ดิสก์ (คณิตศาสตร์)

ในพิกัดคาร์ทีเซียนที่เปิดดิสก์ศูนย์${\displaystyle (a,b)}$และรัศมีRถูกกำหนดโดยสูตร^[1]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}^{2}\}}>$

ในขณะที่ดิสก์ปิดของศูนย์กลางและรัศมีเดียวกันถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R ^{2}\}.}$

พื้นที่ของดิสก์ปิดหรือเปิดรัศมีRคือπ R ² (ดูพื้นที่ดิสก์ ) ^[3]

ดิสก์มีความสมมาตรวงกลม ^[4]

ดิสก์แบบเปิดและดิสก์แบบปิดไม่เทียบเท่าทอพอโลยี (กล่าวคือ ไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิค ) เนื่องจากมีคุณสมบัติทอพอโลยีที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ดิสก์ที่ปิดทั้งหมดจะมีขนาดกะทัดรัดในขณะที่ดิสก์ที่เปิดอยู่ทั้งหมดนั้นไม่กะทัดรัด ^[5]อย่างไรก็ตาม จากมุมมองของโทโพโลยีเกี่ยวกับพีชคณิตพวกเขามีคุณสมบัติหลายอย่างด้วยกัน: ทั้งคู่สามารถหดตัวได้^[6]และhomotopy เทียบเท่ากับจุดเดียว นี่ก็หมายความว่าพวกเขากลุ่มพื้นฐานเล็กน้อยและทุกกลุ่มที่คล้ายคลึงกันเล็กน้อยยกเว้นหนึ่ง 0 ซึ่งเป็น isomorphic ไปZ ลักษณะออยเลอร์ของจุด (และดังนั้นจึงยังที่ของดิสก์ปิดหรือเปิด) คือ 1 ^[7]

แผนที่ต่อเนื่องทุกอันจากดิสก์ที่ปิดไปยังตัวมันเองมีจุดคงที่อย่างน้อยหนึ่งจุด (เราไม่ต้องการให้แผนที่เป็นแบบสองมิติหรือแบบสมมุติ ); เป็นกรณีนี้n = 2 ของBrouwer ทฤษฎีบทจุดคงที่ ^[8]คำสั่งเป็นเท็จสำหรับดิสก์ที่เปิดอยู่: ^[9]

พิจารณาตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$ซึ่งแมปทุกจุดของดิสก์ยูนิตที่เปิดไปยังอีกจุดหนึ่งบนดิสก์ยูนิตที่เปิดอยู่ทางด้านขวาของจุดที่กำหนด แต่สำหรับดิสก์ยูนิตปิด จะแก้ไขทุกจุดบนครึ่งวงกลม${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$

• ดิสก์ยูนิต ดิสก์ที่มีรัศมีหนึ่ง
• Annulus (คณิตศาสตร์)พื้นที่ระหว่างวงกลมสองวง
• บอล (คณิตศาสตร์)คำศัพท์ปกติสำหรับอะนาล็อกสามมิติของดิสก์
• พีชคณิตดิสก์พื้นที่ของฟังก์ชันบนดิสก์
• ดิสก์ออร์โธเซนทรอยด์ ที่มีจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม