• logo

วงกลม

วงกลมเป็นรูปทรงที่ประกอบด้วยทุกจุดในเครื่องบินที่อยู่ในระยะทางที่กำหนดจากจุดที่กำหนดที่ศูนย์ ; เท่าที่มันเป็นเส้นโค้งสืบออกจากจุดที่การเคลื่อนไหวในระนาบเพื่อให้ระยะห่างจากจุดที่กำหนดเป็นค่าคงที่ ระยะห่างระหว่างจุดวงกลมและศูนย์ใด ๆ ที่เรียกว่ารัศมี บทความนี้เกี่ยวกับวงกลมในเรขาคณิตแบบยูคลิดและโดยเฉพาะอย่างยิ่งระนาบแบบยุคลิดยกเว้นที่ระบุไว้เป็นอย่างอื่น

วงกลม
Circle-withse segment.svg
วงกลม (สีดำ) ซึ่งวัดโดยเส้นรอบวง ( C ) เส้นผ่านศูนย์กลาง ( D ) เป็นสีฟ้าและรัศมี ( R ) เป็นสีแดง จุดศูนย์กลาง ( O ) อยู่ในสีม่วงแดง

โดยเฉพาะวงกลมเป็นที่เรียบง่ายปิดเส้นโค้งที่แบ่งออกเป็นสองเครื่องบินภูมิภาค : การตกแต่งภายในและภายนอก ในการใช้งานในชีวิตประจำวันคำว่า "วงกลม" อาจใช้แทนกันได้เพื่ออ้างถึงขอบเขตของรูปหรือทั้งรูปรวมทั้งภายใน ในการใช้งานทางเทคนิคที่เข้มงวดวงกลมเป็นเพียงขอบเขตและรูปทั้งหมดจะถูกเรียกว่าแผ่นดิสก์

วงกลมยังอาจจะกำหนดเป็นชนิดพิเศษของวงรีซึ่งทั้งสองจุดโฟกัสอยู่ที่ประจวบและความผิดปกติคือ 0 หรือรูปร่างสองมิติการปิดล้อมพื้นที่มากที่สุดต่อหน่วยปริมณฑลยืดใช้แคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง

คำจำกัดความของ Euclid

วงกลมคือรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งเส้นเดียวและเส้นตรงทั้งหมดที่ลากจากจุดหนึ่งภายในไปยังเส้นขอบมีค่าเท่ากัน เส้นขอบเรียกว่าเส้นรอบวงและจุดซึ่งเป็นจุดศูนย์กลาง

-  Euclid , Elements , Book I [1] : 4

นิยามโทโพโลยี

ในด้านของโครงสร้างวงกลมไม่ได้ จำกัด อยู่กับแนวคิดทางเรขาคณิต แต่ทั้งหมดของhomeomorphisms วงกลมโทโพโลยีสองวงมีความเท่าเทียมกันหากวงหนึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นอีกวงหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนรูปของR 3บนตัวมันเอง (เรียกว่าไอโซโทปโดยรอบ ) [2]

คำศัพท์

  • Annulus : วัตถุรูปวงแหวนบริเวณที่ล้อมรอบด้วยวงกลมศูนย์กลางสองวง
  • Arc : ส่วนที่เชื่อมต่อใด ๆของวงกลม การระบุจุดสิ้นสุดสองจุดของส่วนโค้งและจุดศูนย์กลางช่วยให้มีส่วนโค้งสองส่วนที่ประกอบกันเป็นวงกลมเต็ม
  • จุดศูนย์กลาง: จุดที่อยู่ห่างจากจุดทั้งหมดบนวงกลมเท่ากัน
  • คอร์ด : ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดสิ้นสุดอยู่บนวงกลมดังนั้นจึงแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน
  • เส้นรอบวง : ความยาวของหนึ่งวงจรตามวงกลมหรือระยะทางรอบวงกลม
  • เส้นผ่านศูนย์กลาง : ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดสิ้นสุดอยู่บนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง หรือความยาวของส่วนของเส้นตรงนั้น นี่คือระยะห่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างสองจุดใด ๆ บนวงกลม มันเป็นกรณีพิเศษของคอร์ดคือคอร์ดที่ยาวที่สุดสำหรับวงกลมที่กำหนดและความยาวของมันคือสองเท่าของความยาวของรัศมี
  • ดิสก์: พื้นที่ของเครื่องบินล้อมรอบด้วยวงกลม
  • เลนส์ : พื้นที่ทั่วไปของ (จุดตัดของ) แผ่นดิสก์ที่ทับซ้อนกันสองแผ่น
  • Passant: เส้นตรงcoplanarที่ไม่มีจุดเหมือนกันกับวงกลม
  • รัศมี: ส่วนของเส้นตรงที่เข้าร่วมศูนย์กลางของวงกลมโดยมีจุดเดียวบนวงกลมนั้นเอง หรือความยาวของส่วนดังกล่าวซึ่งเป็นครึ่งหนึ่ง (ความยาวของ) เส้นผ่านศูนย์กลาง
  • เซกเตอร์ : พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยรัศมีสองเส้นที่มีความยาวเท่ากันโดยมีจุดศูนย์กลางร่วมและส่วนโค้งที่เป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่งจากจุดศูนย์กลางนี้และจุดสิ้นสุดของรัศมี
  • กลุ่ม : พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยคอร์ดและหนึ่งในส่วนโค้งที่เชื่อมต่อกับจุดสิ้นสุดของคอร์ด ความยาวของคอร์ดกำหนดขอบเขตล่างของเส้นผ่านศูนย์กลางของส่วนโค้งที่เป็นไปได้ บางครั้งส่วนคำจะใช้สำหรับพื้นที่ที่ไม่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ส่วนโค้งอยู่เท่านั้น
  • Secant : คอร์ดขยายเส้นตรง coplanar ตัดวงกลมเป็นสองจุด
  • ครึ่งวงกลม : หนึ่งในสองส่วนโค้งที่เป็นไปได้ซึ่งกำหนดโดยจุดสิ้นสุดของเส้นผ่านศูนย์กลางโดยยึดจุดกึ่งกลางเป็นศูนย์กลาง ในการใช้งานทั่วไปที่ไม่ใช่ทางเทคนิคอาจหมายถึงการตกแต่งภายในของพื้นที่สองมิติที่ล้อมรอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและหนึ่งในส่วนโค้งซึ่งในทางเทคนิคเรียกว่าดิสก์ครึ่งแผ่น แผ่นดิสก์ครึ่งแผ่นเป็นกรณีพิเศษของส่วนซึ่งเป็นส่วนที่ใหญ่ที่สุด
  • Tangent : เส้นตรง coplanar ที่มีจุดเดียวเหมือนกันกับวงกลม ("สัมผัสวงกลมที่จุดนี้")

ภูมิภาคที่ระบุทั้งหมดอาจถือได้ว่าเป็นพื้นที่เปิดกล่าวคือไม่มีขอบเขตหรือปิดรวมถึงขอบเขตตามลำดับ

คอร์ดซีแคนท์แทนเจนต์รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง
ส่วนโค้งภาคและส่วน

ประวัติศาสตร์

เข็มทิศในเรื่องนี้ที่เขียนด้วยลายมือศตวรรษที่ 13 เป็นสัญลักษณ์ของการกระทำของพระเจ้าของ การสร้าง สังเกตรูปทรงกลมของ รัศมีด้วย

คำว่าวงกลมมาจากภาษากรีก κίρκος / κύκλος ( kirkos / kuklos ) ซึ่งเป็นmetathesisของHomeric Greek κρίκος ( krikos ) แปลว่า "ห่วง" หรือ "แหวน" [3]ต้นกำเนิดของคำว่าละครสัตว์และวงจรมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด

ผ้าไหมแบบวงกลมที่มีรูปมองโกล
วงกลมในภาพวาดทาง ดาราศาสตร์ของอาหรับแบบเก่า

วงกลมเป็นที่รู้จักตั้งแต่ก่อนจุดเริ่มต้นของประวัติศาสตร์ที่บันทึกไว้ จะมีการสังเกตวงกลมตามธรรมชาติเช่นดวงจันทร์ดวงอาทิตย์และก้านไม้เตี้ย ๆ ที่พัดตามสายลมบนพื้นทรายซึ่งก่อตัวเป็นรูปวงกลมในทราย วงกลมเป็นพื้นฐานของวงล้อซึ่งด้วยสิ่งประดิษฐ์ที่เกี่ยวข้องเช่นเฟืองทำให้เครื่องจักรสมัยใหม่ส่วนใหญ่เป็นไปได้ ในวิชาคณิตศาสตร์การศึกษาวงกลมช่วยสร้างแรงบันดาลใจในการพัฒนาเรขาคณิตดาราศาสตร์และแคลคูลัส

วิทยาศาสตร์ในยุคแรกโดยเฉพาะเรขาคณิตและโหราศาสตร์และดาราศาสตร์มีความเชื่อมโยงกับสิ่งศักดิ์สิทธิ์สำหรับนักวิชาการในยุคกลางส่วนใหญ่และหลายคนเชื่อว่ามีบางสิ่งที่ "ศักดิ์สิทธิ์" หรือ "สมบูรณ์แบบ" ในตัวซึ่งสามารถพบได้ในแวดวง [4] [5]

ไฮไลท์บางส่วนในประวัติศาสตร์ของแวดวง ได้แก่ :

  • คริสตศักราช 1700 - ต้นกก Rhindให้วิธีการหาพื้นที่ของสนามวงกลม ผลลัพธ์สอดคล้องกับ256/81(3.16049 ... ) เป็นค่าโดยประมาณของπ [6]
Tughrul Towerจากด้านใน
  • 300 ก่อนคริสตศักราช - เล่ม 3 ขององค์ประกอบของยุคลิดเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของวงกลม
  • ในจดหมายฉบับที่เจ็ดของเพลโตมีคำจำกัดความและคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับวงกลม เพลโตอธิบายวงกลมที่สมบูรณ์แบบและความแตกต่างจากรูปวาดคำนิยามหรือคำอธิบายใด ๆ
  • 1880 ซีอี - ลินเดมันน์พิสูจน์ให้เห็นว่าπเป็นสิ่งที่ยอดเยี่ยมสามารถแก้ไขปัญหาเก่าแก่นับพันปีของการยกกำลังสองของวงกลมได้อย่างมีประสิทธิภาพ [7]

ผลการวิเคราะห์

เส้นรอบวง

อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางคือπ (pi) ค่าคงที่ไม่ลงตัว โดยประมาณเท่ากับ 3.141592654 ดังนั้นเส้นรอบวงCจึงสัมพันธ์กับรัศมีrและเส้นผ่านศูนย์กลางdโดย:

ค = 2 π ร = π ง . {\ displaystyle C = 2 \ pi r = \ pi d. \,} C=2\pi r=\pi d.\,

พื้นที่ปิดล้อม

พื้นที่ล้อมรอบด้วยวงกลม = π ×พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีเทา

ในฐานะที่ได้รับการพิสูจน์โดยArchimedesในเขาวัดของวงกลมที่พื้นที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเท่ากับว่าของรูปสามเหลี่ยมที่มีฐานมีความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมและมีความสูงเท่ากับรัศมีของวงกลม, [8]ซึ่งมาถึงπคูณ โดยรัศมีกำลังสอง:

ก ร จ ก = π ร 2 . {\ displaystyle \ mathrm {พื้นที่} = \ pi r ^ {2}. \,} \mathrm {Area} =\pi r^{2}.\,

เท่ากับแสดงเส้นผ่านศูนย์กลางด้วยd ,

ก ร จ ก = π ง 2 4 ≈ 0 . 7854 ง 2 , {\ displaystyle \ mathrm {Area} = {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \ ประมาณ 0 {.} 7854d ^ {2},} \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0{.}7854d^{2},

นั่นคือประมาณ 79% ของcircumscribingตาราง (ซึ่งเป็นด้านของความยาวd )

วงกลมคือเส้นโค้งระนาบที่ล้อมรอบพื้นที่สูงสุดสำหรับความยาวส่วนโค้งที่กำหนด นี้เกี่ยวข้องกับวงกลมที่จะมีปัญหาในแคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลงคือการที่ไม่เท่าเทียมกัน isoperimetric

สมการ

พิกัดคาร์ทีเซียน

วงกลมรัศมี r  = 1, ศูนย์ ( a ,  b ) = (1.2, −0.5)
สมการของวงกลม

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนx - y วงกลมที่มีพิกัดกลาง( a , b ) และรัศมีrคือเซตของจุดทั้งหมด ( x , y ) เช่นนั้น

( x - ก ) 2 + ( ย - ข ) 2 = ร 2 . {\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2}.} {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}

สมการนี้เรียกว่าสมการของวงกลมตามมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่นำไปใช้กับจุดใด ๆ บนวงกลมดังที่แสดงในแผนภาพที่อยู่ติดกันรัศมีคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านอื่น ๆ มีความยาว | x - ก | และ | y - b |. ถ้าวงกลมอยู่ตรงกลางที่จุดกำเนิด (0, 0) สมการจะลดความซับซ้อนเป็น

x 2 + ย 2 = ร 2 . {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}.} {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}
แบบฟอร์มพาราเมตริก

สมการสามารถเขียนในรูปแบบพาราเมตริกโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์เป็น

x = ก + ร cos ⁡ t , {\ displaystyle x = a + r \, \ cos t,} {\displaystyle x=a+r\,\cos t,}
ย = ข + ร บาป ⁡ t , {\ displaystyle y = b + r \, \ sin t,} {\displaystyle y=b+r\,\sin t,}

โดยที่tเป็นตัวแปรพาราเมตริกในช่วง 0 ถึง 2 πซึ่งตีความทางเรขาคณิตเป็นมุมที่รังสีจาก ( a ,  b ) ถึง ( x ,  y ) ทำกับ แกนx ที่เป็นบวก

พารามิเตอร์ทางเลือกของวงกลมคือ

x = ก + ร 1 - t 2 1 + t 2 , {\ displaystyle x = a + r {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}},} {\displaystyle x=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},}
ย = ข + ร 2 t 1 + t 2 . {\ displaystyle y = b + r {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}.} {\displaystyle y=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.}

ในการกำหนดพารามิเตอร์นี้อัตราส่วนของtต่อrสามารถตีความทางเรขาคณิตได้ว่าเป็นการฉายภาพสามมิติของเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางขนานกับ แกนx (ดูการแทนที่ครึ่งมุมแทนเจนต์ ) อย่างไรก็ตามการกำหนดค่าพารามิเตอร์นี้จะใช้งานได้ก็ต่อเมื่อtถูกสร้างให้อยู่ในช่วงไม่เพียง แต่ผ่านรีอัลทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจุดที่อินฟินิตี้ด้วย มิฉะนั้นจุดซ้ายสุดของวงกลมจะถูกละไว้

แบบฟอร์ม 3 จุด

สมการของวงกลมกำหนดโดยสามจุด ( x 1 , ย 1 ) , ( x 2 , ย 2 ) , ( x 3 , ย 3 ) {\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})} {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}ไม่ได้อยู่บนเส้นโดยการแปลงรูปแบบ 3 จุดของสมการวงกลม :

( x - x 1 ) ( x - x 2 ) + ( ย - ย 1 ) ( ย - ย 2 ) ( ย - ย 1 ) ( x - x 2 ) - ( ย - ย 2 ) ( x - x 1 ) = ( x 3 - x 1 ) ( x 3 - x 2 ) + ( ย 3 - ย 1 ) ( ย 3 - ย 2 ) ( ย 3 - ย 1 ) ( x 3 - x 2 ) - ( ย 3 - ย 2 ) ( x 3 - x 1 ) . {\ displaystyle {\ frac {({\ color {green} x} -x_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) + ({\ color {red} y} -y_ { 1}) ({\ color {red} y} -y_ {2})} {({\ color {red} y} -y_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) - ({\ color {red} y} -y_ {2}) ({\ color {green} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) ( x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3 } -x_ {2}) - (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}} {\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}
รูปแบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันแต่ละส่วนรูปกรวยที่มีสมการของวงกลมจะมีรูปแบบ

x 2 + ย 2 - 2 ก x z - 2 ข ย z + ค z 2 = 0. {\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -2axz-2byz + cz ^ {2} = 0.} {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}

สามารถพิสูจน์ได้ว่าส่วนรูปกรวยเป็นวงกลมตรงเมื่อมี (เมื่อขยายไปยังระนาบการฉายภาพเชิงซ้อน ) จุดI (1: i : 0) และJ (1: - i : 0) จุดเหล่านี้จะเรียกว่าจุดวงกลมที่อินฟินิตี้

พิกัดเชิงขั้ว

ในพิกัดเชิงขั้วสมการของวงกลมคือ

ร 2 - 2 ร ร 0 cos ⁡ ( θ - ϕ ) + ร 0 2 = ก 2 , {\ displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2},} {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}

โดยที่aคือรัศมีของวงกลม ( ร , θ ) {\ displaystyle (r, \ theta)} (r,\theta ) คือพิกัดเชิงขั้วของจุดทั่วไปบนวงกลมและ ( ร 0 , ϕ ) {\ displaystyle (r_ {0}, \ phi)} (r_0, \phi)คือพิกัดเชิงขั้วของจุดศูนย์กลางของวงกลม (กล่าวคือr 0คือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดศูนย์กลางของวงกลมและφคือมุมทวนเข็มนาฬิกาจาก แกนxบวกไปยังเส้นที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดไปยังจุดศูนย์กลางของ วงกลม). สำหรับวงกลมมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้นคือr 0 = 0นี้ลดไปเพียงR = เมื่อr 0 = aหรือเมื่อจุดกำเนิดอยู่บนวงกลมสมการจะกลายเป็น

ร = 2 ก cos ⁡ ( θ - ϕ ) . {\ displaystyle r = 2a \ cos (\ theta - \ phi).} {\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}

ในกรณีทั่วไปสมการสามารถแก้ได้สำหรับr การให้

ร = ร 0 cos ⁡ ( θ - ϕ ) ± ก 2 - ร 0 2 บาป 2 ⁡ ( θ - ϕ ) . {\ displaystyle r = r_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta - \ phi )}}.} {\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}

โปรดทราบว่าหากไม่มีเครื่องหมาย±ในบางกรณีสมการจะอธิบายเพียงครึ่งวงกลม

เครื่องบินที่ซับซ้อน

ในระนาบเชิงซ้อนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่cและรัศมีrมีสมการ

| z - ค | = ร . {\ displaystyle | zc | = r.} {\displaystyle |z-c|=r.}

ในรูปแบบพาราเมตริกสามารถเขียนเป็น

z = ร จ ผม t + ค . {\ displaystyle z = re ^ {it} + c.} {\displaystyle z=re^{it}+c.}

สมการทั่วไปเล็กน้อย

น z z ¯ + ก z + ก z ¯ = q {\ displaystyle pz {\ overline {z}} + gz + {\ overline {gz}} = q} pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q

จริงP , Qและซับซ้อนกรัมบางครั้งเรียกว่าวงกลมทั่วไป นี่จะกลายเป็นสมการด้านบนสำหรับวงกลมที่มี น = 1 ,   ก = - ค ¯ ,   q = ร 2 - | ค | 2 {\ displaystyle p = 1, \ g = - {\ overline {c}}, \ q = r ^ {2} - | c | ^ {2}} {\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}, ตั้งแต่ | z - ค | 2 = z z ¯ - ค ¯ z - ค z ¯ + ค ค ¯ {\ displaystyle | zc | ^ {2} = z {\ overline {z}} - {\ overline {c}} zc {\ overline {z}} + c {\ overline {c}}} {\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}. ไม่ใช่วงกลมทั่วไปทั้งหมดที่เป็นวงกลมจริงๆ: วงกลมทั่วไปอาจเป็นวงกลม (จริง) หรือเส้นก็ได้

เส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสผ่านจุดPบนวงกลมจะตั้งฉากกับเส้นผ่าศูนย์กลางผ่านP ถ้าP = ( x 1 , y 1 )และวงกลมมีศูนย์กลาง ( a , b ) และรัศมีrเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นจาก ( a , b ) ถึง ( x 1 , y 1 ) ดังนั้นมัน มีรูปแบบ( x 1 - ) x + ( y ที่1 - ข ) Y = C การประเมินที่ ( x 1 , y 1 ) กำหนดค่าของcและผลลัพธ์ก็คือสมการของแทนเจนต์คือ

( x 1 - ก ) x + ( ย 1 - ข ) ย = ( x 1 - ก ) x 1 + ( ย 1 - ข ) ย 1 , {\ displaystyle (x_ {1} -a) x + (y_ {1} -b) y = (x_ {1} -a) x_ {1} + (y_ {1} -b) y_ {1},} {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}

หรือ

( x 1 - ก ) ( x - ก ) + ( ย 1 - ข ) ( ย - ข ) = ร 2 . {\ displaystyle (x_ {1} -a) (xa) + (y_ {1} -b) (yb) = r ^ {2}.} {\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}

ถ้าy 1 ≠ bความชันของเส้นตรงนี้คือ

ง ย ง x = - x 1 - ก ย 1 - ข . {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1} -a} {y_ {1} -b}}.} {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}

นอกจากนี้ยังสามารถพบการใช้ความแตกต่างโดยปริยาย

เมื่อจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิดสมการของเส้นสัมผัสจะกลายเป็น

x 1 x + ย 1 ย = ร 2 , {\ displaystyle x_ {1} x + y_ {1} y = r ^ {2},} {\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}

และความชันของมันคือ

ง ย ง x = - x 1 ย 1 . {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1}} {y_ {1}}}.} \frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}.

คุณสมบัติ

  • วงกลมคือรูปร่างที่มีพื้นที่ใหญ่ที่สุดสำหรับความยาวของเส้นรอบรูปที่กำหนด (ดูอสมการ Isoperimetric )
  • วงกลมเป็นรูปทรงสมมาตรสูงทุกเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางจะสร้างเส้นสมมาตรของการสะท้อนและมีสมมาตรแบบหมุนรอบจุดศูนย์กลางสำหรับทุกมุม ใช้สัดส่วนกลุ่มคือกลุ่มมุมฉาก O (2, R ) กลุ่มผลัดเพียงอย่างเดียวคือกลุ่มวงกลม T
  • ทุกวงการมีความคล้ายกัน
    • เส้นรอบวงวงกลมและรัศมีเป็นสัดส่วน
    • พื้นที่ปิดล้อมและตารางของรัศมีของตนเป็นสัดส่วน
    • ค่าคงที่ของสัดส่วนคือ 2 πและπตามลำดับ
  • วงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้นที่มีรัศมี 1 จะเรียกว่ายูนิทวงกลม
    • คิดว่าเป็นวงกลมใหญ่ของหน่วยทรงกลมมันจะกลายเป็นวงกลมรีมัน
  • ผ่านสามจุดใด ๆ ไม่ใช่ทั้งหมดในบรรทัดเดียวกันมีวงกลมที่ไม่ซ้ำกัน ในพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นไปได้ที่จะให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมและรัศมีในรูปของพิกัดของสามจุดที่กำหนด ดูcircumcircle

คอร์ด

  • คอร์ดจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากันถ้าหากมีความยาวเท่ากัน
  • bisector ตั้งฉากของคอร์ดผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น ข้อความเทียบเท่าที่เกิดจากความเป็นเอกลักษณ์ของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากคือ:
    • เส้นตั้งฉากจากศูนย์กลางของวงกลมแบ่งคอร์ด
    • ส่วนของเส้นตรงผ่านศูนย์กลางแบ่งครึ่งคอร์ดตั้งฉากกับคอร์ด
  • หากมุมกลางและมุมที่จารึกไว้ของวงกลมถูกย่อยด้วยคอร์ดเดียวกันและอยู่ด้านเดียวกันของคอร์ดมุมกลางจะเป็นสองเท่าของมุมที่จารึกไว้
  • หากมุมสองมุมถูกจารึกไว้บนคอร์ดเดียวกันและอยู่ด้านเดียวกันของคอร์ดแสดงว่ามุมนั้นเท่ากัน
  • หากทั้งสองมุมที่จะถูกจารึกไว้บนคอร์ดเดียวกันและในด้านตรงข้ามของคอร์ดแล้วพวกเขาจะเสริม
    • สำหรับวงกลมสี่เหลี่ยมที่มุมด้านนอกจะเท่ากับมุมตรงข้ามกับการตกแต่งภายใน
  • มุมที่จารึกไว้ซึ่งย่อยด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางคือมุมฉาก (ดูทฤษฎีบทของ Thales )
  • เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลม
    • ในบรรดาวงกลมทั้งหมดที่มีคอร์ด AB เหมือนกันวงกลมที่มีรัศมีน้อยที่สุดคือวงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง AB
  • หากจุดตัดของสองคอร์ดแบ่งคอร์ดหนึ่งความยาวและขและแบ่งคอร์ดอื่น ๆ ลงในความยาวคและdแล้วAB = CD
  • หากจุดตัดของสองคอร์ดแบ่งตั้งฉากหนึ่งคอร์ดความยาวและขและแบ่งคอร์ดอื่น ๆ ลงในความยาวคและdแล้ว2 + B 2 + ค2 + d 2เท่ากับตารางของเส้นผ่าศูนย์กลาง [9]
  • ผลรวมของความยาวกำลังสองของคอร์ดสองคอร์ดใด ๆ ที่ตัดกันเป็นมุมฉาก ณ จุดที่กำหนดจะเหมือนกับของคอร์ดตั้งฉากอีกสองคอร์ดที่ตัดกันที่จุดเดียวกันและกำหนดโดย 8 r 2 - 4 p 2โดยที่rคือ รัศมีวงกลมและpคือระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงจุดตัด [10]
  • ระยะทางจากจุดบนวงกลมถึงคอร์ดที่กำหนดคูณเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับผลคูณของระยะทางจากจุดถึงจุดสิ้นสุดของคอร์ด [11] : น. 71

สัมผัส

  • เส้นที่ลากตั้งฉากกับรัศมีผ่านจุดสิ้นสุดของรัศมีที่วางอยู่บนวงกลมเป็นเส้นสัมผัสกับวงกลม
  • เส้นที่ลากตั้งฉากกับแทนเจนต์ผ่านจุดสัมผัสกับวงกลมผ่านศูนย์กลางของวงกลม
  • เส้นสัมผัสสองเส้นสามารถลากเป็นวงกลมจากจุดใดก็ได้นอกวงกลมเสมอและเส้นสัมผัสเหล่านี้มีความยาวเท่ากัน
  • ถ้าแทนเจนต์ที่Aและแทนเจนต์ที่Bตัดกันที่จุดภายนอกPแสดงว่าจุดศูนย์กลางเป็นOมุม∠ BOAและ∠ BPAจะเสริม
  • ถ้าADสัมผัสกับวงกลมที่Aและถ้าAQเป็นคอร์ดของวงกลมดังนั้นthen DAQ = 1/2โค้ง ( AQ )

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทซีแคนต์ - ซีแคนท์
  • คอร์ดทฤษฎีบทระบุว่าถ้าสองคอร์ดซีดีและEB , ตัดที่แล้วAC × AD = AB × AE
  • ถ้าสองวินาทีคือAEและADตัดวงกลมที่BและCตามลำดับดังนั้นAC × AD = AB × AE (ข้อสรุปของทฤษฎีบทคอร์ด)
  • แทนเจนต์ถือได้ว่าเป็นกรณีที่ จำกัด ของตัวคั่นที่มีจุดจบตรงกัน ถ้าแทนเจนต์จากจุดภายนอกAตรงกับวงกลมที่Fและเซแคนท์จากจุดภายนอกAตรงกับวงกลมที่CและDตามลำดับแล้วAF 2 = AC × AD (ทฤษฎีบทแทนเจนต์ - วินาที)
  • มุมระหว่างคอร์ดและแทนเจนต์ที่จุดปลายด้านใดด้านหนึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมที่อยู่ตรงกลางของวงกลมด้านตรงข้ามของคอร์ด (มุมของคอร์ดแทนเจนต์)
  • ถ้ามุมที่คอร์ดที่อยู่ตรงกลางเป็น 90 °ดังนั้นℓ = r √ 2โดยที่ℓคือความยาวของคอร์ดและrคือรัศมีของวงกลม
  • หากมีการจารึกสองวินาทีในวงกลมดังที่แสดงไว้ทางด้านขวาการวัดมุมAจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของการวัดของส่วนโค้งที่ปิดล้อม ( ง จ ⌢ {\ displaystyle {\ overset {\ frown} {DE}}} {\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}} และ ข ค ⌢ {\ displaystyle {\ overset {\ frown} {BC}}} {\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}). นั่นคือ, 2 ∠ ค ก ข = ∠ ง โอ จ - ∠ ข โอ ค {\ displaystyle 2 \ angle {CAB} = \ angle {DOE} - \ angle {BOC}} {\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}โดยที่Oเป็นศูนย์กลางของวงกลม (ทฤษฎีบทซีแคนต์ - ซีแคนท์)

มุมที่ถูกจารึกไว้

ทฤษฎีบทมุมจารึก

มุมที่จารึกไว้ (ตัวอย่างคือมุมสีน้ำเงินและสีเขียวในรูป) คือครึ่งหนึ่งของมุมกลางที่ตรงกัน(สีแดง) ดังนั้นมุมที่จารึกไว้ทั้งหมดที่ย่อยส่วนโค้งเดียวกัน (สีชมพู) จึงมีค่าเท่ากัน มุมที่จารึกไว้บนส่วนโค้ง (สีน้ำตาล) เป็นส่วนเสริม โดยเฉพาะอย่างยิ่งทุกมุมที่จารึกไว้ที่ลบเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก (เนื่องจากมุมกลางคือ 180 °)

Sagitta

Sagitta เป็นส่วนแนวตั้ง

ธนู (ยังเป็นที่รู้จักในฐานะversine ) เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับคอร์ดระหว่างจุดกึ่งกลางของคอร์ดที่และส่วนโค้งของวงกลม

เมื่อพิจารณาจากความยาวyของคอร์ดและความยาวxของ sagitta ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้ในการคำนวณรัศมีของวงกลมเฉพาะที่จะพอดีกับสองบรรทัด:

ร = ย 2 8 x + x 2 . {\ displaystyle r = {\ frac {y ^ {2}} {8x}} + {\ frac {x} {2}}.} {\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}

ข้อพิสูจน์อีกประการหนึ่งของผลลัพธ์นี้ซึ่งอาศัยคุณสมบัติของคอร์ดสองอย่างที่ให้ไว้ข้างต้นมีดังนี้ ด้วยคอร์ดที่มีความยาวyและ sagitta ของความยาวxเนื่องจาก sagitta ตัดกับจุดกึ่งกลางของคอร์ดเราจึงรู้ว่ามันเป็นส่วนหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมีส่วนที่ "หายไป" ของเส้นผ่านศูนย์กลางจึงมีความยาว ( 2 r - x ) การใช้ความจริงที่ว่าส่วนหนึ่งของหนึ่งครั้งคอร์ดส่วนอื่น ๆ จะมีค่าเท่ากับผลิตภัณฑ์เดียวกันนำไปตัดคอร์ดคอร์ดแรกที่เราพบว่า ( 2 R - x ) x = ( Y / 2) 2 การแก้หาrเราพบผลลัพธ์ที่ต้องการ

โครงสร้างเข็มทิศและเส้นตรง

มีการสร้างเข็มทิศและเส้นตรงจำนวนมากที่ทำให้เกิดวงกลม

สิ่งที่ง่ายที่สุดและเป็นพื้นฐานที่สุดคือการสร้างโดยให้จุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม วางขาคงที่ของเข็มทิศไว้ที่จุดกึ่งกลางขาที่เคลื่อนย้ายได้บนจุดบนวงกลมแล้วหมุนเข็มทิศ

การก่อสร้างด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางที่กำหนด

  • สร้างจุดกึ่งกลาง Mของเส้นผ่านศูนย์กลาง
  • สร้างวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางMผ่านจุดสิ้นสุดจุดใดจุดหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง (มันจะผ่านจุดสิ้นสุดอีกจุดหนึ่งด้วย)
สร้างวงกลมผ่านจุด A, B และ C โดยการหาเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (สีแดง) ของด้านข้างของสามเหลี่ยม (สีน้ำเงิน) ต้องใช้เส้นแบ่งครึ่งสองในสามเท่านั้นเพื่อหาจุดศูนย์กลาง

ก่อสร้างผ่านจุดที่ไม่เป็นเส้นตรงสามจุด

  • ชื่อจุดP , QและR ,
  • สร้างbisector ตั้งฉากของส่วนPQ
  • สร้างbisector ตั้งฉากของกลุ่มประชาสัมพันธ์
  • ป้ายจุดตัดของทั้งสอง bisectors ตั้งฉากM (เพราะพวกเขาได้พบจุดที่จะไม่collinear )
  • สร้างวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางMผ่านจุดใดจุดหนึ่งP , QหรือR (มันจะผ่านอีกสองจุดด้วย)

วงกลมของ Apollonius

คำจำกัดความของวงกลม Apollonius: ค่าคงที่ d 1 / d 2

Apollonius ของ Pergaแสดงให้เห็นว่าเป็นวงกลมยังอาจจะกำหนดเป็นชุดของจุดในระนาบที่มีค่าคงที่อัตราส่วน (นอกเหนือจาก 1) ของระยะทางถึงสอง foci คงและB [12] [13] (เซตของจุดที่ระยะทางเท่ากันคือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนABเส้นหนึ่ง) วงกลมนั้นบางครั้งถูกวาดประมาณสองจุด

การพิสูจน์เป็นสองส่วน ก่อนอื่นเราต้องพิสูจน์ว่าด้วยจุดโฟกัสAและBสองจุดและอัตราส่วนของระยะทางจุดใด ๆP ที่ตรงตามอัตราส่วนของระยะทางจะต้องตกอยู่ในวงกลมใดวงหนึ่ง ให้Cเป็นจุดอื่นยังความพึงพอใจของอัตราส่วนและนอนอยู่บนส่วนAB ตามทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งมุมพีซีส่วนของเส้นตรงจะแบ่งมุมภายใน APBเนื่องจากส่วนต่างๆมีความคล้ายคลึงกัน:

ก ป ข ป = ก ค ข ค . {\ displaystyle {\ frac {AP} {BP}} = {\ frac {AC} {BC}}} \frac{AP}{BP} = \frac{AC}{BC}.

ในทำนองเดียวกันส่วนของเส้นตรงPDผ่านบางจุดDบนAB ที่ขยายออกเป็นสองเท่าของมุมภายนอกที่สอดคล้องกันBPQโดยที่Qอยู่บนAP ที่ขยายออกไป เนื่องจากมุมภายในและภายนอกรวมกันเป็น 180 องศาCPD ของมุมจึงเท่ากับ 90 องศา นั่นคือมุมฉาก ชุดของจุดPเช่นนั้นCPDมุมคือมุมฉากเป็นวงกลมซึ่งซีดีมีเส้นผ่านศูนย์กลาง

ประการที่สองดู[14] : หน้า 15สำหรับการพิสูจน์ว่าทุกจุดบนวงกลมที่ระบุตรงตามอัตราส่วนที่กำหนด

อัตราส่วนข้าม

คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของวงกลมเกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตของอัตราส่วนข้ามของจุดในระนาบเชิงซ้อน ถ้าA , BและCเป็นดังข้างต้นวงกลมของ Apollonius สำหรับสามจุดนี้คือการรวบรวมคะแนนPซึ่งค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนข้ามเท่ากับหนึ่ง:

| [ ก , ข ; ค , ป ] | = 1. {\ displaystyle {\ big |} [A, B; C, P] {\ big |} = 1.} {\displaystyle {\big |}[A,B;C,P]{\big |}=1.}

ระบุอีกวิธีหนึ่งว่าPคือจุดบนวงกลมของ Apollonius ถ้าอัตราส่วนข้าม[ A , B ; C , P ]อยู่บนวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน

วงกลมทั่วไป

ถ้าCคือจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ABดังนั้นการรวบรวมคะแนนPเป็นไปตามเงื่อนไข Apollonius

| ก ป | | ข ป | = | ก ค | | ข ค | {\ displaystyle {\ frac {| AP |} {| BP |}} = {\ frac {| AC |} {| BC |}}} \frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|} 

ไม่ใช่วงกลม แต่เป็นเส้น

ดังนั้นถ้าA , BและCได้รับจุดที่แตกต่างกันในระนาบตำแหน่งของจุดP ที่ตรงตามสมการข้างต้นจะเรียกว่า "วงกลมทั่วไป" อาจเป็นวงกลมจริงหรือเส้นก็ได้ ในแง่นี้เส้นคือวงกลมทั่วไปของรัศมีอนันต์

จารึกในหรือล้อมรอบเกี่ยวกับตัวเลขอื่น ๆ

ในทุก ๆรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่าincircleสามารถจารึกไว้เพื่อให้สัมผัสกับแต่ละด้านของสามเหลี่ยมได้ [15]

เกี่ยวกับทุกรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่า circumcircle ที่สามารถ circumscribed ดังกล่าวว่ามันจะไปผ่านแต่ละสามเหลี่ยมสามจุด [16]

รูปหลายเหลี่ยมวงเช่นวงรูปสี่เหลี่ยมเป็น ๆหลายเหลี่ยมนูนออกภายในที่วงกลมสามารถจารึกไว้ที่สัมผัสกันไปแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยม [17]ทุก ๆรูปหลายเหลี่ยมปกติและทุก ๆ สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สัมผัสได้

รูปหลายเหลี่ยมวงกลมเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนใด ๆ เกี่ยวกับที่วงกลมสามารถ circumscribedผ่านแต่ละจุดสุดยอด ตัวอย่างที่ได้รับการศึกษามาเป็นอย่างดีคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ทุกรูปหลายเหลี่ยมปกติและทุก ๆ สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบวนรอบ รูปหลายเหลี่ยมที่มีทั้งวงจรและวงเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม bicentric

ไฮโพไซคลอยด์เป็นเส้นโค้งที่จะถูกจารึกไว้ในวงกลมที่ได้รับจากการติดตามจุดคงที่ในวงกลมขนาดเล็กที่ม้วนภายในและสัมผัสกันในวงกลมที่กำหนด

จำกัด กรณีของตัวเลขอื่น ๆ

วงกลมสามารถมองได้ว่าเป็นกรณี จำกัดของตัวเลขอื่น ๆ :

  • Cartesian รูปไข่เป็นชุดของจุดดังกล่าวว่าน้ำหนักรวมของระยะทางจากจุดที่สองจุดคงที่ (foci) เป็นค่าคงที่ วงรีคือกรณีที่น้ำหนักเท่ากัน วงกลมคือวงรีที่มีความเยื้องศูนย์เป็นศูนย์ซึ่งหมายความว่าจุดโฟกัสทั้งสองตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม วงกลมเป็นกรณีพิเศษที่แตกต่างกันของวงรีคาร์ทีเซียนซึ่งหนึ่งในน้ำหนักเป็นศูนย์
  • superellipseมีสมการที่มีรูปแบบ | x ก | n + | ย ข | n = 1 {\ displaystyle \ left | {\ frac {x} {a}} \ right | ^ {n} \! + \ left | {\ frac {y} {b}} \ right | ^ {n} \! = 1 } \left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1บวก, ขและn supercircle มีข = วงกลมเป็นกรณีพิเศษของ supercircle ในการที่n = 2
  • Cassini รูปไข่เป็นชุดของจุดดังกล่าวว่าผลิตภัณฑ์ของระยะทางจากจุดที่จะสองจุดคงที่เป็นค่าคงที่ เมื่อจุดคงที่ทั้งสองตรงกันผลลัพธ์วงกลม
  • โค้งของความกว้างอย่างต่อเนื่องเป็นตัวเลขที่มีความกว้างกำหนดเป็นระยะทางตั้งฉากที่แตกต่างกันระหว่างสองเส้นคู่ขนานแต่ละตัดเขตแดนในจุดเดียวเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงทิศทางของทั้งสองเส้นคู่ขนาน วงกลมเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของรูปประเภทนี้

ในp -norms อื่น ๆ

ภาพประกอบของวงกลมหน่วย (ดูที่ เส้นเหนือเส้น ) ในp -norms ต่างกัน (ทุกเวกเตอร์ตั้งแต่จุดเริ่มต้นจนถึงวงกลมหน่วยมีความยาวเท่ากับหนึ่งความยาวที่คำนวณด้วยสูตรความยาวของp ที่สอดคล้องกัน )

การกำหนดวงกลมเป็นชุดของจุดที่มีระยะห่างคงที่จากจุดหนึ่งรูปร่างที่แตกต่างกันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นวงกลมภายใต้คำจำกัดความของระยะทางที่แตกต่างกัน ในp -normระยะทางจะถูกกำหนดโดย

‖ x ‖ น = ( | x 1 | น + | x 2 | น + ⋯ + | x n | น ) 1 / น . {\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dotsb + | x_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}} {\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}

ในเรขาคณิตแบบยูคลิดp = 2 ทำให้คนคุ้นเคย

‖ x ‖ 2 = | x 1 | 2 + | x 2 | 2 + ⋯ + | x n | 2 . {\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2} + \ dotsb + | x_ {n } | ^ {2}}}.} {\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {|x_{1}|^{2}+|x_{2}|^{2}+\dotsb +|x_{n}|^{2}}}.}

ในรูปทรงเรขาคณิตรถแท็กซี่ , Pวงการ = 1. รถแท็กซี่เป็นสี่เหลี่ยมที่มีด้านที่มุ่งเน้นที่มุม 45 °กับแกนพิกัด ในขณะที่แต่ละด้านจะมีความยาว 2 ร {\ displaystyle {\ sqrt {2}} r} \sqrt{2}rโดยใช้ตัวชี้วัดแบบยุคลิดที่Rคือรัศมีวงกลมของความยาวของมันในเรขาคณิตรถแท็กซี่ 2 R ดังนั้นเส้นรอบวงของวงกลมเป็น 8 R ดังนั้นค่าของอะนาล็อกเชิงเรขาคณิตถึง π {\ displaystyle \ pi} \pi คือ 4 ในรูปเรขาคณิตนี้ สูตรสำหรับวงกลมหน่วยในเรขาคณิตแท็กซี่คือ | x | + | ย | = 1 {\ displaystyle | x | + | y ​​| = 1} |x|+|y|=1 ในพิกัดคาร์ทีเซียนและ

ร = 1 | บาป ⁡ θ | + | cos ⁡ θ | {\ displaystyle r = {\ frac {1} {| \ sin \ theta | + | \ cos \ theta |}}} r={\frac {1}{|\sin \theta |+|\cos \theta |}}

ในพิกัดเชิงขั้ว

วงกลมรัศมี 1 (โดยใช้ระยะนี้) คือย่านฟอนนอยมันน์ที่อยู่ตรงกลาง

วงกลมรัศมีrสำหรับระยะทาง Chebyshev ( L ∞ metric ) บนระนาบยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านข้าง 2 rขนานกับแกนพิกัดดังนั้นระยะทาง Chebyshev แบบระนาบสามารถมองได้ว่าเท่ากันโดยการหมุนและปรับให้เท่ากับระยะห่างของรถแท็กซี่แบบระนาบ อย่างไรก็ตามความเท่าเทียมกันระหว่างเมตริกL 1และ L ∞นี้ไม่ได้หมายความรวมถึงมิติข้อมูลที่สูงกว่า

Locus ของผลรวมคงที่

พิจารณาชุดที่ จำกัด ของ n {\ displaystyle n} nจุดในเครื่องบิน ที่ตั้งของจุดที่ผลรวมของกำลังสองของระยะทางไปยังจุดที่กำหนดเป็นค่าคงที่คือวงกลมซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่เซนทรอยด์ของจุดที่กำหนด [18]การกำหนดลักษณะทั่วไปสำหรับพลังแห่งระยะทางที่สูงขึ้นจะได้รับหากต่ำกว่า n {\ displaystyle n} n ชี้จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ป n {\ displaystyle P_ {n}} P_{n}ถูกนำมา [19]ที่ตั้งของจุดเช่นที่ผลรวมของ ( 2 ม ) {\ displaystyle (2 ม.)} {\displaystyle (2m)}- พลังแห่งระยะทาง ง ผม {\ displaystyle d_ {i}} d_{i} ไปยังจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่กำหนดด้วยเส้นรอบวง ร {\ displaystyle R} R ค่าคงที่คือวงกลมถ้า

∑ ผม = 1 n ง ผม 2 ม > n ร 2 ม {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}> nR ^ {2m}} {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m}}, ที่ไหน ม {\ displaystyle m} m= 1,2, …, n {\ displaystyle n} n-1;

ซึ่งศูนย์กลางคือเซนทรอยด์ของ ป n {\ displaystyle P_ {n}} P_{n}.

ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าตำแหน่งของผลรวมคงที่ของกำลังสองและสี่คือวงกลมในขณะที่สำหรับกำลังสอง loci เป็นวงกลมสำหรับผลรวมคงที่ของกำลังที่สองสี่และหก สำหรับรูปห้าเหลี่ยมปกติผลรวมคงที่ของกำลังที่แปดของระยะทางจะถูกเพิ่มเข้ามาเรื่อย ๆ

กำลังสองของวงกลม

squaring วงกลมเป็นปัญหาที่เสนอโดยโบราณ geometers , การสร้างตารางที่มีพื้นที่เดียวกับวงกลมที่กำหนดโดยใช้เพียงจำนวน จำกัด ของขั้นตอนที่มีเข็มทิศและระนาบ

ในปี ค.ศ. 1882 งานที่ได้รับการพิสูจน์เป็นไปไม่ได้เป็นผลมาจากการทฤษฎีบท Lindemann-Weierstrassซึ่งพิสูจน์ให้เห็นว่าปี่ ( π ) เป็นจำนวนอดิศัยมากกว่าจำนวนอตรรกยะพีชคณิต ; นั่นคือไม่ใช่รากของพหุนามใด ๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงเหตุผล แม้จะเป็นไปไม่ได้ แต่หัวข้อนี้ยังคงเป็นที่สนใจสำหรับผู้ที่ชื่นชอบการปลอมตัว

ความสำคัญในศิลปะและสัญลักษณ์

ตั้งแต่สมัยอารยธรรมแรก ๆ ที่เป็นที่รู้จักเช่นชาวอัสซีเรียและชาวอียิปต์โบราณที่อยู่ในหุบเขาสินธุและตามแม่น้ำฮวงโหในประเทศจีนและอารยธรรมตะวันตกของกรีกและโรมโบราณในสมัยโบราณ - วงกลมถูกนำมาใช้โดยตรงหรือ ทางอ้อมในทัศนศิลป์เพื่อถ่ายทอดข้อความของศิลปินและเพื่อแสดงความคิดบางอย่าง อย่างไรก็ตามความแตกต่างในโลกทัศน์ (ความเชื่อและวัฒนธรรม) มีผลกระทบอย่างมากต่อการรับรู้ของศิลปิน ในขณะที่บางคนเน้นขอบเขตของวงกลมเพื่อแสดงให้เห็นถึงการแสดงความเป็นประชาธิปไตยของพวกเขา แต่บางคนก็มุ่งเน้นไปที่ศูนย์กลางของมันเพื่อเป็นสัญลักษณ์ของแนวคิดเรื่องเอกภาพของจักรวาล ในหลักคำสอนลึกลับวงกลมส่วนใหญ่เป็นสัญลักษณ์ของลักษณะการดำรงอยู่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเป็นวัฏจักร แต่ในประเพณีทางศาสนานั้นแสดงถึงร่างกายของสวรรค์และวิญญาณของพระเจ้า วงกลมมีความหมายถึงแนวคิดศักดิ์สิทธิ์และจิตวิญญาณมากมายรวมถึงความสามัคคีความไม่มีที่สิ้นสุดความสมบูรณ์จักรวาลความเป็นพระเจ้าความสมดุลความมั่นคงและความสมบูรณ์แบบเป็นต้น แนวคิดดังกล่าวได้รับการถ่ายทอดในวัฒนธรรมทั่วโลกผ่านการใช้สัญลักษณ์เช่นเข็มทิศรัศมีที่ piscis vesica และอนุพันธ์ (ปลาตารัศมี, mandorla ฯลฯ ) Ouroboros ที่ล้อธรรมะเป็น รุ้งแมนดาลาหน้าต่างกุหลาบและอื่น ๆ [20]

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • Affine ทรงกลม
  • Apeirogon
  • กระชับวงกลม
  • ผกผันเป็นวงกลม
  • รายชื่อหัวข้อวงกลม
  • ทรงกลม
  • สามจุดกำหนดวงกลม
  • คำแปลของแกน

แวดวงที่มีชื่อพิเศษ

  • วงการอะพอลโลเนีย
  • วงกลมอาร์คิมีดีน
  • วงกลมแฝดของอาร์คิมิดีส
  • วงกลม Bankoff
  • วงกลมคาร์ไลล์
  • วงกลมสี
  • วงกลมแห่งการต่อต้าน
  • วงกลมฟอร์ด
  • วงกลม Geodesic
  • แวดวงของจอห์นสัน
  • Schoch วงการ
  • แอ่ววงการ

ของสามเหลี่ยม

  • วงกลม Apollonius ของ excircles
  • วงกลมโบรการ์ด
  • เอ็กเซอร์เคิล
  • Incircle
  • วงกลม Lemoine
  • วงกลมเลสเตอร์
  • วงกลม Malfatti
  • วงกลม Mandart
  • วงกลมเก้าจุด
  • วงกลม Orthocentroidal
  • ปัดป้องวงกลม
  • วงกลมเชิงขั้ว (เรขาคณิต)
  • วงกลม Spieker
  • วงเวียนลำเนา

ของ quadrilaterals บางอย่าง

  • วงกลมแปดจุดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

ของภาคตัดกรวย

  • แวดวงผู้อำนวยการ
  • วงกลม Directrix

ของพรู

  • วงการ Villarceau

อ้างอิง

  1. ^ OL  7227282 ล
  2. ^ Gamelin, ทีโอดอร์ (1999) รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับโครงสร้าง Mineola, NY: Dover Publications ISBN 0486406806.
  3. ^ krikos Archived 2013-11-06 ที่ Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott,พจนานุกรมภาษากรีก - อังกฤษใน Perseus
  4. ^ อาร์เธอร์ Koestler , Sleepwalkers : ประวัติศาสตร์ของมนุษย์เปลี่ยนวิสัยทัศน์ของจักรวาล (1959)
  5. ^ คลัส ,หกหนังสือของคลัส, สืบสงบในธรรมของเพลโต ที่จัดเก็บ 2017/01/23 ที่ Wayback เครื่อง Tr โทมัสเทย์เลอร์ (1816) ฉบับ 2, ช. 2, "ของเพลโต"
  6. ^ เหตุการณ์สำหรับ 30000 ปีก่อนคริสตกาลถึง 500 ปีก่อนคริสตกาล ที่จัดเก็บ 2008/03/22 ที่เครื่อง Wayback History.mcs.st-andrews.ac.uk สืบค้นเมื่อ 2012-05-03.
  7. ^ squaring วงกลม ที่จัดเก็บ 2008/06/24 ที่เครื่อง Wayback History.mcs.st-andrews.ac.uk สืบค้นเมื่อ 2012-05-03.
  8. ^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison Wesley Longman, p. 108 , ISBN 978-0-321-01618-8
  9. ^ Posamentier และ Salkind,ท้าทายปัญหาในเรขาคณิตโดเวอร์, ฉบับที่ 2, 1996:. ได้ pp 104-105, # 4-23
  10. ^ วิทยาลัยคณิตศาสตร์วารสาร 29 (4), กันยายน 1998, หน้า 331 ปัญหา 635
  11. ^ จอห์นสัน, โรเจอร์เอขั้นสูงแบบยุคลิดเรขาคณิตโดเวอร์ Publ. 2007
  12. ^ ความฮาร์คเนสเจมส์ (2441) "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์" . ธรรมชาติ . 59 (1530): 30. Bibcode : 1899Natur..59..386B . ดอย : 10.1038 / 059386a0 . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2008-10-07.
  13. ^ โอกิลวี่ซีสแตนลี่ย์ ,ทัศนศึกษาในเรขาคณิตโดเวอร์ 1969 วันที่ 14-17
  14. ^ Altshiller ศาลนาธาน,วิทยาลัยเรขาคณิตโดเวอร์ส์ 2007 (orig. 1952)
  15. ^ incircle - จาก Wolfram แม ธ เวิลด์ จัดเก็บ 2012-01-21 ที่เครื่อง Wayback Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). สืบค้นเมื่อ 2012-05-03.
  16. ^ circumcircle - จาก Wolfram แม ธ เวิลด์ จัดเก็บ 2012-01-20 ที่เครื่อง Wayback Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). สืบค้นเมื่อ 2012-05-03.
  17. ^ สัมผัสรูปหลายเหลี่ยม - จาก Wolfram แม ธ เวิลด์ จัดเก็บ 2013/09/03 ที่เครื่อง Wayback Mathworld.wolfram.com (2012-04-26). สืบค้นเมื่อ 2012-05-03.
  18. ^ อัครสาวกทอม; มนัสกาเนียน, มามิกอน. (2546). "ผลรวมของระยะทางกำลังสองใน m-space" อเมริกันคณิตศาสตร์รายเดือน 110 : 516–526
  19. ^ Meskhishvili, Mamuka (2020). "ค่าเฉลี่ย Cyclic ของรูปหลายเหลี่ยมปกติและสงบของแข็ง" การสื่อสารในวิชาคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ 11 : 335–355
  20. ^ Abdullahi, Yahya (29 ตุลาคม 2019) "วงกลมจากตะวันออกไปตะวันตก". ใน Charnier, Jean-François (ed.). พิพิธภัณฑ์ลูฟร์อาบูดาบี: โลกวิสัยทัศน์ศิลปะ Rizzoli International Publications, Incorporated. ISBN 9782370741004.

อ่านเพิ่มเติม

  • Pedoe, Dan (1988). เรขาคณิต: หลักสูตรที่ครอบคลุม โดเวอร์.
  • "วงกลม" ในที่เก็บถาวรของ MacTutor History of Mathematics

ลิงก์ภายนอก

  • "วงกลม" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
  • วงกลมที่PlanetMath
  • Weisstein, Eric W. "Circle" . แม ธ เวิลด์
  • "อินเตอร์จาวา" สำหรับคุณสมบัติของและสิ่งก่อสร้างพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับวงกลม
  • "แบบอินเตอร์แอคทีสมมาตรฐานวงกลม" คลิกและลากจุดเพื่อดูการทำงานของสมการในรูปแบบมาตรฐาน
  • "munching ในแวดวง" ตัดปม
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Circle" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP