ปัจจัยกำหนด

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา

ในทางคณิตศาสตร์ดีเทอร์มิแนนต์คือค่าสเกลาร์ซึ่งเป็นฟังก์ชันของรายการของเมทริกซ์กำลังสอง ช่วยให้สามารถระบุคุณสมบัติบางอย่างของเมทริกซ์และแผนที่เชิงเส้นที่แสดงโดยเมทริกซ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัจจัยจะไม่ใช่ศูนย์ถ้าหากเมทริกซ์ผกผันและเส้นแผนที่แสดงโดยแมทริกซ์เป็นมอร์ฟดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณของเมทริกซ์คือผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ (คุณสมบัติก่อนหน้านี้เป็นข้อสรุปของค่านี้) ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์Aแสดงเป็นdet ( A ) , detAหรือ | A | .

ในกรณีของเมทริกซ์2 × 2สามารถกำหนดดีเทอร์มิแนนต์เป็น

ในทำนองเดียวกันสำหรับเมทริกซ์ 3 × 3 A ดีเทอร์มิแนนต์คือ

ปัจจัยของแต่ละ2 × 2เมทริกซ์ในสมการนี้เรียกว่าเล็ก ๆ น้อย ๆของเมทริกซ์ ขั้นตอนนี้จะสามารถขยายไปให้คำนิยาม recursive สำหรับปัจจัยของนั้นn × nเมทริกซ์ที่รู้จักกันในการขยายตัวของ Laplace

ตัวกำหนดเกิดขึ้นตลอดทั้งคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์มักใช้เพื่อแสดงค่าสัมประสิทธิ์ในระบบสมการเชิงเส้นและสามารถใช้ดีเทอร์มิแนนต์เพื่อแก้สมการเหล่านี้ได้ ( กฎของแครมเมอร์ ) แม้ว่าวิธีการแก้ปัญหาอื่น ๆ จะมีประสิทธิภาพในการคำนวณมากกว่า ปัจจัยที่จะใช้สำหรับการกำหนดพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ที่มีรากเป็นลักษณะเฉพาะในรูปทรงเรขาคณิตปริมาตรn -dimensional ที่ลงนามของn -dimensional parallelepipedจะแสดงโดยดีเทอร์มิแนนต์ ใช้ในแคลคูลัสด้วยรูปแบบเชิงอนุพันธ์ภายนอกและดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในปริพันธ์หลายตัว

2 × 2 เมทริกซ์[ แก้ไข]

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์2 × 2ถูกกำหนดให้เป็น

ดีเทอร์มิแนนต์จะแสดงโดย det หรือโดยแท่งแนวตั้งรอบเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่น,

สูตรนี้สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2 × 2 มีคุณสมบัติหลายประการที่ยังคงเก็บไว้สำหรับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ใหญ่กว่า เหล่านี้คือ:

  • ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ 1
  • ดีเทอร์มิแนนต์จะเปลี่ยนเครื่องหมายหากมีการสลับคอลัมน์สองคอลัมน์:
  • ดีเทอร์มิแนนต์จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการเพิ่มคอลัมน์หนึ่งในคอลัมน์อื่น:
  • ถ้าคอลัมน์ใดคูณด้วยตัวเลขบางคอลัมน์(เช่นรายการทั้งหมดในคอลัมน์นั้นคูณด้วยจำนวนนั้น) ดีเทอร์มีแนนต์จะถูกคูณด้วยจำนวนนั้นด้วย:

ความหมายทางเรขาคณิต[ แก้]

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างขึ้นโดยเวกเตอร์ที่แสดงด้านของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ถ้ามีรายการเมทริกซ์เป็นจำนวนจริง, เมทริกซ์สามารถนำมาใช้เพื่อเป็นตัวแทนของทั้งสองเชิงเส้นแผนที่ : หนึ่งที่แผนที่พื้นฐานมาตรฐานเวกเตอร์ไปยังแถวของและหนึ่งที่พวกเขาไปยังแผนที่คอลัมน์ของไม่ว่าในกรณีใดภาพของเวกเตอร์พื้นฐานจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แสดงถึงภาพของหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายใต้การจับคู่ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่กำหนดโดยแถวของเมทริกซ์ด้านบนคืออันที่มีจุดยอดที่(0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) ,และ ( , d ) ,ดังแสดงในแผนภาพที่มาพร้อมกับ

ค่าสัมบูรณ์ของโฆษณา - BC เป็นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและเกิดขึ้นจึงเป็นปัจจัยระดับโดยที่พื้นที่มีการเปลี่ยนแปลงโดย (รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากคอลัมน์ของAโดยทั่วไปจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่แตกต่างกัน แต่เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์สมมาตรเมื่อเทียบกับแถวและคอลัมน์พื้นที่จะเท่ากัน)

ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์พร้อมกับเครื่องหมายจะกลายเป็นพื้นที่เชิงเส้นของสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่เชิงจะเหมือนกับพื้นที่ปกติยกเว้นว่าจะเป็นลบเมื่อมุมจากเวกเตอร์แรกถึงเวกเตอร์ที่สองที่กำหนดรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานหันไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา (ซึ่งตรงข้ามกับทิศทางที่จะได้รับสำหรับเมทริกซ์เอกลักษณ์ )

เพื่อแสดงว่าโฆษณา - bcคือพื้นที่ที่มีการลงนามหนึ่งอาจพิจารณาเมทริกซ์ที่มีเวกเตอร์สองตัวu ≡ ( a , b )และv ≡ ( c , d )แทนด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่ที่ลงนามสามารถแสดงเป็น| คุณ | | v | บาป  θสำหรับมุมθระหว่างเวกเตอร์ซึ่งก็คือความสูงคูณฐานความยาวของเวกเตอร์หนึ่งคูณองค์ประกอบตั้งฉากของอีกตัวหนึ่ง เนื่องจากไซน์นี้เป็นพื้นที่ที่มีการลงนามอยู่แล้ว แต่อาจแสดงได้สะดวกกว่าโดยใช้ไฟล์โคไซน์ของมุมประกอบกับเวกเตอร์ตั้งฉากเช่นยู = (- , ) ,เพื่อให้| คุณ | | v | cos  θ ' ,ซึ่งสามารถพิจารณาได้จากรูปแบบของผลคูณจะเท่ากับโฆษณา - BC :

ปริมาตรของparallelepipedนี้เป็นค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่สร้างโดยคอลัมน์ที่สร้างจากเวกเตอร์ r1, r2 และ r3

ดังนั้นปัจจัยที่จะช่วยให้ปัจจัยการปรับขนาดและการวางแนวที่เกิดจากการทำแผนที่ที่แสดงโดยเมื่อปัจจัยที่มีค่าเท่ากับหนึ่งการทำแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดโดยแมทริกซ์คือequi-ขนหัวลุกและการวางแนวรักษา

วัตถุที่เรียกว่าbivectorเกี่ยวข้องกับความคิดเหล่านี้ ในแบบ 2D ก็สามารถตีความว่าเป็นส่วนเครื่องบินที่มุ่งเน้นที่เกิดขึ้นจากจินตนาการสองเวกเตอร์แต่ละคนมีต้นกำเนิด(0, 0) ,และพิกัด( , )และ( , d )ขนาด bivector (แสดงโดย( , ) ∧ ( C , D ) )เป็นพื้นที่ลงนามซึ่งยังเป็นปัจจัยโฆษณา - BC [1]

ถ้าn × n จริงเมทริกซ์ถูกเขียนในแง่ของเวกเตอร์คอลัมน์แล้ว

ซึ่งหมายความว่าแมปหน่วยn -cubeกับn -dimensional parallelotope ที่กำหนดโดยเวกเตอร์ภูมิภาค

ปัจจัยที่จะช่วยให้การลงนาม nปริมาณมิติของ parallelotope นี้และด้วยเหตุนี้อธิบายเพิ่มเติมโดยทั่วไปnปัจจัยปริมาณการปรับมิติของการแปลงเชิงเส้นที่ผลิตโดย[2] (เครื่องหมายแสดงว่าการเปลี่ยนแปลงรักษาหรือกลับทิศทาง ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์แสดงว่าขนานนี้มีปริมาตรเป็นศูนย์และไม่สมบูรณ์n -dimensional ซึ่งบ่งชี้ว่าขนาดของภาพAคือ น้อยกว่าn . ซึ่งหมายความว่าAก่อให้เกิดการแปลงเชิงเส้นซึ่งไม่ใช่ทั้งสองอย่างเข้าสู่มิได้หนึ่งต่อหนึ่งและเพื่อให้ไม่สามารถกลับ

คำจำกัดความ[ แก้ไข]

ในภาคต่อAคือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีnแถวและnคอลัมน์เพื่อให้สามารถเขียนเป็น

รายการฯลฯ มีวัตถุประสงค์หลายอย่างเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ตามที่กล่าวไว้ด้านล่างปัจจัยยังถูกกำหนดไว้สำหรับการฝึกอบรมที่มีรายการที่เป็นองค์ประกอบในโครงสร้างพีชคณิตนามธรรมมากขึ้นที่รู้จักกันเป็นแหวนสับเปลี่ยน

ดีเทอร์มิแนนต์ของAแสดงโดย det ( A ) หรือสามารถแสดงโดยตรงในรูปของรายการเมทริกซ์โดยการเขียนแถบปิดแทนวงเล็บ:

มีหลายวิธีที่เทียบเท่ากันในการกำหนดดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมAกล่าวคือหนึ่งที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์เท่ากัน: ดีเทอร์มิแนนต์สามารถกำหนดผ่านสูตรไลบ์นิซซึ่งเป็นสูตรที่ชัดเจนซึ่งเกี่ยวข้องกับผลรวมของผลคูณของรายการบางรายการของเมทริกซ์ ดีเทอร์มิแนนต์ยังสามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันเฉพาะได้โดยขึ้นอยู่กับรายการของเมทริกซ์ที่ตรงตามคุณสมบัติบางประการ วิธีนี้ยังสามารถใช้ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้โดยการทำให้เมทริกซ์ที่เป็นปัญหาง่ายขึ้น

สูตร Leibniz [ แก้ไข]

สูตร Leibnizสำหรับปัจจัยของที่3 × 3เมทริกซ์คือต่อไปนี้:

การปกครองของ Sarrusเป็นความจำสำหรับสูตรนี้ผลรวมของผลิตภัณฑ์สามเส้นทแยงมุมทิศตะวันตกเฉียงเหนือสายตะวันออกเฉียงใต้ขององค์ประกอบเมทริกซ์ลบผลรวมของผลิตภัณฑ์สามเส้นทแยงมุมทิศตะวันตกเฉียงใต้ไปทางสายตะวันออกเฉียงเหนือขององค์ประกอบ เมื่อสำเนาของสองคอลัมน์แรกของเมทริกซ์เขียนไว้ข้างๆดังภาพประกอบ:

โครงร่างสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์3 × 3นี้ไม่ได้ส่งต่อไปยังมิติที่สูงกว่า

n × nเมทริกซ์[ แก้ไข]

ปัจจัยของเมทริกซ์ขนาดโดยพลการสามารถกำหนดโดยสูตร Leibnizหรือสูตรเลซ

สูตร Leibniz สำหรับปัจจัยของนั้นn × nเมทริกซ์คือ

นี่คือผลรวมคำนวณจากการเรียงสับเปลี่ยน ทั้งหมดσของเซต{1, 2, ... , n }การเรียงสับเปลี่ยนคือฟังก์ชันที่จัดลำดับชุดของจำนวนเต็มนี้ใหม่ มูลค่าในฉันตำแหน่ง TH หลังจากที่จัดเรียงใหม่σจะเขียนแทนด้วยσฉันตัวอย่างเช่นสำหรับn = 3ลำดับเดิม 1, 2, 3 อาจจะมีการจัดลำดับใหม่เพื่อσ = [2, 3, 1]ด้วยσ 1 = 2 , σ 2 = 3และσ 3 = 1 ชุดของการเรียงสับเปลี่ยนดังกล่าวทั้งหมด (หรือที่เรียกว่ากลุ่มสมมาตรบนnองค์ประกอบ) จะแสดงโดย S n สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละครั้งσ , sgn ( σ ) หมายถึงลายเซ็นของσซึ่งเป็นค่าที่ +1 เมื่อใดก็ตามที่การเรียงลำดับใหม่ที่กำหนดโดยσสามารถทำได้โดยการแลกเปลี่ยนสองรายการต่อเนื่องกันเป็นจำนวนครั้งเท่ากันและ −1 เมื่อใดก็ตามที่ทำได้โดย การแลกเปลี่ยนดังกล่าวเป็นจำนวนคี่

ในsummands คำ ใด ๆ

เป็นสัญกรณ์สำหรับผลคูณของรายการที่ตำแหน่ง( i , σ i )โดยที่ฉันมีค่าตั้งแต่ 1 ถึงn :

ตัวอย่างเช่นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์3 × 3 A ( n = 3 ) คือ

สัญลักษณ์ Levi-Civita [ แก้ไข]

บางครั้งมันก็มีประโยชน์ในการขยายสูตร Leibniz ไปสู่การรวมซึ่งไม่เพียง แต่การเรียงสับเปลี่ยนเท่านั้น แต่ยังมีลำดับnดัชนีทั้งหมดในช่วง1, ... , nเกิดขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าการมีส่วนร่วมของลำดับจะเป็นศูนย์เว้นแต่จะแสดงถึง a การเปลี่ยนแปลง ดังนั้น antisymmetric ทั้งหมดสัญลักษณ์ Levi-Civita ขยายลายเซ็นของการเปลี่ยนแปลงที่โดยการตั้งค่าสำหรับการเปลี่ยนแปลงใด ๆσของnและเมื่อไม่มีการเปลี่ยนแปลงσอยู่เช่นว่าสำหรับ(หรือเท่ากันเมื่อใดก็ตามที่คู่ของดัชนีบางอย่างมีค่าเท่ากัน) ปัจจัยสำหรับn × nเมทริกซ์นั้นจะสามารถแสดงการใช้n- สรุปผลรวมเป็น

หรือใช้สองสัญลักษณ์ epsilon เป็น

ที่ตอนนี้แต่ละฉันRและแต่ละเจอาร์ควรจะสรุปในช่วง1, ... , n

แต่ผ่านการใช้สัญกรณ์เมตริกซ์และปราบปรามการสัญลักษณ์บวกที่ (ของ Einstein ประชุมรวม) เราสามารถได้รับการแสดงออกที่มีขนาดกะทัดรัดมากขึ้นของปัจจัยของระบบลำดับที่สองของมิติ;

ที่และเป็นตัวแทนของ 'อีของระบบ' ที่ใช้เวลาอยู่กับค่า 0, 1 และ -1 รับจำนวนพีชคณิตของและ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเท่ากับ 0 เมื่อมีดัชนีซ้ำใน; +1 เมื่อมีการเรียงสับเปลี่ยนจำนวนเท่ากัน -1 เมื่อมีเลขคี่ของพีชคณิตเป็นปัจจุบัน จำนวนดัชนีที่มีอยู่ในระบบอิเล็กทรอนิกส์เท่ากับและสามารถสรุปได้ทั่วไปในลักษณะนี้ [3]

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์[ แก้ไข]

ลักษณะของดีเทอร์มิแนนต์[ แก้ไข]

ดีเทอร์มิแนนต์สามารถจำแนกได้ด้วยคุณสมบัติหลักสามประการดังต่อไปนี้ ในการระบุสิ่งเหล่านี้เป็นเรื่องสะดวกที่จะถือว่า a -matrix Aประกอบด้วยคอลัมน์ดังนั้นจึงแสดงเป็น

โดยที่เวกเตอร์คอลัมน์ (สำหรับแต่ละi ) ประกอบด้วยรายการของเมทริกซ์ในคอลัมน์ที่ i

  1. ที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์
  2. ดีเทอร์มิแนนต์เป็นแบบหลายเส้น : ถ้าคอลัมน์j th ของเมทริกซ์เขียนเป็นการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์คอลัมน์สองคอลัมน์vและwและตัวเลขrดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของAจะแสดงออกได้เป็นการรวมเชิงเส้นที่คล้ายกัน:
  3. ดีเทอร์มิแนนต์สลับกัน: เมื่อใดก็ตามที่สองคอลัมน์ของเมทริกซ์เหมือนกันดีเทอร์มิแนนต์คือ 0:

หากกำหนดดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้สูตรไลบนิซข้างต้นคุณสมบัติทั้งสามนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการตรวจสอบสูตรนั้นโดยตรง ผู้เขียนบางคนเข้าใกล้ดีเทอร์มิแนนต์โดยตรงโดยใช้คุณสมบัติทั้งสามนี้: สามารถแสดงให้เห็นว่ามีฟังก์ชันเดียวที่กำหนดให้กับเมทริกซ์Aจำนวนใด ๆที่ตรงตามคุณสมบัติทั้งสามนี้[4]สิ่งนี้ยังแสดงให้เห็นว่าวิธีการที่เป็นนามธรรมมากขึ้นสำหรับดีเทอร์มิแนนต์ให้คำจำกัดความเดียวกันกับวิธีที่ใช้สูตรไลบนิซ

หากต้องการดูสิ่งนี้ก็เพียงพอที่จะขยายดีเทอร์มิแนนต์โดยการใช้หลายเชิงเส้นในคอลัมน์เป็นการรวมกันเชิงเส้น (ใหญ่) ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ซึ่งแต่ละคอลัมน์เป็นเวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐาน ดีเทอร์มิแนนต์เหล่านี้เป็น 0 (ตามคุณสมบัติ 9) หรืออื่น ๆ ± 1 (ตามคุณสมบัติ 1 และ 12 ด้านล่าง) ดังนั้นชุดค่าผสมเชิงเส้นจึงให้นิพจน์ข้างต้นในรูปของสัญลักษณ์ Levi-Civita แม้ว่าจะมีลักษณะทางเทคนิคน้อยกว่า แต่การกำหนดลักษณะเฉพาะนี้ไม่สามารถแทนที่สูตร Leibniz ได้ทั้งหมดในการกำหนดดีเทอร์มิแนนต์เนื่องจากหากไม่มีฟังก์ชันที่เหมาะสมยังไม่ชัดเจน [ ต้องการอ้างอิง ]

ผลที่ตามมาทันที[ แก้ไข]

กฎเหล่านี้มีผลตามมาอีกหลายประการ:

  1. ดีเทอร์มิแนนต์เป็นฟังก์ชันที่เป็นเนื้อเดียวกันกล่าวคือ
    (สำหรับเมทริกซ์)
  2. การแลกเปลี่ยนคอลัมน์คู่ใด ๆ ของเมทริกซ์จะคูณดีเทอร์มิแนนต์ด้วย −1 สิ่งนี้ตามมาจากดีเทอร์มิแนนต์เป็นหลายเส้นและสลับกัน (คุณสมบัติ 2 และ 3 ด้านบน):
  3. สูตรนี้สามารถนำไปใช้ซ้ำได้เมื่อมีการสลับคอลัมน์หลายคอลัมน์ ตัวอย่างเช่น
โดยทั่วไปแล้วการเปลี่ยนแปลงของคอลัมน์ใด ๆ จะคูณดีเทอร์มิแนนต์ด้วยเครื่องหมายของการเปลี่ยนแปลง
  1. ถ้าคอลัมน์บางคอลัมน์สามารถแสดงเป็นการรวมเชิงเส้นของคอลัมน์อื่น ๆ (เช่นคอลัมน์ของเมทริกซ์เป็นชุดที่ขึ้นกับเชิงเส้น ) ดีเทอร์มิแนนต์จะเป็น 0 ในกรณีพิเศษซึ่งรวมถึง: ถ้าบางคอลัมน์เป็นเช่นนั้นทุกรายการ เป็นศูนย์ดังนั้นดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นั้นคือ 0
  2. การเพิ่มสเกลาร์หลายคอลัมน์ในคอลัมน์หนึ่งไปยังอีกคอลัมน์หนึ่งจะไม่ทำให้ค่าของดีเทอร์มิแนนต์เปลี่ยนไป นี่เป็นผลมาจากความเป็นหลายเชิงเส้นและเป็นทางเลือก: โดยหลายเชิงเส้นการเปลี่ยนแปลงของดีเทอร์มิแนนต์โดยหลายของดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ที่มีคอลัมน์เท่ากันสองคอลัมน์ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์เป็น 0 เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์สลับกัน
  3. ถ้าเป็นเมทริกซ์สามเหลี่ยมกล่าวคือเมื่อใดก็ตามหรือเมื่อใดก็ได้ดีเทอร์มิแนนต์ของมันจะเท่ากับผลคูณของรายการแนวทแยง:
อันที่จริงเมทริกซ์ดังกล่าวสามารถลดลงได้โดยการเพิ่มการทวีคูณของคอลัมน์อย่างเหมาะสมโดยมีรายการที่ไม่ใช่ศูนย์น้อยกว่าสำหรับผู้ที่มีรายการมากกว่าเป็นเมทริกซ์แนวทแยงมุม (โดยไม่ต้องเปลี่ยนดีเทอร์มิแนนต์) สำหรับเมทริกซ์ดังกล่าวการใช้ความเป็นเชิงเส้นในแต่ละคอลัมน์จะลดลงเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ซึ่งในกรณีนี้สูตรที่ระบุไว้จะถือโดยคุณสมบัติแรกสุดของดีเทอร์มิแนนต์
อีกวิธีหนึ่งคือสูตรนี้สามารถอนุมานได้จากสูตร Leibniz เนื่องจากการเปลี่ยนรูปแบบเดียวที่ให้การสนับสนุนที่ไม่ใช่ศูนย์คือการเปลี่ยนแปลงข้อมูลประจำตัว

ตัวอย่าง[ แก้ไข]

คุณสมบัติการแสดงลักษณะเหล่านี้และผลที่ตามมาที่ระบุไว้ข้างต้นมีความสำคัญอย่างมากในทางทฤษฎี นอกจากนี้ยังสามารถใช้ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์สำหรับเมทริกซ์คอนกรีต ในความเป็นจริงการกำจัด Gaussianสามารถนำมาใช้เพื่อนำเมทริกซ์ใด ๆ มาอยู่ในรูปสามเหลี่ยมด้านบนและขั้นตอนในอัลกอริทึมนี้มีผลต่อดีเทอร์มิแนนต์ในลักษณะที่ควบคุมได้ ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงกระบวนการนี้ ดีเทอร์มิแนนต์ของ

สามารถคำนวณได้โดยใช้เมทริกซ์ต่อไปนี้:

นี่Bจะได้รับจากโดยการเพิ่ม -1/2 ×แถวแรกที่สองเพื่อให้เดชอุดม ( ) = det ( B ) Cจะได้รับจากBโดยการเพิ่มคนแรกที่จะแถวที่สามเพื่อให้เดชอุดม ( C ) = det ( B )สุดท้ายDจะได้รับจากCโดยการแลกเปลี่ยนที่สองและแถวที่สามเพื่อให้เดชอุดม ( D ) = -det ( C )ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์สามเหลี่ยม (บน) Dคือผลคูณของรายการบนเส้นทแยงมุมหลัก :(-2) · 2 · 4.5 = -18 ดังนั้นเดชอุดม ( ) = -det ( D ) = 18

ย้าย[ แก้ไข]

ปัจจัยของtransposeของเท่ากับปัจจัยของ:

.

นี่หมายความว่าคุณสมบัติสำหรับคอลัมน์ในคุณสมบัติ A, B และ C ที่ระบุไว้ข้างต้นมีคู่กันในรูปของแถว ยกตัวอย่างเช่นการดูn × nเมทริกซ์ที่ถูกประกอบด้วยnแถวปัจจัยเป็นnฟังก์ชั่น -linear

การคูณและกลุ่มเมทริกซ์[ แก้ไข]

สำหรับเมทริกซ์กำลังสองและขนาดเท่ากันดีเทอร์มิแนนต์ของผลิตภัณฑ์เมทริกซ์เท่ากับผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์:

ดังนั้นปัจจัยที่เป็นแผนที่คูณ คุณสมบัตินี้เป็นผลมาจากการกำหนดลักษณะที่ระบุไว้ข้างต้นของดีเทอร์มิแนนต์เป็นฟังก์ชันสลับnเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกันของคอลัมน์ที่มีค่า 1 บนเมทริกซ์เอกลักษณ์เนื่องจากฟังก์ชันM n ( K ) → Kที่แมปM ↦ det ( AM )สามารถมองเห็นได้อย่างง่ายดายให้เป็นn -linear และสลับกันในคอลัมน์ของMและใช้ค่า det ( A ) ที่ข้อมูลประจำตัว สูตรนี้สามารถกำหนดให้เป็นผลิตภัณฑ์ (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมโดยให้สูตร Cauchy – Binetซึ่งให้การพิสูจน์อิสระของคุณสมบัติการคูณ

ดีเทอร์มิแนนต์ det ( A ) ของเมทริกซ์Aไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อAเป็นตัวกลับด้านหรือคำสั่งอื่นที่เทียบเท่ากันถ้าอันดับเท่ากับขนาดของเมทริกซ์ ถ้าเป็นเช่นนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ผกผันจะถูกกำหนดโดย

โดยเฉพาะอย่างยิ่งผลิตภัณฑ์และการผกผันของเมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ยังคงมีคุณสมบัตินี้ ดังนั้นชุดของการฝึกอบรมดังกล่าว (ที่มีขนาดคงที่n ) แบบกลุ่มที่เรียกว่าตรงกลุ่มพิเศษ โดยทั่วไปคำว่า "พิเศษ" หมายถึงกลุ่มย่อยของเมทริกซ์อีกกลุ่มหนึ่งของเมทริกซ์ของดีเทอร์มิแนนต์ ตัวอย่างเช่นกลุ่มพิเศษมุมฉาก (ซึ่งถ้าnเป็น 2 หรือ 3 ประกอบด้วยทั้งหมดเมทริกซ์หมุน ) และรวมกลุ่มพิเศษ

ส่วนขยายของ Laplace และเมทริกซ์ adjugate [ แก้ไข]

การขยายตัวของ Laplaceเป็นการแสดงออกถึงปัจจัยของเมทริกซ์ในแง่ของปัจจัยของการฝึกอบรมที่มีขนาดเล็กที่เรียกว่าของผู้เยาว์ตัวรองM i , jถูกกำหนดให้เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์( n −1) × ( n −1)ที่เป็นผลลัพธ์จากAโดยการลบแถวiและคอลัมน์j th การแสดงออก(-1) ฉัน + J M ฉัน , เจเป็นที่รู้จักกันเป็นปัจจัยสำหรับฉันทุกคนมีความเท่าเทียมกัน

ซึ่งเรียกว่าการขยายตัวของ Laplace ตามฉันแถว TH ในทำนองเดียวกันการขยาย Laplace ตามคอลัมน์j thคือความเท่าเทียมกัน

ตัวอย่างเช่นการขยาย Laplace ตามแถวแรก ( ) ให้สูตรต่อไปนี้:

การคลี่คลายดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกเหล่านี้จะทำให้สูตรไลบนิซที่กล่าวถึงข้างต้นกลับมา

การขยายตัวของ Laplace สามารถใช้ซ้ำสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้ แต่จะมีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์ขนาดเล็กและเมทริกซ์แบบเบาบางเท่านั้นเนื่องจากสำหรับเมทริกซ์ทั่วไปสิ่งนี้ต้องใช้ในการคำนวณจำนวนดีเทอร์มิแนนต์แบบเอ็กซ์โพเนนเชียลแม้ว่าจะใช้ความระมัดระวังในการคำนวณแต่ละตัวรองเพียงครั้งเดียว

เมทริกซ์ Adjugate [ แก้ไข]

adjugate เมทริกซ์ adj ( ) เป็น transpose ของเมทริกซ์ของปัจจัยที่ที่เป็นไป

สำหรับทุกเมทริกซ์จะมี[5]

ดังนั้นเมทริกซ์ adjugate สามารถใช้สำหรับการแสดงผกผันของเมทริกซ์ที่ไม่เป็นหนึ่งเดียว:

Schur complement [ แก้ไข]

เมทริกซ์บล็อกมีการสลายตัวแบบเสียนในแง่ของส่วนประกอบของSchur :

เมทริกซ์แรกและตัวสุดท้ายใน RHS มีเอกภาพดีเทอร์มิแนนต์ดังนั้นเราจึงมี

นี่คือตัวตนของปัจจัย Schur ด้วย- BD -1 Cเป็นส่วนประกอบของ Schur DในM

ทฤษฎีบทดีเทอร์มิแนนต์ของซิลเวสเตอร์[ แก้ไข]

ซิลเวสของปัจจัยทฤษฎีบทระบุว่าสำหรับเป็นเมตร × nเมทริกซ์และBเป็นn × เมทริกซ์ (เพื่อให้และBมีมิติช่วยให้พวกเขาได้รับการคูณในการสั่งซื้อทั้งในรูปแบบตารางเมทริกซ์):

โดยที่ฉันmและฉันnคือเมทริกซ์เอกลักษณ์m × mและn × nตามลำดับ

จากผลทั่วไปนี้จะมีผลตามมาหลายประการ

  1. สำหรับกรณีของเวกเตอร์คอลัมน์cและเวกเตอร์แถวrแต่ละตัวมีส่วนประกอบmสูตรจะช่วยให้สามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ได้อย่างรวดเร็วซึ่งแตกต่างจากเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยเมทริกซ์ของอันดับ 1:
  2. มากกว่าปกติ[6]สำหรับการใด ๆ invertible เมตร × เมทริกซ์X ,
  3. สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์และแถวตามด้านบน:
  4. สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมและขนาดเดียวกันเมทริกซ์และมีพหุนามลักษณะเดียวกัน (ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะเดียวกัน)

ผลรวม[ แก้ไข]

ปัจจัยของทุนของทั้งสองตารางการฝึกอบรมที่มีขนาดเดียวกันไม่ได้อยู่ในแสดงออกทั่วไปในแง่ของปัจจัยของและB อย่างไรก็ตามสำหรับการฝึกอบรม semidefinite บวก , และขนาดเท่ากันสำหรับการที่มีข้อพิสูจน์[7] [8]

คุณสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ที่สัมพันธ์กับแนวคิดอื่น ๆ[ แก้ไข]

ความเกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะและการติดตาม[ แก้ไข]

ให้ เป็นพลn × nเมทริกซ์ของตัวเลขที่ซับซ้อนที่มีลักษณะเฉพาะ (ในที่นี้เป็นที่เข้าใจว่าค่าลักษณะเฉพาะที่มีการคูณพีชคณิตμเกิดขึ้นμครั้งในรายการนี้) จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของAคือผลคูณของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด

ผลิตภัณฑ์ทั้งหมดที่ไม่ใช่ศูนย์ค่าลักษณะเฉพาะจะเรียกว่าหลอกปัจจัย

ในทางกลับกันดีเทอร์มิแนนต์สามารถใช้เพื่อค้นหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์A : เป็นคำตอบของสมการลักษณะเฉพาะ

โดยที่ฉันคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ของมิติเดียวกับAและλคือจำนวน (สเกลาร์) ซึ่งแก้สมการ (มีโซลูชันไม่เกินnโดยที่nคือมิติของA )

เมทริกซ์เทียนเป็นบวกแน่นอนหากทุกค่าลักษณะเฉพาะของมันเป็นบวก เกณฑ์ของซิลเวสเตอร์ยืนยันว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับดีเทอร์มิแนนต์ของเมตริกย่อย

เป็นบวกสำหรับทุกkระหว่าง 1 และn

การติดตาม tr ( A ) คือคำจำกัดความของผลรวมของรายการแนวทแยงมุมของAและยังเท่ากับผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะ ดังนั้นสำหรับการฝึกอบรมที่ซับซ้อน,

หรือสำหรับการฝึกอบรมจริง,

ในที่นี้ exp ( A ) หมายถึงเมทริกซ์เอ็กซ์โพเนนเชียลของAเนื่องจากค่าลักษณะเฉพาะλของAทุกค่าสอดคล้องกับค่าเฉพาะ exp ( λ ) ของ exp ( A ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อกำหนดลอการิทึมของAนั่นคือเมทริกซ์Lใด ๆ ที่น่าพอใจ

ดีเทอร์มิแนนต์ของAกำหนดโดย

ตัวอย่างเช่นสำหรับn = 2 , n = 3และn = 4ตามลำดับ

cf. เคย์ลีทฤษฎีบทแฮมิลตัน การแสดงออกดังกล่าวเป็น deducible จากข้อโต้แย้ง combinatorial, อัตลักษณ์ของนิวตันหรือFaddeev-LeVerrier อัลกอริทึม นั่นคือสำหรับทั่วไปn , เดชอุดม= (-1) n0ระยะคงที่ลงนามของพหุนามลักษณะที่กำหนดซ้ำจาก

ในกรณีทั่วไปอาจหาได้จาก[9]

โดยที่ผลรวมอยู่เหนือเซตของจำนวนเต็มทั้งหมดk l ≥ 0ตรงตามสมการ

สูตรสามารถแสดงในรูปของพหุนามเบลล์เอกซ์โพเนนเชียลที่สมบูรณ์ของnอาร์กิวเมนต์s l = - ( l - 1)! tr ( A l ) เป็น

สูตรนี้ยังสามารถใช้เพื่อค้นหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์A I J ที่มีดัชนีหลายมิติI = (i 1 , i 2 , ... , i r )และJ = (j 1 , j 2 , ... , j ) . ผลิตภัณฑ์และการติดตามของเมทริกซ์ดังกล่าวถูกกำหนดในลักษณะที่เป็นธรรมชาติเช่น

ที่สำคัญพลมิติn ตัวตนสามารถจะได้รับจาก ชุด Mercator ที่การขยายตัวของลอการิทึมเมื่อลู่ขยายตัว หากค่าลักษณะเฉพาะของAทุกค่าน้อยกว่า 1 ในค่าสัมบูรณ์

โดยที่ฉันคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ โดยทั่วไปถ้า

มีการขยายเป็นชุดไฟอย่างเป็นทางการในsแล้วค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดของs mสำหรับ > nเป็นศูนย์และพหุนามที่เหลือเดชอุดม ( ฉัน + SA )

ขอบเขตบนและล่าง[ แก้ไข]

สำหรับเมทริกซ์แน่นอนที่เป็นบวกAตัวดำเนินการติดตามจะให้ขอบเขตล่างและบนที่แน่นดังต่อไปนี้บนดีเทอร์มิแนนต์บันทึก

มีความเท่าเทียมกันและถ้าหาก =ฉัน ความสัมพันธ์นี้จะได้รับผ่านทางสูตรสำหรับ KL-ความแตกต่างระหว่างสองปกติหลายตัวแปรกระจาย

นอกจากนี้

อสมการเหล่านี้พิสูจน์ได้โดยการนำเมทริกซ์Aมาอยู่ในรูปทแยงมุม เช่นนี้พวกเขาเป็นตัวแทนของความเป็นจริงที่รู้จักกันดีว่าหมายถึงฮาร์โมนิน้อยกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตซึ่งน้อยกว่าค่าเฉลี่ยซึ่งเป็นในทางกลับกันน้อยกว่ารากที่สองหมายถึง

กฎของแครมเมอร์[ แก้ไข]

สำหรับสมการเมทริกซ์เนื่องจาก A มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์คำตอบจะได้รับจากกฎของ Cramer :

ที่ฉันเป็นเมทริกซ์ที่เกิดขึ้นโดยการแทนที่ฉันคอลัมน์ TH ตามคอลัมน์เวก สิ่งนี้ตามมาทันทีโดยการขยายคอลัมน์ของดีเทอร์มิแนนต์กล่าวคือ

ที่เวกเตอร์คอลัมน์ของ กฎยังส่อโดยอัตลักษณ์

มันเพิ่งได้รับการแสดงให้เห็นว่ากฎของ Cramer สามารถดำเนินการใน O ( n 3 ) เวลา[10]ซึ่งก็เปรียบได้กับวิธีการที่พบมากขึ้นในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเช่นLU , QRหรือสลายตัวมูลค่าเอกพจน์

บล็อกเมทริกซ์[ แก้ไข]

สมมติว่าA , B , CและDเป็นเมทริกซ์ของมิติn × n , n × m , m × nและm × mตามลำดับ แล้ว

สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากสูตร Leibniz สำหรับดีเทอร์มิแนนต์หรือจากการสลายตัวเช่น (สำหรับกรณีก่อนหน้านี้)

เมื่อคือกลับด้านหนึ่งมี

ดังที่เห็นได้จากการใช้การสลายตัว

เมื่อDกลับด้านได้อัตลักษณ์ที่คล้ายคลึงกันโดยแยกตัวประกอบออกมาสามารถหาค่าได้แบบอะนาล็อก[11]นั่นคือ

เมื่อบล็อกเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมของลำดับเดียวกันจะมีสูตรต่อไป ตัวอย่างเช่นถ้าCและD commute (เช่นCD = DC ) ดังนั้นสูตรต่อไปนี้เทียบได้กับดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์2 × 2จะถือ: [12]

โดยทั่วไปถ้าทุกคู่ของn × nเมทริกซ์ของNP × NPบล็อกเมทริกซ์การเดินทางแล้วปัจจัยของเมทริกซ์บล็อกเท่ากับปัจจัยของเมทริกซ์ที่ได้จากการคำนวณปัจจัยของเมทริกซ์บล็อกพิจารณารายการที่เป็นรายการของP × Pเมทริกซ์ [13]ตามที่สูตรก่อนหน้านี้แสดงสำหรับp = 2 เกณฑ์นี้เพียงพอ แต่ไม่จำเป็น

เมื่อA = DและB = Cบล็อกจะเป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีลำดับเดียวกันและสูตรต่อไปนี้จะเก็บไว้ (แม้ว่าAและBจะไม่เดินทาง)

เมื่อDเป็นเมทริกซ์ 1 × 1 Bคือเวกเตอร์คอลัมน์และCคือเวกเตอร์แถว

อนุญาตให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนสเกลาร์ หากเมทริกซ์บล็อกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสพหุนามลักษณะของมันสามารถนำมารวมกันได้

อนุพันธ์[ แก้ไข]

มันสามารถเห็นได้เช่นใช้สูตร Leibnizว่าปัจจัยของจริง (หรือ analogously ซับซ้อน) ตารางการฝึกอบรมเป็นพหุนามฟังก์ชั่นจากR n × nเพื่อRและดังนั้นจึงเป็นทุกอนุพันธ์ อนุพันธ์ของมันสามารถแสดงได้โดยใช้สูตรของจาโคบี : [14]

ที่ adj ( ) หมายถึงadjugateของ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าAกลับด้านเรามี

แสดงในแง่ของรายการของAเหล่านี้คือ

อีกสูตรที่เทียบเท่าคือ

,

โดยใช้สัญกรณ์โอใหญ่ กรณีพิเศษที่เมทริกซ์เอกลักษณ์ให้ผล

อัตลักษณ์นี้จะใช้ในการอธิบายพื้นที่สัมผัสบางเมทริกซ์กลุ่มโกหก

ถ้าเมทริกซ์ A เขียนโดยที่a , b , cเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีความยาว 3 ดังนั้นการไล่ระดับสีบนเวกเตอร์หนึ่งในสามเวกเตอร์อาจถูกเขียนเป็นผลคูณไขว้ของอีกสองตัว:

ด้านพีชคณิตนามธรรม [ แก้ไข]

ปัจจัยกำหนดของเอนโดมอร์ฟิซึม[ แก้ไข]

อัตลักษณ์ดังกล่าวข้างต้นเกี่ยวกับปัจจัยของผลิตภัณฑ์และแปรผกผันของเมทริกซ์บ่งบอกว่าการฝึกอบรมที่คล้ายกันมีปัจจัยเดียวกันสองเมทริกซ์และBจะคล้ายกันถ้ามีเมทริกซ์ผกผันXดังกล่าวว่า= X -1 BX อันที่จริงการใช้อัตลักษณ์ข้างต้นซ้ำ ๆ ให้ผลตอบแทน

ปัจจัยจึงจะเรียกว่าค่าคงที่คล้ายคลึงกัน ดีเทอร์มิแนนต์ของการแปลงเชิงเส้น

สำหรับบาง จำกัด มิติปริภูมิเวกเตอร์ Vถูกกำหนดให้เป็นปัจจัยของเมทริกซ์อธิบายว่ามันเกี่ยวกับการเลือกโดยพลการของพื้นฐานในV โดยความไม่แปรผันของความคล้ายคลึงกันดีเทอร์มิแนนต์นี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกพื้นฐานสำหรับVดังนั้นจึงขึ้นอยู่กับ endomorphism Tเท่านั้น

พีชคณิตภายนอก[ แก้ไข]

ปัจจัยของการแปลงเชิงเส้นT  : VVของnมิติปริภูมิเวกเตอร์Vได้สูตรในลักษณะประสานงานฟรีโดยพิจารณาจากn TH อำนาจภายนอก Λ n VของV Tทำให้เกิดแผนที่เชิงเส้น

เนื่องจากΛ n Vเป็นมิติเดียวแผนที่Λ n T จึงได้รับจากการคูณด้วยสเกลาร์ สเกลาร์นี้เกิดขึ้นพร้อมกับดีเทอร์มิแนนต์ของTกล่าวคือ

คำจำกัดความนี้สอดคล้องกับนิยามที่ขึ้นอยู่กับพิกัดที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมAที่มีคอลัมน์ดีเทอร์มิแนนต์เป็นไปตามมาตรฐานที่กำหนด สิ่งนี้ตามมาจากการกำหนดลักษณะของดีเทอร์มิแนนต์ที่ระบุไว้ข้างต้น ตัวอย่างเช่นการสลับสองคอลัมน์จะเปลี่ยนสัญลักษณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ ในทำนองเดียวกันการอนุญาตเวกเตอร์ในผลิตภัณฑ์ภายนอกv 1v 2v 3 ∧ ... ∧ v nถึงv 2v 1v 3 ∧ ... ∧ v nพูดเปลี่ยนสัญลักษณ์ด้วย

ด้วยเหตุนี้กำลังภายนอกที่ไม่ใช่ศูนย์สูงสุดΛ n ( V ) บางครั้งจึงเรียกอีกอย่างว่าดีเทอร์มีแนนต์ของVและในทำนองเดียวกันสำหรับวัตถุที่เกี่ยวข้องเช่นเวกเตอร์บันเดิลหรือคอมเพล็กซ์โซ่ของช่องว่างเวกเตอร์ ผู้เยาว์ของเมทริกซ์ยังสามารถโยนในการตั้งค่านี้โดยพิจารณารูปแบบต่ำสลับΛ k Vกับk < n

เมทริกซ์กำลังสองเหนือวงแหวนสับเปลี่ยนและคุณสมบัตินามธรรม[ แก้ไข]

ดีเทอร์มิแนนต์ยังสามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันเฉพาะได้

จากชุดของเมทริกซ์n × nทั้งหมดที่มีรายการในฟิลด์Kไปยังฟิลด์นั้นตรงตามคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้ประการแรกDคือฟังก์ชันnเชิงเส้น : เมื่อพิจารณาจากคอลัมน์Aคงที่ทั้งหมดยกเว้นคอลัมน์เดียวตัวกำหนดจะเป็นเส้นตรงในส่วนที่เหลือ คอลัมน์นั่นคือ

สำหรับเวกเตอร์คอลัมน์v 1 , ... , V nและWและสเกลาใด ๆ (องค์ประกอบของK ) และ ประการที่สองDเป็นสลับฟังก์ชั่น: สำหรับเมทริกซ์ใด ๆกับคอลัมน์ที่สองเหมือนกันD ( ) = 0 สุดท้ายD ( I n ) = 1โดยที่ฉันnคือเมทริกซ์เอกลักษณ์

ข้อเท็จจริงนี้ยังบอกเป็นนัยว่าฟังก์ชันการสลับn -linear อื่น ๆ ทุกฟังก์ชันF : M n ( K ) → K เป็นไปตามเงื่อนไข

คำนิยามนี้ยังสามารถขยายได้ที่Kเป็นสับเปลี่ยนแหวน Rซึ่งในกรณีนี้คือเมทริกซ์ผกผันและถ้าหากปัจจัยของมันเป็นองค์ประกอบผกผันในR ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์A ที่มีรายการในZซึ่งเป็นจำนวนเต็มจะกลับหัวได้ (ในแง่ที่ว่ามีเมทริกซ์ผกผันที่มีรายการจำนวนเต็ม) หากดีเทอร์มิแนนต์คือ +1 หรือ −1 เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าunimodular

ดีเทอร์มิแนนต์กำหนดการแมป

ระหว่างกลุ่ม invertible n × nเมทริกซ์ที่มีรายการในRและกลุ่มคูณของหน่วยในRเพราะมันเคารพคูณในทั้งสองกลุ่มที่แผนที่นี้เป็นhomomorphism กลุ่มประการที่สองกำหนดhomomorphism ของวงแหวนf : RSมีแผนที่GL n (f) : GL n ( R ) → GL n ( S ) ที่กำหนดโดยการแทนที่รายการทั้งหมดในRด้วยภาพภายใต้f . ดีเทอร์มิแนนต์เคารพแผนที่เหล่านี้กล่าวคือกำหนดเมทริกซ์A = ( a i , j )ด้วยรายการในRเอกลักษณ์

ถือ กล่าวอีกนัยหนึ่งแผนภาพต่อไปนี้จะเดินทาง:

ตัวอย่างเช่นดีเทอร์มิแนนต์ของคอนจูเกตเชิงซ้อนของเมทริกซ์เชิงซ้อน (ซึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของคอนจูเกตทรานสโพสของมันด้วย) คือคอนจูเกตเชิงซ้อนของดีเทอร์มิแนนต์และสำหรับเมทริกซ์จำนวนเต็มโมดูโล  mของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวมีค่าเท่ากัน ถึงดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ลดโมดูโล  m (ดีเทอร์มิแนนต์หลังถูกคำนวณโดยใช้เลขคณิตแบบแยกส่วน ) ในภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่ดีเทอร์มิแนนต์คือการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติระหว่างสอง functors GL nและ (⋅) × (ดูการแปลงตามธรรมชาติ§ตัวกำหนด ) [15]ยังเพิ่มชั้นของนามธรรมอื่นนี้ถูกจับโดยบอกว่าปัจจัยที่เป็นซึ่มส์ของกลุ่มพีชคณิตจากทั่วไปตรงกลุ่มกับกลุ่มคูณ ,

ลักษณะทั่วไปและแนวคิดที่เกี่ยวข้อง[ แก้ไข]

เมทริกซ์ไม่มีที่สิ้นสุด[ แก้ไข]

สำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวและคอลัมน์ไม่สิ้นสุดคำจำกัดความข้างต้นของดีเทอร์มิแนนต์จะไม่นำมาใช้โดยตรง ตัวอย่างเช่นในสูตร Leibniz จะต้องคำนวณผลรวมที่ไม่มีที่สิ้นสุด (เงื่อนไขทั้งหมดที่มีเงื่อนไขเป็นผลคูณที่ไม่มีที่สิ้นสุด) การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันให้ส่วนขยายที่แตกต่างกันของดีเทอร์มิแนนต์สำหรับสถานการณ์มิติที่ไม่มีที่สิ้นสุดดังกล่าวซึ่งใช้ได้เฉพาะกับตัวดำเนินการบางประเภทเท่านั้น

ดีเทอร์มิแนนต์Fredholmกำหนดดีเทอร์มิแนนต์สำหรับตัวดำเนินการที่เรียกว่าตัวดำเนินการคลาสการติดตามโดยการกำหนดลักษณะทั่วไปที่เหมาะสมของสูตร

อีกความคิดที่ไม่มีที่สิ้นสุดมิติของปัจจัยที่เป็นปัจจัยการทำงาน

ตัวดำเนินการใน von Neumann algebras [ แก้ไข]

สำหรับตัวดำเนินการในปัจจัยจำกัดเราอาจกำหนดดีเทอร์มิแนนต์มูลค่าจริงเชิงบวกที่เรียกว่าดีเทอร์มิแนนต์ Fuglede − Kadisonโดยใช้การติดตามบัญญัติ ในความเป็นจริงสอดคล้องกับทุกสถานะทางพันธุกรรมบนพีชคณิตฟอนนอยมันน์มีความคิดเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์ Fuglede − Kadison

แนวคิดที่เกี่ยวข้องสำหรับวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยน[ แก้ไข]

สำหรับเมทริกซ์บนวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนคุณสมบัติหลายเส้นตรงและคุณสมบัติการสลับจะเข้ากันไม่ได้สำหรับn ≥ 2 , [16]ดังนั้นจึงไม่มีคำจำกัดความที่ดีของดีเทอร์มิแนนต์ในการตั้งค่านี้

สำหรับเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีรายการในวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนมีปัญหาหลายประการในการกำหนดดีเทอร์มิแนนต์ที่คล้ายคลึงกับวงแหวนสับเปลี่ยน ความหมายสามารถกำหนดให้กับสูตร Leibniz ได้หากมีการระบุลำดับสำหรับผลิตภัณฑ์และในทำนองเดียวกันสำหรับคำจำกัดความอื่น ๆ ของดีเทอร์มิแนนต์ แต่การไม่สับเปลี่ยนจะนำไปสู่การสูญเสียคุณสมบัติพื้นฐานหลายประการของดีเทอร์มิแนนต์เช่นคุณสมบัติการคูณ หรือว่าดีเทอร์มิแนนต์ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนตำแหน่งของเมทริกซ์ เหนือวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยนไม่มีความคิดที่สมเหตุสมผลเกี่ยวกับรูปแบบหลายเส้นตรง (การมีอยู่ของรูปแบบทวิภาคีที่ไม่ใช่ศูนย์[ ชี้แจง ]โดยมีองค์ประกอบปกติของRเป็นค่าในอาร์กิวเมนต์บางคู่ที่มีนัยว่าRคือการสับเปลี่ยน) แต่ความคิดต่างๆของปัจจัยที่ไม่ใช่การสับเปลี่ยนได้รับสูตรที่รักษาบางส่วนของคุณสมบัติของปัจจัยที่สะดุดตาquasideterminantsและปัจจัยDieudonné สำหรับเมทริกซ์บางคลาสที่มีองค์ประกอบที่ไม่สับเปลี่ยนเราสามารถกำหนดดีเทอร์มิแนนต์และพิสูจน์ทฤษฎีบทพีชคณิตเชิงเส้นที่คล้ายกับแอนะล็อกแบบสับเปลี่ยน ตัวอย่างเช่นQ -determinant กลุ่มควอนตัมปัจจัย Capelliในการฝึกอบรม Capelli และBerezinianบนsupermatrices เมทริกซ์ Maninสร้างคลาสที่ใกล้เคียงที่สุดกับเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบสับเปลี่ยน

รูปแบบอื่น ๆ[ แก้ไข]

ตัวกำหนดของเมทริกซ์ในsuperrings (นั่นคือ Z 2 - วงแหวนที่ให้คะแนน ) เรียกว่าเบเรซิเนียนหรือซูเปอร์ดีเทอร์มิแนนต์ [17]

ค่าถาวรของเมทริกซ์ถูกกำหนดให้เป็นดีเทอร์มิแนนต์ยกเว้นว่าจะละเว้นปัจจัย sgn ( σ ) ที่เกิดขึ้นในกฎของไลบ์นิซ immanant generalizes ทั้งโดยการแนะนำตัวละครของสมมาตรกลุ่ม S nในกฎของ Leibniz

การคำนวณ[ แก้ไข]

ปัจจัยส่วนใหญ่จะใช้เป็นเครื่องมือทางทฤษฎี ไม่ค่อยมีการคำนวณอย่างชัดเจนในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขซึ่งสำหรับแอปพลิเคชันเช่นการตรวจสอบการกลับด้านและการหาค่าลักษณะเฉพาะที่ดีเทอร์มิแนนต์ส่วนใหญ่ถูกแทนที่ด้วยเทคนิคอื่น ๆอย่างไรก็ตาม [18] เรขาคณิตเชิงคำนวณมักใช้การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับดีเทอร์มิแนนต์[19]

วิธีการที่ไร้เดียงสาของการใช้อัลกอริทึมในการคำนวณปัจจัยรวมถึงการใช้สูตร Leibnizหรือสูตรเลซ ทั้งสองวิธีนี้ไม่มีประสิทธิภาพอย่างมากสำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่เนื่องจากจำนวนการดำเนินการที่ต้องการเพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว: เป็นไปตามลำดับ n ! ( n ปัจจัย ) สำหรับn × nเมทริกซ์M ตัวอย่างเช่นสูตรของ Leibniz ต้องการการคำนวณn ! ผลิตภัณฑ์ ดังนั้นจึงมีการพัฒนาเทคนิคที่เกี่ยวข้องมากขึ้นสำหรับการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์

วิธีการสลายตัว[ แก้ไข]

เมื่อพิจารณาถึงเมทริกซ์Aวิธีการบางอย่างจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์โดยการเขียนAเป็นผลคูณของเมทริกซ์ซึ่งดีเทอร์มิแนนต์สามารถคำนวณได้ง่ายกว่า เทคนิคดังกล่าวเรียกว่าวิธีการสลายตัว ตัวอย่าง ได้แก่ การสลายตัวของ LU การสลายตัวของQRหรือการสลายตัวของ Cholesky (สำหรับเมทริกซ์ที่แน่นอนในเชิงบวก ) วิธีการเหล่านี้เป็นไปตามลำดับ O ( n 3 ) ซึ่งเป็นการปรับปรุงที่สำคัญเหนือ O ( n !)

การสลายตัวของ LU เป็นการแสดงออกถึงAในรูปของเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านล่างLเมทริกซ์สามเหลี่ยมด้านบนUและเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง P :

สามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของLและUได้อย่างรวดเร็วเนื่องจากเป็นผลคูณของรายการเส้นทแยงมุมตามลำดับ ดีเทอร์มิแนนต์ของPเป็นเพียงเครื่องหมายของการเรียงสับเปลี่ยนที่สอดคล้องกัน (ซึ่งก็คือ +1 สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนจำนวนคู่และเป็น −1 สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนจำนวนคี่) จากนั้นดีเทอร์มิแนนต์ของAคือ

(ดูอัตลักษณ์ของดีเทอร์มิแนนต์) ยิ่งไปกว่านั้นการสลายตัวสามารถเลือกได้ว่าLเป็นเมทริกซ์รูปหน่วยจึงมีดีเทอร์มิแนนต์ 1 ซึ่งในกรณีนี้สูตรจะลดความซับซ้อนลงไปอีก

วิธีการเพิ่มเติม[ แก้ไข]

หากคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของAและค่าผกผันของAแล้วคำศัพท์ดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์จะช่วยให้สามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของA + uv T ได้อย่างรวดเร็วโดยที่uและvเป็นเวกเตอร์คอลัมน์

เนื่องจากคำจำกัดความของดีเทอร์มิแนนต์ไม่จำเป็นต้องมีการหารจึงมีคำถามเกิดขึ้น: มีอัลกอริทึมที่รวดเร็วที่ไม่จำเป็นต้องมีการหารหรือไม่? สิ่งนี้น่าสนใจอย่างยิ่งสำหรับเมทริกซ์มากกว่าวงแหวน แท้จริงแล้วอัลกอริทึมที่มีเวลาทำงานเป็นสัดส่วนกับn 4 นั้นมีอยู่จริง อัลกอริทึมของ Mahajan และ Vinay และ Berkowitz จะขึ้นอยู่กับการเดินตามสั่งแบบปิด (ย่อให้สั้นลงเป็นตัวตลก ) [20]มันคำนวณผลิตภัณฑ์มากกว่าที่ข้อกำหนดดีเทอร์มิแนนต์ต้องการ แต่ผลิตภัณฑ์เหล่านี้บางส่วนยกเลิกและผลรวมของผลิตภัณฑ์เหล่านี้สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น อัลกอริทึมสุดท้ายดูเหมือนผลคูณซ้ำของเมทริกซ์สามเหลี่ยมมาก

ถ้าสองเมทริกซ์ของลำดับnสามารถคูณในเวลาM ( n ) โดยที่M ( n ) ≥ n aสำหรับa > 2บางตัวสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ได้ในเวลา O ( M ( n )) [21]วิธีนี้เช่นว่ามี O ( n 2.376 ) อัลกอริทึมที่มีอยู่บนพื้นฐานของอัลกอริทึมทองแดง-Winograd

ชาร์ลส์ดอดจ์ (คือลูอิสแครอลของลิซผจญภัยในแดนมหัศจรรย์ยี่ห้อ) คิดค้นวิธีการคำนวณปัจจัยที่เรียกว่าดอดจ์ควบแน่นน่าเสียดายที่วิธีการที่น่าสนใจนี้ไม่สามารถใช้ได้ในรูปแบบเดิมเสมอไป

อัลกอริทึมยังสามารถประเมินได้ตามความซับซ้อนของบิตกล่าวคือต้องการความแม่นยำกี่บิตในการจัดเก็บค่ากลางที่เกิดขึ้นในการคำนวณ ตัวอย่างเช่นวิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียน (หรือการสลายตัวของ LU) เป็นไปตามลำดับ O ( n 3 ) แต่ความยาวบิตของค่ากลางอาจยาวเป็นทวีคูณได้ [22] BAREISS อัลกอริทึมในมืออื่น ๆ ที่เป็นวิธีการที่แน่นอนส่วนขึ้นอยู่กับตัวตนของซิลเวสของนอกจากนี้ยังมีการสั่งซื้อn 3แต่ความซับซ้อนเล็กน้อยคือประมาณขนาดบิตของรายการเดิมในครั้งเมทริกซ์n [23]

ประวัติ[ แก้ไข]

อดีตปัจจัยที่ถูกนำมาใช้นานก่อนที่จะฝึกอบรม: การปัจจัยที่ถูกกำหนดเดิมเป็นทรัพย์สินของเป็นระบบสมการเชิงเส้นดีเทอร์มิแนนต์ "กำหนด" ว่าระบบมีโซลูชันเฉพาะหรือไม่ (ซึ่งเกิดขึ้นอย่างแม่นยำหากดีเทอร์มิแนนต์ไม่ใช่ศูนย์) ในแง่นี้ดีเทอร์มิแนนต์ถูกนำมาใช้ครั้งแรกในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ของจีนThe Nine Chapters on the Mathematical Art (算術算術นักปราชญ์ชาวจีนราวศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสตศักราช) ในยุโรป2 × 2ปัจจัยที่ได้รับการพิจารณาโดยCardanoในตอนท้ายของศตวรรษที่ 16 และคนที่มีขนาดใหญ่โดยไลบ์นิซ [24] [25] [26] [27]

ในญี่ปุ่นSeki Takakazuได้รับเครดิตจากการค้นพบผลลัพธ์และดีเทอร์มิแนนต์ (ครั้งแรกในปี 1683 เวอร์ชันสมบูรณ์ไม่เกินปี 1710) ในยุโรปCramer (1750) ได้เพิ่มทฤษฎีโดยปฏิบัติต่อเรื่องที่เกี่ยวข้องกับชุดสมการ กฎหมายการเกิดซ้ำได้รับการประกาศครั้งแรกโดยBézout (1764)

มันเป็นVandermonde (1771) คนแรกที่ได้รับการยอมรับว่าเป็นปัจจัยที่ฟังก์ชั่นที่เป็นอิสระ[24] Laplace (1772) [28] [29]ให้วิธีการทั่วไปในการขยายดีเทอร์มิแนนต์ในแง่ของผู้เยาว์เสริม: Vandermonde ได้ให้กรณีพิเศษแล้ว ทันทีที่ตามมาLagrange (1773) ได้ปฏิบัติต่อดีเทอร์มิแนนต์ของลำดับที่สองและสามและนำไปใช้กับคำถามของทฤษฎีการกำจัด ; เขาพิสูจน์ตัวตนทั่วไปหลายกรณีพิเศษ

Gauss (1801) ก้าวไปข้างหน้า เช่นเดียวกับ Lagrange เขาใช้ดีเทอร์มิแนนต์ในทฤษฎีจำนวนมาก เขาแนะนำคำปัจจัย (Laplace ได้ใช้ผล ) แต่ไม่ได้อยู่ในความหมายปัจจุบัน แต่เป็นนำไปใช้กับการจำแนกของQuanticเกาส์ยังมาถึงแนวคิดของดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งกันและกัน (ผกผัน) และเข้ามาใกล้ทฤษฎีบทการคูณมาก

ผู้ให้ความสำคัญต่อไปคือBinet (1811, 1812) ซึ่งระบุอย่างเป็นทางการเกี่ยวกับทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับผลคูณของสองเมทริกซ์ของmคอลัมน์และnแถวซึ่งสำหรับกรณีพิเศษของm = nจะลดทฤษฎีบทการคูณ ในวันเดียวกัน (30 พฤศจิกายน 2355) ที่ Binet นำเสนอบทความของเขาให้กับ Academy Cauchyยังได้นำเสนอเรื่องนี้ด้วย (ดูสูตร Cauchy – Binet ) ในการนี้เขาใช้คำว่าดีเทอร์มิแนนต์ในความหมายปัจจุบัน[30] [31]สรุปและทำให้สิ่งที่รู้ในเรื่องนั้นง่ายขึ้นปรับปรุงสัญกรณ์และให้ทฤษฎีบทการคูณด้วยหลักฐานที่น่าพอใจกว่าของ Binet [24] [32]กับเขาเริ่มทฤษฎีโดยทั่วไป

บุคคลสำคัญคนต่อไปคือจาโคบี[25] (จากปีพ. ศ. 2370) เขาใช้ต้นปัจจัยที่ทำงานซึ่งซิลเวสภายหลังเรียกว่าจาโคเบียนและในบันทึกความทรงจำของเขาในวารสารของ Crelleสำหรับ 1841 เขาเป็นพิเศษถือว่าเรื่องนี้เช่นเดียวกับชั้นเรียนของฟังก์ชั่นสลับที่ซิลเวสได้เรียกalternants เกี่ยวกับช่วงเวลาแห่งความทรงจำครั้งสุดท้ายของจาโคบีซิลเวสเตอร์ (1839) และเคย์ลีย์เริ่มทำงาน [33] [34]

การศึกษารูปแบบพิเศษของดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลมาจากความสมบูรณ์ของทฤษฎีทั่วไป มีการศึกษาดีเทอร์มิแนนต์ Axisymmetric โดยLebesgue , Hesseและ Sylvester persymmetricปัจจัยโดยซิลเวสและHankel ; วงเวียนโดยคาตาลัน , Spottiswoode , Glaisherและสก็อตต์; ดีเทอร์มิแนนต์เอียงและPfaffians ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการเปลี่ยนแปลงมุมฉากโดยเคย์ลีย์; ต่อเนื่องโดยซิลเวสเตอร์; Wronskians (เรียกโดยMuir ) โดยChristoffelและFrobenius; ดีเทอร์มิแนนต์ผสมโดย Sylvester, Reiss และ Picquet; จาโคเบียนและเฮสเซียนโดยซิลเวสเตอร์; และปัจจัยที่เก้งก้างสมมาตรโดยทำใจ หนังสือเรียนในเรื่อง Spottiswoode เป็นเล่มแรก ในอเมริกา Hanus (1886), Weld (1893) และ Muir / Metzler (1933) ได้ตีพิมพ์บทความ

แอปพลิเคชัน[ แก้ไข]

ความเป็นอิสระเชิงเส้น[ แก้ไข]

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ (ที่มีรายการจริงหรือเชิงซ้อนกล่าวว่า) เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์คอลัมน์ (หรือเวกเตอร์แถว) ของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดังนั้นดีเทอร์มิแนนต์สามารถใช้เพื่อกำหนดลักษณะเวกเตอร์ที่ขึ้นกับเชิงเส้นได้ ตัวอย่างเช่นกำหนดเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสองตัวv 1 , v 2ในR 3เวกเตอร์ที่สามv 3อยู่ในระนาบที่ ทอดโดยเวกเตอร์สองตัวเดิมตรงถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์3 × 3 ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์สามตัวเป็นศูนย์ แนวคิดเดียวกันนี้ยังใช้ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ : กำหนดnฟังก์ชันf 1 ( x ), ... , f n ( x ) (ควรจะแตกต่างกันn - 1เท่า), Wronskianถูกกำหนดให้เป็น

มันไม่ใช่ศูนย์ (สำหรับxบางตัว) ในช่วงเวลาที่ระบุถ้าฟังก์ชันที่กำหนดและอนุพันธ์ทั้งหมดที่มีลำดับn −1 เป็นอิสระเชิงเส้น หากสามารถแสดงให้เห็นว่า Wronskian เป็นศูนย์ทุกที่ในช่วงเวลาหนึ่งในกรณีของฟังก์ชันการวิเคราะห์แสดงว่าฟังก์ชันที่กำหนดขึ้นอยู่กับเชิงเส้น ดูwronskian และความเป็นอิสระเชิงเส้น

การวางแนวของฐาน[ แก้ไข]

ดีเทอร์มิแนนต์สามารถคิดได้จากการกำหนดตัวเลขให้กับทุกลำดับของnเวกเตอร์ในR nโดยใช้เมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์ที่กำหนด ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์มุมฉากกับรายการในR nหมายถึงorthonormal พื้นฐานในพื้นที่ Euclidean ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังกล่าวจะพิจารณาว่าการวางแนวของพื้นฐานนั้นสอดคล้องหรือตรงข้ามกับการวางแนวของพื้นฐานมาตรฐานหรือไม่ หากดีเทอร์มิแนนต์คือ +1 พื้นฐานจะมีแนวเดียวกัน ถ้าเป็น −1 พื้นฐานจะมีทิศทางตรงกันข้าม

โดยทั่วไปถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของAเป็นบวกA จะแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นที่รักษาทิศทาง(ถ้าAเป็นเมทริกซ์2 × 2หรือ3 × 3 ที่ตั้งฉากกันจะเป็นการหมุน ) ในขณะที่ถ้าเป็นค่าลบAจะสลับการวางแนว ของพื้นฐาน

ปริมาตรและดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียน[ แก้ไข]

ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเวกเตอร์จริงจะเท่ากับปริมาตรของเส้นขนานที่ทอดโดยเวกเตอร์เหล่านั้น ดังนั้นถ้าf  : R nR nเป็นแผนที่เชิงเส้นที่แสดงโดยเมทริกซ์AและSคือส่วนย่อยที่วัดได้ ของR nดังนั้นปริมาตรของf ( S ) จะถูกกำหนดโดย | det ( A ) | ครั้งปริมาณของSโดยทั่วไปถ้าแผนที่เชิงเส้นf  : R nR ม.เป็นตัวแทนจากม. × nเมทริกซ์แล้วn - มิติปริมาณของF ( S ) จะได้รับโดย:

ด้วยการคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขที่ล้อมรอบด้วยจุดสี่จุดสามารถใช้เพื่อระบุเส้นเอียงได้ ปริมาตรของจัตุรมุขใด ๆ ที่กำหนดจุดยอดa , b , cและdคือ(1/6) · | det ( a - b , b - c , c - d ) |หรือการรวมกันของจุดยอดคู่อื่น ๆ ที่จะสร้างต้นไม้ที่ทอดข้ามจุดยอด

สำหรับทั่วไปฟังก์ชั่นอนุพันธ์ได้มากอย่างที่กล่าวดำเนินไปโดยพิจารณาจากเมทริกซ์จาโคเบียนของ สำหรับ

เมทริกซ์จาโคเบียนคือเมทริกซ์n × nที่มีการกำหนดรายการ

ดีเทอร์มิแนนต์ของมันคือดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนปรากฏในเวอร์ชันการรวมมิติที่สูงขึ้นโดยการแทนที่ : สำหรับฟังก์ชันที่เหมาะสมfและเซตย่อยแบบเปิด UของR n (โดเมนของf ) อินทิกรัลส่วนf ( U ) ของฟังก์ชันอื่น ๆφ  : R nR mกำหนดโดย

จาโคเบียนยังเกิดขึ้นในทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน

ดีเทอร์มิแนนต์ Vandermonde (ทางเลือก) [ แก้ไข]

ดีเทอร์มิแนนต์ Vandermonde ลำดับที่สามคือ

โดยทั่วไปn TH-เพื่อ Vandermonde ปัจจัยคือ[35]

โดยที่ด้านขวามือคือผลคูณต่อเนื่องของความแตกต่างทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้จากn ( n - 1) / 2คู่ของตัวเลขที่นำมาจากx 1 , x 2 , ... , x nโดยมีลำดับของ ความแตกต่างที่เกิดขึ้นในลำดับที่กลับกันของคำต่อท้ายที่เกี่ยวข้อง

ดีเทอร์มิแนนต์แบบวงกลม[ แก้ไข]

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์วงจรมีนิพจน์รูปแบบปิดอย่างง่าย: ลำดับที่สอง

ลำดับที่สาม

โดยที่ωและω 2เป็นรากลูกบาศก์ที่ซับซ้อนของ 1 โดยทั่วไปดีเทอร์มิแนนต์วงจรลำดับที่nคือ[35]

ที่ωใด ๆดั้งเดิมnรากของ 1

ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]

  • ปัจจัย Cauchy
  • Cayley – Menger ดีเทอร์มิแนนต์
  • ดีเทอร์มิแนนต์Dieudonné
  • Immanant
  • ถาวร
  • ดีเทอร์มิแนนต์ตำหนิ

หมายเหตุ[ แก้ไข]

  1. ^ Wildberger นอร์แมนเจ (2010) ตอนที่ 4 (วิดีโอบรรยาย). WildLinAlg ซิดนีย์ออสเตรเลีย: มหาวิทยาลัยนิวเซาท์เวลส์ - ผ่าน YouTube
  2. ^ "ปัจจัยและไดรฟ์" Textbooks.math.gatech.edu . สืบค้นเมื่อ16 มีนาคม 2561 .
  3. ^ McConnell (1957) การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ Tensor สิ่งพิมพ์ Dover ได้ pp.  10-17
  4. ^ Serge Lang ,พีชคณิตเชิงเส้น , ฉบับที่ 2, Addison-Wesley 1971, หน้า 173, 191
  5. ^ § 0.8.2 ของ RA Horn & CR Johnson: Matrix Analysis 2nd ed. (2013) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-54823-6 
  6. ^ สามารถดูหลักฐานได้ใน http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/proof003.html
  7. ^ หลิน Minghua; สระ, สุวฤทธิ์ (2557). "superadditivity ที่แข็งแกร่งอย่างสมบูรณ์ของฟังก์ชันเมทริกซ์ทั่วไป" arXiv : 1410.1958 [ math.FA ].
  8. ^ ปากซอย; เติร์กเมน; จาง (2014). "อสมการของฟังก์ชั่นทั่วไปเมทริกซ์ผ่านทางผลิตภัณฑ์ Tensor" วารสารอิเล็กทรอนิกส์เชิงเส้นพีชคณิต . 27 : 332–341 ดอย : 10.13001 / 1081-3810.1622 .
  9. ^ สามารถพบหลักฐานได้ในภาคผนวก B ของ Kondratyuk, LA; Krivoruchenko, MI (1992). "สารควาร์กตัวนำยิ่งยวดในกลุ่มสี SU (2)". Zeitschrift ขน Physik 344 (1): 99–115 รหัสไปรษณีย์ : 1992ZPhyA.344 ... 99K . ดอย : 10.1007 / BF01291027 . S2CID 120467300 
  10. ^ Habgood เคน; Arel, Itamar (2012). "เป็นหยดน้ำเกาะตามการประยุกต์ใช้กฎของ Cramer สำหรับการแก้ขนาดใหญ่เชิงเส้นระบบ" (PDF) วารสารไม่ต่อเนื่องอัลกอริทึม . 10 : 98–109 ดอย : 10.1016 / j.jda.2011.06.007 .
  11. ^ ข้อมูลประจำตัวเหล่านี้นำมาจาก http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/proof003.html
  12. ^ มีการพิสูจน์ใน Silvester, JR (2000) "ปัจจัยของบล็อกเมทริกซ์" (PDF) คณิตศาสตร์. ราชกิจจานุเบกษา . 84 (501): 460–467 ดอย : 10.2307 / 3620776 . JSTOR 3620776  
  13. ^ โสธนพันธ์, ณัฐ (มกราคม 2560). "ตัวกำหนดของเมทริกซ์บล็อกที่มีบล็อกที่ไม่ใช้คอมมิวชัน" พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ 512 : 202–218 arXiv : 1805.06027 . ดอย : 10.1016 / j.laa.2016.10.004 . S2CID 119272194 . 
  14. ^ § 0.8.10 ของ RA Horn & CR Johnson: Matrix Analysis 2nd ed. (2013) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 978-0-521-54823-6 
  15. ^ Mac Lane, แซนเดอ (1998), หมวดหมู่สำหรับการทำงานศาสตร์บัณฑิตตำราในวิชาคณิตศาสตร์5 (2 เอ็ด.) Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8
  16. ^ ในการตั้งค่าเชิงเส้นซ้ายแบบไม่สับเปลี่ยน (ความเข้ากันได้กับการคูณทางซ้ายด้วยสเกลาร์) ควรแยกความแตกต่างจากความเป็นเส้นตรงด้านขวา สมมติว่าความเป็นเชิงเส้นในคอลัมน์ถูกกำหนดให้เป็นเส้นตรงด้านซ้ายซึ่งจะมีสำหรับสเกลาร์ที่ไม่ได้เดินทาง a , b :
    ความขัดแย้ง ไม่มีแนวคิดที่เป็นประโยชน์เกี่ยวกับฟังก์ชันหลายเส้นตรงบนวงแหวนที่ไม่สับเปลี่ยน
  17. ^ วรา ดาราจัน, V. S (2004), Supersymmetry สำหรับนักคณิตศาสตร์: บทนำ , ISBN 978-0-8218-3574-6.
  18. ^ LN Trefethen และ D.Bau,พีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข (SIAM, 1997) เช่นในการบรรยายที่ 1: "... เราพูดถึงว่าดีเทอร์มิแนนต์แม้ว่าจะเป็นความคิดที่สะดวกในทางทฤษฎี แต่แทบจะไม่พบบทบาทที่เป็นประโยชน์ในอัลกอริทึมเชิงตัวเลข"
  19. ^ การสำรวจอัลกอริทึมที่ล้ำสมัยสำหรับดีเทอร์มิแนนต์การคำนวณและข้อดีและข้อเสียรวมถึงผลการทดสอบประสิทธิภาพรวมอยู่ใน Fisikopoulos, Vissarion; Peñaranda, Luis (2016). "อัลกอริธึมทางเรขาคณิตที่เร็วขึ้นผ่านการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์แบบไดนามิก" คำนวณเรขาคณิต Elsevier BV 54 : 1–16 arXiv : 1206.7067 . ดอย : 10.1016 / j.comgeo.2015.12.001 . ISSN 0925-7721 S2CID 14950222  การสำรวจคือส่วนที่ 1.1 งานก่อนหน้านี้และผลการทดสอบอยู่ในหัวข้อ 4.3 การทดลองคำนวณเชิงกำหนด
  20. ^ Rote, Günter "กองฟรีอัลกอริทึมสำหรับปัจจัยและ Pfaffian: พีชคณิตและ Combinatorial แนวทาง" (PDF)
  21. ^ พวงเจอาร์; Hopcroft, JE (1974). "สามเหลี่ยมตัวประกอบและผกผันโดยด่วนคูณเมทริกซ์" คำนวณคณิตศาสตร์ของ 28 (125): 231–236 ดอย : 10.1090 / S0025-5718-1974-0331751-8 .
  22. ^ ฝางซินกุ้ย; ฮาวาสจอร์จ (1997). "ในความซับซ้อนที่เลวร้ายที่สุดกรณีของการกำจัด Gaussian จำนวนเต็ม" (PDF) การดำเนินการของการประชุมสัมมนาระดับนานาชาติ 1997 ในการคำนวณสัญลักษณ์และพีชคณิต ISSAC '97. คิเฮอิเมาอิฮาวายสหรัฐอเมริกา: ACM หน้า 28–31 ดอย : 10.1145 / 258726.258740 . ISBN  0-89791-875-4. สืบค้นจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 2011-08-07 . สืบค้นเมื่อ2011-01-22 .
  23. ^ Bareiss, Erwin (1968), "Sylvester's Identity and Multistep Integer-Preservation Gaussian Elimination" (PDF) , Mathematics of Computation , 22 (102): 565–578, doi : 10.2307 / 2004533 , JSTOR 2004533  
  24. ^ a b c Campbell, H: "Linear Algebra With Applications", หน้า 111–112 Appleton Century Crofts, 1971
  25. ^ a b Eves, H: "An Introduction to the History of Mathematics", หน้า 405, 493–494, Saunders College Publishing, 1990
  26. ^ ประวัติโดยย่อของพีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีเมทริกซ์ได้ที่: "ประวัติย่อของพีชคณิตเชิงเส้นและทฤษฎีเมทริกซ์" สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 10 กันยายน 2555 . สืบค้นเมื่อ24 มกราคม 2555 .
  27. ^ Cajori เอฟประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์พี 80
  28. ^ การขยายตัวกำหนดในแง่ของผู้เยาว์: Laplace, Pierre-Simon (de) "Researches sur le calcul intégral et sur le systéme du monde," Histoire de l'Académie Royale des Sciences (Paris), seconde partie, หน้า 267–376 (พ.ศ. 2315)
  29. ^ มูเยอร์เซอร์โทมัส,ทฤษฎีของปัจจัยในการสั่งซื้อสินค้าทางประวัติศาสตร์ของการพัฒนา [ลอนดอน, อังกฤษ: Macmillan และ จำกัด 1906] JFM 37.0181.02 
  30. ^ การใช้คำว่า "ดีเทอร์มิแนนต์" เป็นครั้งแรกในความหมายสมัยใหม่ปรากฏใน: Cauchy, Augustin-Louis "Memoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et des signes ตรงกันข้ามกับ par suite des transpositions operées entre les ตัวแปร qu'elles Renferment” ซึ่งอ่านครั้งแรกที่ Institute de France ในปารีสเมื่อวันที่ 30 พฤศจิกายน พ.ศ. 2355 และได้รับการตีพิมพ์ในวารสาร de l'Ecole Polytechnique , Cahier 17, Tome 10, หน้า 29–112 (พ.ศ. 2358)
  31. ^ ต้นกำเนิดของคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์: http://jeff560.tripod.com/d.html
  32. ^ ประวัติเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์: http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html
  33. ^ การใช้เส้นแนวตั้งเป็นครั้งแรกเพื่อแสดงถึงดีเทอร์มิแนนต์ปรากฏใน: เคย์ลีย์อาเธอร์ "บนทฤษฎีบทในเรขาคณิตของตำแหน่ง" Cambridge Mathematical Journal , vol. 2, หน้า 267–271 (1841).
  34. ^ ประวัติสัญกรณ์เมทริกซ์: http://jeff560.tripod.com/matrices.html
  35. ^ a b Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; ไรซิค, อิโอซิฟโมอิสเซวิช ; เกโรนิมุส, ยูริเวนามิโนวิช ; Tseytlin, Michail Yulyevich (กุมภาพันธ์ 2550). "14.31" ในเจฟฟรีย์อลัน; Zwillinger, Daniel (eds.) ตารางปริพันธ์, ซีรี่ย์, และผลิตภัณฑ์ แปลโดย Scripta Technica, Inc. (7 ed.) สำนักพิมพ์วิชาการอิงค์ISBN  978-0-12-373637-6. LCCN  2010481177 MR  2360010

อ้างอิง[ แก้ไข]

  • Axler, Sheldon Jay (2015). พีชคณิตเชิงเส้นเรียบร้อยแล้ว (ฉบับที่ 3) สปริงเกอร์ . ISBN 978-3-319-11079-0.
  • de Boor, Carl (1990), "การออกกำลังกายที่ว่างเปล่า" (PDF) , จดหมายข่าว ACM SIGNUM , 25 (2): 3–7, ดอย : 10.1145 / 122272.122273 , S2CID  62780452.
  • Lay, David C. (22 สิงหาคม 2548), พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 3), แอดดิสันเวสลีย์, ISBN 978-0-321-28713-7
  • Meyer, Carl D. (15 กุมภาพันธ์ 2544), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2009-10-31
  • Muir, Thomas (1960) [2476] ตำราเกี่ยวกับทฤษฎีดีเทอร์มิแนนต์แก้ไขและขยายโดย William H. Metzler, New York, NY: Dover
  • พูล, เดวิด (2549), พีชคณิตเชิงเส้น: บทนำสมัยใหม่ (2nd ed.), Brooks / Cole, ISBN 0-534-99845-3
  • G. Baley Price (1947) "อัตลักษณ์บางประการในทฤษฎีดีเทอร์มิแนนต์" American Mathematical Monthly 54: 75–90 MR 0019078
  • ฮอร์นโรเจอร์อลัน ; จอห์นสันชาร์ลส์รอยัล (2018) [2528]. การวิเคราะห์เมทริกซ์ (2nd ed.) มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 978-0-521-54823-6. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) (9th ed.), Wiley International
  • Leon, Steven J. (2006), พีชคณิตเชิงเส้นพร้อมแอพพลิเคชั่น (7th ed.), Pearson Prentice Hall

ลิงก์ภายนอก[ แก้ไข]

  • Suprunenko, DA (2001) [1994], "ตัวกำหนด" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
  • Weisstein, Eric W. "ตัวกำหนด" . แม ธ เวิลด์
  • โอคอนเนอร์จอห์นเจ ; Robertson, Edmund F. , "เมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์" , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews.
  • โปรแกรมเชิงโต้ตอบและบทช่วยสอนที่กำหนด
  • พีชคณิตเชิงเส้น: ดีเทอร์มิแนนต์ คำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ได้ถึง 6 ลำดับโดยใช้การขยาย Laplace ที่คุณเลือก
  • เมทริกซ์และพีชคณิตเชิงเส้นในหน้าแรกสุดที่ใช้
  • ปัจจัยอธิบายอย่างง่าย ๆ ในบทที่ 4 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหลักสูตรพีชคณิตเชิงเส้น
  • วิดีโอสอนการหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ nxn (Khan Academy)
  • "ตัวกำหนด" . สาระสำคัญของพีชคณิตเชิงเส้น - ผ่านทางYouTube