จุดวิกฤต (คณิตศาสตร์)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา
abscissae ( "x พิกัด") ของวงกลมสีแดงที่มีจุดนิ่ง; สี่เหลี่ยมสีน้ำเงินเป็นจุดเปลี่ยน

จุดสำคัญเป็นคำกว้างใช้ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์

เมื่อจัดการกับฟังก์ชั่นของตัวแปรจริงเป็นจุดสำคัญจุดในโดเมนของฟังก์ชันที่ฟังก์ชั่นที่มีทั้งไม่อนุพันธ์หรืออนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์[1]เมื่อจัดการกับตัวแปรที่ซับซ้อนซึ่งเป็นจุดสำคัญคือในทำนองเดียวกันจุดในโดเมนของฟังก์ชันที่มันเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งไม่ได้holomorphicหรืออนุพันธ์เท่ากับศูนย์[2] [3]ในทำนองเดียวกันสำหรับฟังก์ชั่นของตัวแปรจริงหลายเป็นจุดสำคัญคือค่าประสิทธิภาพสูงที่ลาดจะไม่ได้กำหนดหรือเท่ากับศูนย์[4]

ค่าของฟังก์ชั่นที่เป็นจุดสำคัญที่ได้คือค่าวิกฤต

คำจำกัดความประเภทนี้ขยายไปถึงแผนที่ที่แยกความแตกต่างได้ระหว่างR mและR nซึ่งเป็นจุดวิกฤตในกรณีนี้ จุดที่อันดับของเมทริกซ์จาโคเบียนไม่มีค่าสูงสุด มันขยายเพิ่มเติมไปยังแผนที่ที่แยกได้ระหว่างท่อร่วมที่แตกต่างกันเนื่องจากจุดที่ตำแหน่งของเมทริกซ์จาโคเบียนลดลง ในกรณีนี้จุดสำคัญที่เรียกว่าแยกไปสองจุด

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าCเป็นเส้นโค้งระนาบ ที่กำหนดโดยสมการโดยปริยาย f ( x , y ) = 0 จุดวิกฤตของการฉายภาพบนแกนxขนานกับแกนyคือจุดที่แทนเจนต์กับCขนานกับแกนyนั่นคือจุดที่. กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดวิกฤตคือจุดที่ไม่ใช้ ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย

แนวคิดเรื่องจุดวิกฤตช่วยให้สามารถอธิบายทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์ทางดาราศาสตร์ที่ไม่สามารถอธิบายได้ก่อนยุคโคเปอร์นิคัจุดนิ่งอยู่ในวงโคจรของดาวเคราะห์ที่เป็นจุดของการโคจรของดาวเคราะห์ในการทรงกลมฟ้าที่การเคลื่อนไหวของดาวเคราะห์ที่ดูเหมือนว่าจะหยุดก่อนที่จะเริ่มต้นใหม่ในทิศทางอื่น ๆ นี้เกิดขึ้นเนื่องจากเป็นจุดสำคัญของการประมาณการของวงโคจรเข้าไปในวงกลมสุริยุปราคา

จุดวิกฤตของฟังก์ชันตัวแปรเดียว

จุดสำคัญของการทำงานของเดียวตัวแปรจริง , F ( x ) เป็นค่าx 0ในโดเมนของFที่มันไม่ได้เป็นอนุพันธ์หรือของอนุพันธ์คือ 0 ( F ( x 0 ) = 0) [1]ค่าวิกฤตคือภาพภายใต้ของจุดสำคัญ แนวคิดเหล่านี้อาจมองเห็นได้ผ่านกราฟของf : ที่จุดวิกฤต กราฟจะมีเส้นสัมผัสแนวนอนหากคุณสามารถกำหนดได้ทั้งหมด

สังเกตว่า สำหรับฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล จุดวิกฤตจะเหมือนกับจุดคงที่ได้อย่างไร

แม้ว่าจะมองเห็นได้ง่ายบนกราฟ (ซึ่งเป็นเส้นโค้ง) แนวคิดของจุดวิกฤตของฟังก์ชันจะต้องไม่สับสนกับแนวคิดของจุดวิกฤตในบางทิศทางของเส้นโค้ง (ดูคำจำกัดความโดยละเอียดด้านล่าง ) ถ้าg ( x , y ) เป็นฟังก์ชันอนุพันธ์ของตัวแปรสองตัว ดังนั้นg ( x , y ) = 0 คือสมการโดยปริยายของเส้นโค้ง จุดสำคัญเช่นโค้งสำหรับการฉายขนานกับแกน yแกน (แผนที่ ( x , Y ) → x) เป็นจุดของเส้นโค้งโดยที่ . ซึ่งหมายความว่าแทนเจนต์ของเส้นโค้งขนานกับแกนyและ ณ จุดนี้gไม่ได้กำหนดฟังก์ชันโดยปริยายจากxถึงy (ดูทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย ) ถ้า ( x 0 , Y 0 ) ดังกล่าวเป็นจุดสำคัญแล้วx 0เป็นที่สอดคล้องค่าวิกฤต จุดวิกฤตดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าจุดแฉกโดยโดยทั่วไป เมื่อxแปรผัน จะมีเส้นโค้งสองกิ่งที่ด้านของx 0และศูนย์ที่อีกด้านหนึ่ง

จากคำจำกัดความเหล่านี้ฟังก์ชันดิฟเฟอ เรนติเอเบิล f ( x ) มีจุดวิกฤตx 0 ที่มีค่าวิกฤตy 0ถ้าหาก ( x 0 , y 0 ) เป็นจุดวิกฤตของกราฟสำหรับการฉายภาพขนานกับx -axis ที่มีค่าวิกฤตเท่ากันy 0 .หากfไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x 0เนื่องจากแทนเจนต์ขนานกับแกน y แล้ว x 0จะเป็นจุดวิกฤตของfอีกครั้งแต่ตอนนี้ (x 0 , y 0) เป็นจุดวิกฤตของกราฟสำหรับการฉายภาพขนานกับแกน y

ตัวอย่างเช่น จุดวิกฤตของวงกลมหนึ่งหน่วยของสมการx 2 + y 2 - 1 = 0 คือ (0, 1) และ (0, -1) สำหรับการฉายภาพขนานกับแกนxและ (1, 0) และ (-1, 0) สำหรับทิศทางที่ขนานกับแกนy หากพิจารณาครึ่งวงกลมบนเป็นกราฟของฟังก์ชันจากนั้นx = 0 เป็นจุดวิกฤตที่มีค่าวิกฤต 1 เนื่องจากอนุพันธ์เท่ากับ 0 และ x=-1 และ x=1 เป็นจุดวิกฤตที่มีค่าวิกฤต 0 เนื่องจากอนุพันธ์ไม่ได้กำหนดไว้

ตัวอย่าง

  • ฟังก์ชันf ( x ) = x 2 + 2 x + 3 สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ โดยอนุพันธ์f ′( x ) = 2 x + 2 ฟังก์ชันนี้มีจุดวิกฤติเฉพาะ -1 เนื่องจากเป็นจำนวนเฉพาะx 0ที่ 2 x 0 + 2 = 0 จุดนี้เป็นขั้นต่ำทั่วโลกของฉค่าวิกฤตที่สอดคล้องกันคือf (-1) = 2 กราฟของfคือพาราโบลาเว้าขึ้นจุดวิกฤตคือจุดตัดของจุดยอด โดยที่เส้นสัมผัสอยู่ในแนวนอน และค่าวิกฤตคือพิกัดของจุดยอดและอาจแทนด้วยจุดตัดของเส้นสัมผัสนี้กับแกนy
  • ฟังก์ชันf ( x ) = x 2/3ถูกกำหนดไว้สำหรับxทั้งหมดและหาอนุพันธ์ได้สำหรับx ≠ 0 โดยอนุพันธ์f ′( x ) = 2 x −1/3 /3 เนื่องจากfไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ x=0 และf'(x)≠0ไม่เช่นนั้น จึงเป็นจุดวิกฤตเฉพาะ กราฟของฟังก์ชันfมียอดที่จุดนี้ด้วยแทนเจนต์แนวตั้ง ค่าวิกฤตที่สอดคล้องกันคือf (0) = 0
  • ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ f (x) = | x | สามารถหาอนุพันธ์ได้ทุกที่ยกเว้นที่จุดวิกฤต x=0 โดยที่จุดต่ำสุดของโลกที่มีค่าวิกฤตเป็น 0
  • ฟังก์ชันf ( x ) = 1/ xไม่มีจุดวิกฤต จุด x = 0 ไม่ใช่จุดวิกฤติเพราะไม่รวมอยู่ในโดเมนของฟังก์ชัน

ตำแหน่งของจุดวิกฤต

ตามทฤษฎีบทเกาส์-ลูคัสจุดวิกฤตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนอยู่ภายในเปลือกนูนของรากของฟังก์ชัน ดังนั้นสำหรับฟังก์ชันพหุนามที่มีรากจริงเท่านั้น จุดวิกฤตทั้งหมดจึงเป็นของจริงและอยู่ระหว่างรากที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด

การคาดคะเนของ Sendovยืนยันว่า ถ้ารากของฟังก์ชันทั้งหมดอยู่ในดิสก์ยูนิตในระนาบเชิงซ้อน แสดงว่ามีจุดวิกฤตอย่างน้อยหนึ่งจุดภายในระยะหน่วยของรูทที่กำหนด

จุดวิกฤตของเส้นโค้งโดยนัย

จุดสำคัญที่มีบทบาทสำคัญในการศึกษาของcurves เครื่องบินกำหนดโดยสมการโดยปริยายโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับร่างพวกเขาและพวกเขากำหนดโครงสร้าง แนวคิดเกี่ยวกับจุดวิกฤตที่ใช้ในหัวข้อนี้อาจดูแตกต่างไปจากหัวข้อที่แล้ว ในความเป็นจริงมันเป็นความเชี่ยวชาญที่จะเป็นกรณีที่เรียบง่ายของความคิดทั่วไปของจุดสำคัญที่กำหนดดังต่อไปนี้

ดังนั้นเราจึงพิจารณาเส้นโค้งC ที่กำหนดโดยสมการโดยปริยายที่เป็นฟังก์ชั่นอนุพันธ์ของทั้งสองตัวแปรปกติพหุนาม bivariate จุดของเส้นโค้งคือจุดของระนาบแบบยุคลิดซึ่งพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นไปตามสมการ มีการฉายภาพมาตรฐานสองแบบ และ , ที่กำหนดโดย และ ที่แมโค้งบนแกนพิกัด เรียกว่าเส้นโครงขนานกับแกน yและเส้นโครงขนานกับแกน xตามลำดับ

จุดCเป็นสิ่งสำคัญสำหรับ ถ้าสัมผัสเพื่อCมีอยู่และเป็นขนานไปกับYแกน ในกรณีนั้นภาพโดยของจุดที่สำคัญและสัมผัสกันเป็นจุดเดียวกันของxแกนเรียกว่าคุ้มค่าที่สำคัญ ดังนั้นจุดเป็นสิ่งสำคัญสำหรับถ้าพิกัดของมันคือคำตอบของระบบสมการ :

นี่ก็หมายความว่าคำนิยามนี้เป็นกรณีพิเศษของความหมายทั่วไปของการเป็นจุดสำคัญที่จะได้รับด้านล่าง

คำจำกัดความของจุดวิกฤตสำหรับ คล้ายกัน. ถ้าCเป็นกราฟของฟังก์ชัน ดังนั้น( x , y )จึงมีความสำคัญสำหรับก็ต่อเมื่อxเป็นจุดวิกฤตของgและค่าวิกฤตนั้นเหมือนกัน

ผู้เขียนบางคนกำหนดจุดวิกฤตของCเป็นจุดที่สำคัญสำหรับทั้ง หรือ แม้ว่าจะไม่ได้ขึ้นอยู่กับCเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับการเลือกแกนพิกัดด้วย ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผู้เขียนด้วยว่าจุดเอกพจน์ถือเป็นจุดวิกฤติหรือไม่ อันที่จริงจุดเอกพจน์คือจุดที่ตอบสนอง

,

และเป็นคำตอบของสมการระบบใดระบบหนึ่งที่แสดงลักษณะจุดวิกฤต ด้วยคำจำกัดความทั่วไปนี้ จุดวิกฤตสำหรับเป็นจุดที่ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายใช้ไม่ได้

การใช้การเลือกปฏิบัติ

เมื่อเส้นโค้งCเป็นพีชคณิต นั่นคือเมื่อถูกกำหนดโดยพหุนามสองตัวแปรfแล้วdiscriminantเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์ในการคำนวณจุดวิกฤต

ที่นี่เราพิจารณาเฉพาะการฉายภาพ ; ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนำไปใช้กับโดยการแลกเปลี่ยนxและy ที่

อนุญาตเป็นจำแนกของมองว่าเป็นพหุนามในปีที่มีสัมประสิทธิ์ที่มีหลายชื่อในx การเลือกปฏิบัตินี้จึงเป็นพหุนามในxซึ่งมีค่าวิกฤตของ ท่ามกลางรากของมัน

ให้เจาะจงกว่านั้น รากง่ายๆ ของ เป็นค่าวิกฤตของ จุดวิกฤตที่สอดคล้องกันนั้นคือจุดที่ไม่เป็นเอกพจน์หรือจุดผันแปร หรือพิกัดxของเส้นกำกับที่ขนานกับแกนyและสัมผัสกัน "ที่อนันต์" กับจุดเปลี่ยนเว้า (เส้นกำกับการโค้งงอ )

รากของการเลือกปฏิบัติหลายรากสอดคล้องกับจุดวิกฤตหลายจุดหรือเส้นกำกับการผันแปรที่แบ่งปันค่าวิกฤตเดียวกัน หรือจุดวิกฤตซึ่งเป็นจุดเปลี่ยนเว้าหรือจุดเอกพจน์

หลายตัวแปร

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวจุดP (นั่นคือชุดของค่าสำหรับตัวแปรอินพุต ซึ่งถูกมองว่าเป็นจุดในR n ) มีความสำคัญหากเป็นจุดที่ไม่ได้กำหนดระดับการไล่ระดับสีหรือการไล่ระดับสีเป็นศูนย์ . [4]ค่าวิกฤตคือค่าของฟังก์ชันที่จุดวิกฤต

จุดสำคัญ (ที่ฟังก์ชั่นเป็นอนุพันธ์) อาจเป็นสูงสุดในท้องถิ่นเป็นขั้นต่ำในท้องถิ่นหรือจุดอานถ้าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องอย่างน้อยสองครั้ง กรณีต่างๆ อาจถูกแยกความแตกต่างโดยพิจารณาจากค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เฮสเซียนของอนุพันธ์อันดับสอง

จุดวิกฤตที่เมทริกซ์ Hessian เป็นnonsingularเรียกว่าnondegenerateและสัญญาณของค่าลักษณะเฉพาะของ Hessian จะกำหนดพฤติกรรมท้องถิ่นของฟังก์ชัน ในกรณีของฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว Hessian เป็นเพียงอนุพันธ์อันดับสองถูกมองว่าเป็น 1×1-matrix ซึ่งไม่ใช่เอกพจน์ก็ต่อเมื่อไม่ใช่ศูนย์เท่านั้น ในกรณีนี้ จุดวิกฤตที่ไม่เสื่อมลงคือค่าสูงสุดในพื้นที่หรือค่าต่ำสุดในพื้นที่ ขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง ซึ่งเป็นค่าบวกสำหรับค่าต่ำสุดในพื้นที่และค่าลบสำหรับค่าสูงสุดในพื้นที่ หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นโมฆะ โดยทั่วไปจุดวิกฤตคือจุดผันแปรแต่อาจเป็นจุดคลื่นซึ่งอาจเป็นค่าต่ำสุดในท้องถิ่นหรือค่าสูงสุดในพื้นที่

สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรnตัว จำนวนค่าลักษณะเฉพาะเชิงลบของเมทริกซ์เฮสเซียนที่จุดวิกฤตเรียกว่าดัชนีของจุดวิกฤต จุดวิกฤตที่ไม่เสื่อมโทรมเป็นค่าสูงสุดในพื้นที่ก็ต่อเมื่อดัชนีเป็นnหรือเทียบเท่า ถ้าเมทริกซ์เฮสเซียนเป็นค่าลบแน่นอน ; มันเป็นอย่างน้อยในท้องที่หากดัชนีมีค่าเป็นศูนย์หรือเท่ากันถ้าเมทริกซ์รัฐเป็นบวกแน่นอน สำหรับค่าอื่นๆ ของดัชนี จุดวิกฤตที่ไม่เสื่อมสภาพคือ จุดอานซึ่งเป็นจุดที่สูงสุดในบางทิศทางและต่ำสุดในบางทิศทาง

แอปพลิเคชันเพื่อการเพิ่มประสิทธิภาพ

โดยทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ทั้งหมดท้องถิ่นจุดสูงสุดและจุดต่ำสุดของฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องเกิดขึ้นที่จุดสำคัญ ดังนั้น ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิล ในทางทฤษฎี ก็เพียงพอแล้วที่จะคำนวณค่าศูนย์ของการไล่ระดับสีและค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์เฮสเซียนที่ศูนย์เหล่านี้ วิธีนี้ใช้ไม่ได้ผลในทางปฏิบัติเพราะต้องการคำตอบของระบบสมการไม่เชิงเส้นของสมการซึ่งเป็นงานที่ยาก ปกติขั้นตอนวิธีเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการหา extrema ท้องถิ่น แต่ไม่สามารถรับรองว่า extrema ทั้งหมดได้รับการค้นพบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการเพิ่มประสิทธิภาพระดับโลกวิธีการเหล่านี้ไม่สามารถรับรองได้ว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นเหมาะสมที่สุดในระดับสากล

เมื่อฟังก์ชันที่จะย่อเล็กสุดเป็นพหุนามหลายตัวแปรจุดวิกฤตและค่าวิกฤตเป็นคำตอบของระบบสมการพหุนามและอัลกอริธึมที่ทันสมัยสำหรับการแก้ระบบดังกล่าวจะให้วิธีการที่ได้รับการรับรองในการแข่งขันเพื่อหาค่าต่ำสุดของโลก

จุดวิกฤตของแผนที่อนุพันธ์

กำหนดแผนที่อนุพันธ์จากR เมตรเข้าไปในR nที่จุดสำคัญของFเป็นจุดของR เมตรที่อันดับของเมทริกซ์จาโคเบียนของไม่สูงสุด[5]ภาพของจุดวิกฤตภายใต้fเรียกว่าค่าวิกฤต . จุดในส่วนประกอบของชุดของค่าที่สำคัญที่จะเรียกว่าเป็นค่าปกติ ทฤษฎีบทของพลอยกล่าวว่าชุดของค่าที่สำคัญของแผนที่เรียบมีวัดเป็นศูนย์

นักเขียนบางคน[6]ให้ความหมายที่แตกต่างกันเล็กน้อยคือจุดสำคัญของFเป็นจุดของR เมตรที่อันดับของเมทริกซ์จาโคเบียนของน้อยกว่าn ด้วยแบบแผนนี้ จุดทั้งหมดมีความสำคัญเมื่อm < n .

คำจำกัดความเหล่านี้ขยายไปถึงแผนที่ดิฟเฟอเรนเชียลระหว่างท่อร่วมที่แตกต่างกันด้วยวิธีต่อไปนี้ อนุญาตเป็นแผนที่ที่แตกต่างกันระหว่างสอง manifolds VและWขนาดนั้นmและn ในเขตของจุดPของVและF ( P ) , ชาร์ตเป็นdiffeomorphisms และ จุดpมีความสำคัญสำหรับf if เป็นสิ่งสำคัญสำหรับ คำจำกัดความนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกแผนภูมิเนื่องจากการเปลี่ยนแผนที่เป็นแบบดิฟฟิโอมอร์ฟิซึม เมทริกซ์จาโคเบียนของพวกมันจะกลับด้านได้ และการคูณด้วยพวกมันไม่ได้ปรับเปลี่ยนอันดับของเมทริกซ์จาโคเบียนของ ถ้าMเป็นนานาฮิลแบร์ต (ไม่จำเป็นต้อง จำกัด มิติ) และFเป็นฟังก์ชันค่าจริงแล้วเราบอกว่าหน้าเป็นจุดสำคัญของการถ้าคือไม่จมน้ำที่หน้า [7]

การประยุกต์ใช้โทโพโลยี

จุดที่สำคัญเป็นพื้นฐานสำหรับการศึกษาโครงสร้างของท่อและพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาเป็นเครื่องมือพื้นฐานสำหรับทฤษฎีมอร์สและทฤษฎีการเกิดภัยพิบัติ

ความเชื่อมโยงระหว่างจุดวิกฤตและโทโพโลยีปรากฏขึ้นที่ระดับนามธรรมที่ต่ำกว่าแล้ว ตัวอย่างเช่น ให้ เป็นท่อร่วมย่อยของ และPเป็นจุดนอกกำลังสองของระยะทางถึงPของจุด เป็นแผนผังส่วนต่างที่แต่ละองค์ประกอบที่เชื่อมต่อกันของ มีจุดวิกฤตอย่างน้อยที่สุด ซึ่งระยะห่างน้อยที่สุด ตามมาด้วยจำนวนส่วนประกอบที่เกี่ยวโยงกันของ ถูกจำกัดด้วยจำนวนจุดวิกฤต

ในกรณีของพีชคณิตที่แท้จริง การสังเกตที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของเบโซต์ทำให้เราสามารถผูกจำนวนองค์ประกอบที่เชื่อมต่อกันด้วยฟังก์ชันของดีกรีของพหุนามที่กำหนดความหลากหลาย

ดูเพิ่มเติม

  • จุดเอกพจน์ของเส้นโค้ง
  • ทฤษฎีภาวะเอกฐาน
  • ทฤษฎีบทเกาส์–ลูคัส

อ้างอิง

  1. ^ ข ปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ Demidovǐc, Boris P. , Baranenkov, G. มอสโก(IS): Moskva. พ.ศ. 2507 ISBN 0846407612. OCLC  799468131 .CS1 maint: อื่น ๆ ( ลิงค์ )
  2. ^ 1941- สจ๊วตเจมส์ (2008) แคลคูลัส : วิชญ์ยุคแรก (ฉบับที่ 6) เบลมอนต์ แคลิฟอร์เนีย: Thomson Brooks/Cole ISBN 9780495011668. ส ธ . 144526840 .CS1 maint: ชื่อตัวเลข: รายชื่อผู้แต่ง ( ลิงค์ )
  3. ^ 1941-, Larson รอน (2010) แคลคูลัส . เอ็ดเวิร์ดส์, บรูซ เอช., 2489- (ฉบับที่ 9) เบลมอนต์ แคลิฟอร์เนีย: บรู๊คส์/โคล การเรียนรู้ Cengage ISBN 9780547167022. OCLC  319729593 .CS1 maint: ชื่อตัวเลข: รายชื่อผู้แต่ง ( ลิงค์ )
  4. อรรถเป็น ข อดัมส์ โรเบิร์ต เอ.; เอสเซ็กซ์, คริสโตเฟอร์ (2009). แคลคูลัส: เป็นหลักสูตรที่สมบูรณ์ เพียร์สัน Prentice Hall NS. 744 . ISBN 978-0-321-54928-0.
  5. ^ Carmo, Manfredo Perdigao ทำ (1976) เรขาคณิตต่างกันของเส้นโค้งและพื้นผิว Upper Saddle River, นิวเจอร์ซีย์: Prentice-Hall ISBN 0-13-212589-7.
  6. ^ ลาฟงแตน, ฌาคส์ (2015). บทนำสู่ดิฟเฟอเรนเชียลแมนิโฟลด์ สำนักพิมพ์สปริงเกอร์อินเตอร์เนชั่นแนล ดอย : 10.1007/978-3-319-20735-3 . ISBN 978-3-319-20734-6.
  7. ^ เสิร์จ หรั่ง , Fundamentals of Differential Geometry p. 186ดอย : 10.1007/978-1-4612-0541-8