ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้น

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา

ในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ระยะทางจากจุดที่จะบรรทัดเป็นที่สั้นที่สุดระยะทางจากที่กำหนดจุดไปยังจุดใด ๆ บนอนันต์เส้นตรง มันคือระยะตั้งฉากของจุดกับเส้นความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดกับจุดที่ใกล้ที่สุดบนเส้น สูตรในการคำนวณสามารถได้มาและแสดงได้หลายวิธี

การรู้ระยะทางจากจุดหนึ่งถึงเส้นจะมีประโยชน์ในสถานการณ์ต่างๆเช่นการหาระยะทางที่สั้นที่สุดในการไปถึงถนนการหาจำนวนการกระจายบนกราฟเป็นต้นในการถดถอยเดมิงการปรับเส้นโค้งเชิงเส้นประเภทหนึ่งหาก ตัวแปรตามและตัวแปรอิสระมีความแปรปรวนเท่ากันซึ่งส่งผลให้เกิดการถดถอยแบบมุมฉากซึ่งระดับของความไม่สมบูรณ์ของความพอดีจะถูกวัดสำหรับแต่ละจุดข้อมูลเป็นระยะทางตั้งฉากของจุดจากเส้นการถดถอย

พิกัดคาร์ทีเซียน[ แก้ไข]

เส้นที่กำหนดโดยสมการ[ แก้ไข]

ในกรณีของเส้นในระนาบที่กำหนดโดยสมการax + โดย + c = 0โดยที่a , bและcเป็นค่าคงที่จริงโดยaและbไม่ใช่ศูนย์ทั้งคู่ระยะทางจากเส้นถึงจุด( x 0 , y 0 )คือ[1] [2] : น. 14

จุดบนเส้นนี้ซึ่งใกล้ที่สุด( x 0 , y 0 )มีพิกัด: [3]

เส้นแนวนอนและแนวตั้ง

ในสมการทั่วไปของสาย, ขวาน + โดย + C = 0 , และไม่สามารถทั้งเป็นศูนย์เว้นแต่ยังเป็นศูนย์ซึ่งในกรณีนี้สมการไม่ได้กำหนดบรรทัด ถ้าa = 0และb ≠ 0เส้นจะเป็นแนวนอนและมีสมการy = -/. ระยะทางจาก( x 0 , y 0 )ถึงเส้นนี้วัดตามส่วนของเส้นแนวตั้งของความยาว| y 0 - (-/) | =| โดย0 + c |/| b |ตามสูตร ในทำนองเดียวกันสำหรับเส้นแนวตั้ง ( b = 0) ระยะห่างระหว่างจุดเดียวกันกับเส้นคือ| ขวาน0 + c |/| |ตามที่วัดตามส่วนของเส้นแนวนอน

เส้นที่กำหนดโดยจุดสองจุด[ แก้ไข]

ถ้าเส้นผ่านจุดสองจุดP 1 = ( x 1 , y 1 )และP 2 = ( x 2 , y 2 )ระยะห่างของ( x 0 , y 0 )จากเส้นคือ: [4]

ตัวหารของการแสดงออกนี้เป็นระยะห่างระหว่างP 1และP 2 เศษเป็นสองเท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดที่สามจุด( x 0 , Y 0 ) , P 1และP 2 ดู: พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม§ใช้พิกัด นิพจน์เทียบเท่ากับh =2 /ซึ่งหาได้จากการจัดเรียงสูตรมาตรฐานใหม่สำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม: A =1/2 bhโดยที่ bคือความยาวของด้านข้างและ hคือความสูงที่ตั้งฉากจากจุดยอดตรงข้าม

หลักฐาน[ แก้ไข]

การพิสูจน์พีชคณิต[ แก้ไข]

การพิสูจน์นี้ใช้ได้ก็ต่อเมื่อเส้นนั้นไม่ใช่แนวตั้งหรือแนวนอนนั่นคือเราถือว่าทั้งaและbในสมการของเส้นนั้นไม่มีค่าเป็นศูนย์

เส้นที่มีสมการขวาน + by + c = 0มีความชัน- a / bดังนั้นเส้นใด ๆ ที่ตั้งฉากกับมันจะมีความชันb / a (ซึ่งกันและกันเป็นลบ) ให้( m , n )เป็นจุดตัดของเส้นขวาน + โดย + c = 0และเส้นตั้งฉากกับมันซึ่งผ่านจุด ( x 0 , y 0 ) เส้นผ่านจุดทั้งสองนี้ตั้งฉากกับเส้นเดิมดังนั้น

ดังนั้น และโดยการยกกำลังสองสมการนี้เราได้:

ตอนนี้พิจารณา

โดยใช้สมการกำลังสองข้างต้น แต่เรายังมี

ตั้งแต่( ม. , n )อยู่บนขวาน + โดย + C = 0 ด้วยประการฉะนี้

และเราได้ความยาวของส่วนของเส้นตรงที่กำหนดโดยจุดทั้งสองนี้

[5]

หลักฐานทางเรขาคณิต[ แก้ไข]

แผนภาพสำหรับการพิสูจน์ทางเรขาคณิต

หลักฐานนี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่เส้นไม่ใช่แนวนอนหรือแนวตั้ง [6]

วางตั้งฉากจากจุดPมีพิกัด ( x 0 , Y 0 ) เพื่อสอดคล้องกับสมการAx + By + C = 0 ฉลากเท้าของตั้งฉากRวาดเส้นแนวตั้งผ่านPและป้ายตัดกับเส้นที่กำหนดSณ จุดใดก็ได้Tบนเส้นให้วาดTVUสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านข้างเป็นส่วนของเส้นแนวนอนและแนวตั้งโดยมีด้านตรงข้ามมุมฉากTUบนเส้นที่กำหนดและด้านแนวนอนของความยาว | B | (ดูแผนภาพ) ด้านแนวตั้งของ ∆ TVUจะมีความยาว | A | ตั้งแต่บรรทัดมีความลาดชัน - / B

PRSและ ∆ TVUเป็นรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันเนื่องจากทั้งสองเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากและ∠ PSR ≅∠ TUVเนื่องจากเป็นมุมที่สอดคล้องกันของเส้นขวางกับเส้นขนานPSและUV (ทั้งสองเป็นเส้นแนวตั้ง) [7]ด้านที่สอดคล้องกันของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้อยู่ในอัตราส่วนเดียวกันดังนั้น:

ถ้าจุดSมีพิกัด ( x 0 , m ) แล้ว | PS | = | y 0 - ม. | และระยะทางจากPถึงเส้นคือ:

เนื่องจากSอยู่บนเส้นเราจึงหาค่า m ได้

และในที่สุดก็ได้รับ: [8]

รูปแบบของการพิสูจน์นี้คือการที่วีพีและคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมΔ UVTสองวิธีที่จะได้รับว่าที่ D เป็นระดับความสูงของΔ UVTดึงไปด้านตรงข้ามมุมฉากของΔ UVTจากP สูตรระยะจากนั้นจะสามารถใช้ในการแสดง, และในแง่ของพิกัดของ P และค่าสัมประสิทธิ์ของสมการของเส้นที่จะได้รับสูตรที่ระบุ [ ต้องการอ้างอิง ]

หลักฐานการฉายภาพเวกเตอร์[ แก้ไข]

ให้Pเป็นจุดที่มีพิกัด ( x 0 , Y 0 ) และปล่อยให้สายให้ได้สมขวาน + โดย + C = 0 นอกจากนี้ให้Q = ( x 1 , y ที่1 ) เป็นจุดบนเส้นนี้และใด ๆnเวกเตอร์ ( , B ) เริ่มต้นที่จุดQ เวกเตอร์nตั้งฉากกับเส้นและระยะทางdจากจุดPถึงเส้นเท่ากับความยาวของเส้นโครงฉากบนn. ความยาวของการฉายภาพนี้กำหนดโดย:

ตอนนี้

ดังนั้นและ

ดังนั้น

เนื่องจากQเป็นจุดบนเส้นดังนั้น[9]

แม้ว่าระยะทางจะถูกกำหนดให้เป็นโมดูลัส แต่เครื่องหมายก็มีประโยชน์ในการกำหนดว่าจุดอยู่ด้านใดของเส้นในแง่ที่กำหนดโดยทิศทางของเวกเตอร์ปกติ (a, b)

สูตรอื่น[ แก้ไข]

เป็นไปได้ที่จะสร้างนิพจน์อื่นเพื่อหาระยะทางที่สั้นที่สุดของจุดถึงเส้น การได้มานี้ยังกำหนดให้เส้นไม่ใช่แนวตั้งหรือแนวนอน

จุด P ถูกกำหนดด้วยพิกัด ( ) สมการของเส้นจะได้รับจาก สมการของปกติของเส้นที่ผ่านจุด P จะได้รับ

จุดที่เส้นทั้งสองนี้ตัดกันคือจุดที่ใกล้ที่สุดบนเส้นเดิมถึงจุด P ดังนั้น:

เราแก้สมการนี้ของxได้

Yพิกัดของจุดตัดที่สามารถพบได้โดยการแทนค่านี้xเป็นสมการของเส้นเดิม

การใช้สมการเพื่อหาระยะห่างระหว่างจุด 2 จุดเราสามารถอนุมานได้ว่าสูตรในการหาระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างเส้นกับจุดมีดังต่อไปนี้:

เมื่อนึกถึงว่าm = - a / bและk = - c / bสำหรับเส้นที่มีสมการax + by + c = 0 การทำให้เข้าใจง่ายเกี่ยวกับพีชคณิตเล็กน้อยจะลดสิ่งนี้ลงในนิพจน์มาตรฐาน [3]

การกำหนดเวกเตอร์[ แก้ไข]

ภาพประกอบของการกำหนดเวกเตอร์

สมการของเส้นสามารถกำหนดได้ในรูปแบบเวกเตอร์ :

นี่เป็นจุดบนเส้นและnเป็น เวกเตอร์หนึ่งหน่วยในทิศทางของเส้น จากนั้นเมื่อสเกลาร์tแปรผันxจะให้ตำแหน่งของเส้น

ระยะห่างของจุดโดยพลการpถึงบรรทัดนี้กำหนดโดย

สูตรนี้จะได้รับดังนี้เป็นเวกเตอร์จากไปยังจุดP จากนั้นคือความยาวที่คาดการณ์ไว้บนเส้นและอื่น ๆ

เป็นเวกเตอร์ที่มีการฉายของบนเส้นและแสดงให้เห็นถึงจุดบนเส้นที่ใกล้เคียงกับ ด้วยประการฉะนี้

เป็นส่วนประกอบของการตั้งฉากกับเส้น ระยะทางจากจุดถึงเส้นจะเป็นเพียงบรรทัดฐานของเวกเตอร์นั้น [4]สูตรทั่วไปนี้ไม่ได้ จำกัด ไว้ที่สองมิติ

การกำหนดเวกเตอร์อื่น[ แก้ไข]

หากพื้นที่เวกเตอร์คือorthonormalและถ้าสายไปผ่านจุดและมีเวกเตอร์ทิศทางnระยะห่างระหว่างจุดPและสายคือ

โปรดทราบว่าผลิตภัณฑ์ข้ามมีอยู่ในมิติที่ 3 และ 7 เท่านั้น

ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]

  • เฮสเซรูปแบบปกติ
  • จุดตัดบรรทัด
  • ระยะห่างระหว่างสองบรรทัด
  • ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังเครื่องบิน
  • เส้นเอียง # ระยะทาง

หมายเหตุ[ แก้ไข]

  1. ^ Larson & ฮอสเท็ท 2007พี 452
  2. ^ สเปน 2007
  3. ^ a b Larson & Hostetler 2007 , p. 522
  4. ^ a b อาทิตย์แดน. "เส้นและระยะทางของจุดต่อเส้น" . softSurfer . สืบค้นเมื่อ6 ธันวาคม 2556 .
  5. ^ ระหว่างความแน่นอนและความไม่แน่นอน: สถิติและความน่าจะเป็นในห้าหน่วยพร้อมหมายเหตุเกี่ยวกับต้นกำเนิดทางประวัติศาสตร์และตัวอย่างตัวเลขเชิงภาพประกอบ
  6. ^ Ballantine & Jerbert 1952ไม่ได้กล่าวถึงข้อ จำกัด นี้ในบทความของพวกเขา
  7. ^ ถ้าสามเหลี่ยมทั้งสองอยู่คนละฟากของเส้นมุมเหล่านี้จะเท่ากันเนื่องจากเป็นมุมภายในแบบอื่น
  8. ^ Ballantine & Jerbert 1952
  9. ^ แอนตัน 1994 , PP. 138-9

อ้างอิง[ แก้ไข]

  • Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
  • Ballantine, JP; Jerbert, AR (1952), "ระยะทางจากเส้นหรือระนาบถึงจุดหนึ่ง", American Mathematical Monthly , 59 (4): 242–243, doi : 10.2307 / 2306514 , JSTOR  2306514
  • ลาร์สัน, รอน; Hostetler, Robert (2007), Precalculus: A Concise Course , Houghton Mifflin Co. , ISBN 978-0-618-62719-6
  • สเปน, แบร์รี่ (2550) [2500], Conics เชิงวิเคราะห์ , สิ่งพิมพ์โดเวอร์, ISBN 978-0-486-45773-4

อ่านเพิ่มเติม[ แก้ไข]

  • เดซ่า, มิเชลมารี ; Deza, Elena (2013), สารานุกรมระยะทาง (2nd ed.), Springer, p. 86, ISBN 9783642309588