เส้นรอบวง

ในรูปทรงเรขาคณิตที่เส้นรอบวง (มาจากภาษาละตินcircumferensหมายถึง "การดำเนินการรอบ") เป็นปริมณฑลของวงกลมหรือวงรี ^[1]นั่นคือเส้นรอบวงจะเป็นความยาวส่วนโค้งของวงกลมราวกับว่ามันถูกเปิดขึ้นและยืดออกไปเป็นส่วนของเส้น ^[2]โดยทั่วไปเส้นรอบวงคือความยาวของเส้นโค้งรอบรูปปิดใด ๆ เส้นรอบวงยังอาจหมายถึงวงกลมของตัวเองนั่นคือสถานทีสอดคล้องกับขอบของดิสก์

เส้นรอบวง (C เป็นสีดำ) ของวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง (D เป็นสีฟ้า) รัศมี (R เป็นสีแดง) และศูนย์กลาง (O ในสีม่วงแดง) เส้นรอบวง =

π

×เส้นผ่านศูนย์กลาง = 2

π

×รัศมี

วงกลม

เส้นรอบวงของวงกลมคือระยะทางรอบ ๆ แต่ถ้าเช่นเดียวกับในการรักษาขั้นพื้นฐานจำนวนมากระยะทางถูกกำหนดในรูปของเส้นตรงสิ่งนี้ไม่สามารถใช้เป็นคำจำกัดความได้ ภายใต้สถานการณ์เช่นนี้เส้นรอบวงของวงกลมอาจถูกกำหนดให้เป็นขีด จำกัดของเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้เมื่อจำนวนด้านเพิ่มขึ้นโดยไม่มีขอบเขต ^[3]คำว่าเส้นรอบวงใช้ในการวัดวัตถุทางกายภาพเช่นเดียวกับเมื่อพิจารณารูปทรงเรขาคณิตนามธรรม

เมื่อวงกลม เส้นผ่าศูนย์กลางเป็น 1 รอบของมันคือ π

เมื่อวงกลม รัศมี 1 เรียกว่า ยูนิทวงกลม -its เส้นรอบวง 2 π

ความสัมพันธ์กับ $π$

เส้นรอบวงของวงกลมเกี่ยวข้องกับค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดค่าหนึ่ง นี้อย่างต่อเนื่อง , ปี่ , เป็นตัวแทนจากตัวอักษรกรีก πทศนิยมสองสามหลักแรกของค่าตัวเลขของ $π$ คือ 3.141592653589793 ... ^[4] Pi ถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลม $C$ ต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง $d$ :

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {C} {d}}.}

หรือเท่ากันเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงที่จะเป็นสองเท่าของรัศมี สูตรข้างต้นสามารถจัดเรียงใหม่เพื่อแก้ปัญหาสำหรับเส้นรอบวง:

{\ displaystyle {C} = \ pi \ cdot {d} = 2 \ pi \ cdot {r}. \!}

การใช้ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ $π$ แพร่หลายในวิชาคณิตศาสตร์วิศวกรรมศาสตร์และวิทยาศาสตร์

ในการวัดวงกลมที่เขียนเมื่อประมาณ 250 ก่อนคริสตศักราชอาร์คิมีดีสแสดงให้เห็นว่าอัตราส่วนนี้ ( $C / d$ เนื่องจากเขาไม่ได้ใช้ชื่อ $π$ ) มากกว่า 310/71 แต่น้อยกว่า 3 1/7โดยการคำนวณเส้นรอบวงของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่จารึกไว้และล้อมรอบ 96 ด้าน ^[5]วิธีนี้สำหรับการประมาณ $π$ ถูกใช้มานานหลายศตวรรษทำให้ได้รับความแม่นยำมากขึ้นโดยใช้รูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนด้านมากขึ้นและมากขึ้น การคำนวณดังกล่าวครั้งสุดท้ายดำเนินการในปี 1630 โดยChristoph Grienbergerซึ่งใช้รูปหลายเหลี่ยมที่มี 10 ⁴⁰ด้าน

วงรี

ผู้เขียนบางคนใช้เส้นรอบวงเพื่อแสดงขอบเขตของวงรี ไม่มีสูตรทั่วไปสำหรับเส้นรอบวงของวงรีในแง่ของแกนกึ่งหลักและกึ่งรองของวงรีที่ใช้ฟังก์ชันพื้นฐานเท่านั้น อย่างไรก็ตามมีสูตรโดยประมาณในแง่ของพารามิเตอร์เหล่านี้ การประมาณดังกล่าวอย่างหนึ่งเนื่องจากออยเลอร์ (1773) สำหรับวงรีมาตรฐาน

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}

คือ

{\ displaystyle C _ {\ rm {ellipse}} \ sim \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}

ขอบเขตด้านล่างและด้านบนบางส่วนบนเส้นรอบวงของวงรีที่เป็นที่ยอมรับด้วย ${\ displaystyle a \ geq b}$ คือ^[6]

{\ displaystyle 2 \ pi b \ leq C \ leq 2 \ pi a,}

{\ displaystyle \ pi (a + b) \ leq C \ leq 4 (a + b),}

{\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ leq C \ leq \ pi {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2})}}

นี่คือขอบเขตบน ${\ displaystyle 2 \ pi a}$ คือเส้นรอบวงของวงกลมศูนย์กลางที่ล้อม รอบผ่านจุดสิ้นสุดของแกนหลักของวงรีและขอบเขตล่าง ${\ displaystyle 4 {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}$ คือปริมณฑลของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่จารึกไว้ โดยมีจุดยอดที่จุดสิ้นสุดของแกนหลักและแกนรอง

เส้นรอบวงของวงรีสามารถแสดงว่าในแง่ของหนึ่งรูปไข่ที่สมบูรณ์ของประเภทที่สอง ^[7]เรามีอย่างแม่นยำมากขึ้น

{\ displaystyle C _ {\ rm {ellipse}} = 4a \ int _ {0} ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \ d \ theta,}

ที่ไหน ${\ displaystyle a}$ คือความยาวของแกนกึ่งหลักและ ${\ displaystyle e}$ คือความผิดปกติ ${\ displaystyle {\ sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}}}$

ดูสิ่งนี้ด้วย

ความยาวส่วนโค้ง
พื้นที่
วงกลม
อสมการไอโซเพอริเมตริก

อ้างอิง

^ ซานดิเอโกมหาวิทยาลัยรัฐ (2004) "ปริมณฑล, พื้นที่และเส้นรอบวง" (PDF) แอดดิสัน - เวสลีย์ . สืบค้นจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 6 ตุลาคม 2557.
^ เบนเน็ตต์, เจฟฟรีย์; Briggs, William (2005), การใช้และทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ / วิธีการให้เหตุผลเชิงปริมาณ (ฉบับที่ 3), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry , WH Freeman and Co. , p. 565, ISBN 0-7167-0456-0
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "ลำดับ A000796" On-Line สารานุกรมของจำนวนเต็มลำดับ มูลนิธิ OEIS
^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109 , ISBN 978-0-321-01618-8
^ Jameson, GJO (2014). "อสมการสำหรับเส้นรอบวงของวงรี". ราชกิจจานุเบกษา . 98 (499): 227–234 ดอย : 10.2307 / 3621497 . JSTOR 3621497
^ Almkvist, เกิร์ต; Berndt, Bruce (1988), "Gauss, Landen, Ramanujan, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - เรขาคณิต, จุดไข่ปลา, $π$ และ Ladies Diary", American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608, doi : 10.2307 / 2323302 , JSTOR 2323302 , MR 0966232 , S2CID 119810884

ลิงก์ภายนอก

ตัวเลข - เส้นรอบวงของวงรี

[1] ซานดิเอโกมหาวิทยาลัยรัฐ (2004) "ปริมณฑล, พื้นที่และเส้นรอบวง" (PDF) แอดดิสัน - เวสลีย์ . สืบค้นจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 6 ตุลาคม 2557.

[2] เบนเน็ตต์, เจฟฟรีย์; Briggs, William (2005), การใช้และทำความเข้าใจคณิตศาสตร์ / วิธีการให้เหตุผลเชิงปริมาณ (ฉบับที่ 3), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7

[3] Jacobs, Harold R. (1974), Geometry , WH Freeman and Co. , p. 565, ISBN 0-7167-0456-0

[4] Sloane, N. J. A. (ed.). "ลำดับ A000796" On-Line สารานุกรมของจำนวนเต็มลำดับ มูลนิธิ OEIS

[5] Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109 , ISBN 978-0-321-01618-8

[6] Jameson, GJO (2014). "อสมการสำหรับเส้นรอบวงของวงรี". ราชกิจจานุเบกษา . 98 (499): 227–234 ดอย : 10.2307 / 3621497 . JSTOR 3621497

[7] Almkvist, เกิร์ต; Berndt, Bruce (1988), "Gauss, Landen, Ramanujan, ค่าเฉลี่ยเลขคณิต - เรขาคณิต, จุดไข่ปลา, $π$ และ Ladies Diary", American Mathematical Monthly , 95 (7): 585–608, doi : 10.2307 / 2323302 , JSTOR 2323302 , MR 0966232 , S2CID 119810884

[1]