เรขาคณิตวิเคราะห์

กรีกโบราณ

กรีกคณิตศาสตร์Menaechmusแก้ไขปัญหาและได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้วิธีการที่มีความแข็งแกร่งคล้ายคลึงกับการใช้งานของพิกัดและจะได้รับบางครั้งก็ยืนยันว่าเขาได้นำเรขาคณิตวิเคราะห์ ^[1]

Apollonius of PergaในOn Determinate Sectionได้จัดการกับปัญหาในลักษณะที่อาจเรียกได้ว่าเป็นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ในมิติเดียว กับคำถามในการหาจุดบนเส้นที่มีอัตราส่วนกับเส้นอื่นๆ ^[2] Apollonius ในConicsได้พัฒนาวิธีการที่คล้ายกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่งบางครั้งคิดว่างานของเขาสามารถคาดการณ์การทำงานของDescartes ได้ประมาณ 1800 ปี การประยุกต์ใช้เส้นอ้างอิง เส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นสัมผัสของเขานั้นไม่แตกต่างจากการใช้กรอบพิกัดในปัจจุบันของเรา โดยที่ระยะทางที่วัดตามเส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดสัมผัสคือ abscissas และส่วนที่ขนานกับแทนเจนต์และถูกสกัดกั้นระหว่าง แกนและเส้นโค้งเป็นพิกัด เขาได้พัฒนาความสัมพันธ์ระหว่าง abscissas และพิกัดที่สอดคล้องกันซึ่งเทียบเท่ากับสมการเชิงวาทศิลป์ของเส้นโค้ง อย่างไรก็ตาม แม้ว่า Apollonius จะเข้าใกล้การพัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ แต่เขาไม่สามารถทำเช่นนั้นได้ เนื่องจากเขาไม่ได้คำนึงถึงขนาดลบและในทุกกรณี ระบบพิกัดจะถูกซ้อนทับบนเส้นโค้งที่กำหนดให้เป็นส่วนหลังแทนที่จะเป็นระดับความสำคัญ นั่นคือสมการถูกกำหนดโดยเส้นโค้ง แต่เส้นโค้งไม่ได้ถูกกำหนดโดยสมการ พิกัด ตัวแปร และสมการเป็นแนวคิดย่อยที่ใช้กับสถานการณ์ทางเรขาคณิตเฉพาะ ^[3]

เปอร์เซีย

ศตวรรษที่ 11 เปอร์เซียคณิตศาสตร์โอมาร์คัยยามเห็นความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งระหว่างรูปทรงเรขาคณิตและพีชคณิตและเป็นไปในทิศทางที่ถูกต้องเมื่อเขาช่วยปิดช่องว่างระหว่างตัวเลขและพีชคณิตเรขาคณิต^[4]กับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตของเขาทั่วไปสมลูกบาศก์ , ^[5]แต่ขั้นตอนชี้ขาดมาภายหลังกับเดส์การตส์ ^[4] Omar Khayyam ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ระบุรากฐานของเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตและหนังสือของเขาเรื่องTreatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070) ซึ่งวางหลักการของเรขาคณิตวิเคราะห์ไว้ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ของเปอร์เซีย สู่ยุโรป ^[6]เนื่องจากวิธีการเชิงเรขาคณิตอย่างละเอียดถี่ถ้วนของเขาในสมการพีชคณิต Khayyam ถือได้ว่าเป็นปูชนียบุคคลของ Descartes ในการประดิษฐ์เรขาคณิตวิเคราะห์ ^{[7] : 248}

ยุโรปตะวันตก

เรขาคณิตวิเคราะห์ถูกคิดค้นโดยอิสระโดยRené Descartesและปิแอร์เดอแฟร์มาต์ , ^{[8] [9]}แม้ว่า Descartes บางครั้งจะได้รับเครดิต แต่เพียงผู้เดียว ^{[10] [11]} เรขาคณิตคาร์ทีเซียนคำศัพท์ทางเลือกที่ใช้สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์ ตั้งชื่อตามเดส์การต

เดส์การตมีความก้าวหน้าอย่างมากด้วยวิธีการต่างๆ ในบทความเรื่องLa Geometrie (Geometry)ซึ่งเป็นหนึ่งในสามบทความประกอบ (ภาคผนวก) ที่ตีพิมพ์ในปี 1637 ร่วมกับDiscourse on the Method for Rightly Directing One's Reason and Searching for Truth in the Sciencesโดยทั่วไป เรียกว่าเป็นวาทกรรมเกี่ยวกับวิธีการ La Geometrieซึ่งเขียนด้วยภาษาฝรั่งเศสพื้นเมืองของเขาและหลักการทางปรัชญาเป็นรากฐานสำหรับแคลคูลัสในยุโรป ในขั้นต้น งานไม่ได้รับการตอบรับอย่างดี เนื่องในบางส่วน ช่องว่างมากมายในการโต้แย้งและสมการที่ซับซ้อน หลังจากการแปลเป็นภาษาละตินและการเพิ่มคำอธิบายโดยVan Schootenในปี 1649 (และงานต่อไปหลังจากนั้น) ผลงานชิ้นเอกของ Descartes ก็ได้รับการยอมรับ ⁽¹²⁾

ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ยังเป็นผู้บุกเบิกการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์อีกด้วย แม้ว่าจะไม่ได้รับการตีพิมพ์ในชีวิตของเขาเป็นรูปแบบที่เขียนด้วยลายมือของโฆษณาโลคอส Planos et solidos Isagoge (รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเครื่องบินและของแข็ง Loci) คือการหมุนเวียนในปารีสในปี 1637 ก่อนที่จะมีการตีพิมพ์ของ Descartes ฯวาทกรรม ^{[13] [14] [15]}เขียนได้ชัดเจนและได้รับการตอบรับอย่างดีบทนำยังวางรากฐานสำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์ ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการรักษาของแฟร์มาต์และเดส์การตเป็นเรื่องของมุมมอง: แฟร์มาต์เริ่มต้นด้วยสมการพีชคณิตเสมอแล้วจึงอธิบายเส้นโค้งเรขาคณิตที่พึงพอใจ ในขณะที่เดส์การตเริ่มต้นด้วยเส้นโค้งเรขาคณิตและสร้างสมการเป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลายประการของเส้นโค้ง . ^[12]เป็นผลมาจากวิธีการนี้ Descartes มีการจัดการกับสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นและเขามีการพัฒนาวิธีการที่จะทำงานร่วมกับสมการพหุนามของระดับที่สูงขึ้น ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นคนแรกที่ใช้วิธีพิกัดในการศึกษาเส้นโค้งและพื้นผิวของอวกาศอย่างเป็นระบบ

ภาพประกอบของระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน จุดสี่จุดถูกทำเครื่องหมายและติดป้ายกำกับด้วยพิกัด: (2,3) สีเขียว (−3,1) เป็นสีแดง (−1.5,−2.5) เป็นสีน้ำเงินและจุดกำเนิด (0,0) เป็นสีม่วง

ในเรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบินจะได้รับระบบพิกัด โดยที่ทุกจุดมีพิกัดจำนวนจริงคู่หนึ่ง ในทำนองเดียวกันพื้นที่แบบยุคลิดจะได้รับพิกัดซึ่งทุกจุดมีสามพิกัด ค่าของพิกัดขึ้นอยู่กับการเลือกจุดเริ่มต้นที่มา มีการใช้ระบบพิกัดหลากหลายรูปแบบ แต่ระบบพิกัดโดยทั่วไปมีดังต่อไปนี้^[16]

พิกัดคาร์ทีเซียน (ในเครื่องบินหรืออวกาศ)

ระบบพิกัดที่ใช้กันมากที่สุดคือระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยที่แต่ละจุดมีพิกัดxแทนตำแหน่งแนวนอน และพิกัดyแทนตำแหน่งแนวตั้ง โดยทั่วไปจะเขียนเป็นคู่ลำดับ ( x ,  y ) ระบบนี้ยังสามารถใช้สำหรับเรขาคณิตสามมิติ ซึ่งทุกจุดในปริภูมิแบบยุคลิดจะถูกแทนด้วยพิกัดสามเท่า ( x ,  y ,  z )

พิกัดเชิงขั้ว (ในเครื่องบิน)

ในพิกัดเชิงขั้วทุกจุดของระนาบจะแสดงด้วยระยะห่างrจากจุดกำเนิดและมุม θโดยปกติθจะวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกนxบวก เมื่อใช้สัญกรณ์นี้ คะแนนมักจะเขียนเป็นคู่ลำดับ ( r , θ ) หนึ่งอาจแปลงกลับไปกลับมาระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติและเชิงขั้วโดยใช้สูตรเหล่านี้:${\displaystyle x=r\,\cos \theta ,\,y=r\,\sin \theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\ ทีต้า =\arctan(y/x)}$. ระบบนี้อาจถูกทำให้เป็นแบบทั่วไปเป็นพื้นที่สามมิติโดยใช้พิกัดทรงกระบอกหรือทรงกลม

พิกัดทรงกระบอก (ในช่องว่าง)

ในพิกัดทรงกระบอกจุดทุกพื้นที่เป็นตัวแทนจากความสูงZมันรัศมี RจากZแกนและมุม θฉายบนXYทำให้เครื่องบินที่เกี่ยวกับแกนนอน

พิกัดทรงกลม (ในช่องว่าง)

ในพิกัดทรงกลมทุกจุดในอวกาศจะแสดงด้วยระยะห่างρจากจุดกำเนิดมุม θการฉายภาพบนระนาบ xyเทียบกับแกนนอน และมุมφที่ทำกับแกนz . ชื่อของมุมมักจะกลับกันในทางฟิสิกส์ ^[16]

ในเรขาคณิตวิเคราะห์สมการใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับพิกัดจะระบุชุดย่อยของระนาบ กล่าวคือชุดคำตอบสำหรับสมการ หรือโลคัส ตัวอย่างเช่น สมการy  =  xสอดคล้องกับเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่พิกัดxและพิกัดyเท่ากัน จุดเหล่านี้ก่อตัวเป็นเส้นตรงและy  =  xเรียกว่าสมการสำหรับเส้นนี้ โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับxและy จะระบุเส้นสมการกำลังสองระบุส่วนทรงกรวยและสมการที่ซับซ้อนกว่านั้นอธิบายตัวเลขที่ซับซ้อนกว่า ^[17]

โดยปกติ สมการเดียวจะสอดคล้องกับเส้นโค้งบนระนาบ นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป: สมการเล็กน้อยx  =  xระบุระนาบทั้งหมด และสมการx ²  +  y ²  = 0 ระบุเฉพาะจุดเดียว (0, 0) ในสามมิติสมเดียวมักจะช่วยให้พื้นผิวและเส้นโค้งจะต้องระบุเป็นจุดตัดของสองพื้นผิว (ดูด้านล่าง) หรือเป็นระบบของสมการตัวแปร ^[18]สมการx ²  +  y ²  =  r ²คือสมการของวงกลมใดๆ ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด (0, 0) ด้วยรัศมี r

เส้นและเครื่องบิน

เส้นในระนาบคาร์ทีเซียนหรือโดยทั่วไป ในพิกัดความใกล้ชิดสามารถอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตได้ด้วยสมการเชิงเส้น ในสองมิติ สมการสำหรับเส้นไม่แนวตั้งมักจะถูกกำหนดในรูปแบบความชัน-ค่าตัดขวาง :

${\displaystyle y=mx+b\,}$

ที่ไหน:

เมตรเป็น ทางลาดชันหรือ การไล่ระดับสีของเส้น

bคือค่า ตัดแกน yของเส้นตรง

xเป็น ตัวแปรอิสระของฟังก์ชัน y = f ( x )

ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีการอธิบายเส้นในปริภูมิสองมิติโดยใช้รูปแบบจุด-ความชันสำหรับสมการ ระนาบในปริภูมิสามมิติมีคำอธิบายที่เป็นธรรมชาติโดยใช้จุดในระนาบและเวกเตอร์ตั้งฉากกับมัน ( เวกเตอร์ปกติ ) เพื่อระบุ "ความเอียง"

โดยเฉพาะ ให้ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของบางจุด ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$และให้ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ระนาบที่กำหนดโดยจุดนี้และเวกเตอร์ประกอบด้วยจุดเหล่านั้น${\displaystyle P}$, ด้วยตำแหน่ง vector ${\displaystyle \mathbf {r} }$, โดยที่เวกเตอร์ดึงมาจาก ${\displaystyle P_{0}}$ ถึง ${\displaystyle P}$ ตั้งฉากกับ ${\displaystyle \mathbf {n} }$. จำได้ว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากก็ต่อเมื่อดอทโปรดัคของพวกมันเป็นศูนย์ ระนาบที่ต้องการสามารถอธิบายเป็นเซตของจุดทั้งหมดได้${\displaystyle \mathbf {r} }$ ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$

(จุดที่นี่หมายถึงผลคูณดอทไม่ใช่การคูณสเกลาร์) ขยายนี้กลายเป็น

${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$

ซึ่งเป็นรูปแบบจุดปกติของสมการระนาบ ^[19]นี่เป็นเพียงสมการเชิงเส้น :

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ where }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$

ในทางกลับกัน จะแสดงให้เห็นได้ง่าย ๆ ว่าถ้าa , b , cและdเป็นค่าคงที่ และa , bและcไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด แสดงว่ากราฟของสมการนั้น

${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$

เป็นระนาบที่มีเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ตามปกติ ^[20]สมการที่คุ้นเคยสำหรับระนาบนี้เรียกว่ารูปแบบทั่วไปของสมการของระนาบ ^[21]

ในสามมิติ เส้นไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นเดียว ดังนั้นจึงมักอธิบายด้วยสมการพาราเมตริก :

${\displaystyle x=x_{0}+at\,}$

${\displaystyle y=y_{0}+bt\,}$

${\displaystyle z=z_{0}+ct\,}$

ที่ไหน:

x , y , และ zเป็นฟังก์ชันทั้งหมดของตัวแปรอิสระ tซึ่งอยู่ในช่วงของจำนวนจริง

( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) คือจุดใดๆ บนเส้น

a , bและ cสัมพันธ์กับความชันของเส้นตรง ทำให้ เวกเตอร์ ( a , b , c ) ขนานกับเส้นตรง

ส่วนรูปกรวย

ในระบบ Cartesian ประสานงานที่กราฟของสมการสองตัวแปรอยู่เสมอภาคตัดกรวย - แม้ว่ามันอาจจะเป็นคนเลวและทุกส่วนที่มีรูปกรวยเกิดขึ้นในลักษณะนี้ สมการจะอยู่ในรูป

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}\,}$

เนื่องจากการปรับขนาดค่าคงที่ทั้ง 6 ตัวทำให้ได้โลคัสที่เป็นศูนย์เท่ากัน เราสามารถพิจารณากรวยเป็นจุดในพื้นที่ฉายภาพห้ามิติได้ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

ส่วนรูปกรวยที่อธิบายโดยสมการนี้สามารถจำแนกได้โดยใช้การเลือกปฏิบัติ^[22]

${\displaystyle B^{2}-4AC.\,}$

หากรูปกรวยไม่เสื่อม แสดงว่า:

• ถ้า ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$, สมการแสดงถึงวงรี ;
  • ถ้า ${\displaystyle A=C}$ และ ${\displaystyle B=0}$สมการแทนวงกลมซึ่งเป็นกรณีพิเศษของวงรี
• ถ้า ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$, สมการแทนพาราโบลา ;
• ถ้า ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$, สมการแสดงถึงไฮเปอร์โบลา ;
  • ถ้าเรามี ${\displaystyle A+C=0}$สมการแสดงให้เห็นถึงhyperbola รูปสี่เหลี่ยม

พื้นผิวสี่เหลี่ยม

quadricหรือquadric พื้นผิวที่เป็น2มิติพื้นผิวในพื้นที่ 3 มิติกำหนดให้เป็นสถานทีของศูนย์ของพหุนามกำลังสอง ในพิกัดx ₁ , x ₂ , x _{3 สม}การกำลังสองทั่วไปถูกกำหนดโดยสมการพีชคณิต^[23]

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i} +R=0.}$

พื้นผิว quadric ได้แก่ellipsoids (รวมทั้งทรงกลม ) paraboloids , hyperboloids , ถัง , กรวยและเครื่องบิน

สูตรระยะทางบนเครื่องบินตามมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ความคิดทางเรขาคณิตเช่นระยะทางและมุมวัดจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร คำนิยามเหล่านี้ได้รับการออกแบบเพื่อให้สอดคล้องกับพื้นฐานรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น การใช้พิกัดคาร์ทีเซียนบนระนาบ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด ( x ₁ ,  y ₁ ) และ ( x ₂ ,  y ₂ ) ถูกกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},\!}$

ซึ่งสามารถดูได้ว่าเป็นรุ่นที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในทำนองเดียวกัน มุมที่เส้นสร้างกับแนวนอนสามารถกำหนดได้โดยสูตร

${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$

โดยที่mคือความชันของเส้นตรง

ในสามมิติ ระยะทางถูกกำหนดโดยการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1 })^{2}}},\!}$,

ในขณะที่มุมระหว่างสองเวกเตอร์จะได้รับจากผลิตภัณฑ์ dot ผลคูณดอทของเวกเตอร์แบบยุคลิดสองตัวAและBถูกกำหนดโดย^[24]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\ เพราะ \theta ,}$

ที่θคือมุมระหว่างและB

ก) y = f(x) = |x| b) y = f(x+3) c) y = f(x)-3 d) y = 1/2 f(x)

การแปลงจะใช้กับฟังก์ชันหลักเพื่อเปลี่ยนให้เป็นฟังก์ชันใหม่ที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกัน

กราฟของ ${\displaystyle R(x,y)}$ เปลี่ยนแปลงโดยการแปลงมาตรฐานดังนี้

• กำลังเปลี่ยน ${\displaystyle x}$ ถึง ${\displaystyle xh}$ เลื่อนกราฟไปทางขวา ${\displaystyle h}$ หน่วย
• กำลังเปลี่ยน ${\displaystyle y}$ ถึง ${\displaystyle yk}$ เลื่อนกราฟขึ้น ${\displaystyle k}$ หน่วย
• กำลังเปลี่ยน ${\displaystyle x}$ ถึง ${\displaystyle x/b}$ ยืดกราฟในแนวนอนด้วยปัจจัยของ ${\displaystyle b}$. (คิดถึง${\displaystyle x}$ ขณะที่ถูกขยาย)
• กำลังเปลี่ยน ${\displaystyle y}$ ถึง ${\displaystyle y/a}$ ยืดกราฟในแนวตั้ง
• กำลังเปลี่ยน ${\displaystyle x}$ ถึง ${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$ และการเปลี่ยนแปลง ${\displaystyle y}$ ถึง ${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$ หมุนกราฟเป็นมุม ${\displaystyle A}$.

มีการแปลงมาตรฐานอื่น ๆ ที่ไม่ได้ศึกษาโดยทั่วไปในเรขาคณิตวิเคราะห์เบื้องต้น เนื่องจากการแปลงจะเปลี่ยนรูปร่างของวัตถุในลักษณะที่ปกติไม่ได้พิจารณา การเบ้เป็นตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงที่ปกติแล้วไม่ได้พิจารณา สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดดูบทความวิกิพีเดียเลียนแบบแปลง

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันหลัก ${\displaystyle y=1/x}$มีเส้นกำกับแนวนอนและแนวตั้ง และอยู่ในจตุภาคที่หนึ่งและสาม และรูปแบบที่แปลงแล้วทั้งหมดมีเส้นกำกับแนวนอนและแนวตั้งเส้นเดียว และอยู่ในจตุภาคที่ 1 และ 3 หรือ 2 และ 4 โดยทั่วไป ถ้า${\displaystyle y=f(x)}$แล้วสามารถแปลงร่างเป็น .ได้ ${\displaystyle y=af(b(xk))+h}$. ในฟังก์ชันที่แปลงโฉมใหม่${\displaystyle a}$ เป็นปัจจัยที่ยืดฟังก์ชันในแนวตั้งถ้ามากกว่า 1 หรือบีบอัดฟังก์ชันในแนวตั้งถ้าน้อยกว่า 1 และสำหรับค่าลบ ${\displaystyle a}$ ค่าฟังก์ชันจะสะท้อนให้เห็นใน ${\displaystyle x}$-แกน. ${\displaystyle b}$ ค่าบีบอัดกราฟของฟังก์ชันในแนวนอนถ้ามากกว่า 1 และยืดฟังก์ชันในแนวนอนถ้าน้อยกว่า 1 และชอบ ${\displaystyle a}$, สะท้อนถึงฟังก์ชันใน ${\displaystyle y}$- แกนเมื่อเป็นลบ ${\displaystyle k}$ และ ${\displaystyle h}$ ค่าแนะนำการแปล ${\displaystyle h}$, แนวตั้ง และ ${\displaystyle k}$แนวนอน บวก${\displaystyle h}$ และ ${\displaystyle k}$ ค่าหมายถึงฟังก์ชันถูกแปลไปยังปลายด้านบวกของแกนและการแปลความหมายเชิงลบไปทางปลายด้านลบ

การแปลงรูปแบบสามารถใช้ได้กับสมการทางเรขาคณิตใดๆ ไม่ว่าสมการจะแทนฟังก์ชันหรือไม่ก็ตาม การเปลี่ยนแปลงถือได้ว่าเป็นธุรกรรมแต่ละรายการหรือรวมกัน

สมมติว่า ${\displaystyle R(x,y)}$ เป็นความสัมพันธ์ใน ${\displaystyle xy}$เครื่องบิน. ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

เป็นความสัมพันธ์ที่อธิบายวงกลมหนึ่งหน่วย

สำหรับวัตถุเรขาคณิตสองชิ้น P และ Q แสดงโดยความสัมพันธ์ ${\displaystyle P(x,y)}$ และ ${\displaystyle Q(x,y)}$ สี่แยกคือที่สะสมของทุกจุด ${\displaystyle (x,y)}$ซึ่งอยู่ในความสัมพันธ์ทั้งสอง ^[25]

ตัวอย่างเช่น, ${\displaystyle P}$ อาจเป็นวงกลมที่มีรัศมี 1 และจุดศูนย์กลาง ${\displaystyle (0,0)}$: ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$ และ ${\displaystyle Q}$ อาจเป็นวงกลมที่มีรัศมี 1 และจุดศูนย์กลาง ${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$. จุดตัดของวงกลมสองวงนี้คือการรวบรวมจุดที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง ไม่ประเด็น${\displaystyle (0,0)}$ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง? ใช้${\displaystyle (0,0)}$ สำหรับ ${\displaystyle (x,y)}$, สมการสำหรับ ${\displaystyle Q}$ กลายเป็น ${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$ หรือ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ ซึ่งเป็นความจริง ดังนั้น ${\displaystyle (0,0)}$ อยู่ในความสัมพันธ์ ${\displaystyle Q}$. ในขณะที่ยังคงใช้${\displaystyle (0,0)}$ สำหรับ ${\displaystyle (x,y)}$ สมการสำหรับ ${\displaystyle P}$ กลายเป็น ${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$ หรือ ${\displaystyle 0=1}$ ซึ่งเป็นเท็จ ${\displaystyle (0,0)}$ ไม่ได้อยู่ใน ${\displaystyle P}$ จึงไม่อยู่ในสี่แยก

ทางแยกของ ${\displaystyle P}$ และ ${\displaystyle Q}$ หาได้จากการแก้สมการพร้อมกัน:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$

วิธีการดั้งเดิมในการค้นหาทางแยกรวมถึงการแทนที่และการกำจัด

การทดแทน:แก้สมการแรกสำหรับ${\displaystyle y}$ ในแง่ของ ${\displaystyle x}$ แล้วแทนที่นิพจน์สำหรับ ${\displaystyle y}$ ในสมการที่สอง:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}}$.

จากนั้นเราจะแทนที่ค่านี้ด้วย ${\displaystyle y^{2}}$ ลงในสมการอื่นแล้วดำเนินการแก้หา ${\displaystyle x}$:

${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$

${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$

${\displaystyle -2x=-1}$

${\displaystyle x=1/2.}$

ต่อไปเราใส่ค่านี้ของ ${\displaystyle x}$ ในสมการเดิมอย่างใดอย่างหนึ่งและแก้หา ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=3/4}$

${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$

ทางแยกของเรามีสองจุด:

${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\mathrm {and} \;\;\left(1/2, {\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$

การขจัด : บวก (หรือลบ) สมการหลายตัวคูณกับสมการอื่นเพื่อให้ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งถูกกำจัด สำหรับตัวอย่างปัจจุบันของเรา ถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง เราจะได้${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$. ${\displaystyle y^{2}}$ ในสมการแรกจะถูกลบออกจาก ${\displaystyle y^{2}}$ ในสมการที่สองออกจาก no ${\displaystyle y}$ระยะ ตัวแปร${\displaystyle y}$ได้ถูกกำจัดออกไปแล้ว จากนั้นเราก็แก้สมการที่เหลือของ${\displaystyle x}$ในลักษณะเดียวกับวิธีการทดแทน:

${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$

${\displaystyle -2x=-1}$

${\displaystyle x=1/2.}$

จากนั้นเราวางค่านี้ของ this ${\displaystyle x}$ ในสมการเดิมอย่างใดอย่างหนึ่งและแก้หา ${\displaystyle y}$:

${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle y^{2}=3/4}$

${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$

ทางแยกของเรามีสองจุด:

${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;\mathrm {and} \;\;\left(1/2, {\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$

สำหรับภาคตัดกรวย อาจถึง 4 จุดในสี่แยก

หาทางสกัดกั้น

ทางแยกประเภทหนึ่งที่ศึกษากันอย่างกว้างขวางคือจุดตัดของวัตถุเรขาคณิตกับ with ${\displaystyle x}$ และ ${\displaystyle y}$ แกนพิกัด

จุดตัดของวัตถุเรขาคณิตและ ${\displaystyle y}$-แกนเรียกว่า ${\displaystyle y}$- การสกัดกั้นของวัตถุ จุดตัดของวัตถุเรขาคณิตและ${\displaystyle x}$-แกนเรียกว่า ${\displaystyle x}$- การสกัดกั้นของวัตถุ

สำหรับสาย ${\displaystyle y=mx+b}$, พารามิเตอร์ ${\displaystyle b}$ ระบุจุดที่เส้นตัดกับ ${\displaystyle y}$แกน. ขึ้นอยู่กับบริบทด้วย${\displaystyle b}$ หรือประเด็น ${\displaystyle (0,b)}$ เรียกว่า ${\displaystyle y}$-สกัดกั้น

เส้นสัมผัสและระนาบ

ในรูปทรงเรขาคณิตที่เส้นสัมผัส (หรือเพียงแค่สัมผัส ) เพื่อระนาบเส้นโค้งที่กำหนดจุดเป็นเส้นตรงที่ว่า "เพียงแค่สัมผัส" เส้นโค้งที่จุดนั้น อย่างไม่เป็นทางการ มันคือเส้นที่ตัดผ่านจุดปิดที่ไม่สิ้นสุดบนเส้นโค้ง ให้แม่นยำยิ่งขึ้น กล่าวคือ เส้นตรงคือแทนเจนต์ของเส้นโค้งy = f ( x )ที่จุดx = cบนเส้นโค้ง ถ้าเส้นผ่านจุด( c , f ( c ))บนเส้นโค้งและมี ความลาดชันฉ' ( ค )ที่ฉ'เป็นอนุพันธ์ของฉ ความหมายคล้ายกันนำไปใช้กับเส้นโค้งพื้นที่และเส้นโค้งในnมิติปริภูมิแบบยุคลิด

เมื่อมันผ่านจุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งมาบรรจบกัน เรียกว่าจุดสัมผัสเส้นสัมผัสจะ "ไปในทิศทางเดียวกัน" กับเส้นโค้ง จึงเป็นค่าประมาณของเส้นตรงที่ดีที่สุด ณ จุดนั้น จุด.

ในทำนองเดียวกันเครื่องบินสัมผัสกับพื้นผิวที่จุดที่กำหนดเป็นเครื่องบินที่ว่า "เพียงแค่สัมผัส" พื้นผิวที่จุดนั้น แนวความคิดของแทนเจนต์เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และได้รับการสรุปอย่างกว้างขวาง ดูพื้นที่สัมผัส

เส้นปกติและเวกเตอร์

ในเรขาคณิตความปกติคือวัตถุ เช่น เส้นหรือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับวัตถุที่กำหนด ยกตัวอย่างเช่นในกรณีที่สองมิติที่เส้นปกติจะเป็นเส้นโค้งที่จุดที่กำหนดเป็นแนวตั้งฉากกับเส้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด

ในกรณีสามมิติพื้นผิวปกติหรือเพียงปกติเพื่อผิวที่จุดPเป็นเวกเตอร์ที่เป็นแนวตั้งฉากกับระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่ที่P คำว่า "ปกติ" นอกจากนี้ยังใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่: สายปกติไปยังเครื่องบินองค์ประกอบปกติของแรงที่เวกเตอร์ปกติฯลฯ แนวคิดของภาวะปกติ generalizes จะตั้งฉาก

• ข้ามผลิตภัณฑ์
• การหมุนของแกน
• แกน
• ช่องว่างเวกเตอร์

หนังสือ

• Boyer, Carl B. (2004) [1956], ประวัติเรขาคณิตวิเคราะห์ , สิ่งพิมพ์โดเวอร์, ISBN 978-0486438320
• Cajori, Florian (1999), ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ , AMS, ISBN 978-0821821022
• จอห์นเคซี่ย์ (1885) เรขาคณิตวิเคราะห์ของจุดเส้นวงกลมและภาคตัดกรวย , การเชื่อมโยงจากอินเทอร์เน็ตเอกสารเก่า
• Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (ฉบับที่ 2) , Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
• Struik, DJ (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800 , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด, ISBN 978-0674823556

บทความ

• บิสเซลล์, คริสโตเฟอร์ ซี. (1987), "เรขาคณิตคาร์ทีเซียน: ผลงานของชาวดัตช์", The Mathematical Intelligencer , 9 : 38–44, ดอย : 10.1007/BF03023730
• Boyer, Carl B. (1944), "Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes", ครูสอนคณิตศาสตร์ , 37 (3): 99–105, doi : 10.5951/MT.37.3.0099
• Boyer, Carl B. (1965), "Johann Hudde and spaceพิกัด", ครูคณิตศาสตร์ , 58 (1): 33–36, doi : 10.5951/MT.58.1.0033
• Coolidge, JL (1948), "จุดเริ่มต้นของเรขาคณิตวิเคราะห์ในสามมิติ", American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi : 10.2307/2305740 , JSTOR  2305740
• Pecl, J. , Newton และเรขาคณิตวิเคราะห์

• ประสานงานหัวข้อเรขาคณิตด้วยแอนิเมชั่นแบบโต้ตอบ