เรขาคณิตวิเคราะห์
ในทางคณิตศาสตร์คลาสสิกเรขาคณิตวิเคราะห์ยังเป็นที่รู้จักประสานงานเรขาคณิตหรือรูปทรงเรขาคณิต Cartesian , คือการศึกษาของรูปทรงเรขาคณิตที่ใช้ระบบพิกัด ความแตกต่างที่มีรูปทรงเรขาคณิตสังเคราะห์
เรขาคณิตวิเคราะห์ถูกนำมาใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรมและยังอยู่ในการบิน , จรวด , วิทยาศาสตร์และอวกาศ มันเป็นรากฐานของเขตข้อมูลที่ทันสมัยที่สุดของรูปทรงเรขาคณิตรวมทั้งพีชคณิต , ค่า , ไม่ต่อเนื่องและคำนวณเรขาคณิต
โดยปกติระบบ Cartesian ประสานงานถูกนำไปใช้ในการจัดการกับสมการสำหรับเครื่องบิน , เส้นตรงและสี่เหลี่ยมมักจะอยู่ในสองและบางครั้งสามมิติ ในเชิงเรขาคณิต คนหนึ่งศึกษาระนาบแบบยุคลิด ( สองมิติ ) และพื้นที่แบบยุคลิด ( สามมิติ ) ตามที่สอนในหนังสือเรียน เรขาคณิตวิเคราะห์สามารถอธิบายได้ง่ายขึ้น: เกี่ยวข้องกับการกำหนดและการแสดงรูปทรงเรขาคณิตในรูปแบบตัวเลขและการดึงข้อมูลตัวเลขจากคำจำกัดความเชิงตัวเลขและการแทนค่าของรูปทรง พีชคณิตของตัวเลขจริงสามารถทำงานเพื่อให้ผลลัพธ์ที่เกี่ยวกับความต่อเนื่องเชิงเส้นของรูปทรงเรขาคณิตที่อาศัยอยู่กับความจริงต้นเสียง-Dedekind
ประวัติศาสตร์
กรีกโบราณ
กรีกคณิตศาสตร์Menaechmusแก้ไขปัญหาและได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้วิธีการที่มีความแข็งแกร่งคล้ายคลึงกับการใช้งานของพิกัดและจะได้รับบางครั้งก็ยืนยันว่าเขาได้นำเรขาคณิตวิเคราะห์ [1]
Apollonius of PergaในOn Determinate Sectionได้จัดการกับปัญหาในลักษณะที่อาจเรียกได้ว่าเป็นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ในมิติเดียว กับคำถามในการหาจุดบนเส้นที่มีอัตราส่วนกับเส้นอื่นๆ [2] Apollonius ในConicsได้พัฒนาวิธีการที่คล้ายกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ซึ่งบางครั้งคิดว่างานของเขาสามารถคาดการณ์การทำงานของDescartes ได้ประมาณ 1800 ปี การประยุกต์ใช้เส้นอ้างอิง เส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นสัมผัสของเขานั้นไม่แตกต่างจากการใช้กรอบพิกัดในปัจจุบันของเรา โดยที่ระยะทางที่วัดตามเส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดสัมผัสคือ abscissas และส่วนที่ขนานกับแทนเจนต์และถูกสกัดกั้นระหว่าง แกนและเส้นโค้งเป็นพิกัด เขาได้พัฒนาความสัมพันธ์ระหว่าง abscissas และพิกัดที่สอดคล้องกันซึ่งเทียบเท่ากับสมการเชิงวาทศิลป์ของเส้นโค้ง อย่างไรก็ตาม แม้ว่า Apollonius จะเข้าใกล้การพัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ แต่เขาไม่สามารถทำเช่นนั้นได้ เนื่องจากเขาไม่ได้คำนึงถึงขนาดลบและในทุกกรณี ระบบพิกัดจะถูกซ้อนทับบนเส้นโค้งที่กำหนดให้เป็นส่วนหลังแทนที่จะเป็นระดับความสำคัญ นั่นคือสมการถูกกำหนดโดยเส้นโค้ง แต่เส้นโค้งไม่ได้ถูกกำหนดโดยสมการ พิกัด ตัวแปร และสมการเป็นแนวคิดย่อยที่ใช้กับสถานการณ์ทางเรขาคณิตเฉพาะ [3]
เปอร์เซีย
ศตวรรษที่ 11 เปอร์เซียคณิตศาสตร์โอมาร์คัยยามเห็นความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งระหว่างรูปทรงเรขาคณิตและพีชคณิตและเป็นไปในทิศทางที่ถูกต้องเมื่อเขาช่วยปิดช่องว่างระหว่างตัวเลขและพีชคณิตเรขาคณิต[4]กับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตของเขาทั่วไปสมลูกบาศก์ , [5]แต่ขั้นตอนชี้ขาดมาภายหลังกับเดส์การตส์ [4] Omar Khayyam ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ระบุรากฐานของเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตและหนังสือของเขาเรื่องTreatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070) ซึ่งวางหลักการของเรขาคณิตวิเคราะห์ไว้ ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ของเปอร์เซีย สู่ยุโรป [6]เนื่องจากวิธีการเชิงเรขาคณิตอย่างละเอียดถี่ถ้วนของเขาในสมการพีชคณิต Khayyam ถือได้ว่าเป็นปูชนียบุคคลของ Descartes ในการประดิษฐ์เรขาคณิตวิเคราะห์ [7] : 248
ยุโรปตะวันตก
เรขาคณิตวิเคราะห์ถูกคิดค้นโดยอิสระโดยRené Descartesและปิแอร์เดอแฟร์มาต์ , [8] [9]แม้ว่า Descartes บางครั้งจะได้รับเครดิต แต่เพียงผู้เดียว [10] [11] เรขาคณิตคาร์ทีเซียนคำศัพท์ทางเลือกที่ใช้สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์ ตั้งชื่อตามเดส์การต
เดส์การตมีความก้าวหน้าอย่างมากด้วยวิธีการต่างๆ ในบทความเรื่องLa Geometrie (Geometry)ซึ่งเป็นหนึ่งในสามบทความประกอบ (ภาคผนวก) ที่ตีพิมพ์ในปี 1637 ร่วมกับDiscourse on the Method for Rightly Directing One's Reason and Searching for Truth in the Sciencesโดยทั่วไป เรียกว่าเป็นวาทกรรมเกี่ยวกับวิธีการ La Geometrieซึ่งเขียนด้วยภาษาฝรั่งเศสพื้นเมืองของเขาและหลักการทางปรัชญาเป็นรากฐานสำหรับแคลคูลัสในยุโรป ในขั้นต้น งานไม่ได้รับการตอบรับอย่างดี เนื่องในบางส่วน ช่องว่างมากมายในการโต้แย้งและสมการที่ซับซ้อน หลังจากการแปลเป็นภาษาละตินและการเพิ่มคำอธิบายโดยVan Schootenในปี 1649 (และงานต่อไปหลังจากนั้น) ผลงานชิ้นเอกของ Descartes ก็ได้รับการยอมรับ (12)
ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ยังเป็นผู้บุกเบิกการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์อีกด้วย แม้ว่าจะไม่ได้รับการตีพิมพ์ในชีวิตของเขาเป็นรูปแบบที่เขียนด้วยลายมือของโฆษณาโลคอส Planos et solidos Isagoge (รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเครื่องบินและของแข็ง Loci) คือการหมุนเวียนในปารีสในปี 1637 ก่อนที่จะมีการตีพิมพ์ของ Descartes ฯวาทกรรม [13] [14] [15]เขียนได้ชัดเจนและได้รับการตอบรับอย่างดีบทนำยังวางรากฐานสำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์ ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการรักษาของแฟร์มาต์และเดส์การตเป็นเรื่องของมุมมอง: แฟร์มาต์เริ่มต้นด้วยสมการพีชคณิตเสมอแล้วจึงอธิบายเส้นโค้งเรขาคณิตที่พึงพอใจ ในขณะที่เดส์การตเริ่มต้นด้วยเส้นโค้งเรขาคณิตและสร้างสมการเป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลายประการของเส้นโค้ง . [12]เป็นผลมาจากวิธีการนี้ Descartes มีการจัดการกับสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นและเขามีการพัฒนาวิธีการที่จะทำงานร่วมกับสมการพหุนามของระดับที่สูงขึ้น ลีออนฮาร์ด ออยเลอร์เป็นคนแรกที่ใช้วิธีพิกัดในการศึกษาเส้นโค้งและพื้นผิวของอวกาศอย่างเป็นระบบ
พิกัด

ในเรขาคณิตวิเคราะห์เครื่องบินจะได้รับระบบพิกัด โดยที่ทุกจุดมีพิกัดจำนวนจริงคู่หนึ่ง ในทำนองเดียวกันพื้นที่แบบยุคลิดจะได้รับพิกัดซึ่งทุกจุดมีสามพิกัด ค่าของพิกัดขึ้นอยู่กับการเลือกจุดเริ่มต้นที่มา มีการใช้ระบบพิกัดหลากหลายรูปแบบ แต่ระบบพิกัดโดยทั่วไปมีดังต่อไปนี้[16]
พิกัดคาร์ทีเซียน (ในเครื่องบินหรืออวกาศ)
ระบบพิกัดที่ใช้กันมากที่สุดคือระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยที่แต่ละจุดมีพิกัดxแทนตำแหน่งแนวนอน และพิกัดyแทนตำแหน่งแนวตั้ง โดยทั่วไปจะเขียนเป็นคู่ลำดับ ( x , y ) ระบบนี้ยังสามารถใช้สำหรับเรขาคณิตสามมิติ ซึ่งทุกจุดในปริภูมิแบบยุคลิดจะถูกแทนด้วยพิกัดสามเท่า ( x , y , z )
พิกัดเชิงขั้ว (ในเครื่องบิน)
ในพิกัดเชิงขั้วทุกจุดของระนาบจะแสดงด้วยระยะห่างrจากจุดกำเนิดและมุม θโดยปกติθจะวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกนxบวก เมื่อใช้สัญกรณ์นี้ คะแนนมักจะเขียนเป็นคู่ลำดับ ( r , θ ) หนึ่งอาจแปลงกลับไปกลับมาระหว่างพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติและเชิงขั้วโดยใช้สูตรเหล่านี้:. ระบบนี้อาจถูกทำให้เป็นแบบทั่วไปเป็นพื้นที่สามมิติโดยใช้พิกัดทรงกระบอกหรือทรงกลม
พิกัดทรงกระบอก (ในช่องว่าง)
ในพิกัดทรงกระบอกจุดทุกพื้นที่เป็นตัวแทนจากความสูงZมันรัศมี RจากZแกนและมุม θฉายบนXYทำให้เครื่องบินที่เกี่ยวกับแกนนอน
พิกัดทรงกลม (ในช่องว่าง)
ในพิกัดทรงกลมทุกจุดในอวกาศจะแสดงด้วยระยะห่างρจากจุดกำเนิดมุม θการฉายภาพบนระนาบ xyเทียบกับแกนนอน และมุมφที่ทำกับแกนz . ชื่อของมุมมักจะกลับกันในทางฟิสิกส์ [16]
สมการและเส้นโค้ง
ในเรขาคณิตวิเคราะห์สมการใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับพิกัดจะระบุชุดย่อยของระนาบ กล่าวคือชุดคำตอบสำหรับสมการ หรือโลคัส ตัวอย่างเช่น สมการy = xสอดคล้องกับเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่พิกัดxและพิกัดyเท่ากัน จุดเหล่านี้ก่อตัวเป็นเส้นตรงและy = xเรียกว่าสมการสำหรับเส้นนี้ โดยทั่วไป สมการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับxและy จะระบุเส้นสมการกำลังสองระบุส่วนทรงกรวยและสมการที่ซับซ้อนกว่านั้นอธิบายตัวเลขที่ซับซ้อนกว่า [17]
โดยปกติ สมการเดียวจะสอดคล้องกับเส้นโค้งบนระนาบ นี่ไม่ใช่กรณีเสมอไป: สมการเล็กน้อยx = xระบุระนาบทั้งหมด และสมการx 2 + y 2 = 0 ระบุเฉพาะจุดเดียว (0, 0) ในสามมิติสมเดียวมักจะช่วยให้พื้นผิวและเส้นโค้งจะต้องระบุเป็นจุดตัดของสองพื้นผิว (ดูด้านล่าง) หรือเป็นระบบของสมการตัวแปร [18]สมการx 2 + y 2 = r 2คือสมการของวงกลมใดๆ ที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด (0, 0) ด้วยรัศมี r
เส้นและเครื่องบิน
เส้นในระนาบคาร์ทีเซียนหรือโดยทั่วไป ในพิกัดความใกล้ชิดสามารถอธิบายเกี่ยวกับพีชคณิตได้ด้วยสมการเชิงเส้น ในสองมิติ สมการสำหรับเส้นไม่แนวตั้งมักจะถูกกำหนดในรูปแบบความชัน-ค่าตัดขวาง :
ที่ไหน:
- เมตรเป็น ทางลาดชันหรือ การไล่ระดับสีของเส้น
- bคือค่า ตัดแกน yของเส้นตรง
- xเป็น ตัวแปรอิสระของฟังก์ชัน y = f ( x )
ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีการอธิบายเส้นในปริภูมิสองมิติโดยใช้รูปแบบจุด-ความชันสำหรับสมการ ระนาบในปริภูมิสามมิติมีคำอธิบายที่เป็นธรรมชาติโดยใช้จุดในระนาบและเวกเตอร์ตั้งฉากกับมัน ( เวกเตอร์ปกติ ) เพื่อระบุ "ความเอียง"
โดยเฉพาะ ให้ เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของบางจุด และให้ เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ ระนาบที่กำหนดโดยจุดนี้และเวกเตอร์ประกอบด้วยจุดเหล่านั้น, ด้วยตำแหน่ง vector , โดยที่เวกเตอร์ดึงมาจาก ถึง ตั้งฉากกับ . จำได้ว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากก็ต่อเมื่อดอทโปรดัคของพวกมันเป็นศูนย์ ระนาบที่ต้องการสามารถอธิบายเป็นเซตของจุดทั้งหมดได้ ดังนั้น
(จุดที่นี่หมายถึงผลคูณดอทไม่ใช่การคูณสเกลาร์) ขยายนี้กลายเป็น
ซึ่งเป็นรูปแบบจุดปกติของสมการระนาบ [19]นี่เป็นเพียงสมการเชิงเส้น :
ในทางกลับกัน จะแสดงให้เห็นได้ง่าย ๆ ว่าถ้าa , b , cและdเป็นค่าคงที่ และa , bและcไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด แสดงว่ากราฟของสมการนั้น
เป็นระนาบที่มีเวกเตอร์ ตามปกติ [20]สมการที่คุ้นเคยสำหรับระนาบนี้เรียกว่ารูปแบบทั่วไปของสมการของระนาบ [21]
ในสามมิติ เส้นไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นเดียว ดังนั้นจึงมักอธิบายด้วยสมการพาราเมตริก :
ที่ไหน:
- x , y , และ zเป็นฟังก์ชันทั้งหมดของตัวแปรอิสระ tซึ่งอยู่ในช่วงของจำนวนจริง
- ( x 0 , y 0 , z 0 ) คือจุดใดๆ บนเส้น
- a , bและ cสัมพันธ์กับความชันของเส้นตรง ทำให้ เวกเตอร์ ( a , b , c ) ขนานกับเส้นตรง
ส่วนรูปกรวย
ในระบบ Cartesian ประสานงานที่กราฟของสมการสองตัวแปรอยู่เสมอภาคตัดกรวย - แม้ว่ามันอาจจะเป็นคนเลวและทุกส่วนที่มีรูปกรวยเกิดขึ้นในลักษณะนี้ สมการจะอยู่ในรูป
เนื่องจากการปรับขนาดค่าคงที่ทั้ง 6 ตัวทำให้ได้โลคัสที่เป็นศูนย์เท่ากัน เราสามารถพิจารณากรวยเป็นจุดในพื้นที่ฉายภาพห้ามิติได้
ส่วนรูปกรวยที่อธิบายโดยสมการนี้สามารถจำแนกได้โดยใช้การเลือกปฏิบัติ[22]
หากรูปกรวยไม่เสื่อม แสดงว่า:
- ถ้า , สมการแสดงถึงวงรี ;
- ถ้า และ สมการแทนวงกลมซึ่งเป็นกรณีพิเศษของวงรี
- ถ้า , สมการแทนพาราโบลา ;
- ถ้า , สมการแสดงถึงไฮเปอร์โบลา ;
- ถ้าเรามี สมการแสดงให้เห็นถึงhyperbola รูปสี่เหลี่ยม
พื้นผิวสี่เหลี่ยม
quadricหรือquadric พื้นผิวที่เป็น2มิติพื้นผิวในพื้นที่ 3 มิติกำหนดให้เป็นสถานทีของศูนย์ของพหุนามกำลังสอง ในพิกัดx 1 , x 2 , x 3 สมการกำลังสองทั่วไปถูกกำหนดโดยสมการพีชคณิต[23]
พื้นผิว quadric ได้แก่ellipsoids (รวมทั้งทรงกลม ) paraboloids , hyperboloids , ถัง , กรวยและเครื่องบิน
ระยะทางและมุม

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ความคิดทางเรขาคณิตเช่นระยะทางและมุมวัดจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร คำนิยามเหล่านี้ได้รับการออกแบบเพื่อให้สอดคล้องกับพื้นฐานรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่น การใช้พิกัดคาร์ทีเซียนบนระนาบ ระยะห่างระหว่างจุดสองจุด ( x 1 , y 1 ) และ ( x 2 , y 2 ) ถูกกำหนดโดยสูตร
ซึ่งสามารถดูได้ว่าเป็นรุ่นที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในทำนองเดียวกัน มุมที่เส้นสร้างกับแนวนอนสามารถกำหนดได้โดยสูตร
โดยที่mคือความชันของเส้นตรง
ในสามมิติ ระยะทางถูกกำหนดโดยการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัส:
- ,
ในขณะที่มุมระหว่างสองเวกเตอร์จะได้รับจากผลิตภัณฑ์ dot ผลคูณดอทของเวกเตอร์แบบยุคลิดสองตัวAและBถูกกำหนดโดย[24]
ที่θคือมุมระหว่างและB
การแปลงร่าง

การแปลงจะใช้กับฟังก์ชันหลักเพื่อเปลี่ยนให้เป็นฟังก์ชันใหม่ที่มีคุณสมบัติคล้ายคลึงกัน
กราฟของ เปลี่ยนแปลงโดยการแปลงมาตรฐานดังนี้
- กำลังเปลี่ยน ถึง เลื่อนกราฟไปทางขวา หน่วย
- กำลังเปลี่ยน ถึง เลื่อนกราฟขึ้น หน่วย
- กำลังเปลี่ยน ถึง ยืดกราฟในแนวนอนด้วยปัจจัยของ . (คิดถึง ขณะที่ถูกขยาย)
- กำลังเปลี่ยน ถึง ยืดกราฟในแนวตั้ง
- กำลังเปลี่ยน ถึง และการเปลี่ยนแปลง ถึง หมุนกราฟเป็นมุม .
มีการแปลงมาตรฐานอื่น ๆ ที่ไม่ได้ศึกษาโดยทั่วไปในเรขาคณิตวิเคราะห์เบื้องต้น เนื่องจากการแปลงจะเปลี่ยนรูปร่างของวัตถุในลักษณะที่ปกติไม่ได้พิจารณา การเบ้เป็นตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงที่ปกติแล้วไม่ได้พิจารณา สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดดูบทความวิกิพีเดียเลียนแบบแปลง
ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันหลัก มีเส้นกำกับแนวนอนและแนวตั้ง และอยู่ในจตุภาคที่หนึ่งและสาม และรูปแบบที่แปลงแล้วทั้งหมดมีเส้นกำกับแนวนอนและแนวตั้งเส้นเดียว และอยู่ในจตุภาคที่ 1 และ 3 หรือ 2 และ 4 โดยทั่วไป ถ้าแล้วสามารถแปลงร่างเป็น .ได้ . ในฟังก์ชันที่แปลงโฉมใหม่ เป็นปัจจัยที่ยืดฟังก์ชันในแนวตั้งถ้ามากกว่า 1 หรือบีบอัดฟังก์ชันในแนวตั้งถ้าน้อยกว่า 1 และสำหรับค่าลบ ค่าฟังก์ชันจะสะท้อนให้เห็นใน -แกน. ค่าบีบอัดกราฟของฟังก์ชันในแนวนอนถ้ามากกว่า 1 และยืดฟังก์ชันในแนวนอนถ้าน้อยกว่า 1 และชอบ , สะท้อนถึงฟังก์ชันใน - แกนเมื่อเป็นลบ และ ค่าแนะนำการแปล , แนวตั้ง และ แนวนอน บวก และ ค่าหมายถึงฟังก์ชันถูกแปลไปยังปลายด้านบวกของแกนและการแปลความหมายเชิงลบไปทางปลายด้านลบ
การแปลงรูปแบบสามารถใช้ได้กับสมการทางเรขาคณิตใดๆ ไม่ว่าสมการจะแทนฟังก์ชันหรือไม่ก็ตาม การเปลี่ยนแปลงถือได้ว่าเป็นธุรกรรมแต่ละรายการหรือรวมกัน
สมมติว่า เป็นความสัมพันธ์ใน เครื่องบิน. ตัวอย่างเช่น,
เป็นความสัมพันธ์ที่อธิบายวงกลมหนึ่งหน่วย
การหาจุดตัดของวัตถุทรงเรขาคณิต
สำหรับวัตถุเรขาคณิตสองชิ้น P และ Q แสดงโดยความสัมพันธ์ และ สี่แยกคือที่สะสมของทุกจุด ซึ่งอยู่ในความสัมพันธ์ทั้งสอง [25]
ตัวอย่างเช่น, อาจเป็นวงกลมที่มีรัศมี 1 และจุดศูนย์กลาง : และ อาจเป็นวงกลมที่มีรัศมี 1 และจุดศูนย์กลาง . จุดตัดของวงกลมสองวงนี้คือการรวบรวมจุดที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง ไม่ประเด็นทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง? ใช้ สำหรับ , สมการสำหรับ กลายเป็น หรือ ซึ่งเป็นความจริง ดังนั้น อยู่ในความสัมพันธ์ . ในขณะที่ยังคงใช้ สำหรับ สมการสำหรับ กลายเป็น หรือ ซึ่งเป็นเท็จ ไม่ได้อยู่ใน จึงไม่อยู่ในสี่แยก
ทางแยกของ และ หาได้จากการแก้สมการพร้อมกัน:
วิธีการดั้งเดิมในการค้นหาทางแยกรวมถึงการแทนที่และการกำจัด
การทดแทน:แก้สมการแรกสำหรับ ในแง่ของ แล้วแทนที่นิพจน์สำหรับ ในสมการที่สอง:
- .
จากนั้นเราจะแทนที่ค่านี้ด้วย ลงในสมการอื่นแล้วดำเนินการแก้หา :
ต่อไปเราใส่ค่านี้ของ ในสมการเดิมอย่างใดอย่างหนึ่งและแก้หา :
ทางแยกของเรามีสองจุด:
การขจัด : บวก (หรือลบ) สมการหลายตัวคูณกับสมการอื่นเพื่อให้ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งถูกกำจัด สำหรับตัวอย่างปัจจุบันของเรา ถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง เราจะได้. ในสมการแรกจะถูกลบออกจาก ในสมการที่สองออกจาก no ระยะ ตัวแปรได้ถูกกำจัดออกไปแล้ว จากนั้นเราก็แก้สมการที่เหลือของในลักษณะเดียวกับวิธีการทดแทน:
จากนั้นเราวางค่านี้ของ this ในสมการเดิมอย่างใดอย่างหนึ่งและแก้หา :
ทางแยกของเรามีสองจุด:
สำหรับภาคตัดกรวย อาจถึง 4 จุดในสี่แยก
หาทางสกัดกั้น
ทางแยกประเภทหนึ่งที่ศึกษากันอย่างกว้างขวางคือจุดตัดของวัตถุเรขาคณิตกับ with และ แกนพิกัด
จุดตัดของวัตถุเรขาคณิตและ -แกนเรียกว่า - การสกัดกั้นของวัตถุ จุดตัดของวัตถุเรขาคณิตและ-แกนเรียกว่า - การสกัดกั้นของวัตถุ
สำหรับสาย , พารามิเตอร์ ระบุจุดที่เส้นตัดกับ แกน. ขึ้นอยู่กับบริบทด้วย หรือประเด็น เรียกว่า -สกัดกั้น
แทนเจนต์และค่าปกติ
เส้นสัมผัสและระนาบ
ในรูปทรงเรขาคณิตที่เส้นสัมผัส (หรือเพียงแค่สัมผัส ) เพื่อระนาบเส้นโค้งที่กำหนดจุดเป็นเส้นตรงที่ว่า "เพียงแค่สัมผัส" เส้นโค้งที่จุดนั้น อย่างไม่เป็นทางการ มันคือเส้นที่ตัดผ่านจุดปิดที่ไม่สิ้นสุดบนเส้นโค้ง ให้แม่นยำยิ่งขึ้น กล่าวคือ เส้นตรงคือแทนเจนต์ของเส้นโค้งy = f ( x )ที่จุดx = cบนเส้นโค้ง ถ้าเส้นผ่านจุด( c , f ( c ))บนเส้นโค้งและมี ความลาดชันฉ' ( ค )ที่ฉ'เป็นอนุพันธ์ของฉ ความหมายคล้ายกันนำไปใช้กับเส้นโค้งพื้นที่และเส้นโค้งในnมิติปริภูมิแบบยุคลิด
เมื่อมันผ่านจุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งมาบรรจบกัน เรียกว่าจุดสัมผัสเส้นสัมผัสจะ "ไปในทิศทางเดียวกัน" กับเส้นโค้ง จึงเป็นค่าประมาณของเส้นตรงที่ดีที่สุด ณ จุดนั้น จุด.
ในทำนองเดียวกันเครื่องบินสัมผัสกับพื้นผิวที่จุดที่กำหนดเป็นเครื่องบินที่ว่า "เพียงแค่สัมผัส" พื้นผิวที่จุดนั้น แนวความคิดของแทนเจนต์เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และได้รับการสรุปอย่างกว้างขวาง ดูพื้นที่สัมผัส
เส้นปกติและเวกเตอร์
ในเรขาคณิตความปกติคือวัตถุ เช่น เส้นหรือเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับวัตถุที่กำหนด ยกตัวอย่างเช่นในกรณีที่สองมิติที่เส้นปกติจะเป็นเส้นโค้งที่จุดที่กำหนดเป็นแนวตั้งฉากกับเส้นเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด
ในกรณีสามมิติพื้นผิวปกติหรือเพียงปกติเพื่อผิวที่จุดPเป็นเวกเตอร์ที่เป็นแนวตั้งฉากกับระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่ที่P คำว่า "ปกติ" นอกจากนี้ยังใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่: สายปกติไปยังเครื่องบินองค์ประกอบปกติของแรงที่เวกเตอร์ปกติฯลฯ แนวคิดของภาวะปกติ generalizes จะตั้งฉาก
ดูสิ่งนี้ด้วย
- ข้ามผลิตภัณฑ์
- การหมุนของแกน
- แกน
- ช่องว่างเวกเตอร์
หมายเหตุ
- ^ บอยเยอร์ คาร์ล บี. (1991). "ยุคของเพลโตและอริสโตเติล" . ประวัติคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2) John Wiley & Sons, Inc ได้ pp. 94-95 ISBN 0-271-54397-7.
เห็นได้ชัดว่า Menaechmus ได้รับคุณสมบัติเหล่านี้ของส่วนรูปกรวยและอื่น ๆ เช่นกัน เนื่องจากวัสดุนี้มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับการใช้พิกัดดังที่แสดงไว้ข้างต้น บางครั้งจึงได้รับการดูแลว่า Menaechmus มีเรขาคณิตวิเคราะห์ การตัดสินดังกล่าวรับประกันเพียงบางส่วนเท่านั้น เพราะแน่นอนว่า Menaechmus ไม่ทราบว่าสมการใดๆ ในปริมาณที่ไม่รู้จักสองค่าจะกำหนดเส้นโค้ง อันที่จริง แนวความคิดทั่วไปของสมการในปริมาณที่ไม่รู้จักนั้นต่างไปจากความคิดของชาวกรีก มันเป็นข้อบกพร่องในสัญกรณ์พีชคณิตที่ดำเนินการกับความสำเร็จของกรีกของเรขาคณิตพิกัดที่เต็มเปี่ยมมากกว่าสิ่งอื่นใด
- ^ บอยเยอร์, คาร์ล บี. (1991). "อพอลโลเนียสแห่งแปร์กา" . ประวัติคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2) John Wiley & Sons, Inc ได้ pp. 142 ISBN 0-271-54397-7.
บทความ Apollonian เรื่องOn Determinate Sectionกล่าวถึงสิ่งที่อาจเรียกได้ว่าเป็นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ในมิติเดียว พิจารณาปัญหาทั่วไปต่อไปนี้ โดยใช้การวิเคราะห์พีชคณิตกรีกทั่วไปในรูปแบบเรขาคณิต กำหนดจุด A, B, C, D สี่จุดบนเส้นตรง กำหนดจุดห้า P บนจุดนั้น โดยให้สี่เหลี่ยมบน AP และ CP อยู่ใน กำหนดอัตราส่วนต่อสี่เหลี่ยมบน BP และ DP ในที่นี้ ปัญหาก็ลดลงอย่างง่ายดายในการแก้ปัญหาของสมการกำลังสอง และเช่นเดียวกับในกรณีอื่นๆ Apollonius จัดการกับคำถามอย่างละเอียดถี่ถ้วน รวมถึงขีดจำกัดของความเป็นไปได้และจำนวนวิธีแก้ปัญหา
- ^ บอยเยอร์, คาร์ล บี. (1991). "อพอลโลเนียสแห่งแปร์กา" . ประวัติคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 2) John Wiley & Sons, Inc ได้ pp. 156 ISBN 0-271-54397-7.
วิธีการของ Apollonius ในConicsในหลาย ๆ ด้านนั้นคล้ายคลึงกับแนวทางสมัยใหม่ซึ่งบางครั้งงานของเขาถูกตัดสินว่าเป็นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ที่คาดการณ์ว่า Descartes เมื่อ 1800 ปี การใช้เส้นอ้างอิงโดยทั่วไป และของเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นสัมผัสที่ปลายสุดโดยเฉพาะ ไม่ได้แตกต่างไปจากการใช้กรอบพิกัดเลย ไม่ว่าจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือโดยทั่วไปเป็นแบบเฉียง ระยะทางที่วัดตามเส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดสัมผัสคือ abscissas และส่วนที่ขนานกับแทนเจนต์และถูกสกัดกั้นระหว่างแกนกับเส้นโค้งคือพิกัด ความสัมพันธ์ Apollonian ระหว่าง abscissas เหล่านี้กับพิกัดที่สอดคล้องกันนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าหรือน้อยกว่ารูปแบบเชิงโวหารของสมการของเส้นโค้ง อย่างไรก็ตาม พีชคณิตเรขาคณิตของกรีกไม่ได้กำหนดขนาดลบ นอกจากนี้ ระบบพิกัดยังวางทับหลังบนเส้นโค้งที่กำหนดในทุกกรณีเพื่อศึกษาคุณสมบัติของมัน ดูเหมือนไม่มีกรณีใดในเรขาคณิตโบราณที่มีการวางกรอบอ้างอิงพิกัดไว้ล่วงหน้าเพื่อจุดประสงค์ในการแสดงกราฟิกของสมการหรือความสัมพันธ์ ไม่ว่าจะแสดงเป็นสัญลักษณ์หรือเชิงวาทศิลป์ ในเรขาคณิตของกรีก เราอาจกล่าวได้ว่าสมการถูกกำหนดโดยเส้นโค้ง แต่ไม่ใช่ว่าเส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการ พิกัด ตัวแปร และสมการเป็นแนวคิดย่อยที่ได้มาจากสถานการณ์ทางเรขาคณิตเฉพาะ [... ] Apollonius ซึ่งเป็น geometer ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมัยโบราณล้มเหลวในการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ อาจเป็นผลมาจากความยากจนของเส้นโค้งมากกว่าที่จะคิด วิธีการทั่วไปไม่จำเป็นเมื่อปัญหาเกี่ยวข้องกับกรณีใดกรณีหนึ่งโดยเฉพาะ
- ^ ข บอยเยอร์ (1991). "อำนาจอธิปไตยของอาหรับ" . ประวัติคณิตศาสตร์ . น. 241–242 .
Omar Khayyam (ประมาณ 1050–1123) "ผู้สร้างเต็นท์" เขียนพีชคณิตที่ไปไกลกว่า al-Khwarizmi เพื่อรวมสมการของดีกรีที่สาม เช่นเดียวกับบรรพบุรุษอาหรับของเขา Omar Khayyam ได้จัดเตรียมสมการกำลังสองทั้งทางคณิตศาสตร์และเรขาคณิต สำหรับสมการกำลังสามทั่วไป เขาเชื่อ (อย่างผิด ๆ ที่แสดงให้เห็นในภายหลังในศตวรรษที่สิบหก) การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์นั้นเป็นไปไม่ได้ ดังนั้นเขาจึงให้คำตอบทางเรขาคณิตเท่านั้น Menaechmus, Archimedes และ Alhazan ใช้รูปแบบการตัดตัดกันเพื่อแก้กำลังสอง แต่ Omar Khayyam ได้ใช้ขั้นตอนที่น่ายกย่องในการสรุปวิธีการเพื่อให้ครอบคลุมสมการดีกรีสามทั้งหมด (มีรากเป็นบวก) สำหรับสมการที่มีระดับที่สูงกว่าสาม เห็นได้ชัดว่า Omar Khayyam ไม่ได้นึกภาพวิธีทางเรขาคณิตที่คล้ายกัน เนื่องจากพื้นที่มีไม่เกินสามมิติ ... หนึ่งในผลงานที่ได้ผลมากที่สุดของการผสมผสานอาหรับคือแนวโน้มที่จะปิดช่องว่างระหว่างตัวเลขและ พีชคณิตเรขาคณิต ขั้นตอนที่ชี้ขาดในทิศทางนี้มาช้ามากกับ Descartes แต่ Omar Khayyam กำลังเคลื่อนที่ไปในทิศทางนี้เมื่อเขาเขียนว่า "ใครก็ตามที่คิดว่าพีชคณิตเป็นกลลวงในการได้มาซึ่งสิ่งที่ไม่รู้จักก็คิดว่ามันไร้สาระ ไม่ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าพีชคณิต และเรขาคณิตมีลักษณะแตกต่างกัน พีชคณิตเป็นข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตที่พิสูจน์แล้ว"
- ^ เกล็น เอ็ม. คูเปอร์ (2003). "Omar Khayyam นักคณิตศาสตร์",วารสาร American Oriental Society 123 .
- ^ ผลงานชิ้นเอกทางคณิตศาสตร์: พงศาวดารเพิ่มเติมโดยนักสำรวจ , p. 92
- ^ คูเปอร์, จี. (2003). วารสาร American Oriental Society,123(1), 248-249.
- ^ สติลเวล, จอห์น (2004). "เรขาคณิตวิเคราะห์". คณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ (ฉบับที่สอง). Springer Science + Business Media Inc. p. 105. ISBN 0-387-95336-1.
ผู้ก่อตั้งเรขาคณิตวิเคราะห์ทั้งสองคือ Fermat และ Descartes ต่างก็ได้รับอิทธิพลอย่างมากจากการพัฒนาเหล่านี้
- ^ บอยเยอร์ 2004 , p. 74
- ^ คุก, โรเจอร์ (1997). "แคลคูลัส" . ประวัติคณิตศาสตร์: หลักสูตรสั้น . Wiley-Interscience. น. 326 . ISBN 0-471-18082-3.
บุคคลที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ค้นพบเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คือนักปรัชญาRené Descartes (1596–1650) ซึ่งเป็นหนึ่งในนักคิดที่ทรงอิทธิพลที่สุดในยุคปัจจุบัน
- ^ บอยเยอร์ 2004 , p. 82
- ↑ a b Katz 1998 , หน้า. 442
- ^ แคทซ์ 1998 , หน้า. 436
- ↑ ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์, Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (ตูลูส ฝรั่งเศส: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge,"หน้า 91–103
- ^ "Eloge เดอเมอซิเออร์เดอแฟร์มาต์" (Eulogy ของนายเดอแฟร์มาต์), Le Journal des Scavans , 9 กุมภาพันธ์ 1665, PP. 69-72 จากหน้า 70: "Une Introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité วิเคราะห์ปัญหา la solution des problemes plan & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet" (บทนำเกี่ยวกับตำแหน่ง ระนาบ และของแข็ง ซึ่งเป็นบทความเชิงวิเคราะห์เกี่ยวกับการแก้ปัญหาระนาบและปัญหาที่เป็นของแข็ง ซึ่งเห็นมาก่อนที่นายเดส์คาร์ตจะตีพิมพ์อะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้)
- อรรถเป็น ข สจ๊วต เจมส์ (2008) Calculus: Early Transcendentalsฉบับที่ 6 Brooks Cole Cengage Learning ISBN 978-0-495-01166-8
- ^ Percey Franklyn สมิ ธ , อาร์เธอร์ซัลลิแวนเกล (1905)รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ , Athaeneum กด
- ^ William H. McCrea, Analytic Geometry of Three Dimensions Courier Dover Publications, 27 ม.ค. 2555
- ^ แอนตัน 1994 , p. 155
- ^ แอนตัน 1994 , p. 156
- ^ Weisstein, Eric W. (2009), "Plane" , MathWorld--A Wolfram Web Resource , เรียกข้อมูลเมื่อ2552-08-08
- ^ Fanchi, John R. (2006), ทบทวนคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร , John Wiley and Sons, pp. 44–45, ISBN 0-471-75715-2, มาตรา 3.2, หน้า 45
- ^ Silvio ประกาศ quadricsใน "สูตรเรขาคณิตและข้อเท็จจริง" ตัดตอนมาจากวันที่ 30 ฉบับตาราง CRC มาตรฐานทางคณิตศาสตร์และสูตร ,ซีอาร์ซีกดจากเรขาคณิตศูนย์ที่มหาวิทยาลัยมินนิโซตา
- ^ นายสปีเกล; เอส. ลิปชูทซ์; ดี. สเปลแมน (2009). การวิเคราะห์เวกเตอร์ (โครงร่างของ Schaum) (ฉบับที่ 2) แมคกรอว์ ฮิลล์. ISBN 978-0-27-161545-7.
- ^ แม้ว่าการสนทนานี้จะจำกัดอยู่ที่ระนาบ xy แต่ก็สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นได้อย่างง่ายดาย
อ้างอิง
หนังสือ
- Boyer, Carl B. (2004) [1956], ประวัติเรขาคณิตวิเคราะห์ , สิ่งพิมพ์โดเวอร์, ISBN 978-0486438320
- Cajori, Florian (1999), ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ , AMS, ISBN 978-0821821022
- จอห์นเคซี่ย์ (1885) เรขาคณิตวิเคราะห์ของจุดเส้นวงกลมและภาคตัดกรวย , การเชื่อมโยงจากอินเทอร์เน็ตเอกสารเก่า
- Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (ฉบับที่ 2) , Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
- Struik, DJ (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800 , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด, ISBN 978-0674823556
บทความ
- บิสเซลล์, คริสโตเฟอร์ ซี. (1987), "เรขาคณิตคาร์ทีเซียน: ผลงานของชาวดัตช์", The Mathematical Intelligencer , 9 : 38–44, ดอย : 10.1007/BF03023730
- Boyer, Carl B. (1944), "Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes", ครูสอนคณิตศาสตร์ , 37 (3): 99–105, doi : 10.5951/MT.37.3.0099
- Boyer, Carl B. (1965), "Johann Hudde and spaceพิกัด", ครูคณิตศาสตร์ , 58 (1): 33–36, doi : 10.5951/MT.58.1.0033
- Coolidge, JL (1948), "จุดเริ่มต้นของเรขาคณิตวิเคราะห์ในสามมิติ", American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi : 10.2307/2305740 , JSTOR 2305740
- Pecl, J. , Newton และเรขาคณิตวิเคราะห์
ลิงค์ภายนอก
- ประสานงานหัวข้อเรขาคณิตด้วยแอนิเมชั่นแบบโต้ตอบ