พิกัดความโค้ง

ในรูปทรงเรขาคณิต , curvilinear พิกัดเป็นระบบพิกัดสำหรับพื้นที่ Euclideanซึ่งในสายการประสานงานอาจจะโค้ง พิกัดเหล่านี้อาจได้มาจากชุดของพิกัดคาร์ทีเซียนโดยใช้การแปลงที่เปลี่ยนในเครื่องได้ (แผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง) ในแต่ละจุด ซึ่งหมายความว่าเราสามารถแปลงจุดที่กำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นพิกัดโค้งและย้อนกลับได้ ชื่อพิกัดความโค้งกำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสLaméเกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าพื้นผิวพิกัดของระบบเส้นโค้งนั้นโค้ง

Curvilinear (บน) affine (ขวา) และ Cartesian (ซ้าย) พิกัดในพื้นที่สองมิติ

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีของระบบพิกัดความโค้งในปริภูมิสามมิติแบบยุคลิด ( R ³ ) คือพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม คาร์ทีเซียนประสานงานพื้นผิวในพื้นที่นี้เป็นเครื่องบินประสานงาน ; ตัวอย่างเช่นz = 0 กำหนดระนาบx - y ในพื้นที่เดียวกัน พื้นผิวพิกัดr = 1 ในพิกัดทรงกลมคือพื้นผิวของหน่วยทรงกลมซึ่งเป็นส่วนโค้ง รูปแบบของพิกัดโค้งให้คำอธิบายแบบรวมและทั่วไปของระบบพิกัดมาตรฐาน

curvilinear พิกัดมักจะถูกใช้ในการกำหนดสถานที่หรือการกระจายของปริมาณทางกายภาพซึ่งอาจจะยกตัวอย่างเช่นสเกลา , เวกเตอร์หรือเทนเซอร์ นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณเหล่านี้ในการวิเคราะห์เวกเตอร์แคลคูลัสและเทนเซอร์ (เช่น เกรเดียนท์ ไดเวอร์เจนซ์เคิร์ล และลาปลาเซียน ) สามารถแปลงจากระบบพิกัดหนึ่งเป็นอีกระบบหนึ่งได้ ตามกฎการแปลงสำหรับสเกลาร์ เวกเตอร์ และเทนเซอร์ นิพจน์ดังกล่าวจะใช้ได้กับระบบพิกัดโค้งใดๆ

ระบบพิกัดโค้งอาจใช้งานได้ง่ายกว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับบางแอพพลิเคชั่น การเคลื่อนที่ของอนุภาคภายใต้อิทธิพลของแรงจากศูนย์กลางมักจะแก้ได้ง่ายกว่าในพิกัดทรงกลมมากกว่าพิกัดคาร์ทีเซียน นี่คือความจริงของปัญหาทางกายภาพหลายคนที่มีความสมมาตรทรงกลมที่กำหนดไว้ในR 3สมการที่มีเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นไปตามพื้นผิวพิกัดสำหรับระบบพิกัดความโค้งเฉพาะอาจแก้ได้ง่ายกว่าในระบบนั้น ในขณะที่บางคนอาจอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในกล่องสี่เหลี่ยมโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน การเคลื่อนที่ในทรงกลมนั้นง่ายกว่าด้วยพิกัดทรงกลม พิกัดทรงกลมเป็นโค้งที่พบมากที่สุดระบบการประสานงานและมีการใช้ในวิทยาศาสตร์โลก , แผนที่ , กลศาสตร์ควอนตัม , สัมพัทธภาพและวิศวกรรม

พิกัดความโค้งมุมฉากในสามมิติ

พิกัด ฐาน และเวกเตอร์

รูปที่ 1 - พิกัดพื้นผิว เส้นพิกัด และแกนพิกัดของพิกัดส่วนโค้งทั่วไป

รูปที่ 2 - พิกัดพื้นผิว เส้นพิกัด และแกนพิกัดของพิกัดทรงกลม พื้นผิว: r - ทรงกลม, θ - กรวย, φ - ครึ่งระนาบ; เส้น: r - คานตรง, θ - ครึ่งวงกลมแนวตั้ง, φ - วงกลมแนวนอน; แกน: r - คานตรง, θ - แทนเจนต์ถึงครึ่งวงกลมแนวตั้ง, φ - แทนเจนต์ถึงวงกลมแนวนอน

สำหรับตอนนี้พิจารณา3-D พื้นที่ จุดPในพื้นที่ 3 มิติ (หรือเวกเตอร์ตำแหน่ง r ) สามารถกำหนดได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน ( x , y , z ) [เขียนเทียบเท่า ( x ¹ , x ² , x ³ )] โดย $\mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}$ ที่อี_x , E _Y , อี_ซีเป็นพื้นฐานมาตรฐานเวกเตอร์

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดได้ด้วยพิกัดโค้ง ( q ¹ , q ² , q ³ ) หากตัวเลขสามตัวนี้กำหนดจุดเดียวในลักษณะที่ชัดเจน ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดนั้นถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการแปลงกลับด้าน:

x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2 },q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})

q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3} =g^{3}(x,y,z)

พื้นผิวq ¹ = ค่าคงที่q ² = ค่าคงที่q ³ = ค่าคงที่ เรียกว่าพื้นผิวพิกัด ; และเส้นโค้งพื้นที่ที่เกิดขึ้นจากการตัดกันของพวกเขาเป็นคู่เรียกว่าประสานงานโค้ง แกนพิกัดจะถูกกำหนดโดยเสียบ้างเพื่อพิกัดเส้นโค้งที่จุดตัดของสามพื้นผิว พวกมันไม่ได้อยู่ในทิศทางคงที่ทั่วไปในอวกาศ ซึ่งเป็นกรณีของพิกัดคาร์ทีเซียนอย่างง่าย ดังนั้นจึงไม่มีพื้นฐานระดับโลกตามธรรมชาติสำหรับพิกัดโค้ง

ในระบบคาร์ทีเซียน เวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐานสามารถหาได้จากอนุพันธ์ของตำแหน่งของจุดPเทียบกับพิกัดท้องถิ่น

\mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.

การใช้อนุพันธ์เดียวกันกับระบบเส้นโค้ง ณ จุดPกำหนดเวกเตอร์พื้นฐานทางธรรมชาติ:

\mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\ dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^ {3}}}.

พื้นฐานดังกล่าวซึ่งเป็นพาหะเปลี่ยนทิศทางและ / หรือขนาดจากจุดหนึ่งไปจุดของพวกเขาจะเรียกว่าเป็นพื้นฐานในท้องถิ่น ฐานทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับพิกัดโค้งนั้นจำเป็นต้องอยู่ในพื้นที่ เวกเตอร์พื้นฐานที่เหมือนกันในทุกจุดที่มีฐานทั่วโลกและสามารถนำมาเกี่ยวข้องกับเส้นหรือเลียนแบบระบบพิกัด

สำหรับบทความนี้eสงวนไว้สำหรับพื้นฐานมาตรฐาน (คาร์ทีเซียน) และhหรือbสำหรับพื้นฐานโค้ง

สิ่งเหล่านี้อาจไม่มีความยาวหน่วยและอาจไม่ใช่มุมฉาก ในกรณีที่พวกมันเป็นมุมฉากในทุกจุดที่อนุพันธ์ถูกกำหนดไว้อย่างดี เราจะกำหนดสัมประสิทธิ์ลาเม (หลังGabriel Lamé ) โดย

h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf { h} _{3}|

และเวกเตอร์พื้นฐานทางออร์โธนอร์มอลส่วนโค้งโดย

\mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3} }}.

เวกเตอร์พื้นฐานเหล่านี้อาจขึ้นอยู่กับตำแหน่งของP ; ดังนั้นจึงจำเป็นที่จะไม่ถือว่าค่าคงที่ทั่วทั้งภูมิภาค (ในทางเทคนิคแล้วเป็นพื้นฐานสำหรับมัดแทนเจนต์ของ $\mathbb {R} ^{3}$ ที่Pและท้องถิ่นสำหรับP )

โดยทั่วไป พิกัดโค้งอนุญาตให้มีเวกเตอร์พื้นฐานตามธรรมชาติh _ฉันไม่ได้ตั้งฉากซึ่งกันและกัน และไม่จำเป็นต้องมีความยาวหน่วย: พวกมันสามารถมีขนาดและทิศทางได้ตามอำเภอใจ การใช้ฐานตั้งฉากทำให้การปรับเวกเตอร์ง่ายกว่าแบบที่ไม่ใช่มุมฉาก อย่างไรก็ตามฟิสิกส์และวิศวกรรมบางพื้นที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลศาสตร์ของไหลและกลศาสตร์ต่อเนื่องต้องใช้ฐานที่ไม่ใช่มุมฉากเพื่ออธิบายการเสียรูปและการขนส่งของไหลเพื่ออธิบายการพึ่งพาปริมาณทางกายภาพที่ซับซ้อนในเชิงทิศทาง การอภิปรายกรณีทั่วไปจะปรากฏในหน้านี้ในภายหลัง

แคลคูลัสเวกเตอร์

องค์ประกอบที่แตกต่าง

ในพิกัดโค้งมุมฉาก เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงส่วนต่างทั้งหมดในr is

d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} } {\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^ {1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}

ตัวประกอบมาตราส่วนคือ $h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|$

ในพิกัดที่ไม่ใช่มุมฉากความยาวของ $d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}$ เป็นรากที่สองที่เป็นบวกของ $d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}$ (ด้วยแบบแผนการบวกของไอน์สไตน์ ) ผลิตภัณฑ์สเกลาอิสระหกกรัม_IJ = Hฉันh _jของเวกเตอร์พื้นฐานทางธรรมชาติสรุปปัจจัยมาตราส่วนสามตัวที่กำหนดไว้ข้างต้นสำหรับพิกัดมุมฉาก เก้าg _ijเป็นส่วนประกอบของเมตริกซ์ซึ่งมีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์เพียงสามองค์ประกอบในพิกัดมุมฉาก: g ₁₁ = h ₁h ₁ , g ₂₂ = h ₂h ₂ , g ₃₃ = h ₃h ₃ .

ค่าความแปรปรวนร่วมและฐานตรงกันข้าม

เวกเตอร์ v ( สีแดง ) แทนด้วย • ฐานเวกเตอร์ ( สีเหลือง , ซ้าย: e ₁ , e ₂ , e ₃ ) เวกเตอร์แทนเจนต์เพื่อประสานเส้นโค้ง ( สีดำ ) และ • ฐานโคเวคเตอร์หรือโคบาซิส ( สีน้ำเงิน , ขวา: e ¹ , e ² , e ³ ) เวกเตอร์ปกติเพื่อประสานพื้นผิว ( สีเทา ) โดยทั่วไป (ไม่จำเป็นต้องเป็น มุมฉาก ) พิกัดเส้นโค้ง ( q ¹ , q ² , q ³ ) พื้นฐานและโคบาซิสไม่ตรงกันเว้นแต่ระบบพิกัดจะเป็นมุมฉาก ^[1]

การไล่ระดับสีเชิงพื้นที่ ระยะทาง อนุพันธ์ของเวลา และปัจจัยมาตราส่วนสัมพันธ์กันภายในระบบพิกัดโดยเวกเตอร์พื้นฐานสองกลุ่ม:

เวกเตอร์พื้นฐานที่สัมผัสกันเฉพาะที่กับเส้นทางพิกัดที่เกี่ยวข้อง:
$\mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}$
ซึ่งแปลงเป็นเวกเตอร์ร่วม (แสดงด้วยดัชนีที่ลดลง) หรือ
เวกเตอร์พื้นฐานที่ปกติในเครื่องสำหรับ isosurface ที่สร้างโดยพิกัดอื่น:
$\mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}$
ซึ่งแปลงเช่นเวกเตอร์ contravariant (แสดงโดยดัชนียก) ∇เป็นเดล ผู้ประกอบการ

ดังนั้น ระบบพิกัดความโค้งทั่วไปจึงมีเวกเตอร์ฐานสองชุดสำหรับทุกจุด: { b ₁ , b ₂ , b ₃ } คือค่าโควาเรียนต์พื้นฐาน และ { b ¹ , b ² , b ³ } คือสิ่งที่ตรงกันข้าม (aka reciprocal) พื้นฐาน ชนิดเวกเตอร์พื้นฐานแบบโควาเรียนต์และคอนทราแวเรียนท์มีทิศทางเหมือนกันสำหรับระบบพิกัดความโค้งมุมฉาก แต่ตามปกติจะมีหน่วยกลับด้านที่สัมพันธ์กัน

สังเกตความเท่าเทียมกันที่สำคัญดังต่อไปนี้:

\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}

นั้น $\delta _{j}^{i}$ หมายถึงKronecker deltaทั่วไป

หลักฐาน

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน $(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})$ เราสามารถเขียนผลคูณดอทเป็น:

\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y }{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}})\cdot ({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}, {\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}})={\dfrac {\partial x}{\partial q_{ i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}} {\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}

พิจารณาการกระจัดเล็กน้อย $d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}$ . ให้ dq ₁ , dq ₂และ dq ₃แสดงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่สอดคล้องกันในพิกัดโค้ง q ₁ , q ₂และ q ₃ตามลำดับ

ตามกฎลูกโซ่ dq ₁สามารถแสดงเป็น:

dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}({ \dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y }{\partial q_{3}}}dq_{3})+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}} }dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3})

หากการกระจัด d rเป็นเช่นนั้น dq ₂ = dq ₃ = 0 นั่นคือเวกเตอร์ตำแหน่งrเคลื่อนที่ด้วยจำนวนที่น้อยมากตามแกนพิกัด q ₂ =const และ q ₃ =const ดังนั้น:

dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y }{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_ {1}

หารด้วย dq ₁และรับขีด จำกัด dq ₁ → 0:

1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1} }{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z} {\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\ บางส่วน y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}

หรือเทียบเท่า:

\mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1

ตอนนี้ถ้าการกระจัด d rเป็นเช่นนั้น dq ₁ =dq ₃ =0 นั่นคือเวกเตอร์ตำแหน่งrเคลื่อนที่ด้วยจำนวนที่น้อยมากตามแกนพิกัด q ₁ =const และ q ₃ =const ดังนั้น:

0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\ q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2} บางส่วน

หารด้วย dq ₂และรับขีด จำกัด dq ₂ → 0:

0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1} }{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z} {\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\ บางส่วน y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}

หรือเทียบเท่า:

\mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0

และอื่นๆ สำหรับดอทโปรดัคอื่นๆ

หลักฐานทางเลือก:

\delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i} \cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j} dq^{j}

และอนุสัญญาการรวมของไอน์สไตน์เป็นนัย

เวกเตอร์vสามารถระบุได้ในเงื่อนไขอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น

\mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _ {3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}

โดยใช้แบบแผนการบวกของไอน์สไตน์ เวกเตอร์พื้นฐานสัมพันธ์กับส่วนประกอบโดย^[2]^{( pp30–32 )}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k }\เดลต้า _{k}^{i}=v^{i}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\ เดลต้า _{i}^{k}=v_{i}

และ

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki} วี^{k}

\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki} v_{k}

โดยที่gคือเมตริกซ์ (ดูด้านล่าง)

เวกเตอร์สามารถระบุได้ด้วยพิกัดความแปรปรวนร่วม (ดัชนีล่าง เขียนv _k ) หรือพิกัดที่ขัดแย้งกัน (ดัชนีที่เพิ่มขึ้น เขียนv ^k ) จากผลรวมเวกเตอร์ข้างต้น จะเห็นได้ว่าพิกัดที่ขัดแย้งกันนั้นสัมพันธ์กับเวกเตอร์พื้นฐานของความแปรปรวนร่วม และพิกัดความแปรปรวนร่วมนั้นสัมพันธ์กับเวกเตอร์พื้นฐานที่ขัดแย้งกัน

ลักษณะสำคัญของการแสดงเวกเตอร์และเทนเซอร์ในแง่ขององค์ประกอบที่จัดทำดัชนีและเวกเตอร์พื้นฐานคือค่าคงที่ในแง่ที่ว่าองค์ประกอบเวกเตอร์ที่แปลงในลักษณะที่แปรปรวนร่วม (หรือลักษณะที่ตรงกันข้าม) ถูกจับคู่กับเวกเตอร์พื้นฐานที่แปลงในลักษณะที่ขัดแย้งกัน (หรือ ลักษณะร่วม).

บูรณาการ

การสร้างพื้นฐาน covariant ในมิติเดียว

รูปที่ 3 – การเปลี่ยนแปลงของค่าความแปรปรวนร่วมในท้องถิ่นในกรณีของพิกัดความโค้งทั่วไป

พิจารณาโค้งหนึ่งมิติที่แสดงในรูป. 3. ที่จุดP , นำมาเป็นแหล่งกำเนิด , xเป็นหนึ่งในพิกัดคาร์ทีเซียนและQ ¹เป็นหนึ่งใน curvilinear พิกัด ท้องถิ่น (ที่ไม่ใช่หน่วย) พื้นฐานเวกเตอร์เป็นข₁ (notated ชั่วโมง₁ข้างต้นกับขสงวนไว้สำหรับเวกเตอร์หน่วย) และมันถูกสร้างขึ้นบนQ ¹แกนซึ่งเป็นสัมผัสที่ประสานงานสายที่จุดP แกนq ¹และเวกเตอร์b ₁ทำให้เกิดมุม form $\alpha$ กับคาร์ทีเซียนxแกนและคาร์ทีเซียนพื้นฐานเวกเตอร์อี 1

เห็นได้จากสามเหลี่ยมPABว่า

\cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha

ที่ไหน | อี₁ |, | b ₁ | มีขนาดของสองเวกเตอร์พื้นฐานเช่นการดักสเกลาPBและPA PAเป็นเส้นโครงของb ₁บนแกนxด้วย

อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้สำหรับการแปลงเวกเตอร์พื้นฐานโดยใช้โคไซน์แบบมีทิศทางไม่สามารถนำมาใช้กับพิกัดโค้งได้ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:

โดยการเพิ่มระยะห่างจากPมุมระหว่างเส้นโค้งq ¹และแกนคาร์ทีเซียนx จะเบี่ยงเบนจาก $\alpha$ .
ที่ระยะทางPBมุมจริงคือมุมที่แทนเจนต์ที่จุด Cก่อตัวด้วยแกนxและมุมหลังแตกต่างอย่างชัดเจนจาก $\alpha$ .

มุมที่เส้นq ¹และแกนนั้นก่อตัวขึ้นโดยมีแกนx มีค่าใกล้เคียงกัน มุมที่ใกล้จะเคลื่อนไปยังจุดPและมีค่าเท่ากันทุกประการที่P

ให้จุดEอยู่ใกล้กับPมากจนใกล้จนระยะทางPEนั้นน้อยมาก แล้วPEวัดในคิว¹แกนเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมกับPEวัดในคิว¹บรรทัด ในขณะเดียวกัน อัตราส่วนPD/PE ( PDคือเส้นโครงของPEบนแกนx ) เกือบจะเท่ากับ $\cos \alpha$ .

ให้ตัดขนาดเล็กกระจิริดPDและPEจะมีข้อความตามลำดับเนื่องจากDXและ d Q 1แล้ว

\cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1} |}}

.

ดังนั้น โคไซน์เชิงทิศทางจึงสามารถแทนที่ในการแปลงด้วยอัตราส่วนที่แม่นยำยิ่งขึ้นระหว่างจุดตัดพิกัดที่มีขนาดเล็กที่สุด เป็นไปตามองค์ประกอบ (การฉายภาพ) ของb ₁บนแกนxคือ

p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=| \mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b } _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}} ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}

.

ถ้าq ⁱ = q ⁱ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) และx _i = x _i ( q ¹ , q ² , q ³ ) เป็นฟังก์ชันที่ราบรื่น (สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง) อัตราส่วนการแปลงสามารถเขียนได้เป็น ${\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}$ และ ${\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}$ . นั่นคืออัตราส่วนเหล่านี้เป็นอนุพันธ์บางส่วนของพิกัดที่เป็นของระบบหนึ่งเทียบกับพิกัดที่เป็นของระบบอื่น

การสร้างพื้นฐานร่วมในสามมิติ

ทำเช่นเดียวกันกับพิกัดในอีก 2 มิติที่เหลือb ₁สามารถแสดงเป็น:

\mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}} {\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}

สมการที่คล้ายกันถือสำหรับb ₂และb ₃เพื่อให้พื้นฐานมาตรฐาน { e ₁ , e ₂ , e ₃ } ถูกแปลงเป็นฐานท้องถิ่น (เรียงลำดับและทำให้เป็นมาตรฐาน ) { b ₁ , b ₂ , b ₃ } โดยระบบต่อไปนี้ของ สมการ:

{\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1} +{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1 }}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e } _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\ บางส่วน q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}} }\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{ 3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}

โดยการให้เหตุผลคล้ายคลึงกัน เราสามารถรับการแปลงผกผันจากพื้นฐานเฉพาะที่เป็นพื้นฐานมาตรฐาน:

{\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1} +{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1 }}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b } _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{ \partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}} }\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^ {3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}

จาโคเบียนแห่งการเปลี่ยนแปลง

ระบบสมการเชิงเส้นข้างต้นสามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์โดยใช้แบบแผนการบวกของไอน์สไตน์เป็น

{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac { \partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}

.

นี้เมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์จาโคเบียน (และผกผันของมัน) ของการเปลี่ยนแปลง สมการเหล่านี้เป็นสมการที่สามารถใช้ในการแปลงฐานคาร์ทีเซียนเป็นฐานโค้ง และในทางกลับกัน

ในสามมิติ รูปแบบขยายของเมทริกซ์เหล่านี้คือ

\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\ q^{2}}}บางส่วน&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1 }}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{ \cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_ {3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^ {1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\ บางส่วน x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2} }}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\ cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}

ในการแปลงผกผัน (ระบบสมการที่สอง) ค่านิรนามเป็นเวกเตอร์ฐานโค้ง สำหรับตำแหน่งเฉพาะใดๆ จะมีเวกเตอร์พื้นฐานได้เพียงชุดเดียวเท่านั้น (มิฉะนั้น พื้นฐานจะไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน ณ จุดนั้น) เงื่อนไขนี้จะเป็นที่พอใจก็ต่อเมื่อระบบสมการมีคำตอบเดียว ในพีชคณิตเชิงเส้น ระบบสมการเชิงเส้นมีคำตอบเดียว (ไม่สำคัญ) ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ระบบไม่เป็นศูนย์:

\det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0

ซึ่งแสดงเหตุผลเบื้องหลังข้อกำหนดข้างต้นเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนผกผัน

ลักษณะทั่วไปเป็นnมิติ

พิธีการขยายไปสู่มิติใด ๆ ที่ จำกัด ดังต่อไปนี้

พิจารณาจริง ยุคลิด nพื้นที่มิติที่เป็นR ⁿ = R × R × ... × R ( nครั้ง) ที่Rคือชุดของตัวเลขจริงและ×หมายถึงผลิตภัณฑ์ Cartesianซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์

พิกัดของพื้นที่นี้สามารถแสดงโดย: x = ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) เนื่องจากนี่คือเวกเตอร์ (องค์ประกอบของเวคเตอร์สเปซ) จึงสามารถเขียนได้ดังนี้:

\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}

โดยที่e ¹ = (1,0,0...,0), e ² = (0,1,0,0,0), e ³ = (0,0,1...,0),. .., e ⁿ = (0,0,0...,1) เป็นชุดพื้นฐานมาตรฐานของเวกเตอร์สำหรับช่องว่างR ⁿและi = 1, 2,... nเป็นส่วนประกอบการติดฉลากดัชนี เวกเตอร์แต่ละตัวมีองค์ประกอบเดียวในแต่ละมิติ (หรือ "แกน") และมีมุมฉากร่วมกัน( ตั้งฉาก ) และทำให้เป็นมาตรฐาน (มีหน่วยขนาด )

โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถกำหนดเวกเตอร์พื้นฐานb _iเพื่อให้พวกมันขึ้นอยู่กับq = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n ) นั่นคือพวกมันเปลี่ยนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง: b _i = b _i ( q ) ในกรณีที่กำหนดจุดxเดียวกันในแง่ของพื้นฐานทางเลือกนี้: พิกัดที่เกี่ยวกับพื้นฐานนี้v _iก็จำเป็นต้องขึ้นอยู่กับxด้วย นั่นคือv _i = v _i ( x ) จากนั้นเวกเตอร์vในพื้นที่นี้ เทียบกับพิกัดทางเลือกและเวกเตอร์พื้นฐานเหล่านี้ สามารถขยายเป็นผลรวมเชิงเส้นในฐานนี้ (ซึ่งหมายถึงการคูณเวกเตอร์ พื้นฐานแต่ละตัวe _iด้วยจำนวนv _ผม – การคูณสเกลาร์ ):

\mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1} ^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )

ผลรวมเวกเตอร์ที่อธิบายvในฐานใหม่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่แตกต่างกัน แม้ว่าผลรวมจะยังคงเหมือนเดิม

การแปลงพิกัด

จากมุมมองที่กว้างกว่าและเป็นนามธรรมมากขึ้น ระบบพิกัดโค้งเป็นเพียงแพทช์พิกัดบนท่อร่วม E ⁿ ( ช่องว่างแบบยูคลิดมิติ n ) ที่เป็นดิฟเฟโอมอร์ฟิคไปยังแพทช์พิกัดคาร์ทีเซียนบนท่อร่วม ^[3]แผ่นแปะพิกัดดิฟเฟโอมอร์ฟิคสองแผ่นบนท่อร่วมต่าง ๆ ไม่จำเป็นต้องทับซ้อนกัน ด้วยคำจำกัดความง่ายๆ ของระบบพิกัดโค้ง ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ตามมาด้านล่างเป็นเพียงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทมาตรฐานในโทโพโลยีดิฟเฟอเรนเชียล

ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวว่ามีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดใน "เก่า" และพิกัด "ใหม่" ที่เป็นฟังก์ชั่นเหล่านี้จะbijectionsและตอบสนองความต้องการต่อไปของพวกเขาภายในโดเมน :

เป็นฟังก์ชันที่ราบรื่น : q ⁱ = q ⁱ ( x )
ผกผันจาโคเบียนปัจจัย
$J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}} {\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\ บางส่วน x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{ n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{ n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0$
ไม่เป็นศูนย์ หมายถึงการแปลงแบบกลับด้านได้ : x _i ( q )
ตามทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน เงื่อนไขว่าดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนไม่ใช่ศูนย์สะท้อนถึงข้อเท็จจริงที่ว่าพื้นผิวทั้งสามจากตระกูลต่างๆ ตัดกันในจุดเดียวและจุดเดียวเท่านั้น และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดตำแหน่งของจุดนี้ในลักษณะเฉพาะ ^[4]

พีชคณิตเวกเตอร์และเทนเซอร์ในพิกัดโค้งสามมิติ

หมายเหตุ: ใช้หลักการสรุปของไอน์สไตน์ในการบวกดัชนีซ้ำกันด้านล่าง

เวกเตอร์เบื้องต้นและพีชคณิตเทนเซอร์ในพิกัดโค้งถูกนำมาใช้ในวรรณคดีทางวิทยาศาสตร์ที่เก่ากว่าในด้านกลศาสตร์และฟิสิกส์และอาจขาดไม่ได้ในการทำความเข้าใจงานตั้งแต่ต้นและกลางปี 1900 เช่น ข้อความโดย Green และ Zerna ^[5]ความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์บางอย่างในพีชคณิตของเวกเตอร์และเทนเซอร์อันดับสองในพิกัดโค้งแสดงไว้ในส่วนนี้ สัญกรณ์และเนื้อหาส่วนใหญ่มาจาก Ogden, ^[6] Naghdi, ^[7] Simmonds, ^[2] Green and Zerna, ^[5] Basar และ Weichert, ^[8]และ Ciarlet ^[9]

เทนเซอร์ในพิกัดโค้ง

เทนเซอร์อันดับสองสามารถแสดงเป็น

{\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}= S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}

ที่ไหน $\scriptstyle \otimes$ หมายถึงเมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ ส่วนประกอบS ^IJจะเรียกว่าcontravariantส่วนประกอบS ^ฉัน _เจขวา covariant ผสมส่วนประกอบS _ฉัน ^เจซ้าย covariant ผสมส่วนประกอบและS _IJ covariantองค์ประกอบของเมตริกซ์ที่สองการสั่งซื้อ ส่วนประกอบของเทนเซอร์อันดับสองสัมพันธ์กันโดย

S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{ j\ell }S_{k\ell }

เมตริกเมตริกในพิกัดความโค้งมุมฉาก

ในแต่ละจุด เราสามารถสร้างองค์ประกอบเส้นเล็ก $d x$ ดังนั้นกำลังสองของความยาวขององค์ประกอบเส้นคือผลคูณสเกลาร์ d x • d xและเรียกว่าหน่วยเมตริกของช่องว่างกำหนดโดย:

d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}} {\บางส่วน q^{k}}}dq^{j}dq^{k}

.

ส่วนต่อไปนี้ของสมการข้างต้น

{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij} (q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}

เป็นเมตริกซ์สมมาตรที่เรียกว่าเมตริกซ์พื้นฐาน (หรือเมตริก)ของอวกาศแบบยุคลิดในพิกัดโค้ง

ดัชนีสามารถเพิ่มและลดได้ตามเมตริก:

v^{i}=g^{ik}v_{k}

ความสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์ลาเม

การกำหนดตัวประกอบมาตราส่วนh _ฉันโดย

h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\ sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}} \right|

ให้ความสัมพันธ์ระหว่างเมตริกซ์กับสัมประสิทธิ์ลาเมและ

g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{ j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki} h_{kj}

โดยที่h _ijคือสัมประสิทธิ์ลาเม สำหรับพื้นฐานมุมฉาก เรายังมี:

g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\ sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J

ตัวอย่าง: พิกัดเชิงขั้ว

หากเราพิจารณาพิกัดเชิงขั้วสำหรับR ² ,

(x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )

(R, θ) เป็น curvilinear พิกัดและปัจจัยจาโคเบียนของการเปลี่ยนแปลง ( R , θ) → ( R cos θ, Rบาปθ) เป็นR

มุมฉากเวกเตอร์พื้นฐานมีข_R = (cos θบาปθ) ข_θ = (-r บาปθ, R cos θ) ปัจจัยที่มีขนาดH _R = 1 และเอช_θ = R เทนเซอร์พื้นฐานคือg ₁₁ =1, g ₂₂ = r ² , g ₁₂ = g ₂₁ =0

เทนเซอร์สลับ

ตามหลักปกติทางขวามือเทนเซอร์สลับอันดับสามถูกกำหนดเป็น

{\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{ k}

ในพื้นฐานเส้นโค้งทั่วไป เทนเซอร์เดียวกันอาจแสดงเป็น

{\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า

{\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\ วาเรซิลอน _{ijk}

สัญลักษณ์ของคริสตอฟเฟิล

สัญลักษณ์ของคริสตอฟเฟิลชนิดแรก $\Gamma _{kij}$

\mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k }\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}

โดยที่เครื่องหมายจุลภาคแสดงถึงอนุพันธ์บางส่วน (ดูRicci calculus ) เพื่อแสดง Γ _kijในรูปของg _ij ,

{\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i ,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj }\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i} \cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end {จัดตำแหน่ง}}

ตั้งแต่

\mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}

ใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อจัดเรียงความสัมพันธ์ข้างต้นให้

\Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{ 2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _ {k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]

สัญลักษณ์ Christoffelชนิดที่สอง $\Gamma ^{k}{}_{ji}$

\Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \ mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}

นี่ก็หมายความว่า

\Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^ {k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad

ตั้งแต่

\quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0

.

ความสัมพันธ์อื่นๆ ที่ตามมาคือ

{\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{ k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b } ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}

การทำงานของเวกเตอร์

สินค้าจุด :
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดความโค้งคือ^[2]^{( p32 )}
$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j} =g^{ij}u_{i}v_{j}$
ข้ามผลิตภัณฑ์ :
ผลคูณของเวกเตอร์สองตัวถูกกำหนดโดย^[2]^{( pp32–34 )}
$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}$
ที่ไหน $\epsilon _{ijk}$ เป็นสัญลักษณ์การเรียงสับเปลี่ยนและ $\mathbf {e} _{i}$ เป็นเวกเตอร์พื้นฐานคาร์ทีเซียน ในพิกัดโค้ง นิพจน์ที่เทียบเท่าคือ
$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s} ]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s }$
ที่ไหน ${\mathcal {E}}_{ijk}$ เป็นบุคคลที่สามเพื่อสลับเมตริกซ์

แคลคูลัสเวกเตอร์และเทนเซอร์ในพิกัดความโค้งสามมิติ

หมายเหตุ: ใช้หลักการสรุปของไอน์สไตน์ในการบวกดัชนีซ้ำกันด้านล่าง

การปรับเปลี่ยนจะต้องทำในการคำนวณเส้น , พื้นผิวและปริมาณ ปริพันธ์ เพื่อความเรียบง่าย ต่อไปนี้จะจำกัดให้เหลือเพียงสามมิติและพิกัดความโค้งมุมฉาก อย่างไรก็ตาม อาร์กิวเมนต์เดียวกันนี้ใช้กับช่องว่างnมิติ เมื่อระบบพิกัดไม่ตั้งฉาก มีคำศัพท์เพิ่มเติมบางคำในนิพจน์

Simmonds, ^[2]ในหนังสือของเขาเกี่ยวกับการวิเคราะห์เทนเซอร์คำพูดของAlbert Einsteinกล่าวว่า^[10]

ความมหัศจรรย์ของทฤษฎีนี้แทบจะล้มเหลวในการกำหนดตัวเองให้กับใครก็ตามที่เข้าใจมันอย่างแท้จริง มันแสดงถึงชัยชนะอย่างแท้จริงของวิธีการแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ที่แท้จริงซึ่งก่อตั้งโดย Gauss, Riemann, Ricci และ Levi-Civita

เวกเตอร์และแคลคูลัสเมตริกซ์ในพิกัดโค้งทั่วไปจะใช้ในการวิเคราะห์เมตริกซ์บนโค้งสี่มิติmanifoldsในพัทธภาพทั่วไป , ^[11]ในกลศาสตร์ของโค้งหอย , ^[9]ในการตรวจสอบความไม่แปรเปลี่ยนคุณสมบัติของสมการของแมกซ์เวลล์ซึ่งได้รับความสนใจในmetamaterials ^[12]^[13]และในด้านอื่น ๆ อีกมากมาย

ความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์บางประการในแคลคูลัสของเวกเตอร์และเทนเซอร์อันดับสองในพิกัดโค้งแสดงไว้ในส่วนนี้ สัญกรณ์และเนื้อหาส่วนใหญ่มาจาก Ogden, ^[14] Simmonds, ^[2] Green and Zerna, ^[5] Basar และ Weichert, ^[8]และ Ciarlet ^[9]

ให้ φ = φ( x ) เป็นสนามสเกลาร์ที่กำหนดไว้อย่างดี และv = v ( x ) เป็นสนามเวกเตอร์ที่กำหนดไว้อย่างดี และλ ₁ , λ ₂ ... เป็นพารามิเตอร์ของพิกัด

องค์ประกอบทางเรขาคณิต

เวกเตอร์แทนเจนต์ :ถ้า x ( λ ) กำหนดเส้นโค้ง Cในพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \ แลมบ์ดา }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}$
เป็นเวกเตอร์แทนเจนต์ถึงCในพิกัดโค้ง (โดยใช้กฎลูกโซ่ ) ใช้คำจำกัดความของสัมประสิทธิ์ Lamé และสำหรับเมตริกg _ij = 0 เมื่อi ≠ jขนาดคือ:
$\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{ \partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\ บางส่วน \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^ {i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}$
องค์ประกอบระนาบสัมผัส :ถ้า x ( λ ₁ , λ ₂ ) กำหนดพื้นผิว Sในพิกัดคาร์ทีเซียน ผลคูณของเวกเตอร์แทนเจนต์ต่อไปนี้เป็นเวกเตอร์ปกติของ S ที่มีขนาดขององค์ประกอบระนาบน้อยในพิกัดโค้ง โดยใช้ผลลัพธ์ข้างต้น
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki) }{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\ ขวา)\mathbf {b} _{p}$
ที่ไหน ${\mathcal {E}}$ เป็นสัญลักษณ์การเปลี่ยนแปลง ในรูปแบบดีเทอร์มิแนนต์:
${\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix} \mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i} }{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\ q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix} บางส่วน }$

บูรณาการ

โอเปอเรเตอร์	สนามสเกลาร์	สนามเวกเตอร์
อินทิกรัลเส้น	$\int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left\|{\partial \ mathbf {x} \over \partial \lambda }\right\|d\lambda$	$\int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x } (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda$
อินทิกรัลพื้นผิว	$\int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2})) \left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right\|d\lambda _ {1}d\แลมบ์ดา _{2}$	$\int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1}, \lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{ 2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}$
อินทิกรัลปริมาตร	$\iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{ 2}dq_{3}$	$\iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3}) Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}$

ความแตกต่าง

นิพจน์สำหรับการไล่ระดับสี ไดเวอร์เจนซ์ และ Laplacian สามารถขยายโดยตรงไปยังมิติnอย่างไรก็ตาม curl ถูกกำหนดไว้ใน 3D เท่านั้น

สนามเวกเตอร์b _iสัมผัสกับเส้นโค้งพิกัดq ⁱและสร้างฐานตามธรรมชาติที่แต่ละจุดบนเส้นโค้ง พื้นฐานนี้ ตามที่กล่าวไว้ในตอนต้นของบทความนี้ เรียกอีกอย่างว่าพื้นฐานโค้งโควาเรียนท์ นอกจากนี้เรายังสามารถกำหนดกฎพื้นฐานหรือcontravariantพื้นฐานโค้ง, ขฉันทุกความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์พีชคณิตพื้นฐานที่กล่าวไว้ในส่วนที่เกี่ยวกับพีชคณิตเมตริกซ์ใช้สำหรับพื้นฐานธรรมชาติและซึ่งกันและกันที่แต่ละจุดx

โอเปอเรเตอร์	สนามสเกลาร์	สนามเวกเตอร์	สนามเทนเซอร์อันดับ 2
ไล่โทนสี	$\nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}$	$\nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}$	${\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}$
ความแตกต่าง	ไม่มี	$\nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}( v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})$	$({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )$ โดยที่aคือเวกเตอร์คงที่ตามอำเภอใจ ในพิกัดโค้ง ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}$
ลาปลาเซียน	$\nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left ({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)$
Curl	ไม่มี	สำหรับฟิลด์เวกเตอร์ในแบบ 3 มิติเท่านั้น $\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_ {i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}$ ที่ไหน $\epsilon _{ijk}$ คือสัญลักษณ์ลีวาย-ซิวิตา	ดูความโค้งของสนามเทนเซอร์

แรงสมมติในพิกัดโค้งทั่วไป

ตามคำนิยาม ถ้าอนุภาคที่ไม่มีแรงกระทำต่อมันมีตำแหน่งที่แสดงในระบบพิกัดเฉื่อย ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , t ) มันก็จะไม่มีการเร่งความเร็ว (d ²x _j /d t ² = 0). ^[15]ในบริบทนี้ ระบบพิกัดอาจล้มเหลวในการเป็น "เฉื่อย" ได้เนื่องจากแกนเวลาที่ไม่ตรงหรือแกนช่องว่างที่ไม่ตรง (หรือทั้งสองอย่าง) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์พื้นฐานของพิกัดอาจแตกต่างกันในเวลาที่ตำแหน่งคงที่ หรืออาจแตกต่างกันไปตามตำแหน่งในเวลาที่กำหนด หรือทั้งสองอย่าง เมื่อสมการการเคลื่อนที่แสดงในรูปของระบบพิกัดที่ไม่เฉื่อยใดๆ (ในแง่นี้) จะมีคำศัพท์พิเศษปรากฏขึ้น ซึ่งเรียกว่าสัญลักษณ์คริสทอฟเฟล กล่าวโดยเคร่งครัด คำศัพท์เหล่านี้แสดงถึงองค์ประกอบของความเร่งสัมบูรณ์ (ในกลศาสตร์ดั้งเดิม) แต่เราอาจเลือกที่จะพิจารณา d ²x _j /d t ^{2 ต่อไป}เป็นการเร่งความเร็ว (ราวกับว่าพิกัดนั้นเฉื่อย) และรักษาเงื่อนไขเพิ่มเติม ราวกับว่าพวกเขาเป็นกองกำลังซึ่งในกรณีนี้เรียกว่ากองกำลังที่สมมติขึ้น ^[16]องค์ประกอบของแรงโกหกใด ๆ เช่นปกติไปยังเส้นทางของอนุภาคและในระนาบของความโค้งเส้นทางของแล้วจะเรียกว่าแรงเหวี่ยง ^[17]

บริบททั่วไปนี้ทำให้เห็นชัดเจนว่ามีความสอดคล้องกันระหว่างแนวความคิดของแรงเหวี่ยงในระบบพิกัดหมุนและในระบบพิกัดความโค้งที่อยู่กับที่ (แนวคิดทั้งสองนี้มักปรากฏในวรรณกรรม^[18]^[19]^[20] ) ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาอนุภาคมวลm ที่เคลื่อนที่ในวงกลมรัศมีrด้วยความเร็วเชิงมุมwสัมพันธ์กับระบบพิกัดเชิงขั้ว หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมW . สมรัศมีของการเคลื่อนไหวคือนาย ” = F _R + นาย ( W + W ) 2ดังนั้นแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางคือmr คูณกำลังสองของความเร็วการหมุนสัมบูรณ์A = w + Wของอนุภาค หากเราเลือกระบบพิกัดที่หมุนด้วยความเร็วของอนุภาคแล้วW = Aและw = 0 ซึ่งในกรณีนี้แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางคือmrA ²ในขณะที่ถ้าเราเลือกระบบพิกัดนิ่ง เราก็มีW = 0 และw = Aซึ่งในกรณีนี้แรงเหวี่ยงเป็นอีกครั้งMRA 2สาเหตุของความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ก็คือในทั้งสองกรณีเวกเตอร์พื้นฐานที่ตำแหน่งของอนุภาคจะเปลี่ยนแปลงตามเวลาในลักษณะเดียวกันทุกประการ ดังนั้น นี่เป็นเพียงสองวิธีที่แตกต่างกันในการอธิบายสิ่งเดียวกันทุกประการ หนึ่งคำอธิบายอยู่ในแง่ของพิกัดหมุน และอีกวิธีหนึ่งอยู่ในแง่ของพิกัดโค้งคงที่ ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ไม่เฉื่อยตามความหมายที่เป็นนามธรรมมากกว่าของคำนั้น .

เมื่ออธิบายการเคลื่อนที่ทั่วๆ ไป แรงจริงที่กระทำต่ออนุภาคมักจะอ้างถึงวงกลมที่สั่นทันทีแทนเจนต์กับเส้นทางการเคลื่อนที่ และวงกลมนี้ในกรณีทั่วไปไม่ได้อยู่กึ่งกลางที่ตำแหน่งคงที่ ดังนั้นการสลายตัวเป็นแรงเหวี่ยงและโคริโอลิส ส่วนประกอบมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา สิ่งนี้เป็นจริงโดยไม่คำนึงว่าการเคลื่อนไหวจะอธิบายในแง่ของพิกัดนิ่งหรือพิกัดหมุน

ดูสิ่งนี้ด้วย

ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวน
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สัมพัทธภาพทั่วไป
พิกัดมุมฉาก
สูตร Frenet–Serret
อนุพันธ์โควาเรียนต์
อนุพันธ์เทนเซอร์ (กลศาสตร์ต่อเนื่อง)
มุมมองโค้ง
เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม

อ้างอิง

^ เจเอ วีลเลอร์; ค. มิสเนอร์; เคเอส ธ อร์น (1973) ความโน้มถ่วง . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ a b c d e f ซิมมอนด์ส, เจจี (1994). สั้น ๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์เมตริกซ์ สปริงเกอร์. ISBN 0-387-90639-8.
^ บูธบี้, WM (2002). บทนำสู่ดิฟเฟอเรนเชียลแมนิโฟลด์และรีมันเนียนเรขาคณิต (แก้ไข ed.) นิวยอร์ก นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์วิชาการ
^ แมคคอนเนลล์ เอเจ (1957) การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ tensor นิวยอร์ก นิวยอร์ก: Dover Publications, Inc. Ch. 9 วินาที 1. ISBN 0-486-60373-3.
^ a b c กรีน, AE; Zerna, W. (1968). ทฤษฎีความยืดหยุ่น สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-853486-8.
^ อ็อกเดน, อาร์ดับบลิว (2000). รูปร่างยืดหยุ่นไม่เชิงเส้น โดเวอร์
^ นาฆดี PM (1972) "ทฤษฎีเปลือกและจาน". ใน S. Flügge (ed.) คู่มือฟิสิกส์ . ผ่าน/2. หน้า 425–640.
^ ข บาซาร์, Y.; เวยเชิร์ต, ดี. (2000). กลศาสตร์ต่อเนื่องเชิงตัวเลขของของแข็ง: แนวคิดพื้นฐานและมุมมอง สปริงเกอร์.
^ a b c Ciarlet, PG (2000). ทฤษฎีเปลือกหอย . 1 . วิทยาศาสตร์เอลส์เวียร์
^ ไอน์สไตน์, เอ. (1915). "การมีส่วนร่วมในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป". ใน Laczos, C. (ed.) ทศวรรษน์สไตน์ หน้า 213. ISBN 0-521-38105-3.
^ มิสเนอร์ CW; ธอร์น แคนซัส; วีลเลอร์, จอร์เจีย (1973). ความโน้มถ่วง . WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0.
^ กรีนลีฟ, ก.; Lassas, ม.; Uhlmann, G. (2003). "ค่าการนำไฟฟ้าแบบแอนไอโซโทรปิกที่ EIT ตรวจไม่พบ" การวัดทางสรีรวิทยา 24 (2): 413–419. ดอย : 10.1088/0967-3334/24/2/353 . PMID 12812426 .
^ เลออนฮาร์ด ยู.; ฟิลบิน, ทีจี (2006). "ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปทางวิศวกรรมไฟฟ้า". วารสารฟิสิกส์ใหม่. 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . ดอย : 10.1088/1367-2630/8/10/247 .
^ อ็อกเดน
^ ฟรีดแมน, ไมเคิล (1989). รากฐานของทฤษฎีพื้นที่เวลา สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 0-691-07239-6.
^ สตอมเมล, เฮนรี่ เอ็ม.; มัวร์, เดนนิส ดับเบิลยู. (1989). รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับโบลิทาร์กองทัพ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย. ISBN 0-231-06636-8.
^ เบียร์; จอห์นสตัน (1972) สถิตยศาสตร์และพลวัต (ฉบับที่ 2) แมคกรอว์–ฮิลล์. หน้า 485. ISBN 0-07-736650-6.
^ ฮิลเดอแบรนด์, ฟรานซิส บี. (1992). วิธีการ คณิตศาสตร์ ประยุกต์ . โดเวอร์ หน้า 156 . ISBN 0-13-579201-0.
^ แมคควารี, โดนัลด์ อัลลัน (2000). กลศาสตร์สถิติ . หนังสือวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัย. ISBN 0-06-044366-9.
^ เวเบอร์, ฮานส์-เยอร์เก้น; อาร์ฟเคน, จอร์จ บราวน์ (2004). วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับนักฟิสิกส์ สื่อวิชาการ. หน้า 843. ISBN 0-12-059877-9.

อ่านเพิ่มเติม

สปีเกล ม.ร.ว. (1959) การวิเคราะห์เวกเตอร์ นิวยอร์ก: ซีรี่ส์โครงร่างของ Schaum ISBN 0-07-084378-3.
อาร์ฟเคน, จอร์จ (1995). วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์ . สื่อวิชาการ. ISBN 0-12-059877-9.

ลิงค์ภายนอก

Planetmath.org ที่มาของเวกเตอร์หน่วยในพิกัดโค้ง
หน้าของ MathWorld บนพิกัดความโค้ง
E-Book ของ Prof. R. Brannon เรื่อง Curvilinear Coordinates
Wikiversity:Introduction to Elasticity/Tensors#The Divergence of a tensor field – Wikiversity , Introduction to Elasticity/Tensors.

[1] เจเอ วีลเลอร์; ค. มิสเนอร์; เคเอส ธ อร์น (1973) ความโน้มถ่วง . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[Simmonds-2] ซิมมอนด์ส, เจจี (1994). สั้น ๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์เมตริกซ์ สปริงเกอร์. ISBN 0-387-90639-8.

[3] บูธบี้, WM (2002). บทนำสู่ดิฟเฟอเรนเชียลแมนิโฟลด์และรีมันเนียนเรขาคณิต (แก้ไข ed.) นิวยอร์ก นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์วิชาการ

[4] แมคคอนเนลล์ เอเจ (1957) การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ tensor นิวยอร์ก นิวยอร์ก: Dover Publications, Inc. Ch. 9 วินาที 1. ISBN 0-486-60373-3.

[Green-5] กรีน, AE; Zerna, W. (1968). ทฤษฎีความยืดหยุ่น สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-853486-8.

[Ogden00-6] อ็อกเดน, อาร์ดับบลิว (2000). รูปร่างยืดหยุ่นไม่เชิงเส้น โดเวอร์

[Naghdi-7] นาฆดี PM (1972) "ทฤษฎีเปลือกและจาน". ใน S. Flügge (ed.) คู่มือฟิสิกส์ . ผ่าน/2. หน้า 425–640.

[Basar-8] ข บาซาร์, Y.; เวยเชิร์ต, ดี. (2000). กลศาสตร์ต่อเนื่องเชิงตัวเลขของของแข็ง: แนวคิดพื้นฐานและมุมมอง สปริงเกอร์.

[Ciarlet-9] Ciarlet, PG (2000). ทฤษฎีเปลือกหอย . 1 . วิทยาศาสตร์เอลส์เวียร์

[Lanczos-10] ไอน์สไตน์, เอ. (1915). "การมีส่วนร่วมในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป". ใน Laczos, C. (ed.) ทศวรรษน์สไตน์ หน้า 213. ISBN 0-521-38105-3.

[Misner-11] มิสเนอร์ CW; ธอร์น แคนซัส; วีลเลอร์, จอร์เจีย (1973). ความโน้มถ่วง . WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[Greenleaf-12] กรีนลีฟ, ก.; Lassas, ม.; Uhlmann, G. (2003). "ค่าการนำไฟฟ้าแบบแอนไอโซโทรปิกที่ EIT ตรวจไม่พบ" การวัดทางสรีรวิทยา 24 (2): 413–419. ดอย : 10.1088/0967-3334/24/2/353 . PMID 12812426 .

[Leonhardt-13] เลออนฮาร์ด ยู.; ฟิลบิน, ทีจี (2006). "ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปทางวิศวกรรมไฟฟ้า". วารสารฟิสิกส์ใหม่. 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . ดอย : 10.1088/1367-2630/8/10/247 .

[14] อ็อกเดน

[15] ฟรีดแมน, ไมเคิล (1989). รากฐานของทฤษฎีพื้นที่เวลา สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 0-691-07239-6.

[16] สตอมเมล, เฮนรี่ เอ็ม.; มัวร์, เดนนิส ดับเบิลยู. (1989). รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับโบลิทาร์กองทัพ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย. ISBN 0-231-06636-8.

[17] เบียร์; จอห์นสตัน (1972) สถิตยศาสตร์และพลวัต (ฉบับที่ 2) แมคกรอว์–ฮิลล์. หน้า 485. ISBN 0-07-736650-6.

[18] ฮิลเดอแบรนด์, ฟรานซิส บี. (1992). วิธีการ คณิตศาสตร์ ประยุกต์ . โดเวอร์ หน้า 156 . ISBN 0-13-579201-0.

[19] แมคควารี, โดนัลด์ อัลลัน (2000). กลศาสตร์สถิติ . หนังสือวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัย. ISBN 0-06-044366-9.

[20] เวเบอร์, ฮานส์-เยอร์เก้น; อาร์ฟเคน, จอร์จ บราวน์ (2004). วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับนักฟิสิกส์ สื่อวิชาการ. หน้า 843. ISBN 0-12-059877-9.