วงรี

วงรี: นิยามโดยผลรวมของระยะทางถึงจุดโฟกัส

วงรี: นิยามตามโฟกัสและไดเร็กซ์วงกลม

วงรีสามารถกำหนดทางเรขาคณิตเป็นเซตหรือตำแหน่งของจุดในระนาบยุคลิด:

กำหนดสองจุดคงที่ ${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$ เรียกว่าจุดโฟกัสและระยะทาง ${\ displaystyle 2a}$ ซึ่งมากกว่าระยะห่างระหว่างจุดโฟกัสวงรีคือเซตของจุด ${\ displaystyle P}$ นั่นคือผลรวมของระยะทาง ${\ displaystyle | PF_ {1} |, \ | PF_ {2} |}$ เท่ากับ ${\ displaystyle 2a}$: ${\ displaystyle E = \ {P \ in \ mathbb {R} ^ {2} \, \ mid \, | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a \} \.}$

จุดกึ่งกลาง ${\ displaystyle C}$ของส่วนของเส้นตรงที่เข้าร่วมจุดโฟกัสเรียกว่าจุดศูนย์กลางของวงรี เส้นผ่านจุดโฟกัสที่เรียกว่าแกนหลักและตั้งฉากกับมันเส้นผ่านศูนย์เป็นแกนเล็ก ๆ น้อย ๆแกนหลักตัดวงรีที่จุดยอดสองจุด ${\ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ซึ่งมีระยะทาง ${\ displaystyle a}$ไปที่ศูนย์ ระยะทาง${\ displaystyle c}$ของจุดโฟกัสไปยังศูนย์กลางเรียกว่าระยะโฟกัสหรือความเยื้องศูนย์กลางเชิงเส้น ผลหาร${\ displaystyle e = {\ tfrac {c} {a}}}$เป็นความผิดปกติ

กรณี ${\ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}$ ให้วงกลมและรวมเป็นวงรีชนิดพิเศษ

สมการ ${\ displaystyle | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a}$ สามารถดูได้หลายวิธี (ดูรูป):

ถ้า ${\ displaystyle c_ {2}}$ คือวงกลมที่มีจุดกึ่งกลาง ${\ displaystyle F_ {2}}$ และรัศมี ${\ displaystyle 2a}$แล้วระยะห่างของจุด ${\ displaystyle P}$ ไปที่วงกลม ${\ displaystyle c_ {2}}$ เท่ากับระยะโฟกัส ${\ displaystyle F_ {1}}$:

${\ displaystyle | PF_ {1} | = | Pc_ {2} |.}$

${\ displaystyle c_ {2}}$เรียกว่าวงกลม directrix (เกี่ยวข้องกับโฟกัส${\ displaystyle F_ {2}}$) ของวงรี ^{[1] [2]}คุณสมบัตินี้ไม่ควรสับสนกับความหมายของวงรีโดยใช้เส้นกำกับด้านล่าง

ใช้ทรงกลม Dandelinหนึ่งสามารถพิสูจน์ได้ว่าส่วนใด ๆ ของเครื่องบินกรวยกับเครื่องบินเป็นวงรีสมมติว่าเครื่องบินไม่ได้มีปลายยอดและมีความลาดชันน้อยกว่าที่ของสายที่กรวย

พารามิเตอร์รูปร่าง:

• a : แกนกึ่งสำคัญ
• b : แกนกึ่งรอง
• c : ความเยื้องศูนย์เชิงเส้น
• p : ทวารหนักกึ่ง latus (โดยปกติ${\ displaystyle \ ell}$).

สมการมาตรฐาน

รูปแบบมาตรฐานของวงรีในพิกัดคาร์ทีเซียนจะถือว่าจุดกำเนิดเป็นจุดศูนย์กลางของวงรีแกนxคือแกนหลักและ:

จุดโฟกัสคือจุด ${\ displaystyle F_ {1} = (c, \, 0), \ F_ {2} = (- c, \, 0)}$,

จุดยอดคือ ${\ displaystyle V_ {1} = (a, \, 0), \ V_ {2} = (- a, \, 0)}$.

สำหรับจุดโดยพลการ ${\ displaystyle (x, y)}$ ระยะโฟกัส ${\ displaystyle (c, 0)}$ คือ ${\ displaystyle {\ sqrt {(xc) ^ {2} + y ^ {2}}}}$ และไปยังจุดสนใจอื่น ๆ ${\ displaystyle {\ sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}}}$. ดังนั้นประเด็น${\ displaystyle (x, \, y)}$ อยู่บนวงรีเมื่อใดก็ตาม:

${\ displaystyle {\ sqrt {(xc) ^ {2} + y ^ {2}}} + {\ sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}} = 2a \.}$

การกำจัดอนุมูลโดยการยกกำลังสองที่เหมาะสมและใช้${\ displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2}}$สร้างสมการมาตรฐานของวงรี: ^[3]

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}$

หรือแก้ไขสำหรับy:

${\ displaystyle y = \ pm {\ frac {b} {a}} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} = \ pm {\ sqrt {\ left (a ^ {2} - x ^ {2} \ right) \ left (1-e ^ {2} \ right)}}}$

พารามิเตอร์ความกว้างและความสูง ${\ displaystyle a, \; b}$จะเรียกว่ากึ่งแกนสำคัญและกึ่งรอง จุดบนและล่าง${\ displaystyle V_ {3} = (0, \, b), \; V_ {4} = (0, \, - b)}$เป็นผู้ร่วมจุด- ระยะทางจากจุดหนึ่ง${\ displaystyle (x, \, y)}$ บนวงรีไปทางซ้ายและขวาโฟกัสคือ ${\ displaystyle a + ex}$ และ ${\ displaystyle a-ex}$.

ตามมาจากสมการที่วงรีสมมาตรเมื่อเทียบกับแกนพิกัดและด้วยเหตุนี้จึงเกี่ยวกับจุดกำเนิด

พารามิเตอร์

แกนหลัก

ตลอดบทความนี้จะแสดงแกนกึ่งหลักและกึ่งรอง${\ displaystyle a}$ และ ${\ displaystyle b}$ตามลำดับกล่าวคือ ${\ displaystyle a \ geq b> 0 \.}$

โดยหลักการแล้วสมการวงรีที่เป็นที่ยอมรับ ${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ อาจจะมี ${\ displaystyle a$(และด้วยเหตุนี้วงรีจึงสูงกว่าความกว้าง) แบบฟอร์มนี้สามารถแปลงเป็นรูปแบบมาตรฐานได้โดยการย้ายชื่อตัวแปร${\ displaystyle x}$ และ ${\ displaystyle y}$ และชื่อพารามิเตอร์ ${\ displaystyle a}$ และ ${\ displaystyle b.}$

ความเยื้องศูนย์เชิงเส้น

นี่คือระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงโฟกัส: ${\ displaystyle c = {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$.

ความเยื้องศูนย์

ความเยื้องศูนย์สามารถแสดงเป็น:

${\ displaystyle e = {\ frac {c} {a}} = {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) ^ {2}}}}$,

สมมติ ${\ displaystyle a> b.}$ วงรีที่มีแกนเท่ากัน (${\ displaystyle a = b}$) มีความเยื้องศูนย์เป็นศูนย์และเป็นวงกลม

ทวารหนักกึ่งลาตัส

ความยาวของคอร์ดผ่านโฟกัสตั้งฉากกับแกนหลักที่เรียกว่าทวารหนัก Latus ครึ่งหนึ่งเป็นทวารหนักกึ่งลาตัส ${\ displaystyle \ ell}$. การคำนวณแสดง:

${\ displaystyle \ ell = {\ frac {b ^ {2}} {a}} = a \ left (1-e ^ {2} \ right)}$^[4]

ทวารหนักกึ่งลาตัส ${\ displaystyle \ ell}$เท่ากับรัศมีความโค้งที่จุดยอด (ดูส่วนโค้ง )

สัมผัส

เส้นโดยพลการ ${\ displaystyle g}$ ตัดกับวงรีที่ ${\ displaystyle 0}$, ${\ displaystyle 1}$, หรือ ${\ displaystyle 2}$จุดตามลำดับเรียกว่าสายนอก , สัมผัสและsecant ผ่านจุดใด ๆ ของวงรีจะมีแทนเจนต์ที่ไม่ซ้ำกัน แทนเจนต์ที่จุด${\ displaystyle (x_ {1}, \, y_ {1})}$ ของวงรี ${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ มีสมการพิกัด:

${\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + {\ frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} y = 1.}$

สมการพาราเมตริกเวกเตอร์ของแทนเจนต์คือ:

${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ y_ {1} \ end {pmatrix}} + s {\ begin {pmatrix} \; \! - y_ {1} ก ^ {2} \\\; \ \ \ x_ {1} b ^ {2} \ end {pmatrix}} \}$ ด้วย ${\ displaystyle \ s \ in \ mathbb {R} \.}$

หลักฐาน:ให้${\ displaystyle (x_ {1}, \, y_ {1})}$ เป็นจุดบนวงรีและ ${\ textstyle {\ vec {x}} = {\ begin {pmatrix} x_ {1} \\ y_ {1} \ end {pmatrix}} + s {\ begin {pmatrix} u \\ v \ end {pmatrix} }}$ เป็นสมการของเส้นใดก็ได้ ${\ displaystyle g}$ ที่มี ${\ displaystyle (x_ {1}, \, y_ {1})}$. การแทรกสมการของเส้นลงในสมการวงรีและการเคารพ${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y_ {1} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ผลตอบแทน:

${\ displaystyle {\ frac {\ left (x_ {1} + su \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {\ left (y_ {1} + sv \ right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \ \ quad \ Longrightarrow \ quad 2s \ left ({\ frac {x_ {1} u} {a ^ {2}}} + {\ frac {y_ { 1} v} {b ^ {2}}} \ right) + s ^ {2} \ left ({\ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {v ^ { 2}} {b ^ {2}}} \ right) = 0 \.}$

มีกรณีดังต่อไปนี้:

1. ${\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + {\ frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} v = 0.}$ จากนั้นบรรทัด ${\ displaystyle g}$ และวงรีมีจุดเท่านั้น ${\ displaystyle (x_ {1}, \, y_ {1})}$ เหมือนกันและ ${\ displaystyle g}$เป็นแทนเจนต์ ทิศทางแทนเจนต์มีเวกเตอร์ตั้งฉาก ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} & {\ frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} \ end {pmatrix}} }$เส้นสัมผัสจึงมีสมการ ${\ textstyle {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + {\ tfrac {y_ {1}} {b ^ {2}}} y = k}$ สำหรับบางคน ${\ displaystyle k}$. เพราะ${\ displaystyle (x_ {1}, \, y_ {1})}$ อยู่บนแทนเจนต์และวงรีหนึ่งได้รับ ${\ displaystyle k = 1}$.
2. ${\ displaystyle {\ frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + {\ frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} v \ neq 0. }$ จากนั้นบรรทัด ${\ displaystyle g}$ มีจุดที่สองที่เหมือนกันกับวงรีและเป็นตัวคั่น

การใช้ (1) หนึ่งพบว่า ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -y_ {1} a ^ {2} & x_ {1} b ^ {2} \ end {pmatrix}}}$ คือเวกเตอร์แทนเจนต์ที่จุด ${\ displaystyle (x_ {1}, \, y_ {1})}$ซึ่งพิสูจน์สมการเวกเตอร์

ถ้า ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ และ ${\ displaystyle (u, v)}$ เป็นสองจุดของวงรี ${\ textstyle {\ frac {x_ {1} u} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y_ {1} v} {b ^ {2}}} = 0}$จากนั้นจุดจะอยู่บนเส้นผ่านศูนย์กลางคอนจูเกตสองเส้น (ดูด้านล่าง ) (ถ้า${\ displaystyle a = b}$วงรีคือวงกลมและ "คอนจูเกต" หมายถึง "มุมฉาก")

วงรีกะ

ถ้าวงรีมาตรฐานถูกเลื่อนให้มีจุดศูนย์กลาง ${\ displaystyle \ left (x _ {\ circ}, \, y _ {\ circ} \ right)}$สมการของมันคือ

${\ displaystyle {\ frac {\ left (x-x _ {\ circ} \ right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {\ left (y-y _ {\ circ} \ right ) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 \.}$

แกนยังคงขนานกับแกน x และแกน y

วงรีทั่วไป

ในเรขาคณิตวิเคราะห์วงรีถูกกำหนดให้เป็นกำลังสอง : ชุดของจุด${\ displaystyle (X, \, Y)}$ของระนาบคาร์ทีเซียนซึ่งในกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพจะเป็นไปตามสมการโดยนัย^{[5] [6]}

${\ displaystyle AX ^ {2} + BXY + CY ^ {2} + DX + EY + F = 0}$

ให้ ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC <0.}$

ในการแยกแยะกรณีเสื่อมออกจากกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพให้∆เป็นตัวกำหนด

${\ displaystyle \ Delta = {\ begin {vmatrix} A & {\ frac {1} {2}} B & {\ frac {1} {2}} D \\ {\ frac {1} {2}} B&C & {\ frac {1} {2}} E \\ {\ frac {1} {2}} D & {\ frac {1} {2}} E&F \ end {vmatrix}} = \ left (AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}} \ right) F + {\ frac {BED} {4}} - {\ frac {CD ^ {2}} {4}} - {\ frac {AE ^ {2}} { 4}}.}$

จากนั้นวงรีจะเป็นวงรีจริงที่ไม่เสื่อมสภาพก็ต่อเมื่อC∆ <0 เท่านั้นถ้าC∆ > 0 เรามีวงรีในจินตนาการและถ้า∆ = 0 แสดงว่าเรามีจุดวงรี ^{[7] : น. 63}

ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการทั่วไปสามารถหาได้จากแกนกึ่งหลักที่ทราบ ${\ displaystyle a}$แกนกึ่งรอง ${\ displaystyle b}$, พิกัดกลาง ${\ displaystyle \ left (x _ {\ circ}, \, y _ {\ circ} \ right)}$และมุมการหมุน ${\ displaystyle \ theta}$ (มุมจากแกนนอนบวกไปยังแกนหลักของวงรี) โดยใช้สูตร:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} A & = a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta \\ B & = 2 \ left (b ^ {2 } -a ^ {2} \ right) \ sin \ theta \ cos \ theta \\ C & = a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta + b ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ \ D & = - 2Ax _ {\ circ} -By _ {\ circ} \\ E & = - Bx _ {\ circ} -2Cy _ {\ circ} \\ F & = Ax _ {\ circ} ^ {2} + Bx _ {\ circ} y _ {\ circ} + Cy _ {\ circ} ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2}. \ end {aligned}}}$

นิพจน์เหล่านี้ได้มาจากสมการบัญญัติ ${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ โดยการแปลงความสัมพันธ์ของพิกัด ${\ displaystyle (x, \, y)}$:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = \ left (X-x _ {\ circ} \ right) \ cos \ theta + \ left (Y-y _ {\ circ} \ right) \ sin \ theta \\ y & = - \ left (X-x _ {\ circ} \ right) \ sin \ theta + \ left (Y-y _ {\ circ} \ right) \ cos \ theta. \ end {aligned}}}$

ในทางกลับกันพารามิเตอร์รูปแบบบัญญัติสามารถหาได้จากค่าสัมประสิทธิ์รูปแบบทั่วไปโดยสมการ:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} a, b & = {\ frac {- {\ sqrt {2 {\ Big (} AE ^ {2} + CD ^ {2} -BDE + (B ^ {2} -4AC) F {\ Big)} \ left ((A + C) \ pm {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} \ right)}}} {B ^ {2} -4AC} } \\ x _ {\ circ} & = {\ frac {2CD-BE} {B ^ {2} -4AC}} \\ [3pt] y _ {\ circ} & = {\ frac {2AE-BD} {B ^ {2} -4AC}} \\ [3pt] \ theta & = {\ begin {cases} \ arctan \ left ({\ frac {1} {B}} \ left (CA - {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} \ right) \ right) & {\ text {for}} B \ neq 0 \\ 0 & {\ text {for}} B = 0, \ A C \\\ end {cases}} \ end {aligned}}}$

การสร้างจุดตามสมการพาราเมตริกและการตีความพารามิเตอร์ tซึ่งเกิดจาก de la Hire

จุดวงรีคำนวณโดยการแสดงเหตุผลด้วยพารามิเตอร์ที่เว้นระยะห่างเท่ากัน ( ${\ displaystyle \ Delta u = 0.2}$).

การแทนค่าพารามิเตอร์มาตรฐาน

การใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติการแสดงพาราเมตริกของวงรีมาตรฐาน${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ คือ:

${\ displaystyle (x, \, y) = (a \ cos t, \, b \ sin t), \ 0 \ leq t <2 \ pi \.}$

พารามิเตอร์t (เรียกว่าความผิดปกติทางดาราศาสตร์) ไม่ใช่มุมของ${\ displaystyle (x (t), y (t))}$ด้วยแกนxแต่มีความหมายทางเรขาคณิตเนื่องจากPhilippe de La Hire (ดูการวาดจุดไข่ปลาด้านล่าง) ^[8]

การแสดงเหตุผล

ด้วยการเปลี่ยนตัว ${\ textstyle u = \ tan \ left ({\ frac {t} {2}} \ right)}$ และสูตรตรีโกณมิติที่เราได้รับ

${\ displaystyle \ cos t = {\ frac {1-u ^ {2}} {u ^ {2} +1}} \, \ quad \ sin t = {\ frac {2u} {u ^ {2} + 1}}}$

และสมการพาราเมตริกเชิงเหตุผลของวงรี

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x (u) & = a {\ frac {1-u ^ {2}} {u ^ {2} +1}} \\ y (u) & = {\ frac { 2bu} {u ^ {2} +1}} \ end {aligned}} \;, \ quad - \ infty$

ซึ่งครอบคลุมจุดใด ๆ ของวงรี ${\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$ ยกเว้นจุดยอดด้านซ้าย ${\ displaystyle (-a, \, 0)}$.

สำหรับ ${\ displaystyle u \ in [0, \, 1],}$ สูตรนี้แสดงถึงไตรมาสบนด้านขวาของวงรีที่เคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาโดยเพิ่มขึ้น ${\ displaystyle u.}$ จุดยอดด้านซ้ายคือขีด จำกัด ${\ displaystyle \ lim _ {u \ to \ pm \ infty} (x (u), \, y (u)) = (- a, \, 0) \ ;. }$

การแสดงเชิงเหตุผลของภาคตัดกรวยมักใช้ในการออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (ดูเส้นโค้ง Bezier )

ความชันแทนเจนต์เป็นพารามิเตอร์

การแสดงพาราเมตริกซึ่งใช้ความชัน ${\ displaystyle m}$ ของแทนเจนต์ที่จุดหนึ่งของวงรีสามารถหาได้จากอนุพันธ์ของการแทนค่ามาตรฐาน ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t) = (a \ cos t, \, b \ sin t) ^ {\ mathsf {T}}}$:

${\ displaystyle {\ vec {x}} '(t) = (- a \ sin t, \, b \ cos t) ^ {\ mathsf {T}} \ quad \ rightarrow \ quad m = - {\ frac { b} {a}} \ cot t \ quad \ rightarrow \ quad \ cot t = - {\ frac {ma} {b}}}$

ด้วยความช่วยเหลือของสูตรตรีโกณมิติหนึ่งจะได้รับ:

${\ displaystyle \ cos t = {\ frac {\ cot t} {\ pm {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2} t}}}} = {\ frac {-ma} {\ pm {\ sqrt { m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}} \, \ quad \ quad \ sin t = {\ frac {1} {\ pm {\ sqrt {1+ \ cot ^ {2 } t}}}} = {\ frac {b} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$

การเปลี่ยน ${\ displaystyle \ cos t}$ และ ${\ displaystyle \ sin t}$ ของการแสดงมาตรฐานให้ผลตอบแทน:

${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m) = \ left (- {\ frac {ma ^ {2}} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}, \; {\ frac {b ^ {2}} {\ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}} \ right), \, m \ in \ mathbb {R}.}$

ที่นี่ ${\ displaystyle m}$ คือความชันของเส้นสัมผัสที่จุดวงรีที่สอดคล้องกัน ${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {+}}$ คือส่วนบนและ ${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {-}}$ครึ่งล่างของวงรี จุดยอด${\ displaystyle (\ pm a, \, 0)}$การมีเส้นสัมผัสในแนวตั้งจะไม่ครอบคลุมโดยการแสดง

สมการของแทนเจนต์ที่จุด ${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m)}$ มีแบบฟอร์ม ${\ displaystyle y = mx + n}$. ยังไม่ทราบ${\ displaystyle n}$ สามารถกำหนดได้โดยการแทรกพิกัดของจุดวงรีที่เกี่ยวข้อง ${\ displaystyle {\ vec {c}} _ {\ pm} (m)}$:

${\ displaystyle y = mx \ pm {\ sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}} \ ;. }$

รายละเอียดของเสียบ้างของวงรีนี้เป็นเครื่องมือที่จำเป็นสำหรับความมุ่งมั่นของorthopticของวงรี บทความเกี่ยวกับกระดูกมีข้อพิสูจน์อื่นโดยไม่มีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และสูตรตรีโกณมิติ

วงรีทั่วไป

วงรีเป็นภาพเหมือนของวงกลมหน่วย

คำจำกัดความอีกประการหนึ่งของวงรีใช้การแปลงความสัมพันธ์ :

วงรี ใด ๆ คือรูปเหมือนของวงกลมหน่วยที่มีสมการ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$.

การแสดงพารามิเตอร์

การเปลี่ยนแปลงของเครื่องบินแบบยุคลิดมีรูปแบบ ${\ displaystyle {\ vec {x}} \ mapsto {\ vec {f}} \! _ {0} + A {\ vec {x}}}$, ที่ไหน ${\ displaystyle A}$เป็นปกติเมทริกซ์ (ที่มีไม่ใช่ศูนย์ปัจจัย ) และ${\ displaystyle {\ vec {f}} \! _ {0}}$เป็นเวกเตอร์ตามอำเภอใจ ถ้า${\ displaystyle {\ vec {f}} \! _ {1}, {\ vec {f}} \! _ {2}}$ คือเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์ ${\ displaystyle A}$วงกลมหน่วย ${\ displaystyle (\ cos (t), \ sin (t))}$, ${\ displaystyle 0 \ leq t \ leq 2 \ pi}$ถูกแมปลงบนวงรี: