ภาคตัดกรวย

ส่วนรูปกรวยได้รับการศึกษาเป็นพัน ๆ ปีและได้จัดให้มีแหล่งอุดมไปด้วยผลลัพธ์ที่น่าสนใจและสวยงามในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด

คำจำกัดความ

ขอบเขตสีดำของพื้นที่สีคือภาคตัดกรวย ที่ไม่ปรากฏคืออีกครึ่งหนึ่งของไฮเพอร์โบลาซึ่งอยู่บนอีกครึ่งหนึ่งของกรวยคู่ที่ไม่ได้แสดง

รูปกรวยเป็นเส้นโค้งรับเป็นจุดตัดของที่เครื่องบินที่เรียกว่าเครื่องบินตัดกับพื้นผิวของคู่กรวย (กรวยที่มีสองnappes ) โดยปกติจะถือว่ากรวยเป็นกรวยวงกลมด้านขวาเพื่อจุดประสงค์ในการอธิบายง่าย ๆ แต่ไม่จำเป็นต้องใช้ กรวยคู่ใด ๆ ที่มีหน้าตัดเป็นวงกลมจะเพียงพอ ระนาบที่ผ่านจุดยอดของกรวยจะตัดกรวยเป็นจุดเส้นหรือเส้นตัดกันคู่หนึ่ง สิ่งเหล่านี้เรียกว่ารูปกรวยที่เสื่อมสภาพและผู้เขียนบางคนไม่ถือว่าพวกเขาเป็นรูปกรวยเลย เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น "รูปกรวย" ในบทความนี้จะกล่าวถึงรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพ

มีสามประเภทของ conics คือ: วงรี , รูปโค้งและhyperbola วงกลมเป็นชนิดพิเศษของวงรีแม้ว่าในอดีต Apollonius ถือเป็นประเภทที่สี่ จุดเกิดขึ้นเมื่อจุดตัดของกรวยและเครื่องบินเป็นโค้งปิด วงกลมจะได้รับเมื่อระนาบการตัดขนานกับระนาบของวงกลมที่สร้างขึ้นของกรวย สำหรับกรวยด้านขวาหมายความว่าระนาบการตัดตั้งฉากกับแกน หากเครื่องบินตัดเป็นคู่ขนานไปตรงหนึ่งที่ก่อให้เกิดเส้นของรูปกรวยแล้วรูปกรวยคือมากมายและเป็นที่เรียกว่าพาราโบลา ในกรณีที่เหลือรูปคือไฮเพอร์โบลา : ระนาบตัดครึ่งทั้งสองของกรวยทำให้เกิดเส้นโค้งสองเส้นที่แยกจากกัน

ความเยื้องศูนย์กลางโฟกัสและ Directrix

วงรี ( e = 1/2), พาราโบลา ( e = 1) และไฮเพอร์โบลา ( e = 2)พร้อมโฟกัสคงที่ Fและไดเร็กซ์ ( e = ∞) วงกลมสีแดง ( e = 0) ถูกรวมไว้เพื่อการอ้างอิงไม่มีไดเร็กซ์ในระนาบ

หรืออีกวิธีหนึ่งสามารถกำหนดส่วนรูปกรวยในแง่ของเรขาคณิตระนาบได้อย่างแท้จริง: เป็นที่ตั้งของจุดทั้งหมดPซึ่งมีระยะทางถึงจุดคงที่F (เรียกว่าโฟกัส ) เป็นค่าคงที่ (เรียกว่าความเยื้องศูนย์กลาง e ) ของระยะห่างจากPไปยังเส้นคงที่L (เรียกว่าdirectrix ) สำหรับ0 < e <1เราจะได้วงรีสำหรับe = 1 a พาราโบลาและสำหรับe > 1เป็นไฮเพอร์โบลา

วงกลมเป็นกรณีที่ จำกัด และไม่ได้กำหนดโดยโฟกัสและไดเร็กซ์ในระนาบยุคลิด ความเบี้ยวของวงกลมถูกกำหนดให้เป็นศูนย์และโฟกัสของมันคือจุดศูนย์กลางของวงกลม แต่ directrix ของมันสามารถถ่ายได้เป็นเส้นตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดในระนาบการฉายเท่านั้น ^[2]

ความเยื้องศูนย์ของวงรีสามารถมองเห็นได้ว่าวงรีเบี่ยงเบนไปจากการเป็นวงกลมมากแค่ไหน ^{[3] : 844}

ถ้ามุมระหว่างพื้นผิวของกรวยและแกนเป็น ${\ displaystyle \ beta}$ และมุมระหว่างระนาบตัดกับแกนคือ ${\ displaystyle \ alpha,}$ความเยื้องศูนย์คือ^[4] ${\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}}$

หลักฐานว่าเส้นโค้งดังกล่าวข้างต้นที่กำหนดโดยคุณสมบัติโฟกัสไดเรกตริกซ์เป็นเช่นเดียวกับผู้ที่ได้รับโดยเครื่องบินตัดกรวยอำนวยความสะดวกโดยการใช้งานของทรงกลม Dandelin ^[5]

พารามิเตอร์ Conic

พารามิเตอร์รูปกรวยในกรณีของวงรี

นอกเหนือจากความเยื้องศูนย์ ( e ), foci และ directrix แล้วคุณสมบัติและความยาวทางเรขาคณิตต่างๆยังเกี่ยวข้องกับส่วนรูปกรวย

แกนหลักคือเส้นที่เชื่อมจุดโฟกัสของวงรีหรือ hyperbola และจุดกึ่งกลางของมันคือเส้นโค้งของศูนย์ พาราโบลาไม่มีจุดศูนย์กลาง

ความเยื้องศูนย์กลางเชิงเส้น ( c ) คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและโฟกัส

ทวารหนัก Latusเป็นคอร์ดขนานไปกับไดเรกตริกซ์และผ่านการโฟกัส; ความยาวครึ่งหนึ่งคือทวารหนักกึ่งลาตัส ( ℓ )

พารามิเตอร์โฟกัส ( P ) คือระยะห่างจากการมุ่งเน้นไปยังไดเรกตริกซ์ที่สอดคล้องกัน

แกนหลักคือคอร์ดระหว่างสองจุด: คอร์ดที่ยาวที่สุดของรีคอร์ดที่สั้นที่สุดระหว่างสาขาของ hyperbola ที่ ความยาวครึ่งหนึ่งคือแกนเซมิ - เมเจอร์ ( a ) เมื่อวงรีหรือไฮเพอร์โบลาอยู่ในตำแหน่งมาตรฐานในสมการด้านล่างโดยมีจุดโฟกัสบนแกนxและจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดจุดยอดของรูปกรวยจะมีพิกัด(- a , 0)และ( a , 0)โดยมีaไม่เป็นลบ

แกนรองคือเส้นผ่าศูนย์กลางที่สั้นที่สุดของวงรีและครึ่งหนึ่งของความยาวของมันคือกึ่งแกนเล็ก ๆ น้อย ๆ ( ข ) ค่าเดียวกันขในขณะที่สมมาตรฐานดังต่อไปนี้ โดยการเปรียบเทียบสำหรับไฮเพอร์โบลาเราเรียกพารามิเตอร์bในสมการมาตรฐานว่าแกนกึ่งรอง

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้: ^[6]

• ${\ displaystyle \ \ ell = pe}$
• ${\ displaystyle \ c = ae}$
• ${\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}}$

สำหรับกรวยในตำแหน่งมาตรฐานพารามิเตอร์เหล่านี้มีค่าดังต่อไปนี้รับ ${\ displaystyle a, b> 0}$.

ภาคตัดกรวย	สมการ	ความเยื้องศูนย์ ( e )	ความเยื้องศูนย์เชิงเส้น ( c )	ทวารหนักกึ่งลาตัส ( ℓ )	พารามิเตอร์โฟกัส ( p )
วงกลม	${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle 0 \,}$	${\ displaystyle a \,}$	${\ displaystyle \ infty}$
วงรี	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}}$
พาราโบลา	${\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \,}$	${\ displaystyle 1 \,}$	ไม่มี	${\ displaystyle 2a \,}$	${\ displaystyle 2a \,}$
ไฮเพอร์โบลา	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}$	${\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}}$	${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}}$	${\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}}$

รูปแบบมาตรฐานในพิกัดคาร์ทีเซียน

รูปแบบมาตรฐานของวงรี

รูปแบบมาตรฐานของพาราโบลา

รูปแบบมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา

หลังจากแนะนำพิกัดคาร์ทีเซียนคุณสมบัติโฟกัส - ไดเร็กซ์สามารถใช้เพื่อสร้างสมการที่เป็นที่พอใจของจุดของภาคตัดกรวย ^[7]โดยวิธีการเปลี่ยนพิกัด ( การหมุนและการแปลแกน ) สมการเหล่านี้สามารถใส่ลงในรูปแบบมาตรฐานได้ ^[8]สำหรับจุดไข่ปลาและไฮเพอร์โบลารูปแบบมาตรฐานจะมีแกนxเป็นแกนหลักและจุดกำเนิด (0,0) เป็นศูนย์กลาง จุดที่มี(± , 0)และจุดโฟกัส(± ค , 0) กำหนดbด้วยสมการc ² = a ² - b ²สำหรับวงรีและc ² = a ² + b ²สำหรับไฮเพอร์โบลา สำหรับวงกลมC = 0ดังนั้น² = ข 2 สำหรับรูปโค้งในรูปแบบมาตรฐานมีการมุ่งเน้นที่xแกนที่จุด( , 0)และไดเรกตริกซ์บรรทัดที่มีสมการx = - ในรูปแบบมาตรฐานพาราโบลาจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ

สำหรับไฮเพอร์โบลารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือด้านเท่ากัน เส้นที่มีเส้นกำกับตั้งฉากมีรูปแบบมาตรฐานทางเลือกซึ่งเส้นกำกับคือแกนพิกัดและเส้นx = yเป็นแกนหลัก foci แล้วมีพิกัด( C , C )และ(- ค - ค ) ^[9]

• วงกลม: x ² + y ² = a ²
• วงรี: x ²/ก² + ปี²/ข² = 1
• พาราโบลา: y ² = 4 ขวานที่มีa > 0
• ไฮเพอร์โบลา: x ²/ก² - ปี²/ข² = 1
• ไฮเพอร์โบลาสี่เหลี่ยม: ^[10] xy = ค²/2

สี่รูปแบบแรกเหล่านี้สมมาตรเกี่ยวกับทั้งแกนxและแกนy (สำหรับวงกลมวงรีและไฮเพอร์โบลา) หรือเกี่ยวกับแกนxเท่านั้น (สำหรับพาราโบลา) hyperbola รูปสี่เหลี่ยม แต่เป็นแทนสมมาตรเกี่ยวกับสายY = xและy ที่ = - x

แบบฟอร์มมาตรฐานเหล่านี้สามารถเขียนแบบพาราเมตริกเป็น

• วงกลม : ( cos θ , บาปθ ) ,
• วงรี : ( a cos θ , b sin θ ) ,
• พาราโบลา : ( ที่² , 2 ที่ ) ,
• ไฮเพอร์โบลา : ( a sec θ , b tan θ )หรือ(± a cosh u , b sinh u ) ,
• ไฮเพอร์โบลาสี่เหลี่ยม :${\ displaystyle (dt, {\ frac {d} {t}})}$ ที่ไหน ${\ displaystyle d = {\ frac {c} {\ sqrt {2}}}}$

แบบฟอร์มคาร์ทีเซียนทั่วไป

ในระบบ Cartesian ประสานงานที่กราฟของสมการสองตัวแปรอยู่เสมอภาคตัดกรวย (แม้ว่ามันอาจจะเลว^[11] ) และทุกส่วนที่มีรูปกรวยเกิดขึ้นในลักษณะนี้ สมการทั่วไปส่วนใหญ่อยู่ในรูปแบบ^[12]

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,}$

ด้วยจำนวนจริงของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดและA, B, Cไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด

สัญกรณ์เมทริกซ์

สมการข้างต้นสามารถเขียนด้วยสัญกรณ์เมทริกซ์เป็น^[13]

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} D&E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {เมทริกซ์}} \ right) + F = 0.}$

สมการทั่วไปสามารถเขียนเป็น

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 1 \ end {matrix}} \ right) = 0}$

แบบฟอร์มนี้เป็นความเชี่ยวชาญเฉพาะของรูปแบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ใช้ในการตั้งค่าทั่วไปของเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์ (ดูด้านล่าง )

เลือกปฏิบัติ

ส่วนรูปกรวยที่อธิบายโดยสมการนี้สามารถจำแนกได้ในรูปของมูลค่า ${\ displaystyle B ^ {2} -4AC}$เรียกว่าการเลือกปฏิบัติของสมการ ^[14]ดังนั้นตัวเลือกคือ- 4Δโดยที่Δคือดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ ${\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right |.}$

ถ้ากรวยไม่เสื่อมสภาพให้: ^[15]

• ถ้าB ² - 4 AC <0สมการแสดงให้เห็นถึงรูปวงรี ;
  • ถ้าA = CและB = 0สมการแสดงถึงวงกลมซึ่งเป็นกรณีพิเศษของวงรี
• ถ้าB ² - 4 AC = 0สมการแสดงให้เห็นถึงรูปโค้ง ;
• ถ้าB ² - 4 AC > 0สมการแสดงให้เห็นถึงhyperbola ;
  • ถ้า+ C = 0สมการแสดงให้เห็นถึงhyperbola รูปสี่เหลี่ยม

ในสัญกรณ์ใช้ที่นี่และBมีค่าสัมประสิทธิ์พหุนามในทางตรงกันข้ามกับแหล่งที่มาของบางอย่างที่แสดงว่าแกนกล่ำและ semiminor เป็นและB

ค่าคงที่

จำแนกB ² - 4 ACของสมการกำลังสองภาคตัดกรวย (หรือค่าเท่าปัจจัย AC - B ² /4ของ 2 × 2 เมทริกซ์) และปริมาณ+ C (คนร่องรอยของ 2 × 2 เมทริกซ์) อยู่ภายใต้การแปรเปลี่ยน ผลัดโดยพลการและการแปลพิกัดแกน^{[15] [16] [17]}เป็นปัจจัยของ3 × 3 เมทริกซ์ดังกล่าวข้างต้น ^{[18] : หน้า 60–62}ระยะคงที่FและผลรวมD ² + E ²เป็นค่าคงที่ภายใต้การหมุนเท่านั้น ^{[18] : หน้า 60–62}

ความเยื้องศูนย์ในแง่ของสัมประสิทธิ์

เมื่อภาคตัดกรวยเขียนพีชคณิตเป็น

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0, \,}$

ความเยื้องศูนย์สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง ^[19]ถ้า4 AC = B ²รูปกรวยเป็นพาราโบลาและความเยื้องศูนย์เท่ากับ 1 (หากไม่เสื่อมสภาพ) มิฉะนั้นสมมติว่าสมการแสดงถึงไฮเพอร์โบลาหรือวงรีที่ไม่เสื่อมสภาพความเบี้ยวจะได้รับจาก

${\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}},}$

โดยที่η = 1ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ด้านบนเป็นลบและη = −1ถ้าดีเทอร์มิแนนต์นั้นเป็นบวก

นอกจากนี้ยังสามารถแสดง^{[18] : p. 89}ว่าความเยื้องศูนย์เป็นคำตอบที่เป็นบวกของสมการ

${\ displaystyle \ Delta e ^ {4} + [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] e ^ {2} - [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] = 0, }$

ที่ไหนอีกแล้ว ${\ displaystyle \ Delta = AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}}.}$ นี่มีวิธีแก้ปัญหาเชิงบวกอย่างแม่นยำอย่างหนึ่งนั่นคือความเยื้องศูนย์ - ในกรณีของพาราโบลาหรือวงรีในขณะที่ในกรณีของไฮเพอร์โบลาจะมีคำตอบที่เป็นบวกสองคำซึ่งหนึ่งในนั้นคือความเยื้องศูนย์กลาง

การแปลงเป็นรูปแบบบัญญัติ

ในกรณีของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาสมการ

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 \,}$

สามารถแปลงเป็นรูปแบบบัญญัติในตัวแปรที่แปลงแล้ว ${\ displaystyle x ', y'}$เป็น^[20]

${\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2})}} + {\ frac {y' ^ {2}} {-S / (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} ^ {2})}} = 1,}$

หรือเทียบเท่า

${\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ Delta)}} + {\ frac {y' ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {2} \ Delta)}} = 1,}$

ที่ไหน ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$ และ ${\ displaystyle \ lambda _ {2}}$คือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right)}$ นั่นคือคำตอบของสมการ

${\ displaystyle \ lambda ^ {2} - (A + C) \ lambda + (AC- (B / 2) ^ {2}) = 0}$

- และ ${\ displaystyle S}$คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ด้านบนและ${\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}}$เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2 × 2 อีกครั้ง ในกรณีของวงรีกำลังสองของสองแกนจะถูกกำหนดโดยตัวส่วนในรูปแบบบัญญัติ

พิกัดเชิงขั้ว

การพัฒนาของภาคตัดกรวยเป็นความผิดปกติ ทาง eเพิ่มขึ้น

ในพิกัดเชิงขั้วส่วนรูปกรวยที่มีโฟกัสหนึ่งจุดที่จุดกำเนิดและอีกส่วนหนึ่งมีค่าเป็นลบ (สำหรับวงรี) หรือค่าบวก (สำหรับไฮเพอร์โบลา) บนแกนxจะได้รับจากสมการ

${\ displaystyle r = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}},}$

โดยที่eคือความเยื้องศูนย์และlคือทวารหนักกึ่งลาตัส

ข้างต้นสำหรับe = 0กราฟจะเป็นวงกลมสำหรับ0 < e <1กราฟจะเป็นวงรีสำหรับe = 1 a พาราโบลาและสำหรับe > 1เป็นไฮเพอร์โบลา

รูปแบบขั้วของสมการของรูปกรวยมักจะใช้ในการเปลี่ยนแปลง ; ตัวอย่างเช่นการกำหนดวงโคจรของวัตถุที่หมุนรอบดวงอาทิตย์ ^[21]

คุณสมบัติ

เช่นเดียวกับสอง (ที่แตกต่างกัน) จุดตรวจสอบบรรทัดห้าจุดกำหนดรูปกรวย อย่างเป็นทางการกำหนดให้ห้าจุดใด ๆ ในระนาบในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปซึ่งหมายความว่าไม่มีสามcollinearมีรูปกรวยที่ไม่ซ้ำกันผ่านพวกเขาซึ่งจะไม่เสื่อมสภาพ นี่เป็นความจริงทั้งในระนาบยุคลิดและส่วนขยายซึ่งเป็นระนาบฉายภาพที่แท้จริง อันที่จริงให้ห้าจุดใด ๆ มีรูปกรวยผ่านพวกเขา แต่ถ้าสามจุดนั้นเรียงกันเป็นรูปกรวยจะเสื่อม (ลดลงได้เนื่องจากมีเส้น) และอาจไม่ซ้ำกัน ดูการอภิปรายต่อไป

จุดสี่จุดในระนาบในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปจะกำหนดรูปกรวยที่ไม่ซ้ำกันผ่านสามจุดแรกและมีจุดที่สี่เป็นจุดศูนย์กลาง ดังนั้นการรู้จุดศูนย์กลางจึงเทียบเท่ากับการรู้จุดสองจุดบนรูปกรวยเพื่อจุดประสงค์ในการกำหนดเส้นโค้ง ^[22]

นอกจากนี้รูปกรวยยังถูกกำหนดโดยการรวมกันของจุดkในตำแหน่งทั่วไปที่มันผ่านและ 5 - kเส้นที่สัมผัสกับมันสำหรับ0≤ k ≤5 ^[23]

จุดใด ๆ ในระนาบอยู่บนศูนย์เส้นสัมผัสหนึ่งหรือสองเส้นของรูปกรวย จุดบนเส้นสัมผัสเส้นเดียวอยู่บนรูปกรวย จุดบนเส้นสัมผัสไม่ได้ถูกกล่าวว่าเป็นจุดภายใน (หรือจุดภายใน ) ของรูปกรวยในขณะที่จุดบนเส้นสัมผัสสองเส้นเป็นจุดภายนอก (หรือจุดด้านนอก )

ส่วนรูปกรวยทั้งหมดมีคุณสมบัติการสะท้อนที่สามารถระบุได้ว่า: กระจกทั้งหมดในรูปทรงของส่วนรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพจะสะท้อนแสงที่มาจากหรือไปที่โฟกัสหนึ่งไปยังหรืออยู่ห่างจากโฟกัสอื่น ๆ ในกรณีของพาราโบลาโฟกัสที่สองจะต้องคิดว่าอยู่ไกลไม่สิ้นสุดเพื่อให้รังสีของแสงที่พุ่งเข้าหาหรือมาจากโฟกัสที่สองขนานกัน ^{[24] [25]}

ทฤษฎีบทของปาสคาลเกี่ยวข้องกับความเรียงของจุดสามจุดที่สร้างขึ้นจากชุดของจุดหกจุดบนรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพ ทฤษฎีบทนี้ยังถือสำหรับ conics เลวประกอบด้วยสองเส้น แต่ในกรณีที่เป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบท Pappus ของ

ภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพจะ " เรียบ " เสมอ นี้เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการใช้งานเป็นจำนวนมากเช่นอากาศพลศาสตร์ที่มีพื้นผิวเรียบเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าการไหลแบบราบเรียบและเพื่อป้องกันความวุ่นวาย

Menaechmus และงานแรก ๆ

เชื่อกันว่าคำจำกัดความแรกของภาคตัดกรวยได้รับจากMenaechmus (เสียชีวิต 320 ก่อนคริสตศักราช) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหา Delian (การทำสำเนาลูกบาศก์ ) ^{[26] [27]}งานของเขาไม่รอดแม้แต่ชื่อที่เขาใช้สำหรับเส้นโค้งเหล่านี้และเป็นที่รู้จักกันผ่านบัญชีรองเท่านั้น ^[28]คำจำกัดความที่ใช้ในเวลานั้นแตกต่างจากคำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบัน กรวยถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากเกี่ยวกับขาข้างใดข้างหนึ่งดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากจะสร้างพื้นผิวของกรวย (เส้นดังกล่าวเรียกว่ายีน ) กรวยสามประเภทถูกกำหนดโดยมุมจุดยอด (วัดโดยสองเท่าของมุมที่เกิดจากด้านตรงข้ามมุมฉากและขาที่หมุนไปรอบ ๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก) จากนั้นส่วนรูปกรวยจะถูกกำหนดโดยการตัดกันหนึ่งในกรวยเหล่านี้ด้วยระนาบที่ลากตั้งฉากกับเจเนอเรเตอร์ ประเภทของกรวยจะถูกกำหนดโดยประเภทของกรวยนั่นคือโดยมุมที่เกิดขึ้นที่จุดยอดของกรวย: ถ้ามุมนั้นเป็นมุมแหลมรูปกรวยจะเป็นวงรี ถ้ามุมถูกต้องรูปกรวยจะเป็นพาราโบลา และถ้ามุมเป็นป้านรูปกรวยจะเป็นไฮเพอร์โบลา (แต่มีเพียงกิ่งก้านเดียวของเส้นโค้ง) ^[29]

Euclid (ชั้น 300 ก่อนคริสตศักราช) กล่าวกันว่าได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับรูปกรวยสี่เล่ม แต่สิ่งเหล่านี้ก็สูญหายไปเช่นกัน ^[30] Archimedes (เสียชีวิตค. 212 คริสตศักราช) เป็นที่รู้จักกันได้ศึกษา conics มีการกำหนดพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยรูปโค้งและคอร์ดในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของพาราโบลา ความสนใจหลักของเขาคือในแง่ของพื้นที่และปริมาณของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับ conics และเป็นส่วนหนึ่งของการทำงานนี้รอดในหนังสือของเขาในของแข็งของการปฏิวัติของ conics วัดใน conoids และ spheroids ^[31]

Apollonius of Perga

แผนภาพจากConicsของ Apollonius ในการแปลภาษาอาหรับในศตวรรษที่ 9

ความก้าวหน้าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในการศึกษารูปกรวยโดยชาวกรีกโบราณเกิดจากApollonius of Perga (เสียชีวิตในคริสตศักราช 190) ซึ่งมีConic SectionsหรือConicsแปดเล่มได้สรุปและขยายความรู้ที่มีอยู่อย่างมาก ^[32]การศึกษาคุณสมบัติของเส้นโค้งเหล่านี้ของ Apollonius ทำให้สามารถแสดงให้เห็นว่าเครื่องบินใด ๆ ที่ตัดกรวยคู่คงที่ (สองงีบ) โดยไม่คำนึงถึงมุมของมันจะทำให้เกิดรูปกรวยตามคำจำกัดความก่อนหน้าซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไป วันนี้. วงกลมซึ่งไม่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีการก่อนหน้านี้ยังสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้ นี่อาจอธิบายว่าเหตุใด Apollonius จึงถือว่าวงกลมเป็นรูปกรวยประเภทที่สี่ซึ่งเป็นความแตกต่างที่ไม่ได้ทำอีกต่อไป Apollonius ใช้ชื่อวงรี , รูปโค้งและhyperbolaสำหรับเส้นโค้งเหล่านี้ยืมคำศัพท์จากการทำงานของพีทาโกรัสก่อนหน้านี้ในพื้นที่ที่ ^[33]

Pappus of Alexandria (เสียชีวิตในค. 350 CE) ได้รับการให้เครดิตกับการอธิบายถึงความสำคัญของแนวคิดของรูปกรวยและรายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดที่เกี่ยวข้องของไดเร็กซ์รวมถึงกรณีของพาราโบลา (ซึ่งขาดในผลงานที่เป็นที่รู้จักของ Apollonius) ^[34]

อัล - กุฮี

เป็นเครื่องมือสำหรับการวาดภาพภาคตัดกรวยเป็นครั้งแรก 1000 CE โดยนักคณิตศาสตร์อิสลามอัล Kuhi ^{[35] : 30 [36]}

Omar Khayyám

งานของ Apollonius ได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับและงานของเขาส่วนใหญ่จะมีชีวิตอยู่ในเวอร์ชันภาษาอาหรับเท่านั้น ชาวเปอร์เซียพบการประยุกต์ใช้ทฤษฎีโดยเฉพาะอย่างยิ่งชาวเปอร์เซีย^[37]นักคณิตศาสตร์และกวีOmar Khayyámผู้ค้นพบวิธีการทางเรขาคณิตในการแก้สมการลูกบาศก์โดยใช้ภาคตัดกรวย ^{[38] [39]}

ยุโรป

โยฮันเนสเคปเลอร์ขยายทฤษฎีรูปกรวยผ่าน " หลักการแห่งความต่อเนื่อง " ซึ่งเป็นสารตั้งต้นของแนวคิดเรื่องขีด จำกัด Kepler ใช้คำว่าfociเป็นครั้งแรกในปี 1604 ^[40]

Girard DesarguesและBlaise Pascal ได้พัฒนาทฤษฎีรูปกรวยโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์ในยุคแรกและช่วยให้เกิดแรงผลักดันในการศึกษาสาขาใหม่นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Pascal ได้ค้นพบทฤษฎีบทที่เรียกว่าhexagrammum mysticumซึ่งสามารถอนุมานคุณสมบัติอื่น ๆ ของรูปกรวยได้

René DescartesและPierre Fermat ได้ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ที่ค้นพบใหม่กับการศึกษารูปกรวย สิ่งนี้มีผลในการลดปัญหาทางเรขาคณิตของรูปกรวยเป็นปัญหาในพีชคณิต อย่างไรก็ตามJohn Wallisในตำราของเขาในปี 1655 Tractatus de sectionibus conicisซึ่งเป็นคนแรกที่กำหนดภาคตัดกรวยเป็นตัวอย่างของสมการระดับที่สอง ^[41]เขียนก่อนหน้านี้ แต่การตีพิมพ์ต่อมาแจนเดอวิตต์ 's Elementa Curvarum Linearumเริ่มต้นด้วยเคปเลอร์จลนศาสตร์การก่อสร้างของ conics แล้วพัฒนาสมการพีชคณิต งานนี้ซึ่งใช้วิธีการของแฟร์มาต์และสัญกรณ์ของเดส์การ์ตส์ได้รับการอธิบายว่าเป็นตำราเล่มแรกในหัวข้อนี้ ^[42]เดวิตต์คิดค้นระยะไดเรกตริกซ์ ^[42]

paraboloidรูปร่างของ Archeocyathidsผลิตภาคตัดกรวยบนใบหน้าของร็อค

ภาคตัดกรวยมีความสำคัญในทางดาราศาสตร์ : วงโคจรของวัตถุขนาดใหญ่สองชิ้นที่มีปฏิสัมพันธ์กันตามกฎของความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเป็นภาคตัดกรวยหากจุดศูนย์กลางมวลร่วมกันถือว่าอยู่นิ่ง หากพวกมันถูกมัดเข้าด้วยกันทั้งคู่จะไล่ตามจุดไข่ปลา ถ้าพวกมันแยกออกจากกันทั้งคู่จะตามพาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลา ดูสองปัญหาร่างกาย

คุณสมบัติสะท้อนแสงของภาคตัดกรวยใช้ในการออกแบบไฟฉายกล้องโทรทรรศน์วิทยุและกล้องโทรทรรศน์แบบใช้แสงบางชนิด ^[43]ไฟฉายใช้กระจกพาราโบลาเป็นตัวสะท้อนแสงโดยมีหลอดไฟอยู่ที่โฟกัส และการก่อสร้างที่คล้ายกันคือใช้สำหรับไมโครโฟนพาราโบลา กล้องโทรทรรศน์ออปติคอล Herschel ความยาว 4.2 เมตรบน La Palma ในหมู่เกาะ Canary ใช้กระจกพาราโบลาหลักเพื่อสะท้อนแสงไปยังกระจกไฮเพอร์โบลิกทุติยภูมิซึ่งสะท้อนกลับไปยังจุดโฟกัสหลังกระจกบานแรกอีกครั้ง

ภาคตัดกรวยมีคุณสมบัติคล้ายกันมากในระนาบยุคลิดและสาเหตุของสิ่งนี้จะชัดเจนขึ้นเมื่อรูปกรวยถูกมองจากมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตที่ใหญ่กว่า เครื่องบินแบบยุคลิดอาจฝังอยู่ในระนาบโปรเจ็กต์จริงและรูปกรวยอาจถือได้ว่าเป็นวัตถุในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกต์นี้ วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการแนะนำพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันและกำหนดรูปกรวยให้เป็นชุดของจุดที่มีพิกัดเป็นไปตามสมการกำลังสองที่ไม่สามารถวัดได้ในสามตัวแปร (หรือเทียบเท่ากันคือเลขศูนย์ของรูปแบบกำลังสองที่วัดไม่ได้) เพิ่มเติมเทคนิคชุดของจุดที่มีค่าศูนย์ของรูปแบบสมการกำลังสอง (ในจำนวนของตัวแปรใด ๆ ) เรียกว่าquadricและ quadrics ลดลงในสองพื้นที่ projective มิติ (นั่นคือมีสามตัวแปร) จะเรียกว่าประเพณี conics

ระนาบแบบยุคลิดR ²ฝังอยู่ในระนาบโพรเจกไทล์จริงโดยเชื่อมต่อกับเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด (และจุดที่สอดคล้องกันที่อินฟินิตี้ ) เพื่อให้เส้นทั้งหมดของคลาสคู่ขนานมาบรรจบกันบนเส้นนี้ ในทางกลับกันเริ่มต้นด้วยระนาบฉายจริงเครื่องบินแบบยุคลิดได้มาจากการแยกแยะเส้นบางเส้นเป็นเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดและลบออกและจุดทั้งหมดของมัน

จุดตัดที่อินฟินิตี้

ในพื้นที่ฉายภาพเหนือวงแหวนการหารใด ๆ แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งเหนือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพทั้งหมดจะมีค่าเท่ากันดังนั้นในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์เราก็พูดถึง "รูปกรวย" โดยไม่ต้องระบุประเภท นั่นคือมีการเปลี่ยนแปลงแบบโพรเจกไทล์ที่จะจับคู่รูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพกับรูปกรวยอื่น ๆ ที่ไม่เสื่อมสภาพ ^[44]

ภาคตัดกรวยทั้งสามประเภทจะปรากฏขึ้นอีกครั้งในระนาบ Affine ที่ได้จากการเลือกเส้นของพื้นที่ฉายภาพให้เป็นเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด จากนั้นทั้งสามประเภทจะถูกกำหนดโดยวิธีที่เส้นตรงอินฟินิตี้ตัดรูปกรวยในปริภูมิฉาย ในช่องว่างเชิงเส้นที่ตรงกันหนึ่งจะได้วงรีถ้ารูปกรวยไม่ตัดเส้นที่อินฟินิตี้พาราโบลาถ้ารูปกรวยตัดเส้นที่อินฟินิตี้ในจุดคู่หนึ่งจุดที่ตรงกับแกนและไฮเพอร์โบลาถ้ารูปกรวยตัดกับเส้นที่ อินฟินิตี้ในสองจุดที่สอดคล้องกับเส้นกำกับ ^[45]

พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันส่วนรูปกรวยสามารถแสดงเป็น:

${\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.}$

หรือในสัญกรณ์เมทริกซ์

${\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0}$

3 × 3 เมทริกซ์ดังกล่าวข้างต้นจะเรียกว่าเมทริกซ์ของส่วนรูปกรวย

ผู้เขียนบางคนชอบเขียนสมการเอกพันธ์ทั่วไปเป็น

${\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0,}$

(หรือรูปแบบบางอย่าง) เพื่อให้เมทริกซ์ของภาคตัดกรวยมีรูปแบบที่ง่ายกว่า

${\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ right),}$

แต่ไม่ได้ใช้สัญกรณ์นี้ในบทความนี้ ^[46]

หากปัจจัยของเมทริกซ์ของภาคตัดกรวยเป็นศูนย์ภาคตัดกรวยเป็นคนเลว

เมื่อคูณค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหกด้วยสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกันจะทำให้ได้สมการที่มีชุดศูนย์เดียวกันเราสามารถพิจารณารูปกรวยซึ่งแสดงโดย( A , B , C , D , E , F )เป็นจุดในการฉายภาพห้ามิติพื้นที่ ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.}$

คำจำกัดความของวงกลม

แนวคิดเชิงเมตริกของเรขาคณิตแบบยุคลิด (แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการวัดความยาวและมุม) ไม่สามารถขยายไปยังระนาบการฉายจริงได้ทันที ^[47]พวกเขาจะต้องถูกกำหนดใหม่ (และเป็นลักษณะทั่วไป) ในรูปทรงเรขาคณิตใหม่นี้ สิ่งนี้สามารถทำได้สำหรับเครื่องบินแบบฉายภาพโดยพลการแต่เพื่อให้ได้ระนาบการฉายจริงในฐานะเครื่องบินแบบยุคลิดที่ขยายออกจำเป็นต้องมีทางเลือกเฉพาะบางอย่าง ^[48]

แก้ไขบรรทัดโดยพลการใน projective เครื่องบินนั้นจะต้องถูกเรียกว่าเส้นแน่นอน เลือกสองจุดที่แตกต่างกันในบรรทัดที่แน่นอนและหมายถึงพวกเขาเป็นจุดที่แน่นอน สามารถกำหนดแนวคิดเชิงเมตริกได้หลายประการโดยอ้างอิงถึงทางเลือกเหล่านี้ ยกตัวอย่างเช่นรับสายที่มีจุดและBที่จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นABถูกกำหนดให้เป็นจุดCซึ่งเป็นคอนจูเกตฮาร์โมนิ projectiveของจุดตัดของABและสายแน่นอนเกี่ยวกับการและB

รูปกรวยใน projective เครื่องบินที่มีสองจุดที่แน่นอนจะเรียกว่าเป็นวงกลม เนื่องจากจุดห้าจุดกำหนดรูปกรวยวงกลม (ซึ่งอาจเสื่อมสภาพ) จึงถูกกำหนดโดยจุดสามจุด ที่จะได้รับเครื่องบินแบบยุคลิดขยายสายแน่นอนได้รับเลือกให้เป็นสายที่อินฟินิตี้ของเครื่องบินแบบยุคลิดและจุดที่แน่นอนที่มีสองจุดพิเศษในสายที่เรียกว่าจุดวงกลมที่อินฟินิตี้ บรรทัดที่มีสองจุดด้วยพิกัดจริงไม่ผ่านจุดวงกลมไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นในระนาบแบบยุคลิดวงกลมภายใต้คำนิยามนี้จะถูกกำหนดโดยสามจุดที่ไม่collinear ^{[49] : 72}

มีการกล่าวถึงว่าวงกลมในระนาบยุคลิดไม่สามารถกำหนดได้ด้วยคุณสมบัติโฟกัส - ไดเรคทริกซ์ อย่างไรก็ตามหากต้องพิจารณาเส้นตรงอินฟินิตี้เป็น directrix ดังนั้นการใช้ความเบี้ยวเป็นe = 0วงกลมจะมีคุณสมบัติ focus-directrix แต่คุณสมบัตินั้นยังไม่ได้กำหนดไว้ ^[50]เราต้องระมัดระวังในสถานการณ์นี้เพื่อใช้นิยามของความเยื้องศูนย์อย่างถูกต้องเป็นอัตราส่วนของระยะห่างของจุดบนวงกลมกับโฟกัส (ความยาวของรัศมี) กับระยะทางของจุดนั้นไปยังเส้นตรง (ระยะนี้ ไม่มีที่สิ้นสุด) ซึ่งให้ค่า จำกัด เป็นศูนย์

นิยามรูปกรวยแบบโปรเจกต์ของ Steiner

ความหมายของการสร้าง Steiner ของภาคตัดกรวย

วิธีการสังเคราะห์ (ไม่มีพิกัด) ในการกำหนดภาคตัดกรวยในระนาบโปรเจ็กต์ได้รับจากJakob Steinerในปีพ. ศ. 2410

• ให้ดินสอสองแท่ง ${\ displaystyle B (U), B (V)}$ ของเส้นสองจุด ${\ displaystyle U, V}$ (ทุกบรรทัดที่มี ${\ displaystyle U}$ และ ${\ displaystyle V}$resp.) และการทำแผนที่แบบฉายภาพแต่ไม่ใช่มุมมอง${\ displaystyle \ pi}$ ของ ${\ displaystyle B (U)}$ ไปยัง ${\ displaystyle B (V)}$. จากนั้นจุดตัดของเส้นที่สอดคล้องกันจะก่อให้เกิดส่วนที่เป็นรูปกรวยฉายที่ไม่เสื่อมสภาพ ^{[51] [52] [53] [54]}

การทำแผนที่มุมมอง${\ displaystyle \ pi}$ ของดินสอ ${\ displaystyle B (U)}$ ลงบนดินสอ ${\ displaystyle B (V)}$เป็นbijection (การโต้ตอบ 1-1) ซึ่งเส้นที่เกี่ยวข้องตัดกันบนเส้นคงที่${\ displaystyle a}$ซึ่งเรียกว่าแกนของมุมมอง${\ displaystyle \ pi}$.

การทำแผนที่แบบฉายภาพเป็นลำดับที่ จำกัด ของการแมปเปอร์สเปคทีฟ

เนื่องจากการทำแผนที่แบบฉายภาพในระนาบโปรเจ็กต์เหนือสนาม ( ระนาบ pappian ) ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยกำหนดภาพของเส้นสามเส้น^[55]สำหรับการสร้าง Steiner ของภาคตัดกรวยนอกเหนือจากจุดสองจุด${\ displaystyle U, V}$ต้องให้ภาพ 3 บรรทัดเท่านั้น 5 รายการเหล่านี้ (2 จุด 3 บรรทัด) กำหนดส่วนรูปกรวยโดยไม่ซ้ำกัน

รูปกรวย

ตามหลักการของความเป็นคู่ในระนาบโปรเจ็กต์คู่ของแต่ละจุดคือเส้นและสองตำแหน่งของจุด (ชุดของจุดที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ) เรียกว่าซองของเส้น การใช้คำจำกัดความของรูปกรวยของ Steiner (ที่ตั้งของจุดนี้จะเรียกว่าจุดกรวย ) เป็นการพบกันของรังสีที่สอดคล้องกันของดินสอสองแท่งที่เกี่ยวข้องกันทำให้ง่ายต่อการปรับคู่และได้รับซองจดหมายที่เกี่ยวข้องซึ่งประกอบด้วยการรวมของจุดที่สอดคล้องกันของ สองช่วงที่เกี่ยวข้องกัน (จุดบนเส้น) บนฐานที่ต่างกัน (เส้นที่จุดอยู่บน) ซองจดหมายดังกล่าวเรียกว่ากรวยเส้น (หรือกรวยคู่ )

ในระนาบโปรเจ็กต์จริงรูปกรวยจุดมีคุณสมบัติที่ทุกเส้นมาบรรจบกันเป็นสองจุด (ซึ่งอาจตรงกันหรืออาจซับซ้อน) และชุดของจุดใด ๆ ที่มีคุณสมบัตินี้เป็นรูปกรวย ตามด้วย dually ที่รูปกรวยเส้นมีสองเส้นผ่านทุกจุดและซองของเส้นใด ๆ ที่มีคุณสมบัตินี้คือรูปกรวยเส้น เมื่อมาถึงจุดของรูปกรวยทุกจุดมีเส้นสัมผัสไม่ซ้ำกันและ dually บนเส้นบรรทัดทุกรูปกรวยมีจุดที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่าจุดของการติดต่อ ทฤษฎีบทที่สำคัญกล่าวว่าเส้นสัมผัสของรูปกรวยจุดเป็นรูปกรวยเส้นและ dually จุดสัมผัสของรูปกรวยเป็นรูปกรวยจุด ^{[56] : 48–49}

คำจำกัดความของ Von Staudt

Karl Georg Christian von Staudtกำหนดรูปกรวยเป็นจุดที่กำหนดโดยจุดสัมบูรณ์ทั้งหมดของขั้วที่มีจุดสัมบูรณ์ Von Staudt แนะนำคำจำกัดความนี้ในGeometrie der Lage (1847) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของความพยายามของเขาที่จะลบแนวคิดเชิงเมตริกทั้งหมดออกจากรูปทรงเรขาคณิต

ขั้ว , πของเครื่องบิน projective, Pเป็น involutory (เช่นการสั่งซื้อสอง) bijectionระหว่างจุดและเส้นของPที่เก็บรักษาความสัมพันธ์อุบัติการณ์ ดังนั้นขั้วเกี่ยวข้องจุดQกับสายคิวและต่อไปนี้Gergonne , Qเรียกว่าขั้วของQและQเสาของคิว ^[57]จุดที่แน่นอน ( สาย ) ของขั้วเป็นหนึ่งซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับขั้วโลก (เสา) ^[58]

ฟอน Staudt รูปกรวยในระนาบจริง projective เทียบเท่ากับรูปกรวยทิ ^[59]

โครงสร้าง

ไม่สามารถสร้างส่วนโค้งต่อเนื่องของรูปกรวยได้ด้วยเส้นตรงและเข็มทิศ อย่างไรก็ตามมีโครงสร้างเส้นตรงและเข็มทิศหลายแบบสำหรับจุดแต่ละจุดบนส่วนโค้ง

หนึ่งในนั้นมีพื้นฐานมาจากการสนทนาของทฤษฎีบทของปาสคาลกล่าวคือถ้าจุดตัดของด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยมเป็นแนวคอลลิเนียร์จุดยอดทั้งหกจะอยู่บนรูปกรวย โดยเฉพาะให้ห้าจุดA , B , C , D , Eและเส้นที่ผ่านEพูดว่าEGจุดFที่อยู่บนเส้นนี้และอยู่บนรูปกรวยที่กำหนดโดยจุดทั้งห้าที่สามารถสร้างได้ Let ABพบDEในL , BCพบEGในMและปล่อยซีดีพบLMที่ยังไม่มี จากนั้นตรงตามEGที่จุดที่จำเป็นF ^{[60] : 52–53}โดยการเปลี่ยนเส้นผ่านEทำให้สามารถสร้างจุดเพิ่มเติมบนรูปกรวยได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสำหรับการสร้างวงรี

อีกวิธีหนึ่งขึ้นอยู่กับโครงสร้างของ Steiner และเป็นประโยชน์ในการใช้งานทางวิศวกรรมคือวิธีสี่เหลี่ยมด้านขนานที่รูปกรวยถูกสร้างขึ้นทีละจุดโดยการเชื่อมต่อจุดที่มีระยะห่างเท่า ๆ กันบนเส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้ง ^[61]โดยเฉพาะเพื่อสร้างวงรีด้วยสมการx ²/ก² + ปี²/ข²= 1แรกสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าABCDที่มีจุด( , 0), B ( 2 ข ), C (- 2 ข )และD (- , 0) แบ่งBCด้านข้างออกเป็นnส่วนที่เท่ากันและใช้การฉายแบบขนานเทียบกับAC ในแนวทแยงเพื่อสร้างส่วนที่เท่ากันบนด้านAB (ความยาวของส่วนเหล่านี้จะเป็นข/กคูณความยาวของเซ็กเมนต์บนBC ) ในอีกด้านBCฉลากปลายทางซ้ายมือของกลุ่มที่มี_{ที่ 1}เพื่อ_nเริ่มต้นที่Bและมุ่งหน้าไปยังC ในอีกด้านABป้ายปลายทางบนD ₁เพื่อD _nเริ่มต้นที่และมุ่งหน้าไปยังB จุดตัด, AA_ฉัน ∩ DD_ฉันสำหรับ1 ≤ ฉัน ≤ nจะเป็นจุดของวงรีระหว่างและP (0, B ) การติดฉลากจะเชื่อมโยงเส้นของดินสอผ่านAกับเส้นของดินสอถึงD เป็นโครงร่างแต่ไม่ใช่ในมุมมอง รูปกรวยที่ต้องการนั้นได้มาจากโครงสร้างนี้เนื่องจากจุดสามจุดA , DและPและเส้นสัมผัสสองเส้น (เส้นแนวตั้งที่AและD ) กำหนดรูปกรวยโดยไม่ซ้ำกัน ถ้าใช้เส้นผ่านศูนย์กลางอื่น (และเส้นผ่านศูนย์กลางคอนจูเกต) แทนแกนหลักและแกนรองของวงรีจะใช้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้าในการสร้างโดยตั้งชื่อวิธีการ สามารถขยายความสัมพันธ์ของเส้นของดินสอเพื่อให้ได้จุดอื่น ๆ บนวงรี โครงสร้างของไฮเพอร์โบลาส^[62]และพาราโบลา^[63]มีความคล้ายคลึงกัน

อีกวิธีหนึ่งโดยทั่วไปใช้คุณสมบัติเชิงขั้วเพื่อสร้างซองสัมผัสของรูปกรวย (รูปกรวยเส้น) ^[64]

ในระนาบซับซ้อนC ²จุดไข่ปลาและไฮเพอร์โบลาจะไม่แตกต่างกัน: อาจถือว่าไฮเพอร์โบลาเป็นวงรีที่มีความยาวแกนจินตภาพ ตัวอย่างเช่นวงรี${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$ กลายเป็นไฮเพอร์โบลาภายใต้การแทนที่ ${\ displaystyle y = iw,}$ ทางเรขาคณิตเป็นการหมุนเวียนที่ซับซ้อนให้ผล ${\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1}$. ดังนั้นจึงมีการจำแนก 2 ทางคือวงรี / ไฮเพอร์โบลาและพาราโบลา การขยายเส้นโค้งไปยังระนาบโปรเจ็กต์ที่ซับซ้อนสิ่งนี้สอดคล้องกับการตัดกันของเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในจุดที่แตกต่างกัน 2 จุด (ตรงกับเส้นกำกับสองเส้น) หรือในจุดคู่ 1 จุด (ตรงกับแกนของพาราโบลา) ดังนั้นไฮเพอร์โบลาที่แท้จริงจึงเป็นภาพจริงที่ชี้นำมากกว่าสำหรับวงรี / ไฮเพอร์โบลาที่ซับซ้อนเนื่องจากมีจุดตัด 2 (ของจริง) ด้วยเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด

การรวมกันเพิ่มเติมเกิดขึ้นในระนาบโปรเจ็กทีฟที่ซับซ้อน CP ² : รูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพไม่สามารถแยกแยะออกจากกันได้เนื่องจากสิ่งใด ๆ สามารถนำไปใช้กับการแปลงเชิงเส้นแบบโปรเจ็กต์

พิสูจน์ได้ว่าในCP ²ภาคตัดกรวยสองส่วนมีจุดสี่จุดเหมือนกัน (ถ้าหนึ่งบัญชีมีหลายหลาก ) ดังนั้นจึงมีจุดตัดระหว่าง 1 ถึง 4 ความเป็นไปได้ในการตัดกันคือจุดที่แตกต่างกันสี่จุดจุดเอกพจน์สองจุดและจุดคู่หนึ่งจุดสองจุดสองจุดจุดเอกพจน์หนึ่งจุดและอีกหนึ่งจุดที่มีหลายหลาก 3 จุดหนึ่งที่มีการคูณ 4 หากจุดตัดกันใดมีความหลายหลาก> 1 เส้นโค้งทั้งสองจะกล่าว จะต้องมีการสัมผัสกัน หากมีจุดตัดของหลายหลากอย่างน้อย 3 ทั้งสองเส้นโค้งจะกล่าวว่าเป็นosculating ถ้ามีเพียงจุดตัดหนึ่งซึ่งมีหลายหลาก 4 ทั้งสองเส้นโค้งจะกล่าวว่าเป็นsuperosculating ^[65]

นอกจากนี้เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดส่วนรูปกรวยแต่ละส่วนสองครั้ง หากจุดแยกเป็นสองเส้นเป็นเส้นสัมผัส ตัดกับเส้นที่อินฟินิตี้แต่ละส่วนรูปกรวยมีสองจุดที่อินฟินิตี้ ถ้าจุดเหล่านี้เป็นจริงเส้นโค้งเป็นhyperbola ; หากพวกเขาเป็น conjugates จินตนาการมันเป็นวงรี ; ถ้ามีเพียงหนึ่งจุดคู่มันเป็นรูปโค้ง หากจุดที่อินฟินิตี้ที่มีจุดวงกลม (1, ผม , 0)และ(1, - ฉัน , 0)ส่วนรูปกรวยเป็นวงกลม ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของภาคตัดกรวยเป็นจริงจุดที่อินฟินิตี้มีทั้งจริงหรือผันซับซ้อน

สิ่งที่ควรพิจารณาว่าเป็นกรณีที่เสื่อมของรูปกรวยขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่ใช้และการตั้งค่าทางเรขาคณิตสำหรับส่วนรูปกรวย มีผู้เขียนบางคนให้คำจำกัดความของรูปกรวยเป็นรูปสี่เหลี่ยมสองมิติที่ไม่ได้สร้างขึ้นใหม่ ด้วยคำศัพท์นี้ไม่มีรูปกรวยที่เสื่อมสภาพ (มีเพียงควอดริกที่เสื่อม) แต่เราจะใช้คำศัพท์แบบดั้งเดิมมากกว่าและหลีกเลี่ยงคำจำกัดความนั้น

ในระนาบยุคลิดโดยใช้นิยามทางเรขาคณิตกรณีเสื่อมเกิดขึ้นเมื่อระนาบตัดผ่านปลายกรวย รูปกรวยที่เสื่อมสภาพเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งจุดเมื่อระนาบตัดกรวยที่ปลายยอดเท่านั้น เส้นตรงเมื่อเครื่องบินสัมผัสกันไปกรวย (มันมีตรงหนึ่งกำเนิดของกรวย); หรือเส้นตัดกันคู่หนึ่ง (เครื่องกำเนิดกรวยสองอัน) ^{[66] สิ่ง}เหล่านี้สอดคล้องกับรูปแบบ จำกัด ของวงรีพาราโบลาและไฮเพอร์โบลาตามลำดับ

ถ้ารูปกรวยในระนาบยุคลิดถูกกำหนดโดยศูนย์ของสมการกำลังสอง (นั่นคือเป็นรูปสี่เหลี่ยม) รูปกรวยที่เสื่อมสภาพคือเซตว่างจุดหรือคู่ของเส้นซึ่งอาจขนานกันตัดกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งหรือตรงกัน กรณีเซตว่างอาจสอดคล้องกับคู่ของเส้นขนานคอนจูเกตที่ซับซ้อนเช่นกับสมการ${\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0,}$หรือวงรีจินตภาพเช่นกับสมการ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0.}$วงรีในจินตนาการไม่เป็นไปตามคำจำกัดความทั่วไปของความเสื่อมดังนั้นจึงไม่ถือว่าเป็นความเสื่อมตามปกติ ^[67]กรณีสองบรรทัดเกิดขึ้นเมื่อปัจจัยการแสดงออกกำลังสองเป็นปัจจัยเชิงเส้นสองตัวโดยศูนย์ของแต่ละเส้นให้เส้น ในกรณีที่ปัจจัยเหมือนกันเส้นที่สอดคล้องกันและเราอ้างถึงเส้นนั้นเป็นเส้นคู่ (เส้นที่มีหลายหลาก 2) และนี่คือกรณีก่อนหน้าของระนาบการตัดสัมผัส

ในระนาบโปรเจ็กต์จริงเนื่องจากเส้นขนานมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งบนเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดจึงสามารถมองกรณีเส้นขนานของระนาบยุคลิดเป็นเส้นตัดกันได้ อย่างไรก็ตามเนื่องจากจุดตัดเป็นจุดยอดของกรวยกรวยจะเสื่อมสภาพเป็นทรงกระบอกกล่าวคือเมื่อปลายยอดอยู่ที่ระยะอนันต์ ส่วนอื่น ๆ ในกรณีนี้จะเรียกว่าส่วนลูกสูบ ^[68]ส่วนทรงกระบอกที่ไม่เสื่อมสภาพคือจุดไข่ปลา (หรือวงกลม)

เมื่อมองจากมุมมองของระนาบโปรเจ็กต์ที่ซับซ้อนกรณีที่เสื่อมถอยของกำลังสองจริง (กล่าวคือสมการกำลังสองมีสัมประสิทธิ์จริง) ทั้งหมดถือได้ว่าเป็นคู่ของเส้น เซตว่างอาจเป็นเส้นที่อินฟินิตี้ซึ่งถือเป็นเส้นคู่จุด (จริง) คือจุดตัดของเส้นคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองเส้นและอีกกรณีตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

ในการแยกแยะกรณีเสื่อมออกจากกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพ (รวมถึงเซตว่างด้วยส่วนหลัง) โดยใช้สัญกรณ์เมทริกซ์ให้βเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ 3 × 3 ของส่วนรูปกรวยนั่นคือβ = ( AC - B ²/4) F + เตียง - ซีดี² - AE ²/4; และปล่อยให้α = B ² - 4 ACเป็นตัวเลือก จากนั้นภาคตัดกรวยไม่เลวถ้าหากบีตา ≠ 0 หากβ = 0เรามีจุดเมื่อα <0สองเส้นคู่ขนาน (อาจประจวบ) เมื่อα = 0หรือสองเส้นตัดกันเมื่อα > 0 ^[69]

รูปกรวย (ไม่เสื่อมสภาพ) ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยจุดห้าจุดในตำแหน่งทั่วไป (ไม่มีสามคอลลิเนียร์ ) ในระนาบและระบบกรวยซึ่งผ่านชุดคงที่ของสี่จุด (อีกครั้งในระนาบและไม่มีโคลิเนียร์สามจุด) เรียกว่าดินสอของ conics ^{[70] : 64}จุดร่วมทั้งสี่เรียกว่าจุดฐานของดินสอ ผ่านจุดใด ๆ ที่ไม่ใช่จุดฐานจะมีรูปกรวยหนึ่งอันของดินสอผ่าน แนวคิดนี้ทำให้ดินสอเป็นวงกลมโดยทั่วไป ^{[71] : 127}

คำตอบสำหรับระบบสมการดีกรีสองวินาทีในสองตัวแปรอาจถูกมองว่าเป็นพิกัดของจุดตัดของภาคตัดกรวยทั่วไปสองส่วน โดยเฉพาะรูปกรวยสองอันอาจไม่มีจุดตัดกันสองหรือสี่จุดที่อาจเกิดขึ้นโดยบังเอิญ วิธีการที่มีประสิทธิภาพในการหาตำแหน่งโซลูชันเหล่านี้ใช้ประโยชน์จากการแสดงเมทริกซ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันของส่วนรูปกรวยนั่นคือเมทริกซ์สมมาตร 3 × 3 ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์หกตัว

ขั้นตอนในการค้นหาจุดตัดจะทำตามขั้นตอนเหล่านี้โดยที่รูปกรวยแสดงด้วยเมทริกซ์: ^[72]

• ให้รูปกรวยสองอัน ${\ displaystyle C_ {1}}$ และ ${\ displaystyle C_ {2}}$ให้พิจารณาดินสอของรูปกรวยที่กำหนดโดยการรวมเชิงเส้น ${\ displaystyle \ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}.}$
• ระบุพารามิเตอร์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ${\ displaystyle (\ lambda, \ mu)}$ซึ่งสอดคล้องกับรูปกรวยที่เสื่อมสภาพของดินสอ ซึ่งสามารถทำได้โดยกำหนดเงื่อนไขว่า${\ displaystyle \ det (\ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}) = 0}$ และการแก้สำหรับ ${\ displaystyle \ lambda}$ และ ${\ displaystyle \ mu}$. สิ่งเหล่านี้กลายเป็นคำตอบของสมการองศาที่สาม
• ให้กรวยที่เสื่อมสภาพ ${\ displaystyle C_ {0}}$ระบุทั้งสองเส้นที่อาจจะเป็นไปได้โดยบังเอิญ
• ตัดกันแต่ละบรรทัดที่ระบุด้วยหนึ่งในสองรูปกรวยดั้งเดิม ขั้นตอนนี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้การแสดงรูปกรวยคู่ของ${\ displaystyle C_ {0}}$
• จุดตัดกันจะแสดงคำตอบของระบบสมการเริ่มต้น

อาจมีการกำหนดรูปกรวยเหนือช่องอื่น ๆ (นั่นคือในรูปทรงเรขาคณิตแบบ pappianอื่น ๆ) อย่างไรก็ตามต้องใช้ความระมัดระวังบางอย่างเมื่อฟิลด์มีลักษณะที่ 2 เนื่องจากไม่สามารถใช้สูตรบางสูตรได้ ตัวอย่างเช่นการแทนค่าเมทริกซ์ที่ใช้ข้างต้นต้องการการหารด้วย 2

ลักษณะทั่วไปของรูปกรวยที่ไม่ใช่คนเลวใน projective เครื่องบินเป็นรูปไข่ วงรีคือชุดจุดที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ซึ่งถือโดยรูปกรวย: 1) เส้นใด ๆ ตัดวงรีในไม่มีจุดหนึ่งหรือสองจุด 2) ที่จุดใด ๆ ของวงรีจะมีเส้นสัมผัสที่ไม่ซ้ำกัน

Generalizing คุณสมบัติเน้นของ conics กับกรณีที่มีมากกว่าสอง foci ผลิตชุดเรียกว่าconics ทั่วไป

การจำแนกเป็นรูปไข่พาราโบลาและไฮเพอร์โบลิกนั้นแพร่หลายในคณิตศาสตร์และมักแบ่งเขตข้อมูลออกเป็นเขตข้อมูลย่อยที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน การจำแนกประเภทส่วนใหญ่เกิดจากการมีอยู่ของรูปแบบกำลังสอง (ในสองตัวแปรนี้สอดคล้องกับการแยกแยะที่เกี่ยวข้อง) แต่ยังสามารถสอดคล้องกับความเยื้องศูนย์

การจำแนกรูปแบบกำลังสอง:

รูปแบบกำลังสอง

รูปแบบกำลังสองเหนือค่าเรียลถูกจัดประเภทตาม กฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์กล่าวคือโดยดัชนีบวกดัชนีศูนย์และดัชนีเชิงลบรูปแบบกำลังสองใน ตัวแปรnสามารถแปลงเป็น รูปทแยงมุมได้ดังที่ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} -x_ {k + 1} ^ {2} - \ cdots -x_ {k + \ ell} ^ {2},}$โดยที่จำนวนค่าสัมประสิทธิ์ +1, kคือดัชนีบวกจำนวนของสัมประสิทธิ์ −1, ℓคือดัชนีเชิงลบและตัวแปรที่เหลือคือดัชนีศูนย์ mดังนั้น ${\ displaystyle k + \ ell + m = n.}$ ในสองตัวแปรรูปแบบกำลังสองที่ไม่ใช่ศูนย์จัดเป็น:

• ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$ - บวกแน่นอน (รวมค่าลบด้วย) ตรงกับจุดไข่ปลา
• ${\ displaystyle x ^ {2}}$ - เสื่อมสภาพสอดคล้องกับพาราโบลาและ
• ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$ - ไม่มีกำหนดสอดคล้องกับไฮเพอร์โบลา

ในสองตัวแปรรูปแบบกำลังสองถูกจำแนกโดยเลือกปฏิบัติคล้ายกับรูปกรวย แต่ในมิติที่สูงกว่าการจำแนกที่มีประโยชน์มากขึ้นจะเป็นที่ แน่นอน (บวกทั้งหมดหรือลบทั้งหมด) เสื่อม (ค่าศูนย์บางตัว) หรือ ไม่แน่นอน (ผสมระหว่างบวกและลบ แต่ ไม่มีศูนย์) การจำแนกประเภทนี้รองรับหลายสิ่งที่ตามมา

ความโค้ง

เสียนโค้งของ พื้นผิวอธิบายเรขาคณิตเล็กและอาจในแต่ละจุดเป็นได้ทั้งบวก - เรขาคณิตรูปไข่ , ศูนย์ - รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด (แบนโค้ง) หรือลบ - เรขาคณิตผ่อนชำระ ; อย่างน้อยที่สุดในลำดับที่สองพื้นผิวจะมีลักษณะเหมือนกราฟของ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$${\ displaystyle x ^ {2}}$ (หรือ 0) หรือ ${\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}}$. อันที่จริงโดย ทฤษฎีบทความสม่ำเสมอทุกพื้นผิวสามารถนำไปเป็นแบบสากล (ทุกจุด) โค้งในเชิงบวกแบนหรือโค้งเชิงลบ ในมิติที่สูงขึ้น โค้งเมตริกซ์ Riemannเป็นวัตถุที่มีความซับซ้อนมากขึ้น แต่ manifolds กับความโค้งขวางคงเป็นวัตถุที่น่าสนใจของการศึกษาและมีคุณสมบัติที่แตกต่างอย่างยอดเยี่ยมตามที่กล่าวไว้ใน โค้งขวาง

PDE ลำดับที่สอง

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs) ของ ลำดับที่สองถูกจัดประเภทในแต่ละจุดเป็นรูปไข่พาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลิกตามลำดับที่สองสอดคล้องกับรูปแบบกำลังสองของรูปไข่พาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลิก พฤติกรรมและทฤษฎีของ PDE ประเภทต่างๆเหล่านี้แตกต่างกันอย่างมากตัวอย่างที่เป็นตัวแทนคือ สมการปัวซองเป็นรูปไข่ สมการความร้อนเป็นพาราโบลาและ สมการของคลื่นเป็นไฮเพอร์โบลิก

การจำแนกประเภทความเยื้องศูนย์ได้แก่ :

การเปลี่ยนแปลงของMöbius

การเปลี่ยนแปลงของเมอบิอุสจริง (องค์ประกอบของ PSL 2 ( R )หรือฝาปิด 2 พับ SL 2 ( R ) ) ถูก จัดประเภทเป็นรูปไข่พาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลิกตามที่มีการติดตามครึ่งหนึ่งคือ ${\ displaystyle 0 \ leq | \ operatorname {tr} | / 2 <1,}$${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2 = 1,}$ หรือ ${\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2> 1,}$ สะท้อนการจำแนกตามความเยื้องศูนย์

อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ย

อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ยแบ่งประเภทที่สำคัญหลายตระกูลของการ แจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง : การแจกแจงคงที่เป็นวงกลม (ความเยื้องศูนย์ 0) การ แจกแจงแบบทวินามเป็นรูปไข่การ แจกแจงแบบปัวซองเป็นรูปพาราโบลาและการ แจกแจงทวินามลบเป็นไฮเพอร์โบลิก นี้คือเนื้อหาที่ cumulants ของการกระจายความน่าจะเป็นบางส่วนที่ไม่ต่อเนื่อง

• Circumconic และ inconic
• Conic Sections Rebellionการประท้วงของนักศึกษามหาวิทยาลัยเยล
• แวดวงผู้อำนวยการ
• ระบบพิกัดรูปไข่
• ชุดที่ห่างกันเท่ากัน
• รูปกรวยเก้าจุด
• พิกัดพาราโบลา
• ฟังก์ชันกำลังสอง