ภาพตัดขวาง (เรขาคณิต)

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา
ภาพตัดขวางของตราประทับการบีบอัด

ในรูปทรงเรขาคณิตและวิทยาศาสตร์ภาพตัดขวางคือจุดตัดที่ไม่ว่างเปล่าของร่างกายทึบในปริภูมิสามมิติกับระนาบหรืออนาล็อกในช่องว่างมิติที่สูงกว่า การตัดวัตถุเป็นชิ้น ๆ จะสร้างหน้าตัดขนานจำนวนมาก ขอบเขตของหน้าตัดในปริภูมิสามมิติที่ขนานกับสองแกนนั่นคือขนานกับระนาบที่กำหนดโดยแกนเหล่านี้บางครั้งเรียกว่าเส้นชั้นความสูง ตัวอย่างเช่นหากเครื่องบินตัดผ่านภูเขาที่มีแผนที่นูนขึ้นมาขนานไปกับพื้นดินที่ผลที่ได้คือเส้นเค้าโครงในสองมิติพื้นที่แสดงจุดบนพื้นผิวของภูเขาเท่ากันที่ระดับความสูง

ในทางเทคนิคการวาดภาพตัดขวางการฉายภาพวัตถุบนระนาบที่ตัดกันเป็นเครื่องมือทั่วไปที่ใช้ในการแสดงการจัดเรียงภายในของวัตถุ 3 มิติในสองมิติ มันเป็นธรรมเนียมcrosshatchedกับรูปแบบของ crosshatching มักจะแสดงให้เห็นประเภทของวัสดุที่ใช้

ด้วยการตรวจเอกซเรย์คอมพิวเตอร์ตามแนวแกนคอมพิวเตอร์สามารถสร้างภาพตัดขวางจากข้อมูล เอ็กซเรย์

คำจำกัดความ[ แก้ไข]

ถ้าระนาบตัดกับของแข็ง (วัตถุ 3 มิติ) บริเวณที่อยู่ร่วมกันกับระนาบและของแข็งเรียกว่าหน้าตัดของของแข็ง [1]เครื่องบินที่มีข้ามส่วนของของแข็งอาจจะเรียกว่าเป็นเครื่องบินตัด

รูปร่างของหน้าตัดของของแข็งอาจขึ้นอยู่กับการวางแนวของระนาบตัดกับของแข็ง ตัวอย่างเช่นในขณะที่หน้าตัดทั้งหมดของลูกบอลเป็นดิสก์[2]หน้าตัดของลูกบาศก์ขึ้นอยู่กับว่าระนาบการตัดเกี่ยวข้องกับลูกบาศก์อย่างไร หากระนาบการตัดตั้งฉากกับเส้นที่เชื่อมตรงกลางของใบหน้าตรงข้ามสองหน้าของลูกบาศก์หน้าตัดจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างไรก็ตามหากระนาบการตัดตั้งฉากกับเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ที่เชื่อมจุดยอดตรงข้ามกันกากบาท - ส่วนอาจเป็นได้ทั้งจุดสามเหลี่ยมหรือหกเหลี่ยม

ส่วนเครื่องบิน[ แก้ไข]

แนวคิดที่เกี่ยวข้องเป็นที่ของส่วนเครื่องบินซึ่งเป็นโค้งตัดของเครื่องบินที่มีพื้นผิว [3]ดังนั้นส่วนของระนาบคือขอบเขตของหน้าตัดของของแข็งในระนาบตัด

ถ้าพื้นผิวในปริภูมิสามมิติถูกกำหนดโดยฟังก์ชันของสองตัวแปรคือz = f ( x , y )ส่วนระนาบโดยการตัดระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด (ระนาบที่กำหนดโดยแกนพิกัดสองแกน ) จะเรียกว่าเส้นโค้งระดับหรือisolines [4] โดยเฉพาะอย่างยิ่งการตัดระนาบด้วยสมการในรูปแบบz = k (ระนาบขนานกับxy -plane) ทำให้เกิดส่วนระนาบที่มักเรียกว่าเส้นชั้นความสูงในพื้นที่การใช้งาน

ตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ของส่วนตัดขวางและส่วนระนาบ[ แก้ไข]

พื้นที่สีคือส่วนตัดขวางของกรวยทึบ ขอบเขต (สีดำ) คือส่วนระนาบที่มีชื่อ

ข้ามส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยม

รูปกรวยส่วน - วงกลม , วงรี , parabolasและhyperbolas - ส่วนเครื่องบินของกรวยกับเครื่องบินตัดในมุมที่แตกต่างกันเท่าที่เห็นในแผนภาพที่ด้านซ้าย

หน้าตัดใด ๆ ที่ผ่านตรงกลางของวงรีจะก่อให้เกิดพื้นที่วงรีในขณะที่ส่วนระนาบที่เกี่ยวข้องคือจุดไข่ปลาบนพื้นผิวของมัน สิ่งเหล่านี้จะเสื่อมสภาพเป็นดิสก์และวงกลมตามลำดับเมื่อระนาบที่ตัดตั้งฉากกับแกนสมมาตร โดยทั่วไปแล้วส่วนระนาบของรูปสี่เหลี่ยมเป็นส่วนรูปกรวย [5]

ภาพตัดขวางของทรงกระบอกทึบ

หน้าตัดของทรงกระบอกกลมขวาทึบที่ยื่นออกมาระหว่างฐานสองฐานคือดิสก์ถ้าหน้าตัดขนานกับฐานทรงกระบอกหรือบริเวณวงรี (ดูแผนภาพด้านขวา) ถ้ามันไม่ขนานกันหรือตั้งฉากกับฐาน หากเครื่องบินตัดตั้งฉากกับฐานมันประกอบด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ไม่แสดง) เว้นแต่จะเป็นเพียงสัมผัสที่จะสูบในกรณีที่มันเป็นหนึ่งในส่วนของเส้น

คำว่ากระบอกสูบอาจหมายถึงพื้นผิวด้านข้างของทรงกระบอกทึบ (ดูทรงกระบอก (รูปทรงเรขาคณิต) ) ถ้าใช้ทรงกระบอกในความหมายนี้ย่อหน้าข้างบนจะอ่านได้ดังนี้: ส่วนระนาบของทรงกระบอกวงกลมด้านขวาที่มีความยาว จำกัด[6]คือวงกลมถ้าระนาบการตัดตั้งฉากกับแกนสมมาตรของกระบอกสูบหรือวงรี ถ้ามันไม่ขนานหรือตั้งฉากกับแกนนั้น ถ้าระนาบการตัดขนานกับแกนส่วนของระนาบจะประกอบด้วยส่วนของเส้นคู่ขนานหนึ่งคู่เว้นแต่ระนาบการตัดจะสัมผัสกับกระบอกสูบในกรณีนี้ส่วนของระนาบจะเป็นส่วนของเส้นตรงเดียว

กราฟของZ = x 2 + XY + Y 2 สำหรับอนุพันธ์ย่อยที่(1, 1, 3)ที่ออกจากค่าคงที่yเส้นสัมผัสที่สอดคล้องกันจะขนานกับxz -plane
ส่วนระนาบของกราฟด้านบนแสดงเส้นโค้งระดับในxz -plane ที่y = 1

ส่วนระนาบสามารถใช้เพื่อแสดงภาพอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับอาร์กิวเมนต์ดังที่แสดง สมมติว่าZ = F ( x , Y ) ในการหาอนุพันธ์ย่อยของf ( x , y )เทียบกับxเราสามารถหาส่วนระนาบของฟังก์ชันfที่ค่าคงที่ของyเพื่อพล็อตเส้นโค้งระดับของzเทียบกับxเท่านั้น จากนั้นอนุพันธ์ย่อยเทียบกับxคือความชันของกราฟสองมิติที่เป็นผลลัพธ์

ในสาขาวิชาที่เกี่ยวข้อง[ แก้]

ส่วนระนาบของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มสองตัวซึ่งระนาบการตัดมีค่าคงที่ของตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นตามเงื่อนไขของตัวแปรอื่น (ตามเงื่อนไขของค่าคงที่ซึ่งกำหนดส่วนระนาบ) ถ้าแทนส่วนเครื่องบินถูกนำมาหาค่าคงที่ของความหนาแน่นของผลที่เป็นรูปร่าง ISO มีความหนาแน่นสำหรับการแจกแจงแบบปกติรูปทรงเหล่านี้จะเป็นจุดไข่ปลา

ในทางเศรษฐศาสตร์ที่มีฟังก์ชั่นการผลิต F ( x , Y )ระบุการแสดงผลที่สามารถผลิตได้โดยปริมาณที่แตกต่างxและy ที่ของปัจจัยการผลิตโดยทั่วไปแรงงานและทุนทางกายภาพ ฟังก์ชั่นการผลิตของ บริษัท หรือสังคมสามารถพล็อตได้ในพื้นที่สามมิติ หากส่วนของระนาบขนานกับxy -plane ผลลัพธ์ที่ได้คือisoquant ที่แสดงการผสมผสานระหว่างแรงงานและการใช้ทุนที่หลากหลายซึ่งจะส่งผลให้ระดับเอาต์พุตที่กำหนดโดยความสูงของส่วนระนาบ หรืออีกวิธีหนึ่งถ้าส่วนระนาบของฟังก์ชันการผลิตอยู่ที่ระดับคงที่ของyใช่หรือไม่เพราะเป็นขนานไปกับXZเครื่องบินแล้วผลที่ได้คือกราฟสองมิติแสดงให้เห็นว่าการส่งออกมากสามารถผลิตได้ในแต่ละค่าต่าง ๆ ของการใช้งานxของหนึ่งในการป้อนข้อมูลรวมกับค่าคงที่ของการป้อนข้อมูลอื่น ๆY

นอกจากนี้ในทางเศรษฐศาสตร์ฟังก์ชันยูทิลิตี้สำคัญหรือลำดับ u ( w , v )ให้ระดับความพึงพอใจของผู้บริโภคที่ได้รับจากการบริโภคปริมาณwและvของสินค้าสองชิ้น หากส่วนระนาบของฟังก์ชันยูทิลิตี้ถูกใช้ที่ความสูงที่กำหนด (ระดับยูทิลิตี้) ผลลัพธ์สองมิติคือเส้นโค้งที่ไม่แยแสซึ่งแสดงการผสมทางเลือกต่างๆของปริมาณที่บริโภคwและvของสินค้าทั้งสองซึ่งทั้งหมดนี้ให้ระดับที่ระบุ ของยูทิลิตี้

พื้นที่และปริมาตร[ แก้ไข]

หลักการของ Cavalieriระบุว่าของแข็งที่มีหน้าตัดเท่ากันของพื้นที่เท่ากันมีปริมาตรเท่ากัน

พื้นที่หน้าตัด ( ) ของวัตถุเมื่อมองจากมุมใดมุมหนึ่งคือพื้นที่ทั้งหมดของการฉายภาพออร์โทกราฟิคของวัตถุจากมุมนั้น ยกตัวอย่างเช่นตัวถังของความสูงของเอชและรัศมีRได้เมื่อมองไปตามแกนกลางของมันและเมื่อมองจากทิศทางที่ตั้งฉาก รัศมีทรงกลมrมีเมื่อมองจากทุกมุม โดยทั่วไปสามารถคำนวณได้โดยการประเมินส่วนประกอบพื้นผิวต่อไปนี้:

เวกเตอร์หน่วยที่ชี้ไปตามทิศทางการมองไปยังผู้ชมอยู่ที่ไหนเป็นองค์ประกอบพื้นผิวที่มีการชี้ออกไปด้านนอกปกติและอินทิกรัลจะถูกยึดไว้บนพื้นผิวด้านบนสุดเท่านั้นซึ่งเป็นส่วนของพื้นผิวที่ "มองเห็นได้" จาก มุมมองของผู้ดู สำหรับร่างกายที่นูนรังสีแต่ละเส้นผ่านวัตถุจากมุมมองของผู้ชมจะข้ามเพียงสองพื้นผิว สำหรับวัตถุดังกล่าวอินทิกรัลอาจถูกยึดเหนือพื้นผิวทั้งหมด ( ) โดยการหาค่าสัมบูรณ์ของปริพันธ์ (เพื่อให้ "ด้านบน" และ "ด้านล่าง" ของวัตถุไม่ลบออกไปตามที่ทฤษฎีบท Divergence ต้องการนำไปใช้กับฟิลด์เวกเตอร์คงที่) และหารด้วยสอง:

ในมิติที่สูงขึ้น[ แก้ไข]

ในการเปรียบเทียบกับข้ามส่วนของของแข็งที่ข้ามส่วนของnมิติของร่างกายในnพื้นที่มิติเป็นสี่แยกที่ไม่ว่างเปล่าของร่างกายด้วยไฮเปอร์เพล (เป็น( n - 1)สเปซมิติ) . บางครั้งแนวคิดนี้ถูกนำมาใช้เพื่อช่วยให้เห็นภาพของช่องว่างมิติที่สูงขึ้น [7]ตัวอย่างเช่นถ้าวัตถุสี่มิติผ่านพื้นที่สามมิติของเราเราจะเห็นภาพตัดขวางสามมิติของวัตถุสี่มิติ โดยเฉพาะอย่างยิ่งลูกบอล 4 ลูก (ไฮเปอร์สเฟียร์) ที่ผ่านพื้นที่ 3 ช่องจะปรากฏเป็นลูกบอล 3 ลูกที่เพิ่มขึ้นสูงสุดและลดขนาดลงในระหว่างการเปลี่ยนแปลง วัตถุไดนามิกนี้ (จากมุมมองของ 3 ช่องว่าง) เป็นลำดับของหน้าตัดของ 4 ลูก

ตัวอย่างในวิทยาศาสตร์[ แก้]

แผนผังภาพตัดขวางของการตกแต่งภายในของโลก
ภาพตัดขวางของสมองส่วนกลางที่ระดับของลำไส้ใหญ่ที่เหนือกว่า
Pinus taedaข้ามส่วนแสดงแหวนประจำปี Cheraw, เซาท์แคโรไลนา

ในทางธรณีวิทยาโครงสร้างภายในของดาวเคราะห์มักจะแสดงโดยใช้แผนภาพของส่วนตัดขวางของดาวเคราะห์ที่ผ่านศูนย์กลางของดาวเคราะห์เช่นเดียวกับภาพตัดขวางของโลกทางด้านขวา

ภาพตัดขวางมักใช้ในกายวิภาคศาสตร์เพื่อแสดงโครงสร้างภายในของอวัยวะดังที่แสดงไว้ทางด้านซ้าย

ภาพตัดขวางของลำต้นของต้นไม้ดังที่แสดงไว้ด้านซ้ายเผยให้เห็นวงแหวนการเจริญเติบโตที่สามารถใช้เพื่อค้นหาอายุของต้นไม้และคุณสมบัติชั่วคราวของสภาพแวดล้อมได้

ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]

  • เรขาคณิตเชิงพรรณนา
  • ภาพวาดมุมมองที่ระเบิด
  • การฉายภาพกราฟิก
  • แผน (ภาพวาด)
  • มาตรวัดโปรไฟล์

หมายเหตุ[ แก้ไข]

  1. ^ Swokowski 1983พี 296
  2. ^ ในภาษาทางเทคนิคมากขึ้นหน้าตัดของ 3 ลูกคือ 2 ลูก
  3. ^ อัลเบิร์ 2016พี 38
  4. ^ Swokowski 1983พี 716
  5. ^ อัลเบิร์ 2016พี 117
  6. ^ กระบอกสูบเหล่านี้เปิดอยู่ไม่มีฐาน
  7. ^ สจ๊วต 2001พี 59

อ้างอิง[ แก้ไข]

  • Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
  • Stewart, Ian (2001), Flatterland / like flatland, only more so , Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X
  • Swokowski, Earl W. (1983), แคลคูลัสพร้อมเรขาคณิตวิเคราะห์ (Alternate ed.), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7