กรวย

เส้นรอบวงของฐานของกรวยเรียกว่า "ไดเรกทริกซ์" และแต่ละส่วนของเส้นตรงระหว่างไดเรกทริกซ์และปลายยอดคือ "เจเนอเรทริกซ์" หรือ "เส้นกำเนิด" ของพื้นผิวด้านข้าง (สำหรับการเชื่อมต่อระหว่างความรู้สึกของคำว่า "ไดเรกตริกซ์" และที่ไดเรกตริกซ์ของภาคตัดกรวยดูทรงกลม Dandelin .)

"รัศมีฐาน" ของกรวยทรงกลมคือรัศมีของฐาน มักจะเรียกง่ายๆ ว่ารัศมีของกรวย รูรับแสงของรูปกรวยกลมขวาเป็นมุมสูงสุดระหว่างสองสาย generatrix; ถ้าตัวสร้างมุมθกับแกน รูรับแสงจะเป็น 2 θ .

ภาพประกอบจาก Problemata mathematica...ตีพิมพ์ใน Acta Eruditorum , 1734

กรวยที่มีบริเวณรวมทั้งยอดที่ถูกตัดออกโดยระนาบเรียกว่า " กรวยที่ถูกตัดทอน "; ถ้าระนาบการตัดปลายขนานกับฐานของกรวย เรียกว่าฟรัสทัม ^[1] "รูปกรวยวงรี" คือรูปกรวยที่มีฐานเป็นวงรี ^[1] "รูปกรวยทั่วไป" คือพื้นผิวที่สร้างขึ้นโดยเซตของเส้นที่ผ่านจุดยอดและทุกจุดบนขอบเขต (ดูตัวเรือด้วย )

ปริมาณ

ปริมาณ ${\displaystyle V}$ ของของแข็งทรงกรวยใดๆ ให้เท่ากับหนึ่งในสามของผลิตภัณฑ์ของพื้นที่ฐาน ${\displaystyle A_{B}}$ และส่วนสูง ${\displaystyle h}$^[4]

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}$

ในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ สูตรนี้สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายโดยใช้แคลคูลัส นั่นคืออินทิกรัล ${\displaystyle \int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}.}$โดยไม่ต้องใช้แคลคูลัส สูตรสามารถพิสูจน์ได้โดยการเปรียบเทียบรูปกรวยกับปิรามิดและนำหลักการของคาวาเลียรีมาประยุกต์โดยเฉพาะการเปรียบเทียบรูปกรวยกับปิรามิดสี่เหลี่ยมจตุรัสด้านขวา (ในแนวตั้ง) ซึ่งสร้างหนึ่งในสามของลูกบาศก์ สูตรนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยไม่ต้องใช้อาร์กิวเมนต์เล็กๆ น้อยๆ เช่นนี้ ซึ่งต่างจากสูตร 2 มิติสำหรับพื้นที่พหุหลายหน้า แม้ว่าจะคล้ายกับพื้นที่ของวงกลมก็ตาม และด้วยเหตุนี้จึงยอมรับการพิสูจน์ที่เข้มงวดน้อยกว่าก่อนการถือกำเนิดของแคลคูลัส โดยที่ชาวกรีกโบราณใช้วิธีการ ความอ่อนเพลีย นี่เป็นเนื้อหาของปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ต - ที่แม่นยำกว่านั้น ไม่ใช่ปิรามิดที่มีรูปทรงหลายหน้าทั้งหมดที่มีกรรไกรเหมือนกัน (สามารถตัดเป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อยและจัดเรียงใหม่เป็นอย่างอื่นได้) ดังนั้นจึงไม่สามารถคำนวณปริมาตรได้หมดจดโดยใช้อาร์กิวเมนต์การสลายตัว ^[5]

ศูนย์กลางของมวล

จุดศูนย์กลางมวลของรูปกรวยที่มั่นคงของความหนาแน่นเครื่องแบบอยู่หนึ่งในสี่ของทางจากศูนย์กลางของฐานถึงจุดสุดยอดที่อยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมสอง

กรวยกลมขวา

ปริมาณ

สำหรับกรวยทรงกลมที่มีรัศมีrและความสูงhฐานคือวงกลมของพื้นที่${\displaystyle \pi r^{2}}$ดังนั้นสูตรปริมาตรจึงกลายเป็น^[6]

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

ความสูงเอียง

ความสูงเอียงของกรวยทรงกลมด้านขวาคือระยะห่างจากจุดใดๆ บนวงกลมของฐานถึงยอดโดยใช้ส่วนของเส้นตรงตามพื้นผิวของกรวย มอบให้โดย${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ที่ไหน ${\displaystyle r}$คือรัศมีของฐานและ${\displaystyle h}$คือความสูง นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส

พื้นที่ผิว

พื้นผิวด้านข้างพื้นที่ของรูปกรวยทรงกลมที่ถูกต้องคือ${\displaystyle LSA=\pi rl}$ ที่ไหน ${\displaystyle r}$ คือรัศมีของวงกลมที่ด้านล่างของกรวยและ ${\displaystyle l}$คือความสูงเอียงของกรวย ^[4]พื้นที่ผิวของวงกลมด้านล่างของรูปกรวยเท่ากับวงกลมใดๆ${\displaystyle \pi r^{2}}$. ดังนั้น พื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยทรงกลมด้านขวาสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้:

• รัศมีและความสูง

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(พื้นที่ฐานบวกพื้นที่ผิวข้าง ระยะ ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ คือความสูงเอียง)

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

ที่ไหน ${\displaystyle r}$ คือรัศมีและ ${\displaystyle h}$ คือความสูง

• รัศมีและความสูงเอียง

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi rl}$

${\displaystyle \pi r(r+l)}$

ที่ไหน ${\displaystyle r}$ คือรัศมีและ ${\displaystyle l}$ คือความสูงเอียง

• เส้นรอบวงและความสูงเอียง

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {cl}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+l\right)}$

ที่ไหน ${\displaystyle c}$ คือเส้นรอบวงและ ${\displaystyle l}$ คือความสูงเอียง

• มุมเอเพ็กซ์และความสูง

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\Theta }{2}}\left(\tan {\frac {\Theta }{2}}+\sec {\frac {\Theta }{ 2}}\right)}$

ที่ไหน ${\displaystyle \Theta }$ คือมุมยอดและ ${\displaystyle h}$ คือความสูง

ภาควงกลม

ภาควงกลมที่ได้จากการแฉพื้นผิวของหนึ่ง nappe ของกรวยมี:

• รัศมีR

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• ความยาวส่วนโค้งL

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• มุมศูนย์กลางφหน่วยเรเดียน

${\displaystyle \phi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

รูปแบบสมการ

พื้นผิวของกรวยสามารถกำหนดพารามิเตอร์เป็น

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

ที่ไหน ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ คือมุม "รอบ" กรวย และ ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$ คือ "ความสูง" ตามแนวกรวย

กรวยทรงกลมทึบด้านขวามีความสูง ${\displaystyle h}$ และรูรับแสง ${\displaystyle 2\theta }$ซึ่งแกนคือ ${\displaystyle z}$ แกนพิกัดและมีจุดยอดเป็นแหล่งกำเนิด อธิบายแบบพาราเมตริกเป็น

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

ที่ไหน ${\displaystyle s,t,u}$ ช่วงเกิน ${\displaystyle [0,\theta )}$, ${\displaystyle [0,2\pi )}$, และ ${\displaystyle [0,h]}$ตามลำดับ

ในรูปแบบโดยนัยของแข็งเดียวกันถูกกำหนดโดยอสมการ

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

ที่ไหน

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2 }.\,}$

โดยทั่วไปแล้ว กรวยวงกลมด้านขวาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด แกนขนานกับเวกเตอร์ ${\displaystyle d}$และรูรับแสง ${\displaystyle 2\theta }$, ถูกกำหนดโดยสมการเวกเตอร์โดยนัย${\displaystyle F(u)=0}$ ที่ไหน

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$   หรือ   ${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

ที่ไหน ${\displaystyle u=(x,y,z)}$, และ ${\displaystyle u\cdot d}$หมายถึงสินค้า dot

กรวยรูปไข่

พื้นผิวสี่เหลี่ยมรูปกรวยทรงรี

ในระบบ Cartesian ประสานงานเป็นรูปกรวยรูปไข่เป็นสถานทีของสมการของรูปแบบนั้น^[7]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

เป็นภาพที่สัมพันธ์กันของรูปกรวยหน่วยวงกลมขวาพร้อมสมการ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$จากข้อเท็จจริงที่ว่า ภาพที่สัมพันธ์กันของส่วนรูปกรวยนั้นเป็นส่วนรูปกรวยประเภทเดียวกัน (วงรี, พาราโบลา,...) เราจะได้รับ:

• ส่วนระนาบใดๆของรูปกรวยรูปไข่คือส่วนรูปกรวย

แน่นอน กรวยวงกลมด้านขวาใดๆ จะมีวงกลมอยู่ สิ่งนี้ก็จริงเช่นกัน แต่ไม่ค่อยชัดเจน ในกรณีทั่วไป (ดูส่วนวงกลม )

ใน เรขาคณิต projectiveเป็น ทรงกระบอกเป็นเพียงกรวยที่มีปลายที่อินฟินิตี้ซึ่งสอดคล้องสายตากระบอกในมุมมองที่ปรากฏจะเป็นรูปกรวยขึ้นไปบนท้องฟ้า

ในเรขาคณิต projectiveเป็นทรงกระบอกเป็นเพียงกรวยที่มีปลายที่อินฟินิตี้ ^[8]สังหรณ์ใจถ้าใครช่วยให้ฐานคงที่และใช้เวลาที่ จำกัด เป็นปลายไปที่อินฟินิตี้คนหนึ่งได้กระบอกมุมด้านข้างเพิ่มขึ้นเป็นarctanในขีด จำกัด จัดตั้งมุมขวา นี้จะเป็นประโยชน์ในความหมายของconics เลวซึ่งต้องพิจารณาconics ทรงกระบอก

ตามGB Halstedกรวยถูกสร้างขึ้นคล้ายกับรูปกรวยของ Steinerเท่านั้นด้วยการฉายภาพและดินสอตามแนวแกน (ไม่ใช่ในมุมมอง) แทนที่จะเป็นช่วงฉายภาพที่ใช้สำหรับ Steiner conic:

"ถ้าดินสอตามแนวแกนแบบ copunctual non-costraight สองแท่งเป็นแบบโปรเจ็กต์แต่ไม่ใช่แบบเปอร์สเปคทีฟ การบรรจบกันของระนาบที่มีความสัมพันธ์กันจะก่อให้เกิด 'พื้นผิวทรงกรวยของอันดับที่สอง' หรือ 'กรวย'" ^[9]

คำจำกัดความของกรวยอาจขยายไปถึงมิติที่สูงขึ้นได้ (ดูกรวยนูน ) ในกรณีนี้หนึ่งบอกว่านูนชุด Cในจริง เวกเตอร์พื้นที่ R ⁿเป็นรูปกรวย (มีปลายที่จุดกำเนิด) ถ้าทุกเวกเตอร์xในCและทุกจำนวนจริงไม่เป็นลบ, เวกเตอร์ขวานอยู่ในC ^[2]ในบริบทนี้ ความคล้ายคลึงกันของกรวยทรงกลมมักจะไม่พิเศษ อันที่จริงมักสนใจกรวยหลายหน้า

• Bicone
• กรวย (พีชคณิตเชิงเส้น)
• กรวย (โทโพโลยี)
• ทรงกระบอก (เรขาคณิต)
• เดโมคริตุส
• รูปกรวยทั่วไป
• ไฮเปอร์โบลอยด์
• รายการรูปร่าง
• กรวยไพโรเมตริก
• สี่เหลี่ยม
• การหมุนของแกน
• ปกครองพื้นผิว
• แกน

• พรอตเตอร์, เมอร์เรย์ เอช.; Morrey, Jr., Charles B. (1970), College Calculus with Analytic Geometry (ฉบับที่ 2), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "โคน" . คณิตศาสตร์โลก.
• Weisstein, Eric W. "กรวยคู่" . คณิตศาสตร์โลก.
• Weisstein, Eric W. "กรวยทั่วไป" . คณิตศาสตร์โลก.
• Spinning Coneแบบโต้ตอบจาก Maths Is Fun
• กรวยกระดาษรุ่น
• พื้นที่ผิวด้านข้างของทรงกรวยเฉียง
• ตัดกรวยการสาธิตเชิงโต้ตอบของจุดตัดของกรวยกับระนาบ