ทรงรี

โดยใช้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนที่จุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางของทรงรีและแกนพิกัดเป็นแกนของทรงรีสมการโดยปริยายของทรงรีมีรูปแบบมาตรฐาน

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2} }{c^{2}}}=1,}$

ที่, B , Cเป็นบวกตัวเลขจริง

จุด( a , 0, 0) , (0, b , 0)และ(0, 0, c )อยู่บนพื้นผิว ส่วนของเส้นตรงจากจุดกำเนิดถึงจุดเหล่านี้เรียกว่าแกนกึ่งหลักของทรงรี เนื่องจากa , b , cมีความยาวครึ่งหนึ่งของแกนหลัก พวกเขาสอดคล้องกับกึ่งสำคัญแกนและกึ่งเล็กน้อยแกนของวงรี

ถ้าa = b > cหนึ่งมีทรงกลม oblate ; ถ้าa = b < cหนึ่งมีprolate spheroid ; ถ้า= B = Cหนึ่งมีรูปทรงกลม

รูปทรงรีสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้หลายวิธี ซึ่งง่ายกว่าในการแสดงเมื่อแกนทรงรีตรงกับแกนพิกัด ทางเลือกทั่วไปคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sin(\theta )\cos(\varphi ),\\y&=b\sin(\theta )\sin(\varphi ),\\z&=c\cos (\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

ที่ไหน

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi .}$

พารามิเตอร์เหล่านี้อาจถูกตีความว่าเป็นพิกัดทรงกลมโดยที่θคือมุมขั้วและφคือมุมราบของจุด( x , y , z )ของทรงรี ^[1]

วัดจากจุดศูนย์กลางมากกว่าเสา

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(\theta )\cos(\lambda ),\\y&=b\cos(\theta )\sin(\lambda ),\\z&=c\sin (\theta ),\end{aligned}}\,\!}$

ที่ไหน

${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi ,}$

θคือละติจูดที่ลดลง , ละติจูดพาราเมตริก , หรือความผิดปกติประหลาดและλคือ แอซิมัทหรือลองจิจูด

การวัดมุมโดยตรงกับพื้นผิวของทรงรีไม่ใช่ทรงกลมที่ล้อมรอบ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=R{\begin{bmatrix}\cos(\gamma )\cos(\lambda )\\\cos(\gamma ) \sin(\lambda )\\\sin(\gamma )\end{bmatrix}}\,\!}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}R={}&{\frac {abc}{\sqrt {c^{2}\left(b^{2}\cos ^{2}\lambda +a^{2 }\sin ^{2}\lambda \right)\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&- {\tfrac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{aligned}}}$

γคือละติจูดทางภูมิศาสตร์บนโลก และλคือลองจิจูด เหล่านี้เป็นพิกัดทรงกลมจริงที่มีจุดกำเนิดที่จุดศูนย์กลางของทรงรี ^{[ ต้องการการอ้างอิง ]}

ในมาตรที่ละติจูด Geodeticเป็นที่นิยมใช้มากที่สุดเป็นมุมระหว่างแนวตั้งและแนวระนาบเส้นศูนย์สูตรที่กำหนดไว้สำหรับรีแกน สำหรับรี triaxial ทั่วไปเพิ่มเติมให้ดูที่เส้นรุ้งรูปวงรี

ปริมาณจำกัด โดยทรงรีคือ

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi abc.}$

ในแง่ของขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง หลักA , B , C (โดยที่A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ) ปริมาตรคือ

${\displaystyle V={\tfrac {\pi }{6}}ABC}$.

สมการนี้จะช่วยลดกับที่ของปริมาณของทรงกลมเมื่อทั้งสามรัศมีรูปไข่มีความเท่าเทียมกันและกับที่ของรูปไข่หรือprolate ลูกกลมเมื่อสองของพวกเขามีค่าเท่ากัน

ปริมาณของทรงรีเป็น 2/3ปริมาณของที่circumscribed ถังรูปไข่และ พาย/6ปริมาณของกล่องที่ล้อมรอบ ปริมาณของจารึกไว้และ circumscribed กล่องเป็นลำดับ:

${\displaystyle V_{\text{inscribed}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\text{circumscribed}}=8abc.}$

พื้นที่ผิวของทั่วไป (สามแกน) เป็นทรงรี^{[2] [3]}

${\displaystyle S=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\varphi )}}\left(E(\varphi ,k)\,\sin ^{2} (\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\right),}$

ที่ไหน

${\displaystyle \cos(\varphi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{ 2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

และโดยที่F ( φ , k )และE ( φ , k )เป็นอินทิกรัลวงรีที่ไม่สมบูรณ์ของชนิดที่หนึ่งและสองตามลำดับ ^[4]

พื้นที่ผิวของทรงรีปฏิวัติ (หรือทรงกลม) อาจแสดงในรูปของฟังก์ชันเบื้องต้น :

${\displaystyle S_{\text{olate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c^{2}}{ea^{2}}}\operatorname {artanh} e\ right),\qquad {\text{where }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ and }}(c$

หรือ

${\displaystyle S_{\text{olate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {artanh} e\right) }$

หรือ

${\displaystyle S_{\text{olate}}=2\pi a^{2}\ +{\frac {\pi c^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1 -e}}}$

และ

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin e\right)\qquad {\text{where }} e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ and }}(c>a),}$

ซึ่งต่อไปนี้จากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน เป็นนิพจน์ที่เทียบเท่ากัน (กล่าวคือ สูตรสำหรับS _oblateสามารถใช้คำนวณพื้นที่ผิวของ prolate ทรงรีและในทางกลับกัน) ในทั้งสองกรณีeอาจถูกระบุอีกครั้งว่าเป็นความเยื้องศูนย์กลางของวงรีที่เกิดจากส่วนตัดขวางผ่านแกนสมมาตร (ดูวงรี ). Derivations ของผลลัพธ์เหล่านี้อาจพบได้ในแหล่งมาตรฐานเช่นMathworld ^[5]

สูตรโดยประมาณ

${\displaystyle S\ประมาณ 4\pi {\sqrt[{p}]{\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^ {p}}{3}}}.\,\!}$

ที่นี่p ≈ 1.6075ให้ข้อผิดพลาดสัมพัทธ์มากที่สุด 1.061%; ^[6]ค่าp = 8/5= 1.6เหมาะสมที่สุดสำหรับทรงรีเกือบทรงกลม โดยมีข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ไม่เกิน 1.178%

ในขีด จำกัด "แบน" ของคขนาดเล็กกว่าและขพื้นที่ประมาณ2π ABเทียบเท่ากับP ≈ 1.5850

คุณสมบัติ

ส่วนระนาบของทรงรี

จุดตัดของระนาบและทรงกลมเป็นวงกลม (หรือลดลงเหลือจุดเดียว หรือว่างเปล่า) ทรงรีใดๆ คือภาพของหน่วยทรงกลมภายใต้การแปลงสัมพัทธ์ และระนาบใดๆ คือภาพของระนาบอื่นภายใต้การแปลงเดียวกัน ดังนั้น เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงแบบสัมพัทธ์จะจับคู่วงกลมกับวงรี จุดตัดของระนาบที่มีวงรีจึงเป็นวงรีหรือจุดเดียว หรือว่างเปล่า ^[7]แน่นอน ทรงกลมมีวงกลม สิ่งนี้ก็จริงเช่นกัน แต่ไม่ชัดเจนสำหรับทรงรีสามแกน (ดูส่วนแบบวงกลม )

การหาวงรีของส่วนระนาบ

ส่วนระนาบของทรงรี (ดูตัวอย่าง)

ให้: Ellipsoidx ²/² + ปี²/ข² + z ²/ค²= 1และระนาบที่มีสมการn _x x + n _y y + n _z z = dซึ่งมีวงรีเหมือนกัน

ต้องการ:เวกเตอร์สามตัวf ₀ (กลาง) และf ₁ , f ₂ (เวกเตอร์คอนจูเกต) เพื่อให้วงรีสามารถแสดงด้วยสมการพาราเมตริก

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos t+\mathbf {f} _{2}\sin t}$

(ดูวงรี ).

ส่วนระนาบของทรงกลมหน่วย (ดูตัวอย่าง)

วิธีแก้ไข:มาตราส่วนu = x/a, วี = y/ข, w = z/คแปลงทรงรีให้เป็นทรงกลมหน่วยu ² + v ² + w ² = 1และระนาบที่กำหนดบนระนาบด้วยสมการ

${\displaystyle \ n_{x}au+n_{y}bv+n_{z}cw=d.}$

ให้m _u u + m _v v + m _w w = δเป็นรูปแบบปกติของเฮสส์ของระนาบใหม่และ

${\displaystyle \;\mathbf {m} ={\begin{bmatrix}m_{u}\\m_{v}\\m_{w}\end{bmatrix}}\;}$

เวกเตอร์ปกติหน่วยของมัน ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=\delta \mathbf {m} \;}$

เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมสี่แยกและ

${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {1-\delta ^{2}}}\;}$

รัศมีของมัน (ดูแผนภาพ)

โดยที่m _w = ±1 (เช่นระนาบอยู่ในแนวนอน) ให้

${\displaystyle \ \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}\rho \\0\\0\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{2}={\begin {bmatrix}0\\\rho \\0\end{bmatrix}}.}$

โดยที่m _w ≠ ±1 , ให้

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\rho }{\sqrt {m_{u}^{2}+m_{v}^{2}}}}\,{\begin{ bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _ {1}\ .}$

ไม่ว่าในกรณีใด เวกเตอร์e ₁ , e ₂เป็นมุมฉาก ขนานกับระนาบทางแยกและมีความยาวρ (รัศมีของวงกลม) ดังนั้นวงกลมทางแยกสามารถอธิบายได้ด้วยสมการพาราเมทริก

${\displaystyle \;\mathbf {u} =\mathbf {e} _{0}+\mathbf {e} _{1}\cos t+\mathbf {e} _{2}\sin t\;.}$

มาตราส่วนย้อนกลับ (ดูด้านบน) เปลี่ยนหน่วยทรงกลมกลับไปเป็นทรงรีและเวกเตอร์e ₀ , e ₁ , e ₂ถูกแมปบนเวกเตอร์f ₀ , f ₁ , f ₂ซึ่งต้องการสำหรับการแสดงพาราเมตริกของวงรีทางแยก .

วิธีการหาจุดและกึ่งแกนของวงรีอธิบายไว้ในวงรี

ตัวอย่าง:แผนภาพแสดงการรีกับกึ่งแกน= 4, B = 5, C = 3ซึ่งเป็นตัดโดยเครื่องบินx + Y + Z = 5

การสร้างพินและสตริงของวงรี:
| S ₁ S ₂ | , ความยาวของสตริง (สีแดง)

การสร้างพินและสตริงของทรงรี, สีน้ำเงิน: focal conics

การหาค่ากึ่งแกนของทรงรี

การสร้างพินและสตริงของทรงรีเป็นการถ่ายโอนแนวคิดการสร้างวงรีโดยใช้หมุดสองอันและสตริง (ดูแผนภาพ)

โครงสร้างหมุดและเชือกของวงรีแห่งการปฏิวัตินั้นมาจากโครงสร้างหมุดและสตริงของวงรีที่หมุน

การสร้างจุดทรงรี 3 แกนนั้นซับซ้อนกว่า แนวคิดแรกเกิดจากนักฟิสิกส์ชาวสก็อตเจ.ซี. แม็กซ์เวลล์ (1868) ^[8]การตรวจสอบหลักและการขยายไปยัง quadrics ได้กระทำโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน O. Staude ในปี 1882, 1886 และ 1898 ^{[9] [10] [11]}คำอธิบายของการสร้างพินและสตริงของทรงรีและไฮเปอร์โบลอยด์คือ มีอยู่ในหนังสือเรขาคณิตและจินตนาการที่เขียนโดยD. Hilbert & S. Vossen ^[12]ด้วย

ขั้นตอนการก่อสร้าง

กึ่งแกน

สมการสำหรับกึ่งแกนของทรงรีที่สร้างขึ้นสามารถหาได้จากตัวเลือกพิเศษสำหรับจุด ${\displaystyle P}$: ${\displaystyle Y=(0,r_{y},0),\ Z=(0,0,r_{z})}$.

ส่วนล่างของแผนภาพแสดง: ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$คือจุดโฟกัสของวงรีในระนาบ xy ด้วย ดังนั้นจึงคอนโฟคัลกับวงรีที่กำหนดและความยาวของสตริงคือ${\displaystyle l=2r_{x}+(ac)}$. การแก้ปัญหาสำหรับ${\displaystyle r_{x}}$ ผลผลิต: ${\textstyle r_{x}={\frac {1}{2}}(l-a+c)}$. เพิ่มเติม:${\displaystyle r_{y}^{2}=r_{x}^{2}-c^{2}}$.

จากแผนภาพด้านบนจะได้รับ: ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ คือจุดโฟกัสของวงรี (ของทรงรี) ในระนาบ xz และสมการ ${\displaystyle r_{z}^{2}=r_{x}^{2}-a^{2}}$.

Converse

ในทางกลับกัน ถ้าทรงรีแบบ 3 แกนถูกกำหนดโดยสมการ จากสมการในขั้นตอนที่ 3 จะได้ค่าพารามิเตอร์ ${\displaystyle a,b,l}$ สำหรับการสร้างหมุดและสตริง

ทรงรีคอนโฟคอล

ถ้า ${\displaystyle {\mathcal {\overline {E}}}}$เป็นทรงรี confocalไป${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ด้วยสี่เหลี่ยมครึ่งแกน

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {r}}_{x}^{2}&=r_{x}^{2}-\lambda ,&{\overline {r}}_{y} ^{2}&=r_{y}^{2}-\lambda ,&{\overline {r}}_{z}^{2}&=r_{z}^{2}-\lambda \;, \end{จัดตำแหน่ง}}}$

แล้วจากสมการของ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{x}^{2}-r_{y}^{2}&=c^{2},&r_{x}^{2}-r_{z}^{2 }&=a^{2},&r_{y}^{2}-r_{z}^{2}&=a^{2}-c^{2}=b^{2},\end{aligned }}}$

หนึ่งพบว่ากรวยโฟกัสที่สอดคล้องกันที่ใช้สำหรับการสร้างพินและสตริงมีครึ่งแกนเหมือนกัน${\displaystyle a,b,c}$ เป็นรูปวงรี ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. ดังนั้น (คล้ายกับจุดโฟกัสของวงรี) เราถือว่าโคนิกโฟกัสของทรงรี 3 แกนเป็นจุดโฟกัส (จำนวนอนันต์) และเรียกพวกมันว่าเส้นโค้งโฟกัสของทรงรี ^[13]

ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเลือกสตริงที่มีความยาวเป็นเส้นที่สอง ${\displaystyle {\overline {l}}}$ และกำหนด ${\displaystyle \lambda =r_{x}^{2}-{\overline {r}}_{x}^{2}}$ แล้วสมการ ${\displaystyle {\overline {r}}_{y}^{2}=r_{y}^{2}-\lambda ,\ {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{ z}^{2}-\lambda }$ ถูกต้อง ซึ่งหมายความว่าทรงรีทั้งสองมีคอนโฟคอล

ลิมิตเคส ทรงรีของการปฏิวัติ

ในกรณีที่ ${\displaystyle a=c}$ หนึ่งได้รับ ${\displaystyle S_{1}=F_{1},\;S_{2}=F_{2}}$ซึ่งหมายความว่า: วงรีโฟกัสเสื่อมลงเป็นส่วนของเส้นตรง และไฮเพอร์โบลาโฟกัสยุบลงไปที่ส่วนของเส้นตรงอนันต์สองส่วนบนแกน x ทรงรีสมมาตรในการหมุนโดยมีแกน x เป็นแกนของการหมุนและ${\textstyle r_{x}={\frac {l}{2}},\ r_{y}=r_{z}={\sqrt {r_{x}^{2}-c^{2}}} }$.

คุณสมบัติของโฟกัสไฮเพอร์โบลา

ด้านบน: ทรงรี 3 แกนพร้อมไฮเพอร์โบลาโฟกัส
ด้านล่าง: การฉายภาพด้านขนาน/ตรงกลางของทรงรีในลักษณะที่ดูเหมือนทรงกลม กล่าวคือ รูปร่างที่ปรากฏเป็นวงกลม

เส้นโค้งที่แท้จริง

ถ้าใครดูทรงรีจากจุดภายนอก ${\displaystyle V}$ของไฮเพอร์โบลาโฟกัส มากกว่าที่ดูเหมือนว่าจะเป็นทรงกลม กล่าวคือ รูปร่างที่ปรากฏเป็นวงกลม หรือเทียบเท่า: แทนเจนต์ของทรงรีที่มีจุด ${\displaystyle V}$ คือเส้นของรูปกรวยทรงกลมซึ่งมีแกนหมุนแทนเจนต์ของไฮเพอร์โบลาที่ ${\displaystyle V}$. ^{[14] [15]}ถ้าใครอนุญาติให้เข้าศูนย์ ${\displaystyle V}$เพื่อหายไปในอนันต์ หนึ่งได้รับการฉายภาพขนานมุมฉากกับเส้นกำกับที่สอดคล้องกันของไฮเพอร์โบลาโฟกัสเป็นทิศทาง โค้งที่แท้จริงของรูปร่าง (จุดที่สัมผัสกัน) บนทรงรีเป็น ig วงกลมไม่!

ส่วนล่างของแผนภาพแสดงการฉายภาพขนานกันของทรงรี (กึ่งแกน: 60, 40, 30) ทางด้านซ้ายตามเส้นกำกับและทางด้านขวาจะเป็นเส้นโครงตรงกลางที่มีจุดศูนย์กลาง ${\displaystyle V}$ และประเด็นหลัก ${\displaystyle H}$ บนแทนเจนต์ของไฮเพอร์โบลาที่จุด ${\displaystyle V}$. ( ${\displaystyle H}$ เป็นเชิงตั้งฉากจาก ${\displaystyle V}$บนระนาบของภาพ) สำหรับการฉายทั้งสองภาพ รูปร่างที่ปรากฏคือวงกลม ในกรณีคู่ขนาน ภาพของแหล่งกำเนิด ${\displaystyle O}$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ในกรณีศูนย์กลาง จุดหลัก ${\displaystyle H}$ เป็นศูนย์กลาง

จุดสะดือ

hyperbola โฟกัสปริภูมิรีที่ 4 ของ จุดสะดือ ^[16]

คุณสมบัติของวงรีโฟกัส

วงรีโฟกัสร่วมกับส่วนด้านในถือได้ว่าเป็นพื้นผิวจำกัด (ทรงรีบางอนันต์) ของดินสอของทรงรีคอนโฟคอลที่กำหนดโดย ${\displaystyle a,b}$ สำหรับ ${\displaystyle r_{z}\to 0}$. สำหรับกรณีจำกัดหนึ่งได้รับ${\displaystyle r_{x}=a,\;r_{y}=b,\;l=3a-c.}$

เป็นสี่เหลี่ยม quad

โดยทั่วไปแล้ว ทรงรีที่เน้นโดยพลการซึ่งมีศูนย์กลางที่vถูกกำหนดโดยคำตอบxของสมการ

${\displaystyle (\mathbf {xv} )^{\mathsf {T}}\!A\,(\mathbf {xv} )=1,}$

ที่เป็นเมทริกซ์ที่ชัดเจนในเชิงบวกและx , โวลต์เป็นพาหะ

eigenvectorsของกำหนดแกนหลักของทรงรีและค่าลักษณะเฉพาะของเป็นส่วนกลับของกำลังสองของกึ่งแกน-นี้:${\displaystyle a^{-2}}$, ${\displaystyle b^{-2}}$ และ ${\displaystyle c^{-2}}$. ^[17]การแปลงเชิงเส้นแบบพลิกกลับได้ที่ใช้กับทรงกลมทำให้เกิดทรงรี ซึ่งสามารถนำไปสู่รูปแบบมาตรฐานข้างต้นได้โดยการหมุนที่เหมาะสมซึ่งเป็นผลมาจากการสลายตัวของขั้ว (ดูทฤษฎีบทสเปกตรัมด้วย ) หากการแปลงเชิงเส้นแสดงด้วยเมทริกซ์ขนาด 3 คูณ 3 สมมาตรดังนั้นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์จะเป็นมุมฉาก (เนื่องจากทฤษฎีบทสเปกตรัม) และแสดงทิศทางของแกนของทรงรี ความยาวของครึ่งแกนคำนวณจากค่าลักษณะเฉพาะ การสลายตัวของค่าเอกพจน์และการสลายตัวของขั้วเป็นการสลายตัวของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการสังเกตทางเรขาคณิตเหล่านี้

การแสดงพารามิเตอร์ Para

ทรงรีเป็นภาพที่สัมพันธ์กันของทรงกลมหน่วย

กุญแจสำคัญในการแสดงพาราเมทริกของทรงรีในตำแหน่งทั่วไปคือคำจำกัดความทางเลือก:

ทรงรีเป็นภาพที่สัมพันธ์กันของทรงกลมหน่วย

การแปลงความคล้ายคลึงสามารถแสดงได้โดยการแปลด้วยเวกเตอร์${\displaystyle \mathbf {f} _{0}}$ และ 3×3-เมทริกซ์ปกติ ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} _{0}+A\mathbf {x} =\mathbf {f} _{0}+x\mathbf {f} _{1}+y\ mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$,

ที่ไหน ${\displaystyle \mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}}$ คือเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์ ${\displaystyle A}$.

การแสดงพาราเมทริกของทรงรีในตำแหน่งทั่วไปสามารถหาได้โดยการแสดงพาราเมทริกของทรงกลมหน่วย (ดูด้านบน) และการแปลงสัมพัทธ์:

${\displaystyle \mathbf {x} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{0}+\mathbf {f} _{1}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _ {2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\theta <{\frac {\pi }{2}},\ 0\leq \varphi <2\pi }$.

ถ้าเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}}$ สร้างระบบมุมฉาก จุดด้วยเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {f} _{0}\pm \mathbf {f} _{i},\ i=1,2,3,}$ คือจุดยอดของทรงรีและ ${\displaystyle \left|\mathbf {f} _{1}\right|,\left|\mathbf {f} _{2}\right|,\left|\mathbf {f} _{3}\right| }$ คือกึ่งแกนหลัก

เวกเตอร์ตั้งฉากพื้นผิวที่จุด ${\displaystyle \;\mathbf {x} (\theta ,\varphi )}$ คือ

${\displaystyle \mathbf {n} (\theta ,\varphi )=\mathbf {f} _{2}\times \mathbf {f} _{3}\cos \theta \cos \varphi +\mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

สำหรับทรงรีใด ๆ มีการแทนค่าโดยปริยาย ${\displaystyle F(x,y,z)=0}$. ถ้าเพื่อความง่าย จุดศูนย์กลางของทรงรีคือจุดกำเนิด เช่น${\displaystyle \mathbf {f} _{0}={\begin{bmatrix}0&0&0\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$สมการต่อไปนี้อธิบายวงรีด้านบน: ^[18]

${\displaystyle F(x,y,z)=\operatorname {det} \left(\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{ 2}+\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\operatorname {det} \ left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{ 1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

รูปทรงวงรีพบการใช้งานจริงมากมาย:

มาตรวิทยา

• ทรงรีโลกซึ่งเป็นตัวเลขทางคณิตศาสตร์ที่ใกล้เคียงกับรูปร่างของโลก
• อ้างอิง ทรงรีซึ่งเป็นตัวเลขทางคณิตศาสตร์ที่ใกล้เคียงกับรูปร่างของวัตถุดาวเคราะห์โดยทั่วไป

กลศาสตร์

• รี Poinsot ของ , วิธีการทางเรขาคณิตสำหรับการแสดงการเคลื่อนไหวแรงบิดฟรีหมุนวัตถุแข็งเกร็ง
• รูปรีความเครียดของLaméทางเลือกแทนวงกลมของ Mohr สำหรับการแสดงกราฟิกของสถานะความเครียด ณ จุดหนึ่ง
• รูปวงรี Manipulabilityใช้เพื่ออธิบายอิสระในการเคลื่อนไหวของหุ่นยนต์
• จาโคบีทรงรี , ทรงรีสามแกนที่เกิดจากของไหลหมุน

ผลึกศาสตร์

• ดัชนีทรงรีแผนภาพของทรงรีที่แสดงถึงการวางแนวและขนาดสัมพัทธ์ของดัชนีการหักเหของแสงในผลึก
• ทรงรีความร้อน ทรงรีที่ใช้ในผลึกศาสตร์เพื่อระบุขนาดและทิศทางของการสั่นสะเทือนทางความร้อนของอะตอมในโครงสร้างผลึก

แสงสว่าง

• สปอร์ตไลท์สะท้อนแสงทรงรี
• สปอตไลท์สะท้อนแสงทรงรี

ยา

• การวัดที่ได้จากการถ่ายภาพMRIของต่อมลูกหมากสามารถใช้กำหนดปริมาตรของต่อมได้โดยใช้ค่าประมาณL × W × H × 0.52 (โดยที่ 0.52 เป็นค่าประมาณสำหรับ พาย/6) ^[19]

คุณสมบัติไดนามิก

มวลของทรงรีของความหนาแน่นของเครื่องแบบρคือ:

${\displaystyle m=V\rho ={\tfrac {4}{3}}\pi abc\rho .\,\!}$

ช่วงเวลาของความเฉื่อยของทรงรีของความหนาแน่นของเครื่องแบบคือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{\mathrm {xx} }&={\frac {1}{5}}m\left(b^{2}+c^{2}\right),&I_{ \mathrm {yy} }&={\frac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\frac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }= I_{\mathrm {zx} }=0.\end{aligned}}\,\!}$

สำหรับa = b = cโมเมนต์ความเฉื่อยเหล่านี้จะลดลงจนกลายเป็นทรงกลมที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ