ทรงรี
รีเป็นพื้นผิวที่อาจจะได้รับจากการเป็นทรงกลมโดยการเปลี่ยนรูปได้โดยวิธีการของทิศทางscalingsหรือมากกว่าโดยทั่วไปของการเปลี่ยนแปลงเลียนแบบ
รีเป็นพื้นผิว quadric ; นั่นคือพื้นผิวที่อาจถูกกำหนดให้เป็นเซตศูนย์ของพหุนามดีกรีสองในสามตัวแปร ในบรรดาพื้นผิวรูปสี่เหลี่ยม ทรงรีมีลักษณะเฉพาะด้วยคุณสมบัติอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้ ภาพตัดขวางของระนาบทุกส่วนเป็นวงรีหรือว่างเปล่า หรือถูกย่อให้เหลือจุดเดียว (ซึ่งอธิบายชื่อนี้ ซึ่งหมายถึง "คล้ายวงรี") มันถูกล้อมรอบซึ่งหมายความว่ามันอาจถูกล้อมรอบด้วยทรงกลมขนาดใหญ่เพียงพอ
ทรงรีมีแกนสมมาตรตั้งฉาก คู่สามแกนซึ่งตัดกันที่จุดศูนย์กลางสมมาตรเรียกว่าจุดศูนย์กลางของทรงรี ส่วนของเส้นตรงที่คั่นบนแกนสมมาตรด้วยทรงรีเรียกว่าแกนหลักหรือเพียงแค่แกนของทรงรี หากแกนทั้งสามมีความยาวต่างกัน กล่าวได้ว่าทรงรีมีสามแกนหรือแทบไม่มีเกล็ดและแกนจะถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง
หากทั้งสองของแกนมีความยาวเดียวกันแล้วทรงรีเป็นทรงรีของการปฏิวัติที่เรียกว่ายังเป็นลูกกลม ในกรณีนี้ ทรงรีจะไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การหมุนรอบแกนที่สาม ดังนั้นจึงมีหลายวิธีในการเลือกแกนตั้งฉากสองแกนที่มีความยาวเท่ากัน หากแกนที่สามสั้นกว่า ทรงรีจะเป็นทรงกลมแบบโอเบต ; ถ้ามันเป็นอีกต่อไปมันเป็นลูกกลม prolate ถ้าแกนทั้งสามมีความยาวเท่ากัน ทรงรีจะเป็นทรงกลม
สมการมาตรฐาน
โดยใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่จุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางของทรงรีและแกนพิกัดเป็นแกนของทรงรีสมการโดยปริยายของทรงรีมีรูปแบบมาตรฐาน
จุด( a , 0, 0) , (0, b , 0)และ(0, 0, c )อยู่บนพื้นผิว ส่วนของเส้นตรงจากจุดกำเนิดถึงจุดเหล่านี้เรียกว่าแกนกึ่งหลักของทรงรี เนื่องจากa , b , cมีความยาวครึ่งหนึ่งของแกนหลัก พวกเขาสอดคล้องกับกึ่งสำคัญแกนและกึ่งเล็กน้อยแกนของวงรี
ถ้าa = b > cหนึ่งมีทรงกลม oblate ; ถ้าa = b < cหนึ่งมีprolate spheroid ; ถ้า= B = Cหนึ่งมีรูปทรงกลม
การกำหนดพารามิเตอร์
รูปทรงรีสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้หลายวิธี ซึ่งง่ายกว่าในการแสดงเมื่อแกนทรงรีตรงกับแกนพิกัด ทางเลือกทั่วไปคือ
ที่ไหน
พารามิเตอร์เหล่านี้อาจถูกตีความว่าเป็นพิกัดทรงกลมโดยที่θคือมุมขั้วและφคือมุมราบของจุด( x , y , z )ของทรงรี [1]
วัดจากจุดศูนย์กลางมากกว่าเสา
ที่ไหน
θคือละติจูดที่ลดลง , ละติจูดพาราเมตริก , หรือความผิดปกติประหลาดและλคือ แอซิมัทหรือลองจิจูด
การวัดมุมโดยตรงกับพื้นผิวของทรงรีไม่ใช่ทรงกลมที่ล้อมรอบ
ที่ไหน
γคือละติจูดทางภูมิศาสตร์บนโลก และλคือลองจิจูด เหล่านี้เป็นพิกัดทรงกลมจริงที่มีจุดกำเนิดที่จุดศูนย์กลางของทรงรี [ ต้องการการอ้างอิง ]
ในมาตรที่ละติจูด Geodeticเป็นที่นิยมใช้มากที่สุดเป็นมุมระหว่างแนวตั้งและแนวระนาบเส้นศูนย์สูตรที่กำหนดไว้สำหรับรีแกน สำหรับรี triaxial ทั่วไปเพิ่มเติมให้ดูที่เส้นรุ้งรูปวงรี
ปริมาณ
ปริมาณจำกัด โดยทรงรีคือ
ในแง่ของขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง หลักA , B , C (โดยที่A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ) ปริมาตรคือ
- .
สมการนี้จะช่วยลดกับที่ของปริมาณของทรงกลมเมื่อทั้งสามรัศมีรูปไข่มีความเท่าเทียมกันและกับที่ของรูปไข่หรือprolate ลูกกลมเมื่อสองของพวกเขามีค่าเท่ากัน
ปริมาณของทรงรีเป็น 2/3ปริมาณของที่circumscribed ถังรูปไข่และ พาย/6ปริมาณของกล่องที่ล้อมรอบ ปริมาณของจารึกไว้และ circumscribed กล่องเป็นลำดับ:
พื้นที่ผิว
พื้นที่ผิวของทั่วไป (สามแกน) เป็นทรงรี[2] [3]
ที่ไหน
และโดยที่F ( φ , k )และE ( φ , k )เป็นอินทิกรัลวงรีที่ไม่สมบูรณ์ของชนิดที่หนึ่งและสองตามลำดับ [4]
พื้นที่ผิวของทรงรีปฏิวัติ (หรือทรงกลม) อาจแสดงในรูปของฟังก์ชันเบื้องต้น :
หรือ
หรือ
และ
ซึ่งต่อไปนี้จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เป็นนิพจน์ที่เทียบเท่ากัน (กล่าวคือ สูตรสำหรับS oblateสามารถใช้คำนวณพื้นที่ผิวของ prolate ทรงรีและในทางกลับกัน) ในทั้งสองกรณีeอาจถูกระบุอีกครั้งว่าเป็นความเยื้องศูนย์กลางของวงรีที่เกิดจากส่วนตัดขวางผ่านแกนสมมาตร (ดูวงรี ). Derivations ของผลลัพธ์เหล่านี้อาจพบได้ในแหล่งมาตรฐานเช่นMathworld [5]
สูตรโดยประมาณ
ที่นี่p ≈ 1.6075ให้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มากที่สุด 1.061%; [6]ค่าp = 8/5= 1.6เหมาะสมที่สุดสำหรับทรงรีเกือบทรงกลม โดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 1.178%
ในขีด จำกัด "แบน" ของคขนาดเล็กกว่าและขพื้นที่ประมาณ2π ABเทียบเท่ากับP ≈ 1.5850
ส่วนเครื่องบิน
คุณสมบัติ

จุดตัดของระนาบและทรงกลมเป็นวงกลม (หรือลดลงเหลือจุดเดียว หรือว่างเปล่า) ทรงรีใดๆ คือภาพของหน่วยทรงกลมภายใต้การแปลงสัมพัทธ์ และระนาบใดๆ คือภาพของระนาบอื่นภายใต้การแปลงเดียวกัน ดังนั้น เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงแบบสัมพัทธ์จะจับคู่วงกลมกับวงรี จุดตัดของระนาบที่มีวงรีจึงเป็นวงรีหรือจุดเดียว หรือว่างเปล่า [7]แน่นอน ทรงกลมมีวงกลม สิ่งนี้ก็จริงเช่นกัน แต่ไม่ชัดเจนสำหรับทรงรีสามแกน (ดูส่วนแบบวงกลม )
การหาวงรีของส่วนระนาบ

ให้: Ellipsoidx 2/2 + ปี2/ข2 + z 2/ค2= 1และระนาบที่มีสมการn x x + n y y + n z z = dซึ่งมีวงรีเหมือนกัน
ต้องการ:เวกเตอร์สามตัวf 0 (กลาง) และf 1 , f 2 (เวกเตอร์คอนจูเกต) เพื่อให้วงรีสามารถแสดงด้วยสมการพาราเมตริก
(ดูวงรี ).

วิธีแก้ไข:มาตราส่วนu = x/a, วี = y/ข, w = z/คแปลงทรงรีให้เป็นทรงกลมหน่วยu 2 + v 2 + w 2 = 1และระนาบที่กำหนดบนระนาบด้วยสมการ
ให้m u u + m v v + m w w = δเป็นรูปแบบปกติของเฮสส์ของระนาบใหม่และ
เวกเตอร์ปกติหน่วยของมัน ดังนั้น
เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสี่แยกและ
รัศมีของมัน (ดูแผนภาพ)
โดยที่m w = ±1 (เช่นระนาบอยู่ในแนวนอน) ให้
โดยที่m w ≠ ±1 , ให้
ไม่ว่าในกรณีใด เวกเตอร์e 1 , e 2เป็นมุมฉาก ขนานกับระนาบทางแยกและมีความยาวρ (รัศมีของวงกลม) ดังนั้นวงกลมทางแยกสามารถอธิบายได้ด้วยสมการพาราเมทริก
มาตราส่วนย้อนกลับ (ดูด้านบน) เปลี่ยนหน่วยทรงกลมกลับไปเป็นทรงรีและเวกเตอร์e 0 , e 1 , e 2ถูกแมปบนเวกเตอร์f 0 , f 1 , f 2ซึ่งต้องการสำหรับการแสดงพาราเมตริกของวงรีทางแยก .
วิธีการหาจุดและกึ่งแกนของวงรีอธิบายไว้ในวงรี
ตัวอย่าง:แผนภาพแสดงการรีกับกึ่งแกน= 4, B = 5, C = 3ซึ่งเป็นตัดโดยเครื่องบินx + Y + Z = 5
การก่อสร้างแบบหมุดและสาย

| S 1 S 2 | , ความยาวของสตริง (สีแดง)


การสร้างพินและสตริงของทรงรีเป็นการถ่ายโอนแนวคิดการสร้างวงรีโดยใช้หมุดสองอันและสตริง (ดูแผนภาพ)
โครงสร้างหมุดและเชือกของวงรีแห่งการปฏิวัตินั้นมาจากโครงสร้างหมุดและสตริงของวงรีที่หมุน
การสร้างจุดทรงรี 3 แกนนั้นซับซ้อนกว่า แนวคิดแรกเกิดจากนักฟิสิกส์ชาวสก็อตเจ.ซี. แม็กซ์เวลล์ (1868) [8]การตรวจสอบหลักและการขยายไปยัง quadrics ได้กระทำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน O. Staude ในปี 1882, 1886 และ 1898 [9] [10] [11]คำอธิบายของการสร้างพินและสตริงของทรงรีและไฮเปอร์โบลอยด์คือ มีอยู่ในหนังสือเรขาคณิตและจินตนาการที่เขียนโดยD. Hilbert & S. Vossen [12]ด้วย
ขั้นตอนการก่อสร้าง
- เลือกวงรีและไฮเพอร์โบลา ซึ่งเป็นคู่ของโฟกัสที่กรวย :
- วงรี: และ
- ไฮเปอร์โบลา:
ด้วยจุดยอดและจุดโฟกัสของวงรี
- ตรึงปลายด้านหนึ่งของสตริงไว้ที่จุดยอด และอีกอันให้เน้น . สตริงถูกเก็บไว้แน่นที่จุด ด้วยพิกัด y- และ z ที่เป็นบวก ดังนั้นสตริงจะวิ่งจาก ถึง ด้านหลังส่วนบนของไฮเพอร์โบลา (ดูแผนภาพ) และเลื่อนบนไฮเปอร์โบลาได้อย่างอิสระ ส่วนของสตริงจาก ถึง วิ่งและสไลด์หน้าวงรี สตริงวิ่งผ่านจุดนั้นของไฮเปอร์โบลา ซึ่งระยะทางเหนือจุดไฮเปอร์โบลาใด ๆ นั้นน้อยที่สุด คำสั่งแอนะล็อกในส่วนที่สองของสตริงและวงรีจะต้องเป็นจริงด้วย
- จากนั้น: เป็นจุดของทรงรีที่มีสมการ
- และ
- จุดที่เหลือของทรงรีสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมของสตริงที่จุดโฟกัส
กึ่งแกน
สมการสำหรับกึ่งแกนของทรงรีที่สร้างขึ้นสามารถหาได้จากตัวเลือกพิเศษสำหรับจุด : .
ส่วนล่างของแผนภาพแสดง: คือจุดโฟกัสของวงรีในระนาบ xy ด้วย ดังนั้นจึงคอนโฟคัลกับวงรีที่กำหนดและความยาวของสตริงคือ. การแก้ปัญหาสำหรับ ผลผลิต: . เพิ่มเติม:.
จากแผนภาพด้านบนจะได้รับ: คือจุดโฟกัสของวงรี (ของทรงรี) ในระนาบ xz และสมการ .
Converse
ในทางกลับกัน ถ้าทรงรีแบบ 3 แกนถูกกำหนดโดยสมการ จากสมการในขั้นตอนที่ 3 จะได้ค่าพารามิเตอร์ สำหรับการสร้างหมุดและสตริง
ทรงรีคอนโฟคอล
ถ้า เป็นทรงรี confocalไป ด้วยสี่เหลี่ยมครึ่งแกน
แล้วจากสมการของ
หนึ่งพบว่ากรวยโฟกัสที่สอดคล้องกันที่ใช้สำหรับการสร้างพินและสตริงมีครึ่งแกนเหมือนกัน เป็นรูปวงรี . ดังนั้น (คล้ายกับจุดโฟกัสของวงรี) เราถือว่าโคนิกโฟกัสของทรงรี 3 แกนเป็นจุดโฟกัส (จำนวนอนันต์) และเรียกพวกมันว่าเส้นโค้งโฟกัสของทรงรี [13]
ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเลือกสตริงที่มีความยาวเป็นเส้นที่สอง และกำหนด แล้วสมการ ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าทรงรีทั้งสองมีคอนโฟคอล
ลิมิตเคส ทรงรีของการปฏิวัติ
ในกรณีที่ หนึ่งได้รับ ซึ่งหมายความว่า: วงรีโฟกัสเสื่อมลงเป็นส่วนของเส้นตรง และไฮเพอร์โบลาโฟกัสยุบลงไปที่ส่วนของเส้นตรงอนันต์สองส่วนบนแกน x ทรงรีสมมาตรในการหมุนโดยมีแกน x เป็นแกนของการหมุนและ.
คุณสมบัติของโฟกัสไฮเพอร์โบลา

ด้านล่าง: การฉายภาพด้านขนาน/ตรงกลางของทรงรีในลักษณะที่ดูเหมือนทรงกลม กล่าวคือ รูปร่างที่ปรากฏเป็นวงกลม
- เส้นโค้งที่แท้จริง
- ถ้าใครดูทรงรีจากจุดภายนอก ของไฮเพอร์โบลาโฟกัส มากกว่าที่ดูเหมือนว่าจะเป็นทรงกลม กล่าวคือ รูปร่างที่ปรากฏเป็นวงกลม หรือเทียบเท่า: แทนเจนต์ของทรงรีที่มีจุด คือเส้นของรูปกรวยทรงกลมซึ่งมีแกนหมุนแทนเจนต์ของไฮเพอร์โบลาที่ . [14] [15]ถ้าใครอนุญาติให้เข้าศูนย์ เพื่อหายไปในอนันต์ หนึ่งได้รับการฉายภาพขนานมุมฉากกับเส้นกำกับที่สอดคล้องกันของไฮเพอร์โบลาโฟกัสเป็นทิศทาง โค้งที่แท้จริงของรูปร่าง (จุดที่สัมผัสกัน) บนทรงรีเป็น ig วงกลมไม่! ส่วนล่างของแผนภาพแสดงการฉายภาพขนานกันของทรงรี (กึ่งแกน: 60, 40, 30) ทางด้านซ้ายตามเส้นกำกับและทางด้านขวาจะเป็นเส้นโครงตรงกลางที่มีจุดศูนย์กลาง และประเด็นหลัก บนแทนเจนต์ของไฮเพอร์โบลาที่จุด . ( เป็นเชิงตั้งฉากจาก บนระนาบของภาพ) สำหรับการฉายทั้งสองภาพ รูปร่างที่ปรากฏคือวงกลม ในกรณีคู่ขนาน ภาพของแหล่งกำเนิด เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ในกรณีศูนย์กลาง จุดหลัก เป็นศูนย์กลาง
- จุดสะดือ
- hyperbola โฟกัสปริภูมิรีที่ 4 ของ จุดสะดือ [16]
คุณสมบัติของวงรีโฟกัส
วงรีโฟกัสร่วมกับส่วนด้านในถือได้ว่าเป็นพื้นผิวจำกัด (ทรงรีบางอนันต์) ของดินสอของทรงรีคอนโฟคอลที่กำหนดโดย สำหรับ . สำหรับกรณีจำกัดหนึ่งได้รับ
ในตำแหน่งทั่วไป
เป็นสี่เหลี่ยม quad
โดยทั่วไปแล้ว ทรงรีที่เน้นโดยพลการซึ่งมีศูนย์กลางที่vถูกกำหนดโดยคำตอบxของสมการ
ที่เป็นเมทริกซ์ที่ชัดเจนในเชิงบวกและx , โวลต์เป็นพาหะ
eigenvectorsของกำหนดแกนหลักของทรงรีและค่าลักษณะเฉพาะของเป็นส่วนกลับของกำลังสองของกึ่งแกน-นี้:, และ . [17]การแปลงเชิงเส้นแบบพลิกกลับได้ที่ใช้กับทรงกลมทำให้เกิดทรงรี ซึ่งสามารถนำไปสู่รูปแบบมาตรฐานข้างต้นได้โดยการหมุนที่เหมาะสมซึ่งเป็นผลมาจากการสลายตัวของขั้ว (ดูทฤษฎีบทสเปกตรัมด้วย ) หากการแปลงเชิงเส้นแสดงด้วยเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 สมมาตรดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จะเป็นมุมฉาก (เนื่องจากทฤษฎีบทสเปกตรัม) และแสดงทิศทางของแกนของทรงรี ความยาวของครึ่งแกนคำนวณจากค่าลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของค่าเอกพจน์และการสลายตัวของขั้วเป็นการสลายตัวของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการสังเกตทางเรขาคณิตเหล่านี้
การแสดงพารามิเตอร์ Para

กุญแจสำคัญในการแสดงพาราเมทริกของทรงรีในตำแหน่งทั่วไปคือคำจำกัดความทางเลือก:
- ทรงรีเป็นภาพที่สัมพันธ์กันของทรงกลมหน่วย
การแปลงความคล้ายคลึงสามารถแสดงได้โดยการแปลด้วยเวกเตอร์ และ 3×3-เมทริกซ์ปกติ :
- ,
ที่ไหน คือเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์ .
การแสดงพาราเมทริกของทรงรีในตำแหน่งทั่วไปสามารถหาได้โดยการแสดงพาราเมทริกของทรงกลมหน่วย (ดูด้านบน) และการแปลงสัมพัทธ์:
- .
ถ้าเวกเตอร์ สร้างระบบมุมฉาก จุดด้วยเวกเตอร์ คือจุดยอดของทรงรีและ คือกึ่งแกนหลัก
เวกเตอร์ตั้งฉากพื้นผิวที่จุด คือ
สำหรับทรงรีใด ๆ มีการแทนค่าโดยปริยาย . ถ้าเพื่อความง่าย จุดศูนย์กลางของทรงรีคือจุดกำเนิด เช่นสมการต่อไปนี้อธิบายวงรีด้านบน: [18]
แอปพลิเคชั่น
รูปทรงวงรีพบการใช้งานจริงมากมาย:
- มาตรวิทยา
- ทรงรีโลกซึ่งเป็นตัวเลขทางคณิตศาสตร์ที่ใกล้เคียงกับรูปร่างของโลก
- อ้างอิง ทรงรีซึ่งเป็นตัวเลขทางคณิตศาสตร์ที่ใกล้เคียงกับรูปร่างของวัตถุดาวเคราะห์โดยทั่วไป
- กลศาสตร์
- รี Poinsot ของ , วิธีการทางเรขาคณิตสำหรับการแสดงการเคลื่อนไหวแรงบิดฟรีหมุนวัตถุแข็งเกร็ง
- รูปรีความเครียดของLaméทางเลือกแทนวงกลมของ Mohr สำหรับการแสดงกราฟิกของสถานะความเครียด ณ จุดหนึ่ง
- รูปวงรี Manipulabilityใช้เพื่ออธิบายอิสระในการเคลื่อนไหวของหุ่นยนต์
- จาโคบีทรงรี , ทรงรีสามแกนที่เกิดจากของไหลหมุน
- ผลึกศาสตร์
- ดัชนีทรงรีแผนภาพของทรงรีที่แสดงถึงการวางแนวและขนาดสัมพัทธ์ของดัชนีการหักเหของแสงในผลึก
- ทรงรีความร้อน ทรงรีที่ใช้ในผลึกศาสตร์เพื่อระบุขนาดและทิศทางของการสั่นสะเทือนทางความร้อนของอะตอมในโครงสร้างผลึก
- แสงสว่าง
- สปอร์ตไลท์สะท้อนแสงทรงรี
- สปอตไลท์สะท้อนแสงทรงรี
- ยา
- การวัดที่ได้จากการถ่ายภาพMRIของต่อมลูกหมากสามารถใช้กำหนดปริมาตรของต่อมได้โดยใช้ค่าประมาณL × W × H × 0.52 (โดยที่ 0.52 เป็นค่าประมาณสำหรับ พาย/6) [19]
คุณสมบัติไดนามิก
มวลของทรงรีของความหนาแน่นของเครื่องแบบρคือ:
ช่วงเวลาของความเฉื่อยของทรงรีของความหนาแน่นของเครื่องแบบคือ:
สำหรับa = b = cโมเมนต์ความเฉื่อยเหล่านี้จะลดลงจนกลายเป็นทรงกลมที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ

ทรงรีและทรงลูกบาศก์หมุนอย่างมั่นคงตามแกนหลักหรือแกนรอง แต่ไม่หมุนตามแกนมัธยฐาน สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากการทดลองโดยการขว้างยางลบด้วยการหมุน นอกจากนี้ การพิจารณาโมเมนต์ความเฉื่อยหมายความว่าการหมุนตามแนวแกนหลักจะรบกวนได้ง่ายกว่าการหมุนตามแกนรอง (20)
ผลกระทบเชิงปฏิบัติอย่างหนึ่งของสิ่งนี้คือวัตถุทางดาราศาสตร์ขนาดย่อม เช่นเฮาเมอาโดยทั่วไปจะหมุนไปตามแกนเล็กๆ ของพวกมัน (เช่นเดียวกับโลก ซึ่งเป็นเพียงรูปร่างสมส่วน) นอกจากนี้ เนื่องจากการล็อกไทดัลดวงจันทร์ในวงโคจรซิงโครนัสเช่น มิมาสโคจรด้วยแกนหลักของพวกมันในแนวรัศมีกับดาวเคราะห์ของพวกมัน
วัตถุที่หมุนได้ของของเหลวที่เคลื่อนที่ด้วยตนเองที่เป็นเนื้อเดียวกันจะถือว่าอยู่ในรูปทรงกลมของแมคลอริน (oblate spheroid) หรือทรงรีจาโคบี (ทรงรีสเกล ) เมื่ออยู่ในสภาวะสมดุลอุทกสถิตและสำหรับอัตราการหมุนในระดับปานกลาง ที่หมุนเร็วขึ้นไม่ใช่รูปวงรีPiriformหรือoviformรูปทรงที่สามารถคาดหวัง แต่เหล่านี้จะไม่ได้มีเสถียรภาพ
พลวัตของไหล
ทรงรีเป็นรูปร่างทั่วไปที่สุด ซึ่งคำนวณการไหลของของเหลวรอบรูปร่างที่เป็นของแข็งได้ การคำนวณรวมถึงแรงที่จำเป็นในการแปลผ่านของไหลและการหมุนภายใน การประยุกต์ใช้งานรวมถึงการกำหนดขนาดและรูปร่างของโมเลกุลขนาดใหญ่อัตราการจมของอนุภาคขนาดเล็กและความสามารถในการว่ายน้ำของจุลินทรีย์ [21]
ในความน่าจะเป็นและสถิติ
กระจายรูปไข่ซึ่งกล่าวสรุปการกระจายปกติหลายตัวแปรและมีการใช้ในทางการเงินสามารถกำหนดในแง่ของฟังก์ชั่นความหนาแน่น เมื่อมีอยู่แล้ว ฟังก์ชันความหนาแน่นfมีโครงสร้างดังนี้
ที่ไหน เป็นปัจจัยด้านขนาด เป็น - เวกเตอร์แถวสุ่มมิติพร้อมเวกเตอร์มัธยฐาน (ซึ่งเป็นเวกเตอร์เฉลี่ยด้วยถ้ามีอยู่) เป็นเมทริกซ์ที่แน่นอนในเชิงบวกซึ่งเป็นสัดส่วนกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมหากมีอยู่และเป็นการแมปฟังก์ชันจากจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบไปยังจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ โดยให้พื้นที่จำกัดใต้เส้นโค้ง [22]การแจกแจงแบบปกติหลายตัวแปรเป็นกรณีพิเศษที่ สำหรับรูปกำลังสอง .
ดังนั้น ฟังก์ชันความหนาแน่นคือการแปลงสเกลาร์เป็นสเกลาร์ของนิพจน์กำลังสอง นอกจากนี้ สมการสำหรับพื้นผิวความหนาแน่นไอโซใด ๆระบุว่านิพจน์กำลังสองมีค่าคงที่จำเพาะบางค่าของความหนาแน่นนั้น และพื้นผิวความหนาแน่นไอโซเป็นทรงรี
ในมิติที่สูงขึ้น
hyperellipsoidหรือทรงรีของมิติnในพื้นที่ Euclideanมิติn + 1เป็นhypersurface quadricกำหนดโดยพหุนามของปริญญาสองที่มีส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันของการศึกษาระดับปริญญาสองซึ่งเป็นรูปแบบสมการกำลังสองบวกแน่นอน
นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดไฮเปอร์เอลป์ซอยด์เป็นภาพของทรงกลมภายใต้การแปลงความคล้ายคลึงแบบพลิกกลับได้ ทฤษฎีบทสเปกตรัมสามารถใช้อีกครั้งเพื่อให้ได้สมการมาตรฐานของรูปแบบ
หาปริมาตรของไฮเปอร์เอลป์ซอยด์ได้โดยการแทนที่ โดย ในสูตรปริมาตรของไฮเปอร์สเฟียร์
ดูสิ่งนี้ด้วย
- โดมทรงรี
- วิธีทรงรี
- พิกัดวงรี
- การกระจายวงรีในสถิติ
- Flatteningหรือที่เรียกว่าellipticityและoblatenessเป็นการวัดการบีบอัดของวงกลมหรือทรงกลมตามเส้นผ่านศูนย์กลางเพื่อสร้างวงรีหรือวงรีแห่งการปฏิวัติ (spheroid) ตามลำดับ
- Focaloidเปลือกที่ล้อมรอบด้วยจุดศูนย์กลางสองทรงรีคอนโฟคอล
- Geodesics บนทรงรี
- Geodetic datumโลกความโน้มถ่วงที่จำลองโดยอีพอยด์ที่เหมาะสมที่สุด
- Homoeoidเปลือกที่ล้อมรอบด้วยสองทรงรีที่มีศูนย์กลางคล้ายคลึงกัน
- รายการพื้นผิว
หมายเหตุ
- ^ Kreyszig (1972 , PP. 455-456)
- ^ FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert และ CW คลาร์กบรรณาธิการ 2010 NIST คู่มือของฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ ( Cambridge University Press ) ออนไลน์ที่ "ที่จัดเก็บคัดลอก" เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2012-12-02 . สืบค้นเมื่อ2012-01-08 .CS1 maint: สำเนาที่เก็บถาวรเป็นชื่อ ( ลิงก์ ) (ดูการอ้างอิงถัดไป)
- ^ NIST (สถาบันมาตรฐานและเทคโนโลยีแห่งชาติ) ที่ http://www.nist.gov Archived 2015-06-17 ที่ Wayback Machine
- ^ http://dlmf.nist.gov/19.2
- ^ ว., ไวส์สไตน์, เอริค. "Prolate Spheroid" . mathworld.wolfram.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 3 สิงหาคม 2017 . สืบค้นเมื่อ25 มีนาคม 2018 .
- ^ คำตอบสุดท้าย เก็บถาวรเมื่อ 2011-09-30 ที่ Wayback Machineโดย Gerard P. Michon (2004-05-13) ดูสูตรของ Thomsen และความคิดเห็นของ Cantrell
- ^ Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, พี. 117, ISBN 978-0-486-81026-3
- ^ ดับบลิวBöhm: Die FadenKonstruktion เดอร์Flächen zweiter Ordnung , Mathemat Nachrichten 13, 1955, S. 151
- ^ Staude, O .: ueber Fadenconstructionen des Ellipsoides คณิตศาสตร์. แอน. 20, 147–184 (1882)
- ^ Staude, O .: ueber Neue Focaleigenschaften เดอร์Flächen 2. เกรด คณิตศาสตร์. แอน. 27, 253–271 (1886)
- ^ Staude, O .: Die algebraischen Grundlagen เดอร์เดอร์ Focaleigenschaften Flächen 2. Ordnungคณิตศาสตร์ แอน. 50, 398 - 428 (1898)
- ↑ D. Hilbert & S Cohn-Vossen:เรขาคณิตกับจินตนาการ , Chelsea New York, 1952, ISBN 0-8284-1087-9 , น. 20 .
- ^ ทุมเฮสส์: Analytische เรขาคณิต des Raumes , Teubner ลีพ 1861 P 287
- ↑ D. Hilbert & S Cohn-Vossen:เรขาคณิตและจินตนาการ , p. 24
- ^ ทุมเฮสส์: Analytische เรขาคณิต des Raumes , P 301
- ^ W. Blaschke: Analytische Geometrie , พี. 125
- ^ "สำเนาที่เก็บถาวร" (PDF) . เก็บถาวร (PDF)จากเดิม 2013/06/26 สืบค้นเมื่อ2013-10-12 .CS1 maint: สำเนาที่เก็บถาวรเป็นชื่อ ( ลิงก์ ) น. 17–18.
- ^ Computerunterstützte Darstellende คาดไม่ถึง Konstruktive เรขาคณิต เก็บถาวร 2013-11-10 ที่ Wayback Machine Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 88
- ^ เบซินเก, อดัม; และคณะ (2018). "การกำหนดปริมาตรต่อมลูกหมาก: การเปรียบเทียบวิธีการร่วมสมัย". รังสีวิทยาเชิงวิชาการ . 25 (12): 1582–1587. ดอย : 10.1016/j.acra.2018.03.014 . PMID 29609953 .
- ^ โกลด์สตี HG (1980) กลศาสตร์คลาสสิก , (พิมพ์ครั้งที่ 2) บทที่ 5
- ^ Dusenbery เดวิดบี (2009) อาศัยอยู่ที่ไมโครสเกลสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด เมืองเคมบริดจ์ รัฐแมสซาชูเซตส์ ไอ 978-0-674-03116-6 .
- ^ Frahm, G. , Junker, M. , & Szimayer, A. (2003). กลีบเลี้ยงวงรี: การบังคับใช้และข้อจำกัด จดหมายสถิติและความน่าจะเป็น 63(3), 275–286
อ้างอิง
- Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (ฉบับที่ 3), New York: Wiley , ISBN 0-271-50728-8
ลิงค์ภายนอก
- " Ellipsoid " โดย Jeff Bryant โครงการสาธิต Wolfram , 2007
- ทรงรีและพื้นผิวกำลังสอง , แม ธ เวิลด์