ปริมาณที่อนุรักษ์ไว้

สำหรับระบบลำดับแรกของสมการเชิงอนุพันธ์

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t)}$

โดยที่ตัวหนาแสดงถึงปริมาณเวกเตอร์ฟังก์ชันที่มีค่าสเกลาร์H ( r ) คือปริมาณที่สงวนไว้ของระบบหากสำหรับเวลาทั้งหมดและเงื่อนไขเริ่มต้นในโดเมนเฉพาะบางโดเมน

${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = 0}$

โปรดทราบว่าโดยใช้กฎลูกโซ่หลายตัวแปร ,

${\ displaystyle {\ frac {dH} {dt}} = \ nabla H \ cdot {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r }, t)}$

เพื่อให้คำจำกัดความสามารถเขียนเป็น

${\ displaystyle \ nabla H \ cdot \ mathbf {f} (\ mathbf {r}, t) = 0}$

ซึ่งมีข้อมูลเฉพาะของระบบและสามารถเป็นประโยชน์ในการค้นหาปริมาณที่อนุรักษ์ไว้หรือกำหนดว่ามีปริมาณที่สงวนไว้หรือไม่

สำหรับระบบที่กำหนดโดยมิล H , ฟังก์ชั่นฉของทั่วไปพิกัดQและทั่วไปสักครู่พีมีเวลาวิวัฒนาการ

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} t}} = \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t }}}$

และด้วยเหตุนี้จึงได้รับการอนุรักษ์เฉพาะในกรณีที่ ${\ textstyle \ {f, {\ mathcal {H}} \} + {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = 0}$. ที่นี่${\ displaystyle \ {f, {\ mathcal {H}} \}}$หมายถึงวงเล็บ Poisson

สมมติว่าระบบจะถูกกำหนดโดยลากรองจ์ Lด้วยพิกัดทั่วไปQ ถ้าLไม่มีการพึ่งพาเวลาอย่างชัดเจน (ดังนั้น${\ textstyle {\ frac {\ partial L} {\ partial t}} = 0}$) แล้วพลังงานE ที่กำหนดโดย

${\ displaystyle E = \ sum _ {i} \ left [{\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {i}}} \ ขวา] -L}$

ได้รับการอนุรักษ์

นอกจากนี้หาก ${\ textstyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q}} = 0}$แล้วคิวจะกล่าวว่าเป็นวงจรประสานงานและทั่วไปโมเมนตัมพีที่กำหนดโดย

${\ displaystyle p = {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}}$

ได้รับการอนุรักษ์ นี้อาจจะได้มาโดยใช้สมการออยเลอร์-Lagrange

• ระบบอนุรักษ์นิยม
• ฟังก์ชัน Lyapunov
• ระบบแฮมิลตัน
• กฎหมายการอนุรักษ์
• ทฤษฎีบทของ Noether
• ค่าใช้จ่าย (ฟิสิกส์)
• คงที่ (ฟิสิกส์)