Collinearity

ในรูปทรงเรขาคณิต , collinearityของชุดของจุดเป็นทรัพย์สินของการโกหกของพวกเขาในครั้งเดียวบรรทัด ^[1]ชุดของคะแนนที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่าcollinear (บางครั้งสะกดว่าcolinear ^[2] ) โดยทั่วไปแล้ว คำนี้ถูกใช้สำหรับวัตถุที่จัดแนว นั่นคือ สิ่งที่ "อยู่ในเส้น" หรือ "เป็นแถว"

คะแนนในบรรทัด

ในเรขาคณิตใด ๆ ชุดของจุดบนเส้นที่จะกล่าวว่าเป็นcollinear ในเรขาคณิตแบบยุคลิดความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นโดยสัญชาตญาณโดยจุดที่วางเรียงกันเป็นแถวบน "เส้นตรง" อย่างไรก็ตาม ในเรขาคณิตส่วนใหญ่ (รวมถึงแบบยุคลิด) โดยทั่วไปเส้นจะเป็นประเภทวัตถุดั้งเดิม (ไม่ได้กำหนด)ดังนั้นการแสดงภาพดังกล่าวจึงไม่จำเป็นว่าจะเหมาะสม รูปแบบเรขาคณิตมีการตีความของวิธีการที่จุดเส้นและประเภทวัตถุอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับคนอื่นและความคิดเช่น collinearity ต้องตีความในบริบทของรูปแบบที่ ๆ ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตทรงกลมโดยที่เส้นต่างๆ แสดงในโมเดลมาตรฐานโดยวงกลมขนาดใหญ่ของทรงกลม ชุดของจุด collinear จะอยู่บนวงกลมใหญ่เดียวกัน จุดดังกล่าวไม่ได้อยู่ใน "เส้นตรง" ในความหมายแบบยุคลิดและไม่ได้คิดว่าเป็นในแถว

การทำแผนที่ของเรขาคณิตกับตัวเองซึ่งส่งเส้นไปยังเส้นเรียกว่าcollineation ; มันรักษาคุณสมบัติ collinearity แผนที่เชิงเส้น (หรือฟังก์ชั่นเชิงเส้น)ของเวกเตอร์พื้นที่มองว่าเป็นแผนที่ทางเรขาคณิตเส้นแผนที่เส้น; นั่นคือพวกเขาจับคู่ชุดจุด collinear กับชุดจุด collinear ดังนั้นจึงเป็น collinear ในเรขาคณิตเชิงฉายภาพการแมปเชิงเส้นเหล่านี้เรียกว่า โฮโมกราฟีและเป็นเพียงการเทียบเคียงประเภทเดียวเท่านั้น

ตัวอย่างเรขาคณิตแบบยุคลิด

สามเหลี่ยม

ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ ชุดของจุดต่อไปนี้เป็นแบบ collinear:

orthocenterที่วงล้อมที่เซนทรอยด์ที่จุดเอ็กซีเตอร์ที่จุดเดอ Longchampsและศูนย์กลางของวงกลมเก้าจุดมี collinear ทั้งหมดตกบนเส้นที่เรียกว่าเส้นออยเลอร์
จุดเดอ Longchamps ยังมีcollinearities อื่น ๆ
จุดยอดใดๆ, เส้นสัมผัสของด้านตรงข้ามกับexcircleและจุด Nagelจะอยู่ในแนวเส้นขนานที่เรียกว่าตัวแยกของรูปสามเหลี่ยม
จุดกึ่งกลางของด้านใดด้านหนึ่ง จุดที่อยู่ห่างจากมันเท่ากันตามแนวขอบของรูปสามเหลี่ยมในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง (ดังนั้น จุดสองจุดนี้จึงแบ่งครึ่งปริมณฑล ) และจุดศูนย์กลางของวงกลมสปีเกอร์จะขนานกันในเส้นที่เรียกว่าเครื่องผ่าของสามเหลี่ยม ( วงกลมสปีเกอร์คือวงกลมของสามเหลี่ยมอยู่ตรงกลางและจุดศูนย์กลางคือจุดศูนย์กลางมวลของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม)
จุดยอดใดๆ, เส้นสัมผัสของด้านตรงข้ามกับวงกลม และจุด Gergonneนั้นขนานกัน
จากจุดใดๆ บนเส้นรอบวงของรูปสามเหลี่ยม จุดที่ใกล้ที่สุดในแต่ละด้านที่ยื่นออกมาทั้งสามด้านของรูปสามเหลี่ยมจะขนานกันในเส้น Simsonของจุดบนวงกลม
เส้นที่เชื่อมระหว่างเท้าของระดับความสูงตัดกับด้านตรงข้ามที่จุด collinear ^[3]^{: น. 199}
สามเหลี่ยมของincenter , จุดกึ่งกลางของนั้นระดับความสูงและจุดของการติดต่อด้านที่เกี่ยวข้องกับการexcircleเทียบกับข้างเคียงที่มี collinear ^[4]^{: น. 120,#78}
ทฤษฎีบทของเมเนลอสระบุว่า สามจุด $P_{1},P_{2},P_{3}$ ที่ด้านข้าง (บางส่วนขยาย ) ของสามเหลี่ยมตรงข้ามจุดยอด $A_{1},A_{2},A_{3}$ ตามลำดับเป็น collinear ถ้าหากว่าผลิตภัณฑ์ต่อไปนี้ของความยาวเซ็กเมนต์เท่ากัน: ^[3]^{: p. 147}

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1} \cdot P_{3}A_{2}.

จุดศูนย์กลาง จุดเซนทรอยด์ และจุดศูนย์กลางของวงกลมสปีเกอร์เป็นแนวร่วม
วงล้อมที่จุดกึ่งกลาง Brocardและจุด Lemoineของรูปสามเหลี่ยมมี collinear ^[5]
สองเส้นตั้งฉากตัดที่orthocenterของสามเหลี่ยมแต่ละตัดกันของรูปสามเหลี่ยมของฝ่ายขยาย จุดกึ่งกลางในสามด้านของจุดเหล่านี้ของสี่แยกมี collinear ในบรรทัด Droz-Farny

รูปสี่เหลี่ยม

ในนูนรูปสี่เหลี่ยม ABCDซึ่งตรงข้ามกับด้านข้างตัดที่EและFที่จุดกึ่งกลางของAC , BDและEFมี collinear และสายผ่านพวกเขาเรียกว่าสายนิวตัน (บางครั้งเรียกว่าสายนิวตันเกาส์^{[ ต้องการอ้างอิง ]} ) ถ้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นรูปสี่เหลี่ยมวงรีแล้ว incenter ก็อยู่บนเส้นนี้เช่นกัน ^[6]
ในนูนสี่เหลี่ยม quasiorthocenter Hที่ "พื้นที่เซน" Gและ quasicircumcenter Oมี collinear ในการสั่งซื้อนี้และHG = 2 GO ^[7] (ดูสี่เหลี่ยม #จุดและเส้นที่โดดเด่นในรูปสี่เหลี่ยมนูน .)

ความสอดคล้องอื่นๆ ของรูปสี่เหลี่ยมวงรีมีอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก#จุดคอลลิเนียร์
ในรูปสี่เหลี่ยมวงกลม , circumcenter , vertex centroid (จุดตัดของ bimedian ทั้งสอง) และanticenterเป็น collinear ^[8]
ในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมพื้นที่ centroidจุดยอด centroid และจุดตัดของเส้นทแยงมุมเป็น collinear ^[9]
ในสี่เหลี่ยมคางหมูแทนเจนต์แทนเจนซีของวงกลมที่มีฐานทั้งสองจะขนานกับจุดศูนย์กลาง
ในรูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูที่สัมผัสกัน จุดกึ่งกลางของขาจะขนานกับส่วนตรงกลาง

หกเหลี่ยม

ทฤษฎีบทของปาสคาล (ยังเป็นที่รู้จักในฐานะ Hexagrammum Mysticum ทฤษฎีบท) ระบุว่าหากพลหกจุดได้รับการแต่งตั้งในภาคตัดกรวย (เช่นวงรี , รูปโค้งหรือhyperbola ) และเข้าร่วมโดยกลุ่มสายในลำดับใด ๆ ในรูปแบบหกเหลี่ยมแล้วสามคู่ ของด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยม (ขยายถ้าจำเป็น) มาบรรจบกันเป็นสามจุดที่อยู่บนเส้นตรง เรียกว่า เส้นปาสกาลของรูปหกเหลี่ยม บทสนทนาก็เป็นความจริงเช่นกัน: ทฤษฎีบท Braikenridge–Maclaurinระบุว่าหากจุดตัดสามจุดของเส้นสามคู่ผ่านด้านตรงข้ามของรูปหกเหลี่ยมอยู่บนเส้นตรง จุดยอดทั้งหกของรูปหกเหลี่ยมจะอยู่บนรูปกรวย ซึ่งอาจ เสื่อมสภาพตามทฤษฎีบทหกเหลี่ยมของแปปปัส

ส่วนรูปกรวย

ตามทฤษฎีบทของ Mongeสำหรับวงกลมสามวงในระนาบที่ไม่มีวงกลมใดอยู่ในวงกลมใดวงหนึ่งเลย จุดตัดสามจุดของเส้นสามคู่แต่ละเส้นสัมผัสกันภายนอกกับวงกลมสองวงนั้นขนานกัน
ในวงรีจุดศูนย์กลางจุดโฟกัสสองจุดและจุดยอดสองจุดที่มีรัศมีความโค้งน้อยที่สุดจะเป็นแนวร่วม และจุดศูนย์กลางและจุดยอดทั้งสองที่มีรัศมีความโค้งมากที่สุดจะเป็นแนวร่วม
ในไฮเปอร์โบลา จุดศูนย์กลาง จุดโฟกัสสองจุด และจุดยอดทั้งสองจะขนานกัน

โคน

จุดศูนย์กลางมวลของรูปกรวยแข็งของความหนาแน่นของเครื่องแบบอยู่หนึ่งในสี่ของทางจากศูนย์กลางของฐานถึงจุดสุดยอดที่อยู่บนเส้นตรงที่เชื่อมสอง

จัตุรมุข

เซนทรอยด์ของจัตุรมุขเป็นจุดกึ่งกลางระหว่างที่จุด Mongeและวงล้อม จุดเหล่านี้กำหนดเส้นออยเลอร์ของจัตุรมุขที่คล้ายคลึงกับเส้นออยเลอร์ของรูปสามเหลี่ยม จุดศูนย์กลางของทรงกลมสิบสองแฉกของจัตุรมุขก็อยู่บนเส้นออยเลอร์เช่นกัน

พีชคณิต

ความสอดคล้องของจุดที่ได้รับพิกัด

ในเรขาคณิตเชิงพิกัดในพื้นที่nมิติ ชุดของจุดที่แตกต่างกันสามจุดขึ้นไปจะเป็น collinear ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ของพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้มีอันดับ 1 หรือน้อยกว่า ตัวอย่างเช่น ให้สามคะแนนX = ( x ₁ ,  x ₂ , ... ,  x _n ), Y = ( y ₁ ,  y ₂ , ... ,  y _n ) และZ = ( z ₁ ,  z ₂ , ... ,  z _n ) ถ้าเมทริกซ์

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2 }&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

อยู่ในอันดับ 1 หรือน้อยกว่า แต้มเป็น collinear

เท่ากัน สำหรับทุกเซตย่อยของสามจุดX = ( x ₁ ,  x ₂ , ... ,  x _n ), Y = ( y ₁ ,  y ₂ , ... ,  y _n ) และZ = ( z ₁ ,  z ₂ , ... ,  z _n ) ถ้าเมทริกซ์

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2 }&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

อยู่ในอันดับที่ 2 หรือน้อยกว่า แต้มเป็น collinear โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับจุดสามจุดในระนาบ ( n = 2) เมทริกซ์ด้านบนเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และจุดจะขนานกันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มีแนนต์ของมันเป็นศูนย์ เนื่องจากดีเทอร์มีแนนต์ 3 × 3 นั้นเป็นบวกหรือลบสองเท่าของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดสามจุดนั้นเป็นจุดยอด นี่จึงเทียบเท่ากับข้อความที่ว่าจุดสามจุดนั้นขนานกันก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมที่มีจุดเหล่านั้นเป็นจุดยอดมีพื้นที่เป็นศูนย์

ความสอดคล้องของคะแนนที่กำหนดระยะทางเป็นคู่

ชุดของจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสามจุดเรียกว่าตรงซึ่งหมายความว่าจุดทั้งหมดเป็นแบบ collinear ถ้าหากทุก ๆ สามจุดA , BและC ดีเทอร์มีแนนต์ต่อไปนี้ของดีเทอร์มิแนนต์Cayley–Mengerจะเป็นศูนย์ (ด้วยd ( AB ) หมายถึงระยะห่างระหว่างAและBฯลฯ ):

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d (AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

ดีเทอร์มีแนนต์นี้โดยสูตรของนกกระสาเท่ากับ -16 คูณกำลังสองของพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านd ( AB ), d ( BC ) และd ( AC ); ดังนั้นการตรวจสอบว่าดีเทอร์มีแนนต์นี้เท่ากับศูนย์หรือไม่ เท่ากับการตรวจสอบว่าสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดA , BและCมีพื้นที่ศูนย์หรือไม่ (จุดยอดจึงขนานกัน)

ในทำนองเดียวกัน ชุดของจุดที่แตกต่างกันอย่างน้อยสามจุดจะทำงานร่วมกันก็ต่อเมื่อสำหรับทุกๆ สามจุดA , BและC ที่มีd ( AC ) มากกว่าหรือเท่ากับแต่ละd ( AB ) และd ( BC ) , ความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม d ( AC ) ≤ d ( AB ) + d ( BC ) ถือด้วยความเท่าเทียมกัน

ทฤษฎีจำนวน

ตัวเลขสองตัวmและnไม่ใช่coprime—นั่นคือ พวกมันมีตัวประกอบร่วมอื่นที่ไม่ใช่ 1—ถ้าหากสำหรับสี่เหลี่ยมที่ลงจุดบนตารางแลตทิซที่มีจุดยอดที่ (0, 0), ( m , 0), ( m ,  n ) และ (0,  n ) อย่างน้อยหนึ่งจุดภายในเป็น collinear กับ (0, 0) และ ( m ,  n )

การทำงานพร้อมกัน (ระนาบคู่)

ในหลายรูปทรงเรขาคณิตเครื่องบินความคิดของการสับเปลี่ยนบทบาทของ "จุด" และ "สาย" ในขณะที่รักษาความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขาที่เรียกว่าเครื่องบินเป็นคู่ จากชุดของจุด collinear โดยความเป็นคู่ของระนาบ เราจะได้ชุดของเส้นที่ทั้งหมดมาบรรจบกันที่จุดร่วม ทรัพย์สินที่ชุดของสายนี้มี (การประชุมที่เป็นจุดร่วมกัน) ที่เรียกว่าเห็นพ้องและเส้นที่จะกล่าวว่าเป็นสายพร้อมกัน ดังนั้น การเห็นพ้องต้องกันเป็นแนวความคิดคู่ระนาบกับความสอดคล้องกัน

กราฟ Collinearity

กำหนดรูปทรงเรขาคณิตบางส่วน Pที่สองจุดตรวจสอบที่มากที่สุดสายหนึ่งกราฟ collinearityของPเป็นกราฟที่มีจุดเป็นจุดของPซึ่งทั้งสองจุดมีที่อยู่ติดกันและถ้าหากพวกเขาตรวจสอบสายในP

การใช้งานทางสถิติและเศรษฐมิติ

ในสถิติ , collinearityหมายถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างสองตัวแปร ตัวแปรสองตัวเป็นเส้นตรงอย่างสมบูรณ์หากมีความสัมพันธ์เชิงเส้นตรงระหว่างสองตัวแปร ดังนั้นความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรทั้งสองจึงเท่ากับ 1 หรือ -1 นั่นคือ, $X_{1}$ และ $X_{2}$ มีความสอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์หากมีพารามิเตอร์อยู่ $\lambda _{0}$ และ $\lambda _{1}$ เพื่อการสังเกตทั้งหมดผม , เรามี

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

ซึ่งหมายความว่าหากการสังเกตต่างๆ ( X _{1 i} , X _{2 i} ) ถูกวางแผนไว้ในระนาบ( X ₁ , X ₂ ) จุดเหล่านี้จะสัมพันธ์กันในความหมายที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ในบทความนี้

multicollinearity ที่สมบูรณ์แบบหมายถึงสถานการณ์ที่ตัวแปรอธิบายk ( k ≥ 2) ในแบบจำลองการถดถอยพหุคูณมีความเกี่ยวข้องเชิงเส้นอย่างสมบูรณ์ตาม

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{ (k-1),ผม}

สำหรับการสังเกตทั้งหมดผม . ในทางปฏิบัติ เรามักไม่ค่อยพบกับความสอดคล้องที่หลากหลายในชุดข้อมูล โดยทั่วไปแล้ว ปัญหาของความหลากหลายร่วม (multicollinearity) เกิดขึ้นเมื่อมี "ความสัมพันธ์เชิงเส้นที่แข็งแกร่ง" ระหว่างตัวแปรอิสระตั้งแต่สองตัวขึ้นไป ซึ่งหมายความว่า

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{ (k-1),i}+\varepsilon _{i}

โดยที่ความแปรปรวนของ $\varepsilon _{i}$ มีขนาดค่อนข้างเล็ก

แนวคิดเรื่องความสอดคล้องด้านข้างขยายออกไปในมุมมองดั้งเดิมนี้ และหมายถึงความสอดคล้องระหว่างตัวแปรอธิบายและเกณฑ์ (กล่าวคือ อธิบาย) ^[10]

การใช้งานในพื้นที่อื่นๆ

อาร์เรย์เสาอากาศ

เสาเสาอากาศที่มีอาร์เรย์ทิศทางแบบคอลิเนียร์สี่ชุด

ในการสื่อสารโทรคมนาคมเป็นcollinear (หรือร่วมเชิงเส้น) อาร์เรย์เสาอากาศเป็นอาร์เรย์ของเสาอากาศไดโพลที่ติดตั้งในลักษณะดังกล่าวว่าองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของแต่ละเสาอากาศขนานและสอดคล้องนั่นคือพวกเขาจะตั้งอยู่ตามแนวทั่วไปหรือแกน

การถ่ายภาพ

สม collinearityมีชุดของทั้งสองสมการที่ใช้ในการถ่ายภาพและระบบเสียงสเตอริโอคอมพิวเตอร์วิสัยทัศน์ที่จะเกี่ยวข้องพิกัดในภาพ ( เซ็นเซอร์ ) เครื่องบิน (ในสองมิติ) พิกัดวัตถุ (สามมิติ) ในการตั้งค่าการถ่ายภาพ สมการได้มาจากการพิจารณาการฉายภาพศูนย์กลางของจุดของวัตถุผ่านจุดศูนย์กลางออปติคัลของกล้องไปยังภาพในระนาบภาพ (เซ็นเซอร์) จุดสามจุด จุดวัตถุ จุดภาพ และศูนย์กลางแสง จะอยู่ในแนวเดียวกันเสมอ อีกวิธีหนึ่งในการพูดนี้คือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดของวัตถุกับจุดภาพทั้งหมดพร้อมกันที่ศูนย์กลางออปติคัล ⁽¹¹⁾

ดูสิ่งนี้ด้วย

ทฤษฎีบทหกเหลี่ยมของแปปปัส
ปัญหาไม่มีสามในบรรทัด
อุบัติการณ์ (เรขาคณิต)#Collinearity
ความเชื่อมโยง

หมายเหตุ

↑ แนวคิดนี้ใช้กับเรขาคณิตใดๆ ก็ได้ Dembowski (1968 , หน้า 26) แต่มักจะถูกกำหนดไว้เฉพาะในการอภิปรายของเรขาคณิตเฉพาะ Coxeter (1969 , pg. 178), Brannan, Esplen & Grey (1998 , pg.106)
^ Colinear (พจนานุกรม Merriam-Webster)
^ a b Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
^ Altshiller ศาลนาธาน เรขาคณิตวิทยาลัย , สิ่งพิมพ์โดเวอร์, 1980.
^ สกอตต์, JA "ตัวอย่างการใช้พิกัดพื้นที่ในเรขาคณิตสามเหลี่ยม",ราชกิจจานุเบกษา 83, พฤศจิกายน 2542, 472–477
^ DušanĐukić, Vladimir JankovićอีวานMatićนิโคลาPetrović, IMO ย่อสปริงเกอร์ 2006 พี 15.
^ Myakishev, Alexei (2006), "บนเส้นที่โดดเด่นสองเส้นที่เกี่ยวข้องกับรูปสี่เหลี่ยม" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cyclic quadrilaterals" , Episodes in Nineteenth and Twentiean Euclidean Geometry , New Mathematical Library, 37 , Cambridge University Press, หน้า 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Bradley, Christopher (2011), Three Centroids ที่สร้างโดย Cyclic Quadrilateral (PDF)
^ Kock, N.; ลินน์, GS (2012). "collinearity ด้านข้างและทำให้เข้าใจผิดในผลการแปรปรวนตาม SEM: ภาพประกอบและคำแนะนำ" (PDF) วารสาร สมาคม ระบบ สารสนเทศ . 13 (7): 546–580.
^ เป็นเรื่องปกติทางคณิตศาสตร์มากกว่าที่จะอ้างถึงสมการเหล่านี้เป็นสมการพร้อมกันแต่วรรณกรรมโฟโตแกรมเมทรีไม่ได้ใช้คำศัพท์ดังกล่าว

อ้างอิง

แบรนแนน, เดวิด เอ.; เอสพเลน, แมทธิว เอฟ.; Grey, Jeremy J. (1998), เรขาคณิต , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry , นิวยอร์ก: John Wiley & Sons, ISBN 0-271-50458-0
Dembowski, Peter (1968), รูปทรงไฟไนต์ , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275

[1] แนวคิดนี้ใช้กับเรขาคณิตใดๆ ก็ได้ Dembowski (1968 , หน้า 26) แต่มักจะถูกกำหนดไว้เฉพาะในการอภิปรายของเรขาคณิตเฉพาะ Coxeter (1969 , pg. 178), Brannan, Esplen & Grey (1998 , pg.106)

[2] Colinear (พจนานุกรม Merriam-Webster)

[Johnson-3] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).

[AC-4] Altshiller ศาลนาธาน เรขาคณิตวิทยาลัย , สิ่งพิมพ์โดเวอร์, 1980.

[5] สกอตต์, JA "ตัวอย่างการใช้พิกัดพื้นที่ในเรขาคณิตสามเหลี่ยม",ราชกิจจานุเบกษา 83, พฤศจิกายน 2542, 472–477

[6] DušanĐukić, Vladimir JankovićอีวานMatićนิโคลาPetrović, IMO ย่อสปริงเกอร์ 2006 พี 15.

[Myakishev-7] Myakishev, Alexei (2006), "บนเส้นที่โดดเด่นสองเส้นที่เกี่ยวข้องกับรูปสี่เหลี่ยม" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.

[Honsberger-8] Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cyclic quadrilaterals" , Episodes in Nineteenth and Twentiean Euclidean Geometry , New Mathematical Library, 37 , Cambridge University Press, หน้า 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0

[9] Bradley, Christopher (2011), Three Centroids ที่สร้างโดย Cyclic Quadrilateral (PDF)

[10] Kock, N.; ลินน์, GS (2012). "collinearity ด้านข้างและทำให้เข้าใจผิดในผลการแปรปรวนตาม SEM: ภาพประกอบและคำแนะนำ" (PDF) วารสาร สมาคม ระบบ สารสนเทศ . 13 (7): 546–580.

[11] เป็นเรื่องปกติทางคณิตศาสตร์มากกว่าที่จะอ้างถึงสมการเหล่านี้เป็นสมการพร้อมกันแต่วรรณกรรมโฟโตแกรมเมทรีไม่ได้ใช้คำศัพท์ดังกล่าว

[1]