• logo

ภาคตัดกรวย

ในวิชาคณิตศาสตร์เป็นภาคตัดกรวย (หรือรูปกรวย ) เป็นเส้นโค้งรับเป็นจุดตัดของพื้นผิวของกรวยกับเครื่องบิน สามประเภทของภาคตัดกรวยเป็นhyperbolaที่โค้งและวงรี ; วงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีแม้ว่าในอดีตมันก็บางครั้งเรียกว่าเป็นชนิดที่สี่ นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณได้ศึกษาภาคตัดกรวยซึ่งมีผลประมาณ 200 ปีก่อนคริสตกาลด้วยการทำงานอย่างเป็นระบบของ Apollonius of Pergaเกี่ยวกับคุณสมบัติของพวกมัน

ประเภทของภาคตัดกรวย:
1: วงกลม        2: วงรี
3: พาราโบลา  4: ไฮเพอร์โบลา
Table of conics, Cyclopaedia , 1728

ภาคตัดกรวยในระนาบยุคลิดมีคุณสมบัติที่แตกต่างกันซึ่งหลายอย่างสามารถใช้เป็นคำจำกัดความอื่นได้ หนึ่งในทรัพย์สินดังกล่าวกำหนดไม่ใช่วงกลมรูปกรวย[1]จะเป็นชุดของจุดเหล่านั้นที่มีระยะทางไปยังจุดโดยเฉพาะอย่างยิ่งบางอย่างที่เรียกว่าโฟกัสและบางสายโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เรียกว่าไดเรกตริกซ์อยู่ในอัตราส่วนคงที่เรียกว่าความผิดปกติ ประเภทของรูปกรวยถูกกำหนดโดยค่าของความเยื้องศูนย์กลาง ในเรขาคณิตวิเคราะห์รูปกรวยอาจถูกกำหนดให้เป็นเส้นโค้งพีชคณิตระนาบขององศา 2 นั่นคือเป็นชุดของจุดที่มีพิกัดเป็นไปตามสมการกำลังสองในสองตัวแปรซึ่งอาจเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ สมการนี้ช่วยให้สามารถอนุมานและแสดงคุณสมบัติทางเรขาคณิตของภาคตัดกรวยในเชิงพีชคณิตได้

ในระนาบยุคลิดภาคตัดกรวยทั้งสามประเภทมีลักษณะแตกต่างกันมาก แต่มีสมบัติหลายอย่างร่วมกัน ด้วยการขยายระนาบแบบยุคลิดเพื่อรวมเส้นที่อินฟินิตี้รับระนาบโปรเจ็กต์ความแตกต่างที่ชัดเจนจะหายไป: กิ่งก้านของไฮเพอร์โบลามาบรรจบกันในสองจุดที่อินฟินิตี้ทำให้เป็นเส้นโค้งปิดเดียว และปลายทั้งสองของพาราโบลามาบรรจบกันเพื่อให้เป็นเส้นสัมผัสโค้งปิดกับเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด การขยายเพิ่มเติมโดยการขยายพิกัดจริงเพื่อยอมรับพิกัดที่ซับซ้อนให้วิธีการดูการรวมกันนี้ในเชิงพีชคณิต

เรขาคณิตแบบยุคลิด

ส่วนรูปกรวยได้รับการศึกษาเป็นพัน ๆ ปีและได้จัดให้มีแหล่งอุดมไปด้วยผลลัพธ์ที่น่าสนใจและสวยงามในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด

คำจำกัดความ

ขอบเขตสีดำของพื้นที่สีคือภาคตัดกรวย ที่ไม่ปรากฏคืออีกครึ่งหนึ่งของไฮเพอร์โบลาซึ่งอยู่บนอีกครึ่งหนึ่งของกรวยคู่ที่ไม่ได้แสดง

รูปกรวยเป็นเส้นโค้งรับเป็นจุดตัดของที่เครื่องบินที่เรียกว่าเครื่องบินตัดกับพื้นผิวของคู่กรวย (กรวยที่มีสองnappes ) โดยปกติจะถือว่ากรวยเป็นกรวยวงกลมด้านขวาเพื่อจุดประสงค์ในการอธิบายง่าย ๆ แต่ไม่จำเป็นต้องใช้ กรวยคู่ใด ๆ ที่มีหน้าตัดเป็นวงกลมจะเพียงพอ ระนาบที่ผ่านจุดยอดของกรวยจะตัดกรวยเป็นจุดเส้นหรือเส้นตัดกันคู่หนึ่ง สิ่งเหล่านี้เรียกว่ารูปกรวยที่เสื่อมสภาพและผู้เขียนบางคนไม่ถือว่าพวกเขาเป็นรูปกรวยเลย เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น "รูปกรวย" ในบทความนี้จะกล่าวถึงรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพ

มีสามประเภทของ conics คือ: วงรี , รูปโค้งและhyperbola วงกลมเป็นชนิดพิเศษของวงรีแม้ว่าในอดีต Apollonius ถือเป็นประเภทที่สี่ จุดเกิดขึ้นเมื่อจุดตัดของกรวยและเครื่องบินเป็นโค้งปิด วงกลมจะได้รับเมื่อระนาบการตัดขนานกับระนาบของวงกลมที่สร้างขึ้นของกรวย สำหรับกรวยด้านขวาหมายความว่าระนาบการตัดตั้งฉากกับแกน หากเครื่องบินตัดเป็นคู่ขนานไปตรงหนึ่งที่ก่อให้เกิดเส้นของรูปกรวยแล้วรูปกรวยคือมากมายและเป็นที่เรียกว่าพาราโบลา ในกรณีที่เหลือรูปคือไฮเพอร์โบลา : ระนาบตัดครึ่งทั้งสองของกรวยทำให้เกิดเส้นโค้งสองเส้นที่แยกจากกัน

ความเยื้องศูนย์กลางโฟกัสและ Directrix

วงรี ( e = 1/2), พาราโบลา ( e = 1) และไฮเพอร์โบลา ( e = 2)พร้อมโฟกัสคงที่ Fและไดเร็กซ์ ( e = ∞) วงกลมสีแดง ( e = 0) ถูกรวมไว้เพื่อการอ้างอิงไม่มีไดเร็กซ์ในระนาบ

หรืออีกวิธีหนึ่งสามารถกำหนดส่วนรูปกรวยในแง่ของเรขาคณิตระนาบได้อย่างแท้จริง: เป็นที่ตั้งของจุดทั้งหมดPซึ่งมีระยะทางถึงจุดคงที่F (เรียกว่าโฟกัส ) เป็นค่าคงที่ (เรียกว่าความเยื้องศูนย์กลาง e ) ของระยะห่างจากPไปยังเส้นคงที่L (เรียกว่าdirectrix ) สำหรับ0 < e <1เราจะได้วงรีสำหรับe = 1 a พาราโบลาและสำหรับe > 1เป็นไฮเพอร์โบลา

วงกลมเป็นกรณีที่ จำกัด และไม่ได้กำหนดโดยโฟกัสและไดเร็กซ์ในระนาบยุคลิด ความเบี้ยวของวงกลมถูกกำหนดให้เป็นศูนย์และโฟกัสของมันคือจุดศูนย์กลางของวงกลม แต่ directrix ของมันสามารถถ่ายได้เป็นเส้นตรงที่ไม่มีที่สิ้นสุดในระนาบการฉายเท่านั้น [2]

ความเยื้องศูนย์ของวงรีสามารถมองเห็นได้ว่าวงรีเบี่ยงเบนไปจากการเป็นวงกลมมากแค่ไหน [3] : 844

ถ้ามุมระหว่างพื้นผิวของกรวยและแกนเป็น β {\ displaystyle \ beta} \beta และมุมระหว่างระนาบตัดกับแกนคือ α , {\ displaystyle \ alpha,} \alpha,ความเยื้องศูนย์คือ[4] cos ⁡ α cos ⁡ β . {\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ cos \ beta}}} {\displaystyle {\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}.}

หลักฐานว่าเส้นโค้งดังกล่าวข้างต้นที่กำหนดโดยคุณสมบัติโฟกัสไดเรกตริกซ์เป็นเช่นเดียวกับผู้ที่ได้รับโดยเครื่องบินตัดกรวยอำนวยความสะดวกโดยการใช้งานของทรงกลม Dandelin [5]

พารามิเตอร์ Conic

พารามิเตอร์รูปกรวยในกรณีของวงรี

นอกเหนือจากความเยื้องศูนย์ ( e ), foci และ directrix แล้วคุณสมบัติและความยาวทางเรขาคณิตต่างๆยังเกี่ยวข้องกับส่วนรูปกรวย

แกนหลักคือเส้นที่เชื่อมจุดโฟกัสของวงรีหรือ hyperbola และจุดกึ่งกลางของมันคือเส้นโค้งของศูนย์ พาราโบลาไม่มีจุดศูนย์กลาง

ความเยื้องศูนย์กลางเชิงเส้น ( c ) คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและโฟกัส

ทวารหนัก Latusเป็นคอร์ดขนานไปกับไดเรกตริกซ์และผ่านการโฟกัส; ความยาวครึ่งหนึ่งคือทวารหนักกึ่งลาตัส ( ℓ )

พารามิเตอร์โฟกัส ( P ) คือระยะห่างจากการมุ่งเน้นไปยังไดเรกตริกซ์ที่สอดคล้องกัน

แกนหลักคือคอร์ดระหว่างสองจุด: คอร์ดที่ยาวที่สุดของรีคอร์ดที่สั้นที่สุดระหว่างสาขาของ hyperbola ที่ ความยาวครึ่งหนึ่งคือแกนเซมิ - เมเจอร์ ( a ) เมื่อวงรีหรือไฮเพอร์โบลาอยู่ในตำแหน่งมาตรฐานในสมการด้านล่างโดยมีจุดโฟกัสบนแกนxและจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดจุดยอดของรูปกรวยจะมีพิกัด(- a , 0)และ( a , 0)โดยมีaไม่เป็นลบ

แกนรองคือเส้นผ่าศูนย์กลางที่สั้นที่สุดของวงรีและครึ่งหนึ่งของความยาวของมันคือกึ่งแกนเล็ก ๆ น้อย ๆ ( ข ) ค่าเดียวกันขในขณะที่สมมาตรฐานดังต่อไปนี้ โดยการเปรียบเทียบสำหรับไฮเพอร์โบลาเราเรียกพารามิเตอร์bในสมการมาตรฐานว่าแกนกึ่งรอง

ความสัมพันธ์ต่อไปนี้: [6]

  •   ℓ = น จ {\ displaystyle \ \ ell = pe} {\displaystyle \ \ell =pe}
  •   ค = ก จ {\ displaystyle \ c = ae} {\displaystyle \ c=ae}
  •   น + ค = ก จ {\ displaystyle \ p + c = {\ frac {a} {e}}} {\displaystyle \ p+c={\frac {a}{e}}}

สำหรับกรวยในตำแหน่งมาตรฐานพารามิเตอร์เหล่านี้มีค่าดังต่อไปนี้รับ ก , ข > 0 {\ displaystyle a, b> 0} {\displaystyle a,b>0}.

ภาคตัดกรวย สมการ ความเยื้องศูนย์ ( e )ความเยื้องศูนย์เชิงเส้น ( c )ทวารหนักกึ่งลาตัส ( ℓ )พารามิเตอร์โฟกัส ( p )
วงกลม x 2 + ย 2 = ก 2 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} \,} x^{2}+y^{2}=a^{2}\, 0 {\ displaystyle 0 \,} 0\, 0 {\ displaystyle 0 \,} 0\, ก {\ displaystyle a \,} a\, ∞ {\ displaystyle \ infty} \infty
วงรี x 2 ก 2 + ย 2 ข 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1} {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1 1 - ข 2 ก 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1 - {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}} {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}} ก 2 - ข 2 {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}} {\sqrt {a^{2}-b^{2}}} ข 2 ก {\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}} {\frac {b^{2}}{a}} ข 2 ก 2 - ข 2 {\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}} {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}
พาราโบลา ย 2 = 4 ก x {\ displaystyle y ^ {2} = 4ax \,} y^{2}=4ax\, 1 {\ displaystyle 1 \,} 1\, ไม่มี 2 ก {\ displaystyle 2a \,} 2a\, 2 ก {\ displaystyle 2a \,} 2a\,
ไฮเพอร์โบลา x 2 ก 2 - ย 2 ข 2 = 1 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1} {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1 1 + ข 2 ก 2 {\ displaystyle {\ sqrt {1 + {\ frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}}}} {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}} ก 2 + ข 2 {\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {\sqrt {a^{2}+b^{2}}} ข 2 ก {\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {a}}} {\frac {b^{2}}{a}} ข 2 ก 2 + ข 2 {\ displaystyle {\ frac {b ^ {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}} {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}

รูปแบบมาตรฐานในพิกัดคาร์ทีเซียน

รูปแบบมาตรฐานของวงรี
รูปแบบมาตรฐานของพาราโบลา
รูปแบบมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา

หลังจากแนะนำพิกัดคาร์ทีเซียนคุณสมบัติโฟกัส - ไดเร็กซ์สามารถใช้เพื่อสร้างสมการที่เป็นที่พอใจของจุดของภาคตัดกรวย [7]โดยวิธีการเปลี่ยนพิกัด ( การหมุนและการแปลแกน ) สมการเหล่านี้สามารถใส่ลงในรูปแบบมาตรฐานได้ [8]สำหรับจุดไข่ปลาและไฮเพอร์โบลารูปแบบมาตรฐานจะมีแกนxเป็นแกนหลักและจุดกำเนิด (0,0) เป็นศูนย์กลาง จุดที่มี(± , 0)และจุดโฟกัส(± ค , 0) กำหนดbด้วยสมการc 2 = a 2 - b 2สำหรับวงรีและc 2 = a 2 + b 2สำหรับไฮเพอร์โบลา สำหรับวงกลมC = 0ดังนั้น2 = ข 2 สำหรับรูปโค้งในรูปแบบมาตรฐานมีการมุ่งเน้นที่xแกนที่จุด( , 0)และไดเรกตริกซ์บรรทัดที่มีสมการx = - ในรูปแบบมาตรฐานพาราโบลาจะผ่านจุดกำเนิดเสมอ

สำหรับไฮเพอร์โบลารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือด้านเท่ากัน เส้นที่มีเส้นกำกับตั้งฉากมีรูปแบบมาตรฐานทางเลือกซึ่งเส้นกำกับคือแกนพิกัดและเส้นx = yเป็นแกนหลัก foci แล้วมีพิกัด( C , C )และ(- ค - ค ) [9]

  • วงกลม: x 2 + y 2 = a 2
  • วงรี: x 2/ก2 + ปี2/ข2 = 1
  • พาราโบลา: y 2 = 4 ขวานที่มีa > 0
  • ไฮเพอร์โบลา: x 2/ก2 - ปี2/ข2 = 1
  • ไฮเพอร์โบลาสี่เหลี่ยม: [10] xy = ค2/2

สี่รูปแบบแรกเหล่านี้สมมาตรเกี่ยวกับทั้งแกนxและแกนy (สำหรับวงกลมวงรีและไฮเพอร์โบลา) หรือเกี่ยวกับแกนxเท่านั้น (สำหรับพาราโบลา) hyperbola รูปสี่เหลี่ยม แต่เป็นแทนสมมาตรเกี่ยวกับสายY = xและy ที่ = - x

แบบฟอร์มมาตรฐานเหล่านี้สามารถเขียนแบบพาราเมตริกเป็น

  • วงกลม : ( cos θ , บาปθ ) ,
  • วงรี : ( a cos θ , b sin θ ) ,
  • พาราโบลา : ( ที่2 , 2 ที่ ) ,
  • ไฮเพอร์โบลา : ( a sec θ , b tan θ )หรือ(± a cosh u , b sinh u ) ,
  • ไฮเพอร์โบลาสี่เหลี่ยม : ( ง t , ง t ) {\ displaystyle (dt, {\ frac {d} {t}})} {\displaystyle (dt,{\frac {d}{t}})} ที่ไหน ง = ค 2 . {\ displaystyle d = {\ frac {c} {\ sqrt {2}}}} {\displaystyle d={\frac {c}{\sqrt {2}}}.}

แบบฟอร์มคาร์ทีเซียนทั่วไป

ในระบบ Cartesian ประสานงานที่กราฟของสมการสองตัวแปรอยู่เสมอภาคตัดกรวย (แม้ว่ามันอาจจะเลว[11] ) และทุกส่วนที่มีรูปกรวยเกิดขึ้นในลักษณะนี้ สมการทั่วไปส่วนใหญ่อยู่ในรูปแบบ[12]

ก x 2 + ข x ย + ค ย 2 + ง x + จ ย + ฉ = 0 , {\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0,} {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}

ด้วยจำนวนจริงของสัมประสิทธิ์ทั้งหมดและA, B, Cไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด

สัญกรณ์เมทริกซ์

สมการข้างต้นสามารถเขียนด้วยสัญกรณ์เมทริกซ์เป็น[13]

( x ย ) ( ก ข / 2 ข / 2 ค ) ( x ย ) + ( ง จ ) ( x ย ) + ฉ = 0. {\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {matrix}} \ right) + \ left ({\ begin {matrix} D&E \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \ end {เมทริกซ์}} \ right) + F = 0.} {\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)+F=0.}

สมการทั่วไปสามารถเขียนเป็น

( x ย 1 ) ( ก ข / 2 ง / 2 ข / 2 ค จ / 2 ง / 2 จ / 2 ฉ ) ( x ย 1 ) = 0. {\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & 1 \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 1 \ end {matrix}} \ right) = 0} {\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right)=0.}

แบบฟอร์มนี้เป็นความเชี่ยวชาญเฉพาะของรูปแบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ใช้ในการตั้งค่าทั่วไปของเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์ (ดูด้านล่าง )

เลือกปฏิบัติ

ส่วนรูปกรวยที่อธิบายโดยสมการนี้สามารถจำแนกได้ในรูปของมูลค่า ข 2 - 4 ก ค {\ displaystyle B ^ {2} -4AC} B^{2}-4ACเรียกว่าการเลือกปฏิบัติของสมการ [14]ดังนั้นตัวเลือกคือ- 4Δโดยที่Δคือดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ | ก ข / 2 ข / 2 ค | . {\ displaystyle \ left | {\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right |.} {\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right|.}

ถ้ากรวยไม่เสื่อมสภาพให้: [15]

  • ถ้าB 2 - 4 AC <0สมการแสดงให้เห็นถึงรูปวงรี ;
    • ถ้าA = CและB = 0สมการแสดงถึงวงกลมซึ่งเป็นกรณีพิเศษของวงรี
  • ถ้าB 2 - 4 AC = 0สมการแสดงให้เห็นถึงรูปโค้ง ;
  • ถ้าB 2 - 4 AC > 0สมการแสดงให้เห็นถึงhyperbola ;
    • ถ้า+ C = 0สมการแสดงให้เห็นถึงhyperbola รูปสี่เหลี่ยม

ในสัญกรณ์ใช้ที่นี่และBมีค่าสัมประสิทธิ์พหุนามในทางตรงกันข้ามกับแหล่งที่มาของบางอย่างที่แสดงว่าแกนกล่ำและ semiminor เป็นและB

ค่าคงที่

จำแนกB 2 - 4 ACของสมการกำลังสองภาคตัดกรวย (หรือค่าเท่าปัจจัย AC - B 2 /4ของ 2 × 2 เมทริกซ์) และปริมาณ+ C (คนร่องรอยของ 2 × 2 เมทริกซ์) อยู่ภายใต้การแปรเปลี่ยน ผลัดโดยพลการและการแปลพิกัดแกน[15] [16] [17]เป็นปัจจัยของ3 × 3 เมทริกซ์ดังกล่าวข้างต้น [18] : หน้า 60–62ระยะคงที่FและผลรวมD 2 + E 2เป็นค่าคงที่ภายใต้การหมุนเท่านั้น [18] : หน้า 60–62

ความเยื้องศูนย์ในแง่ของสัมประสิทธิ์

เมื่อภาคตัดกรวยเขียนพีชคณิตเป็น

ก x 2 + ข x ย + ค ย 2 + ง x + จ ย + ฉ = 0 , {\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0, \,} Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,\,

ความเยื้องศูนย์สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง [19]ถ้า4 AC = B 2รูปกรวยเป็นพาราโบลาและความเยื้องศูนย์เท่ากับ 1 (หากไม่เสื่อมสภาพ) มิฉะนั้นสมมติว่าสมการแสดงถึงไฮเพอร์โบลาหรือวงรีที่ไม่เสื่อมสภาพความเบี้ยวจะได้รับจาก

จ = 2 ( ก - ค ) 2 + ข 2 η ( ก + ค ) + ( ก - ค ) 2 + ข 2 , {\ displaystyle e = {\ sqrt {\ frac {2 {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}} {\ eta (A + C) + {\ sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}}}}},} e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},

โดยที่η = 1ถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ด้านบนเป็นลบและη = −1ถ้าดีเทอร์มิแนนต์นั้นเป็นบวก

นอกจากนี้ยังสามารถแสดง[18] : p. 89ว่าความเยื้องศูนย์เป็นคำตอบที่เป็นบวกของสมการ

Δ จ 4 + [ ( ก + ค ) 2 - 4 Δ ] จ 2 - [ ( ก + ค ) 2 - 4 Δ ] = 0 , {\ displaystyle \ Delta e ^ {4} + [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] e ^ {2} - [(A + C) ^ {2} -4 \ Delta] = 0, } {\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}

ที่ไหนอีกแล้ว Δ = ก ค - ข 2 4 . {\ displaystyle \ Delta = AC - {\ frac {B ^ {2}} {4}}.} {\displaystyle \Delta =AC-{\frac {B^{2}}{4}}.} นี่มีวิธีแก้ปัญหาเชิงบวกอย่างแม่นยำอย่างหนึ่งนั่นคือความเยื้องศูนย์ - ในกรณีของพาราโบลาหรือวงรีในขณะที่ในกรณีของไฮเพอร์โบลาจะมีคำตอบที่เป็นบวกสองคำซึ่งหนึ่งในนั้นคือความเยื้องศูนย์กลาง

การแปลงเป็นรูปแบบบัญญัติ

ในกรณีของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาสมการ

ก x 2 + ข x ย + ค ย 2 + ง x + จ ย + ฉ = 0 {\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dx + Ey + F = 0 \,} {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,}

สามารถแปลงเป็นรูปแบบบัญญัติในตัวแปรที่แปลงแล้ว x ′ , ย ′ {\ displaystyle x ', y'} {\displaystyle x',y'}เป็น[20]

x ′ 2 - ส / ( λ 1 2 λ 2 ) + ย ′ 2 - ส / ( λ 1 λ 2 2 ) = 1 , {\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} ^ {2} \ lambda _ {2})}} + {\ frac {y' ^ {2}} {-S / (\ lambda _ {1} \ lambda _ {2} ^ {2})}} = 1,} {\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/(\lambda _{1}^{2}\lambda _{2})}}+{\frac {y'^{2}}{-S/(\lambda _{1}\lambda _{2}^{2})}}=1,}

หรือเทียบเท่า

x ′ 2 - ส / ( λ 1 Δ ) + ย ′ 2 - ส / ( λ 2 Δ ) = 1 , {\ displaystyle {\ frac {x '^ {2}} {- S / (\ lambda _ {1} \ Delta)}} + {\ frac {y' ^ {2}} {- S / (\ lambda _ {2} \ Delta)}} = 1,} {\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/(\lambda _{1}\Delta )}}+{\frac {y'^{2}}{-S/(\lambda _{2}\Delta )}}=1,}

ที่ไหน λ 1 {\ displaystyle \ lambda _ {1}} \lambda _{1} และ λ 2 {\ displaystyle \ lambda _ {2}} \lambda _{2}คือค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ ( ก ข / 2 ข / 2 ค ) {\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 \\ B / 2 & C \ end {matrix}} \ right)} {\displaystyle \left({\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right)} นั่นคือคำตอบของสมการ

λ 2 - ( ก + ค ) λ + ( ก ค - ( ข / 2 ) 2 ) = 0 {\ displaystyle \ lambda ^ {2} - (A + C) \ lambda + (AC- (B / 2) ^ {2}) = 0} {\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}

- และ ส {\ displaystyle S} Sคือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ด้านบนและ Δ = λ 1 λ 2 {\ displaystyle \ Delta = \ lambda _ {1} \ lambda _ {2}} {\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}}เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2 × 2 อีกครั้ง ในกรณีของวงรีกำลังสองของสองแกนจะถูกกำหนดโดยตัวส่วนในรูปแบบบัญญัติ

พิกัดเชิงขั้ว

การพัฒนาของภาคตัดกรวยเป็นความผิดปกติ ทาง eเพิ่มขึ้น

ในพิกัดเชิงขั้วส่วนรูปกรวยที่มีโฟกัสหนึ่งจุดที่จุดกำเนิดและอีกส่วนหนึ่งมีค่าเป็นลบ (สำหรับวงรี) หรือค่าบวก (สำหรับไฮเพอร์โบลา) บนแกนxจะได้รับจากสมการ

ร = ล 1 + จ cos ⁡ θ , {\ displaystyle r = {\ frac {l} {1 + e \ cos \ theta}},} r={\frac {l}{1+e\cos \theta }},

โดยที่eคือความเยื้องศูนย์และlคือทวารหนักกึ่งลาตัส

ข้างต้นสำหรับe = 0กราฟจะเป็นวงกลมสำหรับ0 < e <1กราฟจะเป็นวงรีสำหรับe = 1 a พาราโบลาและสำหรับe > 1เป็นไฮเพอร์โบลา

รูปแบบขั้วของสมการของรูปกรวยมักจะใช้ในการเปลี่ยนแปลง ; ตัวอย่างเช่นการกำหนดวงโคจรของวัตถุที่หมุนรอบดวงอาทิตย์ [21]

คุณสมบัติ

เช่นเดียวกับสอง (ที่แตกต่างกัน) จุดตรวจสอบบรรทัดห้าจุดกำหนดรูปกรวย อย่างเป็นทางการกำหนดให้ห้าจุดใด ๆ ในระนาบในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปซึ่งหมายความว่าไม่มีสามcollinearมีรูปกรวยที่ไม่ซ้ำกันผ่านพวกเขาซึ่งจะไม่เสื่อมสภาพ นี่เป็นความจริงทั้งในระนาบยุคลิดและส่วนขยายซึ่งเป็นระนาบฉายภาพที่แท้จริง อันที่จริงให้ห้าจุดใด ๆ มีรูปกรวยผ่านพวกเขา แต่ถ้าสามจุดนั้นเรียงกันเป็นรูปกรวยจะเสื่อม (ลดลงได้เนื่องจากมีเส้น) และอาจไม่ซ้ำกัน ดูการอภิปรายต่อไป

จุดสี่จุดในระนาบในตำแหน่งเชิงเส้นทั่วไปจะกำหนดรูปกรวยที่ไม่ซ้ำกันผ่านสามจุดแรกและมีจุดที่สี่เป็นจุดศูนย์กลาง ดังนั้นการรู้จุดศูนย์กลางจึงเทียบเท่ากับการรู้จุดสองจุดบนรูปกรวยเพื่อจุดประสงค์ในการกำหนดเส้นโค้ง [22]

นอกจากนี้รูปกรวยยังถูกกำหนดโดยการรวมกันของจุดkในตำแหน่งทั่วไปที่มันผ่านและ 5 - kเส้นที่สัมผัสกับมันสำหรับ0≤ k ≤5 [23]

จุดใด ๆ ในระนาบอยู่บนศูนย์เส้นสัมผัสหนึ่งหรือสองเส้นของรูปกรวย จุดบนเส้นสัมผัสเส้นเดียวอยู่บนรูปกรวย จุดบนเส้นสัมผัสไม่ได้ถูกกล่าวว่าเป็นจุดภายใน (หรือจุดภายใน ) ของรูปกรวยในขณะที่จุดบนเส้นสัมผัสสองเส้นเป็นจุดภายนอก (หรือจุดด้านนอก )

ส่วนรูปกรวยทั้งหมดมีคุณสมบัติการสะท้อนที่สามารถระบุได้ว่า: กระจกทั้งหมดในรูปทรงของส่วนรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพจะสะท้อนแสงที่มาจากหรือไปที่โฟกัสหนึ่งไปยังหรืออยู่ห่างจากโฟกัสอื่น ๆ ในกรณีของพาราโบลาโฟกัสที่สองจะต้องคิดว่าอยู่ไกลไม่สิ้นสุดเพื่อให้รังสีของแสงที่พุ่งเข้าหาหรือมาจากโฟกัสที่สองขนานกัน [24] [25]

ทฤษฎีบทของปาสคาลเกี่ยวข้องกับความเรียงของจุดสามจุดที่สร้างขึ้นจากชุดของจุดหกจุดบนรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพ ทฤษฎีบทนี้ยังถือสำหรับ conics เลวประกอบด้วยสองเส้น แต่ในกรณีที่เป็นที่รู้จักกันทฤษฎีบท Pappus ของ

ภาคตัดกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพจะ " เรียบ " เสมอ นี้เป็นสิ่งสำคัญสำหรับการใช้งานเป็นจำนวนมากเช่นอากาศพลศาสตร์ที่มีพื้นผิวเรียบเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าการไหลแบบราบเรียบและเพื่อป้องกันความวุ่นวาย

ประวัติศาสตร์

Menaechmus และงานแรก ๆ

เชื่อกันว่าคำจำกัดความแรกของภาคตัดกรวยได้รับจากMenaechmus (เสียชีวิต 320 ก่อนคริสตศักราช) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหา Delian (การทำสำเนาลูกบาศก์ ) [26] [27]งานของเขาไม่รอดแม้แต่ชื่อที่เขาใช้สำหรับเส้นโค้งเหล่านี้และเป็นที่รู้จักกันผ่านบัญชีรองเท่านั้น [28]คำจำกัดความที่ใช้ในเวลานั้นแตกต่างจากคำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบัน กรวยถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนสามเหลี่ยมมุมฉากเกี่ยวกับขาข้างใดข้างหนึ่งดังนั้นด้านตรงข้ามมุมฉากจะสร้างพื้นผิวของกรวย (เส้นดังกล่าวเรียกว่ายีน ) กรวยสามประเภทถูกกำหนดโดยมุมจุดยอด (วัดโดยสองเท่าของมุมที่เกิดจากด้านตรงข้ามมุมฉากและขาที่หมุนไปรอบ ๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก) จากนั้นส่วนรูปกรวยจะถูกกำหนดโดยการตัดกันหนึ่งในกรวยเหล่านี้ด้วยระนาบที่ลากตั้งฉากกับเจเนอเรเตอร์ ประเภทของกรวยจะถูกกำหนดโดยประเภทของกรวยนั่นคือโดยมุมที่เกิดขึ้นที่จุดยอดของกรวย: ถ้ามุมนั้นเป็นมุมแหลมรูปกรวยจะเป็นวงรี ถ้ามุมถูกต้องรูปกรวยจะเป็นพาราโบลา และถ้ามุมเป็นป้านรูปกรวยจะเป็นไฮเพอร์โบลา (แต่มีเพียงกิ่งก้านเดียวของเส้นโค้ง) [29]

Euclid (ชั้น 300 ก่อนคริสตศักราช) กล่าวกันว่าได้เขียนหนังสือเกี่ยวกับรูปกรวยสี่เล่ม แต่สิ่งเหล่านี้ก็สูญหายไปเช่นกัน [30] Archimedes (เสียชีวิตค. 212 คริสตศักราช) เป็นที่รู้จักกันได้ศึกษา conics มีการกำหนดพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยรูปโค้งและคอร์ดในการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสของพาราโบลา ความสนใจหลักของเขาคือในแง่ของพื้นที่และปริมาณของตัวเลขที่เกี่ยวข้องกับ conics และเป็นส่วนหนึ่งของการทำงานนี้รอดในหนังสือของเขาในของแข็งของการปฏิวัติของ conics วัดใน conoids และ spheroids [31]

Apollonius of Perga

แผนภาพจากConicsของ Apollonius ในการแปลภาษาอาหรับในศตวรรษที่ 9

ความก้าวหน้าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในการศึกษารูปกรวยโดยชาวกรีกโบราณเกิดจากApollonius of Perga (เสียชีวิตในคริสตศักราช 190) ซึ่งมีConic SectionsหรือConicsแปดเล่มได้สรุปและขยายความรู้ที่มีอยู่อย่างมาก [32]การศึกษาคุณสมบัติของเส้นโค้งเหล่านี้ของ Apollonius ทำให้สามารถแสดงให้เห็นว่าเครื่องบินใด ๆ ที่ตัดกรวยคู่คงที่ (สองงีบ) โดยไม่คำนึงถึงมุมของมันจะทำให้เกิดรูปกรวยตามคำจำกัดความก่อนหน้าซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไป วันนี้. วงกลมซึ่งไม่สามารถสร้างได้ด้วยวิธีการก่อนหน้านี้ยังสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้ นี่อาจอธิบายว่าเหตุใด Apollonius จึงถือว่าวงกลมเป็นรูปกรวยประเภทที่สี่ซึ่งเป็นความแตกต่างที่ไม่ได้ทำอีกต่อไป Apollonius ใช้ชื่อวงรี , รูปโค้งและhyperbolaสำหรับเส้นโค้งเหล่านี้ยืมคำศัพท์จากการทำงานของพีทาโกรัสก่อนหน้านี้ในพื้นที่ที่ [33]

Pappus of Alexandria (เสียชีวิตในค. 350 CE) ได้รับการให้เครดิตกับการอธิบายถึงความสำคัญของแนวคิดของรูปกรวยและรายละเอียดเกี่ยวกับแนวคิดที่เกี่ยวข้องของไดเร็กซ์รวมถึงกรณีของพาราโบลา (ซึ่งขาดในผลงานที่เป็นที่รู้จักของ Apollonius) [34]

อัล - กุฮี

เป็นเครื่องมือสำหรับการวาดภาพภาคตัดกรวยเป็นครั้งแรก 1000 CE โดยนักคณิตศาสตร์อิสลามอัล Kuhi [35] : 30 [36]

Omar Khayyám

งานของ Apollonius ได้รับการแปลเป็นภาษาอาหรับและงานของเขาส่วนใหญ่จะมีชีวิตอยู่ในเวอร์ชันภาษาอาหรับเท่านั้น ชาวเปอร์เซียพบการประยุกต์ใช้ทฤษฎีโดยเฉพาะอย่างยิ่งชาวเปอร์เซีย[37]นักคณิตศาสตร์และกวีOmar Khayyámผู้ค้นพบวิธีการทางเรขาคณิตในการแก้สมการลูกบาศก์โดยใช้ภาคตัดกรวย [38] [39]

ยุโรป

โยฮันเนสเคปเลอร์ขยายทฤษฎีรูปกรวยผ่าน " หลักการแห่งความต่อเนื่อง " ซึ่งเป็นสารตั้งต้นของแนวคิดเรื่องขีด จำกัด Kepler ใช้คำว่าfociเป็นครั้งแรกในปี 1604 [40]

Girard DesarguesและBlaise Pascal ได้พัฒนาทฤษฎีรูปกรวยโดยใช้รูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์ในยุคแรกและช่วยให้เกิดแรงผลักดันในการศึกษาสาขาใหม่นี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง Pascal ได้ค้นพบทฤษฎีบทที่เรียกว่าhexagrammum mysticumซึ่งสามารถอนุมานคุณสมบัติอื่น ๆ ของรูปกรวยได้

René DescartesและPierre Fermat ได้ใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ที่ค้นพบใหม่กับการศึกษารูปกรวย สิ่งนี้มีผลในการลดปัญหาทางเรขาคณิตของรูปกรวยเป็นปัญหาในพีชคณิต อย่างไรก็ตามJohn Wallisในตำราของเขาในปี 1655 Tractatus de sectionibus conicisซึ่งเป็นคนแรกที่กำหนดภาคตัดกรวยเป็นตัวอย่างของสมการระดับที่สอง [41]เขียนก่อนหน้านี้ แต่การตีพิมพ์ต่อมาแจนเดอวิตต์ 's Elementa Curvarum Linearumเริ่มต้นด้วยเคปเลอร์จลนศาสตร์การก่อสร้างของ conics แล้วพัฒนาสมการพีชคณิต งานนี้ซึ่งใช้วิธีการของแฟร์มาต์และสัญกรณ์ของเดส์การ์ตส์ได้รับการอธิบายว่าเป็นตำราเล่มแรกในหัวข้อนี้ [42]เดวิตต์คิดค้นระยะไดเรกตริกซ์ [42]

แอพพลิเคชั่น

paraboloidรูปร่างของ Archeocyathidsผลิตภาคตัดกรวยบนใบหน้าของร็อค

ภาคตัดกรวยมีความสำคัญในทางดาราศาสตร์ : วงโคจรของวัตถุขนาดใหญ่สองชิ้นที่มีปฏิสัมพันธ์กันตามกฎของความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเป็นภาคตัดกรวยหากจุดศูนย์กลางมวลร่วมกันถือว่าอยู่นิ่ง หากพวกมันถูกมัดเข้าด้วยกันทั้งคู่จะไล่ตามจุดไข่ปลา ถ้าพวกมันแยกออกจากกันทั้งคู่จะตามพาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลา ดูสองปัญหาร่างกาย

คุณสมบัติสะท้อนแสงของภาคตัดกรวยใช้ในการออกแบบไฟฉายกล้องโทรทรรศน์วิทยุและกล้องโทรทรรศน์แบบใช้แสงบางชนิด [43]ไฟฉายใช้กระจกพาราโบลาเป็นตัวสะท้อนแสงโดยมีหลอดไฟอยู่ที่โฟกัส และการก่อสร้างที่คล้ายกันคือใช้สำหรับไมโครโฟนพาราโบลา กล้องโทรทรรศน์ออปติคอล Herschel ความยาว 4.2 เมตรบน La Palma ในหมู่เกาะ Canary ใช้กระจกพาราโบลาหลักเพื่อสะท้อนแสงไปยังกระจกไฮเพอร์โบลิกทุติยภูมิซึ่งสะท้อนกลับไปยังจุดโฟกัสหลังกระจกบานแรกอีกครั้ง

ในระนาบฉายจริง

ภาคตัดกรวยมีคุณสมบัติคล้ายกันมากในระนาบยุคลิดและสาเหตุของสิ่งนี้จะชัดเจนขึ้นเมื่อรูปกรวยถูกมองจากมุมมองของรูปทรงเรขาคณิตที่ใหญ่กว่า เครื่องบินแบบยุคลิดอาจฝังอยู่ในระนาบโปรเจ็กต์จริงและรูปกรวยอาจถือได้ว่าเป็นวัตถุในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกต์นี้ วิธีหนึ่งในการทำเช่นนี้คือการแนะนำพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันและกำหนดรูปกรวยให้เป็นชุดของจุดที่มีพิกัดเป็นไปตามสมการกำลังสองที่ไม่สามารถวัดได้ในสามตัวแปร (หรือเทียบเท่ากันคือเลขศูนย์ของรูปแบบกำลังสองที่วัดไม่ได้) เพิ่มเติมเทคนิคชุดของจุดที่มีค่าศูนย์ของรูปแบบสมการกำลังสอง (ในจำนวนของตัวแปรใด ๆ ) เรียกว่าquadricและ quadrics ลดลงในสองพื้นที่ projective มิติ (นั่นคือมีสามตัวแปร) จะเรียกว่าประเพณี conics

ระนาบแบบยุคลิดR 2ฝังอยู่ในระนาบโพรเจกไทล์จริงโดยเชื่อมต่อกับเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด (และจุดที่สอดคล้องกันที่อินฟินิตี้ ) เพื่อให้เส้นทั้งหมดของคลาสคู่ขนานมาบรรจบกันบนเส้นนี้ ในทางกลับกันเริ่มต้นด้วยระนาบฉายจริงเครื่องบินแบบยุคลิดได้มาจากการแยกแยะเส้นบางเส้นเป็นเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดและลบออกและจุดทั้งหมดของมัน

จุดตัดที่อินฟินิตี้

ในพื้นที่ฉายภาพเหนือวงแหวนการหารใด ๆ แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่งเหนือจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนรูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพทั้งหมดจะมีค่าเท่ากันดังนั้นในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์เราก็พูดถึง "รูปกรวย" โดยไม่ต้องระบุประเภท นั่นคือมีการเปลี่ยนแปลงแบบโพรเจกไทล์ที่จะจับคู่รูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพกับรูปกรวยอื่น ๆ ที่ไม่เสื่อมสภาพ [44]

ภาคตัดกรวยทั้งสามประเภทจะปรากฏขึ้นอีกครั้งในระนาบ Affine ที่ได้จากการเลือกเส้นของพื้นที่ฉายภาพให้เป็นเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด จากนั้นทั้งสามประเภทจะถูกกำหนดโดยวิธีที่เส้นตรงอินฟินิตี้ตัดรูปกรวยในปริภูมิฉาย ในช่องว่างเชิงเส้นที่ตรงกันหนึ่งจะได้วงรีถ้ารูปกรวยไม่ตัดเส้นที่อินฟินิตี้พาราโบลาถ้ารูปกรวยตัดเส้นที่อินฟินิตี้ในจุดคู่หนึ่งจุดที่ตรงกับแกนและไฮเพอร์โบลาถ้ารูปกรวยตัดกับเส้นที่ อินฟินิตี้ในสองจุดที่สอดคล้องกับเส้นกำกับ [45]

พิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันส่วนรูปกรวยสามารถแสดงเป็น:

ก x 2 + ข x ย + ค ย 2 + ง x z + จ ย z + ฉ z 2 = 0. {\ displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} + Dxz + Eyz + Fz ^ {2} = 0.} {\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}

หรือในสัญกรณ์เมทริกซ์

( x ย z ) ( ก ข / 2 ง / 2 ข / 2 ค จ / 2 ง / 2 จ / 2 ฉ ) ( x ย z ) = 0. {\ displaystyle \ left ({\ begin {matrix} x & y & z \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ z \ end {matrix}} \ right) = 0} {\displaystyle \left({\begin{matrix}x&y&z\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}}\right)=0.}

3 × 3 เมทริกซ์ดังกล่าวข้างต้นจะเรียกว่าเมทริกซ์ของส่วนรูปกรวย

ผู้เขียนบางคนชอบเขียนสมการเอกพันธ์ทั่วไปเป็น

ก x 2 + 2 ข x ย + ค ย 2 + 2 ง x z + 2 จ ย z + ฉ z 2 = 0 , {\ displaystyle Ax ^ {2} + 2Bxy + Cy ^ {2} + 2Dxz + 2Eyz + Fz ^ {2} = 0,} {\displaystyle Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2}=0,}

(หรือรูปแบบบางอย่าง) เพื่อให้เมทริกซ์ของภาคตัดกรวยมีรูปแบบที่ง่ายกว่า

ม = ( ก ข ง ข ค จ ง จ ฉ ) , {\ displaystyle M = \ left ({\ begin {matrix} A & B & D \\ B & C & E \\ D & E & F \ end {matrix}} \ right),} {\displaystyle M=\left({\begin{matrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\end{matrix}}\right),}

แต่ไม่ได้ใช้สัญกรณ์นี้ในบทความนี้ [46]

หากปัจจัยของเมทริกซ์ของภาคตัดกรวยเป็นศูนย์ภาคตัดกรวยเป็นคนเลว

เมื่อคูณค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหกด้วยสเกลาร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เดียวกันจะทำให้ได้สมการที่มีชุดศูนย์เดียวกันเราสามารถพิจารณารูปกรวยซึ่งแสดงโดย( A , B , C , D , E , F )เป็นจุดในการฉายภาพห้ามิติพื้นที่ ป 5 . {\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {5}.} \mathbf {P} ^{5}.

คำจำกัดความของวงกลม

แนวคิดเชิงเมตริกของเรขาคณิตแบบยุคลิด (แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการวัดความยาวและมุม) ไม่สามารถขยายไปยังระนาบการฉายจริงได้ทันที [47]พวกเขาจะต้องถูกกำหนดใหม่ (และเป็นลักษณะทั่วไป) ในรูปทรงเรขาคณิตใหม่นี้ สิ่งนี้สามารถทำได้สำหรับเครื่องบินแบบฉายภาพโดยพลการแต่เพื่อให้ได้ระนาบการฉายจริงในฐานะเครื่องบินแบบยุคลิดที่ขยายออกจำเป็นต้องมีทางเลือกเฉพาะบางอย่าง [48]

แก้ไขบรรทัดโดยพลการใน projective เครื่องบินนั้นจะต้องถูกเรียกว่าเส้นแน่นอน เลือกสองจุดที่แตกต่างกันในบรรทัดที่แน่นอนและหมายถึงพวกเขาเป็นจุดที่แน่นอน สามารถกำหนดแนวคิดเชิงเมตริกได้หลายประการโดยอ้างอิงถึงทางเลือกเหล่านี้ ยกตัวอย่างเช่นรับสายที่มีจุดและBที่จุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นABถูกกำหนดให้เป็นจุดCซึ่งเป็นคอนจูเกตฮาร์โมนิ projectiveของจุดตัดของABและสายแน่นอนเกี่ยวกับการและB

รูปกรวยใน projective เครื่องบินที่มีสองจุดที่แน่นอนจะเรียกว่าเป็นวงกลม เนื่องจากจุดห้าจุดกำหนดรูปกรวยวงกลม (ซึ่งอาจเสื่อมสภาพ) จึงถูกกำหนดโดยจุดสามจุด ที่จะได้รับเครื่องบินแบบยุคลิดขยายสายแน่นอนได้รับเลือกให้เป็นสายที่อินฟินิตี้ของเครื่องบินแบบยุคลิดและจุดที่แน่นอนที่มีสองจุดพิเศษในสายที่เรียกว่าจุดวงกลมที่อินฟินิตี้ บรรทัดที่มีสองจุดด้วยพิกัดจริงไม่ผ่านจุดวงกลมไม่มีที่สิ้นสุดดังนั้นในระนาบแบบยุคลิดวงกลมภายใต้คำนิยามนี้จะถูกกำหนดโดยสามจุดที่ไม่collinear [49] : 72

มีการกล่าวถึงว่าวงกลมในระนาบยุคลิดไม่สามารถกำหนดได้ด้วยคุณสมบัติโฟกัส - ไดเรคทริกซ์ อย่างไรก็ตามหากต้องพิจารณาเส้นตรงอินฟินิตี้เป็น directrix ดังนั้นการใช้ความเบี้ยวเป็นe = 0วงกลมจะมีคุณสมบัติ focus-directrix แต่คุณสมบัตินั้นยังไม่ได้กำหนดไว้ [50]เราต้องระมัดระวังในสถานการณ์นี้เพื่อใช้นิยามของความเยื้องศูนย์อย่างถูกต้องเป็นอัตราส่วนของระยะห่างของจุดบนวงกลมกับโฟกัส (ความยาวของรัศมี) กับระยะทางของจุดนั้นไปยังเส้นตรง (ระยะนี้ ไม่มีที่สิ้นสุด) ซึ่งให้ค่า จำกัด เป็นศูนย์

นิยามรูปกรวยแบบโปรเจกต์ของ Steiner

ความหมายของการสร้าง Steiner ของภาคตัดกรวย

วิธีการสังเคราะห์ (ไม่มีพิกัด) ในการกำหนดภาคตัดกรวยในระนาบโปรเจ็กต์ได้รับจากJakob Steinerในปีพ. ศ. 2410

  • ให้ดินสอสองแท่ง ข ( ยู ) , ข ( วี ) {\ displaystyle B (U), B (V)} B(U),B(V) ของเส้นสองจุด ยู , วี {\ displaystyle U, V} U,V (ทุกบรรทัดที่มี ยู {\ displaystyle U} U และ วี {\ displaystyle V} Vresp.) และการทำแผนที่แบบฉายภาพแต่ไม่ใช่มุมมอง π {\ displaystyle \ pi} \pi ของ ข ( ยู ) {\ displaystyle B (U)} B(U) ไปยัง ข ( วี ) {\ displaystyle B (V)} B(V). จากนั้นจุดตัดของเส้นที่สอดคล้องกันจะก่อให้เกิดส่วนที่เป็นรูปกรวยฉายที่ไม่เสื่อมสภาพ [51] [52] [53] [54]

การทำแผนที่มุมมอง π {\ displaystyle \ pi} \pi ของดินสอ ข ( ยู ) {\ displaystyle B (U)} B(U) ลงบนดินสอ ข ( วี ) {\ displaystyle B (V)} B(V)เป็นbijection (การโต้ตอบ 1-1) ซึ่งเส้นที่เกี่ยวข้องตัดกันบนเส้นคงที่ ก {\ displaystyle a} aซึ่งเรียกว่าแกนของมุมมอง π {\ displaystyle \ pi} \pi .

การทำแผนที่แบบฉายภาพเป็นลำดับที่ จำกัด ของการแมปเปอร์สเปคทีฟ

เนื่องจากการทำแผนที่แบบฉายภาพในระนาบโปรเจ็กต์เหนือสนาม ( ระนาบ pappian ) ถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันโดยกำหนดภาพของเส้นสามเส้น[55]สำหรับการสร้าง Steiner ของภาคตัดกรวยนอกเหนือจากจุดสองจุด ยู , วี {\ displaystyle U, V} U,Vต้องให้ภาพ 3 บรรทัดเท่านั้น 5 รายการเหล่านี้ (2 จุด 3 บรรทัด) กำหนดส่วนรูปกรวยโดยไม่ซ้ำกัน

รูปกรวย

ตามหลักการของความเป็นคู่ในระนาบโปรเจ็กต์คู่ของแต่ละจุดคือเส้นและสองตำแหน่งของจุด (ชุดของจุดที่ตรงตามเงื่อนไขบางประการ) เรียกว่าซองของเส้น การใช้คำจำกัดความของรูปกรวยของ Steiner (ที่ตั้งของจุดนี้จะเรียกว่าจุดกรวย ) เป็นการพบกันของรังสีที่สอดคล้องกันของดินสอสองแท่งที่เกี่ยวข้องกันทำให้ง่ายต่อการปรับคู่และได้รับซองจดหมายที่เกี่ยวข้องซึ่งประกอบด้วยการรวมของจุดที่สอดคล้องกันของ สองช่วงที่เกี่ยวข้องกัน (จุดบนเส้น) บนฐานที่ต่างกัน (เส้นที่จุดอยู่บน) ซองจดหมายดังกล่าวเรียกว่ากรวยเส้น (หรือกรวยคู่ )

ในระนาบโปรเจ็กต์จริงรูปกรวยจุดมีคุณสมบัติที่ทุกเส้นมาบรรจบกันเป็นสองจุด (ซึ่งอาจตรงกันหรืออาจซับซ้อน) และชุดของจุดใด ๆ ที่มีคุณสมบัตินี้เป็นรูปกรวย ตามด้วย dually ที่รูปกรวยเส้นมีสองเส้นผ่านทุกจุดและซองของเส้นใด ๆ ที่มีคุณสมบัตินี้คือรูปกรวยเส้น เมื่อมาถึงจุดของรูปกรวยทุกจุดมีเส้นสัมผัสไม่ซ้ำกันและ dually บนเส้นบรรทัดทุกรูปกรวยมีจุดที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่าจุดของการติดต่อ ทฤษฎีบทที่สำคัญกล่าวว่าเส้นสัมผัสของรูปกรวยจุดเป็นรูปกรวยเส้นและ dually จุดสัมผัสของรูปกรวยเป็นรูปกรวยจุด [56] : 48–49

คำจำกัดความของ Von Staudt

Karl Georg Christian von Staudtกำหนดรูปกรวยเป็นจุดที่กำหนดโดยจุดสัมบูรณ์ทั้งหมดของขั้วที่มีจุดสัมบูรณ์ Von Staudt แนะนำคำจำกัดความนี้ในGeometrie der Lage (1847) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของความพยายามของเขาที่จะลบแนวคิดเชิงเมตริกทั้งหมดออกจากรูปทรงเรขาคณิต

ขั้ว , πของเครื่องบิน projective, Pเป็น involutory (เช่นการสั่งซื้อสอง) bijectionระหว่างจุดและเส้นของPที่เก็บรักษาความสัมพันธ์อุบัติการณ์ ดังนั้นขั้วเกี่ยวข้องจุดQกับสายคิวและต่อไปนี้Gergonne , Qเรียกว่าขั้วของQและQเสาของคิว [57]จุดที่แน่นอน ( สาย ) ของขั้วเป็นหนึ่งซึ่งเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับขั้วโลก (เสา) [58]

ฟอน Staudt รูปกรวยในระนาบจริง projective เทียบเท่ากับรูปกรวยทิ [59]

โครงสร้าง

ไม่สามารถสร้างส่วนโค้งต่อเนื่องของรูปกรวยได้ด้วยเส้นตรงและเข็มทิศ อย่างไรก็ตามมีโครงสร้างเส้นตรงและเข็มทิศหลายแบบสำหรับจุดแต่ละจุดบนส่วนโค้ง

หนึ่งในนั้นมีพื้นฐานมาจากการสนทนาของทฤษฎีบทของปาสคาลกล่าวคือถ้าจุดตัดของด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยมเป็นแนวคอลลิเนียร์จุดยอดทั้งหกจะอยู่บนรูปกรวย โดยเฉพาะให้ห้าจุดA , B , C , D , Eและเส้นที่ผ่านEพูดว่าEGจุดFที่อยู่บนเส้นนี้และอยู่บนรูปกรวยที่กำหนดโดยจุดทั้งห้าที่สามารถสร้างได้ Let ABพบDEในL , BCพบEGในMและปล่อยซีดีพบLMที่ยังไม่มี จากนั้นตรงตามEGที่จุดที่จำเป็นF [60] : 52–53โดยการเปลี่ยนเส้นผ่านEทำให้สามารถสร้างจุดเพิ่มเติมบนรูปกรวยได้มากเท่าที่ต้องการ

วิธีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสำหรับการสร้างวงรี

อีกวิธีหนึ่งขึ้นอยู่กับโครงสร้างของ Steiner และเป็นประโยชน์ในการใช้งานทางวิศวกรรมคือวิธีสี่เหลี่ยมด้านขนานที่รูปกรวยถูกสร้างขึ้นทีละจุดโดยการเชื่อมต่อจุดที่มีระยะห่างเท่า ๆ กันบนเส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้ง [61]โดยเฉพาะเพื่อสร้างวงรีด้วยสมการx 2/ก2 + ปี2/ข2= 1แรกสร้างสี่เหลี่ยมผืนผ้าABCDที่มีจุด( , 0), B ( 2 ข ), C (- 2 ข )และD (- , 0) แบ่งBCด้านข้างออกเป็นnส่วนที่เท่ากันและใช้การฉายแบบขนานเทียบกับAC ในแนวทแยงเพื่อสร้างส่วนที่เท่ากันบนด้านAB (ความยาวของส่วนเหล่านี้จะเป็นข/กคูณความยาวของเซ็กเมนต์บนBC ) ในอีกด้านBCฉลากปลายทางซ้ายมือของกลุ่มที่มีที่ 1เพื่อnเริ่มต้นที่Bและมุ่งหน้าไปยังC ในอีกด้านABป้ายปลายทางบนD 1เพื่อD nเริ่มต้นที่และมุ่งหน้าไปยังB จุดตัด, AAฉัน ∩ DDฉันสำหรับ1 ≤ ฉัน ≤ nจะเป็นจุดของวงรีระหว่างและP (0, B ) การติดฉลากจะเชื่อมโยงเส้นของดินสอผ่านAกับเส้นของดินสอถึงD เป็นโครงร่างแต่ไม่ใช่ในมุมมอง รูปกรวยที่ต้องการนั้นได้มาจากโครงสร้างนี้เนื่องจากจุดสามจุดA , DและPและเส้นสัมผัสสองเส้น (เส้นแนวตั้งที่AและD ) กำหนดรูปกรวยโดยไม่ซ้ำกัน ถ้าใช้เส้นผ่านศูนย์กลางอื่น (และเส้นผ่านศูนย์กลางคอนจูเกต) แทนแกนหลักและแกนรองของวงรีจะใช้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ใช่สี่เหลี่ยมผืนผ้าในการสร้างโดยตั้งชื่อวิธีการ สามารถขยายความสัมพันธ์ของเส้นของดินสอเพื่อให้ได้จุดอื่น ๆ บนวงรี โครงสร้างของไฮเพอร์โบลาส[62]และพาราโบลา[63]มีความคล้ายคลึงกัน

อีกวิธีหนึ่งโดยทั่วไปใช้คุณสมบัติเชิงขั้วเพื่อสร้างซองสัมผัสของรูปกรวย (รูปกรวยเส้น) [64]

ในระนาบการฉายภาพที่ซับซ้อน

ในระนาบซับซ้อนC 2จุดไข่ปลาและไฮเพอร์โบลาจะไม่แตกต่างกัน: อาจถือว่าไฮเพอร์โบลาเป็นวงรีที่มีความยาวแกนจินตภาพ ตัวอย่างเช่นวงรี x 2 + ย 2 = 1 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1} x^{2}+y^{2}=1 กลายเป็นไฮเพอร์โบลาภายใต้การแทนที่ ย = ผม ว , {\ displaystyle y = iw,} y=iw, ทางเรขาคณิตเป็นการหมุนเวียนที่ซับซ้อนให้ผล x 2 - ว 2 = 1 {\ displaystyle x ^ {2} -w ^ {2} = 1} x^{2}-w^{2}=1. ดังนั้นจึงมีการจำแนก 2 ทางคือวงรี / ไฮเพอร์โบลาและพาราโบลา การขยายเส้นโค้งไปยังระนาบโปรเจ็กต์ที่ซับซ้อนสิ่งนี้สอดคล้องกับการตัดกันของเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดในจุดที่แตกต่างกัน 2 จุด (ตรงกับเส้นกำกับสองเส้น) หรือในจุดคู่ 1 จุด (ตรงกับแกนของพาราโบลา) ดังนั้นไฮเพอร์โบลาที่แท้จริงจึงเป็นภาพจริงที่ชี้นำมากกว่าสำหรับวงรี / ไฮเพอร์โบลาที่ซับซ้อนเนื่องจากมีจุดตัด 2 (ของจริง) ด้วยเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด

การรวมกันเพิ่มเติมเกิดขึ้นในระนาบโปรเจ็กทีฟที่ซับซ้อน CP 2 : รูปกรวยที่ไม่เสื่อมสภาพไม่สามารถแยกแยะออกจากกันได้เนื่องจากสิ่งใด ๆ สามารถนำไปใช้กับการแปลงเชิงเส้นแบบโปรเจ็กต์

พิสูจน์ได้ว่าในCP 2ภาคตัดกรวยสองส่วนมีจุดสี่จุดเหมือนกัน (ถ้าหนึ่งบัญชีมีหลายหลาก ) ดังนั้นจึงมีจุดตัดระหว่าง 1 ถึง 4 ความเป็นไปได้ในการตัดกันคือจุดที่แตกต่างกันสี่จุดจุดเอกพจน์สองจุดและจุดคู่หนึ่งจุดสองจุดสองจุดจุดเอกพจน์หนึ่งจุดและอีกหนึ่งจุดที่มีหลายหลาก 3 จุดหนึ่งที่มีการคูณ 4 หากจุดตัดกันใดมีความหลายหลาก> 1 เส้นโค้งทั้งสองจะกล่าว จะต้องมีการสัมผัสกัน หากมีจุดตัดของหลายหลากอย่างน้อย 3 ทั้งสองเส้นโค้งจะกล่าวว่าเป็นosculating ถ้ามีเพียงจุดตัดหนึ่งซึ่งมีหลายหลาก 4 ทั้งสองเส้นโค้งจะกล่าวว่าเป็นsuperosculating [65]

นอกจากนี้เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดส่วนรูปกรวยแต่ละส่วนสองครั้ง หากจุดแยกเป็นสองเส้นเป็นเส้นสัมผัส ตัดกับเส้นที่อินฟินิตี้แต่ละส่วนรูปกรวยมีสองจุดที่อินฟินิตี้ ถ้าจุดเหล่านี้เป็นจริงเส้นโค้งเป็นhyperbola ; หากพวกเขาเป็น conjugates จินตนาการมันเป็นวงรี ; ถ้ามีเพียงหนึ่งจุดคู่มันเป็นรูปโค้ง หากจุดที่อินฟินิตี้ที่มีจุดวงกลม (1, ผม , 0)และ(1, - ฉัน , 0)ส่วนรูปกรวยเป็นวงกลม ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ของภาคตัดกรวยเป็นจริงจุดที่อินฟินิตี้มีทั้งจริงหรือผันซับซ้อน

กรณีเสื่อม

สิ่งที่ควรพิจารณาว่าเป็นกรณีที่เสื่อมของรูปกรวยขึ้นอยู่กับคำจำกัดความที่ใช้และการตั้งค่าทางเรขาคณิตสำหรับส่วนรูปกรวย มีผู้เขียนบางคนให้คำจำกัดความของรูปกรวยเป็นรูปสี่เหลี่ยมสองมิติที่ไม่ได้สร้างขึ้นใหม่ ด้วยคำศัพท์นี้ไม่มีรูปกรวยที่เสื่อมสภาพ (มีเพียงควอดริกที่เสื่อม) แต่เราจะใช้คำศัพท์แบบดั้งเดิมมากกว่าและหลีกเลี่ยงคำจำกัดความนั้น

ในระนาบยุคลิดโดยใช้นิยามทางเรขาคณิตกรณีเสื่อมเกิดขึ้นเมื่อระนาบตัดผ่านปลายกรวย รูปกรวยที่เสื่อมสภาพเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งจุดเมื่อระนาบตัดกรวยที่ปลายยอดเท่านั้น เส้นตรงเมื่อเครื่องบินสัมผัสกันไปกรวย (มันมีตรงหนึ่งกำเนิดของกรวย); หรือเส้นตัดกันคู่หนึ่ง (เครื่องกำเนิดกรวยสองอัน) [66] สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับรูปแบบ จำกัด ของวงรีพาราโบลาและไฮเพอร์โบลาตามลำดับ

ถ้ารูปกรวยในระนาบยุคลิดถูกกำหนดโดยศูนย์ของสมการกำลังสอง (นั่นคือเป็นรูปสี่เหลี่ยม) รูปกรวยที่เสื่อมสภาพคือเซตว่างจุดหรือคู่ของเส้นซึ่งอาจขนานกันตัดกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งหรือตรงกัน กรณีเซตว่างอาจสอดคล้องกับคู่ของเส้นขนานคอนจูเกตที่ซับซ้อนเช่นกับสมการ x 2 + 1 = 0 , {\ displaystyle x ^ {2} + 1 = 0,} {\displaystyle x^{2}+1=0,}หรือวงรีจินตภาพเช่นกับสมการ x 2 + ย 2 + 1 = 0. {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0.} {\displaystyle x^{2}+y^{2}+1=0.}วงรีในจินตนาการไม่เป็นไปตามคำจำกัดความทั่วไปของความเสื่อมดังนั้นจึงไม่ถือว่าเป็นความเสื่อมตามปกติ [67]กรณีสองบรรทัดเกิดขึ้นเมื่อปัจจัยการแสดงออกกำลังสองเป็นปัจจัยเชิงเส้นสองตัวโดยศูนย์ของแต่ละเส้นให้เส้น ในกรณีที่ปัจจัยเหมือนกันเส้นที่สอดคล้องกันและเราอ้างถึงเส้นนั้นเป็นเส้นคู่ (เส้นที่มีหลายหลาก 2) และนี่คือกรณีก่อนหน้าของระนาบการตัดสัมผัส

ในระนาบโปรเจ็กต์จริงเนื่องจากเส้นขนานมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งบนเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุดจึงสามารถมองกรณีเส้นขนานของระนาบยุคลิดเป็นเส้นตัดกันได้ อย่างไรก็ตามเนื่องจากจุดตัดเป็นจุดยอดของกรวยกรวยจะเสื่อมสภาพเป็นทรงกระบอกกล่าวคือเมื่อปลายยอดอยู่ที่ระยะอนันต์ ส่วนอื่น ๆ ในกรณีนี้จะเรียกว่าส่วนลูกสูบ [68]ส่วนทรงกระบอกที่ไม่เสื่อมสภาพคือจุดไข่ปลา (หรือวงกลม)

เมื่อมองจากมุมมองของระนาบโปรเจ็กต์ที่ซับซ้อนกรณีที่เสื่อมถอยของกำลังสองจริง (กล่าวคือสมการกำลังสองมีสัมประสิทธิ์จริง) ทั้งหมดถือได้ว่าเป็นคู่ของเส้น เซตว่างอาจเป็นเส้นที่อินฟินิตี้ซึ่งถือเป็นเส้นคู่จุด (จริง) คือจุดตัดของเส้นคอนจูเกตที่ซับซ้อนสองเส้นและอีกกรณีตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

ในการแยกแยะกรณีเสื่อมออกจากกรณีที่ไม่เสื่อมสภาพ (รวมถึงเซตว่างด้วยส่วนหลัง) โดยใช้สัญกรณ์เมทริกซ์ให้βเป็นตัวกำหนดของเมทริกซ์ 3 × 3 ของส่วนรูปกรวยนั่นคือβ = ( AC - B 2/4) F + เตียง - ซีดี2 - AE 2/4; และปล่อยให้α = B 2 - 4 ACเป็นตัวเลือก จากนั้นภาคตัดกรวยไม่เลวถ้าหากบีตา ≠ 0 หากβ = 0เรามีจุดเมื่อα <0สองเส้นคู่ขนาน (อาจประจวบ) เมื่อα = 0หรือสองเส้นตัดกันเมื่อα > 0 [69]

ดินสอรูปกรวย

รูปกรวย (ไม่เสื่อมสภาพ) ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยจุดห้าจุดในตำแหน่งทั่วไป (ไม่มีสามคอลลิเนียร์ ) ในระนาบและระบบกรวยซึ่งผ่านชุดคงที่ของสี่จุด (อีกครั้งในระนาบและไม่มีโคลิเนียร์สามจุด) เรียกว่าดินสอของ conics [70] : 64จุดร่วมทั้งสี่เรียกว่าจุดฐานของดินสอ ผ่านจุดใด ๆ ที่ไม่ใช่จุดฐานจะมีรูปกรวยหนึ่งอันของดินสอผ่าน แนวคิดนี้ทำให้ดินสอเป็นวงกลมโดยทั่วไป [71] : 127

ตัดกันสองกรวย

คำตอบสำหรับระบบสมการดีกรีสองวินาทีในสองตัวแปรอาจถูกมองว่าเป็นพิกัดของจุดตัดของภาคตัดกรวยทั่วไปสองส่วน โดยเฉพาะรูปกรวยสองอันอาจไม่มีจุดตัดกันสองหรือสี่จุดที่อาจเกิดขึ้นโดยบังเอิญ วิธีการที่มีประสิทธิภาพในการหาตำแหน่งโซลูชันเหล่านี้ใช้ประโยชน์จากการแสดงเมทริกซ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันของส่วนรูปกรวยนั่นคือเมทริกซ์สมมาตร 3 × 3 ซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์หกตัว

ขั้นตอนในการค้นหาจุดตัดจะทำตามขั้นตอนเหล่านี้โดยที่รูปกรวยแสดงด้วยเมทริกซ์: [72]

  • ให้รูปกรวยสองอัน ค 1 {\ displaystyle C_ {1}} C_{1} และ ค 2 {\ displaystyle C_ {2}} C_{2}ให้พิจารณาดินสอของรูปกรวยที่กำหนดโดยการรวมเชิงเส้น λ ค 1 + μ ค 2 . {\ displaystyle \ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}.} \lambda C_{1}+\mu C_{2}.
  • ระบุพารามิเตอร์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ( λ , μ ) {\ displaystyle (\ lambda, \ mu)} (\lambda ,\mu )ซึ่งสอดคล้องกับรูปกรวยที่เสื่อมสภาพของดินสอ ซึ่งสามารถทำได้โดยกำหนดเงื่อนไขว่า det ( λ ค 1 + μ ค 2 ) = 0 {\ displaystyle \ det (\ lambda C_ {1} + \ mu C_ {2}) = 0} \det(\lambda C_{1}+\mu C_{2})=0 และการแก้สำหรับ λ {\ displaystyle \ lambda} \lambda และ μ {\ displaystyle \ mu} \mu . สิ่งเหล่านี้กลายเป็นคำตอบของสมการองศาที่สาม
  • ให้กรวยที่เสื่อมสภาพ ค 0 {\ displaystyle C_ {0}} C_{0}ระบุทั้งสองเส้นที่อาจจะเป็นไปได้โดยบังเอิญ
  • ตัดกันแต่ละบรรทัดที่ระบุด้วยหนึ่งในสองรูปกรวยดั้งเดิม ขั้นตอนนี้สามารถทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้การแสดงรูปกรวยคู่ของ ค 0 {\ displaystyle C_ {0}} C_{0}
  • จุดตัดกันจะแสดงคำตอบของระบบสมการเริ่มต้น

ลักษณะทั่วไป

อาจมีการกำหนดรูปกรวยเหนือช่องอื่น ๆ (นั่นคือในรูปทรงเรขาคณิตแบบ pappianอื่น ๆ) อย่างไรก็ตามต้องใช้ความระมัดระวังบางอย่างเมื่อฟิลด์มีลักษณะที่ 2 เนื่องจากไม่สามารถใช้สูตรบางสูตรได้ ตัวอย่างเช่นการแทนค่าเมทริกซ์ที่ใช้ข้างต้นต้องการการหารด้วย 2

ลักษณะทั่วไปของรูปกรวยที่ไม่ใช่คนเลวใน projective เครื่องบินเป็นรูปไข่ วงรีคือชุดจุดที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ซึ่งถือโดยรูปกรวย: 1) เส้นใด ๆ ตัดวงรีในไม่มีจุดหนึ่งหรือสองจุด 2) ที่จุดใด ๆ ของวงรีจะมีเส้นสัมผัสที่ไม่ซ้ำกัน

Generalizing คุณสมบัติเน้นของ conics กับกรณีที่มีมากกว่าสอง foci ผลิตชุดเรียกว่าconics ทั่วไป

ในด้านอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์

การจำแนกเป็นรูปไข่พาราโบลาและไฮเพอร์โบลิกนั้นแพร่หลายในคณิตศาสตร์และมักแบ่งเขตข้อมูลออกเป็นเขตข้อมูลย่อยที่แตกต่างกันอย่างชัดเจน การจำแนกประเภทส่วนใหญ่เกิดจากการมีอยู่ของรูปแบบกำลังสอง (ในสองตัวแปรนี้สอดคล้องกับการแยกแยะที่เกี่ยวข้อง) แต่ยังสามารถสอดคล้องกับความเยื้องศูนย์

การจำแนกรูปแบบกำลังสอง:

รูปแบบกำลังสอง
รูปแบบกำลังสองเหนือค่าเรียลถูกจัดประเภทตาม กฎความเฉื่อยของซิลเวสเตอร์กล่าวคือโดยดัชนีบวกดัชนีศูนย์และดัชนีเชิงลบรูปแบบกำลังสองใน ตัวแปรnสามารถแปลงเป็น รูปทแยงมุมได้ดังที่ x 1 2 + x 2 2 + ⋯ + x k 2 - x k + 1 2 - ⋯ - x k + ℓ 2 , {\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {k} ^ {2} -x_ {k + 1} ^ {2} - \ cdots -x_ {k + \ ell} ^ {2},} {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}-x_{k+1}^{2}-\cdots -x_{k+\ell }^{2},}โดยที่จำนวนค่าสัมประสิทธิ์ +1, kคือดัชนีบวกจำนวนของสัมประสิทธิ์ −1, ℓคือดัชนีเชิงลบและตัวแปรที่เหลือคือดัชนีศูนย์ mดังนั้น k + ℓ + ม = n . {\ displaystyle k + \ ell + m = n.} {\displaystyle k+\ell +m=n.} ในสองตัวแปรรูปแบบกำลังสองที่ไม่ใช่ศูนย์จัดเป็น:
  • x 2 + ย 2 {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}} x^{2}+y^{2} - บวกแน่นอน (รวมค่าลบด้วย) ตรงกับจุดไข่ปลา
  • x 2 {\ displaystyle x ^ {2}} x^{2} - เสื่อมสภาพสอดคล้องกับพาราโบลาและ
  • x 2 - ย 2 {\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}} x^{2}-y^{2} - ไม่มีกำหนดสอดคล้องกับไฮเพอร์โบลา
ในสองตัวแปรรูปแบบกำลังสองถูกจำแนกโดยเลือกปฏิบัติคล้ายกับรูปกรวย แต่ในมิติที่สูงกว่าการจำแนกที่มีประโยชน์มากขึ้นจะเป็นที่ แน่นอน (บวกทั้งหมดหรือลบทั้งหมด) เสื่อม (ค่าศูนย์บางตัว) หรือ ไม่แน่นอน (ผสมระหว่างบวกและลบ แต่ ไม่มีศูนย์) การจำแนกประเภทนี้รองรับหลายสิ่งที่ตามมา
ความโค้ง
เสียนโค้งของ พื้นผิวอธิบายเรขาคณิตเล็กและอาจในแต่ละจุดเป็นได้ทั้งบวก - เรขาคณิตรูปไข่ , ศูนย์ - รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด (แบนโค้ง) หรือลบ - เรขาคณิตผ่อนชำระ ; อย่างน้อยที่สุดในลำดับที่สองพื้นผิวจะมีลักษณะเหมือนกราฟของ x 2 + ย 2 , {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},} x^{2}+y^{2}, x 2 {\ displaystyle x ^ {2}} x^{2} (หรือ 0) หรือ x 2 - ย 2 {\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2}} x^{2}-y^{2}. อันที่จริงโดย ทฤษฎีบทความสม่ำเสมอทุกพื้นผิวสามารถนำไปเป็นแบบสากล (ทุกจุด) โค้งในเชิงบวกแบนหรือโค้งเชิงลบ ในมิติที่สูงขึ้น โค้งเมตริกซ์ Riemannเป็นวัตถุที่มีความซับซ้อนมากขึ้น แต่ manifolds กับความโค้งขวางคงเป็นวัตถุที่น่าสนใจของการศึกษาและมีคุณสมบัติที่แตกต่างอย่างยอดเยี่ยมตามที่กล่าวไว้ใน โค้งขวาง
PDE ลำดับที่สอง
สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (PDEs) ของ ลำดับที่สองถูกจัดประเภทในแต่ละจุดเป็นรูปไข่พาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลิกตามลำดับที่สองสอดคล้องกับรูปแบบกำลังสองของรูปไข่พาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลิก พฤติกรรมและทฤษฎีของ PDE ประเภทต่างๆเหล่านี้แตกต่างกันอย่างมากตัวอย่างที่เป็นตัวแทนคือ สมการปัวซองเป็นรูปไข่ สมการความร้อนเป็นพาราโบลาและ สมการของคลื่นเป็นไฮเพอร์โบลิก

การจำแนกประเภทความเยื้องศูนย์ได้แก่ :

การเปลี่ยนแปลงของMöbius
การเปลี่ยนแปลงของเมอบิอุสจริง (องค์ประกอบของ PSL 2 ( R )หรือฝาปิด 2 พับ SL 2 ( R ) ) ถูก จัดประเภทเป็นรูปไข่พาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลิกตามที่มีการติดตามครึ่งหนึ่งคือ 0 ≤ | tr ⁡ | / 2 < 1 , {\ displaystyle 0 \ leq | \ operatorname {tr} | / 2 <1,} 0\leq |\operatorname {tr} |/2<1, | tr ⁡ | / 2 = 1 , {\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2 = 1,} |\operatorname {tr} |/2=1, หรือ | tr ⁡ | / 2 > 1 , {\ displaystyle | \ operatorname {tr} | / 2> 1,} |\operatorname {tr} |/2>1, สะท้อนการจำแนกตามความเยื้องศูนย์
อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ย
อัตราส่วนความแปรปรวนต่อค่าเฉลี่ยแบ่งประเภทที่สำคัญหลายตระกูลของการ แจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง : การแจกแจงคงที่เป็นวงกลม (ความเยื้องศูนย์ 0) การ แจกแจงแบบทวินามเป็นรูปไข่การ แจกแจงแบบปัวซองเป็นรูปพาราโบลาและการ แจกแจงทวินามลบเป็นไฮเพอร์โบลิก นี้คือเนื้อหาที่ cumulants ของการกระจายความน่าจะเป็นบางส่วนที่ไม่ต่อเนื่อง
ใน SVG แบบโต้ตอบนี้ให้เลื่อนไปทางซ้ายและขวาเหนือภาพ SVG เพื่อหมุนกรวยคู่

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • Circumconic และ inconic
  • Conic Sections Rebellionการประท้วงของนักศึกษามหาวิทยาลัยเยล
  • แวดวงผู้อำนวยการ
  • ระบบพิกัดรูปไข่
  • ชุดที่ห่างกันเท่ากัน
  • รูปกรวยเก้าจุด
  • พิกัดพาราโบลา
  • ฟังก์ชันกำลังสอง

หมายเหตุ

  1. ^ ยั้วเยี้ย 1963พี 319
  2. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , หน้า 13
  3. Co Cohen, D. , Precalculus: With Unit Circle Trigonometry ( Stamford : Thomson Brooks / Cole , 2006), p. 844 .
  4. ^ Thomas & ฟินเนย์ 1979พี 434
  5. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , หน้า 19; Kendig 2005 , หน้า 86, 141
  6. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , PP. 13-16
  7. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , PP. 11-16
  8. ^ Protter & Morrey 1970 , PP. 314-328, 585-589ข้อผิดพลาด harvnb: ไม่มีเป้าหมาย: CITEREFProtterMorrey1970 ( ความช่วยเหลือ )
  9. ^ Protter & Morrey 1970 , PP. 290-314ข้อผิดพลาด harvnb: ไม่มีเป้าหมาย: CITEREFProtterMorrey1970 ( ความช่วยเหลือ )
  10. ^ วิลสันและ Tracey 1925พี 130
  11. ^ เซตว่างจะรวมเป็นรูปกรวยเสื่อมเนื่องจากอาจเกิดขึ้นเป็นคำตอบของสมการนี้
  12. ^ Protter & Morrey 1970พี 316ข้อผิดพลาด harvnb: ไม่มีเป้าหมาย: CITEREFProtterMorrey1970 ( ความช่วยเหลือ )
  13. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , หน้า 30
  14. ^ Fanchi จอห์นอาร์ (2006), ทบทวนคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรจอห์นไวลีย์และบุตรได้ pp. 44-45, ISBN 0-471-75715-2, หัวข้อ 3.2, หน้า 45
  15. ^ a b Protter & Morrey 1970 , p. 326ข้อผิดพลาด harvnb: ไม่มีเป้าหมาย: CITEREFProtterMorrey1970 ( ความช่วยเหลือ )
  16. ^ วิลสันและ Tracey 1925พี 153
  17. ^ Pettofrezzo แอนโธนี,เมทริกซ์และแปลงโดเวอร์ Publ. 1966 พี 110.
  18. ^ a b c Spain, B. , Analytical Conics (Mineola, NY: Dover, 2007) ตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1957 โดยPergamon
  19. ^ Ayoub, Ayoub บีว่า "ความผิดปกติของภาคตัดกรวย"วิทยาลัยคณิตศาสตร์วารสาร 34 (2), เดือนมีนาคม 2003 116-121
  20. ^ Ayoub, AB "ส่วนที่มีรูปกรวยกลางมาเยือน"คณิตศาสตร์นิตยสาร 66 (5) 1993, 322-325
  21. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , หน้า 17
  22. ^ Whitworth วิลเลียมอัลเลน พิกัดไตรลิเนียร์และวิธีการอื่น ๆ ของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์สมัยใหม่ของสองมิติหนังสือที่ถูกลืม 2555 (ต้นกำเนิด Deighton, Bell, and Co. , 1866), หน้า. 203.
  23. ^ ปารีส Pamfilos "แกลเลอรี่ของ conics โดยห้าองค์ประกอบ"ฟอรั่ม Geometricorum 14 2014, 295-348 http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201431.pdf
  24. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , หน้า 28
  25. ^ ดาวน์ 2003 , PP. 36ff
  26. ^ ตาม Plutarchวิธีการแก้ปัญหานี้ถูกปฏิเสธโดยเพลโตเนื่องจากไม่สามารถทำได้โดยใช้เพียงเส้นตรงและเข็มทิศอย่างไรก็ตามการตีความคำแถลงของพลูทาร์กนี้อยู่ภายใต้การวิพากษ์วิจารณ์ Boyer 2004 , p.14, เชิงอรรถ 14
  27. ^ บอยเยอร์ 2004 , PP. 17-18
  28. ^ บอยเยอร์ 2004พี 18
  29. ^ แคทซ์ 1998พี 117
  30. ^ Heath, TL,สิบสามหนังสือของ Euclid 's องค์ประกอบฉบับ I, Dover, 1956, หน้า 16
  31. ^ ยั้วเยี้ย 1963พี 28
  32. ^ Apollonius ของเมืองเปอร์กาตำราภาคตัดกรวยแก้ไขโดย TL เฮลธ์ (เคมบริดจ์: Cambridge University Press, 2013)
  33. ^ ยั้วเยี้ย 1963พี 30
  34. ^ บอยเยอร์ 2004พี 36
  35. ^ Stillwell, John (2010). คณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ (3rd ed.) นิวยอร์ก: Springer น. 30 . ISBN 978-1-4419-6052-8.
  36. ^ "Apollonius ของ Perga Conics หนังสือหนึ่งที่จะเซเว่น" (PDF) สืบค้นเมื่อ10 มิถุนายน 2554 .
  37. ^ เทอร์เนอร์, Howard R. (1997). วิทยาศาสตร์ในยุคกลางอิสลาม: บทนำภาพประกอบ มหาวิทยาลัยเท็กซัส น. 53. ISBN 0-292-78149-0.
  38. ^ Boyer, CB , & Merzbach, UC , A History of Mathematics ( Hoboken : John Wiley & Sons, Inc. , 1968), p. 219 .
  39. ^ Van der Waerden, BL ,เรขาคณิตและพีชคณิตในอารยธรรมโบราณ (เบอร์ลิน /ไฮเดลเบิร์ก : Springer Verlag , 1983),หน้า 73 .
  40. ^ แคทซ์ 1998พี 126
  41. ^ บอยเยอร์ 2004พี 110
  42. ^ a b Boyer 2004 , p. 114
  43. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , หน้า 27
  44. ^ Artzy 2008พี 158, ม ธ 3-5.1
  45. ^ Artzy 2008พี 159
  46. ^ รูปแบบของสมการนี้ไม่ได้กล่าวถึงเขตข้อมูลของลักษณะที่สอง (ดูด้านล่าง)
  47. ^ พิจารณาหาจุดกึ่งกลางของส่วนของเส้นตรงโดยมีจุดสิ้นสุดหนึ่งจุดบนเส้นที่ไม่มีที่สิ้นสุด
  48. ^ Faulkner 1952พี 71
  49. ^ Faulkner 1952พี 72
  50. ^ ยั้วเยี้ย 1963พี 320
  51. ^ Coxeter 1993พี 80
  52. ^ อาร์ตมันน์พี 38
  53. ^ Merserve 1983พี 65
  54. ^ จาค็อบสทิ Vorlesungen über synthetische เรขาคณิต , BG Teubner ลีพ 1867 (จาก Google หนังสือ: (ภาษาเยอรมัน) Part II ดังนี้ Part I ) Part II, PG 96
  55. ^ อาร์ตมันน์พี 19
  56. ^ Faulkner 1952 , PP. 48-49
  57. ^ Coxeter 1964พี 60
  58. ^ Coxeter และผู้เขียนคนอื่น ๆ ใช้คำว่า self-conjugateแทนค่าสัมบูรณ์
  59. ^ Coxeter 1964พี 80
  60. ^ Faulkner 1952 , PP.  52-53
  61. ^ Downs 2003พี 5
  62. ^ Downs 2003พี 14
  63. ^ Downs 2003พี 19
  64. ^ Akopyan & Zaslavsky 2007พี 70ข้อผิดพลาด harvnb: ไม่มีเป้าหมาย: CITEREFAkopyanZaslavsky2007 ( help )
  65. ^ Wilczynski, EJ (1916), "ข้อสังเกตบางประการเกี่ยวกับพัฒนาการทางประวัติศาสตร์และอนาคตของรูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างของเส้นโค้งของระนาบ", Bull Amer. คณิตศาสตร์. Soc. , 22 (7): 317–329, ดอย : 10.1090 / s0002-9904-1916-02785-6.
  66. ^ Brannan, Esplen และสีเทา 1999 , หน้า 6
  67. ^ Korn, GA, & Korn, TM ,คู่มือทางคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร: คำจำกัดความทฤษฎีบทและสูตรสำหรับการอ้างอิงและการทบทวน ( Mineola, NY : Dover Publications , 1961), p. 42 .
  68. ^ "แม ธ เวิลด์: ส่วนลูกสูบ"
  69. ^ Lawrence, J. Dennis (1972), A Catalog of Special Plane Curves , Dover, p. 63 , ISBN 0-486-60288-5
  70. ^ Faulkner 1952 , PG 64 .
  71. ^ เบอร์เกอร์, M. ,เรขาคณิตเปิดเผย: บันไดของจาค็อบจะโมเดิร์นที่สูงขึ้นเรขาคณิต (เบอร์ลิน / ไฮเดลเบิร์ก: สปริงเกอร์, 2010),หน้า 127 .
  72. ^ Richter-Gebert 2011 , หน้า 196

อ้างอิง

  • Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007). รูปทรงเรขาคณิตของ Conics สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 978-0-8218-4323-9.
  • Artzy, Rafael (2008) [1965], Linear Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
  • Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-43832-0
  • บรานแนน, เดวิดเอ; เอสเปลนแมทธิวเอฟ; เกรย์เจเรมีเจ (2542) เรขาคณิตสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-59787-6
  • Coxeter, HSM (1964), เรขาคณิตโปรเจกต์ , Blaisdell, ISBN 9780387406237
  • Coxeter, HSM (1993), The Real Projective Plane , Springer Science & Business Media
  • Downs, JW (2003) [1993], Practical Conic Sections: The geometric properties of Ellipses, parabolas and hyperbolas , Dover, ISBN 0-486-42876-1
  • Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry (Volume One) , Boston: Allyn and Bacon
  • Hartmann, Erich, Planar Circle Geometries, บทนำสู่ Moebius-, Laguerre- และ Minkowski Planes (PDF) , สืบค้นเมื่อ20 กันยายน 2014 (PDF; 891 kB)
  • Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison Wesley Longman, ISBN 978-0-321-01618-8
  • Kendig, Keith (2005), Conics , The Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-335-1
  • Faulkner, TE (1952), Projective Geometry (2nd ed.), Edinburgh: Oliver and Boyd, ISBN 9780486154893
  • Merserve, Bruce E. (1983) [1959], แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต , Dover, ISBN 0-486-63415-9
  • โพรเทอร์เมอร์เรย์เอช; Morrey, Jr. , Charles B. (1970), แคลคูลัสวิทยาลัยพร้อมเรขาคณิตวิเคราะห์ (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042
  • ริกเตอร์ - เกเบิร์ตเจอร์เก้น (2554). มุมมองเกี่ยวกับ Projective เรขาคณิต: เป็นไกด์ทัวร์ผ่านจริงและรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน สปริงเกอร์. ISBN 9783642172854.
  • ซามูเอลปิแอร์ (1988) เรขาคณิตโปรเจกต์ข้อความระดับปริญญาตรีในวิชาคณิตศาสตร์ (การอ่านในคณิตศาสตร์) นิวยอร์ก: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96752-4
  • โทมัสจอร์จบี; Finney, Ross L. (1979), Calculus and Analytic Geometry (5th ed.), Addison-Wesley, p. 434, ISBN 0-201-07540-7
  • วิลสันวอชิงตัน; Tracey, JI (1925), เรขาคณิตวิเคราะห์ (ฉบับแก้ไข), DC Heath และ บริษัท

ลิงก์ภายนอก

  • ภาคตัดกรวย (เรขาคณิต)ที่สารานุกรมบริแทนนิกา
  • คุณสามารถหาสูตร Conic จากกรวยได้หรือไม่? ที่เก็บถาวร 2007-07-15 Gary S. Stoudt ( Indiana University of Pennsylvania
  • ภาคตัดกรวยที่พิเศษระนาบเส้นโค้ง
  • Weisstein, Eric W. "ภาคตัดกรวย" . แม ธ เวิลด์
  • การเกิดขึ้นของรูปกรวย Conics ในธรรมชาติและที่อื่น ๆ
  • ดูConic Sectionsที่cut-the-knotสำหรับหลักฐานที่ชัดเจนว่าส่วนที่เป็นรูปกรวย จำกัด ใด ๆ เป็นวงรีและXah Leeสำหรับการรักษารูปกรวยอื่น ๆ ที่คล้ายกัน
  • รูปกรวยแปดแฉกที่ภาพร่างเรขาคณิตแบบไดนามิก
  • ตำแหน่งสมการโดยนัยลำดับที่สองกราฟรูปกรวย Java แบบโต้ตอบ; ใช้สมการนัยลำดับที่สองทั่วไป
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Conic_section" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP