ระยะทาง

ระยะทางกายภาพ

เส้นทางสายการบินระหว่าง ลอสแองเจลิสและ โตเกียวโดยประมาณตาม เส้นทางวงกลมใหญ่ (บนสุด) แต่ใช้ เจ็ทสตรีม (ด้านล่าง) เมื่อมุ่งหน้าไปทางตะวันออก โปรดทราบว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดจะปรากฏเป็นเส้นโค้งแทนที่จะเป็นเส้นตรงเนื่องจากแผนที่นี้เป็นการ ฉายภาพของ Mercatorซึ่งไม่ได้ปรับขนาดระยะทางทั้งหมดเท่า ๆ กันเมื่อเทียบกับพื้นผิวทรงกลมจริงของโลก

" ระยะทางแมนฮัตตัน " บนเส้นตาราง

ระยะทางกายภาพอาจหมายถึงสิ่งต่างๆ:

• ระยะทางที่เดินทาง: ความยาวของเส้นทางเฉพาะที่เดินทางระหว่างสองจุด^[3]เช่นระยะทางที่เดินขณะนำทางเขาวงกต
• ระยะทางเส้นตรง (ยุคลิด): ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดที่เป็นไปได้ผ่านช่องว่างระหว่างจุดสองจุดที่สามารถถ่ายได้หากไม่มีสิ่งกีดขวาง (โดยปกติจะจัดเป็นระยะทางแบบยุคลิด )
• ระยะทางธรณีวิทยา: ความยาวของเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดในขณะที่เหลืออยู่บนพื้นผิวบางส่วนเช่นระยะทางวงกลมใหญ่ตามแนวโค้งของโลก
• ความยาวของเส้นทางที่เฉพาะเจาะจงที่จะกลับไปยังจุดเริ่มต้นเช่นการโยนลูกบอลขึ้นตรงหรือ Earth เมื่อมันเสร็จสมบูรณ์หนึ่งในวงโคจร

กระดานแสดงระยะทางใกล้ Visakhapatnam

"ระยะทางวงกลม" คือระยะทางที่ล้อเลื่อนซึ่งจะมีประโยชน์เมื่อออกแบบยานพาหนะหรือเกียร์เชิงกล เส้นรอบวงของล้อคือ รัศมี2 π ×และสมมติว่ารัศมีเป็น 1 จากนั้นการหมุนของวงล้อแต่ละครั้งจะเทียบเท่ากับระยะทาง 2 πเรเดียน ในงานวิศวกรรมω  = 2 πƒมักจะใช้ที่ƒคือความถี่

คำจำกัดความที่ผิดปกติของระยะทางอาจเป็นประโยชน์ในการสร้างแบบจำลองสถานการณ์ทางกายภาพบางอย่าง แต่ยังใช้ในคณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีด้วย:

• " ระยะทางแมนฮัตตัน " คือระยะทางเป็นเส้นตรงซึ่งตั้งชื่อตามจำนวนช่วงตึก (ในทิศเหนือทิศใต้ทิศตะวันออกหรือทิศตะวันตก) รถแท็กซี่ต้องเดินทางต่อไปเพื่อให้ไปถึงจุดหมายบนเส้นตารางในบางส่วนของเมืองนิวยอร์ก .
• "ระยะห่างของกระดานหมากรุก" ซึ่งมีรูปแบบเป็นทางการเป็นระยะทาง Chebyshevคือจำนวนขั้นต่ำของการเคลื่อนไหวที่กษัตริย์ต้องทำบนกระดานหมากรุกเพื่อที่จะเดินทางระหว่างสองสี่เหลี่ยม

การวัดระยะทางในจักรวาลวิทยามีความซับซ้อนโดยการขยายตัวของจักรวาลและโดยผลที่อธิบายโดยทฤษฎีสัมพัทธภาพ (เช่นการหดตัวตามความยาวของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่)

ระยะทางตามทฤษฎี

คำว่า "ระยะทาง" ยังใช้โดยการเปรียบเทียบเพื่อวัดเอนทิตีที่ไม่ใช่ทางกายภาพในบางรูปแบบ

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์มีแนวคิดของ " ระยะแก้ไข " ระหว่างสองสาย ตัวอย่างเช่นคำว่า "dog" และ "dot" ซึ่งแตกต่างกันไปตามตัวอักษรเพียงตัวเดียวจะอยู่ใกล้กว่า "dog" และ "cat" ซึ่งแตกต่างกันด้วยตัวอักษรสามตัว แนวคิดนี้ใช้ในตัวตรวจสอบการสะกดและในทฤษฎีการเข้ารหัสและมีการกำหนดรูปแบบทางคณิตศาสตร์ในรูปแบบต่างๆเช่น:

• ระยะ Levenshtein
• ระยะการขัดขวาง
• ลีระยะ
• ระยะห่างจาก Jaro-Winkler

ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเมตริกคือชุดที่กำหนดระยะห่างระหว่างสมาชิกทั้งหมดของเซต ด้วยวิธีนี้สามารถคำนวณ "ระยะทาง" ได้หลายประเภทเช่นสำหรับการข้ามผ่านของกราฟการเปรียบเทียบการแจกแจงและเส้นโค้งและการใช้คำจำกัดความที่ผิดปกติของ "ช่องว่าง" (ตัวอย่างเช่นการใช้แมนิโฟลด์หรือการสะท้อนแสง ) แนวคิดเรื่องระยะทางในทฤษฎีกราฟถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายเครือข่ายทางสังคมเช่นกับหมายเลข Erdsหรือหมายเลขเบคอนจำนวนความสัมพันธ์ที่ทำงานร่วมกันกับบุคคลนั้นมาจากนักคณิตศาสตร์ที่อุดมสมบูรณ์Paul ErdősและนักแสดงKevin Baconตามลำดับ

ในทางจิตวิทยาภูมิศาสตร์ของมนุษย์และสังคมศาสตร์ระยะทางมักจะไม่ถูกกำหนดให้เป็นตัวชี้วัดเชิงวัตถุ แต่เป็นประสบการณ์ส่วนตัว ^[4]

ระยะทางตามเส้นทางเทียบกับการกระจัด

ทั้งระยะทางและการกระจัดวัดการเคลื่อนที่ของวัตถุ ระยะทางไม่สามารถเป็นลบและไม่เคยลดลง ระยะทางเป็นสเกลาปริมาณหรือขนาดในขณะที่การกระจัดเป็นเวกเตอร์ปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง อาจเป็นลบศูนย์หรือบวก ระยะทางไม่ได้วัดการเคลื่อนไหว มันวัดการแยกของจุดสองจุดและอาจเป็นเวกเตอร์บวกศูนย์หรือลบ ^[5]

ระยะทางที่ครอบคลุมโดยยานพาหนะ (ตัวอย่างตามที่บันทึกไว้โดยวัดระยะทาง ) คนสัตว์หรือวัตถุตามเส้นทางโค้งจากจุดไปยังจุดBควรจะแตกต่างจากระยะทางเส้นตรงจากไปB ตัวอย่างเช่นระยะทางใดก็ตามที่ครอบคลุมระหว่างการเดินทางไป - กลับจากAถึงBและกลับไปที่Aการกระจัดจะเป็นศูนย์เนื่องจากจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน โดยทั่วไประยะทางเส้นตรงจะไม่เท่ากับระยะทางที่เดินทางยกเว้นสำหรับการเดินทางเป็นเส้นตรง

ระยะกำกับ

ระยะทางสามารถกำหนดได้ตามเส้นตรงและตามเส้นโค้ง

ระยะทางตามเส้นตรงคือเวกเตอร์ที่ให้ระยะทางและทิศทางระหว่างจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ระยะทางของจุดCจากจุดAในทิศทางBบนเส้นABในปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิดคือระยะทางจากAถึงCถ้าCตกลงบนรังสีABแต่จะเป็นลบของระยะทางนั้นถ้าCตกลงบน รังสีBA (กล่าวคือถ้าCไม่ได้อยู่ด้านเดียวกับAเนื่องจากBคือ) ตัวอย่างเช่นระยะทางที่กำหนดจากเสาธงของหอสมุดแห่งชาตินิวยอร์กไปยังเสาธงเทพีเสรีภาพมีดังนี้

• จุดเริ่มต้น: เสาธงห้องสมุด
• จุดสิ้นสุด: เสาธงรูปปั้น
• ทิศทาง: -38 °
• ระยะทาง: 8.72 กม

ระยะทางตรงอีกประเภทหนึ่งคือระหว่างอนุภาคหรือมวลของจุดสองอนุภาคที่แตกต่างกันในช่วงเวลาที่กำหนด ตัวอย่างเช่นระยะห่างจากจุดศูนย์ถ่วงของโลกAและจุดศูนย์ถ่วงของดวงจันทร์B (ซึ่งไม่ได้หมายความถึงการเคลื่อนที่จากAถึงBอย่างเคร่งครัด) อยู่ในประเภทนี้

ระยะทางตามเส้นโค้งไม่ใช่เวกเตอร์และแสดงโดยส่วนของเส้นโค้งที่กำหนดโดยจุดสิ้นสุดAและBโดยมีข้อมูลเฉพาะบางอย่างที่ระบุความรู้สึก (หรือทิศทาง) ของการเคลื่อนที่ในอุดมคติหรือจริงจากจุดสิ้นสุดจุดเดียวของ แบ่งส่วนอื่น ๆ (ดูรูป) ตัวอย่างเช่นการติดป้ายชื่อจุดสิ้นสุดทั้งสองเป็นAและBก็สามารถบ่งบอกความรู้สึกได้หากสมมติว่าลำดับที่เรียงลำดับ ( A , B ) ซึ่งหมายความว่าAเป็นจุดเริ่มต้น

การกำจัด

ราง (ดูด้านบน) เป็นชนิดพิเศษของระยะทางที่กำหนดไว้ในกำกับกลศาสตร์ ระยะทางที่กำหนดไว้เรียกว่าการกระจัดเมื่อเป็นระยะทางตามเส้นตรง (ระยะทางต่ำสุด) จากAและBและเมื่อAและBเป็นตำแหน่งที่อนุภาคเดียวกันครอบครองในเวลาที่ต่างกันสองช่วงเวลา นี่หมายถึงการเคลื่อนที่ของอนุภาค ระยะทางที่เดินทางโดยอนุภาคจะต้องมากกว่าหรือเท่ากับการกระจัดเสมอโดยความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นเมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ไปตามทางตรงเท่านั้น

เรขาคณิต

ในเรขาคณิตวิเคราะห์สามารถหาระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุดของระนาบ xyได้โดยใช้สูตรระยะทาง ระยะห่างระหว่าง ( x ₁ , y ₁ ) และ ( x ₂ , y ₂ ) กำหนดโดย: ^{[6] [7]}

${\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}.}$

ในทำนองเดียวกันจุดที่กำหนด ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) และ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) ในสามช่องว่างระยะห่างระหว่างพวกเขาคือ: ^[6]

${\ displaystyle d = {\ sqrt {(\ Delta x) ^ {2} + (\ Delta y) ^ {2} + (\ Delta z) ^ {2}}} = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2}}}.}$

สูตรเหล่านี้มาได้อย่างง่ายดายโดยการสร้างรูปสามเหลี่ยมขวาขาบนด้านตรงข้ามมุมฉากของผู้อื่น (กับขาอีกข้างตั้งฉากกับระนาบที่มีรูปสามเหลี่ยมที่ 1) และการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส สูตรระยะทางนี้ยังสามารถขยายเป็นสูตรความยาวส่วนโค้งได้ ระยะทางอื่น ๆ ที่มีสูตรอื่น ๆ ที่ใช้ในไม่เรขาคณิตแบบยุคลิด

ระยะทางในอวกาศยุคลิด

ในปริภูมิยุคลิด R ⁿระยะห่างระหว่างจุดสองจุดมักกำหนดโดยระยะทางแบบยุคลิด ( ระยะทาง 2 บรรทัด) บางครั้งก็ใช้ระยะทางอื่น ๆ ตามบรรทัดฐานอื่นแทน

สำหรับจุด ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) และจุด ( y ₁ , y ₂ , ... , y _n ) ระยะทางของคำสั่งMinkowski p ( ระยะทางp -norm ) ถูกกำหนดเป็น :

ระยะทาง 1 บรรทัด	${\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right |}$
ระยะ 2-Norm	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}$
p -ระยะทางปกติ	${\ displaystyle = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$
ระยะห่างของบรรทัดฐานอินฟินิตี้	${\ displaystyle = \ lim _ {p \ to \ infty} \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left | x_ {i} -y_ {i} \ right | ^ {p} \ right ) ^ {1 / p}}$
	${\ displaystyle = \ max \ left (| x_ {1} -y_ {1} |, | x_ {2} -y_ {2} |, \ ldots, | x_ {n} -y_ {n} | \ right) .}$

pไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม แต่ต้องไม่น้อยกว่า 1 เพราะมิฉะนั้นอสมการสามเหลี่ยมจะไม่ถือ

ระยะทาง 2 บรรทัดฐานเป็นระยะทางยุคลิด , ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัสให้มากขึ้นกว่าสองพิกัด เป็นสิ่งที่จะได้รับหากวัดระยะห่างระหว่างจุดสองจุดด้วยไม้บรรทัด : แนวคิดเรื่องระยะทางที่ "ใช้งานง่าย"

ระยะทาง 1 บรรทัดเรียกว่าบรรทัดฐานแท็กซี่หรือระยะทางแมนฮัตตันอย่างมีสีสันเนื่องจากเป็นระยะทางที่รถยนต์จะขับในเมืองที่วางในบล็อกสี่เหลี่ยม (หากไม่มีถนนทางเดียว)

ระยะทางอินฟินิตี้บรรทัดฐานจะเรียกว่าระยะเซฟ ในแบบ 2D มันเป็นจำนวนขั้นต่ำของการเคลื่อนไหวพระมหากษัตริย์ต้องเดินทางระหว่างสองสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุก

พี -norm จะไม่ค่อยใช้สำหรับค่าPอื่น ๆ กว่า 1, 2, และอินฟินิตี้ แต่เห็นวงรีซุปเปอร์

ในพื้นที่ทางกายภาพระยะทางแบบยุคลิดเป็นในทางหนึ่งที่เป็นธรรมชาติมากที่สุดเพราะในกรณีนี้ความยาวของที่ร่างกายแข็งไม่เปลี่ยนแปลงกับการหมุน

การกำหนดระยะทางที่แตกต่างกัน

ระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุดในอวกาศ (${\ displaystyle A = {\ vec {r}} (0)}$ และ ${\ displaystyle B = {\ vec {r}} (T)}$) อาจเขียนในรูปแบบตัวแปรโดยระยะทางคือค่าต่ำสุดของอินทิกรัล:

${\ displaystyle D = \ int _ {0} ^ {T} {\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r}} (t) \ over \ partial t} \ right) ^ {2}}} \, dt}$

ที่นี่ ${\ displaystyle {\ vec {r}} (t)}$คือวิถี (เส้นทาง) ระหว่างจุดทั้งสอง ค่าของอินทิกรัล (D) แสดงถึงความยาวของวิถีนี้ ระยะทางคือค่าน้อยที่สุดของอินทิกรัลนี้และจะได้รับเมื่อ${\ displaystyle r = r ^ {*}}$ ที่ไหน ${\ displaystyle r ^ {*}}$เป็นวิถีที่เหมาะสมที่สุด ในกรณีแบบยุคลิดที่คุ้นเคย (อินทิกรัลข้างต้น) วิถีที่ดีที่สุดนี้เป็นเพียงเส้นตรง เป็นที่ทราบกันดีว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดคือเส้นตรง เส้นตรงสามารถอย่างเป็นทางการจะได้รับโดยการแก้สมการออยเลอร์-Lagrangeข้างต้นทำงาน ในท่อร่วมที่ไม่ใช่แบบยุคลิด (ช่องว่างโค้ง) ซึ่งลักษณะของช่องว่างนั้นแสดงด้วยเมตริกเทนเซอร์ ${\ displaystyle g_ {ab}}$ ต้องมีการแก้ไข integrand เป็น ${\ displaystyle {\ sqrt {g ^ {ac} {\ dot {r}} _ {c} g_ {ab} {\ dot {r}} ^ {b}}}}$ที่ไอน์สไตประชุมบวกได้ถูกนำมาใช้

ลักษณะทั่วไปของวัตถุที่มีมิติสูงขึ้น

ระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างวัตถุสองชิ้นอาจเป็นเรื่องทั่วไปสำหรับกรณีที่วัตถุไม่ได้เป็นจุดอีกต่อไป แต่เป็นท่อร่วมมิติที่สูงกว่าเช่นเส้นโค้งอวกาศดังนั้นนอกเหนือจากการพูดถึงระยะห่างระหว่างจุดสองจุดแล้วเรายังสามารถพูดถึงแนวคิดของระยะห่างระหว่างสองจุดได้อีกด้วย สตริง เนื่องจากอ็อบเจ็กต์ใหม่ที่จัดการกับอ็อบเจ็กต์แบบขยาย (ไม่ใช่จุดอีกต่อไป) แนวคิดเพิ่มเติมเช่นความไม่สามารถขยายได้ข้อ จำกัด ด้านความโค้งและการโต้ตอบที่ไม่ใช่โลคัลที่บังคับให้ไม่ข้ามกลายเป็นศูนย์กลางของแนวคิดเรื่องระยะทาง ระยะห่างระหว่างท่อร่วมทั้งสองคือปริมาณสเกลาร์ที่เป็นผลมาจากการย่อฟังก์ชันระยะทางทั่วไปให้น้อยที่สุดซึ่งแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงระหว่างท่อร่วมทั้งสอง:

${\ displaystyle {\ mathcal {D}} = \ int _ {0} ^ {L} \ int _ {0} ^ {T} \ left \ {{\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r }} (s, t) \ over \ partial t} \ right) ^ {2}}} + \ lambda \ left [{\ sqrt {\ left ({\ partial {\ vec {r}} (s, t) \ over \ partial s} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right] \ right \} \, ds \, dt}$

อินทิกรัลคู่ข้างต้นคือระยะห่างทั่วไปที่ใช้งานได้ระหว่างโครงสร้างโพลีเมอร์สองรูปแบบ ${\ displaystyle s}$ เป็นพารามิเตอร์เชิงพื้นที่และ ${\ displaystyle t}$เป็นเวลาหลอก ซึ่งหมายความว่า${\ displaystyle {\ vec {r}} (s, t = t_ {i})}$ คือโครงสร้างโพลีเมอร์ / สตริงในขณะนั้น ${\ displaystyle t_ {i}}$ และกำหนดพารามิเตอร์ตามความยาวสตริงโดย ${\ displaystyle s}$. ในทำนองเดียวกัน${\ displaystyle {\ vec {r}} (s = S, t)}$ คือวิถีของส่วนที่เล็กที่สุดของสตริงระหว่างการแปลงสตริงทั้งหมดจากโครงสร้าง ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s, 0)}$ เพื่อโครงสร้าง ${\ displaystyle {\ vec {r}} (s, T)}$. คำที่มีปัจจัยร่วม${\ displaystyle \ lambda}$เป็นตัวคูณลากรองจ์และบทบาทของมันคือเพื่อให้แน่ใจว่าความยาวของโพลีเมอร์ยังคงเท่าเดิมในระหว่างการเปลี่ยนแปลง หากพอลิเมอร์สองตัวแยกจากกันไม่สามารถขยายตัวได้การเปลี่ยนแปลงระยะทางน้อยที่สุดระหว่างทั้งสองจะไม่เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบเส้นตรงอย่างแท้จริงอีกต่อไปแม้จะเป็นเมตริกแบบยุคลิด มีแอพลิเคชันที่มีศักยภาพของระยะทางทั่วไปเช่นปัญหาของการเป็นโปรตีนพับ ^{[8] [9]}

ระยะทางทั่วไปนี้คล้ายคลึงกับการกระทำของนัมบุ - โกโตในทฤษฎีสตริงอย่างไรก็ตามไม่มีความสอดคล้องกันที่แน่นอนเนื่องจากระยะห่างแบบยุคลิดใน 3 ช่องว่างนั้นไม่เทียบเท่ากับระยะกาลอวกาศที่ย่อเล็กสุดสำหรับสตริงเชิงสัมพันธ์แบบคลาสสิก

ระยะทางพีชคณิต

นี่คือเมตริกที่มักใช้ในการมองเห็นด้วยคอมพิวเตอร์ซึ่งสามารถลดได้โดยการประมาณกำลังสองน้อยที่สุด [1] [2]สำหรับเส้นโค้งหรือพื้นผิวที่กำหนดโดยสมการ${\ displaystyle x ^ {\ text {T}} Cx = 0}$(เช่นรูปกรวยในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน ) ระยะทางพีชคณิตจากจุด${\ displaystyle x '}$ ไปที่เส้นโค้งนั้นเป็นเพียง ${\ displaystyle x '^ {\ text {T}} Cx'}$. มันอาจจะทำหน้าที่เป็น "เดาเริ่มต้น" สำหรับระยะทางเรขาคณิตเพื่อประมาณการสินค้าของเส้นโค้งโดยวิธีการที่ถูกต้องมากขึ้นเช่นสี่เหลี่ยมน้อยที่ไม่ใช่เชิงเส้น

เมตริกทั่วไป

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในรูปทรงเรขาคณิตที่มีฟังก์ชั่นระยะทางในการให้ชุด Mเป็นฟังก์ชั่น D : M × M → Rที่Rหมายถึงชุดของตัวเลขจริงที่ตอบสนองเงื่อนไขต่อไปนี้:

• d ( x , y ) ≥ 0และ d ( x , y ) = 0 ถ้า x = yเท่านั้น (ระยะทางเป็นบวกระหว่างจุดสองจุดที่แตกต่างกันและเป็นศูนย์อย่างแม่นยำจากจุดหนึ่งถึงตัวมันเอง)
• มันเป็นสมมาตร : d ( x , Y ) = d ( Y , x ) (ระยะห่างระหว่างxและyเท่ากันในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง)
• มันพึงพอใจความไม่เท่าเทียมกันสามเหลี่ยม : d ( x , Z ) ≤ d ( x , Y ) + d ( Y , Z ) (ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคือระยะทางที่สั้นที่สุดตามเส้นทางใด ๆ ) ฟังก์ชั่นเป็นระยะทางดังกล่าวเป็นที่รู้จักกันเป็นตัวชี้วัด ร่วมกับชุดก็จะทำให้ค่าพื้นที่ตัวชี้วัด

ตัวอย่างเช่นคำจำกัดความตามปกติของระยะห่างระหว่างจำนวนจริงสองจำนวนxและyคือ: d ( x , y ) = | x - y | . คำนิยามนี้ตอบสนองความสามเงื่อนไขข้างต้นและสอดคล้องกับมาตรฐานโครงสร้างของสายจริง แต่ระยะทางในชุดที่กำหนดเป็นตัวเลือกคำจำกัดความ อีกทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้คือการกำหนด: d ( x , y ) = 0ถ้าx = yและ 1 มิฉะนั้น นอกจากนี้ยังกำหนดเมตริก แต่ให้โทโพโลยีที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง " โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง "; ด้วยตัวเลขคำจำกัดความนี้ไม่สามารถปิดได้โดยพลการ

ระยะห่างระหว่างเซตและระหว่างจุดและเซต

d ( A ,  B )>  d ( A ,  C ) +  d ( C ,  B )

คำจำกัดความระยะทางต่างๆเป็นไปได้ระหว่างวัตถุ ตัวอย่างเช่นระหว่างวัตถุท้องฟ้าเราไม่ควรสับสนระหว่างระยะพื้นผิวกับพื้นผิวและระยะกึ่งกลางถึงกึ่งกลาง ถ้าอดีตน้อยกว่าวงโคจรต่ำมากวงโคจรแรกมักจะถูกยกมา (ระดับความสูง) มิฉะนั้นเช่นระยะโลก - ดวงจันทร์อย่างหลัง

มีคำจำกัดความทั่วไปสองคำสำหรับระยะห่างระหว่างสองชุดย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของพื้นที่เมตริกที่กำหนด:

• รุ่นหนึ่งของระยะห่างระหว่างสองชุดไม่ว่างเปล่าเป็นinfimumของระยะทางระหว่างสองจุดของตนซึ่งเป็นความหมายในชีวิตประจำวันของคำเช่น

${\ displaystyle d (A, B) = \ inf _ {x \ in A, y \ in B} d (x, y)}$

นี่คือสมมาตร premetric ในคอลเลกชันของชุดที่สัมผัสหรือทับซ้อนกันจะไม่ "แยก" เนื่องจากระยะห่างระหว่างสองชุดที่แตกต่างกัน แต่สัมผัสหรือทับซ้อนกันเป็นศูนย์ นอกจากนี้ยังไม่เป็นรูป ครึ่งวงกลมกล่าวคือ ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมจะไม่ถือยกเว้นในกรณีพิเศษ ดังนั้นเฉพาะในกรณีพิเศษระยะนี้จะทำให้คอลเลกชันของชุดเป็น พื้นที่ตัวชี้วัด

• ระยะดอร์ฟเป็นขนาดใหญ่ของสองค่าหนึ่งเป็นsupremumสำหรับจุดตั้งแต่มากกว่าหนึ่งชุดของ infimum สำหรับจุดที่สองตั้งแต่มากกว่าชุดอื่น ๆ ของระยะทางระหว่างจุดและค่าอื่น ๆ ที่เป็นเช่นเดียวกัน กำหนดไว้ แต่มีการสลับบทบาทของทั้งสองชุด ระยะนี้จะทำให้ชุดของที่ไม่ใช่ที่ว่างเปล่าขนาดกะทัดรัดย่อยของพื้นที่ตัวชี้วัดตัวเองพื้นที่ตัวชี้วัด

ระยะห่างระหว่างจุดและชุดเป็น infimum ของระยะทางระหว่างจุดและผู้ที่อยู่ในชุด สิ่งนี้สอดคล้องกับระยะทางตามคำจำกัดความที่กล่าวถึงข้างต้นของระยะห่างระหว่างชุดจากชุดที่มีเฉพาะจุดนี้ไปยังอีกชุดหนึ่ง

ในแง่ของสิ่งนี้คำจำกัดความของระยะทาง Hausdorff สามารถทำให้ง่ายขึ้น: มีค่ามากกว่าสองค่าค่าหนึ่งเป็นค่าสูงสุดสำหรับจุดที่มีค่ามากกว่าหนึ่งชุดของระยะห่างระหว่างจุดกับชุดและค่าอื่น ๆ ถูกกำหนดไว้เช่นเดียวกัน แต่มีการสลับบทบาทของทั้งสองชุด

ทฤษฎีกราฟ

ในทฤษฎีกราฟระยะทางระหว่างสองจุดคือความยาวของที่สั้นที่สุดเส้นทางระหว่างจุดเหล่านั้น

ระยะทางสถิติ

ในสถิติและรูปทรงเรขาคณิตข้อมูลมีหลายชนิดของระยะทางสถิติสะดุดตาแตกต่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งความแตกต่าง Bregmanและฉ -divergences เหล่านี้รวมถึงพูดคุยและหลายความคิดของ "ความแตกต่างระหว่างสองแจกแจงความน่าจะ " และช่วยให้พวกเขาได้รับการศึกษาทางเรขาคณิตเป็นmanifolds สถิติ ประถมที่สุดคือระยะทางยุคลิดสแควร์ซึ่งเป็นพื้นฐานของสี่เหลี่ยมน้อย ; นี่คือความแตกต่างของ Bregman ขั้นพื้นฐานที่สุด สิ่งที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีสารสนเทศคือเอนโทรปีสัมพัทธ์ ( Kullback – Leibler divergence ) ซึ่งช่วยให้สามารถศึกษาการประมาณค่าความเป็นไปได้สูงสุดแบบอะนาล็อกในเชิงเรขาคณิต นี่คือf -divergence ขั้นพื้นฐานที่สุดและยังเป็นความแตกต่างของ Bregman (และเป็นความแตกต่างเดียวที่เป็นทั้งสองอย่าง) manifolds ทางสถิติที่สอดคล้องกับความแตกต่าง Bregman เป็นแมนิโฟลแบนในรูปทรงเรขาคณิตที่สอดคล้องกันช่วยให้อะนาล็อกของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (ซึ่งเป็นประเพณีที่เป็นจริงสำหรับระยะทางยุคลิดสแควร์) ที่จะใช้สำหรับปัญหาผกผันเชิงเส้นในการอนุมานโดยทฤษฎีการเพิ่มประสิทธิภาพ

ระยะทางสถิติที่สำคัญอื่น ๆ รวมถึงระยะทาง Mahalanobisที่ระยะทางพลังงานและอื่น ๆ อีกมากมาย

"ระยะทาง" ทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ

• Canberra distance - ระยะทางแบบถ่วงน้ำหนักของแมนฮัตตันซึ่งใช้ในวิทยาการคอมพิวเตอร์

ระยะห่างทางจิตวิทยาถูกกำหนดให้เป็น "วิธีต่างๆที่วัตถุอาจถูกลบออกจาก" ตัวเองตามมิติต่างๆเช่น "เวลาพื้นที่ระยะห่างทางสังคมและความสมมุติ" ^[2]ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทางจิตวิทยาและขอบเขตที่ความคิดเป็นนามธรรมหรือคอนกรีตอธิบายไว้ในทฤษฎีระดับ construalกรอบสำหรับการตัดสินใจ

• Python (ภาษาโปรแกรม)
  • แพ็คเกจInterspace -A สำหรับการค้นหาระยะห่างระหว่างเวกเตอร์สองตัวตัวเลขสตริงและอื่น ๆ
  • SciPy -การคำนวณระยะทาง ( scipy.spatial.distance)
• Julia (ภาษาโปรแกรม)
  • Julia Statistics Distance -A แพ็คเกจ Julia สำหรับการประเมินระยะทาง (เมตริก) ระหว่างเวกเตอร์

• Deza E, Deza M (2549). พจนานุกรมของระยะทาง เอลส์เวียร์. ISBN 0-444-52087-2.