กรวย
กรวยเป็นสามมิติ รูปทรงเรขาคณิตที่แท่งได้อย่างราบรื่นจากฐานที่แบน (บ่อย แต่ไม่จำเป็นต้องวงกลม) ไปยังจุดที่เรียกว่าปลายหรือจุดสุดยอด



รูปกรวยจะเกิดขึ้นโดยชุดของกลุ่มสาย , ครึ่งเส้นหรือเส้นเชื่อมต่อจุดร่วมกันปลายเพื่อให้ทุกจุดบนฐานที่อยู่ในที่เครื่องบินที่ไม่ได้มียอด ขึ้นอยู่กับผู้แต่ง ฐานอาจถูกจำกัดให้เป็นวงกลมรูปแบบกำลังสองหนึ่งมิติใดๆในระนาบรูปทรงหนึ่งมิติแบบปิดหรือรูปแบบใดๆ ข้างต้น บวกกับจุดล้อมรอบทั้งหมดทั้งนี้ขึ้นอยู่กับผู้แต่ง ถ้ารวมจุดที่ล้อมรอบอยู่ในฐาน กรวยเป็นวัตถุทึบ ; มิฉะนั้นจะเป็นแบบสองมิติวัตถุในพื้นที่สามมิติ ในกรณีของวัตถุที่เป็นของแข็งเขตแดนที่เกิดขึ้นจากเส้นเหล่านี้หรือเส้นบางส่วนจะเรียกว่าพื้นผิวด้านข้าง ; ถ้าพื้นผิวด้านข้างเป็นมากมายมันเป็นพื้นผิวรูปกรวย
ในกรณีของส่วนของเส้นตรง กรวยจะไม่ยาวเกินฐาน ในขณะที่ในกรณีของเส้นครึ่งเส้น มันจะขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีของเส้นตรง โคนจะยื่นออกไปทั้งสองทิศทางอย่างไม่สิ้นสุดจากปลายทั้งสอง ซึ่งบางครั้งเรียกว่ากรวยคู่. ครึ่งหนึ่งของรูปกรวยคู่บนด้านหนึ่งของยอดที่เรียกว่าnappe
แกนของรูปกรวยเป็นเส้นตรง (ถ้ามี) ผ่านปลายเกี่ยวกับการที่ฐาน (และกรวยทั้งหมด) มีสมมาตรแบบวงกลม
ในการใช้งานทั่วไปในเรขาคณิตเบื้องต้นถือว่ากรวยเป็นวงกลมด้านขวาโดยที่วงกลมหมายความว่าฐานเป็นวงกลมและด้านขวาหมายความว่าแกนเคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลางของฐานที่มุมฉากกับระนาบ [1]หากกรวยที่เหมาะสมวงกลมจุดตัดของเครื่องบินกับพื้นผิวด้านข้างที่เป็นภาคตัดกรวย อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ฐานอาจเป็นรูปร่างใดก็ได้[2]และยอดอาจอยู่ที่ใดก็ได้ (แม้ว่าโดยทั่วไปจะถือว่าฐานมีขอบเขตและดังนั้นจึงมีพื้นที่จำกัดและปลายยอดจะอยู่นอกระนาบของฐาน) ตรงกันข้ามกับโคนขวาเป็นโคนเฉียงซึ่งแกนผ่านศูนย์กลางของฐานไม่ตั้งฉาก [3]
รูปกรวยมีเหลี่ยมฐานเรียกว่าปิรามิด
ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับบริบท "กรวย" อาจหมายถึงกรวยนูนหรือกรวยโปรเจ็กเตอร์โดยเฉพาะ
โคนยังสามารถทำให้เป็นแบบทั่วไปในมิติที่สูงกว่าได้
คำศัพท์เพิ่มเติม
เส้นรอบวงของฐานของกรวยเรียกว่า "ไดเรกทริกซ์" และแต่ละส่วนของเส้นตรงระหว่างไดเรกทริกซ์และปลายยอดคือ "เจเนอเรทริกซ์" หรือ "เส้นกำเนิด" ของพื้นผิวด้านข้าง (สำหรับการเชื่อมต่อระหว่างความรู้สึกของคำว่า "ไดเรกตริกซ์" และที่ไดเรกตริกซ์ของภาคตัดกรวยดูทรงกลม Dandelin .)
"รัศมีฐาน" ของกรวยทรงกลมคือรัศมีของฐาน มักจะเรียกง่ายๆ ว่ารัศมีของกรวย รูรับแสงของรูปกรวยกลมขวาเป็นมุมสูงสุดระหว่างสองสาย generatrix; ถ้าตัวสร้างมุมθกับแกน รูรับแสงจะเป็น 2 θ .

กรวยที่มีบริเวณรวมทั้งยอดที่ถูกตัดออกโดยระนาบเรียกว่า " กรวยที่ถูกตัดทอน "; ถ้าระนาบการตัดปลายขนานกับฐานของกรวย เรียกว่าฟรัสทัม [1] "รูปกรวยวงรี" คือรูปกรวยที่มีฐานเป็นวงรี [1] "รูปกรวยทั่วไป" คือพื้นผิวที่สร้างขึ้นโดยเซตของเส้นที่ผ่านจุดยอดและทุกจุดบนขอบเขต (ดูตัวเรือด้วย )
การวัดและสมการ
ปริมาณ
ปริมาณ ของของแข็งทรงกรวยใดๆ ให้เท่ากับหนึ่งในสามของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ฐาน และส่วนสูง [4]
ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ สูตรนี้สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยใช้แคลคูลัส นั่นคืออินทิกรัล โดยไม่ต้องใช้แคลคูลัส สูตรสามารถพิสูจน์ได้โดยการเปรียบเทียบรูปกรวยกับปิรามิดและนำหลักการของคาวาเลียรีมาประยุกต์โดยเฉพาะการเปรียบเทียบรูปกรวยกับปิรามิดสี่เหลี่ยมจตุรัสด้านขวา (ในแนวตั้ง) ซึ่งสร้างหนึ่งในสามของลูกบาศก์ สูตรนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้อาร์กิวเมนต์เล็กๆ น้อยๆ เช่นนี้ ซึ่งต่างจากสูตร 2 มิติสำหรับพื้นที่พหุหลายหน้า แม้ว่าจะคล้ายกับพื้นที่ของวงกลมก็ตาม และด้วยเหตุนี้จึงยอมรับการพิสูจน์ที่เข้มงวดน้อยกว่าก่อนการถือกำเนิดของแคลคูลัส โดยที่ชาวกรีกโบราณใช้วิธีการ ความอ่อนเพลีย นี่เป็นเนื้อหาของปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ต - ที่แม่นยำกว่านั้น ไม่ใช่ปิรามิดที่มีรูปทรงหลายหน้าทั้งหมดที่มีกรรไกรเหมือนกัน (สามารถตัดเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยและจัดเรียงใหม่เป็นอย่างอื่นได้) ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณปริมาตรได้หมดจดโดยใช้อาร์กิวเมนต์การสลายตัว [5]
ศูนย์กลางของมวล
จุดศูนย์กลางมวลของรูปกรวยที่มั่นคงของความหนาแน่นเครื่องแบบอยู่หนึ่งในสี่ของทางจากศูนย์กลางของฐานถึงจุดสุดยอดที่อยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมสอง
กรวยกลมขวา
ปริมาณ
สำหรับกรวยทรงกลมที่มีรัศมีrและความสูงhฐานคือวงกลมของพื้นที่ดังนั้นสูตรปริมาตรจึงกลายเป็น[6]
ความสูงเอียง
ความสูงเอียงของกรวยทรงกลมด้านขวาคือระยะห่างจากจุดใดๆ บนวงกลมของฐานถึงยอดโดยใช้ส่วนของเส้นตรงตามพื้นผิวของกรวย มอบให้โดยที่ไหน คือรัศมีของฐานและคือความสูง นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส
พื้นที่ผิว
พื้นผิวด้านข้างพื้นที่ของรูปกรวยทรงกลมที่ถูกต้องคือ ที่ไหน คือรัศมีของวงกลมที่ด้านล่างของกรวยและ คือความสูงเอียงของกรวย [4]พื้นที่ผิวของวงกลมด้านล่างของรูปกรวยเท่ากับวงกลมใดๆ. ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยทรงกลมด้านขวาสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้:
- รัศมีและความสูง
- (พื้นที่ฐานบวกพื้นที่ผิวข้าง ระยะ คือความสูงเอียง)
- ที่ไหน คือรัศมีและ คือความสูง
- รัศมีและความสูงเอียง
- ที่ไหน คือรัศมีและ คือความสูงเอียง
- เส้นรอบวงและความสูงเอียง
- ที่ไหน คือเส้นรอบวงและ คือความสูงเอียง
- มุมเอเพ็กซ์และความสูง
- ที่ไหน คือมุมยอดและ คือความสูง
ภาควงกลม
ภาควงกลมที่ได้จากการแฉพื้นผิวของหนึ่ง nappe ของกรวยมี:
- รัศมีR
- ความยาวส่วนโค้งL
- มุมศูนย์กลางφหน่วยเรเดียน
รูปแบบสมการ
พื้นผิวของกรวยสามารถกำหนดพารามิเตอร์เป็น
ที่ไหน คือมุม "รอบ" กรวย และ คือ "ความสูง" ตามแนวกรวย
กรวยทรงกลมทึบด้านขวามีความสูง และรูรับแสง ซึ่งแกนคือ แกนพิกัดและมีจุดยอดเป็นแหล่งกำเนิด อธิบายแบบพาราเมตริกเป็น
ที่ไหน ช่วงเกิน , , และ ตามลำดับ
ในรูปแบบโดยนัยของแข็งเดียวกันถูกกำหนดโดยอสมการ
ที่ไหน
โดยทั่วไปแล้ว กรวยวงกลมด้านขวาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด แกนขนานกับเวกเตอร์ และรูรับแสง , ถูกกำหนดโดยสมการเวกเตอร์โดยนัย ที่ไหน
- หรือ
ที่ไหน , และ หมายถึงสินค้า dot
กรวยรูปไข่
ในระบบ Cartesian ประสานงานเป็นรูปกรวยรูปไข่เป็นสถานทีของสมการของรูปแบบนั้น[7]
เป็นภาพที่สัมพันธ์กันของรูปกรวยหน่วยวงกลมขวาพร้อมสมการจากข้อเท็จจริงที่ว่า ภาพที่สัมพันธ์กันของส่วนรูปกรวยนั้นเป็นส่วนรูปกรวยประเภทเดียวกัน (วงรี, พาราโบลา,...) เราจะได้รับ:
- ส่วนระนาบใดๆของรูปกรวยรูปไข่คือส่วนรูปกรวย
แน่นอน กรวยวงกลมด้านขวาใดๆ จะมีวงกลมอยู่ สิ่งนี้ก็จริงเช่นกัน แต่ไม่ค่อยชัดเจน ในกรณีทั่วไป (ดูส่วนวงกลม )
เรขาคณิตโปรเจกทีฟ

ในเรขาคณิต projectiveเป็นทรงกระบอกเป็นเพียงกรวยที่มีปลายที่อินฟินิตี้ [8]สังหรณ์ใจถ้าใครช่วยให้ฐานคงที่และใช้เวลาที่ จำกัด เป็นปลายไปที่อินฟินิตี้คนหนึ่งได้กระบอกมุมด้านข้างเพิ่มขึ้นเป็นarctanในขีด จำกัด จัดตั้งมุมขวา นี้จะเป็นประโยชน์ในความหมายของconics เลวซึ่งต้องพิจารณาconics ทรงกระบอก
ตามGB Halstedกรวยถูกสร้างขึ้นคล้ายกับรูปกรวยของ Steinerเท่านั้นด้วยการฉายภาพและดินสอตามแนวแกน (ไม่ใช่ในมุมมอง) แทนที่จะเป็นช่วงฉายภาพที่ใช้สำหรับ Steiner conic:
"ถ้าดินสอตามแนวแกนแบบ copunctual non-costraight สองแท่งเป็นแบบโปรเจ็กต์แต่ไม่ใช่แบบเปอร์สเปคทีฟ การบรรจบกันของระนาบที่มีความสัมพันธ์กันจะก่อให้เกิด 'พื้นผิวทรงกรวยของอันดับที่สอง' หรือ 'กรวย'" [9]
มิติที่สูงขึ้น
คำจำกัดความของกรวยอาจขยายไปถึงมิติที่สูงขึ้นได้ (ดูกรวยนูน ) ในกรณีนี้หนึ่งบอกว่านูนชุด Cในจริง เวกเตอร์พื้นที่ R nเป็นรูปกรวย (มีปลายที่จุดกำเนิด) ถ้าทุกเวกเตอร์xในCและทุกจำนวนจริงไม่เป็นลบ, เวกเตอร์ขวานอยู่ในC [2]ในบริบทนี้ ความคล้ายคลึงกันของกรวยทรงกลมมักจะไม่พิเศษ อันที่จริงมักสนใจกรวยหลายหน้า
ดูสิ่งนี้ด้วย
- Bicone
- กรวย (พีชคณิตเชิงเส้น)
- กรวย (โทโพโลยี)
- ทรงกระบอก (เรขาคณิต)
- เดโมคริตุส
- รูปกรวยทั่วไป
- ไฮเปอร์โบลอยด์
- รายการรูปร่าง
- กรวยไพโรเมตริก
- สี่เหลี่ยม
- การหมุนของแกน
- ปกครองพื้นผิว
- แกน
หมายเหตุ
- อรรถเป็น ข c เจมส์ อาร์ซี; เจมส์, เกล็นน์ (1992-07-31). พจนานุกรมคณิตศาสตร์ . สื่อวิทยาศาสตร์และธุรกิจของสปริงเกอร์ หน้า 74–75. ISBN 9780412990410.
- ^ a b Grünbaum, Convex Polytopes , ฉบับที่สอง, น. 23.
- ^ ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "โคน" . คณิตศาสตร์โลก.
- ^ ข อเล็กซานเดอร์, แดเนียล ซี.; Koeberlein, Geralyn M. (2014-01-01). เรขาคณิตประถมศึกษาสำหรับนักศึกษาวิทยาลัย การเรียนรู้ Cengage ISBN 9781285965901.
- ^ ฮาร์ทสฮอร์น, โรบิน (2013-11-11). เรขาคณิต: Euclid and Beyond . สื่อวิทยาศาสตร์และธุรกิจของสปริงเกอร์ บทที่ 27. ISBN 9780387226767.
- ^ เปล่า ไบรอัน อี.; แครนซ์, สตีเวน จอร์จ (2006-01-01) แคลคูลัส: ตัวแปรเดียว สื่อวิทยาศาสตร์และธุรกิจของสปริงเกอร์ บทที่ 8 ISBN 9781931914598.
- ^ พรอตเตอร์ & มอร์รีย์ (1970 , p. 583)
- ^ ดาวลิ่ง, ลินเนอัส เวย์แลนด์ (1917-01-01) เรขาคณิตโปรเจกทีฟ บริษัทหนังสือ McGraw-Hill, Incorporated
- ^ GB Halsted (1906) Synthetic Projective Geometry , หน้า 20
อ้างอิง
- พรอตเตอร์, เมอร์เรย์ เอช.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (ฉบับที่ 2), Reading: Addison-Wesley , LCCN 76087042
ลิงค์ภายนอก
- ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "โคน" . คณิตศาสตร์โลก.
- Weisstein, Eric W. "กรวยคู่" . คณิตศาสตร์โลก.
- Weisstein, Eric W. "กรวยทั่วไป" . คณิตศาสตร์โลก.
- Spinning Coneแบบโต้ตอบจาก Maths Is Fun
- กรวยกระดาษรุ่น
- พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกรวยเฉียง
- ตัดกรวยการสาธิตเชิงโต้ตอบของจุดตัดของกรวยกับระนาบ