ระบบพิกัด

ในรูปทรงเรขาคณิตเป็นระบบพิกัดเป็นระบบที่ใช้อย่างใดอย่างหนึ่งหรือมากกว่าตัวเลขหรือพิกัดที่จะไม่ซ้ำกันตรวจสอบตำแหน่งของจุดหรือองค์ประกอบทางเรขาคณิตอื่น ๆ ในนานาเช่นพื้นที่ Euclidean ^[1]^[2]ลำดับของพิกัดมีความสำคัญ และบางครั้งพวกมันก็ถูกระบุโดยตำแหน่งของพวกเขาในทูเพิลที่ได้รับคำสั่งและบางครั้งด้วยตัวอักษร เช่นเดียวกับใน " พิกัดx " พิกัดถูกนำมาเป็นจำนวนจริงในวิชาคณิตศาสตร์เบื้องต้นแต่อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนหรือองค์ประกอบของระบบนามธรรมมากขึ้นเช่นสับเปลี่ยนแหวน การใช้งานของระบบพิกัดช่วยให้ปัญหาในเรขาคณิตที่จะได้รับการแปลเป็นปัญหาเกี่ยวกับตัวเลขและในทางกลับกัน ; นี้เป็นพื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์ ^[3]

ระบบประสานงานทรงกลมเป็นที่นิยมใช้ใน ฟิสิกส์ มันกำหนดตัวเลขสามตัว (เรียกว่าพิกัด) ให้กับทุกจุดในอวกาศแบบยุคลิด: ระยะรัศมี r , มุมขั้ว θ ( theta ) และมุมแอซิมุทัล φ ( phi ) สัญลักษณ์ ρ ( โร ) มักจะถูกนำมาใช้แทน R

ระบบพิกัดทั่วไป

เส้นจำนวน

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของระบบพิกัดคือบัตรประจำตัวของจุดที่สอดคล้องกับตัวเลขจริงโดยใช้ที่เส้นจำนวน ในระบบนี้ จุดใดจุดหนึ่งO ( จุดกำเนิด ) จะถูกเลือกในบรรทัดที่กำหนด พิกัดของจุดPถูกกำหนดให้เป็นระยะทางที่ลงนามจากOถึงPโดยที่ระยะทางที่ลงนามคือระยะทางที่เป็นบวกหรือลบขึ้นอยู่กับว่าด้านใดของเส้นPอยู่ แต่ละจุดจะได้รับพิกัดเฉพาะ และจำนวนจริงแต่ละจำนวนเป็นพิกัดของจุดที่ไม่ซ้ำกัน ^[4]

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

Cartesian ระบบพิกัดในระนาบ

ตัวอย่างแม่บทของระบบพิกัดเป็นระบบ Cartesian ประสานงาน ในเครื่องบินจะมีการเลือกเส้นตั้งฉากสองเส้น และพิกัดของจุดจะถูกนำไปเป็นระยะทางที่ลงนามกับเส้น

ในสามมิติจะเลือกระนาบมุมฉากร่วมกันสามระนาบ และพิกัดสามจุดคือระยะทางที่ลงนามกับระนาบแต่ละระนาบ ^[5]สิ่งนี้สามารถทำให้เป็นแบบทั่วไปเพื่อสร้างnพิกัดสำหรับจุดใดๆ ในพื้นที่nแบบยุคลิด

ระบบสามมิติอาจเป็นระบบมือขวาหรือมือซ้ายทั้งนี้ขึ้นอยู่กับทิศทางและลำดับของแกนพิกัด นี่เป็นหนึ่งในหลาย ๆ ระบบพิกัด

ระบบพิกัดเชิงขั้ว

ทั่วไประบบพิกัดสำหรับเครื่องบินอีกประการหนึ่งคือระบบพิกัดเชิงขั้ว ^[6]จุดได้รับการแต่งตั้งเป็นเสาและรังสีจากจุดนี้จะถูกนำมาเป็นแกนขั้วโลก สำหรับมุมที่กำหนด θ จะมีเส้นหนึ่งเส้นผ่านเสาซึ่งมีมุมที่มีแกนเชิงขั้วเป็น θ (วัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกนถึงเส้นตรง) จากนั้นก็มีจุดที่ไม่ซ้ำกันในสายนี้มีระยะห่างจากจุดกำเนิดลงนามเป็นRสำหรับจำนวนที่กำหนดR สำหรับพิกัดคู่ที่กำหนด ( r , θ) จะมีจุดเดียว แต่จุดใดๆ จะถูกแทนด้วยพิกัดหลายคู่ ตัวอย่างเช่น ( r , θ), ( r , θ+2π) และ (− r , θ+π) เป็นพิกัดเชิงขั้วทั้งหมดสำหรับจุดเดียวกัน เสาจะแสดงด้วย (0, θ) สำหรับค่าใดๆ ของ θ

ระบบพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม

ระบบพิกัดทรงกระบอก

มีสองวิธีทั่วไปในการขยายระบบพิกัดเชิงขั้วเป็นสามมิติ ในระบบพิกัดทรงกระบอกเป็นZประสานงานที่มีความหมายเช่นเดียวกับในพิกัดคาร์ทีเซียนจะถูกเพิ่มในRและθพิกัดเชิงขั้วให้สาม ( R , θ , Z ) ^[7]พิกัดทรงกลมก้าวไปอีกขั้นโดยการแปลงพิกัดทรงกระบอกคู่ ( r , z ) เป็นพิกัดเชิงขั้ว ( ρ , φ ) ให้เพิ่มเป็นสามเท่า ( ρ , θ , φ ) ^[8]

ระบบพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

จุดในระนาบอาจถูกแสดงเป็นพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันโดยสาม ( x , y , z ) โดยที่x / zและy / zเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุด ^[9]แนะนำนี้เป็น "พิเศษ" ประสานงานตั้งแต่เพียงสองที่มีความจำเป็นเพื่อระบุจุดบนเครื่องบิน แต่ระบบนี้จะเป็นประโยชน์ในการที่จะแสดงให้เห็นถึงจุดใดก็ได้บนprojective เครื่องบินโดยไม่ต้องใช้ของอินฟินิตี้ โดยทั่วไป ระบบพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันคือระบบที่มีอัตราส่วนของพิกัดเท่านั้นที่มีนัยสำคัญ ไม่ใช่ค่าจริง

ระบบอื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไป

ระบบพิกัดทั่วไปอื่นๆ มีดังต่อไปนี้:

พิกัดโค้งเป็นลักษณะทั่วไปของระบบพิกัดโดยทั่วไป ระบบจะขึ้นอยู่กับจุดตัดของเส้นโค้ง
- พิกัดมุมฉาก: พื้นผิวพิกัดมาบรรจบกันที่มุมฉาก
- พิกัดเบ้ : พื้นผิวพิกัดไม่ใช่มุมฉาก
ล็อกขั้วระบบพิกัดแสดงให้เห็นถึงจุดในระนาบโดยลอการิทึมของระยะทางจากต้นทางและมุมที่วัดได้จากบรรทัดอ้างอิงตัดต้นกำเนิดที่
พิกัดPlückerเป็นวิธีการที่เป็นตัวแทนของสายในพื้นที่ 3D แบบยุคลิดใช้หก tuple ของตัวเลขเป็นพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน
พิกัดทั่วไปใช้ในการรักษากลไกของLagrangian
พิกัดที่ยอมรับได้ใช้ในการรักษากลไกของแฮมิลตัน
Barycentric ระบบพิกัดที่ใช้สำหรับแปลง ternaryและอื่น ๆ โดยทั่วไปในการวิเคราะห์ของรูปสามเหลี่ยม
พิกัด Trilinearใช้ในบริบทของรูปสามเหลี่ยม

มีวิธีการอธิบายโดยไม่ต้องโค้งพิกัดโดยใช้เป็นสมการที่แท้จริงที่ใช้ปริมาณคงที่เช่นโค้งและความยาวส่วนโค้ง ซึ่งรวมถึง:

สม Whewellเกี่ยวข้องโค้งยาวและมุมสัมผัส
สมCesàroเกี่ยวข้องโค้งยาวและโค้ง

พิกัดของวัตถุทรงเรขาคณิต

ระบบพิกัดมักใช้เพื่อระบุตำแหน่งของจุด แต่อาจใช้เพื่อระบุตำแหน่งของตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น เส้น เครื่องบิน วงกลม หรือทรงกลม ตัวอย่างเช่นพิกัด Plückerใช้เพื่อกำหนดตำแหน่งของเส้นในช่องว่าง ^[10]เมื่อมีความจำเป็น ประเภทของรูปที่อธิบายจะใช้เพื่อแยกแยะประเภทของระบบพิกัด เช่น คำว่าพิกัดเส้นจะใช้สำหรับระบบพิกัดใด ๆ ที่ระบุตำแหน่งของเส้น

อาจเกิดขึ้นได้ว่าระบบพิกัดสำหรับรูปทรงเรขาคณิตสองชุดที่ต่างกันนั้นเทียบเท่ากันในแง่ของการวิเคราะห์ ตัวอย่างนี้คือระบบพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันสำหรับจุดและเส้นในระนาบการฉายภาพ ทั้งสองระบบในกรณีเช่นนี้จะกล่าวว่าเป็นสติค ระบบ Dualistic มีคุณสมบัติที่เป็นผลมาจากระบบหนึ่งสามารถส่งต่อไปยังอีกระบบหนึ่งได้ เนื่องจากผลลัพธ์เหล่านี้เป็นเพียงการตีความที่แตกต่างกันของผลการวิเคราะห์เดียวกันเท่านั้น นี้เป็นที่รู้จักกันเป็นหลักการของการเป็นคู่ ⁽¹¹⁾

การแปลงร่าง

เนื่องจากมักจะมีระบบพิกัดที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันมากมายสำหรับการอธิบายตัวเลขทางเรขาคณิต สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าพวกมันเกี่ยวข้องกันอย่างไร ความสัมพันธ์ดังกล่าวอธิบายโดยการแปลงพิกัดซึ่งให้สูตรสำหรับพิกัดในระบบหนึ่งในแง่ของพิกัดในอีกระบบหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ในระนาบ หากพิกัดคาร์ทีเซียน ( x , y ) และพิกัดเชิงขั้ว ( r , θ ) มีจุดกำเนิดเหมือนกัน และแกนเชิงขั้วเป็นแกนxบวกการแปลงพิกัดจากพิกัดเชิงขั้วเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนจะได้รับจากx = r cos θและy = r sin θ .

ด้วยทุกbijectionจากอวกาศสู่ตัวเอง การแปลงพิกัดสองแบบสามารถเชื่อมโยงได้:

เพื่อให้พิกัดใหม่ของภาพแต่ละจุดเหมือนกับพิกัดเดิมของจุดเดิม (สูตรสำหรับการทำแผนที่เป็นค่าผกผันของพิกัดสำหรับการแปลงพิกัด)
เพื่อให้พิกัดเดิมของภาพของแต่ละจุดเหมือนกับพิกัดใหม่ของจุดเดิม (สูตรสำหรับการทำแผนที่จะเหมือนกับสูตรสำหรับการแปลงพิกัด)

ตัวอย่างเช่น ใน1Dหากการแมปเป็นการแปล 3 ไปทางขวา ตัวแรกจะย้ายจุดกำเนิดจาก 0 เป็น 3 เพื่อให้พิกัดของแต่ละจุดลดลง 3 ในขณะที่จุดที่สองย้ายจุดกำเนิดจาก 0 ถึง −3 เพื่อให้พิกัดของแต่ละจุดเพิ่มขึ้นอีก 3 จุด

พิกัดเส้น/เส้นโค้งและระนาบ/พื้นผิว

ในสองมิติถ้าหนึ่งในพิกัดในจุดระบบพิกัดเป็นค่าคงที่จัดขึ้นและอื่น ๆ พิกัดที่ได้รับอนุญาตให้แตกต่างกันไปแล้วส่งผลให้เส้นโค้งที่เรียกว่าเส้นโค้งการประสานงาน ในระบบ Cartesian ประสานโค้งในความเป็นจริงประสานเส้นตรงจึงประสานสาย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกมันคือเส้นขนานกับแกนพิกัดอันใดอันหนึ่ง สำหรับระบบพิกัดอื่นๆ เส้นโค้งพิกัดอาจเป็นเส้นโค้งทั่วไป ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งพิกัดในพิกัดเชิงขั้วที่ได้จากการคงค่าrไว้คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด ระบบการประสานงานที่ประสานงานบางส่วนโค้งไม่ได้เส้นที่เรียกว่าโค้งระบบพิกัด ^[12]ขั้นตอนนี้ไม่เคยทำให้ความรู้สึกเช่นไม่มีการประสานงานในโค้งที่เป็นเนื้อเดียวกันระบบพิกัด

พิกัดพื้นผิวของพิกัดพาราโบลาสามมิติ

ในพื้นที่สามมิติหากประสานงานเป็นค่าคงที่จัดขึ้นและอื่น ๆ ที่ทั้งสองจะได้รับอนุญาตให้แตกต่างกันไปแล้วพื้นผิวที่เกิดขึ้นเรียกว่าพื้นผิวการประสานงาน ตัวอย่างเช่น พื้นผิวพิกัดที่ได้จากการคงค่า ρ คงที่ในระบบพิกัดทรงกลมคือทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ในปริภูมิสามมิติ จุดตัดของพื้นผิวพิกัดทั้งสองเป็นเส้นโค้งพิกัด ในระบบ Cartesian ประสานงานเราอาจจะพูดถึงการประสานงานเครื่องบิน

ในทำนองเดียวกันพิกัดไฮเปอร์เซอร์เฟซคือช่องว่างมิติ( n -1 )ซึ่งเป็นผลมาจากการแก้ไขพิกัดเดียวของระบบพิกัดnมิติ ^[13]

แผนที่ประสานงาน

แนวคิดของแผนที่พิกัดหรือแผนภูมิพิกัดเป็นศูนย์กลางของทฤษฎีท่อร่วม แผนที่พิกัดเป็นระบบพิกัดสำหรับส่วนย่อยของพื้นที่ที่กำหนดโดยมีคุณสมบัติที่แต่ละจุดมีพิกัดชุดเดียว อีกอย่างแม่นยำพิกัดแผนที่เป็นhomeomorphismจากเซตเปิดพื้นที่Xเพื่อเซตเปิดR n^[14]มักจะเป็นไปไม่ได้ที่จะจัดให้มีระบบพิกัดที่สอดคล้องกันสำหรับพื้นที่ทั้งหมด ในกรณีนี้ จะรวบรวมชุดของแผนที่พิกัดเพื่อสร้างแผนที่ที่ครอบคลุมพื้นที่ พื้นที่ที่มีแผนที่ดังกล่าวเรียกว่าmanifoldและสามารถกำหนดโครงสร้างเพิ่มเติมบน manifold ได้หากโครงสร้างสอดคล้องกันโดยที่แผนที่พิกัดซ้อนทับกัน ตัวอย่างเช่นแมนิโฟลด์ที่แยกจากกันได้คือแมนิโฟลด์ที่การเปลี่ยนแปลงของพิกัดจากแผนที่พิกัดหนึ่งไปยังอีกแผนที่หนึ่งนั้นเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้เสมอ

พิกัดตามทิศทาง

ในรูปทรงเรขาคณิตและกลศาสตร์การเคลื่อนไหวประสานงานเป็นระบบที่ใช้ในการอธิบายตำแหน่ง (เชิงเส้น) ของจุดและตำแหน่งเชิงมุมของแกนเครื่องบินและวัตถุเกร็ง ^[15]ในกรณีหลัง การวางแนวของระบบพิกัดที่สอง (โดยทั่วไปเรียกว่า "ท้องถิ่น") ซึ่งจับจ้องไปที่โหนด ถูกกำหนดตามระบบพิกัดแรก (โดยทั่วไปจะเรียกว่าระบบพิกัด "ทั่วโลก" หรือ "โลก" ). ตัวอย่างเช่น การวางแนวของวัตถุที่แข็งกระด้างสามารถแสดงด้วยเมทริกซ์การวางแนวซึ่งรวมถึงพิกัดคาร์ทีเซียนของสามจุดในสามคอลัมน์ จุดเหล่านี้ใช้เพื่อกำหนดทิศทางของแกนของระบบโลคัล พวกมันคือส่วนปลายของเวกเตอร์หน่วยสามหน่วยที่จัดแนวกับแกนเหล่านั้น

ดูสิ่งนี้ด้วย

โมเมนตัมเชิงมุมสัมบูรณ์
ตารางตัวอักษรและตัวเลข
ข้อตกลงแกนในงานวิศวกรรม
ระบบพิกัดท้องฟ้า
ไม่มีพิกัด Coordinat
พิกัดเศษส่วน
กรอบอ้างอิง
การเปลี่ยนแปลงของกาลิเลียน
การอ้างอิงตาราง
Nomogram การแสดงกราฟิกของระบบพิกัดต่างๆ
การหมุนของแกน
แกน

ระบบพิกัดเชิงสัมพันธ์

พิกัดเอดดิงตัน–ฟินเกลสไตน์
พิกัดขั้วเกาส์เซียน
พิกัด Gullstrand–Painlevé
พิกัดไอโซโทรปิก
พิกัด ครุสคาล–เซเคเรส
พิกัดชวาร์ซชิลด์

อ้างอิง

การอ้างอิง

^ วูดส์ พี. 1
^ Weisstein เอริควชิร "ระบบพิกัด" คณิตศาสตร์โลก.
^ Weisstein, Eric W. "พิกัด" . คณิตศาสตร์โลก.
^ สจ๊วต, เจมส์ บี. ; เรดลิน, โลธาร์; วัตสัน, ซาลีม (2008) พีชคณิตวิทยาลัย (ฉบับที่ 5). บรู๊คส์ โคล . น. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
^ มูน พี สเปนเซอร์ ดี.อี. (1988) "พิกัดสี่เหลี่ยม (x, y, z)" คู่มือทฤษฎีภาคสนาม รวมถึงระบบพิกัด สมการเชิงอนุพันธ์ และคำตอบ (แก้ไขครั้งที่ 2, พิมพ์ครั้งที่ 3) นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แล็ก. หน้า 9–11 (ตาราง 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
^ ฟินนีย์ รอสส์; จอร์จ โธมัส; แฟรงคลิน เดมานา; เบิร์ต เวทส์ (มิถุนายน 2537) แคลคูลัส: กราฟฟิค ตัวเลข พีชคณิต (รุ่นตัวแปรเดียว ed.) Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.
^ มาร์เกอเนา, เฮนรี่ ; เมอร์ฟี, จอร์จ เอ็ม. (1956). คณิตศาสตร์ฟิสิกส์และเคมี . มหานครนิวยอร์ก: D. van Nostrand หน้า 178 . ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911 . OCLC 3017486
^ มอร์ส PM , Feshbach H (1953). วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ตอนที่ 1 นิวยอร์ก: McGraw-Hill หน้า 658. ISBN 0-07-043316-X. ว ช . 520111515 .
^ โจนส์ อัลเฟรด คลีเมนต์ (1912) แนะนำให้ algebraical เรขาคณิต คลาเรนดอน.
^ ฮอดจ์, วีวีดี ; ดี. เพโด (1994) [1947]. วิธีพีชคณิตเรขาคณิต เล่ม 1 (เล่ม 2) . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-46900-5.
^ วูดส์ พี. 2
^ Tang, KT (2006). วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ 2 . สปริงเกอร์. หน้า 13. ISBN 3-540-30268-9.
^ Liseikin, วลาดิมีร์ ดี. (2007). วิธีการคำนวณเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เพื่อกริดรุ่น สปริงเกอร์. หน้า 38. ISBN 978-3-540-34235-9.
^ Munkres, James R. (2000)โทโพโลยี . ศิษย์ฮอลล์. ไอ 0-13-181629-2 .
^ Hanspeter Schaub; จอห์น แอล. จุนกินส์ (2003). "จลนศาสตร์ร่างกายแข็ง" . กลศาสตร์วิเคราะห์ระบบพื้นที่ สถาบันการบินและอวกาศแห่งอเมริกา หน้า 71. ISBN 1-56347-563-4.

แหล่งที่มา

Voitsekhovskii มิชิแกน; Ivanov, AB (2001) [1994], "พิกัด" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
วูดส์, เฟรเดอริค เอส. (1922). สูงเรขาคณิต Ginn and Co. pp. 1ff.
ชิเกะยูกิ โมริตะ; เทรุโกะ นางาเสะ; คัตสึมิ โนมิสึ (2001). เรขาคณิตของรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล ร้านหนังสือเอเอ็มเอส หน้า 12. ISBN 0-8218-1045-6.

ลิงค์ภายนอก

ระบบพิกัดหกเหลี่ยม

[1] วูดส์ พี. 1

[2] Weisstein เอริควชิร "ระบบพิกัด" คณิตศาสตร์โลก.

[3] Weisstein, Eric W. "พิกัด" . คณิตศาสตร์โลก.

[4] สจ๊วต, เจมส์ บี. ; เรดลิน, โลธาร์; วัตสัน, ซาลีม (2008) พีชคณิตวิทยาลัย (ฉบับที่ 5). บรู๊คส์ โคล . น. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.

[5] มูน พี สเปนเซอร์ ดี.อี. (1988) "พิกัดสี่เหลี่ยม (x, y, z)" คู่มือทฤษฎีภาคสนาม รวมถึงระบบพิกัด สมการเชิงอนุพันธ์ และคำตอบ (แก้ไขครั้งที่ 2, พิมพ์ครั้งที่ 3) นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แล็ก. หน้า 9–11 (ตาราง 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.

[6] ฟินนีย์ รอสส์; จอร์จ โธมัส; แฟรงคลิน เดมานา; เบิร์ต เวทส์ (มิถุนายน 2537) แคลคูลัส: กราฟฟิค ตัวเลข พีชคณิต (รุ่นตัวแปรเดียว ed.) Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.

[7] มาร์เกอเนา, เฮนรี่ ; เมอร์ฟี, จอร์จ เอ็ม. (1956). คณิตศาสตร์ฟิสิกส์และเคมี . มหานครนิวยอร์ก: D. van Nostrand หน้า 178 . ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911 . OCLC 3017486

[8] มอร์ส PM , Feshbach H (1953). วิธีการทางฟิสิกส์เชิงทฤษฎี ตอนที่ 1 นิวยอร์ก: McGraw-Hill หน้า 658. ISBN 0-07-043316-X. ว ช . 520111515 .

[9] โจนส์ อัลเฟรด คลีเมนต์ (1912) แนะนำให้ algebraical เรขาคณิต คลาเรนดอน.

[10] ฮอดจ์, วีวีดี ; ดี. เพโด (1994) [1947]. วิธีพีชคณิตเรขาคณิต เล่ม 1 (เล่ม 2) . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-46900-5.

[11] วูดส์ พี. 2

[12] Tang, KT (2006). วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ 2 . สปริงเกอร์. หน้า 13. ISBN 3-540-30268-9.

[13] Liseikin, วลาดิมีร์ ดี. (2007). วิธีการคำนวณเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เพื่อกริดรุ่น สปริงเกอร์. หน้า 38. ISBN 978-3-540-34235-9.

[14] Munkres, James R. (2000)โทโพโลยี . ศิษย์ฮอลล์. ไอ 0-13-181629-2 .

[15] Hanspeter Schaub; จอห์น แอล. จุนกินส์ (2003). "จลนศาสตร์ร่างกายแข็ง" . กลศาสตร์วิเคราะห์ระบบพื้นที่ สถาบันการบินและอวกาศแห่งอเมริกา หน้า 71. ISBN 1-56347-563-4.

[1]