เส้นโค้ง

ศิลปะ Megalithicจาก Newgrange แสดงความสนใจในช่วงต้นของเส้นโค้ง

ความสนใจในเส้นโค้งนั้นเริ่มมานานก่อนที่พวกมันจะเป็นหัวข้อของการศึกษาทางคณิตศาสตร์ ดังตัวอย่างมากมายของการใช้ประดับตกแต่งในงานศิลปะและสิ่งของในชีวิตประจำวันตั้งแต่สมัยก่อนประวัติศาสตร์ ^[2]เส้นโค้ง หรืออย่างน้อยก็การแสดงกราฟิก สามารถสร้างได้ง่าย เช่น กับแท่งทรายบนชายหาด

ในอดีตคำว่าสายถูกนำมาใช้ในสถานที่ของระยะที่ทันสมัยมากขึ้นโค้ง ดังนั้นคำว่าเส้นตรงและเส้นขวาจึงถูกใช้เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างสิ่งที่เรียกว่าเส้นจากเส้นโค้ง ตัวอย่างเช่น ใน Book I of Euclid's Elementsเส้นถูกกำหนดเป็น "ความยาวที่ไม่มีความกว้าง" (Def. 2) ในขณะที่เส้นตรงถูกกำหนดเป็น "เส้นที่อยู่สม่ำเสมอกับจุดบนตัวมันเอง" (Def. 4) . แนวความคิดของ Euclid เกี่ยวกับเส้นตรงอาจอธิบายได้ชัดเจนด้วยข้อความว่า "ส่วนปลายของเส้นคือจุด" (Def. 3) ^[3]ต่อมานักวิจารณ์ได้จำแนกบรรทัดเพิ่มเติมตามรูปแบบต่างๆ ตัวอย่างเช่น: ^[4]

• เส้นประกอบ (เส้นที่ทำมุม)
• เส้นไม่ซ้อน
  • กำหนด (เส้นที่ไม่ขยายไม่มีกำหนดเช่นวงกลม)
  • ไม่แน่นอน (เส้นที่ขยายไปเรื่อย ๆ เช่นเส้นตรงและพาราโบลา)

เส้นโค้งที่สร้างขึ้นโดยการหั่นกรวย ( ส่วนรูปกรวย ) เป็นหนึ่งในเส้นโค้งที่ศึกษาในกรีกโบราณ

เรขาคณิตของกรีกได้ศึกษาเส้นโค้งอื่นๆ มากมาย เหตุผลหนึ่งคือความสนใจในการแก้ปัญหาเชิงเรขาคณิตที่ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้เข็มทิศมาตรฐานและโครงสร้างเส้นตรง เส้นโค้งเหล่านี้รวมถึง:

• ส่วนรูปกรวยศึกษาในเชิงลึกโดยApollonius of Perga
• cissoid ของ DioclesศึกษาโดยDioclesและใช้เป็นวิธีการให้เป็นสองเท่าก้อน ^[5]
• conchoid ของ NicomedesศึกษาโดยNicomedesเป็นวิธีการที่ทั้งสองก้อนและtrisect มุม ^[6]
• เกลียว ArchimedeanศึกษาโดยArchimedesเป็นวิธีการที่จะ trisect มุมและตารางวงกลม ^[7]
• ส่วน spiricส่วนของToriศึกษาโดยเซอุสเป็นส่วนของกรวยได้รับการศึกษาโดย Apollonius

เรขาคณิตวิเคราะห์อนุญาตให้กำหนดเส้นโค้ง เช่น Folium of Descartesโดยใช้สมการแทนการสร้างเชิงเรขาคณิต

ความก้าวหน้าขั้นพื้นฐานในทฤษฎีเส้นโค้งคือการแนะนำเรขาคณิตวิเคราะห์โดยRené Descartesในศตวรรษที่สิบเจ็ด สิ่งนี้ทำให้สามารถอธิบายเส้นโค้งได้โดยใช้สมการมากกว่าการสร้างทางเรขาคณิตที่ซับซ้อน สิ่งนี้ไม่เพียงแต่อนุญาตให้กำหนดและศึกษาเส้นโค้งใหม่เท่านั้น แต่ยังทำให้เกิดความแตกต่างอย่างเป็นทางการระหว่างเส้นโค้งเกี่ยวกับพีชคณิตที่สามารถกำหนดได้โดยใช้สมการพหุนามและเส้นโค้งเหนือธรรมชาติที่ไม่สามารถทำได้ ก่อนหน้านี้ เส้นโค้งได้รับการอธิบายว่าเป็น "ทางเรขาคณิต" หรือ "ทางกล" ตามวิธีการสร้างหรือที่คาดคะเนได้ ^[2]

ภาคตัดกรวยถูกนำไปใช้ในทางดาราศาสตร์โดยเคปเลอร์ นิวตันยังทำงานในตัวอย่างแรกในแคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง การแก้ปัญหาการแปรผันเช่นbrachistochroneและtautochroneคำถามคุณสมบัติของเส้นโค้งในรูปแบบใหม่ที่นำ (ในกรณีนี้cycloid ) โซ่ได้รับชื่อเป็นวิธีการแก้ปัญหาของห่วงโซ่แขวนเรียงลำดับของคำถามที่กลายมาเป็นประจำสามารถเข้าถึงได้โดยวิธีการของแคลคูลัสความแตกต่าง

ในศตวรรษที่สิบแปดจุดเริ่มต้นของทฤษฎีเส้นโค้งพีชคณิตเครื่องบินโดยทั่วไป นิวตันได้ศึกษาเส้นโค้งลูกบาศก์ในคำอธิบายทั่วไปของจุดจริงเป็น 'วงรี' ถ้อยแถลงของทฤษฎีบทของเบซูต์แสดงให้เห็นหลายแง่มุมซึ่งไม่สามารถเข้าถึงได้โดยตรงในเรขาคณิตของเวลา เกี่ยวข้องกับจุดเอกพจน์และคำตอบที่ซับซ้อน

ตั้งแต่ศตวรรษที่สิบเก้าทฤษฎีเส้นโค้งถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษของอีกมิติหนึ่งของทฤษฎีของแมนิโฟลและพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิต แต่คำถามมากมายที่ยังคงอยู่ที่เฉพาะเจาะจงกับเส้นโค้งเช่นเส้นโค้งพื้นที่เติม , จอร์แดนทฤษฎีบทโค้งและปัญหาที่สิบหกฮิลแบร์ต

การพูดคร่าวๆ ของเส้นโค้งดิฟเฟอเรนติเอเบิลคือเส้นโค้งที่กำหนดว่าเป็นภาพของฟังก์ชันดิฟเฟอเรนติเอเบิลที่อยู่ภายในเครื่อง${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$จากช่วงที่ 1ของจำนวนจริงเป็นค่าอนุพันธ์Xบ่อยครั้ง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

อย่างแม่นยำยิ่งขึ้น เส้นโค้งดิฟเฟอเรนติเอเบิลคือเซตย่อยCของXโดยที่ทุกจุดของCมีย่านใกล้เคียงUเช่นนั้น${\displaystyle C\cap U}$คือดิฟเฟโอมอร์ฟิกกับช่วงของจำนวนจริง ^{[ จำเป็นต้องชี้แจง ]}กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นโค้งที่หาค่าได้คือส่วนต่างของมิติหนึ่ง

ส่วนโค้งที่แตกต่างกัน

ในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นโค้ง (สัญลักษณ์: ⌒ ) เป็นที่เชื่อมต่อชุดย่อยของอนุพันธ์โค้ง

ส่วนโค้งของเส้นเรียกว่าส่วนหรือรังสีขึ้นอยู่กับว่าพวกมันถูก จำกัด หรือไม่.

ตัวอย่างที่พบบ่อยคือโค้งส่วนโค้งของวงกลมเรียกว่าวงกลม

ในรูปทรงกลม (หรือลูกกลม ) ซึ่งเป็นส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ (หรือวงรีดี ) เรียกว่าอาร์ดี

ความยาวของเส้นโค้ง

ถ้า ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ คือ ${\รูปแบบการแสดงผล n}$-มิติอวกาศแบบยุคลิด และ if ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$ เป็นฟังก์ชันแบบฉีดและดิฟเฟอเรนเชียลได้อย่างต่อเนื่อง เท่ากับความยาวของ ${\displaystyle \gamma }$ ถูกกำหนดเป็นปริมาณ

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\ คณิตศาสตร์ {d} {t}.}$

ความยาวของเส้นโค้งไม่ขึ้นกับค่าพารามิเตอร์ ${\displaystyle \gamma }$.

โดยเฉพาะความยาว the ${\displaystyle s}$ของกราฟของฟังก์ชันอนุพันธ์ต่อเนื่อง continuously${\displaystyle y=f(x)}$ กำหนดไว้ในช่วงเวลาปิด ${\displaystyle [a,b]}$ คือ

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.}$

โดยทั่วไป ถ้า ${\displaystyle X}$เป็นปริภูมิเมตริกกับเมตริก${\displaystyle d}$จากนั้นเราสามารถกำหนดความยาวของเส้นโค้งได้ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$ โดย

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n }d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_ {0}$

ที่ซึ่งอำนาจสูงสุดถูกยึดครองทั้งหมด ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ และพาร์ทิชั่นทั้งหมด ${\displaystyle t_{0}$ ของ ${\displaystyle [a,b]}$.

เส้นโค้งที่แก้ไขได้คือเส้นโค้งที่มีความยาวจำกัด เส้นโค้ง${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$เรียกว่าธรรมชาติ (หรือความเร็วหน่วยหรือกำหนดโดยความยาวส่วนโค้ง) ถ้ามี if${\displaystyle t_{1},t_{2}\in [a,b]}$ ดังนั้น ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$, เรามี

${\displaystyle \operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.}$

ถ้า ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X}$เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของ Lipschitzจากนั้นจะแก้ไขโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ ในกรณีนี้ เราสามารถกำหนดความเร็ว (หรืออนุพันธ์เมตริก ) ของ${\displaystyle \gamma }$ ที่ ${\displaystyle t\in [a,b]}$ เช่น

${\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{[a,b]\ni s\to t} {\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|st|}}}$

แล้วแสดงว่า

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.}$

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

ในขณะที่ตัวอย่างแรกของเส้นโค้งที่พบส่วนใหญ่เป็นเส้นโค้งระนาบ (กล่าวคือเส้นโค้งในพื้นที่สองมิติในคำพูดในชีวิตประจำวัน) มีตัวอย่างที่ชัดเจน เช่นเกลียวซึ่งมีอยู่ตามธรรมชาติในสามมิติ ความต้องการของเรขาคณิต และตัวอย่างเช่นกลศาสตร์คลาสสิกต้องมีแนวคิดเกี่ยวกับความโค้งในปริภูมิของมิติจำนวนเท่าใดก็ได้ ในความสัมพันธ์ทั่วไปเป็นเส้นโลกเป็นเส้นโค้งในกาลอวกาศ

ถ้า ${\displaystyle X}$เป็นอนุพันธ์ที่หลากหลายจากนั้นเราสามารถกำหนดแนวคิดของเส้นโค้งอนุพันธ์ใน${\displaystyle X}$. แนวคิดทั่วไปนี้เพียงพอที่จะครอบคลุมการประยุกต์ใช้เส้นโค้งในวิชาคณิตศาสตร์หลายอย่าง จากมุมมองของท้องถิ่นเราสามารถรับ${\displaystyle X}$ให้เป็นอวกาศแบบยุคลิด ในทางกลับกัน มันจะมีประโยชน์ที่จะพูดแบบกว้างๆ มากกว่า นั่นคือ (ตัวอย่าง) เป็นไปได้ที่จะกำหนดเวกเตอร์แทนเจนต์เป็น${\displaystyle X}$ ด้วยแนวคิดของเส้นโค้งนี้

ถ้า ${\displaystyle X}$เป็นอเนกเรียบเป็นเส้นโค้งเรียบใน${\displaystyle X}$เป็นแผนที่เรียบ

${\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X}$.

นี่เป็นแนวคิดพื้นฐาน ความคิดที่มีข้อจำกัดน้อยลงเช่นกัน ถ้า${\displaystyle X}$ คือ ${\displaystyle C^{k}}$นานา (เช่นนานาที่มีชาร์ตมี${\displaystyle k}$ครั้งอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ) แล้ว${\displaystyle C^{k}}$ โค้งเข้า ${\displaystyle X}$ เป็นเส้นโค้งที่ถือว่า เท่านั้น ${\displaystyle C^{k}}$ (เช่น ${\displaystyle k}$คูณกันได้อย่างต่อเนื่อง) ถ้า${\displaystyle X}$เป็นการวิเคราะห์ที่หลากหลาย (กล่าวคือ อนุพันธ์อนันต์และแผนภูมิแสดงเป็นอนุกรมกำลัง ) และ${\displaystyle \gamma }$ เป็นแผนที่วิเคราะห์แล้ว ${\displaystyle \gamma }$มีการกล่าวถึงเป็นเส้นโค้งการวิเคราะห์

เส้นโค้งดิฟเฟอเรนติเอเบิลกล่าวว่าเป็น ปกติถ้าอนุพันธ์ไม่หายไป (กล่าวคือ เส้นโค้งปกติไม่เคยช้าลงจนหยุดหรือถอยหลัง) สอง${\displaystyle C^{k}}$ เส้นโค้งที่แตกต่าง

${\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X}$ และ

${\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}$

เรียกว่าเทียบเท่าถ้ามีbijective ${\displaystyle C^{k}}$ แผนที่

${\displaystyle p\โคลอน J\rightarrow I}$

ดังนั้นแผนที่ผกผัน

${\displaystyle p^{-1}\โคลอน I\rightarrow J}$

ยังเป็น ${\displaystyle C^{k}}$, และ

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}$

สำหรับทุกอย่าง ${\displaystyle t}$. แผนที่${\displaystyle \gamma _{2}}$เรียกว่า การปรับพารามิเตอร์ของ${\displaystyle \gamma _{1}}$; และทำให้ความสัมพันธ์สมมูลกับเซตของทั้งหมด${\displaystyle C^{k}}$ เส้นโค้งอนุพันธ์ใน ${\displaystyle X}$. อา${\displaystyle C^{k}}$ arcเป็นคลาสสมมูลของ${\displaystyle C^{k}}$ เส้นโค้งภายใต้ความสัมพันธ์ของการปรับพารามิเตอร์ใหม่

เส้นโค้งพีชคณิตจะโค้งพิจารณาในพีชคณิตเรขาคณิต เครื่องบินโค้งพีชคณิตเป็นชุดของจุดของพิกัดx , y ที่ดังกล่าวว่าF ( x , Y ) = 0ที่ฉเป็นพหุนามสองตัวแปรที่กำหนดไว้ที่สนามบางF หนึ่งบอกว่าเส้นโค้งที่มีการกำหนดไว้ในช่วง F พีชคณิตเรขาคณิตปกติจะพิจารณาจุดที่ไม่เพียง แต่มีพิกัดในFแต่ทุกจุดที่มีพิกัดในพีชคณิตปิดสนาม K

ถ้าCเป็นเส้นโค้งที่กำหนดโดยพหุนามFมีค่าสัมประสิทธิ์ในFโค้งกล่าวจะกำหนดไว้กว่าF

ในกรณีของเส้นโค้งที่กำหนดเหนือจำนวนจริงปกติเราจะพิจารณาจุดที่มีพิกัดเชิงซ้อน ในกรณีนี้ จุดที่มีพิกัดจริงคือจุดจริงและเซตของจุดจริงทั้งหมดคือส่วนจริงของเส้นโค้ง ดังนั้นจึงเป็นเพียงส่วนแท้จริงของเส้นโค้งเกี่ยวกับพีชคณิตเท่านั้นที่สามารถเป็นเส้นโค้งทอพอโลยีได้ (ซึ่งไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป เนื่องจากส่วนจริงของเส้นโค้งเกี่ยวกับพีชคณิตอาจถูกตัดการเชื่อมต่อและมีจุดแยก) เส้นโค้งทั้งหมดซึ่งเป็นเซตของจุดเชิงซ้อนคือ จากมุมมองทอพอโลยีพื้นผิว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง nonsingular ซับซ้อน curves เกี่ยวกับพีชคณิต projective จะเรียกว่าRiemann พื้นผิว

จุดของเส้นโค้งC ที่มีพิกัดอยู่ในสนามGนั้นถือว่ามีเหตุผลเหนือGและสามารถแสดงแทนC ( G )ได้ เมื่อGเป็นเขตของตัวเลขเหตุผลหนึ่งก็พูดของจุดที่มีเหตุผล ยกตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาอาจจะมีการปรับเปลี่ยนดัง: สำหรับ n > 2 , ทุกจุดที่มีเหตุผลของเส้นโค้งแฟร์มาต์ของการศึกษาระดับปริญญาnมีศูนย์ประสานงาน

เส้นโค้งพีชคณิตยังสามารถเป็นเส้นโค้งพื้นที่หรือเส้นโค้งในพื้นที่ของมิติที่สูงขึ้นพูดn พวกเขาจะถูกกำหนดให้เป็นพันธุ์พีชคณิตของมิติหนึ่ง อาจหาได้จากคำตอบทั่วไปของสมการพหุนามอย่างน้อยn –1ในตัวแปรn ถ้าn -1พหุนามมีเพียงพอที่จะกำหนดเส้นโค้งในพื้นที่ของมิติnโค้งมีการกล่าวถึงเป็นสี่แยกที่สมบูรณ์ โดยการกำจัดตัวแปร (โดยเครื่องมือของทฤษฎีการกำจัด ) โค้งพีชคณิตอาจจะฉายบนโค้งเครื่องบินพีชคณิตซึ่ง แต่อาจแนะนำเอกใหม่ ๆ เช่นcuspsหรือสองจุด

เส้นโค้งระนาบยังสามารถทำให้สมบูรณ์เป็นเส้นโค้งในระนาบโปรเจ็กเตอร์ด้วย : ถ้าเส้นโค้งถูกกำหนดโดยพหุนามfขององศารวมdแล้วw ^d f ( u / w , v / w )จะกลายเป็นพหุนามที่ เป็นเนื้อเดียวกันg ( ยู , V , W )ของการศึกษาระดับปริญญาd ค่าของu , v , w โดยที่g ( u , v , w ) = 0คือพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันของจุดที่มีความสมบูรณ์ของเส้นโค้งในระนาบการฉายภาพ และจุดของเส้นโค้งเริ่มต้นคือค่าที่wคือ ไม่ใช่ศูนย์ ตัวอย่างคือเส้นโค้งแฟร์มาต์ยูⁿ + V ⁿ = W ⁿซึ่งมีรูปแบบที่เลียนแบบx ⁿ + Y ⁿ = 1 กระบวนการทำให้เป็นเนื้อเดียวกันอาจกำหนดไว้สำหรับส่วนโค้งในช่องว่างมิติที่สูงกว่า

ยกเว้นเส้นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเส้นโค้งเกี่ยวกับพีชคณิตคือรูปกรวยซึ่งเป็นเส้นโค้งที่ไม่มีเอกพจน์ของดีกรี 2 และสกุลศูนย์ เส้นโค้งรูปไข่ซึ่งเป็นเส้นโค้ง nonsingular ประเภทหนึ่งที่มีการศึกษาในทฤษฎีจำนวนและมีการใช้งานที่สำคัญในการเข้ารหัส

• AS Parkhomenko (2001) [1994], "Line (curve)" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• BI Golubov (2001) [1994], "Rectifiable curve" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• ยูคลิดอรรถกถาและทรานส์ โดยTL Heath Elements Vol. 1 (1908 เคมบริดจ์) Google Books
• EH Lockwood A Book of Curves (1961 เคมบริดจ์)

• Famous Curves Index , School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
• เส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ชุดของเส้นโค้งทางคณิตศาสตร์สองมิติจำนวน 874 เส้น
• แกลลอรี่ของ Space Curves ที่สร้างจากแวดวง รวมถึงแอนิเมชั่นโดย Peter Moses
• แกลเลอรีของ Bishop Curves และส่วนโค้งทรงกลมอื่นๆ รวมถึงแอนิเมชั่นโดย Peter Moses
• สารานุกรมบทความคณิตศาสตร์บนเส้น
• หน้า Manifold Atlas ใน1 manifolds