหว่างสองแสดงออก. สมเป็นสองประเภท,อัตลักษณ์และสมการเงื่อนไข (หรือมักจะเพียงแค่ 'สมการ')" « สม  »ในคณิตศาสตร์พจนานุกรม ,เกล็เจมส์ [ de ]และโรเบิร์ตซีเจมส์ [ de ] (Ed.), Van Nostrand 1968 3 เอ็ด ฉบับที่ 1 พ.ศ. 2491 น. 131.
  8. ^ โทมัส, จอร์จบีและฟินนีย์รอสส์ลิตรแคลคูลัสและเรขาคณิตวิเคราะห์ , แอดดิสันเวสลีย์ Publishing Co. , ฉบับที่ห้า 1979 พี 91.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "สมการพาราเมตริก" จาก MathWorld - A Wolfram Web Resource http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

ลิงก์ภายนอก[ แก้ไข]

  • Winplot : พลอตเตอร์วัตถุประสงค์ทั่วไปที่สามารถวาดและเคลื่อนไหวสมการทางคณิตศาสตร์ 2D และ 3D
  • พล็อตเตอร์สมการ : หน้าเว็บสำหรับสร้างและดาวน์โหลด pdf หรือพล็อตคำลงท้ายของโซลูชันกำหนดสมการและอสมการในสองตัวแปร ( xและy )