การวิเคราะห์มิติ

ในด้านวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์การวิเคราะห์มิติคือการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างที่แตกต่างกันปริมาณทางกายภาพโดยการระบุของพวกเขาจำนวนฐาน (เช่นความยาว , มวล , เวลาและกระแสไฟฟ้า ) และหน่วยวัด (เช่นไมล์เทียบกับกิโลเมตรหรือปอนด์ VS . กิโลกรัม) และติดตามขนาดเหล่านี้เมื่อทำการคำนวณหรือเปรียบเทียบ การแปลงหน่วยจากหน่วยมิติหนึ่งไปเป็นอีกหน่วยหนึ่งมักทำได้ง่ายกว่าภายในเมตริกหรือSIระบบมากกว่าในระบบอื่น ๆ เนื่องจากฐาน 10 ปกติในทุกหน่วย การวิเคราะห์มิติหรือมากขึ้นโดยเฉพาะวิธีการปัจจัยป้าย , ยังเป็นที่รู้จักวิธีการหน่วยปัจจัยที่เป็นเทคนิคที่ใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับการแปลงดังกล่าวโดยใช้กฎของพีชคณิต ^[1]^[2]^[3]

สมน้ำสมเนื้อปริมาณทางกายภาพเป็นชนิดเดียวกันและมีมิติเดียวกันและสามารถนำมาเปรียบเทียบกันโดยตรงถึงแม้ว่าพวกเขาจะแสดงครั้งแรกในหน่วยวัดเช่นที่แตกต่างกันหลาและเมตรปอนด์ (มวล) และกิโลกรัมวินาทีและปีที่ผ่านมา . เปรียบเทียบกันไม่ได้ปริมาณทางกายภาพที่แตกต่างกันและมีขนาดแตกต่างกันและไม่สามารถเทียบได้โดยตรงกับแต่ละอื่น ๆ ไม่ว่าสิ่งที่หน่วยงานที่พวกเขากำลังแสดงครั้งแรกในเช่นเมตรกิโลกรัมวินาทีกิโลกรัมเมตรและวินาที ตัวอย่างเช่นการถามว่ากิโลกรัมมีขนาดใหญ่กว่าหนึ่งชั่วโมงหรือไม่ก็ไม่มีความหมาย

ใด ๆ ที่มีความหมายทางร่างกายสมการหรือความไม่เท่าเทียมกัน , จะต้องมีขนาดเดียวกันบนซ้ายและด้านขวาคุณสมบัติที่รู้จักกันเป็นเนื้อเดียวกันมิติ การตรวจสอบความเป็นเนื้อเดียวกันของมิติเป็นแอปพลิเคชันทั่วไปของการวิเคราะห์มิติซึ่งทำหน้าที่ตรวจสอบความเป็นไปได้ของสมการและการคำนวณที่ได้มา นอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นแนวทางและข้อ จำกัด ในการหาสมการที่อาจอธิบายถึงระบบทางกายภาพในกรณีที่ไม่มีรากศัพท์ที่เข้มงวดมากขึ้น

แนวคิดเรื่องมิติทางกายภาพและการวิเคราะห์มิติได้รับการแนะนำโดยโจเซฟฟูริเยร์ในปี พ.ศ. 2365 ^[4]

ตัวเลขคอนกรีตและหน่วยฐาน

พารามิเตอร์และการวัดจำนวนมากในวิทยาศาสตร์กายภาพและวิศวกรรมแสดงเป็นจำนวนคอนกรีต - ปริมาณตัวเลขและหน่วยมิติที่สอดคล้องกัน บ่อยครั้งที่มีการแสดงปริมาณในรูปของปริมาณอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นความเร็วคือการรวมกันของความยาวและเวลาเช่น 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมงหรือ 1.4 กิโลเมตรต่อวินาที ความสัมพันธ์เชิงซ้อนกับ "ต่อ" จะแสดงด้วยการหารเช่น 60 กม. / 1 ชม. ความสัมพันธ์อื่น ๆ อาจเกี่ยวข้องกับการคูณ (มักแสดงด้วยจุดกึ่งกลางหรือการตีข่าว ) อำนาจ (เช่นม. ²สำหรับตารางเมตร) หรือการรวมกันดังกล่าว

ชุดของหน่วยฐานสำหรับระบบการวัดเป็นชุดของหน่วยที่เลือกตามอัตภาพไม่มีหน่วยใดที่สามารถแสดงเป็นการรวมกันของหน่วยอื่น ๆ และสามารถแสดงหน่วยที่เหลือทั้งหมดของระบบได้ ^[5]ตัวอย่างเช่นโดยปกติหน่วยของความยาวและเวลาจะถูกเลือกให้เป็นหน่วยฐาน อย่างไรก็ตามหน่วยของปริมาตรสามารถแยกเป็นหน่วยฐานของความยาว (ม. ³ ) ได้ดังนั้นจึงถือว่าเป็นหน่วยที่ได้รับหรือหน่วยผสม

บางครั้งชื่อของหน่วยจะบดบังความจริงที่ว่าเป็นหน่วยที่ได้มา ตัวอย่างเช่นนิวตัน (N) คือหน่วยของแรงซึ่งมีหน่วยของมวล (กก.) คูณหน่วยของความเร่ง (m⋅s ⁻² ) นิวตันถูกกำหนดให้เป็น1 N = 1 kg⋅m⋅s -2

เปอร์เซ็นต์และอนุพันธ์

เปอร์เซ็นต์เป็นปริมาณที่ไม่มีมิติเนื่องจากเป็นอัตราส่วนของปริมาณสองปริมาณที่มีมิติเดียวกัน ในคำอื่น ๆ สัญญาณ% สามารถอ่านเป็น "ร้อย" ตั้งแต่1% = 1/100

การหาอนุพันธ์เทียบกับปริมาณจะทำให้มิติของตัวแปรเพิ่มความแตกต่างเมื่อเทียบกับในตัวส่วน ด้วยประการฉะนี้:

ตำแหน่ง ( x ) มีขนาด L (ความยาว);
อนุพันธ์ของตำแหน่งเทียบกับเวลา ( dx / dt , velocity ) มีมิติ LT ^{−1 - ความ}ยาวจากตำแหน่งเวลาเนื่องจากการไล่ระดับสี
อนุพันธ์สอง ( d ² x / dt ² = d ( DX / dt ) / dt , เร่ง ) มี LT มิติ-2

ในทางเศรษฐศาสตร์สิ่งหนึ่งที่แยกความแตกต่างระหว่างหุ้นและกระแส : หุ้นมีหน่วยเป็น "หน่วย" (เช่นวิดเจ็ตหรือดอลลาร์) ในขณะที่โฟลว์เป็นอนุพันธ์ของหุ้นและมีหน่วย "หน่วย / เวลา" (เช่นดอลลาร์ / ปี).

ในบางบริบทปริมาณมิติจะแสดงเป็นปริมาณหรือเปอร์เซ็นต์ที่ไม่มีมิติโดยการละเว้นบางมิติ ตัวอย่างเช่นโดยทั่วไปอัตราส่วนหนี้สินต่อ GDPจะแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์: หนี้คงค้างทั้งหมด (มิติของสกุลเงิน) หารด้วย GDP ประจำปี (มิติของสกุลเงิน) แต่อาจมีคนโต้แย้งว่าในการเปรียบเทียบหุ้นกับโฟลว์ GDP ประจำปีควร มีขนาดของสกุลเงิน / เวลา (ดอลลาร์ / ปีเป็นต้น) ดังนั้น Debt-to-GDP ควรมีหน่วยของปีซึ่งบ่งชี้ว่า Debt-to-GDP คือจำนวนปีที่จำเป็นสำหรับ GDP ที่คงที่ในการชำระหนี้ หาก GDP หมดไปกับหนี้และหนี้ไม่มีการเปลี่ยนแปลง

ปัจจัยการแปลง

ในการวิเคราะห์มิติอัตราส่วนที่แปลงหนึ่งหน่วยของการวัดเข้าไปอีกโดยไม่ต้องเปลี่ยนปริมาณที่เรียกว่าปัจจัยการแปลง ยกตัวอย่างเช่นปาสคาลและบาร์มีทั้งหน่วยของความดันและ100 กิโลปาสคาล = 1 บาร์ กฎของพีชคณิตอนุญาตให้ทั้งสองด้านของสมการจะถูกแบ่งโดยการแสดงออกเดียวกันดังนั้นนี้จะเทียบเท่ากับ100 กิโลปาสคาล / 1 บาร์ = 1 เนื่องจากปริมาณใด ๆ สามารถคูณด้วย 1 ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนแปลงจึงสามารถใช้นิพจน์ " 100 kPa / 1 bar " เพื่อแปลงจากแท่งเป็น kPa ได้โดยการคูณกับปริมาณที่จะแปลงรวมทั้งหน่วย ยกตัวอย่างเช่น5 บาร์× 100 กิโลปาสคาล / 1 บาร์ = 500 kPaเพราะ5 × 100/1 = 500และบาร์ / บาร์ยกเลิกออกดังนั้น5 บาร์ = 500 กิโลปาสคาล

ความเป็นเนื้อเดียวกันในมิติ

กฎพื้นฐานที่สุดของการวิเคราะห์มิติคือความเป็นเนื้อเดียวกันของมิติ ^[6]

เฉพาะปริมาณสมน้ำสมเนื้อ (ปริมาณทางกายภาพที่มีมิติเดียวกัน) อาจจะ เทียบ , บรรจุ , เพิ่มหรือ ลบออก

อย่างไรก็ตามมิติข้อมูลก่อตัวเป็นกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การคูณดังนั้น:

หนึ่งอาจใช้ อัตราส่วนของการ เปรียบเทียบกันไม่ได้ปริมาณ (ปริมาณที่มีขนาดแตกต่างกัน) และ คูณหรือ หารพวกเขา

ตัวอย่างเช่นไม่มีเหตุผลที่จะถามว่า 1 ชั่วโมงมากกว่าเท่าเดิมหรือน้อยกว่า 1 กิโลเมตรเนื่องจากสิ่งเหล่านี้มีขนาดต่างกันหรือไม่ต้องเพิ่ม 1 ชั่วโมงถึง 1 กิโลเมตร อย่างไรก็ตามควรถามว่า 1 ไมล์มากกว่าเท่ากันหรือน้อยกว่า 1 กิโลเมตรเป็นมิติเดียวกันของปริมาณทางกายภาพแม้ว่าหน่วยจะต่างกันก็ตาม ในทางกลับกันถ้าวัตถุเดินทาง 100 กม. ใน 2 ชั่วโมงอาจมีคนหารสิ่งเหล่านี้และสรุปได้ว่าความเร็วเฉลี่ยของวัตถุคือ 50 กม. / ชม.

กฎหมายความว่าในการแสดงออกที่มีความหมายทางกายภาพสามารถเพิ่มลบหรือเปรียบเทียบปริมาณของมิติเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่นถ้าm _man , m _ratและL _manแสดงตามลำดับคือมวลของผู้ชายบางคนมวลของหนูและความยาวของผู้ชายคนนั้นการแสดงออกที่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างมีมิติm _man + m _ratมีความหมาย แต่เป็นการแสดงออกที่ต่างกันm _man + L _manไม่มีความหมาย อย่างไรก็ตามm _man / L ²_manก็สบายดี ดังนั้นการวิเคราะห์เชิงมิติอาจใช้เป็นการตรวจสอบความสมบูรณ์ของสมการทางกายภาพ: ทั้งสองด้านของสมการใด ๆ จะต้องมีความสมกันหรือมีขนาดเท่ากัน

สิ่งนี้มีความหมายว่าฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่โดยเฉพาะฟังก์ชันที่ยอดเยี่ยมต้องมีปริมาณที่ไร้มิติเป็นจำนวนที่แท้จริงเป็นอาร์กิวเมนต์และต้องส่งคืนจำนวนที่ไม่มีมิติเป็นผลลัพธ์ สิ่งนี้ชัดเจนเนื่องจากฟังก์ชันที่ยอดเยี่ยมจำนวนมากสามารถแสดงเป็นอนุกรมกำลังที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไร้มิติ

{\ displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n} = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2 } + a_ {3} x ^ {3} + \ cdots}

พาวเวอร์ทั้งหมดของxต้องมีมิติเดียวกันเพื่อให้เงื่อนไขสามารถสมกันได้ แต่ถ้าxไม่ใช่แบบไร้มิติพลังที่แตกต่างกันของxจะมีมิติที่แตกต่างกันและหาค่าไม่ได้ อย่างไรก็ตามฟังก์ชันกำลังรวมถึงฟังก์ชันรูทอาจมีอาร์กิวเมนต์มิติและจะส่งคืนผลลัพธ์ที่มีมิติซึ่งเป็นพลังเดียวกันที่ใช้กับมิติอาร์กิวเมนต์ เนื่องจากฟังก์ชันกำลังและฟังก์ชันรากเป็นเพียงการแสดงออกของการคูณปริมาณ

แม้ว่าปริมาณทางกายภาพสองปริมาณจะมีมิติที่เหมือนกัน แต่ก็อาจไม่มีความหมายที่จะเปรียบเทียบหรือเพิ่มปริมาณเหล่านั้น ตัวอย่างเช่นแม้ว่าแรงบิดและพลังงานจะแบ่งมิติL ²M T ⁻²แต่ก็มีปริมาณทางกายภาพที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน

ในการเปรียบเทียบเพิ่มหรือลบปริมาณที่มีขนาดเดียวกัน แต่แสดงในหน่วยต่างกันขั้นตอนมาตรฐานคือขั้นแรกในการแปลงทั้งหมดให้เป็นหน่วยเดียวกัน ตัวอย่างเช่นหากต้องการเปรียบเทียบ 32 เมตรกับ 35 หลาให้ใช้ 1 หลา = 0.9144 ม. เพื่อแปลง 35 หลาเป็น 32.004 ม.

หลักการที่เกี่ยวข้องคือกฎทางกายภาพใด ๆ ที่อธิบายโลกแห่งความเป็นจริงอย่างถูกต้องจะต้องไม่ขึ้นอยู่กับหน่วยที่ใช้ในการวัดตัวแปรทางกายภาพ ^[7]ตัวอย่างเช่นกฎการเคลื่อนที่ของนิวตันต้องเป็นจริงไม่ว่าระยะทางจะวัดเป็นไมล์หรือกิโลเมตร หลักการนี้ก่อให้เกิดรูปแบบที่ปัจจัยการแปลงต้องใช้ระหว่างหน่วยที่วัดมิติเดียวกันนั่นคือการคูณด้วยค่าคงที่ธรรมดา นอกจากนี้ยังรับประกันความเท่าเทียมกัน ตัวอย่างเช่นหากอาคารสองหลังมีความสูงเท่ากันเป็นฟุตก็ต้องมีความสูงเท่ากันเป็นเมตร

วิธีการป้ายชื่อปัจจัยสำหรับการแปลงหน่วย

วิธีการป้ายชื่อปัจจัยคือการประยุกต์ใช้ตามลำดับของปัจจัยการแปลงที่แสดงเป็นเศษส่วนและจัดเรียงเพื่อให้หน่วยมิติใด ๆ ที่ปรากฏทั้งในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนใด ๆ สามารถยกเลิกได้จนกว่าจะได้ชุดของหน่วยมิติที่ต้องการเท่านั้น ตัวอย่างเช่น 10 ไมล์ต่อชั่วโมงสามารถแปลงเป็นเมตรต่อวินาทีได้โดยใช้ลำดับของปัจจัยการแปลงดังที่แสดงด้านล่าง:

{\ displaystyle {\ frac {10 \ {\ Cancel {\ text {mile}}}} {1 \ {\ Cancel {\ text {hour}}}}} \ times {\ frac {1609.344 {\ text {meter} }} {1 \ {\ Cancel {\ text {mile}}}} \ times {\ frac {1 \ {\ Cancel {\ text {hour}}}} {3600 {\ text {second}}}} = 4.4704 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}}.}

ปัจจัยการแปลงแต่ละตัวจะถูกเลือกโดยพิจารณาจากความสัมพันธ์ระหว่างหนึ่งในหน่วยเดิมกับหนึ่งในหน่วยที่ต้องการ (หรือหน่วยตัวกลางบางหน่วย) ก่อนที่จะจัดเรียงใหม่เพื่อสร้างปัจจัยที่ยกเลิกหน่วยเดิม ตัวอย่างเช่นในฐานะ "ไมล์" คือตัวเศษในเศษส่วนดั้งเดิมและ ${\ displaystyle 1 \ {\ text {mile}} = 1609.344 \ {\ text {meter}}}$ "ไมล์" จะต้องเป็นตัวส่วนในปัจจัยการแปลง หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 1 ไมล์ให้ผลตอบแทน ${\ displaystyle {\ frac {1 \ {\ text {mile}}} {1 \ {\ text {mile}}}} = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {ไมล์}}}}}$ ซึ่งเมื่อทำให้ผลลัพธ์ง่ายขึ้นในมิติ ${\ displaystyle 1 = {\ frac {1609.344 \ {\ text {meter}}} {1 \ {\ text {mile}}}}}$ . การคูณปริมาณใด ๆ (ปริมาณทางกายภาพหรือไม่) โดย 1 แบบไม่มีมิติจะไม่ทำให้ปริมาณนั้นเปลี่ยนแปลง เมื่อสิ่งนี้และปัจจัยการแปลงสำหรับวินาทีต่อชั่วโมงถูกคูณด้วยเศษส่วนดั้งเดิมเพื่อยกเลิกหน่วยไมล์และชั่วโมง 10 ไมล์ต่อชั่วโมงจะแปลงเป็น 4.4704 เมตรต่อวินาที

เป็นตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้นความเข้มข้นของไนโตรเจนออกไซด์ (กล่าวคือ ไม่ x {\ displaystyle \ color {Blue} {\ ce {NO}} _ {x}} ) ในก๊าซหุงต้มจากเตาอุตสาหกรรมสามารถเปลี่ยนเป็นอัตราการไหลของมวลที่แสดงเป็นกรัมต่อชั่วโมง (เช่น g / h) ของ ${\ displaystyle {\ ce {NO}} _ {x}}$ โดยใช้ข้อมูลต่อไปนี้ตามที่แสดงด้านล่าง:

ไม่มี ความเข้มข้น _x: = 10 ส่วนต่อล้านโดยปริมาตร = 10 ppmv = 10 เล่ม / 10 ⁶เล่ม
ไม่มี มวลโมลาร์ _x: = 46 กก. / กม. = 46 ก. / โมล
อัตราการไหลของก๊าซหุงต้ม: = 20 ลูกบาศก์เมตรต่อนาที = 20 ม. ³ / นาที; ก๊าซหุงต้มออกจากเตาที่อุณหภูมิ 0 ° C และความดันสัมบูรณ์ 101.325 kPa; ปริมาณกรามของก๊าซที่อุณหภูมิ 0 องศาเซลเซียสและ 101.325 kPa คือ 22.414 ม. ³ / kmol

{\ displaystyle {\ frac {1000 \ {\ ce {g \ NO}} _ {x}} {1 {\ Cancel {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}}} \ times {\ frac {46 \ {\ ยกเลิก {{\ ce {kg \ NO}} _ {x}}}} {1 \ {\ ยกเลิก {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}}} \ ครั้ง {\ frac {1 \ {\ ยกเลิก {{\ ce {kmol \ NO}} _ {x}}}} {22.414 \ {\ ยกเลิก {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO }} _ {x}}}} \ times {\ frac {10 \ {\ ยกเลิก {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {NO}} _ {x}}}} {10 ^ {6} \ {\ ยกเลิก {{\ ce {m}} ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} \ times {\ frac {20 \ {\ Cancel {{\ ce {m} } ^ {3} \ {\ ce {gas}}}}} {1 \ {\ Cancel {\ ce {minute}}}} \ times {\ frac {60 \ {\ Cancel {\ ce {minute}} }} {1 \ {\ ce {hour}}}} = 24.63 \ {\ frac {{\ ce {g \ NO}} _ {x}} {\ ce {hour}}}}

หลังจากยกเลิกหน่วยมิติใด ๆ ที่ปรากฏทั้งในตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนในสมการข้างต้นความเข้มข้นของNO _x 10 ppm _vจะแปลงเป็นอัตราการไหลของมวล 24.63 กรัมต่อชั่วโมง

การตรวจสอบสมการที่เกี่ยวข้องกับมิติ

วิธีการป้ายชื่อตัวประกอบยังสามารถใช้กับสมการทางคณิตศาสตร์ใด ๆ เพื่อตรวจสอบว่าหน่วยมิติทางด้านซ้ายมือของสมการนั้นเหมือนกับหน่วยมิติทางด้านขวามือของสมการหรือไม่ การมีหน่วยเดียวกันทั้งสองด้านของสมการไม่ได้ทำให้แน่ใจว่าสมการนั้นถูกต้อง แต่การมีหน่วยที่แตกต่างกันทั้งสองด้าน (เมื่อแสดงในรูปของหน่วยฐาน) ของสมการแสดงว่าสมการนั้นไม่ถูกต้อง

ตัวอย่างเช่นตรวจสอบสมการUniversal Gas LawของPV = nRTเมื่อ:

ความดันPอยู่ในหน่วยปาสกาล (Pa)
ปริมาตรVเป็นลูกบาศก์เมตร (ม. ³ )
ปริมาณของสารnอยู่ในโมล (โมล)
ก๊าซสากลกฎหมายคงRคือ 8.3145 Pa⋅m ³ / (mol⋅K)
อุณหภูมิTอยู่ในเคลวิน (K)

{\ displaystyle {\ ce {Pa.m ^ 3}} = {\ frac {\ Cancel {{\ ce {mol}}}} {1}} \ times {\ frac {{\ ce {Pa.m ^ 3 }}} {{\ ยกเลิก {{\ ce {mol}}}} \ {\ ยกเลิก {{\ ce {K}}}}} \ times {\ frac {\ ยกเลิก {{\ ce {K}}} } {1}}}

ดังจะเห็นได้ว่าเมื่อหน่วยมิติที่ปรากฏในตัวเศษและตัวส่วนของด้านขวามือของสมการถูกยกเลิกออกไปทั้งสองด้านของสมการจะมีหน่วยมิติเดียวกัน การวิเคราะห์มิติสามารถใช้เป็นเครื่องมือในการสร้างสมการที่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติทางเคมี - ฟิสิกส์ที่ไม่เกี่ยวข้อง สมการอาจเปิดเผยคุณสมบัติของสสารที่ไม่รู้จักหรือมองข้ามมาจนถึงปัจจุบันในรูปแบบของมิติด้านซ้าย - ตัวปรับมิติซึ่งสามารถกำหนดความสำคัญทางกายภาพได้ เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องชี้ให้เห็นว่า 'การจัดการทางคณิตศาสตร์' ดังกล่าวไม่ได้มีมาก่อนหรือไม่มีความสำคัญทางวิทยาศาสตร์มากนัก แท้จริงแล้วค่าคงที่ของพลังค์ซึ่งเป็นค่าคงที่พื้นฐานของจักรวาลถูก 'ค้นพบ' ในฐานะนามธรรมทางคณิตศาสตร์ล้วนๆหรือเป็นตัวแทนที่สร้างขึ้นจากสมการเรย์ลีห์ - ยีนส์เพื่อป้องกันภัยพิบัติจากรังสีอัลตราไวโอเลต มันถูกกำหนดและขึ้นสู่นัยสำคัญทางกายภาพเชิงควอนตัมทั้งแบบควบคู่หรือหลังการปรับมิติทางคณิตศาสตร์ - ไม่ใช่ก่อนหน้านี้

ข้อ จำกัด

วิธีการป้ายชื่อปัจจัยสามารถแปลงเฉพาะปริมาณหน่วยที่หน่วยอยู่ในความสัมพันธ์เชิงเส้นตัดกันที่ 0 เท่านั้น ( มาตราส่วนอัตราส่วนในรูปแบบของสตีเวนส์) หน่วยส่วนใหญ่เหมาะสมกับกระบวนทัศน์นี้ ตัวอย่างที่ไม่สามารถใช้ได้คือการแปลงระหว่างองศาเซลเซียสและเคลวิน (หรือองศาฟาเรนไฮต์ ) ระหว่างองศาเซลเซียสและเคลวินมีความแตกต่างคงที่แทนที่จะเป็นอัตราส่วนคงที่ในขณะที่ระหว่างองศาเซลเซียสและองศาฟาเรนไฮต์ไม่มีความแตกต่างคงที่หรืออัตราส่วนคงที่ อย่างไรก็ตามมีการแปลง Affine ( ${\ displaystyle x \ mapsto ax + b}$ แทนที่จะเป็นการแปลงเชิงเส้น ${\ displaystyle x \ mapsto ax}$ ) ระหว่างพวกเขา.

ตัวอย่างเช่นจุดเยือกแข็งของน้ำคือ 0 ° C และ 32 ° F (0 ° C) และการเปลี่ยนแปลง 5 ° C จะเหมือนกับการเปลี่ยนแปลง 9 ° F (−13 ° C) ดังนั้นในการแปลงจากหน่วยฟาเรนไฮต์เป็นหน่วยเซลเซียสหนึ่งลบ 32 ° F (ค่าชดเชยจากจุดอ้างอิง) หารด้วย 9 ° F (−13 ° C) และคูณด้วย 5 ° C (สเกลตามอัตราส่วน ของหน่วย) และเพิ่ม 0 ° C (ค่าชดเชยจากจุดอ้างอิง) การกลับรายการนี้จะให้สูตรสำหรับการรับปริมาณเป็นหน่วยเซลเซียสจากหน่วยฟาเรนไฮต์ สามารถเริ่มต้นด้วยความเท่าเทียมกันระหว่าง 100 ° C ถึง 212 ° F (100 ° C) แม้ว่าจะให้สูตรเดียวกันในตอนท้าย

ดังนั้นในการแปลงค่าปริมาณตัวเลขของอุณหภูมิT [F] ในหน่วยองศาฟาเรนไฮต์เป็นค่าปริมาณตัวเลขT [C] ในหน่วยองศาเซลเซียสอาจใช้สูตรนี้:

T [C] = ( T [F] - 32) × 5/9

ในการแปลงT [C] ในองศาเซลเซียสเป็นT [F] ในองศาฟาเรนไฮต์อาจใช้สูตรนี้:

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32

แอปพลิเคชัน

การวิเคราะห์มิติมักใช้ในฟิสิกส์และเคมี - และในคณิตศาสตร์ - แต่พบว่ามีการใช้งานบางอย่างนอกสาขาเหล่านั้นเช่นกัน

คณิตศาสตร์

การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์มิติกับคณิตศาสตร์อย่างง่าย ๆ คือการคำนวณรูปแบบของปริมาตรของn -ball (ลูกบอลทึบในขนาดn ) หรือพื้นที่ผิวของมันn - ทรงกลม : เป็นรูปnมิติ เครื่องชั่งปริมาตรเป็น ${\ displaystyle x ^ {n},}$ ในขณะที่พื้นที่ผิวกำลัง ${\ displaystyle (n-1)}$ - มิติสเกลเป็น ${\ displaystyle x ^ {n-1}.}$ ดังนั้นปริมาตรของn -ball ในแง่ของรัศมีคือ ${\ displaystyle C_ {n} r ^ {n},}$ สำหรับค่าคงที่ ${\ displaystyle C_ {n}.}$ การกำหนดค่าคงที่ต้องใช้คณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องมากกว่า แต่สามารถอนุมานและตรวจสอบแบบฟอร์มได้โดยการวิเคราะห์มิติเพียงอย่างเดียว

การเงินเศรษฐศาสตร์และการบัญชี

ในด้านการเงินเศรษฐกิจและการบัญชี, การวิเคราะห์มิติทั่วไปมักเรียกในแง่ของความแตกต่างระหว่างหุ้นและงบกระแส โดยทั่วไปการวิเคราะห์เชิงมิติจะใช้ในการตีความอัตราส่วนทางการเงินต่างๆอัตราส่วนทางเศรษฐศาสตร์และอัตราส่วนทางบัญชี

ตัวอย่างเช่นอัตราส่วน P / Eมีขนาดของเวลา (หน่วยของปี) และสามารถตีความได้ว่าเป็น "ปีแห่งรายได้ที่จะได้รับราคาที่จ่าย"
ในทางเศรษฐศาสตร์อัตราส่วนหนี้สินต่อ GDPยังมีหน่วยของปี (หนี้มีหน่วยของสกุลเงิน GDP มีหน่วยของสกุลเงิน / ปี)
ในการวิเคราะห์ทางการเงินระยะเวลาพันธบัตรบางประเภทยังมีมิติของเวลา (หน่วยของปี) และสามารถตีความได้ว่าเป็น "ปีเพื่อจุดสมดุลระหว่างการจ่ายดอกเบี้ยและการชำระคืนเล็กน้อย"
ความเร็วของเงินมีหน่วยเป็น 1 / ปี (GDP / ปริมาณเงินมีหน่วยของสกุลเงิน / ปีต่อสกุลเงิน): หน่วยของสกุลเงินหมุนเวียนบ่อยเพียงใดต่อปี
อัตราดอกเบี้ยมักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ แต่เป็นเปอร์เซ็นต์ที่เหมาะสมมากกว่าต่อปีซึ่งมีขนาด 1 / ปี

กลศาสตร์ของไหล

ในกลศาสตร์ของไหลการวิเคราะห์มิติจะดำเนินการเพื่อให้ได้เงื่อนไขหรือกลุ่มpi ที่ไม่มีมิติ ตามหลักการของการวิเคราะห์เชิงมิติต้นแบบใด ๆ สามารถอธิบายได้ด้วยชุดของคำศัพท์เหล่านี้หรือกลุ่มที่อธิบายลักษณะการทำงานของระบบ การใช้คำศัพท์หรือกลุ่มที่เหมาะสมทำให้สามารถพัฒนาชุดคำศัพท์ที่คล้ายกันสำหรับโมเดลที่มีความสัมพันธ์มิติเดียวกันได้ ^[8]กล่าวอีกนัยหนึ่งคำว่า pi เป็นทางลัดในการพัฒนาโมเดลที่เป็นตัวแทนของต้นแบบบางอย่าง กลุ่มที่ไม่มีมิติทั่วไปในกลศาสตร์ของไหล ได้แก่ :

หมายเลขเรย์โนลด์ (Re) โดยทั่วไปมีความสำคัญในปัญหาของเหลวทุกประเภท:
${\ displaystyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho \, ud} {\ mu}}}$ .
หมายเลข Froude (Fr) การสร้างแบบจำลองที่มีพื้นผิวอิสระ:
${\ displaystyle \ mathrm {Fr} = {\ frac {u} {\ sqrt {g \, L}}}$
หมายเลขออยเลอร์ (Eu) ใช้ในปัญหาที่มีความกดดัน:
${\ displaystyle \ mathrm {Eu} = {\ frac {\ Delta p} {\ rho u ^ {2}}}}$
หมายเลขมัค (Ma) มีความสำคัญในการไหลด้วยความเร็วสูงที่ความเร็วเข้าใกล้หรือสูงกว่าความเร็วเสียงในพื้นที่:
${\ displaystyle \ mathrm {Ma} = {\ frac {u} {c}},}$ โดยที่: $c$ คือความเร็วของเสียงในท้องถิ่น

ประวัติศาสตร์

ต้นกำเนิดของการวิเคราะห์มิติถูกโต้แย้งโดยนักประวัติศาสตร์ ^[9]^[10]

การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์มิติเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกได้รับการให้เครดิตในบทความของFrançois Davietที่Turin Academy of Science Daviet มีอาจารย์Lagrangeเป็นอาจารย์ ผลงานพื้นฐานของเขาบรรจุอยู่ในพระราชบัญญัติของสถาบันลงวันที่ 1799 ^[10]

นี้นำไปสู่ข้อสรุปที่ว่ากฎหมายที่มีความหมายจะต้องเป็นสมการที่เป็นเนื้อเดียวกันในหน่วยงานต่างๆของพวกเขาจากการวัดผลซึ่งในที่สุดต่อมาในกรงเล็บที่บักกิ้งแฮมπทฤษฎีบท ไซเมียนปัวซองยังปฏิบัติต่อปัญหาเดียวกันของกฎหมายรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยดาเวียตในบทความของเขาปี 1811 และ 1833 (เล่มที่ 1, หน้า 39) ^[11]ในการพิมพ์ครั้งที่สองของปีพ. ศ. 2376 ปัวซองกล่าวถึงมิติคำศัพท์แทนความเป็นเนื้อเดียวกันของเดเวียตอย่างชัดเจน

ในปีพ. ศ. 2365 โจเซฟฟูเรียร์นักวิทยาศาสตร์นโปเลียนคนสำคัญได้สร้างผลงานที่สำคัญให้เครดิตเป็นครั้งแรก^[12]โดยอาศัยแนวคิดที่ว่ากฎทางกายภาพเช่นF = maควรเป็นอิสระจากหน่วยที่ใช้ในการวัดตัวแปรทางกายภาพ

แม็กซ์เวลล์มีบทบาทสำคัญในการสร้างการใช้การวิเคราะห์มิติที่ทันสมัยโดยการแยกแยะมวลความยาวและเวลาเป็นหน่วยพื้นฐานในขณะที่อ้างถึงหน่วยอื่น ๆ ตามที่ได้มา ^[13]แม้ว่าแม็กซ์เวลล์จะกำหนดความยาวเวลาและมวลเป็น "หน่วยพื้นฐานทั้งสาม" แต่เขายังตั้งข้อสังเกตด้วยว่ามวลความโน้มถ่วงอาจได้มาจากความยาวและเวลาโดยสมมติว่ารูปแบบของกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันซึ่งค่าคงที่ความโน้มถ่วง Gคือ นำมาเป็นความสามัคคีจึงกำหนดM = L ³ T -2^[14]โดยสมมติว่ารูปแบบของกฎหมายของ Coulombซึ่งประจุไฟฟ้าคง k _อีจะมาเป็นความสามัคคี, แมกซ์เวลแล้วระบุว่าขนาดของหน่วยไฟฟ้าสถิตค่าใช้จ่ายที่ถูกQ = L ^3/2 M ^1/2 T ^-1 , ^{[15 ]}ซึ่งหลังจากแทนที่สมการM = L ³ T ⁻²ของมวลแล้วจะส่งผลให้ประจุมีขนาดเท่ากับมวล ได้แก่ q = L ³ T -2

การวิเคราะห์มิติยังใช้เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์เฉพาะที่เราต้องการทำความเข้าใจและระบุลักษณะ มันถูกใช้เป็นครั้งแรก ( Pesic 2005 ) ในลักษณะนี้ในปี 1872 โดยLord Rayleighซึ่งพยายามทำความเข้าใจว่าทำไมท้องฟ้าถึงเป็นสีฟ้า Rayleigh ตีพิมพ์เทคนิคนี้เป็นครั้งแรกในหนังสือThe Theory of Soundในปีพ. ศ. ^[16]

ความหมายดั้งเดิมของคำว่ามิติในTheorie de la Chaleurของฟูริเยร์คือค่าตัวเลขของเลขชี้กำลังของหน่วยฐาน ตัวอย่างเช่นการเร่งความเร็วถือว่ามีมิติ 1 เทียบกับหน่วยความยาวและมิติ −2 เทียบกับหน่วยเวลา ^[17]สิ่งนี้เปลี่ยนแปลงเล็กน้อยโดย Maxwell ซึ่งกล่าวว่าขนาดของความเร่งคือ LT ⁻²แทนที่จะเป็นเพียงเลขชี้กำลัง ^[18]

การกำหนดทางคณิตศาสตร์

บักกิ้งแฮมเธทฤษฎีบทอธิบายวิธีทุกสมการที่มีความหมายที่เกี่ยวข้องกับร่างกายnตัวแปรสามารถเขียนเท่าเป็นสมการของn - เมตรพารามิเตอร์มิติที่ม.เป็นตำแหน่งของเมทริกซ์มิติ นอกจากนี้และที่สำคัญที่สุดคือมีวิธีการคำนวณพารามิเตอร์ไร้มิติเหล่านี้จากตัวแปรที่กำหนด

สมมิติสามารถมีขนาดลดลงหรือตัดผ่านnondimensionalizationซึ่งเริ่มต้นด้วยการวิเคราะห์มิติและเกี่ยวข้องกับปริมาณการปรับโดยหน่วยลักษณะของระบบหรือหน่วยธรรมชาติของธรรมชาติ สิ่งนี้ให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของระบบดังแสดงในตัวอย่างด้านล่าง

คำจำกัดความ

มิติของปริมาณทางกายภาพสามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์ของมิติทางกายภาพพื้นฐานเช่นความยาว , มวลและเวลาในแต่ละยกเหตุผล พลังงาน มิติของปริมาณทางกายภาพเป็นพื้นฐานมากกว่าบางขนาด หน่วยใช้ในการแสดงปริมาณของปริมาณทางกายภาพว่า ตัวอย่างเช่นมวลคือมิติในขณะที่กิโลกรัมเป็นหน่วยสเกลเฉพาะที่เลือกเพื่อแสดงปริมาณมวล ยกเว้นหน่วยธรรมชาติการเลือกขนาดขึ้นอยู่กับวัฒนธรรมและตามอำเภอใจ

มิติทางกายภาพพื้นฐานมีหลายทางเลือกที่เป็นไปได้ มาตรฐาน SIแนะนำการใช้งานของสัญลักษณ์ต่อไปนี้ขนาดและที่เกี่ยวข้อง: ความยาว (L), มวล (M), เวลา (T), กระแสไฟฟ้า (I), อุณหภูมิสัมบูรณ์ (Θ) ปริมาณของสาร (N) และความเข้มส่องสว่าง (ญ). สัญลักษณ์โดยการประชุมมักจะเขียนในโรมัน Sans serifอักษร ^{[19] ใน}ทางคณิตศาสตร์มิติของปริมาณQจะได้รับจาก

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ {Q} = {\ mathsf {L}} ^ {a} {\ mathsf {M}} ^ {b} {\ mathsf {T}} ^ {c} {\ mathsf {I}} ^ {d} {\ mathsf {\ Theta}} ^ {e} {\ mathsf {N}} ^ {f} {\ mathsf {J}} ^ {g}}

โดยที่a , b , c , d , e , f , gคือเลขชี้กำลังมิติ ปริมาณทางกายภาพอื่น ๆ อาจจะหมายถึงปริมาณฐานตราบเท่าที่พวกเขาในรูปแบบที่เป็นอิสระเชิงเส้น พื้นฐาน ตัวอย่างเช่นเราสามารถแทนที่ขนาดของกระแสไฟฟ้า (I) ของฐาน SI ด้วยขนาดของประจุไฟฟ้า (Q) เนื่องจาก Q = IT

ดังตัวอย่างมิติของความเร็ว ปริมาณทางกายภาพvคือ

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ v = {\ frac {\ text {length}} {\ text {time}}} = {\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} = {\ mathsf {LT}} ^ {- 1}}

และขนาดของแรง ปริมาณทางกายภาพFคือ

{\ displaystyle {\ text {dim}} ~ F = {\ text {mass}} \ times {\ text {Acceleration}} = {\ text {mass}} \ times {\ frac {\ text {length}} { {\ text {time}} ^ {2}}} = {\ frac {\ mathsf {ML}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} = {\ mathsf {MLT}} ^ {- 2 }}

หน่วยที่เลือกเพื่อแสดงปริมาณทางกายภาพและมิติมีความสัมพันธ์กัน แต่ไม่ใช่แนวคิดที่เหมือนกัน หน่วยของปริมาณทางกายภาพถูกกำหนดโดยแบบแผนและเกี่ยวข้องกับมาตรฐานบางประการ เช่นความยาวอาจมีหน่วยเป็นเมตรฟุตนิ้วไมล์หรือไมโครมิเตอร์ แต่ความยาวใด ๆ จะมีขนาด L เสมอไม่ว่าจะเลือกหน่วยความยาวใดให้แสดงความยาวก็ตาม หน่วยที่แตกต่างกันสองหน่วยของปริมาณทางกายภาพเดียวกันมีปัจจัยการแปลงที่สัมพันธ์กัน ตัวอย่างเช่น 1 in = 2.54 cm; ในกรณีนี้ (2.54 ซม. / นิ้ว) คือปัจจัยการแปลงซึ่งไม่มีขนาด ดังนั้นการคูณด้วยปัจจัยการแปลงนั้นไม่ได้ทำให้มิติของปริมาณทางกายภาพเปลี่ยนไป

นอกจากนี้ยังมีนักฟิสิกส์ที่ตั้งข้อสงสัยเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของมิติพื้นฐานที่เข้ากันไม่ได้ของปริมาณทางกายภาพ^[20]แม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ทำให้ประโยชน์ของการวิเคราะห์เชิงมิติเป็นโมฆะ

คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์

มิติที่สามารถสร้างขึ้นจากคอลเลกชันของมิติทางกายภาพพื้นฐานที่กำหนดเช่น M, L และ T รวมกันเป็นกลุ่ม abelian : ข้อมูลประจำตัวถูกเขียนเป็น 1; L ⁰ = 1และผกผันไป L 1 / L หรือ L -1L ยกอำนาจใด ๆ เหตุผลPเป็นสมาชิกของกลุ่มที่มีความผกผันของ L ^{- พี}หรือ 1 / ^L P การดำเนินการของกลุ่มคือการคูณโดยมีกฎตามปกติในการจัดการเลขชี้กำลัง ( L ⁿ × L ^m = L ^{n + m} )

กลุ่มนี้สามารถอธิบายเป็นปริภูมิเวกเตอร์มากกว่าตัวเลขเหตุผลด้วยเช่นมิติสัญลักษณ์ M ^ฉัน L ^J T ^kสอดคล้องกับเวกเตอร์( ฉัน , J , K ) เมื่อปริมาณที่วัดได้ทางกายภาพ (ไม่ว่าจะเป็นมิติที่เหมือนหรือไม่เหมือนมิติ) ถูกคูณหรือหารด้วยกันหน่วยมิติของพวกมันจะถูกคูณหรือหารในทำนองเดียวกัน สิ่งนี้สอดคล้องกับการบวกหรือการลบในปริภูมิเวกเตอร์ เมื่อปริมาณที่วัดได้ถูกยกขึ้นเป็นพลังที่มีเหตุผลจะทำเช่นเดียวกันกับสัญลักษณ์มิติที่แนบมากับปริมาณเหล่านั้น สิ่งนี้สอดคล้องกับการคูณสเกลาร์ในปริภูมิเวกเตอร์

พื้นฐานสำหรับพื้นที่เวกเตอร์ของสัญลักษณ์มิติดังกล่าวเรียกว่าชุดของปริมาณพื้นฐานและเวกเตอร์อื่น ๆ ทั้งหมดเรียกว่าหน่วยที่ได้รับ เช่นเดียวกับในปริภูมิเวกเตอร์เราอาจเลือกฐานที่แตกต่างกันซึ่งให้ระบบหน่วยที่แตกต่างกัน (เช่นการเลือกว่าหน่วยสำหรับประจุนั้นได้มาจากหน่วยสำหรับกระแสหรือในทางกลับกัน)

เอกลักษณ์ของกลุ่ม 1 มิติของปริมาณไร้มิติสอดคล้องกับจุดกำเนิดในปริภูมิเวกเตอร์นี้

ชุดของหน่วยของปริมาณทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับปัญหาสอดคล้องกับชุดของเวกเตอร์ (หรือเมทริกซ์) โมฆะอธิบายบางหมายเลข (เช่นม. ) วิธีที่เวกเตอร์เหล่านี้สามารถนำมารวมกันเพื่อผลิตเวกเตอร์ศูนย์ สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับการผลิต (จากการวัด) จำนวนหนึ่งของปริมาณที่ไม่มีมิติ {π ₁ , ... , π _m } (ในความเป็นจริงวิธีเหล่านี้ครอบคลุมพื้นที่ว่างของพื้นที่อื่นที่แตกต่างกันอย่างสมบูรณ์ของพลังของการวัด) ทุกวิธีที่เป็นไปได้ในการคูณ (และการยกกำลัง ) เข้าด้วยกันปริมาณที่วัดได้เพื่อสร้างบางสิ่งที่มีหน่วยเดียวกันกับปริมาณที่ได้รับXบางส่วนสามารถแสดงได้ ในรูปแบบทั่วไป

{\ displaystyle X = \ prod _ {i = 1} ^ {m} (\ pi _ {i}) ^ {k_ {i}} \ ,. }

ดังนั้นทุกสมการที่สมกันที่เป็นไปได้สำหรับฟิสิกส์ของระบบสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ

{\ displaystyle f (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, ... , \ pi _ {m}) = 0 \ ,. }

การทราบข้อ จำกัด นี้อาจเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพในการรับข้อมูลเชิงลึกใหม่ ๆ เกี่ยวกับระบบ

กลศาสตร์

มิติของปริมาณทางกายภาพที่น่าสนใจในกลศาสตร์สามารถแสดงได้ในรูปของขนาดฐาน M, L และ T ซึ่งเป็นพื้นที่เวกเตอร์ 3 มิติ นี่ไม่ใช่ทางเลือกเดียวที่ถูกต้องของมิติข้อมูลพื้นฐาน แต่เป็นตัวเลือกที่ใช้กันมากที่สุด ตัวอย่างเช่นเราอาจเลือกแรงความยาวและมวลเป็นขนาดฐาน (อย่างที่บางคนเคยทำ) โดยมีมิติสัมพันธ์ F, L, M; สอดคล้องนี้เพื่อพื้นฐานที่แตกต่างกันและอาจจะมีคนแปลงระหว่างการแสดงเหล่านี้โดยการเปลี่ยนแปลงของพื้นฐาน การเลือกชุดมิติข้อมูลพื้นฐานจึงเป็นแบบแผนโดยมีประโยชน์ในการเพิ่มอรรถประโยชน์และความคุ้นเคย ทางเลือกของขนาดฐานไม่ได้โดยพลการอย่างสิ้นเชิงเพราะพวกเขาจะต้องรูปแบบพื้นฐาน : พวกเขาจะต้องครอบคลุมพื้นที่และเป็นอิสระเป็นเส้นตรง

ตัวอย่างเช่น F, L, M สร้างชุดของมิติพื้นฐานเนื่องจากเป็นชุดพื้นฐานที่เทียบเท่ากับ M, L, T: อดีตสามารถแสดงเป็น [F = ML / T ² ], L, M ในขณะที่ หลังสามารถแสดงเป็น M, L, [T = (ML / F) ^1/2 ]

ในทางกลับกันความยาวความเร็วและเวลา(L, V, T)ไม่ได้สร้างชุดของขนาดฐานสำหรับกลศาสตร์ด้วยเหตุผลสองประการ:

ไม่มีทางที่จะได้รับมวล - หรือสิ่งใดก็ตามที่ได้มาจากมันเช่นแรง - โดยไม่ต้องนำมิติฐานอื่นมาใช้ (ดังนั้นจึงไม่ขยายช่องว่าง )
ความเร็วซึ่งแสดงออกได้ในรูปของความยาวและเวลา (V = L / T) ซ้ำซ้อน (ชุดไม่เป็นอิสระเชิงเส้น )

สาขาฟิสิกส์และเคมีอื่น ๆ

ขึ้นอยู่กับสาขาฟิสิกส์อาจเป็นประโยชน์ในการเลือกชุดสัญลักษณ์มิติเพิ่มเติมหนึ่งชุดหรือชุดอื่น ในแม่เหล็กไฟฟ้ายกตัวอย่างเช่นมันอาจจะเป็นประโยชน์ที่จะใช้ขนาดของ M, L, T, Q และที่ถามหมายถึงมิติของค่าใช้จ่ายไฟฟ้า ในอุณหพลศาสตร์ชุดฐานของขนาดมักจะขยายเพื่อรวมมิติสำหรับอุณหภูมิ, ในทางเคมีปริมาณของสาร (จำนวนโมเลกุลหารด้วยค่าคงที่ Avogadro , ≈6.02 × 10 ²³ โมล⁻¹ ) ถูกกำหนดให้เป็นมิติฐาน N เช่นกัน ในการทำงานร่วมกันของพลาสม่าเชิงสัมพัทธภาพกับพัลส์เลเซอร์ที่แข็งแกร่งพารามิเตอร์ความคล้ายคลึงกันเชิงสัมพันธ์แบบไร้มิติซึ่งเชื่อมต่อกับคุณสมบัติสมมาตรของสมการ Vlasov ที่ไม่มีการชนกันนั้นสร้างขึ้นจากความหนาแน่นของพลาสมาอิเล็กตรอนและวิกฤตนอกเหนือไปจากศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า การเลือกขนาดหรือแม้แต่จำนวนมิติที่จะใช้ในสาขาฟิสิกส์ที่แตกต่างกันนั้นมีขอบเขตตามอำเภอใจ แต่ความสม่ำเสมอในการใช้งานและความสะดวกในการสื่อสารเป็นคุณสมบัติทั่วไปและจำเป็น

พหุนามและฟังก์ชันยอดเยี่ยม

เกลาข้อโต้แย้งฟังก์ชั่นยอดเยี่ยมเช่นชี้แจง , ตรีโกณมิติและลอการิทึมฟังก์ชั่นหรือพหุนาม inhomogeneousจะต้องมีปริมาณมิติ (หมายเหตุ: ข้อกำหนดนี้ค่อนข้างผ่อนคลายในการวิเคราะห์เชิงทิศทางของ Siano ที่อธิบายไว้ด้านล่างซึ่งกำลังสองของปริมาณมิติที่กำหนดจะไม่มีมิติ)

ในขณะที่อัตลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เกี่ยวกับตัวเลขไร้มิติแปลในลักษณะตรงไปตรงมาเป็นปริมาณมิติ แต่ต้องคำนึงถึงอัตราส่วนลอการิทึม: บันทึกข้อมูลประจำตัว (a / b) = บันทึก a - บันทึก b โดยที่ลอการิทึมถูกนำมาใช้ในฐานใด ๆ สำหรับตัวเลขที่ไม่มีมิติ a และ b แต่จะไม่ถือว่า a และ b เป็นมิติเพราะในกรณีนี้ทางด้านซ้ายมือได้รับการกำหนดไว้อย่างดี แต่ด้านขวามือไม่ใช่

ในทำนองเดียวกันในขณะที่เราสามารถประเมินmonomials ( x ⁿ ) ของปริมาณมิติ แต่ก็ไม่สามารถประเมินพหุนามของระดับผสมที่มีค่าสัมประสิทธิ์ไร้มิติต่อปริมาณมิติ: สำหรับx ²นิพจน์ (3 ม.) ² = 9 ม. ²เหมาะสม (เป็นพื้นที่ ) ในขณะที่สำหรับx ² + xนิพจน์ (3 ม.) ² + 3 ม. = 9 ม. ² + 3 ม. ไม่สมเหตุสมผล

อย่างไรก็ตามพหุนามของระดับผสมสามารถทำให้เข้าใจได้หากสัมประสิทธิ์ถูกเลือกอย่างเหมาะสมกับปริมาณทางกายภาพที่ไม่มีมิติ ตัวอย่างเช่น,

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9.8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2}}} \ right) \ cdot t ^ {2} + \ left (500 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {second}}} \ right) \ cdot t.}

นี่คือความสูงที่วัตถุจะเพิ่มขึ้นในเวลา tถ้าความเร่งของแรงโน้มถ่วงเท่ากับ 9.8 เมตรต่อวินาทีต่อวินาทีและความเร็วเริ่มต้นที่เพิ่มขึ้นคือ 500 เมตรต่อวินาที มันไม่ได้เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับเสื้อที่จะอยู่ในไม่กี่วินาที ตัวอย่างเช่นสมมติว่าt = 0.01 นาที จากนั้นเทอมแรกจะเป็น

{\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ frac {1} {2}} \ cdot \ left (-9.8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {second}} ^ {2} }} \ right) \ cdot (0.01 {\ text {minute}}) ^ {2} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ right) \ left ({\ frac {\ text {minute}} {\ text {second}}} \ right) ^ {2} \ cdot {\ text {meter}} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ left (0.01 ^ {2} \ right) \ cdot 60 ^ {2} \ cdot {\ text {meter}} \ end { ชิด}}}

รวมหน่วย

ค่าของมิติทางกายภาพปริมาณZถูกเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ของที่หน่วย [ Z ] ภายในมิติและเป็นปัจจัยตัวเลขมิติ, n ^[21]

{\ displaystyle Z = n \ times [Z] = n [Z]}

เมื่อมีการเพิ่มหรือลบหรือเปรียบเทียบปริมาณที่มีมิติใกล้เคียงกันจะเป็นการสะดวกที่จะแสดงเป็นหน่วยที่สอดคล้องกันเพื่อให้สามารถเพิ่มหรือลบค่าตัวเลขของปริมาณเหล่านี้ได้โดยตรง แต่ตามแนวคิดแล้วไม่มีปัญหาในการเพิ่มปริมาณของมิติเดียวกันที่แสดงในหน่วยต่างๆ ตัวอย่างเช่น 1 เมตรที่เพิ่มเป็น 1 ฟุตเป็นความยาว แต่ไม่สามารถรับความยาวนั้นได้โดยเพียงแค่เพิ่ม 1 และ 1 ปัจจัยการแปลงซึ่งเป็นอัตราส่วนของปริมาณมิติที่เหมือนกันและเท่ากับความสามัคคีที่ไม่มีมิติเป็นสิ่งจำเป็น:

{\ displaystyle 1 \ {\ mbox {ft}} = 0.3048 \ {\ mbox {m}} \}

เหมือนกับ

{\ displaystyle 1 = {\ frac {0.3048 \ {\ mbox {m}}} {1 \ {\ mbox {ft}}}}. \}

ปัจจัย ${\ displaystyle 0.3048 \ {\ frac {\ mbox {m}} {\ mbox {ft}}}}$ เหมือนกับ 1 ที่ไม่มีมิติข้อมูลดังนั้นการคูณด้วยปัจจัยการแปลงนี้จึงไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง จากนั้นเมื่อเพิ่มมิติข้อมูลที่เหมือนสองปริมาณ แต่แสดงในหน่วยที่ต่างกันปัจจัยการแปลงที่เหมาะสมซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือมิติที่ไม่มี 1 จะถูกใช้เพื่อแปลงปริมาณเป็นหน่วยที่เหมือนกันเพื่อให้สามารถเพิ่มหรือลบค่าตัวเลขได้

เฉพาะในลักษณะนี้เท่านั้นที่มีความหมายในการพูดถึงการเพิ่มหน่วยที่แตกต่างกันในปริมาณที่มีขนาดเหมือนกัน

ตำแหน่งเทียบกับการกระจัด

การอภิปรายเกี่ยวกับการวิเคราะห์มิติโดยปริยายกล่าวถึงปริมาณทั้งหมดเป็นเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ (ในทางคณิตศาสตร์สเกลาร์ถือเป็นกรณีพิเศษของเวกเตอร์^{[ ต้องการอ้างอิง ]}เวกเตอร์สามารถเพิ่มหรือลบออกจากเวกเตอร์อื่น ๆ ได้และในกรณีเดียวกันคูณหรือหารด้วยสเกลาร์หากใช้เวกเตอร์เพื่อกำหนดตำแหน่งจะถือว่า จุดอ้างอิงโดยนัย: จุดกำเนิดแม้ว่าสิ่งนี้จะมีประโยชน์และมักจะเพียงพออย่างสมบูรณ์ทำให้สามารถจับข้อผิดพลาดที่สำคัญหลายอย่างได้ แต่ก็ไม่สามารถจำลองลักษณะทางฟิสิกส์บางประการได้วิธีการที่เข้มงวดมากขึ้นจำเป็นต้องมีการแยกแยะระหว่างตำแหน่งและการกระจัด (หรือช่วงเวลาใน เวลาเทียบกับระยะเวลาหรืออุณหภูมิสัมบูรณ์เทียบกับการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ)

พิจารณาจุดบนเส้นแต่ละจุดด้วยตำแหน่งที่เกี่ยวกับจุดกำเนิดที่กำหนดและระยะทางระหว่างกัน ตำแหน่งและการกระจัดทั้งหมดมีหน่วยความยาว แต่ความหมายไม่สามารถใช้แทนกันได้:

การเพิ่มการกระจัดสองครั้งควรทำให้เกิดการกระจัดใหม่ (การเดินสิบก้าวจากนั้นยี่สิบก้าวจะทำให้คุณก้าวไปข้างหน้าสามสิบก้าว)
การเพิ่มการกระจัดไปยังตำแหน่งควรให้ตำแหน่งใหม่ (การเดินหนึ่งช่วงตึกไปตามถนนจากสี่แยกจะพาคุณไปยังทางแยกถัดไป)
การลบสองตำแหน่งควรทำให้เกิดการกระจัด
แต่อย่างใดอย่างหนึ่งไม่สามารถเพิ่มสองตำแหน่ง

สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงความแตกต่างอย่างละเอียดระหว่างปริมาณAffine (ที่จำลองโดยปริภูมิ Affineเช่นตำแหน่ง) และปริมาณเวกเตอร์ (ที่จำลองโดยปริภูมิเวกเตอร์เช่นการกระจัด)

อาจมีการเพิ่มปริมาณเวกเตอร์ซึ่งกันและกันโดยให้ปริมาณเวกเตอร์ใหม่และปริมาณเวกเตอร์อาจถูกเพิ่มลงในปริมาณที่เหมาะสม (พื้นที่เวกเตอร์ทำหน้าที่บนช่องว่างเชิงสัมพันธ์) โดยให้ปริมาณความสัมพันธ์ใหม่
ไม่สามารถเพิ่มปริมาณ Affine ได้ แต่อาจหักลบได้โดยให้ปริมาณสัมพัทธ์ซึ่งเป็นเวกเตอร์และจากนั้นความแตกต่างสัมพัทธ์เหล่านี้อาจถูกเพิ่มเข้าด้วยกันหรือเป็นปริมาณที่สัมพันธ์กัน

ถูกต้องแล้วตำแหน่งที่มีมิติของเลียนแบบยาวในขณะที่การกระจัดมีมิติของเวกเตอร์ยาว ในการกำหนดจำนวนไปยังเลียนแบบหน่วยหนึ่งจะต้องไม่เพียง แต่เลือกหน่วยการวัด แต่ยังเป็นจุดอ้างอิงในขณะที่จะกำหนดจำนวนที่จะเป็นเวกเตอร์หน่วยเพียง แต่ต้องใช้หน่วยการวัด

ดังนั้นปริมาณทางกายภาพบางส่วนจึงถูกจำลองโดยปริมาณเวกเตอร์ได้ดีกว่าในขณะที่ปริมาณอื่น ๆ มักต้องการการแสดงความสัมพันธ์และความแตกต่างจะสะท้อนให้เห็นในการวิเคราะห์มิติ

ความแตกต่างนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในกรณีของอุณหภูมิซึ่งค่าตัวเลขของศูนย์สัมบูรณ์ไม่ใช่จุดกำเนิด 0 ในบางเครื่องชั่ง สำหรับศูนย์สัมบูรณ์

−273.15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ −459.67 ° F,

โดยที่สัญลักษณ์≘หมายถึงสอดคล้องกันเนื่องจากแม้ว่าค่าเหล่านี้ในเครื่องชั่งอุณหภูมิตามลำดับจะสอดคล้องกัน แต่ก็แสดงถึงปริมาณที่แตกต่างกันในลักษณะเดียวกับที่ระยะทางจากจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกันไปยังจุดสิ้นสุดเดียวกันเป็นปริมาณที่แตกต่างกันและโดยทั่วไปไม่สามารถนำมาเทียบเคียงได้

สำหรับความแตกต่างของอุณหภูมิ

1 K = 1 ° C ≠ 1 ° F (−17 ° C) = 1 ° R

(ในที่นี้° R หมายถึงระดับRankineไม่ใช่มาตราส่วนRéaumur ) การแปลงหน่วยสำหรับความแตกต่างของอุณหภูมิเป็นเพียงเรื่องของการคูณด้วยเช่น 1 ° F / 1 K (แม้ว่าอัตราส่วนจะไม่ใช่ค่าคงที่ก็ตาม) แต่เนื่องจากเครื่องชั่งเหล่านี้บางส่วนมีต้นกำเนิดที่ไม่ตรงกับศูนย์สัมบูรณ์การแปลงจากระดับอุณหภูมิหนึ่งไปยังอีกระดับหนึ่งจึงจำเป็นต้องมีการบัญชีสำหรับสิ่งนั้น ด้วยเหตุนี้การวิเคราะห์เชิงมิติอย่างง่ายอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดได้หากมีความคลุมเครือว่า 1 K หมายถึงอุณหภูมิสัมบูรณ์เท่ากับ −272.15 ° C หรือความแตกต่างของอุณหภูมิเท่ากับ 1 ° C

การวางแนวและกรอบอ้างอิง

คล้ายกับปัญหาของจุดของการอ้างอิงที่เป็นปัญหาของการปฐมนิเทศ: รางใน 2 หรือ 3 มิติไม่ได้เป็นเพียงความยาว แต่เป็นระยะเวลาร่วมกับทิศทาง (ปัญหานี้ไม่ได้เกิดขึ้นใน 1 มิติหรือเทียบเท่ากับความแตกต่างระหว่างบวกและลบ) ดังนั้นในการเปรียบเทียบหรือรวมปริมาณสองมิติในปริภูมิหลายมิติเราจำเป็นต้องมีการวางแนวด้วยเช่นกันพวกเขาจำเป็นต้องเปรียบเทียบ กับกรอบของการอ้างอิง

สิ่งนี้นำไปสู่ส่วนขยายที่กล่าวถึงด้านล่าง ได้แก่ มิติข้อมูลที่มุ่งตรงของ Huntley และการวิเคราะห์เชิงทิศทางของ Siano

ตัวอย่าง

ตัวอย่างง่ายๆ: ช่วงเวลาของออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก

ช่วงเวลาของการสั่น $T$ ของมวล $m ที่$ ติดอยู่กับสปริงเชิงเส้นในอุดมคติที่มีค่าคงที่ของสปริง $k$ แขวนอยู่ในแรงโน้มถ่วงของความแข็งแรง $g เป็น$ เท่าใด? เวลานั้นเป็นโซลูชั่นสำหรับ $T$ ของสมมิติบางอย่างในตัวแปร $T$ , $M$ , $k$ และกรัมปริมาณทั้งสี่มีมิติดังต่อไปนี้: $T$ [T]; $ม$ [M]; $k$ [M / T ² ]; และ $g$ [L / T ² ] จากสิ่งเหล่านี้เราสามารถสร้างผลคูณแห่งพลังที่ไร้มิติเพียงหนึ่งเดียวของตัวแปรที่เราเลือก ${\ displaystyle G_ {1}}$ = ${\ displaystyle T ^ {2} k / m}$ [T ² · M / T ² / M = 1]และการวาง ${\ displaystyle G_ {1} = C}$ สำหรับค่าคงที่ไร้มิติบางค่า $C$ จะให้สมการไร้มิติที่ต้องการ ผลคูณอันไร้มิติของตัวแปรบางครั้งเรียกว่ากลุ่มตัวแปรไร้มิติ ที่นี่คำว่า "กลุ่ม" หมายถึง "คอลเลกชัน" มากกว่าคณิตศาสตร์กลุ่ม พวกเขามักเรียกว่าตัวเลขไร้มิติเช่นกัน

โปรดทราบว่าตัวแปร $g$ ไม่เกิดขึ้นในกลุ่ม เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างผลคูณไร้มิติที่รวม $g$ กับ $k$ , $m$ และ $T$ เนื่องจาก $g$ เป็นปริมาณเดียวที่เกี่ยวข้องกับมิติ L ซึ่งหมายความว่าในปัญหานี้ $g$ ไม่เกี่ยวข้อง การวิเคราะห์มิติในบางครั้งอาจให้ข้อความที่ชัดเจนเกี่ยวกับความไม่เกี่ยวข้องของปริมาณบางอย่างในปัญหาหรือความต้องการพารามิเตอร์เพิ่มเติม หากเราเลือกตัวแปรเพียงพอที่จะอธิบายปัญหาได้อย่างถูกต้องจากข้อโต้แย้งนี้เราสามารถสรุปได้ว่าช่วงเวลาของมวลบนสปริงไม่ขึ้นอยู่กับ $g$ มันเหมือนกันบนโลกหรือดวงจันทร์ สมการที่แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของผลพลอยได้สำหรับปัญหาของเราสามารถเขียนได้ในลักษณะที่เทียบเท่ากันทั้งหมด: ${\ displaystyle T = \ kappa {\ sqrt {\ tfrac {m} {k}}}}$ สำหรับค่าคงที่ไร้มิติบางค่าκ (เท่ากับ ${\ displaystyle {\ sqrt {C}}}$ จากสมการไร้มิติเดิม)

เมื่อต้องเผชิญกับกรณีที่การวิเคราะห์เชิงมิติปฏิเสธตัวแปร ( $g$ ที่นี่) ซึ่งคาดว่าโดยสังหรณ์ใจว่าจะอยู่ในคำอธิบายทางกายภาพของสถานการณ์ความเป็นไปได้อีกประการหนึ่งก็คือตัวแปรที่ถูกปฏิเสธนั้นมีความเกี่ยวข้อง แต่ตัวแปรที่เกี่ยวข้องอื่น ๆ ละเว้นซึ่งอาจรวมกับตัวแปรที่ถูกปฏิเสธเพื่อสร้างปริมาณที่ไม่มีมิติ อย่างไรก็ตามไม่ใช่กรณีที่นี่

เมื่ออัตราผลตอบแทนการวิเคราะห์มิติเพียงกลุ่มหนึ่งมิติเป็นที่นี่ไม่มีฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักและวิธีการแก้ปัญหามีการกล่าวถึงเป็น "สมบูรณ์" - แม้ว่ามันจะยังคงอาจจะเกี่ยวข้องกับมิติที่ไม่รู้จักเช่นκ

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่า: พลังงานของลวดสั่น

พิจารณากรณีของลวดสั่นที่มีความยาว ℓ (L) ซึ่งสั่นด้วยแอมพลิจูด A (L) ลวดมีความหนาแน่นเชิงเส้น ρ (M / L) และอยู่ภายใต้ความตึงเครียด s (ML / T ² ) และเราต้องการทราบพลังงานE (ML ² / T ² ) ในเส้นลวด ให้π ₁และπ ₂เป็นผลคูณของพลังที่ไร้มิติของตัวแปรที่เลือกให้โดย

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ pi _ {1} & = {\ frac {E} {As}} \\\ pi _ {2} & = {\ frac {\ ell} {A}} \ จบ {aligned}}}

ความหนาแน่นเชิงเส้นของเส้นลวดไม่เกี่ยวข้อง ทั้งสองกลุ่มที่พบสามารถรวมกันเป็นรูปแบบที่เทียบเท่ากันเป็นสมการ

{\ displaystyle F \ left ({\ frac {E} {As}}, {\ frac {\ ell} {A}} \ right) = 0,}

โดยที่Fคือฟังก์ชันที่ไม่รู้จักหรือเทียบเท่ากับ

{\ displaystyle E = Asf \ left ({\ frac {\ ell} {A}} \ right),}

โดยที่fคือฟังก์ชันอื่น ๆ ที่ไม่รู้จัก ในที่นี้ฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักหมายความว่าโซลูชันของเรายังไม่สมบูรณ์ แต่การวิเคราะห์เชิงมิติทำให้เรามีบางสิ่งที่อาจไม่ชัดเจน: พลังงานเป็นสัดส่วนกับกำลังแรกของความตึงเครียด แบริ่งการวิเคราะห์การวิเคราะห์ต่อไปเราอาจจะดำเนินการทดลองที่จะค้นพบรูปแบบสำหรับฟังก์ชั่นที่ไม่รู้จักฉ แต่การทดลองของเรานั้นง่ายกว่าในกรณีที่ไม่มีการวิเคราะห์เชิงมิติ เราจะไม่ดำเนินการใด ๆ เพื่อตรวจสอบว่าพลังงานเป็นสัดส่วนกับความตึงเครียด หรือบางทีเราอาจจะคาดเดาว่าพลังงานเป็นสัดส่วนกับℓและเพื่อสรุปว่าE = ℓs พลังของการวิเคราะห์เชิงมิติเพื่อช่วยในการทดลองและสร้างสมมติฐานปรากฏชัด

พลังของการวิเคราะห์เชิงมิติจะปรากฏชัดเจนเมื่อนำไปใช้กับสถานการณ์ซึ่งแตกต่างจากที่ระบุไว้ข้างต้นซึ่งซับซ้อนกว่าชุดของตัวแปรที่เกี่ยวข้องไม่ปรากฏชัดเจนและสมการที่อยู่เบื้องหลังซับซ้อนอย่างสิ้นหวัง ตัวอย่างเช่นลองพิจารณาก้อนกรวดเล็ก ๆ ที่วางอยู่ริมแม่น้ำ. ถ้าแม่น้ำไหลเร็วพอมันจะทำให้ก้อนกรวดเพิ่มขึ้นและทำให้มันไหลไปกับน้ำ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นที่ความเร็ววิกฤตใด การจัดเรียงตัวแปรที่คาดเดาไม่ง่ายอย่างที่ผ่านมา แต่การวิเคราะห์เชิงมิติอาจเป็นตัวช่วยที่มีประสิทธิภาพในการทำความเข้าใจปัญหาเช่นนี้และโดยปกติแล้วจะเป็นเครื่องมือแรกที่นำไปใช้กับปัญหาที่ซับซ้อนซึ่งมีการเข้าใจสมการและข้อ จำกัด พื้นฐานไม่ดี ในกรณีเช่นนี้คำตอบอาจขึ้นอยู่กับตัวเลขที่ไม่มีมิติเช่นหมายเลข Reynoldsซึ่งอาจตีความได้โดยการวิเคราะห์เชิงมิติ

ตัวอย่างที่สาม: ความต้องการเทียบกับความจุสำหรับจานหมุน

การวิเคราะห์มิติและการทดลองเชิงตัวเลขสำหรับจานหมุน

พิจารณากรณีของแผ่นดิสก์หมุนแบบบางทึบด้านขนานที่มีความหนาตามแนวแกนt (L) และรัศมีR (L) แผ่นดิสก์มีความหนาแน่นρ (M / L ³ ) หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมω (T ⁻¹ ) และทำให้เกิดความเค้นS (ML ⁻¹ T ⁻² ) ในวัสดุ มีวิธีแก้ปัญหาความยืดหยุ่นเชิงเส้นเชิงทฤษฎีที่กำหนดโดย Lame สำหรับปัญหานี้เมื่อแผ่นดิสก์บางเมื่อเทียบกับรัศมีใบหน้าของแผ่นดิสก์มีอิสระที่จะเคลื่อนไปตามแนวแกนและความสัมพันธ์ที่เป็นส่วนประกอบของความเครียดระนาบสามารถสันนิษฐานได้ว่าใช้ได้ เมื่อแผ่นดิสก์หนาขึ้นเมื่อเทียบกับรัศมีแล้วสารละลายความเครียดของระนาบจะแตกตัว หากแผ่นดิสก์ถูกยึดตามแนวแกนบนใบหน้าที่ว่างจะเกิดสภาวะความเครียดของเครื่องบิน อย่างไรก็ตามหากไม่เป็นเช่นนั้นสถานะของความเค้นอาจถูกกำหนดได้ก็ต่อเมื่อพิจารณาถึงความยืดหยุ่นสามมิติและไม่มีวิธีแก้ปัญหาทางทฤษฎีที่เป็นที่รู้จักสำหรับกรณีนี้ ดังนั้นวิศวกรอาจสนใจที่จะสร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรทั้งห้า การวิเคราะห์มิติสำหรับกรณีนี้นำไปสู่กลุ่มที่ไม่ใช่มิติต่อไปนี้ (5 - 3 = 2):

ความต้องการ / ความจุ = ρR ² ω ² / S

ความหนา / รัศมีหรืออัตราส่วนภาพ = t / R

ด้วยการใช้การทดลองเชิงตัวเลขโดยใช้ตัวอย่างเช่นวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์สามารถหาลักษณะของความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มที่ไม่ใช่มิติทั้งสองได้ดังแสดงในรูป เนื่องจากปัญหานี้เกี่ยวข้องกับกลุ่มที่ไม่ใช่มิติสองกลุ่มเท่านั้นภาพที่สมบูรณ์จึงถูกจัดเตรียมไว้ในพล็อตเดียวและสามารถใช้เป็นแผนภูมิการออกแบบ / การประเมินสำหรับการหมุนแผ่นดิสก์^[22]

ส่วนขยาย

ส่วนขยายของ Huntley: ขนาดที่กำหนดและปริมาณของสสาร

Huntley ( Huntley 1967 ) ได้ชี้ให้เห็นว่าการวิเคราะห์เชิงมิติสามารถมีประสิทธิภาพมากขึ้นโดยการค้นพบมิติใหม่ที่เป็นอิสระในปริมาณที่อยู่ในการพิจารณาซึ่งจะเพิ่มอันดับ ${\ displaystyle m}$ ของเมทริกซ์มิติ เขาแนะนำสองแนวทางในการดำเนินการดังกล่าว:

ขนาดของส่วนประกอบของเวกเตอร์จะได้รับการพิจารณาโดยไม่ขึ้นกับมิติ ตัวอย่างเช่นแทนที่จะเป็นมิติความยาวที่ไม่แตกต่างกัน L เราอาจมี L _xแทนมิติในทิศทาง x เป็นต้น ข้อกำหนดนี้เกิดจากข้อกำหนดที่ว่าส่วนประกอบของสมการที่มีความหมายทางกายภาพ (สเกลาร์เวกเตอร์หรือเทนเซอร์) จะต้องสอดคล้องกันในเชิงมิติในที่สุด
มวลเป็นหน่วยวัดปริมาณของสสารจะต้องพิจารณาในมิติที่เป็นอิสระจากมวลเป็นหน่วยวัดความเฉื่อย

เพื่อเป็นตัวอย่างประโยชน์ของแนวทางแรกสมมติว่าเราต้องการคำนวณระยะทางที่ลูกกระสุนปืนเคลื่อนที่เมื่อยิงด้วยส่วนประกอบความเร็วแนวตั้ง ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$ และส่วนประกอบความเร็วแนวนอน ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$ โดยสมมติว่ายิงบนพื้นผิวเรียบ สมมติว่าไม่มีการใช้ความยาวกำกับปริมาณที่น่าสนใจก็คือ ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$ , ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$ ทั้งมิติเป็น LT ^-1 , $R$ , ระยะทางที่เดินทางมีมิติ L และ $กรัม$ เร่งลดลงของแรงโน้มถ่วงกับมิติ LT -2

ด้วยปริมาณทั้งสี่นี้เราอาจสรุปได้ว่าอาจเขียนสมการสำหรับช่วง $R$ :

{\ displaystyle R \ propto V _ {\ text {x}} ^ {a} \, V _ {\ text {y}} ^ {b} \, g ^ {c}. \,}

หรือมิติ

{\ displaystyle {\ mathsf {L}} = \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {a + b} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c} \,}

ซึ่งเราอาจอนุมานได้ว่า ${\ displaystyle a + b + c = 1}$ และ ${\ displaystyle a + b + 2c = 0}$ ซึ่งทำให้ไม่ระบุเลขชี้กำลังหนึ่งตัว สิ่งนี้เป็นสิ่งที่คาดหวังได้เนื่องจากเรามีสองมิติพื้นฐาน L และ T และสี่พารามิเตอร์ด้วยสมการเดียว

อย่างไรก็ตามหากเราใช้มิติข้อมูลความยาวที่กำหนดไว้แล้ว ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {x}}}$ จะเป็นขนาด L _$x$ T ^-1 , ${\ displaystyle V _ {\ mathrm {y}}}$ เป็น L _$Y$ T ^-1 , $R$ เป็น L _$x$และ $กรัม$ เป็น L _$Y$ T -2สมการมิติจะกลายเป็น:

{\ displaystyle {\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}} = \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {x}}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} _ {\ mathrm {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {c}}

และเราอาจแก้ได้อย่างสมบูรณ์เป็น ${\ displaystyle a = 1}$ , ${\ displaystyle b = 1}$ และ ${\ displaystyle c = -1}$ . การเพิ่มขึ้นของพลังนิรนัยที่ได้รับจากการใช้มิติความยาวกำกับเป็นที่ประจักษ์

ในแนวทางที่สองฮันท์ลีย์ถือได้ว่าบางครั้งมีประโยชน์ (เช่นในกลศาสตร์ของไหลและอุณหพลศาสตร์) ในการแยกแยะระหว่างมวลเป็นหน่วยวัดความเฉื่อย (มวลเฉื่อย) และมวลเป็นตัวชี้วัดปริมาณของสสาร ปริมาณของสสารถูกกำหนดโดย Huntley เป็นปริมาณ (a) ตามสัดส่วนกับมวลเฉื่อย แต่ (b) ไม่ได้แสดงถึงคุณสมบัติเฉื่อย ไม่มีการเพิ่มข้อ จำกัด เพิ่มเติมในคำจำกัดความ

ตัวอย่างเช่นพิจารณามาของกฎหมาย Poiseuille ของ เราต้องการหาอัตราการไหลของมวลของของเหลวหนืดผ่านท่อวงกลม โดยไม่ต้องวาดความแตกต่างระหว่างมวลเฉื่อยและมวลมากเราอาจเลือกเป็นตัวแปรที่เกี่ยวข้อง

${\ displaystyle {\ dot {m}}}$ อัตราการไหลของมวลพร้อมมิติ MT ⁻¹
${\ displaystyle p _ {\ text {x}}}$ การไล่ระดับความดันตามท่อที่มีขนาด ML ⁻² T ⁻²
$ρ$ ความหนาแน่นพร้อมมิติ ML ⁻³
$η$ ความหนืดของของไหลแบบไดนามิกที่มีขนาด ML ⁻¹ T ⁻¹
$r$ รัศมีของท่อที่มีขนาด L

มีตัวแปรพื้นฐานสามตัวแปรดังนั้นสมการทั้งห้าข้างต้นจะให้ตัวแปรไร้มิติสองตัวซึ่งเราอาจจะเป็น ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ dot {m}} / \ eta r}$ และ ${\ displaystyle \ pi _ {2} = p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5} / {\ dot {m}} ^ {2}}$ และเราอาจแสดงสมการมิติเป็น

{\ displaystyle C = \ pi _ {1} \ pi _ {2} ^ {a} = \ left ({\ frac {\ dot {m}} {\ eta r}} \ right) \ left ({\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {5}} {{\ dot {m}} ^ {2}}} \ right) ^ {a}}

โดยที่ $C$ และ $a$ เป็นค่าคงที่ไม่กำหนด ถ้าเราวาดความแตกต่างระหว่างมวลเฉื่อยกับมิติ ${\ displaystyle M _ {\ text {i}}}$ และปริมาณของสสารที่มีมิติ ${\ displaystyle M _ {\ text {m}}}$ จากนั้นอัตราการไหลและความหนาแน่นของมวลจะใช้ปริมาณของสสารเป็นพารามิเตอร์มวลในขณะที่การไล่ระดับความดันและค่าสัมประสิทธิ์ความหนืดจะใช้มวลเฉื่อย ตอนนี้เรามีพารามิเตอร์พื้นฐานสี่ตัวและค่าคงที่ไร้มิติหนึ่งตัวเพื่อที่จะเขียนสมการมิติได้:

{\ displaystyle C = {\ frac {p _ {\ mathrm {x}} \ rho r ^ {4}} {\ eta {\ dot {m}}}}}

โดยที่ตอนนี้มีเพียง $C$ เท่านั้นที่เป็นค่าคงที่ที่ไม่ได้กำหนด (พบว่ามีค่าเท่ากับ ${\ displaystyle \ pi / 8}$ โดยวิธีการภายนอกการวิเคราะห์มิติ) สมการนี้อาจได้รับการแก้ไขสำหรับอัตราการไหลของมวลที่จะให้ผลผลิตกฎหมาย Poiseuille ของ

การรับรู้ปริมาณสสารของฮันท์ลีย์ในฐานะมิติเชิงปริมาณอิสระนั้นประสบความสำเร็จอย่างชัดเจนในปัญหาที่เกี่ยวข้อง แต่คำจำกัดความของปริมาณสสารของเขานั้นเปิดกว้างสำหรับการตีความเนื่องจากไม่มีความเฉพาะเจาะจงเกินกว่าข้อกำหนดทั้งสอง (a) และ (b) เขา สมมุติฐานสำหรับมัน สำหรับสารที่กำหนดปริมาณมิติ SI ของสารที่มีโมลหน่วยจะเป็นไปตามข้อกำหนดสองประการของฮันท์ลีย์ในการวัดปริมาณของสสารและสามารถใช้เป็นปริมาณของสสารในปัญหาใด ๆ ของการวิเคราะห์มิติที่แนวคิดของฮันท์ลีย์สามารถใช้ได้

แนวคิดของ Huntley เกี่ยวกับขนาดความยาวที่กำหนดไว้อย่างไรก็ตามมีข้อ จำกัด ที่ร้ายแรงบางประการ:

มันไม่ได้จัดการได้ดีกับสมเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับสินค้าข้าม ,
และไม่สามารถจัดการกับการใช้มุมเป็นตัวแปรทางกายภาพได้ดี

นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องยากที่จะกำหนดสัญลักษณ์ L, L _$x$ , L _$y$ , L _$z$ให้กับตัวแปรทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับปัญหาที่สนใจ เขาเรียกกระบวนการที่เกี่ยวข้องกับ "สมมาตร" ของปัญหาทางกายภาพ สิ่งนี้มักเป็นเรื่องยากมากที่จะนำไปใช้อย่างน่าเชื่อถือ: ยังไม่ชัดเจนว่าส่วนใดของปัญหาที่มีการเรียกใช้แนวคิดเรื่อง "สมมาตร" มันเป็นความสมมาตรของร่างกายที่บังคับให้กระทำกับจุดเส้นหรือพื้นที่ที่กำลังถูกนำไปใช้? จะเกิดอะไรขึ้นถ้าร่างกายมากกว่าหนึ่งชิ้นเกี่ยวข้องกับสมมาตรที่แตกต่างกัน?

พิจารณาฟองทรงกลมที่ติดอยู่กับท่อทรงกระบอกซึ่งเราต้องการให้อัตราการไหลของอากาศเป็นฟังก์ชันของความแตกต่างของความดันในสองส่วน Huntley มีขนาดขยายเท่าใดของความหนืดของอากาศที่มีอยู่ในชิ้นส่วนที่เชื่อมต่อ? ขนาดขยายของความดันของทั้งสองส่วนคืออะไร? เหมือนหรือต่างกันอย่างไร? ความยากลำบากเหล่านี้ต้องรับผิดชอบต่อการประยุกต์ใช้มิติความยาวที่ จำกัด ของ Huntley กับปัญหาจริง

ส่วนขยายของ Siano: การวิเคราะห์เชิงทิศทาง

มุมที่จะตามแบบแผนถือว่าเป็นปริมาณมิติ ตัวอย่างเช่นพิจารณาอีกครั้งเกี่ยวกับปัญหาโพรเจกไทล์ที่มวลจุดเริ่มต้นจากจุดกำเนิด $(x, y) = (0, 0)$ ด้วยความเร็ว $v$ และมุม $θ$ เหนือx -axis โดยมีแรงโน้มถ่วงกำกับแกนลบy ต้องการหาช่วง $R$ ซึ่งจุดนั้นมวลจะกลับไปที่x -axis การวิเคราะห์การชุมนุมจะให้ผลผลิตตัวแปรมิติ $π = R กรัม / โวลต์ 2$ แต่มีความเข้าใจในความสัมพันธ์ระหว่างไม่มี $R$ และθ

Siano ( 1985-I , 1985-II ) ได้ชี้ให้เห็นว่ามิติกำกับของ Huntley ถูกแทนที่โดยใช้สัญลักษณ์ orientational $1 x 1 ปี 1 Z$ ทิศทางเวกเตอร์แสดงว่าและเป็นสัญลักษณ์ orientationless 1 0ดังนั้น L _$x$ของ Huntley จึงกลายเป็น L1 _$x$โดย L ระบุขนาดของความยาวและ $1 x$ ระบุการวางแนว Siano ยังแสดงให้เห็นอีกว่าสัญลักษณ์ทางทิศตะวันออกมีพีชคณิตเป็นของตัวเอง พร้อมกับข้อกำหนดที่ว่า $1 i -1 = 1 i$ ตารางการคูณต่อไปนี้สำหรับผลลัพธ์ของสัญลักษณ์การวางแนว:

{\ displaystyle {\ begin {array} {c | cccc} & \ mathbf {1_ {0}} & \ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {y}}} & \ mathbf {1 _ {\ text {z}}} \\\ hline \ mathbf {1_ {0}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z }} \\\ mathbf {1 _ {\ text {x}}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} \\\ mathbf {1_ {\ text {y}}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {z}} & 1_ {0} & 1 _ {\ text {x}} \\\ mathbf {1 _ {\ text {z}}} & 1 _ {\ text {z}} & 1 _ {\ text {y}} & 1 _ {\ text {x}} & 1_ {0} \ end {array}}}

สังเกตว่าสัญลักษณ์เชิงทิศทางก่อตัวเป็นกลุ่ม (กลุ่มไคลน์สี่กลุ่มหรือ "Viergruppe") ในระบบนี้สเกลาร์จะมีการวางแนวเดียวกันกับองค์ประกอบเอกลักษณ์เสมอโดยไม่ขึ้นกับ "สมมาตรของปัญหา" ปริมาณทางกายภาพที่มีพาหะมีการวางแนวทางที่คาดว่าจะแรงหรือความเร็วใน Z-ทิศทางที่มีการวางแนวของ $1$ Zสำหรับมุมให้พิจารณามุม $θ$ ที่อยู่ในระนาบ z สร้างสามเหลี่ยมมุมฉากในระนาบ z โดย $θ$ เป็นหนึ่งในมุมแหลม ด้านขวาของรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกับมุมที่แล้วมีการปฐมนิเทศ $1 x$ และตรงข้ามด้านข้างมีการปฐมนิเทศ $1$ ปีเนื่องจาก (ใช้ $~$ เพื่อระบุความเท่าเทียมกันเชิงทิศทาง) $tan (θ) = θ + ... ~ 1 y / 1 x$ เราสรุปได้ว่ามุมในระนาบ xy ต้องมีการวางแนว $1 y / 1 x = 1 z$ ซึ่งก็คือ ไม่มีเหตุผล กองกำลังเหตุผลคล้ายคลึงสรุปว่า $บาป (θ)$ มีการปฐมนิเทศ $1 Z$ ขณะ $cos (θ)$ มีการปฐมนิเทศ 1 0เหล่านี้จะแตกต่างกันดังนั้นหนึ่งสรุป (ถูกต้อง) ยกตัวอย่างเช่นว่ามีคำตอบของสมการทางกายภาพที่มีรูปแบบ $cos ($ $θ$ $) +$ $ข$ $บาป ($ $θ$ $)$ ที่และ $ข$ เป็นสเกลาจริง สังเกตว่านิพจน์เช่น ${\ displaystyle \ sin (\ theta + \ pi / 2) = \ cos (\ theta)}$ ไม่มีมิติที่ไม่สอดคล้องกันเนื่องจากเป็นกรณีพิเศษของสูตรผลรวมของมุมและควรเขียนอย่างถูกต้อง:

{\ displaystyle \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z}} + b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) = \ sin \ left (a \, 1 _ {\ text {z} }) \ cos (b \, 1 _ {\ text {z}} \ right) + \ sin \ left (b \, 1 _ {\ text {z}}) \ cos (a \, 1 _ {\ text {z} }\ขวา),}

ซึ่งสำหรับ ${\ displaystyle a = \ theta}$ และ ${\ displaystyle b = \ pi / 2}$ ผลตอบแทน ${\ displaystyle \ sin (\ theta \, 1 _ {\ text {z}} + [\ pi / 2] \, 1 _ {\ text {z}}) = 1 _ {\ text {z}} \ cos (\ theta \, 1 _ {\ text {z}})}$ . Siano แยกความแตกต่างระหว่างมุมเรขาคณิตซึ่งมีการวางแนวในปริภูมิ 3 มิติและมุมเฟสที่เกี่ยวข้องกับการแกว่งตามเวลาซึ่งไม่มีการวางแนวเชิงพื้นที่กล่าวคือการวางแนวของมุมเฟสคือ ${\ displaystyle 1_ {0}}$ .

การกำหนดสัญลักษณ์เชิงทิศทางให้กับปริมาณทางกายภาพและข้อกำหนดที่ว่าสมการทางกายภาพเป็นเนื้อเดียวกันสามารถนำไปใช้ในลักษณะที่คล้ายกับการวิเคราะห์มิติเพื่อให้ได้ข้อมูลเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับการแก้ปัญหาทางกายภาพที่ยอมรับได้ ในแนวทางนี้เราจะตั้งค่าสมการมิติและแก้มันเท่าที่จะทำได้ หากค่ากำลังต่ำสุดของตัวแปรทางกายภาพเป็นเศษส่วนทั้งสองด้านของการแก้ปัญหาจะยกกำลังขึ้นเพื่อให้พลังทั้งหมดเป็นอินทิกรัล สิ่งนี้ทำให้เป็น "รูปแบบปกติ" จากนั้นสมการเชิงทิศทางจะได้รับการแก้ไขเพื่อให้เงื่อนไขที่ จำกัด มากขึ้นเกี่ยวกับพลังที่ไม่รู้จักของสัญลักษณ์เชิงทิศทางซึ่งมาถึงโซลูชันที่สมบูรณ์กว่าการวิเคราะห์เชิงมิติเพียงอย่างเดียว บ่อยครั้งที่ข้อมูลเพิ่มเติมคือพลังอย่างหนึ่งของตัวแปรบางตัวเป็นเลขคู่หรือคี่

ตัวอย่างเช่นสำหรับปัญหาโพรเจกไทล์โดยใช้สัญลักษณ์ทิศทาง $θ$ การอยู่ในระนาบ xy จะมีมิติ $1 z$ และช่วงของโปรเจ็กไทล์ $R$ จะอยู่ในรูปแบบ:

{\ displaystyle R = g ^ {a} \, v ^ {b} \, \ theta ^ {c} {\ text {ซึ่งหมายถึง}} {\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ mathrm {x}} \ sim \ left ({\ frac {{\ mathsf {L}} \, 1 _ {\ text {y}}} {{\ mathsf {T}} ^ {2}}} \ right) ^ {a} \ left ({\ frac {\ mathsf {L}} {\ mathsf {T}}} \ right) ^ {b} \, 1 _ {\ mathsf {z}} ^ {c}. \,}

ตอนนี้ $ความเป็น$ เนื้อเดียวกันของมิติจะให้ $a$ $= -1$ และ $b = 2$ อย่างถูกต้องและความเป็นเนื้อเดียวกันของแนวนอนต้องการสิ่งนั้น ${\ displaystyle 1_ {x} / (1_ {y} ^ {a} 1_ {z} ^ {c}) = 1_ {z} ^ {c + 1} = 1}$ . กล่าวอีกนัยหนึ่ง $c$ นั้นต้องเป็นจำนวนเต็มคี่ ในความเป็นจริงฟังก์ชั่นที่จำเป็นของทีจะเป็น $บาป (θ) cos (θ)$ ซึ่งเป็นชุดประกอบด้วยอำนาจคี่ของθ

จะเห็นได้ว่าอนุกรมของ $ความบาป$ ของเทย์เลอร์ $($ $θ$ $)$ และ $cos (θ)$ เป็นเนื้อเดียวกันโดยใช้ตารางการคูณข้างต้นในขณะที่นิพจน์เช่น $cos (θ) + sin (θ)$ และ $exp (θ)$ ไม่ใช่และเป็น (อย่างถูกต้อง ) ถือว่าไม่เหมาะสม

การวิเคราะห์เชิงทิศทางของ Siano เข้ากันได้กับแนวคิดทั่วไปของปริมาณเชิงมุมว่าไม่มีมิติและในการวิเคราะห์เชิงทิศทางเรเดียนอาจยังถือว่าเป็นหน่วยที่ไม่มีมิติ การวิเคราะห์เชิงทิศทางของสมการปริมาณจะดำเนินการแยกจากการวิเคราะห์มิติธรรมดาโดยให้ข้อมูลที่เสริมการวิเคราะห์มิติ

แนวคิดไร้มิติ

ค่าคงที่

ค่าคงที่ไร้มิติที่เกิดขึ้นในผลลัพธ์ที่ได้รับเช่น C ในปัญหากฎหมายของ Poiseuille และ ${\ displaystyle \ kappa}$ ในปัญหาฤดูใบไม้ผลิที่กล่าวถึงข้างต้นมาจากการวิเคราะห์รายละเอียดเพิ่มเติมของฟิสิกส์พื้นฐานและมักเกิดจากการรวมสมการเชิงอนุพันธ์ การวิเคราะห์เชิงมิติมีข้อมูลเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับค่าคงที่เหล่านี้ แต่ก็มีประโยชน์ที่จะทราบว่าพวกเขามักจะมีความเป็นเอกภาพในการสั่งซื้อมาก การสังเกตนี้ทำให้บางครั้งสามารถคำนวณ" ด้านหลังซองจดหมาย " เกี่ยวกับปรากฏการณ์ที่สนใจได้ดังนั้นจึงสามารถออกแบบการทดลองเพื่อวัดผลได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้นหรือตัดสินว่าสำคัญหรือไม่เป็นต้น

พิธีการ

ในทางตรงกันข้ามการวิเคราะห์เชิงมิติอาจเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์แม้ว่าพารามิเตอร์ทั้งหมดในทฤษฎีพื้นฐานจะไม่มีมิติก็ตามเช่นแบบจำลองตาข่ายเช่นแบบจำลองIsingสามารถใช้เพื่อศึกษาการเปลี่ยนเฟสและปรากฏการณ์วิกฤตได้ แบบจำลองดังกล่าวสามารถกำหนดรูปแบบได้อย่างไร้มิติ เมื่อเราเข้าใกล้จุดวิกฤตใกล้ขึ้นเรื่อย ๆ ระยะห่างที่ตัวแปรในแบบจำลองแลตทิซมีความสัมพันธ์กัน (ความยาวสหสัมพันธ์ที่เรียกว่า ${\ displaystyle \ xi}$ ) จะใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ ตอนนี้ความยาวสหสัมพันธ์คือมาตราส่วนความยาวที่เกี่ยวข้องซึ่งเกี่ยวข้องกับปรากฏการณ์วิกฤตดังนั้นเราสามารถคาดเดา "เหตุผลเชิงมิติ" ได้ว่าส่วนที่ไม่ใช่การวิเคราะห์ของพลังงานอิสระต่อพื้นที่ตาข่ายควรเป็น ${\ displaystyle \ sim 1 / \ xi ^ {d}}$ ที่ไหน ${\ displaystyle d}$ คือมิติของโครงตาข่าย

มันได้รับการถกเถียงกันโดยนักฟิสิกส์บางอย่างเช่นMJ ดัฟฟ์ , ^[20]^[23]ว่ากฎหมายของฟิสิกส์เป็นอย่างโดยเนื้อแท้มิติ ความจริงที่ว่าเราได้กำหนดมิติข้อมูลที่เข้ากันไม่ได้ให้กับความยาวเวลาและมวลตามมุมมองนี้เป็นเพียงเรื่องของการประชุมที่เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าก่อนการถือกำเนิดของฟิสิกส์สมัยใหม่ไม่มีทางที่จะสัมพันธ์กับมวลได้ ความยาวและเวลาซึ่งกันและกัน ค่าคงที่เชิงมิติอิสระสามตัว: c , ħและGในสมการพื้นฐานของฟิสิกส์จะต้องถูกมองว่าเป็นเพียงปัจจัยการแปลงเพื่อแปลงมวลเวลาและความยาวให้กันและกัน

เช่นเดียวกับในกรณีของคุณสมบัติที่สำคัญของแบบจำลองแลตติซเราสามารถกู้คืนผลลัพธ์ของการวิเคราะห์มิติในขีด จำกัด มาตราส่วนที่เหมาะสมได้ เช่นการวิเคราะห์เชิงมิติในกลศาสตร์สามารถหาได้จากการใส่ค่าคงที่ħ , cและGเข้าไปใหม่(แต่ตอนนี้เราสามารถพิจารณาว่าค่าเหล่านี้เป็นแบบไร้มิติได้) และเรียกร้องให้มีความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นหนึ่งเดียวระหว่างปริมาณที่มีอยู่ในขีด จำกัด ${\ displaystyle c \ rightarrow \ infty}$ , ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$ และ ${\ displaystyle G \ rightarrow 0}$ . ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสนามโน้มถ่วงควรใช้ขีด จำกัด หลังเพื่อให้สนามมีขอบเขต จำกัด

ความเท่าเทียมกันของมิติ

ต่อไปนี้เป็นตารางนิพจน์ที่เกิดขึ้นทั่วไปในฟิสิกส์ซึ่งเกี่ยวข้องกับขนาดของพลังงานโมเมนตัมและแรง ^[24]^[25]^[26]

หน่วย SI

พลังงาน, E. มล. ² T ^T2	นิพจน์	ระบบการตั้งชื่อ
เครื่องกล	${\ displaystyle Fd}$	F = แรง , d = ระยะ
	${\ displaystyle S / t \ equiv Pt}$	S = การกระทำ , T = เวลาP = พลังงาน
	${\ displaystyle mv ^ {2} \ equiv pv \ equiv p ^ {2} / m}$	m = มวล , v = ความเร็ว , p = โมเมนตัม
	${\ displaystyle I \ omega ^ {2} \ equiv L \ omega \ equiv L ^ {2} / I}$	L = โมเมนตัมเชิงมุม , I = โมเมนต์ความเฉื่อย , ω = ความเร็วเชิงมุม
ก๊าซในอุดมคติ	${\ displaystyle pV \ equiv NT}$	P = ความดัน, ปริมาณ , T = อุณหภูมิN = จำนวนของสาร
คลื่น	${\ displaystyle IAt \ equiv SAt}$	ฉัน = คลื่นความเข้ม , S = Poynting เวกเตอร์
แม่เหล็กไฟฟ้า	${\ displaystyle q \ phi}$	q = ประจุไฟฟ้า , ϕ = ศักย์ไฟฟ้า (สำหรับการเปลี่ยนแปลงนี่คือแรงดันไฟฟ้า )
	${\ displaystyle \ varepsilon E ^ {2} V \ equiv B ^ {2} V / \ mu}$	E = สนามไฟฟ้า , B = สนามแม่เหล็ก , ε = permittivity , μ = การซึมผ่าน , V = 3d ปริมาณ
	${\ displaystyle pE \ equiv mB \ equiv IAB}$	P = ขณะขั้วไฟฟ้า , ม. = ช่วงเวลาแม่เหล็ก= พื้นที่ (ล้อมรอบด้วยวงปัจจุบัน) ฉัน = กระแสไฟฟ้าในวง

โมเมนตัมหน้า MLT ⁻¹	นิพจน์	ระบบการตั้งชื่อ
เครื่องกล	${\ displaystyle mv \ equiv Ft}$	m = มวล, v = ความเร็ว, F = แรง, t = เวลา
เครื่องกล	${\ displaystyle S / r \ equiv L / r}$	S = การกระทำL = โมเมนตัมเชิงมุมr = การกระจัด
ความร้อน	${\ displaystyle m {\ sqrt {\ left \ langle v ^ {2} \ right \ rangle}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {\ left \ langle v ^ {2} \ right \ rangle}}}$ = รากเฉลี่ยกำลังสอง , m = มวล (ของโมเลกุล)
คลื่น	${\ displaystyle \ rho Vv}$	ρ = ความหนาแน่น , V = ปริมาณ , V = ความเร็วเฟส
แม่เหล็กไฟฟ้า	${\ displaystyle qA}$	A = ศักยภาพเวกเตอร์แม่เหล็ก

แรงF MLT ⁻²	นิพจน์	ระบบการตั้งชื่อ
เครื่องกล	${\ displaystyle ma \ equiv p / t}$	m = มวลa = ความเร่ง
ความร้อน	${\ displaystyle T \ delta S / \ delta r}$	S = เอนโทรปี, T = อุณหภูมิ, r = การกระจัด (ดูแรงเอนโทรปิก )
แม่เหล็กไฟฟ้า	${\ displaystyle Eq \ equiv Bqv}$	E = สนามไฟฟ้าB = สนามแม่เหล็กv = ความเร็วq = ประจุ

หน่วยธรรมชาติ

ถ้าc = ħ = 1โดยที่cคือความเร็วแสงและħคือค่าคงที่พลังค์ที่ลดลงและมีการเลือกหน่วยพลังงานคงที่ที่เหมาะสมดังนั้นปริมาณของความยาวLมวลMและเวลาT ทั้งหมดสามารถแสดงได้ (ตามมิติ) เป็นพลังของพลังงานEเนื่องจากความยาวมวลและเวลาสามารถแสดงได้โดยใช้ความเร็วvการกระทำSและพลังงานE : ^[26]

{\ displaystyle M = {\ frac {E} {v ^ {2}}}, \ quad L = {\ frac {Sv} {E}}, \ quad t = {\ frac {S} {E}}}

แม้ว่าความเร็วและการกระทำจะไร้มิติ ( v = c = 1และS = ħ = 1 ) - ดังนั้นปริมาณที่เหลือเพียงอย่างเดียวที่มีมิติคือพลังงาน ในแง่ของพลังแห่งมิติ:

{\ displaystyle {\ mathsf {E}} ^ {n} = {\ mathsf {M}} ^ {p} {\ mathsf {L}} ^ {q} {\ mathsf {T}} ^ {r} = { \ mathsf {E}} ^ {pqr}}

สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในฟิสิกส์ของอนุภาคและฟิสิกส์พลังงานสูงซึ่งในกรณีนี้หน่วยพลังงานคืออิเล็กตรอนโวลต์ (eV) การตรวจสอบและประมาณการมิติกลายเป็นเรื่องง่ายมากในระบบนี้

อย่างไรก็ตามหากเกี่ยวข้องกับประจุไฟฟ้าและกระแสไฟฟ้าหน่วยอื่นที่ต้องแก้ไขคือสำหรับประจุไฟฟ้าโดยปกติจะใช้ประจุอิเล็กตรอน eแม้ว่าจะมีทางเลือกอื่นก็ตาม

ปริมาณ	p , q , rพลังแห่งพลังงาน			n พลังแห่งพลังงาน
ปริมาณ	น	q	ร	n
การกระทำ, S	1	2	−1	0
ความเร็วv	0	1	−1	0
มวลM	1	0	0	1
ความยาวL	0	1	0	−1
เวลาt	0	0	1	−1
โมเมนตัมหน้า	1	1	−1	1
พลังงาน, E.	1	2	−2	1

ดูสิ่งนี้ด้วย

ทฤษฎีบทบัคกิงแฮมπ
ตัวเลขไร้มิติในกลศาสตร์ของไหล
Fermi ประมาณการ - ใช้เพื่อสอนการวิเคราะห์มิติ
วิธีการวิเคราะห์มิติของ Rayleigh
Similitude (model) - การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์มิติ
ระบบการวัด

พื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์

ความแปรปรวนร่วมและความแตกต่างของเวกเตอร์
พีชคณิตภายนอก
พีชคณิตเรขาคณิต
แคลคูลัสเชิงปริมาณ

ภาษาโปรแกรม

ความถูกต้องมิติเป็นส่วนหนึ่งของการตรวจสอบชนิดได้รับการศึกษามาตั้งแต่ปี 1977 ^[27]การใช้งานสำหรับ Ada ^[28]และ C ++ ^[29]ได้อธิบายไว้ในปี 1985 และปี 1988 เคนเนดี 1996 วิทยานิพนธ์อธิบายการดำเนินการในมาตรฐาน ML , ^[30]และต่อมาในF # . ^[31]มีการใช้งานที่มีการHaskell , ^[32] OCaml , ^[33]และสนิม , ^[34]ธ^[35]และตรวจสอบสำหรับFortran ^[36]
วิทยานิพนธ์ปี 2019 ของ Griffioen ได้ขยายระบบประเภท Hindley – Milnerของ Kennedy เพื่อรองรับเมทริกซ์ของ Hart ^[37]^[38]

หมายเหตุ

^ Goldberg, เดวิด (2006) พื้นฐานเคมี (ฉบับที่ 5) McGraw-Hill ISBN 978-0-07-322104-5.
^ อ็อกเดนเจมส์ (2542) คู่มือวิศวกรรมเคมี . สมาคมวิจัยและการศึกษา ISBN 978-0-87891-982-6.
^ "มิติการวิเคราะห์หรือปัจจัยฉลากวิธี" นายเคนท์เคมีหน้า
^ Fourier, Joseph (1822), Theorie analytique de la chaleur (in ฝรั่งเศส), Paris: Firmin Didot
^ JCGM 200 (2555). คำศัพท์สากลเกี่ยวกับมาตรวิทยา - แนวคิดพื้นฐานและทั่วไปและคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง (VIM) (PDF) (ฉบับที่ 3) สืบค้นจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 23 กันยายน 2558 . สืบค้นเมื่อ2 มิถุนายน 2558 .
^ ซิมบาลา, จอห์น; Çengel, Yunus (2549). "§7-2ความเป็นเนื้อเดียวกันของมิติ" . ที่สำคัญของกลศาสตร์ของไหล: ความรู้พื้นฐานและการประยุกต์ใช้ McGraw-Hill น. 203–. ISBN 9780073138350.
^ เดอจง, Frits J.; เควดวิลเฮล์ม (2510) การวิเคราะห์มิติสำหรับนักเศรษฐศาสตร์ นอร์ทฮอลแลนด์. น. 28 .
^ ไวต์ลี; สบายดีเจอร์รี่ (2550) กลศาสตร์ประยุกต์ Biofluid นิวยอร์ก: McGraw-Hill น. 260 . ISBN 978-0-07-147217-3.
^ Macagno, Enzo O. (1971). "การทบทวนเชิงมิติเชิงประวัติศาสตร์เชิงวิพากษ์" วารสารของสถาบันแฟรงคลิน . 292 (6): 391–40 ดอย : 10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8 .
^ ก ข Martins, Roberto De A. (1981). "ที่มาของการวิเคราะห์มิติ". วารสารของสถาบันแฟรงคลิน . 311 (5): 331–7. ดอย : 10.1016 / 0016-0032 (81) 90475-0 .
^ มาร์ติน, p.403 ในการดำเนินการที่มีหนังสือบทความของเขา
^ Mason, Stephen Finney (1962), A history of the sciences , New York: Collier Books, p. 169, ISBN 978-0-02-093400-4
^ Roche, John J (1998), The Mathematics of Measurement: A Critical History , Springer, p. 203, ISBN 978-0-387-91581-4, เริ่มเห็นได้ชัดกับแมกซ์เวล, มวล, ความยาวและเวลาเริ่มที่จะตีความได้ว่ามีตัวละครที่ได้รับการยกเว้นพื้นฐานและปริมาณอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นอนุพันธ์ไม่เพียงเกี่ยวกับการวัด แต่ด้วยความเคารพต่อสถานะทางกายภาพของพวกเขาได้เป็นอย่างดี
^ Maxwell, James Clerk (1873), A Treatise on Electricity and Magnetism , p. 4
^ Maxwell, James Clerk (1873), A Treatise on Electricity and Magnetism , Oxford, p. 45, hdl : 2027 / uc1.l0065867749
^ Rayleigh บารอน John William Strutt (2420) ทฤษฎีเสียง Macmillan
^ ฟูเรียร์ (1822) , น. 156 .
^ Maxwell, James Clerk (1873), A Treatise on Electricity and Magnetism, volume 1 , p. 5
^ "SI Brochure (พิมพ์ครั้งที่ 8) ส่วนที่ 1.3: ขนาดของปริมาณ" . BIPM สืบค้นเมื่อ8 สิงหาคม 2556 .
^ ก ข ดัฟฟ์, MJ; โอคุนปอนด์; Veneziano, G. (กันยายน 2545), "Trialogue on the number of fundamental constants", Journal of High Energy Physics , 2002 (3): 023, arXiv : physical / 0110060 , Bibcode : 2002JHEP ... 03..023D , doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2002/03/023 , S2CID 15806354
^ สำหรับการทบทวนอนุสัญญาต่างๆที่ใช้งานอยู่โปรดดู: Pisanty, E (17 กันยายน 2556). "สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมสำหรับมิติและหน่วย: การใช้งานและการประชุม" ฟิสิกส์กองแลกเปลี่ยน สืบค้นเมื่อ15 กรกฎาคม 2557 .
^ แรมเซย์แองกัส "มิติการวิเคราะห์และการทดลองเชิงตัวเลขสำหรับการหมุนจาน" Ramsay พูดเพ้อเจ้อ Associates สืบค้นเมื่อ15 เมษายน 2560 .
^ Duff, MJ (กรกฎาคม 2547). "แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเวลาของค่าคงที่พื้นฐาน" arXiv : HEP-TH / 0208093v3
^ Woan, G. (2010), The Cambridge Handbook of Physics Formulas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57507-2
^ มอสกายีน; Tipler, Paul Allen (2007), Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6th ed.), San Francisco: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-8964-2
^ ก ข มาร์ติน BR; ชอว์ช.; แมนเชสเตอร์ฟิสิกส์ (2008), ฟิสิกส์ของอนุภาค (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-470-03294-7
^ เกฮานี, N. (1977). "หน่วยวัดเป็นแอตทริบิวต์ข้อมูล" คอมพิวเตอร์ หรั่ง . 2 (3): 93–111. ดอย : 10.1016 / 0096-0551 (77) 90010-8 .
^ Gehani, N. (มิถุนายน 2528). "ประเภทและหน่วยวัดที่ได้รับของ Ada" นุ่มว. ปฏิบัติ. Exper . 15 (6): 555–569 ดอย : 10.1002 / spe.4380150604 . S2CID 40558757
^ Cmelik, RF; Gehani, NH (พฤษภาคม 2531). "การวิเคราะห์มิติด้วย C ++". IEEE ซอฟแวร์ 5 (3): 21–27. ดอย : 10.1109 / 52.2021 . S2CID 22450087
^ Kennedy, Andrew J. (เมษายน 2539). ภาษาและมิติการเขียนโปรแกรม (Phd) 391 . มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISSN 1476-2986 UCAM-CL-TR-391
^ เคนเนดี, A. (2010). "ประเภทของหน่วยวัด: ทฤษฎีและการปฏิบัติ". ในHorváth, Z.; Plasmeijer, R.; Zsók, V. (eds.). โรงเรียนการเขียนโปรแกรมฟังก์ชั่นยุโรปกลาง CEFP 2009 เอกสารประกอบการบรรยายวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์. 6299 . สปริงเกอร์. หน้า 268–305 CiteSeerX 10.1.1.174.6901 ดอย : 10.1007 / 978-3-642-17685-2_8 . ISBN 978-3-642-17684-5.
^ Gundry, Adam (ธันวาคม 2015) "เป็น typechecker ปลั๊กอินสำหรับหน่วยวัด: โดเมนเฉพาะการแก้ข้อ จำกัด ใน GHC Haskell" (PDF) SIGPLAN ไม่ 50 (12): 11–22. ดอย : 10.1145 / 2887747.2804305 .
^ การ์ริเก, เจ.; Ly, D. (2017). "เด Unites dans le typeur" (PDF) 28ièmesJournées Francophones des Langaeges Applicatifs, ม.ค. 2017, Gourette, ฝรั่งเศส (ภาษาฝรั่งเศส). hal-01503084
^ Teller, David (มกราคม 2020) "หน่วยวัดใน Rust กับประเภทการปรับแต่ง"
^ เบิร์นส์สตีฟ "numericalunits (Python ห้องสมุด)"
^ "CamFort: ระบุให้ตรวจสอบและ refactor รหัส Fortran" มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์; มหาวิทยาลัยเคนต์ พ.ศ. 2561.
^ ฮาร์ท 1995
^ Griffioen, P. (2019). ภาษาเมทริกซ์หน่วยรับรู้และการประยุกต์ใช้ในการควบคุมและการตรวจสอบ (PDF) (วิทยานิพนธ์) มหาวิทยาลัยอัมสเตอร์ดัม. hdl : 11245.1 / fd7be191-700f-4468-a329-4c8ecd9007ba .

อ้างอิง

Barenblatt, GI (1996), Scaling, Self-Similarity และ Intermediate Asymptotics , Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-43522-2
บาสการ์, ร.; Nigam, Anil (1990), "ฟิสิกส์เชิงคุณภาพโดยใช้การวิเคราะห์มิติ", ปัญญาประดิษฐ์ , 45 (1–2): 73–111, ดอย : 10.1016 / 0004-3702 (90) 90038-2
บาสการ์, ร.; Nigam, Anil (1991), "คำอธิบายเชิงคุณภาพของการก่อตัวของยักษ์แดง", The Astrophysical Journal , 372 : 592–6, Bibcode : 1991ApJ ... 372..592B , doi : 10.1086 / 170003
บูเชอร์; Alves (1960), "Dimensionless Numbers", Chemical Engineering Progress , 55 : 55–64
Bridgman, PW (1922), การวิเคราะห์มิติ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเยล, ISBN 978-0-548-91029-0
Buckingham, Edgar (1914), "On Physically Similar Systems: Illustrations of the Use of Dimensional Analysis" , Physical Review , 4 (4): 345–376, Bibcode : 1914PhRv .... 4..345B , doi : 10.1103 / PhysRev.4.345 , hdl : 10338.dmlcz / 101743
Drobot, S. (1953–1954), "บนรากฐานของการวิเคราะห์มิติ" (PDF) , Studia Mathematica , 14 : 84–99, doi : 10.4064 / sm-14-1-84-99
Gibbings, JC (2011), การวิเคราะห์มิติ , Springer, ISBN 978-1-84996-316-9
Hart, George W. (1994), "The theory of Dimensioned matrices"ใน Lewis, John G. (ed.), Proceedings of the Fifth SIAM Conference on Applied Linear Algebra , SIAM, pp. 186–190, ISBN 978-0-89871-336-7เป็นคำลงท้าย
Hart, George W. (1995), การวิเคราะห์หลายมิติ: Algebras and Systems for Science and Engineering , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94417-3
Huntley, HE (1967), การวิเคราะห์มิติ , Dover, LOC 67-17978
Klinkenberg, A. (1955), "ระบบมิติและระบบของหน่วยในฟิสิกส์โดยอ้างอิงพิเศษเกี่ยวกับวิศวกรรมเคมี: ส่วนที่ 1 หลักการตามระบบมิติและระบบของหน่วยที่สร้างขึ้น", วิทยาศาสตร์วิศวกรรมเคมี , 4 (3) : 130–140, 167–177, ดอย : 10.1016 / 0009-2509 (55) 80004-8
Langhaar, Henry L. (1951), การวิเคราะห์มิติและทฤษฎีของแบบจำลอง , Wiley, ISBN 978-0-88275-682-0
เมนเดซ, PF; Ordóñez, F. (กันยายน 2548), "Scaling Laws from Statistical Data and Dimensional Analysis", Journal of Applied Mechanics , 72 (5): 648–657, Bibcode : 2005JAM .... 72..648M , CiteSeerX 10.1.1.422 0.610 , ดอย : 10.1115 / 1.1943434
Moody, LF (1944), "Friction Factors for Pipe Flow", Transactions of the American Society of Mechanical Engineers , 66 (671)
Murphy, NF (1949), "การวิเคราะห์มิติ", แถลงการณ์ของสถาบันสารพัดช่างเวอร์จิเนีย , 42 (6)
เพอร์รี JH; และคณะ (1944), "Standard System of Nomenclature for Chemical Engineering Unit Operations", Transactions of the American Institute of Chemical Engineers , 40 (251)
Pesic, Peter (2005), Sky in a Bottle , MIT Press, หน้า 227–8 , ISBN 978-0-262-16234-0
Petty, GW (2001), "การคำนวณอัตโนมัติและการตรวจสอบความสอดคล้องของมิติทางกายภาพและหน่วยในโปรแกรมทางวิทยาศาสตร์", ซอฟต์แวร์ - การปฏิบัติและประสบการณ์ , 31 (11): 1067–76, ดอย : 10.1002 / spe.401 , S2CID 206506776
Porter, Alfred W. (1933), The Method of Dimensions (3rd ed.), Methuen
JW Strutt (บารอนที่ 3 Rayleigh) (2458), "The Principle of Similitude", Nature , 95 (2368): 66–8, Bibcode : 1915Natur..95 ... 66R , doi : 10.1038 / 095066c0
Siano, Donald (1985), "Orientational Analysis - A Supplement to Dimensional Analysis - I", Journal of the Franklin Institute , 320 (6): 267–283, doi : 10.1016 / 0016-0032 (85) 90031-6
Siano, Donald (1985), "Orientational Analysis, Tensor Analysis and The Group Properties of the SI Supplementary Units - II", Journal of the Franklin Institute , 320 (6): 285–302, doi : 10.1016 / 0016-0032 (85 ) 90032-8
Silberberg, IH; McKetta, JJ Jr. (1953), "Learning How to Use Dimensional Analysis", Petroleum Refiner , 32 (4): 5, (5): 147, (6): 101, (7): 129
Van Driest, ER (มีนาคม 2489), "การวิเคราะห์มิติและการนำเสนอข้อมูลในปัญหาการไหลของของไหล", Journal of Applied Mechanics , 68 (A – 34)
Whitney, H. (1968), "The Mathematics of Physical Quantities, Part I and II", American Mathematical Monthly , 75 (2): 115–138, 227–256, doi : 10.2307 / 2315883 , JSTOR 2315883
Vignaux, GA (1992), Erickson, Gary J.; Neudorfer, Paul O. (eds.), Dimensional Analysis in Data Modeling , Kluwer Academic, ISBN 978-0-7923-2031-9
Kasprzak, Wacław; ลิซิก, เบอร์ทอลด์; Rybaczuk, Marek (1990), การวิเคราะห์มิติในการระบุแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ , World Scientific, ISBN 978-981-02-0304-7

ลิงก์ภายนอก

รายการมิติข้อมูลสำหรับปริมาณทางกายภาพที่หลากหลาย
เครื่องคิดเลขเว็บ Unicalc Live ทำการแปลงหน่วยโดยการวิเคราะห์มิติ
การใช้งาน C ++ ของการวิเคราะห์มิติเวลาคอมไพล์ในไลบรารีโอเพนซอร์ส Boost
ทฤษฎีบทปี่ของบัคกิงแฮม
เครื่องคำนวณระบบปริมาณสำหรับการแปลงหน่วยตามแนวทางมิติ
หน่วยปริมาณและค่าคงที่พื้นฐานของโครงการแผนที่การวิเคราะห์มิติ
โบว์ลีย์โรเจอร์ (2552). "[] การวิเคราะห์มิติ" . สัญลักษณ์หกสิบ เบรดี้ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม
Dureisseix, David (2019). ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการวิเคราะห์มิติ (บรรยาย) INSA ลียง

การแปลงหน่วย

เครื่องคิดเลขเว็บ Unicalc Live ทำการแปลงหน่วยโดยการวิเคราะห์มิติ
ทบทวนทักษะคณิตศาสตร์
กวดวิชา US EPA
การอภิปรายของหน่วย
คำแนะนำสั้น ๆ เกี่ยวกับการแปลงหน่วย
การยกเลิกบทเรียนหน่วย
บทที่ 11: พฤติกรรมของก๊าซ เคมี: แนวคิดและการประยุกต์ใช้เขตการศึกษาอิสระเดนตัน
การแปลงและสูตรการสร้างแบบจำลองการกระจายตัวของอากาศ
www.gnu.org/software/unitsโปรแกรมฟรีใช้งานได้จริง

[1] Goldberg, เดวิด (2006) พื้นฐานเคมี (ฉบับที่ 5) McGraw-Hill ISBN 978-0-07-322104-5.

[2] อ็อกเดนเจมส์ (2542) คู่มือวิศวกรรมเคมี . สมาคมวิจัยและการศึกษา ISBN 978-0-87891-982-6.

[3] "มิติการวิเคราะห์หรือปัจจัยฉลากวิธี" นายเคนท์เคมีหน้า

[4] Fourier, Joseph (1822), Theorie analytique de la chaleur (in ฝรั่งเศส), Paris: Firmin Didot

[5] JCGM 200 (2555). คำศัพท์สากลเกี่ยวกับมาตรวิทยา - แนวคิดพื้นฐานและทั่วไปและคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง (VIM) (PDF) (ฉบับที่ 3) สืบค้นจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 23 กันยายน 2558 . สืบค้นเมื่อ2 มิถุนายน 2558 .

[6] ซิมบาลา, จอห์น; Çengel, Yunus (2549). "§7-2ความเป็นเนื้อเดียวกันของมิติ" . ที่สำคัญของกลศาสตร์ของไหล: ความรู้พื้นฐานและการประยุกต์ใช้ McGraw-Hill น. 203–. ISBN 9780073138350.

[7] เดอจง, Frits J.; เควดวิลเฮล์ม (2510) การวิเคราะห์มิติสำหรับนักเศรษฐศาสตร์ นอร์ทฮอลแลนด์. น. 28 .

[8] ไวต์ลี; สบายดีเจอร์รี่ (2550) กลศาสตร์ประยุกต์ Biofluid นิวยอร์ก: McGraw-Hill น. 260 . ISBN 978-0-07-147217-3.

[9] Macagno, Enzo O. (1971). "การทบทวนเชิงมิติเชิงประวัติศาสตร์เชิงวิพากษ์" วารสารของสถาบันแฟรงคลิน . 292 (6): 391–40 ดอย : 10.1016 / 0016-0032 (71) 90160-8 .

[Martins_1981-10] ก ข Martins, Roberto De A. (1981). "ที่มาของการวิเคราะห์มิติ". วารสารของสถาบันแฟรงคลิน . 311 (5): 331–7. ดอย : 10.1016 / 0016-0032 (81) 90475-0 .

[11] มาร์ติน, p.403 ในการดำเนินการที่มีหนังสือบทความของเขา

[12] Mason, Stephen Finney (1962), A history of the sciences , New York: Collier Books, p. 169, ISBN 978-0-02-093400-4

[maxwell-13] Roche, John J (1998), The Mathematics of Measurement: A Critical History , Springer, p. 203, ISBN 978-0-387-91581-4, เริ่มเห็นได้ชัดกับแมกซ์เวล, มวล, ความยาวและเวลาเริ่มที่จะตีความได้ว่ามีตัวละครที่ได้รับการยกเว้นพื้นฐานและปริมาณอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นอนุพันธ์ไม่เพียงเกี่ยวกับการวัด แต่ด้วยความเคารพต่อสถานะทางกายภาพของพวกเขาได้เป็นอย่างดี

[maxwell2-14] Maxwell, James Clerk (1873), A Treatise on Electricity and Magnetism , p. 4

[maxwell3-15] Maxwell, James Clerk (1873), A Treatise on Electricity and Magnetism , Oxford, p. 45, hdl : 2027 / uc1.l0065867749

[16] Rayleigh บารอน John William Strutt (2420) ทฤษฎีเสียง Macmillan

[FOOTNOTEFourier1822[httpsbooksgooglecomidTDQJAAAAIAAJpgPA156_156]-17] ฟูเรียร์ (1822) , น. 156 .

[maxwell4-18] Maxwell, James Clerk (1873), A Treatise on Electricity and Magnetism, volume 1 , p. 5

[19] "SI Brochure (พิมพ์ครั้งที่ 8) ส่วนที่ 1.3: ขนาดของปริมาณ" . BIPM สืบค้นเมื่อ8 สิงหาคม 2556 .

[duff-20] ก ข ดัฟฟ์, MJ; โอคุนปอนด์; Veneziano, G. (กันยายน 2545), "Trialogue on the number of fundamental constants", Journal of High Energy Physics , 2002 (3): 023, arXiv : physical / 0110060 , Bibcode : 2002JHEP ... 03..023D , doi : 10.1088 / 1126-6708 / 2002/03/023 , S2CID 15806354

[Pisanty13-21] สำหรับการทบทวนอนุสัญญาต่างๆที่ใช้งานอยู่โปรดดู: Pisanty, E (17 กันยายน 2556). "สัญกรณ์วงเล็บเหลี่ยมสำหรับมิติและหน่วย: การใช้งานและการประชุม" ฟิสิกส์กองแลกเปลี่ยน สืบค้นเมื่อ15 กรกฎาคม 2557 .

[22] แรมเซย์แองกัส "มิติการวิเคราะห์และการทดลองเชิงตัวเลขสำหรับการหมุนจาน" Ramsay พูดเพ้อเจ้อ Associates สืบค้นเมื่อ15 เมษายน 2560 .

[23] Duff, MJ (กรกฎาคม 2547). "แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงเวลาของค่าคงที่พื้นฐาน" arXiv : HEP-TH / 0208093v3

[24] Woan, G. (2010), The Cambridge Handbook of Physics Formulas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57507-2

[25] มอสกายีน; Tipler, Paul Allen (2007), Physics for Scientists and Engineers - with Modern Physics (6th ed.), San Francisco: WH Freeman, ISBN 978-0-7167-8964-2

[Martin08-26] ก ข มาร์ติน BR; ชอว์ช.; แมนเชสเตอร์ฟิสิกส์ (2008), ฟิสิกส์ของอนุภาค (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-470-03294-7

[27] เกฮานี, N. (1977). "หน่วยวัดเป็นแอตทริบิวต์ข้อมูล" คอมพิวเตอร์ หรั่ง . 2 (3): 93–111. ดอย : 10.1016 / 0096-0551 (77) 90010-8 .

[28] Gehani, N. (มิถุนายน 2528). "ประเภทและหน่วยวัดที่ได้รับของ Ada" นุ่มว. ปฏิบัติ. Exper . 15 (6): 555–569 ดอย : 10.1002 / spe.4380150604 . S2CID 40558757

[29] Cmelik, RF; Gehani, NH (พฤษภาคม 2531). "การวิเคราะห์มิติด้วย C ++". IEEE ซอฟแวร์ 5 (3): 21–27. ดอย : 10.1109 / 52.2021 . S2CID 22450087

[30] Kennedy, Andrew J. (เมษายน 2539). ภาษาและมิติการเขียนโปรแกรม (Phd) 391 . มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISSN 1476-2986 UCAM-CL-TR-391

[31] เคนเนดี, A. (2010). "ประเภทของหน่วยวัด: ทฤษฎีและการปฏิบัติ". ในHorváth, Z.; Plasmeijer, R.; Zsók, V. (eds.). โรงเรียนการเขียนโปรแกรมฟังก์ชั่นยุโรปกลาง CEFP 2009 เอกสารประกอบการบรรยายวิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์. 6299 . สปริงเกอร์. หน้า 268–305 CiteSeerX 10.1.1.174.6901 ดอย : 10.1007 / 978-3-642-17685-2_8 . ISBN 978-3-642-17684-5.

[32] Gundry, Adam (ธันวาคม 2015) "เป็น typechecker ปลั๊กอินสำหรับหน่วยวัด: โดเมนเฉพาะการแก้ข้อ จำกัด ใน GHC Haskell" (PDF) SIGPLAN ไม่ 50 (12): 11–22. ดอย : 10.1145 / 2887747.2804305 .

[33] การ์ริเก, เจ.; Ly, D. (2017). "เด Unites dans le typeur" (PDF) 28ièmesJournées Francophones des Langaeges Applicatifs, ม.ค. 2017, Gourette, ฝรั่งเศส (ภาษาฝรั่งเศส). hal-01503084

[34] Teller, David (มกราคม 2020) "หน่วยวัดใน Rust กับประเภทการปรับแต่ง"

[35] เบิร์นส์สตีฟ "numericalunits (Python ห้องสมุด)"

[36] "CamFort: ระบุให้ตรวจสอบและ refactor รหัส Fortran" มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์; มหาวิทยาลัยเคนต์ พ.ศ. 2561.

[37] ฮาร์ท 1995

[38] Griffioen, P. (2019). ภาษาเมทริกซ์หน่วยรับรู้และการประยุกต์ใช้ในการควบคุมและการตรวจสอบ (PDF) (วิทยานิพนธ์) มหาวิทยาลัยอัมสเตอร์ดัม. hdl : 11245.1 / fd7be191-700f-4468-a329-4c8ecd9007ba .

[1]