องค์ประกอบ (คณิตศาสตร์)

การเขียน ${\ displaystyle A = \ {1,2,3,4 \}}$หมายความว่าองค์ประกอบของชุดมีตัวเลข 1, 2, 3 และ 4 ชุดขององค์ประกอบของยกตัวอย่างเช่น${\ displaystyle \ {1,2 \}}$เป็นส่วนย่อยของ

ชุดสามารถเป็นองค์ประกอบได้ ตัวอย่างเช่นพิจารณาชุด${\ displaystyle B = \ {1,2, \ {3,4 \} \}}$. องค์ประกอบของBเป็นไม่ได้ที่ 1, 2, 3, และ 4 แต่มีเพียงสามองค์ประกอบของBคือหมายเลข 1 และ 2 และชุด${\ displaystyle \ {3,4 \}}$.

องค์ประกอบของชุดสามารถเป็นอะไรก็ได้ ตัวอย่างเช่น,${\ displaystyle C = \ {\ mathrm {\ color {red} red}, \ mathrm {\ color {green} green}, \ mathrm {\ color {blue} blue} \}}$เป็นชุดที่มีองค์ประกอบสีแดง , สีเขียวและสีฟ้า

ความสัมพันธ์ "เป็นองค์ประกอบของ" เรียกว่าเป็นสมาชิกชุดจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ "∈" การเขียน

${\ displaystyle x \ in A}$

หมายความว่า " xเป็นองค์ประกอบของ  A " ^{[1] [2]}นิพจน์เทียบเท่าคือ " xเป็นสมาชิกของ  A ", " xเป็นของ  A ", " xอยู่ใน  A " และ " xอยู่ใน  A " นอกจากนี้นิพจน์ " Aรวมx " และ " Aมีx " ยังใช้เพื่อหมายถึงการเป็นสมาชิกชุดแม้ว่าผู้เขียนบางคนจะใช้เพื่อหมายถึง " xเป็นส่วนย่อยของ  A " ก็ตาม ^{[3] นัก}ตรรกะGeorge Boolosขอเรียกร้องอย่างยิ่งว่า "มี" ให้ใช้สำหรับการเป็นสมาชิกเท่านั้นและ "รวม" สำหรับความสัมพันธ์ส่วนย่อยเท่านั้น ^[4]

สำหรับความสัมพันธ์ ∈ อาจเขียนความสัมพันธ์แบบสนทนา ∈ ^Tได้

${\ displaystyle A \ ni x,}$หมายถึง " Aมีหรือรวม x "

การปฏิเสธของการเป็นสมาชิกเซ็ตจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ "∉" การเขียน

${\ displaystyle x \ notin A}$หมายความว่า " xไม่ใช่องค์ประกอบของ  A " ^[1]

สัญลักษณ์∈ถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรกโดยจูเซปเป้อาโน่ในของเขา 1889 งานArithmetices principia โนวา methodo exposita ^{[5] ที่}นี่เขาเขียนไว้ในหน้า X:

Signum ∈สำคัญ est. Ita a ∈ b Legitur a est quoddam b; …

ซึ่งหมายความว่า

สัญลักษณ์∈วิธีคือ ดังนั้น a ∈ b จึงอ่านว่า a คือ a b; …

สัญลักษณ์นี้เป็นอักษรกรีกตัวพิมพ์เล็กแบบสไตไลซ์ epsilon ("ϵ") ซึ่งเป็นอักษรตัวแรกของคำว่าἐστίซึ่งแปลว่า "คือ" ^[5]

จำนวนขององค์ประกอบในชุดใดชุดหนึ่งเป็นทรัพย์สินที่รู้จักกันเป็นcardinality ; นี่คือขนาดของชุดอย่างไม่เป็นทางการ ^[6]ในตัวอย่างข้างต้นจำนวนคาร์ดินาลลิตี้ของเซต  Aคือ 4 ในขณะที่คาร์ดินาลิตี้ของเซตBและเซตCมีทั้ง 3 เซตอนันต์คือเซตที่มีจำนวนองค์ประกอบไม่สิ้นสุดในขณะเซต จำกัดคือเซต ด้วยองค์ประกอบจำนวน จำกัด ตัวอย่างข้างต้นเป็นตัวอย่างของเซต จำกัด ตัวอย่างของเซตอนันต์คือเซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }

การใช้ชุดที่กำหนดไว้ข้างต้น ได้แก่A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, {3, 4}} และC = {แดงเขียวน้ำเงิน} ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

• 2 ∈ ก
• 5 ∉ ก
• {3,4} ∈ B
• 3 ∉ ข
• 4 ∉ ข
• เหลือง∉ C

• องค์ประกอบประจำตัว
• Singleton (คณิตศาสตร์)

• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Naive Set Theory , Undergraduate Texts in Mathematics (Hardcover ed.), NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6 - "ไร้เดียงสา" หมายความว่ามันไม่ได้ถูกทำให้เป็นจริงอย่างสมบูรณ์ไม่ใช่ว่าโง่หรือง่าย (การรักษาของ Halmos ก็ไม่ใช่)
• Jech, Thomas (2002), "Set Theory", สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด
• Suppes, Patrick (1972) [1960], Axiomatic Set Theory , NY: Dover Publications, Inc. , ISBN 0-486-61630-4 - ทั้งความคิดเรื่องเซต (ชุดของสมาชิก) การเป็นสมาชิกหรือองค์ประกอบ - ประทุนสัจพจน์ของการขยายสัจพจน์ของการแยกและสัจพจน์ของสหภาพ (สมมติว่าเรียกว่าสัจพจน์รวม) เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อความเข้าใจอย่างถ่องแท้ยิ่งขึ้นเกี่ยวกับ " ตั้งค่าองค์ประกอบ ".