เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เกิดขึ้นและได้รับการพัฒนาอันเป็นผลมาจากและเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของเส้นโค้งและพื้นผิว ^[1]การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของเส้นโค้งและพื้นผิวได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อตอบคำถามที่ดุด่าและไม่มีคำตอบที่ปรากฏในแคลคูลัสเช่นเหตุผลของความสัมพันธ์ระหว่างรูปทรงและเส้นโค้งที่ซับซ้อนอนุกรมและฟังก์ชันการวิเคราะห์ คำถามที่ไม่มีคำตอบเหล่านี้บ่งบอกถึงความสัมพันธ์ที่ยิ่งใหญ่และซ่อนเร้น

เมื่อเส้นโค้งพื้นผิวที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งและจุดบนเส้นโค้งพบว่าเป็นเชิงปริมาณและโดยทั่วไปแล้วมีความสัมพันธ์กันโดยรูปแบบทางคณิตศาสตร์การศึกษาอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับลักษณะของเส้นโค้งและพื้นผิวจึงกลายเป็นสาขาการศึกษาที่เหมาะสมด้วยMonge 's กระดาษในปี 1795 และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการตีพิมพ์บทความของGauss ในชื่อ 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas' ในCommentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentioresในปี พ.ศ. 2370 ^[2]

เริ่มแรกนำไปใช้กับอวกาศยุคลิดการสำรวจเพิ่มเติมนำไปสู่อวกาศที่ไม่ใช่แบบยุคลิดและช่องว่างแบบเมตริกและโทโพโลยี

เรขาคณิต Riemannian

เรขาคณิตศึกษารีมันแมนิโฟลรีมัน , manifolds เรียบกับเมตริกรีมัน นี่คือแนวคิดของระยะทางที่แสดงออกโดยวิธีการของราบรื่น แน่นอนบวก รูปแบบสมมาตร bilinearกำหนดไว้บนพื้นที่สัมผัสกันในแต่ละจุด รีมันเรขาคณิต generalizes เรขาคณิตแบบยุคลิดไปที่ช่องว่างที่ไม่จำเป็นต้องแบนแม้ว่าพวกเขาจะยังคงมีลักษณะพื้นที่ Euclideanในแต่ละจุดกระจิริดคือในลำดับแรกของการประมาณ แนวความคิดที่แตกต่างกันไปตามระยะเวลาเช่นความยาวส่วนโค้งของเส้นโค้ง , พื้นที่ของภูมิภาคเครื่องบินและปริมาณของของแข็งทั้งหมดที่มี analogues ธรรมชาติในรีมันเรขาคณิต ความคิดของอนุพันธ์ทิศทางของการทำงานจากแคลคูลัสหลายตัวแปรจะขยายออกไปในเรขาคณิตรีมันกับความคิดของการเป็นcovariant แผลงของเมตริกซ์ แนวคิดและเทคนิคมากมายของการวิเคราะห์และสมการเชิงอนุพันธ์ได้ถูกนำไปใช้กับการตั้งค่าของท่อร่วมของ Riemannian

ระยะรักษาdiffeomorphismระหว่างแมนิโฟลรีมันจะเรียกว่าisometry แนวคิดนี้ยังสามารถกำหนดได้ในท้องถิ่นเช่นสำหรับจุดเล็ก ๆ เส้นโค้งปกติสองเส้นมีมิติเท่ากัน อย่างไรก็ตามTheorema EgregiumของCarl Friedrich Gaussแสดงให้เห็นว่าสำหรับพื้นผิวการมีอยู่ของ isometry ในพื้นที่กำหนดเงื่อนไขความเข้ากันได้ที่แข็งแกร่งในเมตริกของพวกเขา: ความโค้งแบบเกาส์ที่จุดที่สอดคล้องกันจะต้องเหมือนกัน ในมิติที่สูงขึ้นเทนเซอร์ความโค้งของ Riemannเป็นค่าคงที่ที่สำคัญในเชิงจุดที่เกี่ยวข้องกับท่อร่วมของ Riemannian ที่วัดว่าใกล้จะแบนแค่ไหน ชั้นที่สำคัญของท่อร่วม Riemannian คือช่องว่างสมมาตร Riemannianซึ่งความโค้งไม่จำเป็นต้องคงที่ เหล่านี้เป็น analogues ใกล้เคียงกับเครื่องบิน "ธรรมดา" และพื้นที่การพิจารณาในยุคลิดและไม่เรขาคณิตแบบยุคลิด

เรขาคณิตหลอก - รีมันเนียน

เรขาคณิตหลอกรีมัน generalizes รีมันเรขาคณิตกับกรณีที่เมตริกซ์เมตริกไม่จำเป็นต้องเป็นบวกแน่นอน เป็นกรณีพิเศษนี้เป็นนานา Lorentzianซึ่งเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของของ Einstein ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของแรงโน้มถ่วง

รูปทรงเรขาคณิตของ Finsler

รูปทรงเรขาคณิตของ Finsler มีท่อร่วม Finslerเป็นเป้าหมายหลักในการศึกษา นี่คือท่อร่วมที่แตกต่างกับเมตริก Finslerนั่นคือบรรทัดฐานของ Banach ที่กำหนดไว้ในช่องว่างสัมผัส ท่อร่วมของ Riemannian เป็นกรณีพิเศษของท่อร่วม Finsler ทั่วไป โครงสร้าง Finsler บนท่อร่วมMคือฟังก์ชันF  : T M → [0, ∞)เช่น:

1. F ( x , my ) = m F ( x , y )สำหรับทั้งหมด ( x , y )ใน T Mและทั้งหมด m ≥0 ,
2. Fเป็นอนันต์อนุพันธ์ใน T M ∖ {0} ,
3. Hessian แนวตั้งของF ²เป็นค่าบวกแน่นอน

เรขาคณิตสัณฐาน

เรขาคณิต symplecticคือการศึกษาของแมนิโฟล symplectic นานา symplectic เกือบเป็นนานาอนุพันธ์พร้อมกับได้อย่างราบรื่นที่แตกต่างกัน nondegenerate ลาดสมมาตร รูปแบบบิลิแนร์ในแต่ละพื้นที่สัมผัสคือเป็น nondegenerate 2- แบบฟอร์ม ωเรียกว่ารูปแบบ symplectic นานา symplectic เป็นนานา symplectic เกือบซึ่งรูปแบบ symplectic ωปิด: d ω = 0

diffeomorphismระหว่างสอง manifolds symplectic ซึ่งเก็บรักษารูปแบบ symplectic เรียกว่าsymplectomorphism รูปแบบบิลิเนียร์สมมาตรเอียงที่ไม่เสื่อมสภาพสามารถมีได้เฉพาะในช่องว่างเวกเตอร์ที่มีมิติเท่ากันดังนั้นท่อร่วมซิมเพิลติกจึงจำเป็นต้องมีขนาดเท่ากัน ในมิติที่ 2 ท่อร่วมซิมเพิลติกเป็นเพียงพื้นผิวที่มีรูปแบบของพื้นที่และ symplectomorphism คือความแตกต่างที่คงไว้ซึ่งพื้นที่ อวกาศของระบบกลไกเป็นนานา symplectic และพวกเขาทำลักษณะโดยปริยายอยู่แล้วในการทำงานของโจเซฟหลุยส์ลากรองจ์ในกลศาสตร์การวิเคราะห์และต่อมาในคาร์ลกุสตาฟจาโคบี 'และวิลเลียมโรวันแฮมิลตัน ' s สูตรกลศาสตร์คลาสสิก

ในทางตรงกันข้ามกับรูปทรงเรขาคณิตของ Riemannian ซึ่งความโค้งให้ความไม่แปรเปลี่ยนในท้องถิ่นของท่อร่วมของ Riemannian ทฤษฎีบทของ Darbouxระบุว่าท่อร่วมทางชีวภาพทั้งหมดเป็นแบบไอโซมอร์ฟิกในท้องถิ่น ความไม่แปรเปลี่ยนเพียงอย่างเดียวของท่อร่วมแบบซิมเปิลติกนั้นมีอยู่ทั่วไปในธรรมชาติและลักษณะทอพอโลยีมีบทบาทสำคัญในรูปทรงเรขาคณิตเชิงสัญลักษณ์ ผลลัพธ์แรกในโทโพโลยีแบบ symplectic น่าจะเป็นทฤษฎีบทPoincaré - Birkhoffซึ่งคาดเดาโดยHenri Poincaréและพิสูจน์แล้วโดยGD Birkhoffในปี 1912 โดยอ้างว่าหากพื้นที่ที่เก็บรักษาแผนที่วงแหวนบิดองค์ประกอบขอบเขตแต่ละส่วนในทิศทางตรงกันข้ามแผนที่จะมี อย่างน้อยสองจุดคงที่ ^[3]

ติดต่อเรขาคณิต

รูปทรงเรขาคณิตติดต่อเกี่ยวข้องกับบางส่วนของมิติคี่ มันใกล้เคียงกับเรขาคณิตเชิงสัญญะและแบบหลังนี้เกิดจากคำถามเกี่ยวกับกลศาสตร์คลาสสิก โครงสร้างการติดต่อบน(2 n + 1)มิตินานาMจะได้รับจากสนามไฮเปอร์เพลเรียบHในกำสัมผัสที่เป็นเท่าที่เป็นไปได้จากการเชื่อมโยงกับชุดระดับของฟังก์ชันอนุพันธ์ในM (ระยะทางเทคนิค คือ "การแจกแจงไฮเปอร์เพลนแทนเจนต์ที่ไม่สามารถตีความได้อย่างสมบูรณ์") ใกล้แต่ละจุดpการแจกแจงไฮเปอร์เพลนจะถูกกำหนดโดยรูปแบบ 1 ที่หายไป ${\ displaystyle \ alpha}$ซึ่งไม่ซ้ำกับการคูณด้วยฟังก์ชันที่หายไปไหนเลย:

${\ displaystyle H_ {p} = \ ker \ alpha _ {p} \ subset T_ {p} M.}$

ท้องถิ่น 1 แบบฟอร์มในMเป็นแบบฟอร์มการติดต่อถ้าข้อ จำกัด ของมันอนุพันธ์ภายนอกเพื่อHคือไม่ใช่คนเลวสองรูปแบบและจึงก่อให้เกิดการโครงสร้าง symplectic บนH _Pในแต่ละจุด หากการแจกแจงHสามารถกำหนดได้ด้วยรูปแบบเดียวแบบโกลบอล${\ displaystyle \ alpha}$ จากนั้นแบบฟอร์มนี้จะติดต่อในกรณีที่เป็นรูปแบบมิติบนสุดเท่านั้น

${\ displaystyle \ alpha \ wedge (d \ alpha) ^ {n}}$

เป็นรูปแบบปริมาตรบนMกล่าวคือไม่หายไปไหน อะนาล็อกการติดต่อของทฤษฎีบท Darboux มีโครงสร้างการติดต่อทั้งหมดบนท่อร่วมมิติคี่เป็นไอโซมอร์ฟิกเฉพาะที่และสามารถนำมาสู่รูปแบบปกติในท้องถิ่นโดยการเลือกระบบพิกัดที่เหมาะสม

รูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนและKähler

เรขาคณิตต่างคอมเพล็กซ์คือการศึกษาของmanifolds ซับซ้อน มากมายซับซ้อนเกือบเป็นจริงมากมาย${\ displaystyle M}$กอปรกับเมตริกซ์ของชนิด (1, 1), เช่นเวกเตอร์มัด endomorphism (เรียกว่าโครงสร้างที่ซับซ้อนเกือบ )

${\ displaystyle J: TM \ rightarrow TM}$, ดังนั้น ${\ displaystyle J ^ {2} = - 1. \,}$

จากคำจำกัดความนี้ว่าท่อร่วมที่ซับซ้อนเกือบจะมีมิติเท่ากัน

ท่อร่วมที่ซับซ้อนเกือบจะเรียกว่าคอมเพล็กซ์ if${\ displaystyle N_ {J} = 0}$, ที่ไหน ${\ displaystyle N_ {J}}$ เป็นชนิดเทนเซอร์ (2, 1) ที่เกี่ยวข้องกับ ${\ displaystyle J}$เรียกว่าNijenhuis tensor (หรือบางครั้งก็เป็นแรงบิด ) นานาซับซ้อนเกือบมีความซับซ้อนและถ้าหากมันยอมรับholomorphic ประสานงานแผนที่ โครงสร้างเทียนเกือบจะได้รับโดยที่ซับซ้อนเกือบโครงสร้างJพร้อมกับเมตริกรีมัน กรัม , พอใจสภาพการทำงานร่วมกัน

${\ displaystyle g (JX, JY) = g (X, Y) \,}$.

โครงสร้างที่เกือบจะเป็น Hermitian กำหนดรูปแบบสองรูปแบบที่แตกต่างกันตามธรรมชาติ

${\ displaystyle \ โอเมก้า _ {J, g} (X, Y): = g (JX, Y) \,}$.

สองเงื่อนไขต่อไปนี้เทียบเท่า:

1. ${\ displaystyle N_ {J} = 0 {\ mbox {and}} d \ omega = 0 \,}$
2. ${\ displaystyle \ nabla J = 0 \,}$

ที่ไหน ${\ displaystyle \ nabla}$คือการเชื่อมต่อ Levi-Civitaของ${\ displaystyle g}$. ในกรณีนี้,${\ displaystyle (J, g)}$เรียกว่าโครงสร้างKählerและท่อร่วมของKählerเป็นท่อร่วมที่มีโครงสร้างKähler โดยเฉพาะอย่างยิ่งนานาKählerเป็นทั้งซับซ้อนและนานา symplectic หลายสายพันธุ์ของKähler (คลาสของท่อร่วม Hodge ) ได้รับจากพันธุ์โปรเจกต์เชิงซ้อนที่ราบรื่นทั้งหมด

เรขาคณิต CR

CR เรขาคณิตคือการศึกษาของรูปทรงเรขาคณิตที่แท้จริงของขอบเขตของโดเมนในmanifolds ซับซ้อน

รูปทรงเรขาคณิต

เรขาคณิตตามรูปคือการศึกษาชุดของการเปลี่ยนแปลงการรักษามุม (ตามรูปแบบ) บนช่องว่าง

โทโพโลยีเชิงอนุพันธ์

โทโพโลยีเชิงอนุพันธ์คือการศึกษาค่าคงที่ทางเรขาคณิตทั่วโลกโดยไม่มีรูปแบบเมตริกหรือสัญลักษณ์

ความแตกต่างของโครงสร้างจะเริ่มต้นจากการดำเนินงานของธรรมชาติเช่นอนุพันธ์โกหกของธรรมชาติรวมเวกเตอร์และเด Rham ค่าของรูปแบบ นอกเหนือจากLie algebroidsแล้วCourant algebroids ก็เริ่มมีบทบาทสำคัญมากขึ้น

กลุ่มโกหก

อยู่กลุ่มเป็นกลุ่มที่อยู่ในหมวดหมู่ของแมนิโฟลเรียบ นอกเหนือจากคุณสมบัติทางพีชคณิตแล้วยังมีคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่แตกต่างกันอีกด้วย การก่อสร้างที่ชัดเจนที่สุดคือที่ของพีชคณิตซึ่งเป็นพื้นที่ที่สัมผัสหน่วยกอปรด้วยวงเล็บโกหกระหว่างซ้ายคงเวกเตอร์ฟิลด์ นอกเหนือจากทฤษฎีโครงสร้างแล้วยังมีทฤษฎีการเป็นตัวแทนที่กว้างขวางอีกด้วย

ทฤษฎีเกจ

ทฤษฎี Gauge คือการศึกษาของการเชื่อมต่อในการรวมเวกเตอร์และการรวมกลุ่มเงินต้นและเกิดขึ้นจากปัญหาในฟิสิกส์คณิตศาสตร์และทางกายภาพทฤษฎีวัดซึ่งหนุนแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค ทฤษฎีเกจเกี่ยวข้องกับการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์สำหรับการเชื่อมต่อบนบันเดิลและช่องว่างโมดูลิทางเรขาคณิตที่เป็นผลลัพธ์ของการแก้สมการเหล่านี้รวมทั้งค่าคงที่ที่อาจได้มาจากสมการเหล่านี้ สมการเหล่านี้มักเกิดขึ้นเป็นสมการของออยเลอร์ - ลากรองจ์ที่อธิบายสมการการเคลื่อนที่ของระบบกายภาพบางระบบในทฤษฎีสนามควอนตัมดังนั้นการศึกษาของพวกเขาจึงมีความสนใจอย่างมากในวิชาฟิสิกส์

เครื่องมือของเวกเตอร์บันเดิลบันเดิลหลักและการเชื่อมต่อบนบันเดิลมีบทบาทสำคัญเป็นพิเศษในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สมัยใหม่ นานาเรียบเสมอดำเนินกำเวกเตอร์ธรรมชาติกำสัมผัส พูดอย่างโครงสร้างนี้โดยตัวเองเป็นเพียงเพียงพอสำหรับการพัฒนาการวิเคราะห์เกี่ยวกับนานาในขณะที่ทำรูปทรงเรขาคณิตที่ต้องใช้ในนอกจากนี้วิธีการบางอย่างที่จะเกี่ยวข้องกับพื้นที่สัมผัสที่จุดที่แตกต่างกันเช่นความคิดของการขนส่งทางคู่ขนาน ตัวอย่างที่สำคัญคือการให้โดยการเชื่อมต่อเลียนแบบ สำหรับพื้นผิวในR ³ระนาบแทนเจนต์ที่จุดต่าง ๆ สามารถระบุได้โดยใช้การขนานอย่างชาญฉลาดตามเส้นทางธรรมชาติที่เกิดจากปริภูมิแบบยุคลิดโดยรอบซึ่งมีนิยามมาตรฐานของเมตริกและความขนานที่รู้จักกันดี ในรูปทรงเรขาคณิตของ Riemannianการเชื่อมต่อ Levi-Civitaมีจุดประสงค์ที่คล้ายคลึงกัน (การเชื่อมต่อ Levi-Civita กำหนดความเท่าเทียมกันของเส้นทางในแง่ของเมตริก Riemannian โดยพลการที่กำหนดบนท่อร่วม) โดยทั่วไปรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างกันจะพิจารณาช่องว่างด้วยชุดเวกเตอร์และการเชื่อมต่อตามอำเภอใจซึ่งไม่ได้กำหนดไว้ในรูปของเมตริก ในทางฟิสิกส์ความหลากหลายอาจเป็นความต่อเนื่องของอวกาศ - เวลาและการรวมกลุ่มและการเชื่อมต่อเกี่ยวข้องกับฟิลด์ทางกายภาพต่างๆ

ตั้งแต่ต้นจนถึงกลางศตวรรษที่ 19 รูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างได้รับการศึกษาจากมุมมองภายนอก : เส้นโค้งและพื้นผิวได้รับการพิจารณาว่าอยู่ในพื้นที่แบบยุคลิดที่มีมิติสูงกว่า (ตัวอย่างเช่นพื้นผิวในพื้นที่โดยรอบที่มีสามมิติ) . ผลที่ง่ายที่สุดเป็นผู้ที่อยู่ในรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างกันของเส้นโค้งและเรขาคณิตต่างของพื้นผิว เริ่มต้นกับการทำงานของRiemannที่อยู่ภายในมุมมองได้รับการพัฒนาในที่หนึ่งที่ไม่สามารถพูดในการเคลื่อนย้าย "นอก" วัตถุทางเรขาคณิตเพราะถือว่าจะได้รับในทางที่ยืนฟรี ผลลัพธ์พื้นฐานในที่นี้คือtheorema egregiumของ Gauss ต่อผลที่ความโค้งแบบ Gaussianเป็นค่าคงที่ภายใน

มุมมองที่แท้จริงมีความยืดหยุ่นมากขึ้น ตัวอย่างเช่นมันมีประโยชน์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพที่ซึ่งเวลาอวกาศไม่สามารถถูกนำมาเป็นภายนอกได้ตามธรรมชาติ (สิ่งที่จะเป็น "ภายนอก" ของจักรวาล?) อย่างไรก็ตามมีราคาที่ต้องจ่ายในความซับซ้อนทางเทคนิค: คำจำกัดความที่แท้จริงของความโค้งและการเชื่อมต่อกลายเป็นเรื่องที่มองเห็นได้ง่ายกว่ามาก

มุมมองทั้งสองนี้สามารถปรับให้เข้ากันได้กล่าวคือรูปทรงเรขาคณิตภายนอกถือได้ว่าเป็นโครงสร้างเพิ่มเติมจากที่อยู่ภายใน (ดูแนชฝังทฤษฎีบท .) ในพิธีของแคลคูลัสเรขาคณิตทั้งรูปทรงเรขาคณิตภายนอกและภายในของท่อร่วมไอดีสามารถโดดเด่นด้วย bivector มูลค่าหนึ่งรูปแบบเดียวที่เรียกว่าผู้ประกอบการรูปร่าง ^[4]

ด้านล่างนี้คือตัวอย่างบางส่วนของการนำเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ไปใช้กับวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ

• ในฟิสิกส์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์มีการใช้งานมากมาย ได้แก่ :
  • เรขาคณิตต่างกันคือภาษาที่Albert Einstein 's ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของการแสดงออก ตามทฤษฎีจักรวาลเป็นนานาเรียบพร้อมกับตัวชี้วัดหลอกรีมันซึ่งอธิบายถึงความโค้งของกาลอวกาศ การทำความเข้าใจเกี่ยวกับความโค้งนี้เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการกำหนดตำแหน่งของดาวเทียมในวงโคจรรอบโลก เรขาคณิตต่างกันยังเป็นที่ขาดไม่ได้ในการศึกษาของเลนส์โน้มถ่วงและหลุมดำ
  • รูปแบบที่แตกต่างกันที่ใช้ในการศึกษาของแม่เหล็กไฟฟ้า
  • เรขาคณิตต่างกันมีการใช้งานทั้งกลศาสตร์ลากรองจ์และกลศาสตร์แฮมิลตัน manifolds symplecticโดยเฉพาะอย่างยิ่งสามารถนำมาใช้เพื่อการศึกษาระบบมิล
  • รีมันเรขาคณิตและรูปทรงเรขาคณิตที่ติดต่อได้ถูกนำมาใช้ในการสร้างแบบของgeometrothermodynamicsซึ่งพบว่ามีการใช้งานอยู่ในภาวะสมดุลคลาสสิกอุณหพลศาสตร์
• ในวิชาเคมีและชีวฟิสิกส์เมื่อสร้างแบบจำลองโครงสร้างเยื่อหุ้มเซลล์ภายใต้ความกดดันที่แตกต่างกัน
• ในทางเศรษฐศาสตร์ , เรขาคณิตต่างกันมีการใช้งานไปที่สนามของเศรษฐ ^[5]
• การสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต (รวมถึงคอมพิวเตอร์กราฟิก ) และการออกแบบทางเรขาคณิตโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยดึงแนวคิดจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
• ในด้านวิศวกรรม , เรขาคณิตต่างกันสามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาในการประมวลผลสัญญาณดิจิตอล ^[6]
• ในทฤษฎีการควบคุมสามารถใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เพื่อวิเคราะห์ตัวควบคุมที่ไม่ใช่เชิงเส้นโดยเฉพาะการควบคุมทางเรขาคณิต^[7]
• ในความน่าจะเป็น , สถิติและทฤษฎีสารสนเทศหนึ่งสามารถตีความโครงสร้างต่างๆเป็นแมนิโฟลรีมันที่ทำให้ข้อมูลของรูปทรงเรขาคณิตข้อมูลโดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านตัวชี้วัดข้อมูลฟิชเชอร์
• ในธรณีวิทยาโครงสร้างจะใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในการวิเคราะห์และอธิบายโครงสร้างทางธรณีวิทยา
• ในการมองเห็นด้วยคอมพิวเตอร์จะใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในการวิเคราะห์รูปร่าง ^[8]
• ในการประมวลผลภาพจะใช้เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในการประมวลผลและวิเคราะห์ข้อมูลบนพื้นผิวที่ไม่เรียบ ^[9]
• การพิสูจน์ของGrigori Perelmanเกี่ยวกับการคาดเดาPoincaréโดยใช้เทคนิคของกระแส Ricciแสดงให้เห็นถึงพลังของวิธีการเชิงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สำหรับคำถามในโทโพโลยีและเน้นย้ำถึงบทบาทสำคัญของวิธีการวิเคราะห์
• ในการสื่อสารไร้สาย , แมนิโฟล Grassmannianจะใช้สำหรับbeamformingเทคนิคในเสาอากาศหลายระบบ ^[10]

• Ethan D. Bloch (27 มิถุนายน 2554). สนามครั้งแรกในเรขาคณิตโทโพโลยีและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ บอสตัน: Springer Science & Business Media ISBN 978-0-8176-8122-7. OCLC  811474509 .
• เบิร์ควิลเลียมแอล. (1997). เรขาคณิตต่างกันแล้ว สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 0-521-26929-6. OCLC  53249854
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1976) เรขาคณิตต่างกันของเส้นโค้งและพื้นผิว Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall ISBN 978-0-13-212589-5. OCLC  1529515
• แฟรงเคิลธีโอดอร์ (2547). เรขาคณิตของฟิสิกส์: บทนำ (2nd ed.) นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 978-0-521-53927-2. OCLC  51855212
• Elsa Abbena; ไซมอนซาลามอน; อัลเฟรดเกรย์ (2017). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (3rd ed.). โบกาเรตัน: แชปแมนและฮอลล์ / CRC ISBN 978-1-351-99220-6. OCLC  1048919510
• Kreyszig, เออร์วิน (1991). เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ นิวยอร์ก: Dover Publications. ISBN 978-0-486-66721-8. OCLC  23384584
• คูห์เนลโวล์ฟกัง (2002). เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์: Curves - Surfaces - Manifolds (2nd ed.) Providence, RI: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน ISBN 978-0-8218-3988-1. OCLC  61500086
• McCleary, John (1994). เรขาคณิตจากมุมมองอนุพันธ์ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 0-521-13311-4. OCLC  915912917
• Spivak, Michael (1999). บทนำที่ครอบคลุมเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (5 เล่ม) (ฉบับที่ 3) เผยแพร่หรือพินาศ ISBN 0-914098-72-1. OCLC  179192286
• Ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-end วิสัยทัศน์และการวิเคราะห์ภาพหลายขนาด: หลายขนาดคอมพิวเตอร์ทฤษฎีวิสัยทัศน์และการประยุกต์ใช้เขียนใน Mathematica Dordrecht: นักวิชาการ Kluwer ISBN 978-1-4020-1507-6. OCLC  52806205

• "เรขาคณิตที่แตกต่างกัน" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• บีคอนราด. เอกสารประกอบคำบรรยาย Differential Geometry มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด
• หลักสูตรเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ออนไลน์ของ Michael Murray, 1996 เก็บถาวร 2013-08-01 ที่Wayback Machine
• หลักสูตรสมัยใหม่เกี่ยวกับเส้นโค้งและพื้นผิว Richard S Palais, 2003 เก็บถาวรเมื่อวันที่ 2019-04-09 ที่Wayback Machine
• คลังภาพ 3DXM Surfaces ของ Richard Palais ที่ เก็บถาวรเมื่อวันที่ 2019-04-09 ที่Wayback Machine
• หมายเหตุของBalázsCsikósเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
• NJ Hicks, หมายเหตุเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์, Van Nostrand
• MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008