พิกัดความโค้ง
ในรูปทรงเรขาคณิต , curvilinear พิกัดเป็นระบบพิกัดสำหรับพื้นที่ Euclideanซึ่งในสายการประสานงานอาจจะโค้ง พิกัดเหล่านี้อาจได้มาจากชุดของพิกัดคาร์ทีเซียนโดยใช้การแปลงที่เปลี่ยนในเครื่องได้ (แผนที่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง) ในแต่ละจุด ซึ่งหมายความว่าเราสามารถแปลงจุดที่กำหนดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นพิกัดโค้งและย้อนกลับได้ ชื่อพิกัดความโค้งกำหนดโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสLaméเกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าพื้นผิวพิกัดของระบบเส้นโค้งนั้นโค้ง
ตัวอย่างที่รู้จักกันดีของระบบพิกัดความโค้งในปริภูมิสามมิติแบบยุคลิด ( R 3 ) คือพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม คาร์ทีเซียนประสานงานพื้นผิวในพื้นที่นี้เป็นเครื่องบินประสานงาน ; ตัวอย่างเช่นz = 0 กำหนดระนาบx - y ในพื้นที่เดียวกัน พื้นผิวพิกัดr = 1 ในพิกัดทรงกลมคือพื้นผิวของหน่วยทรงกลมซึ่งเป็นส่วนโค้ง รูปแบบของพิกัดโค้งให้คำอธิบายแบบรวมและทั่วไปของระบบพิกัดมาตรฐาน
curvilinear พิกัดมักจะถูกใช้ในการกำหนดสถานที่หรือการกระจายของปริมาณทางกายภาพซึ่งอาจจะยกตัวอย่างเช่นสเกลา , เวกเตอร์หรือเทนเซอร์ นิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับปริมาณเหล่านี้ในการวิเคราะห์เวกเตอร์แคลคูลัสและเทนเซอร์ (เช่น เกรเดียนท์ ไดเวอร์เจนซ์เคิร์ล และลาปลาเซียน ) สามารถแปลงจากระบบพิกัดหนึ่งเป็นอีกระบบหนึ่งได้ ตามกฎการแปลงสำหรับสเกลาร์ เวกเตอร์ และเทนเซอร์ นิพจน์ดังกล่าวจะใช้ได้กับระบบพิกัดโค้งใดๆ
ระบบพิกัดโค้งอาจใช้งานได้ง่ายกว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับบางแอพพลิเคชั่น การเคลื่อนที่ของอนุภาคภายใต้อิทธิพลของแรงจากศูนย์กลางมักจะแก้ได้ง่ายกว่าในพิกัดทรงกลมมากกว่าพิกัดคาร์ทีเซียน นี่คือความจริงของปัญหาทางกายภาพหลายคนที่มีความสมมาตรทรงกลมที่กำหนดไว้ในR 3 สมการที่มีเงื่อนไขขอบเขตที่เป็นไปตามพื้นผิวพิกัดสำหรับระบบพิกัดความโค้งเฉพาะอาจแก้ได้ง่ายกว่าในระบบนั้น ในขณะที่บางคนอาจอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในกล่องสี่เหลี่ยมโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน การเคลื่อนที่ในทรงกลมนั้นง่ายกว่าด้วยพิกัดทรงกลม พิกัดทรงกลมเป็นโค้งที่พบมากที่สุดระบบการประสานงานและมีการใช้ในวิทยาศาสตร์โลก , แผนที่ , กลศาสตร์ควอนตัม , สัมพัทธภาพและวิศวกรรม
พิกัดความโค้งมุมฉากในสามมิติ
พิกัด ฐาน และเวกเตอร์


สำหรับตอนนี้พิจารณา3-D พื้นที่ จุดPในพื้นที่ 3 มิติ (หรือเวกเตอร์ตำแหน่ง r ) สามารถกำหนดได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน ( x , y , z ) [เขียนเทียบเท่า ( x 1 , x 2 , x 3 )] โดยที่อีx , E Y , อีซีเป็นพื้นฐานมาตรฐานเวกเตอร์
นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดได้ด้วยพิกัดโค้ง ( q 1 , q 2 , q 3 ) หากตัวเลขสามตัวนี้กำหนดจุดเดียวในลักษณะที่ชัดเจน ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดนั้นถูกกำหนดโดยฟังก์ชันการแปลงกลับด้าน:
พื้นผิวq 1 = ค่าคงที่q 2 = ค่าคงที่q 3 = ค่าคงที่ เรียกว่าพื้นผิวพิกัด ; และเส้นโค้งพื้นที่ที่เกิดขึ้นจากการตัดกันของพวกเขาเป็นคู่เรียกว่าประสานงานโค้ง แกนพิกัดจะถูกกำหนดโดยเสียบ้างเพื่อพิกัดเส้นโค้งที่จุดตัดของสามพื้นผิว พวกมันไม่ได้อยู่ในทิศทางคงที่ทั่วไปในอวกาศ ซึ่งเป็นกรณีของพิกัดคาร์ทีเซียนอย่างง่าย ดังนั้นจึงไม่มีพื้นฐานระดับโลกตามธรรมชาติสำหรับพิกัดโค้ง
ในระบบคาร์ทีเซียน เวกเตอร์พื้นฐานมาตรฐานสามารถหาได้จากอนุพันธ์ของตำแหน่งของจุดPเทียบกับพิกัดท้องถิ่น
การใช้อนุพันธ์เดียวกันกับระบบเส้นโค้ง ณ จุดPกำหนดเวกเตอร์พื้นฐานทางธรรมชาติ:
พื้นฐานดังกล่าวซึ่งเป็นพาหะเปลี่ยนทิศทางและ / หรือขนาดจากจุดหนึ่งไปจุดของพวกเขาจะเรียกว่าเป็นพื้นฐานในท้องถิ่น ฐานทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับพิกัดโค้งนั้นจำเป็นต้องอยู่ในพื้นที่ เวกเตอร์พื้นฐานที่เหมือนกันในทุกจุดที่มีฐานทั่วโลกและสามารถนำมาเกี่ยวข้องกับเส้นหรือเลียนแบบระบบพิกัด
สำหรับบทความนี้eสงวนไว้สำหรับพื้นฐานมาตรฐาน (คาร์ทีเซียน) และhหรือbสำหรับพื้นฐานโค้ง
สิ่งเหล่านี้อาจไม่มีความยาวหน่วยและอาจไม่ใช่มุมฉาก ในกรณีที่พวกมันเป็นมุมฉากในทุกจุดที่อนุพันธ์ถูกกำหนดไว้อย่างดี เราจะกำหนดสัมประสิทธิ์ลาเม (หลังGabriel Lamé ) โดย
และเวกเตอร์พื้นฐานทางออร์โธนอร์มอลส่วนโค้งโดย
เวกเตอร์พื้นฐานเหล่านี้อาจขึ้นอยู่กับตำแหน่งของP ; ดังนั้นจึงจำเป็นที่จะไม่ถือว่าค่าคงที่ทั่วทั้งภูมิภาค (ในทางเทคนิคแล้วเป็นพื้นฐานสำหรับมัดแทนเจนต์ของที่Pและท้องถิ่นสำหรับP )
โดยทั่วไป พิกัดโค้งอนุญาตให้มีเวกเตอร์พื้นฐานตามธรรมชาติh ฉันไม่ได้ตั้งฉากซึ่งกันและกัน และไม่จำเป็นต้องมีความยาวหน่วย: พวกมันสามารถมีขนาดและทิศทางได้ตามอำเภอใจ การใช้ฐานตั้งฉากทำให้การปรับเวกเตอร์ง่ายกว่าแบบที่ไม่ใช่มุมฉาก อย่างไรก็ตามฟิสิกส์และวิศวกรรมบางพื้นที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลศาสตร์ของไหลและกลศาสตร์ต่อเนื่องต้องใช้ฐานที่ไม่ใช่มุมฉากเพื่ออธิบายการเสียรูปและการขนส่งของไหลเพื่ออธิบายการพึ่งพาปริมาณทางกายภาพที่ซับซ้อนในเชิงทิศทาง การอภิปรายกรณีทั่วไปจะปรากฏในหน้านี้ในภายหลัง
แคลคูลัสเวกเตอร์
องค์ประกอบที่แตกต่าง
ในพิกัดโค้งมุมฉาก เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงส่วนต่างทั้งหมดในr is
ตัวประกอบมาตราส่วนคือ
ในพิกัดที่ไม่ใช่มุมฉากความยาวของ เป็นรากที่สองที่เป็นบวกของ (ด้วยแบบแผนการบวกของไอน์สไตน์ ) ผลิตภัณฑ์สเกลาอิสระหกกรัมIJ = Hฉัน h jของเวกเตอร์พื้นฐานทางธรรมชาติสรุปปัจจัยมาตราส่วนสามตัวที่กำหนดไว้ข้างต้นสำหรับพิกัดมุมฉาก เก้าg ijเป็นส่วนประกอบของเมตริกซ์ซึ่งมีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์เพียงสามองค์ประกอบในพิกัดมุมฉาก: g 11 = h 1 h 1 , g 22 = h 2 h 2 , g 33 = h 3 h 3 .
ค่าความแปรปรวนร่วมและฐานตรงกันข้าม

การไล่ระดับสีเชิงพื้นที่ ระยะทาง อนุพันธ์ของเวลา และปัจจัยมาตราส่วนสัมพันธ์กันภายในระบบพิกัดโดยเวกเตอร์พื้นฐานสองกลุ่ม:
- เวกเตอร์พื้นฐานที่สัมผัสกันเฉพาะที่กับเส้นทางพิกัดที่เกี่ยวข้อง:
- เวกเตอร์พื้นฐานที่ปกติในเครื่องสำหรับ isosurface ที่สร้างโดยพิกัดอื่น:
ดังนั้น ระบบพิกัดความโค้งทั่วไปจึงมีเวกเตอร์ฐานสองชุดสำหรับทุกจุด: { b 1 , b 2 , b 3 } คือค่าโควาเรียนต์พื้นฐาน และ { b 1 , b 2 , b 3 } คือสิ่งที่ตรงกันข้าม (aka reciprocal) พื้นฐาน ชนิดเวกเตอร์พื้นฐานแบบโควาเรียนต์และคอนทราแวเรียนท์มีทิศทางเหมือนกันสำหรับระบบพิกัดความโค้งมุมฉาก แต่ตามปกติจะมีหน่วยกลับด้านที่สัมพันธ์กัน
สังเกตความเท่าเทียมกันที่สำคัญดังต่อไปนี้:
นั้น หมายถึงKronecker deltaทั่วไป
หลักฐาน ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เราสามารถเขียนผลคูณดอทเป็น:
พิจารณาการกระจัดเล็กน้อย . ให้ dq 1 , dq 2และ dq 3แสดงการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่สอดคล้องกันในพิกัดโค้ง q 1 , q 2และ q 3ตามลำดับ
ตามกฎลูกโซ่ dq 1สามารถแสดงเป็น:
หากการกระจัด d rเป็นเช่นนั้น dq 2 = dq 3 = 0 นั่นคือเวกเตอร์ตำแหน่งrเคลื่อนที่ด้วยจำนวนที่น้อยมากตามแกนพิกัด q 2 =const และ q 3 =const ดังนั้น:
หารด้วย dq 1และรับขีด จำกัด dq 1 → 0:
หรือเทียบเท่า:
ตอนนี้ถ้าการกระจัด d rเป็นเช่นนั้น dq 1 =dq 3 =0 นั่นคือเวกเตอร์ตำแหน่งrเคลื่อนที่ด้วยจำนวนที่น้อยมากตามแกนพิกัด q 1 =const และ q 3 =const ดังนั้น:
หารด้วย dq 2และรับขีด จำกัด dq 2 → 0:
หรือเทียบเท่า:
และอื่นๆ สำหรับดอทโปรดัคอื่นๆ
หลักฐานทางเลือก:
และอนุสัญญาการรวมของไอน์สไตน์เป็นนัย
เวกเตอร์vสามารถระบุได้ในเงื่อนไขอย่างใดอย่างหนึ่ง เช่น
โดยใช้แบบแผนการบวกของไอน์สไตน์ เวกเตอร์พื้นฐานสัมพันธ์กับส่วนประกอบโดย[2] ( pp30–32 )
และ
โดยที่gคือเมตริกซ์ (ดูด้านล่าง)
เวกเตอร์สามารถระบุได้ด้วยพิกัดความแปรปรวนร่วม (ดัชนีล่าง เขียนv k ) หรือพิกัดที่ขัดแย้งกัน (ดัชนีที่เพิ่มขึ้น เขียนv k ) จากผลรวมเวกเตอร์ข้างต้น จะเห็นได้ว่าพิกัดที่ขัดแย้งกันนั้นสัมพันธ์กับเวกเตอร์พื้นฐานของความแปรปรวนร่วม และพิกัดความแปรปรวนร่วมนั้นสัมพันธ์กับเวกเตอร์พื้นฐานที่ขัดแย้งกัน
ลักษณะสำคัญของการแสดงเวกเตอร์และเทนเซอร์ในแง่ขององค์ประกอบที่จัดทำดัชนีและเวกเตอร์พื้นฐานคือค่าคงที่ในแง่ที่ว่าองค์ประกอบเวกเตอร์ที่แปลงในลักษณะที่แปรปรวนร่วม (หรือลักษณะที่ตรงกันข้าม) ถูกจับคู่กับเวกเตอร์พื้นฐานที่แปลงในลักษณะที่ขัดแย้งกัน (หรือ ลักษณะร่วม).
บูรณาการ
การสร้างพื้นฐาน covariant ในมิติเดียว

พิจารณาโค้งหนึ่งมิติที่แสดงในรูป. 3. ที่จุดP , นำมาเป็นแหล่งกำเนิด , xเป็นหนึ่งในพิกัดคาร์ทีเซียนและQ 1เป็นหนึ่งใน curvilinear พิกัด ท้องถิ่น (ที่ไม่ใช่หน่วย) พื้นฐานเวกเตอร์เป็นข1 (notated ชั่วโมง1ข้างต้นกับขสงวนไว้สำหรับเวกเตอร์หน่วย) และมันถูกสร้างขึ้นบนQ 1แกนซึ่งเป็นสัมผัสที่ประสานงานสายที่จุดP แกนq 1และเวกเตอร์b 1ทำให้เกิดมุม formกับคาร์ทีเซียนxแกนและคาร์ทีเซียนพื้นฐานเวกเตอร์อี 1
เห็นได้จากสามเหลี่ยมPABว่า
ที่ไหน | อี1 |, | b 1 | มีขนาดของสองเวกเตอร์พื้นฐานเช่นการดักสเกลาPBและPA PAเป็นเส้นโครงของb 1บนแกนxด้วย
อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้สำหรับการแปลงเวกเตอร์พื้นฐานโดยใช้โคไซน์แบบมีทิศทางไม่สามารถนำมาใช้กับพิกัดโค้งได้ด้วยเหตุผลดังต่อไปนี้:
- โดยการเพิ่มระยะห่างจากPมุมระหว่างเส้นโค้งq 1และแกนคาร์ทีเซียนx จะเบี่ยงเบนจาก.
- ที่ระยะทางPBมุมจริงคือมุมที่แทนเจนต์ที่จุด Cก่อตัวด้วยแกนxและมุมหลังแตกต่างอย่างชัดเจนจาก.
มุมที่เส้นq 1และแกนนั้นก่อตัวขึ้นโดยมีแกนx มีค่าใกล้เคียงกัน มุมที่ใกล้จะเคลื่อนไปยังจุดPและมีค่าเท่ากันทุกประการที่P
ให้จุดEอยู่ใกล้กับPมากจนใกล้จนระยะทางPEนั้นน้อยมาก แล้วPEวัดในคิว1แกนเกือบจะเกิดขึ้นพร้อมกับPEวัดในคิว1บรรทัด ในขณะเดียวกัน อัตราส่วนPD/PE ( PDคือเส้นโครงของPEบนแกนx ) เกือบจะเท่ากับ.
ให้ตัดขนาดเล็กกระจิริดPDและPEจะมีข้อความตามลำดับเนื่องจากDXและ d Q 1 แล้ว
- .
ดังนั้น โคไซน์เชิงทิศทางจึงสามารถแทนที่ในการแปลงด้วยอัตราส่วนที่แม่นยำยิ่งขึ้นระหว่างจุดตัดพิกัดที่มีขนาดเล็กที่สุด เป็นไปตามองค์ประกอบ (การฉายภาพ) ของb 1บนแกนxคือ
- .
ถ้าq i = q i ( x 1 , x 2 , x 3 ) และx i = x i ( q 1 , q 2 , q 3 ) เป็นฟังก์ชันที่ราบรื่น (สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง) อัตราส่วนการแปลงสามารถเขียนได้เป็น และ . นั่นคืออัตราส่วนเหล่านี้เป็นอนุพันธ์บางส่วนของพิกัดที่เป็นของระบบหนึ่งเทียบกับพิกัดที่เป็นของระบบอื่น
การสร้างพื้นฐานร่วมในสามมิติ
ทำเช่นเดียวกันกับพิกัดในอีก 2 มิติที่เหลือb 1สามารถแสดงเป็น:
สมการที่คล้ายกันถือสำหรับb 2และb 3เพื่อให้พื้นฐานมาตรฐาน { e 1 , e 2 , e 3 } ถูกแปลงเป็นฐานท้องถิ่น (เรียงลำดับและทำให้เป็นมาตรฐาน ) { b 1 , b 2 , b 3 } โดยระบบต่อไปนี้ของ สมการ:
โดยการให้เหตุผลคล้ายคลึงกัน เราสามารถรับการแปลงผกผันจากพื้นฐานเฉพาะที่เป็นพื้นฐานมาตรฐาน:
จาโคเบียนแห่งการเปลี่ยนแปลง
ระบบสมการเชิงเส้นข้างต้นสามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์โดยใช้แบบแผนการบวกของไอน์สไตน์เป็น
- .
นี้เมทริกซ์ค่าสัมประสิทธิ์ของระบบเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์จาโคเบียน (และผกผันของมัน) ของการเปลี่ยนแปลง สมการเหล่านี้เป็นสมการที่สามารถใช้ในการแปลงฐานคาร์ทีเซียนเป็นฐานโค้ง และในทางกลับกัน
ในสามมิติ รูปแบบขยายของเมทริกซ์เหล่านี้คือ
ในการแปลงผกผัน (ระบบสมการที่สอง) ค่านิรนามเป็นเวกเตอร์ฐานโค้ง สำหรับตำแหน่งเฉพาะใดๆ จะมีเวกเตอร์พื้นฐานได้เพียงชุดเดียวเท่านั้น (มิฉะนั้น พื้นฐานจะไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน ณ จุดนั้น) เงื่อนไขนี้จะเป็นที่พอใจก็ต่อเมื่อระบบสมการมีคำตอบเดียว ในพีชคณิตเชิงเส้น ระบบสมการเชิงเส้นมีคำตอบเดียว (ไม่สำคัญ) ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์ระบบไม่เป็นศูนย์:
ซึ่งแสดงเหตุผลเบื้องหลังข้อกำหนดข้างต้นเกี่ยวกับดีเทอร์มิแนนต์จาโคเบียนผกผัน
ลักษณะทั่วไปเป็นnมิติ
พิธีการขยายไปสู่มิติใด ๆ ที่ จำกัด ดังต่อไปนี้
พิจารณาจริง ยุคลิด nพื้นที่มิติที่เป็นR n = R × R × ... × R ( nครั้ง) ที่Rคือชุดของตัวเลขจริงและ×หมายถึงผลิตภัณฑ์ Cartesianซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์
พิกัดของพื้นที่นี้สามารถแสดงโดย: x = ( x 1 , x 2 , ... , x n ) เนื่องจากนี่คือเวกเตอร์ (องค์ประกอบของเวคเตอร์สเปซ) จึงสามารถเขียนได้ดังนี้:
โดยที่e 1 = (1,0,0...,0), e 2 = (0,1,0,0,0), e 3 = (0,0,1...,0),. .., e n = (0,0,0...,1) เป็นชุดพื้นฐานมาตรฐานของเวกเตอร์สำหรับช่องว่างR nและi = 1, 2,... nเป็นส่วนประกอบการติดฉลากดัชนี เวกเตอร์แต่ละตัวมีองค์ประกอบเดียวในแต่ละมิติ (หรือ "แกน") และมีมุมฉากร่วมกัน( ตั้งฉาก ) และทำให้เป็นมาตรฐาน (มีหน่วยขนาด )
โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถกำหนดเวกเตอร์พื้นฐานb iเพื่อให้พวกมันขึ้นอยู่กับq = ( q 1 , q 2 ,..., q n ) นั่นคือพวกมันเปลี่ยนจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง: b i = b i ( q ) ในกรณีที่กำหนดจุดxเดียวกันในแง่ของพื้นฐานทางเลือกนี้: พิกัดที่เกี่ยวกับพื้นฐานนี้v iก็จำเป็นต้องขึ้นอยู่กับxด้วย นั่นคือv i = v i ( x ) จากนั้นเวกเตอร์vในพื้นที่นี้ เทียบกับพิกัดทางเลือกและเวกเตอร์พื้นฐานเหล่านี้ สามารถขยายเป็นผลรวมเชิงเส้นในฐานนี้ (ซึ่งหมายถึงการคูณเวกเตอร์ พื้นฐานแต่ละตัวe iด้วยจำนวนv ผม – การคูณสเกลาร์ ):
ผลรวมเวกเตอร์ที่อธิบายvในฐานใหม่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่แตกต่างกัน แม้ว่าผลรวมจะยังคงเหมือนเดิม
การแปลงพิกัด
จากมุมมองที่กว้างกว่าและเป็นนามธรรมมากขึ้น ระบบพิกัดโค้งเป็นเพียงแพทช์พิกัดบนท่อร่วม E n ( ช่องว่างแบบยูคลิดมิติ n ) ที่เป็นดิฟเฟโอมอร์ฟิคไปยังแพทช์พิกัดคาร์ทีเซียนบนท่อร่วม [3]แผ่นแปะพิกัดดิฟเฟโอมอร์ฟิคสองแผ่นบนท่อร่วมต่าง ๆ ไม่จำเป็นต้องทับซ้อนกัน ด้วยคำจำกัดความง่ายๆ ของระบบพิกัดโค้ง ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ตามมาด้านล่างเป็นเพียงการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทมาตรฐานในโทโพโลยีดิฟเฟอเรนเชียล
ฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวว่ามีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดใน "เก่า" และพิกัด "ใหม่" ที่เป็นฟังก์ชั่นเหล่านี้จะbijectionsและตอบสนองความต้องการต่อไปของพวกเขาภายในโดเมน :
- เป็นฟังก์ชันที่ราบรื่น : q i = q i ( x )
- ผกผันจาโคเบียนปัจจัย
ไม่เป็นศูนย์ หมายถึงการแปลงแบบกลับด้านได้ : x i ( q )
ตามทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน เงื่อนไขว่าดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนไม่ใช่ศูนย์สะท้อนถึงข้อเท็จจริงที่ว่าพื้นผิวทั้งสามจากตระกูลต่างๆ ตัดกันในจุดเดียวและจุดเดียวเท่านั้น และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดตำแหน่งของจุดนี้ในลักษณะเฉพาะ [4]
พีชคณิตเวกเตอร์และเทนเซอร์ในพิกัดโค้งสามมิติ
- หมายเหตุ: ใช้หลักการสรุปของไอน์สไตน์ในการบวกดัชนีซ้ำกันด้านล่าง
เวกเตอร์เบื้องต้นและพีชคณิตเทนเซอร์ในพิกัดโค้งถูกนำมาใช้ในวรรณคดีทางวิทยาศาสตร์ที่เก่ากว่าในด้านกลศาสตร์และฟิสิกส์และอาจขาดไม่ได้ในการทำความเข้าใจงานตั้งแต่ต้นและกลางปี 1900 เช่น ข้อความโดย Green และ Zerna [5]ความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์บางอย่างในพีชคณิตของเวกเตอร์และเทนเซอร์อันดับสองในพิกัดโค้งแสดงไว้ในส่วนนี้ สัญกรณ์และเนื้อหาส่วนใหญ่มาจาก Ogden, [6] Naghdi, [7] Simmonds, [2] Green and Zerna, [5] Basar และ Weichert, [8]และ Ciarlet [9]
เทนเซอร์ในพิกัดโค้ง
เทนเซอร์อันดับสองสามารถแสดงเป็น
ที่ไหน หมายถึงเมตริกซ์ผลิตภัณฑ์ ส่วนประกอบS IJจะเรียกว่าcontravariantส่วนประกอบS ฉัน เจขวา covariant ผสมส่วนประกอบS ฉัน เจซ้าย covariant ผสมส่วนประกอบและS IJ covariantองค์ประกอบของเมตริกซ์ที่สองการสั่งซื้อ ส่วนประกอบของเทนเซอร์อันดับสองสัมพันธ์กันโดย
เมตริกเมตริกในพิกัดความโค้งมุมฉาก
ในแต่ละจุด เราสามารถสร้างองค์ประกอบเส้นเล็กd xดังนั้นกำลังสองของความยาวขององค์ประกอบเส้นคือผลคูณสเกลาร์ d x • d xและเรียกว่าหน่วยเมตริกของช่องว่างกำหนดโดย:
- .
ส่วนต่อไปนี้ของสมการข้างต้น
เป็นเมตริกซ์สมมาตรที่เรียกว่าเมตริกซ์พื้นฐาน (หรือเมตริก)ของอวกาศแบบยุคลิดในพิกัดโค้ง
ดัชนีสามารถเพิ่มและลดได้ตามเมตริก:
ความสัมพันธ์กับสัมประสิทธิ์ลาเม
การกำหนดตัวประกอบมาตราส่วนh ฉันโดย
ให้ความสัมพันธ์ระหว่างเมตริกซ์กับสัมประสิทธิ์ลาเมและ
โดยที่h ijคือสัมประสิทธิ์ลาเม สำหรับพื้นฐานมุมฉาก เรายังมี:
ตัวอย่าง: พิกัดเชิงขั้ว
หากเราพิจารณาพิกัดเชิงขั้วสำหรับR 2 ,
(R, θ) เป็น curvilinear พิกัดและปัจจัยจาโคเบียนของการเปลี่ยนแปลง ( R , θ) → ( R cos θ, Rบาปθ) เป็นR
มุมฉากเวกเตอร์พื้นฐานมีขR = (cos θบาปθ) ขθ = (-r บาปθ, R cos θ) ปัจจัยที่มีขนาดH R = 1 และเอชθ = R เทนเซอร์พื้นฐานคือg 11 =1, g 22 = r 2 , g 12 = g 21 =0
เทนเซอร์สลับ
ตามหลักปกติทางขวามือเทนเซอร์สลับอันดับสามถูกกำหนดเป็น
ในพื้นฐานเส้นโค้งทั่วไป เทนเซอร์เดียวกันอาจแสดงเป็น
นอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า
สัญลักษณ์ของคริสตอฟเฟิล
- สัญลักษณ์ของคริสตอฟเฟิลชนิดแรก
โดยที่เครื่องหมายจุลภาคแสดงถึงอนุพันธ์บางส่วน (ดูRicci calculus ) เพื่อแสดง Γ kijในรูปของg ij ,
ตั้งแต่
ใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อจัดเรียงความสัมพันธ์ข้างต้นให้
- สัญลักษณ์ Christoffelชนิดที่สอง
นี่ก็หมายความว่า
- ตั้งแต่ .
ความสัมพันธ์อื่นๆ ที่ตามมาคือ
การทำงานของเวกเตอร์
- สินค้าจุด :
ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวในพิกัดความโค้งคือ[2] ( p32 )
- ข้ามผลิตภัณฑ์ :
ผลคูณของเวกเตอร์สองตัวถูกกำหนดโดย[2] ( pp32–34 )
ที่ไหน เป็นสัญลักษณ์การเรียงสับเปลี่ยนและเป็นเวกเตอร์พื้นฐานคาร์ทีเซียน ในพิกัดโค้ง นิพจน์ที่เทียบเท่าคือ
แคลคูลัสเวกเตอร์และเทนเซอร์ในพิกัดความโค้งสามมิติ
- หมายเหตุ: ใช้หลักการสรุปของไอน์สไตน์ในการบวกดัชนีซ้ำกันด้านล่าง
การปรับเปลี่ยนจะต้องทำในการคำนวณเส้น , พื้นผิวและปริมาณ ปริพันธ์ เพื่อความเรียบง่าย ต่อไปนี้จะจำกัดให้เหลือเพียงสามมิติและพิกัดความโค้งมุมฉาก อย่างไรก็ตาม อาร์กิวเมนต์เดียวกันนี้ใช้กับช่องว่างnมิติ เมื่อระบบพิกัดไม่ตั้งฉาก มีคำศัพท์เพิ่มเติมบางคำในนิพจน์
Simmonds, [2]ในหนังสือของเขาเกี่ยวกับการวิเคราะห์เทนเซอร์คำพูดของAlbert Einsteinกล่าวว่า[10]
ความมหัศจรรย์ของทฤษฎีนี้แทบจะล้มเหลวในการกำหนดตัวเองให้กับใครก็ตามที่เข้าใจมันอย่างแท้จริง มันแสดงถึงชัยชนะอย่างแท้จริงของวิธีการแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ที่แท้จริงซึ่งก่อตั้งโดย Gauss, Riemann, Ricci และ Levi-Civita
เวกเตอร์และแคลคูลัสเมตริกซ์ในพิกัดโค้งทั่วไปจะใช้ในการวิเคราะห์เมตริกซ์บนโค้งสี่มิติmanifoldsในพัทธภาพทั่วไป , [11]ในกลศาสตร์ของโค้งหอย , [9]ในการตรวจสอบความไม่แปรเปลี่ยนคุณสมบัติของสมการของแมกซ์เวลล์ซึ่งได้รับความสนใจในmetamaterials [12] [13]และในด้านอื่น ๆ อีกมากมาย
ความสัมพันธ์ที่เป็นประโยชน์บางประการในแคลคูลัสของเวกเตอร์และเทนเซอร์อันดับสองในพิกัดโค้งแสดงไว้ในส่วนนี้ สัญกรณ์และเนื้อหาส่วนใหญ่มาจาก Ogden, [14] Simmonds, [2] Green and Zerna, [5] Basar และ Weichert, [8]และ Ciarlet [9]
ให้ φ = φ( x ) เป็นสนามสเกลาร์ที่กำหนดไว้อย่างดี และv = v ( x ) เป็นสนามเวกเตอร์ที่กำหนดไว้อย่างดี และλ 1 , λ 2 ... เป็นพารามิเตอร์ของพิกัด
องค์ประกอบทางเรขาคณิต
- เวกเตอร์แทนเจนต์ :ถ้า x ( λ ) กำหนดเส้นโค้ง Cในพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้น
เป็นเวกเตอร์แทนเจนต์ถึงCในพิกัดโค้ง (โดยใช้กฎลูกโซ่ ) ใช้คำจำกัดความของสัมประสิทธิ์ Lamé และสำหรับเมตริกg ij = 0 เมื่อi ≠ jขนาดคือ:
- องค์ประกอบระนาบสัมผัส :ถ้า x ( λ 1 , λ 2 ) กำหนดพื้นผิว Sในพิกัดคาร์ทีเซียน ผลคูณของเวกเตอร์แทนเจนต์ต่อไปนี้เป็นเวกเตอร์ปกติของ S ที่มีขนาดขององค์ประกอบระนาบน้อยในพิกัดโค้ง โดยใช้ผลลัพธ์ข้างต้น
ที่ไหน เป็นสัญลักษณ์การเปลี่ยนแปลง ในรูปแบบดีเทอร์มิแนนต์:
บูรณาการ
โอเปอเรเตอร์ สนามสเกลาร์ สนามเวกเตอร์ อินทิกรัลเส้น อินทิกรัลพื้นผิว อินทิกรัลปริมาตร
ความแตกต่าง
นิพจน์สำหรับการไล่ระดับสี ไดเวอร์เจนซ์ และ Laplacian สามารถขยายโดยตรงไปยังมิติnอย่างไรก็ตาม curl ถูกกำหนดไว้ใน 3D เท่านั้น
สนามเวกเตอร์b iสัมผัสกับเส้นโค้งพิกัดq iและสร้างฐานตามธรรมชาติที่แต่ละจุดบนเส้นโค้ง พื้นฐานนี้ ตามที่กล่าวไว้ในตอนต้นของบทความนี้ เรียกอีกอย่างว่าพื้นฐานโค้งโควาเรียนท์ นอกจากนี้เรายังสามารถกำหนดกฎพื้นฐานหรือcontravariantพื้นฐานโค้ง, ขฉัน ทุกความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์พีชคณิตพื้นฐานที่กล่าวไว้ในส่วนที่เกี่ยวกับพีชคณิตเมตริกซ์ใช้สำหรับพื้นฐานธรรมชาติและซึ่งกันและกันที่แต่ละจุดx
โอเปอเรเตอร์ สนามสเกลาร์ สนามเวกเตอร์ สนามเทนเซอร์อันดับ 2 ไล่โทนสี ความแตกต่าง ไม่มี โดยที่aคือเวกเตอร์คงที่ตามอำเภอใจ ในพิกัดโค้ง
ลาปลาเซียน Curl ไม่มี สำหรับฟิลด์เวกเตอร์ในแบบ 3 มิติเท่านั้น ที่ไหน คือสัญลักษณ์ลีวาย-ซิวิตา
ดูความโค้งของสนามเทนเซอร์
แรงสมมติในพิกัดโค้งทั่วไป
ตามคำนิยาม ถ้าอนุภาคที่ไม่มีแรงกระทำต่อมันมีตำแหน่งที่แสดงในระบบพิกัดเฉื่อย ( x 1 , x 2 , x 3 , t ) มันก็จะไม่มีการเร่งความเร็ว (d 2 x j /d t 2 = 0). [15]ในบริบทนี้ ระบบพิกัดอาจล้มเหลวในการเป็น "เฉื่อย" ได้เนื่องจากแกนเวลาที่ไม่ตรงหรือแกนช่องว่างที่ไม่ตรง (หรือทั้งสองอย่าง) กล่าวอีกนัยหนึ่ง เวกเตอร์พื้นฐานของพิกัดอาจแตกต่างกันในเวลาที่ตำแหน่งคงที่ หรืออาจแตกต่างกันไปตามตำแหน่งในเวลาที่กำหนด หรือทั้งสองอย่าง เมื่อสมการการเคลื่อนที่แสดงในรูปของระบบพิกัดที่ไม่เฉื่อยใดๆ (ในแง่นี้) จะมีคำศัพท์พิเศษปรากฏขึ้น ซึ่งเรียกว่าสัญลักษณ์คริสทอฟเฟล กล่าวโดยเคร่งครัด คำศัพท์เหล่านี้แสดงถึงองค์ประกอบของความเร่งสัมบูรณ์ (ในกลศาสตร์ดั้งเดิม) แต่เราอาจเลือกที่จะพิจารณา d 2 x j /d t 2 ต่อไปเป็นการเร่งความเร็ว (ราวกับว่าพิกัดนั้นเฉื่อย) และรักษาเงื่อนไขเพิ่มเติม ราวกับว่าพวกเขาเป็นกองกำลังซึ่งในกรณีนี้เรียกว่ากองกำลังที่สมมติขึ้น [16]องค์ประกอบของแรงโกหกใด ๆ เช่นปกติไปยังเส้นทางของอนุภาคและในระนาบของความโค้งเส้นทางของแล้วจะเรียกว่าแรงเหวี่ยง [17]
บริบททั่วไปนี้ทำให้เห็นชัดเจนว่ามีความสอดคล้องกันระหว่างแนวความคิดของแรงเหวี่ยงในระบบพิกัดหมุนและในระบบพิกัดความโค้งที่อยู่กับที่ (แนวคิดทั้งสองนี้มักปรากฏในวรรณกรรม[18] [19] [20] ) ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาอนุภาคมวลm ที่เคลื่อนที่ในวงกลมรัศมีrด้วยความเร็วเชิงมุมwสัมพันธ์กับระบบพิกัดเชิงขั้ว หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมW . สมรัศมีของการเคลื่อนไหวคือนาย ” = F R + นาย ( W + W ) 2 ดังนั้นแรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางคือmr คูณกำลังสองของความเร็วการหมุนสัมบูรณ์A = w + Wของอนุภาค หากเราเลือกระบบพิกัดที่หมุนด้วยความเร็วของอนุภาคแล้วW = Aและw = 0 ซึ่งในกรณีนี้แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางคือmrA 2ในขณะที่ถ้าเราเลือกระบบพิกัดนิ่ง เราก็มีW = 0 และw = Aซึ่งในกรณีนี้แรงเหวี่ยงเป็นอีกครั้งMRA 2 สาเหตุของความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ก็คือในทั้งสองกรณีเวกเตอร์พื้นฐานที่ตำแหน่งของอนุภาคจะเปลี่ยนแปลงตามเวลาในลักษณะเดียวกันทุกประการ ดังนั้น นี่เป็นเพียงสองวิธีที่แตกต่างกันในการอธิบายสิ่งเดียวกันทุกประการ หนึ่งคำอธิบายอยู่ในแง่ของพิกัดหมุน และอีกวิธีหนึ่งอยู่ในแง่ของพิกัดโค้งคงที่ ซึ่งทั้งสองอย่างนี้ไม่เฉื่อยตามความหมายที่เป็นนามธรรมมากกว่าของคำนั้น .
เมื่ออธิบายการเคลื่อนที่ทั่วๆ ไป แรงจริงที่กระทำต่ออนุภาคมักจะอ้างถึงวงกลมที่สั่นทันทีแทนเจนต์กับเส้นทางการเคลื่อนที่ และวงกลมนี้ในกรณีทั่วไปไม่ได้อยู่กึ่งกลางที่ตำแหน่งคงที่ ดังนั้นการสลายตัวเป็นแรงเหวี่ยงและโคริโอลิส ส่วนประกอบมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา สิ่งนี้เป็นจริงโดยไม่คำนึงว่าการเคลื่อนไหวจะอธิบายในแง่ของพิกัดนิ่งหรือพิกัดหมุน
ดูสิ่งนี้ด้วย
- ความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวน
- ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์สัมพัทธภาพทั่วไป
- พิกัดมุมฉาก
- สูตร Frenet–Serret
- อนุพันธ์โควาเรียนต์
- อนุพันธ์เทนเซอร์ (กลศาสตร์ต่อเนื่อง)
- มุมมองโค้ง
- เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม
อ้างอิง
- ^ เจเอ วีลเลอร์; ค. มิสเนอร์; เคเอส ธ อร์น (1973) ความโน้มถ่วง . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
- ^ a b c d e f ซิมมอนด์ส, เจจี (1994). สั้น ๆ เกี่ยวกับการวิเคราะห์เมตริกซ์ สปริงเกอร์. ISBN 0-387-90639-8.
- ^ บูธบี้, WM (2002). บทนำสู่ดิฟเฟอเรนเชียลแมนิโฟลด์และรีมันเนียนเรขาคณิต (แก้ไข ed.) นิวยอร์ก นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์วิชาการ
- ^ แมคคอนเนลล์ เอเจ (1957) การประยุกต์ใช้การวิเคราะห์ tensor นิวยอร์ก นิวยอร์ก: Dover Publications, Inc. Ch. 9 วินาที 1. ISBN 0-486-60373-3.
- ^ a b c กรีน, AE; Zerna, W. (1968). ทฤษฎีความยืดหยุ่น สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอ็อกซ์ฟอร์ด. ISBN 0-19-853486-8.
- ^ อ็อกเดน, อาร์ดับบลิว (2000). รูปร่างยืดหยุ่นไม่เชิงเส้น โดเวอร์
- ^ นาฆดี PM (1972) "ทฤษฎีเปลือกและจาน". ใน S. Flügge (ed.) คู่มือฟิสิกส์ . ผ่าน/2. หน้า 425–640.
- ^ ข บาซาร์, Y.; เวยเชิร์ต, ดี. (2000). กลศาสตร์ต่อเนื่องเชิงตัวเลขของของแข็ง: แนวคิดพื้นฐานและมุมมอง สปริงเกอร์.
- ^ a b c Ciarlet, PG (2000). ทฤษฎีเปลือกหอย . 1 . วิทยาศาสตร์เอลส์เวียร์
- ^ ไอน์สไตน์, เอ. (1915). "การมีส่วนร่วมในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป". ใน Laczos, C. (ed.) ทศวรรษน์สไตน์ หน้า 213. ISBN 0-521-38105-3.
- ^ มิสเนอร์ CW; ธอร์น แคนซัส; วีลเลอร์, จอร์เจีย (1973). ความโน้มถ่วง . WH Freeman and Co. ISBN 0-7167-0344-0.
- ^ กรีนลีฟ, ก.; Lassas, ม.; Uhlmann, G. (2003). "ค่าการนำไฟฟ้าแบบแอนไอโซโทรปิกที่ EIT ตรวจไม่พบ" การวัดทางสรีรวิทยา 24 (2): 413–419. ดอย : 10.1088/0967-3334/24/2/353 . PMID 12812426 .
- ^ เลออนฮาร์ด ยู.; ฟิลบิน, ทีจี (2006). "ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปทางวิศวกรรมไฟฟ้า". วารสารฟิสิกส์ใหม่. 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . ดอย : 10.1088/1367-2630/8/10/247 .
- ^ อ็อกเดน
- ^ ฟรีดแมน, ไมเคิล (1989). รากฐานของทฤษฎีพื้นที่เวลา สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 0-691-07239-6.
- ^ สตอมเมล, เฮนรี่ เอ็ม.; มัวร์, เดนนิส ดับเบิลยู. (1989). รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับโบลิทาร์กองทัพ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยโคลัมเบีย. ISBN 0-231-06636-8.
- ^ เบียร์; จอห์นสตัน (1972) สถิตยศาสตร์และพลวัต (ฉบับที่ 2) แมคกรอว์–ฮิลล์. หน้า 485. ISBN 0-07-736650-6.
- ^ ฮิลเดอแบรนด์, ฟรานซิส บี. (1992). วิธีการ คณิตศาสตร์ ประยุกต์ . โดเวอร์ หน้า 156 . ISBN 0-13-579201-0.
- ^ แมคควารี, โดนัลด์ อัลลัน (2000). กลศาสตร์สถิติ . หนังสือวิทยาศาสตร์มหาวิทยาลัย. ISBN 0-06-044366-9.
- ^ เวเบอร์, ฮานส์-เยอร์เก้น; อาร์ฟเคน, จอร์จ บราวน์ (2004). วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นสำหรับนักฟิสิกส์ สื่อวิชาการ. หน้า 843. ISBN 0-12-059877-9.
อ่านเพิ่มเติม
- สปีเกล ม.ร.ว. (1959) การวิเคราะห์เวกเตอร์ นิวยอร์ก: ซีรี่ส์โครงร่างของ Schaum ISBN 0-07-084378-3.
- อาร์ฟเคน, จอร์จ (1995). วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์ . สื่อวิชาการ. ISBN 0-12-059877-9.
ลิงค์ภายนอก
- Planetmath.org ที่มาของเวกเตอร์หน่วยในพิกัดโค้ง
- หน้าของ MathWorld บนพิกัดความโค้ง
- E-Book ของ Prof. R. Brannon เรื่อง Curvilinear Coordinates
- Wikiversity:Introduction to Elasticity/Tensors#The Divergence of a tensor field – Wikiversity , Introduction to Elasticity/Tensors.