วงกลม

วงกลมคือรูประนาบที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งเส้นเดียวและเส้นตรงทั้งหมดที่ลากจากจุดหนึ่งภายในไปยังเส้นขอบมีค่าเท่ากัน เส้นขอบเรียกว่าเส้นรอบวงและจุดซึ่งเป็นจุดศูนย์กลาง

-  Euclid , Elements , Book I ^{[1] : 4}

ในด้านของโครงสร้างวงกลมไม่ได้ จำกัด อยู่กับแนวคิดทางเรขาคณิต แต่ทั้งหมดของhomeomorphisms วงกลมโทโพโลยีสองวงมีความเท่าเทียมกันหากวงหนึ่งสามารถเปลี่ยนเป็นอีกวงหนึ่งได้โดยการเปลี่ยนรูปของR ³บนตัวมันเอง (เรียกว่าไอโซโทปโดยรอบ ) ^[2]

• Annulus : วัตถุรูปวงแหวนบริเวณที่ล้อมรอบด้วยวงกลมศูนย์กลางสองวง
• Arc : ส่วนที่เชื่อมต่อใด ๆของวงกลม การระบุจุดสิ้นสุดสองจุดของส่วนโค้งและจุดศูนย์กลางช่วยให้มีส่วนโค้งสองส่วนที่ประกอบกันเป็นวงกลมเต็ม
• จุดศูนย์กลาง: จุดที่อยู่ห่างจากจุดทั้งหมดบนวงกลมเท่ากัน
• คอร์ด : ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดสิ้นสุดอยู่บนวงกลมดังนั้นจึงแบ่งวงกลมออกเป็นสองส่วน
• เส้นรอบวง : ความยาวของหนึ่งวงจรตามวงกลมหรือระยะทางรอบวงกลม
• เส้นผ่านศูนย์กลาง : ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดสิ้นสุดอยู่บนวงกลมและผ่านจุดศูนย์กลาง หรือความยาวของส่วนของเส้นตรงนั้น นี่คือระยะห่างที่ใหญ่ที่สุดระหว่างสองจุดใด ๆ บนวงกลม มันเป็นกรณีพิเศษของคอร์ดคือคอร์ดที่ยาวที่สุดสำหรับวงกลมที่กำหนดและความยาวของมันคือสองเท่าของความยาวของรัศมี
• ดิสก์: พื้นที่ของเครื่องบินล้อมรอบด้วยวงกลม
• เลนส์ : พื้นที่ทั่วไปของ (จุดตัดของ) แผ่นดิสก์ที่ทับซ้อนกันสองแผ่น
• Passant: เส้นตรงcoplanarที่ไม่มีจุดเหมือนกันกับวงกลม
• รัศมี: ส่วนของเส้นตรงที่เข้าร่วมศูนย์กลางของวงกลมโดยมีจุดเดียวบนวงกลมนั้นเอง หรือความยาวของส่วนดังกล่าวซึ่งเป็นครึ่งหนึ่ง (ความยาวของ) เส้นผ่านศูนย์กลาง
• เซกเตอร์ : พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยรัศมีสองเส้นที่มีความยาวเท่ากันโดยมีจุดศูนย์กลางร่วมและส่วนโค้งที่เป็นไปได้อย่างใดอย่างหนึ่งจากจุดศูนย์กลางนี้และจุดสิ้นสุดของรัศมี
• กลุ่ม : พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยคอร์ดและหนึ่งในส่วนโค้งที่เชื่อมต่อกับจุดสิ้นสุดของคอร์ด ความยาวของคอร์ดกำหนดขอบเขตล่างของเส้นผ่านศูนย์กลางของส่วนโค้งที่เป็นไปได้ บางครั้งส่วนคำจะใช้สำหรับพื้นที่ที่ไม่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ส่วนโค้งอยู่เท่านั้น
• Secant : คอร์ดขยายเส้นตรง coplanar ตัดวงกลมเป็นสองจุด
• ครึ่งวงกลม : หนึ่งในสองส่วนโค้งที่เป็นไปได้ซึ่งกำหนดโดยจุดสิ้นสุดของเส้นผ่านศูนย์กลางโดยยึดจุดกึ่งกลางเป็นศูนย์กลาง ในการใช้งานทั่วไปที่ไม่ใช่ทางเทคนิคอาจหมายถึงการตกแต่งภายในของพื้นที่สองมิติที่ล้อมรอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและหนึ่งในส่วนโค้งซึ่งในทางเทคนิคเรียกว่าดิสก์ครึ่งแผ่น แผ่นดิสก์ครึ่งแผ่นเป็นกรณีพิเศษของส่วนซึ่งเป็นส่วนที่ใหญ่ที่สุด
• Tangent : เส้นตรง coplanar ที่มีจุดเดียวเหมือนกันกับวงกลม ("สัมผัสวงกลมที่จุดนี้")

ภูมิภาคที่ระบุทั้งหมดอาจถือได้ว่าเป็นพื้นที่เปิดกล่าวคือไม่มีขอบเขตหรือปิดรวมถึงขอบเขตตามลำดับ

คอร์ดซีแคนท์แทนเจนต์รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง

ส่วนโค้งภาคและส่วน

เข็มทิศในเรื่องนี้ที่เขียนด้วยลายมือศตวรรษที่ 13 เป็นสัญลักษณ์ของการกระทำของพระเจ้าของ การสร้าง สังเกตรูปทรงกลมของ รัศมีด้วย

คำว่าวงกลมมาจากภาษากรีก κίρκος / κύκλος ( kirkos / kuklos ) ซึ่งเป็นmetathesisของHomeric Greek κρίκος ( krikos ) แปลว่า "ห่วง" หรือ "แหวน" ^[3]ต้นกำเนิดของคำว่าละครสัตว์และวงจรมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด

ผ้าไหมแบบวงกลมที่มีรูปมองโกล

วงกลมในภาพวาดทาง ดาราศาสตร์ของอาหรับแบบเก่า

วงกลมเป็นที่รู้จักตั้งแต่ก่อนจุดเริ่มต้นของประวัติศาสตร์ที่บันทึกไว้ จะมีการสังเกตวงกลมตามธรรมชาติเช่นดวงจันทร์ดวงอาทิตย์และก้านไม้เตี้ย ๆ ที่พัดตามสายลมบนพื้นทรายซึ่งก่อตัวเป็นรูปวงกลมในทราย วงกลมเป็นพื้นฐานของวงล้อซึ่งด้วยสิ่งประดิษฐ์ที่เกี่ยวข้องเช่นเฟืองทำให้เครื่องจักรสมัยใหม่ส่วนใหญ่เป็นไปได้ ในวิชาคณิตศาสตร์การศึกษาวงกลมช่วยสร้างแรงบันดาลใจในการพัฒนาเรขาคณิตดาราศาสตร์และแคลคูลัส

วิทยาศาสตร์ในยุคแรกโดยเฉพาะเรขาคณิตและโหราศาสตร์และดาราศาสตร์มีความเชื่อมโยงกับสิ่งศักดิ์สิทธิ์สำหรับนักวิชาการในยุคกลางส่วนใหญ่และหลายคนเชื่อว่ามีบางสิ่งที่ "ศักดิ์สิทธิ์" หรือ "สมบูรณ์แบบ" ในตัวซึ่งสามารถพบได้ในแวดวง ^{[4] [5]}

ไฮไลท์บางส่วนในประวัติศาสตร์ของแวดวง ได้แก่ :

• คริสตศักราช 1700 - ต้นกก Rhindให้วิธีการหาพื้นที่ของสนามวงกลม ผลลัพธ์สอดคล้องกับ256/81(3.16049 ... ) เป็นค่าโดยประมาณของπ ^[6]

Tughrul Towerจากด้านใน

• 300 ก่อนคริสตศักราช - เล่ม 3 ขององค์ประกอบของยุคลิดเกี่ยวข้องกับคุณสมบัติของวงกลม
• ในจดหมายฉบับที่เจ็ดของเพลโตมีคำจำกัดความและคำอธิบายโดยละเอียดเกี่ยวกับวงกลม เพลโตอธิบายวงกลมที่สมบูรณ์แบบและความแตกต่างจากรูปวาดคำนิยามหรือคำอธิบายใด ๆ
• 1880 ซีอี - ลินเดมันน์พิสูจน์ให้เห็นว่าπเป็นสิ่งที่ยอดเยี่ยมสามารถแก้ไขปัญหาเก่าแก่นับพันปีของการยกกำลังสองของวงกลมได้อย่างมีประสิทธิภาพ ^[7]

เส้นรอบวง

อัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมต่อเส้นผ่านศูนย์กลางคือπ (pi) ค่าคงที่ไม่ลงตัว โดยประมาณเท่ากับ 3.141592654 ดังนั้นเส้นรอบวงCจึงสัมพันธ์กับรัศมีrและเส้นผ่านศูนย์กลางdโดย:

${\ displaystyle C = 2 \ pi r = \ pi d. \,}$

พื้นที่ปิดล้อม

พื้นที่ล้อมรอบด้วยวงกลม = π ×พื้นที่ของสี่เหลี่ยมสีเทา

ในฐานะที่ได้รับการพิสูจน์โดยArchimedesในเขาวัดของวงกลมที่พื้นที่ล้อมรอบด้วยวงกลมเท่ากับว่าของรูปสามเหลี่ยมที่มีฐานมีความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมและมีความสูงเท่ากับรัศมีของวงกลม, ^[8]ซึ่งมาถึงπคูณ โดยรัศมีกำลังสอง:

${\ displaystyle \ mathrm {พื้นที่} = \ pi r ^ {2}. \,}$

เท่ากับแสดงเส้นผ่านศูนย์กลางด้วยd ,

${\ displaystyle \ mathrm {Area} = {\ frac {\ pi d ^ {2}} {4}} \ ประมาณ 0 {.} 7854d ^ {2},}$

นั่นคือประมาณ 79% ของcircumscribingตาราง (ซึ่งเป็นด้านของความยาวd )

วงกลมคือเส้นโค้งระนาบที่ล้อมรอบพื้นที่สูงสุดสำหรับความยาวส่วนโค้งที่กำหนด นี้เกี่ยวข้องกับวงกลมที่จะมีปัญหาในแคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลงคือการที่ไม่เท่าเทียมกัน isoperimetric

สมการ

พิกัดคาร์ทีเซียน

วงกลมรัศมี r  = 1, ศูนย์ ( a ,  b ) = (1.2, −0.5)

สมการของวงกลม

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนx - y วงกลมที่มีพิกัดกลาง( a , b ) และรัศมีrคือเซตของจุดทั้งหมด ( x , y ) เช่นนั้น

${\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2}.}$

สมการนี้เรียกว่าสมการของวงกลมตามมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่นำไปใช้กับจุดใด ๆ บนวงกลมดังที่แสดงในแผนภาพที่อยู่ติดกันรัศมีคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งด้านอื่น ๆ มีความยาว | x - ก | และ | y - b |. ถ้าวงกลมอยู่ตรงกลางที่จุดกำเนิด (0, 0) สมการจะลดความซับซ้อนเป็น

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}.}$

แบบฟอร์มพาราเมตริก

สมการสามารถเขียนในรูปแบบพาราเมตริกโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์เป็น

${\ displaystyle x = a + r \, \ cos t,}$

${\ displaystyle y = b + r \, \ sin t,}$

โดยที่tเป็นตัวแปรพาราเมตริกในช่วง 0 ถึง 2 πซึ่งตีความทางเรขาคณิตเป็นมุมที่รังสีจาก ( a ,  b ) ถึง ( x ,  y ) ทำกับ แกนx ที่เป็นบวก

พารามิเตอร์ทางเลือกของวงกลมคือ

${\ displaystyle x = a + r {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}},}$

${\ displaystyle y = b + r {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}.}$

ในการกำหนดพารามิเตอร์นี้อัตราส่วนของtต่อrสามารถตีความทางเรขาคณิตได้ว่าเป็นการฉายภาพสามมิติของเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางขนานกับ แกนx (ดูการแทนที่ครึ่งมุมแทนเจนต์ ) อย่างไรก็ตามการกำหนดค่าพารามิเตอร์นี้จะใช้งานได้ก็ต่อเมื่อtถูกสร้างให้อยู่ในช่วงไม่เพียง แต่ผ่านรีอัลทั้งหมดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงจุดที่อินฟินิตี้ด้วย มิฉะนั้นจุดซ้ายสุดของวงกลมจะถูกละไว้

แบบฟอร์ม 3 จุด

สมการของวงกลมกำหนดโดยสามจุด ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}), (x_ {3}, y_ {3})}$ไม่ได้อยู่บนเส้นโดยการแปลงรูปแบบ 3 จุดของสมการวงกลม :

${\ displaystyle {\ frac {({\ color {green} x} -x_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) + ({\ color {red} y} -y_ { 1}) ({\ color {red} y} -y_ {2})} {({\ color {red} y} -y_ {1}) ({\ color {green} x} -x_ {2}) - ({\ color {red} y} -y_ {2}) ({\ color {green} x} -x_ {1})}} = {\ frac {(x_ {3} -x_ {1}) ( x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3 } -x_ {2}) - (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}$

รูปแบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันแต่ละส่วนรูปกรวยที่มีสมการของวงกลมจะมีรูปแบบ

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -2axz-2byz + cz ^ {2} = 0.}$

สามารถพิสูจน์ได้ว่าส่วนรูปกรวยเป็นวงกลมตรงเมื่อมี (เมื่อขยายไปยังระนาบการฉายภาพเชิงซ้อน ) จุดI (1: i : 0) และJ (1: - i : 0) จุดเหล่านี้จะเรียกว่าจุดวงกลมที่อินฟินิตี้

พิกัดเชิงขั้ว

ในพิกัดเชิงขั้วสมการของวงกลมคือ

${\ displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2},}$

โดยที่aคือรัศมีของวงกลม${\ displaystyle (r, \ theta)}$ คือพิกัดเชิงขั้วของจุดทั่วไปบนวงกลมและ ${\ displaystyle (r_ {0}, \ phi)}$คือพิกัดเชิงขั้วของจุดศูนย์กลางของวงกลม (กล่าวคือr ₀คือระยะทางจากจุดกำเนิดถึงจุดศูนย์กลางของวงกลมและφคือมุมทวนเข็มนาฬิกาจาก แกนxบวกไปยังเส้นที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดไปยังจุดศูนย์กลางของ วงกลม). สำหรับวงกลมมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้นคือr ₀ = 0นี้ลดไปเพียงR = เมื่อr ₀ = aหรือเมื่อจุดกำเนิดอยู่บนวงกลมสมการจะกลายเป็น

${\ displaystyle r = 2a \ cos (\ theta - \ phi).}$

ในกรณีทั่วไปสมการสามารถแก้ได้สำหรับr การให้

${\ displaystyle r = r_ {0} \ cos (\ theta - \ phi) \ pm {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ theta - \ phi )}}.}$

โปรดทราบว่าหากไม่มีเครื่องหมาย±ในบางกรณีสมการจะอธิบายเพียงครึ่งวงกลม

เครื่องบินที่ซับซ้อน

ในระนาบเชิงซ้อนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่cและรัศมีrมีสมการ

${\ displaystyle | zc | = r.}$

ในรูปแบบพาราเมตริกสามารถเขียนเป็น

${\ displaystyle z = re ^ {it} + c.}$

สมการทั่วไปเล็กน้อย

${\ displaystyle pz {\ overline {z}} + gz + {\ overline {gz}} = q}$

จริงP , Qและซับซ้อนกรัมบางครั้งเรียกว่าวงกลมทั่วไป นี่จะกลายเป็นสมการด้านบนสำหรับวงกลมที่มี${\ displaystyle p = 1, \ g = - {\ overline {c}}, \ q = r ^ {2} - | c | ^ {2}}$, ตั้งแต่ ${\ displaystyle | zc | ^ {2} = z {\ overline {z}} - {\ overline {c}} zc {\ overline {z}} + c {\ overline {c}}}$. ไม่ใช่วงกลมทั่วไปทั้งหมดที่เป็นวงกลมจริงๆ: วงกลมทั่วไปอาจเป็นวงกลม (จริง) หรือเส้นก็ได้

เส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสผ่านจุดPบนวงกลมจะตั้งฉากกับเส้นผ่าศูนย์กลางผ่านP ถ้าP = ( x ₁ , y ₁ )และวงกลมมีศูนย์กลาง ( a , b ) และรัศมีrเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับเส้นจาก ( a , b ) ถึง ( x ₁ , y ₁ ) ดังนั้นมัน มีรูปแบบ( x ₁ - ) x + ( y ที่₁ - ข ) Y = C การประเมินที่ ( x ₁ , y ₁ ) กำหนดค่าของcและผลลัพธ์ก็คือสมการของแทนเจนต์คือ

${\ displaystyle (x_ {1} -a) x + (y_ {1} -b) y = (x_ {1} -a) x_ {1} + (y_ {1} -b) y_ {1},}$

หรือ

${\ displaystyle (x_ {1} -a) (xa) + (y_ {1} -b) (yb) = r ^ {2}.}$

ถ้าy ₁ ≠ bความชันของเส้นตรงนี้คือ

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1} -a} {y_ {1} -b}}.}$

นอกจากนี้ยังสามารถพบการใช้ความแตกต่างโดยปริยาย

เมื่อจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่จุดกำเนิดสมการของเส้นสัมผัสจะกลายเป็น

${\ displaystyle x_ {1} x + y_ {1} y = r ^ {2},}$

และความชันของมันคือ

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {x_ {1}} {y_ {1}}}.}$

• วงกลมคือรูปร่างที่มีพื้นที่ใหญ่ที่สุดสำหรับความยาวของเส้นรอบรูปที่กำหนด (ดูอสมการ Isoperimetric )
• วงกลมเป็นรูปทรงสมมาตรสูงทุกเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางจะสร้างเส้นสมมาตรของการสะท้อนและมีสมมาตรแบบหมุนรอบจุดศูนย์กลางสำหรับทุกมุม ใช้สัดส่วนกลุ่มคือกลุ่มมุมฉาก O (2, R ) กลุ่มผลัดเพียงอย่างเดียวคือกลุ่มวงกลม T
• ทุกวงการมีความคล้ายกัน
  • เส้นรอบวงวงกลมและรัศมีเป็นสัดส่วน
  • พื้นที่ปิดล้อมและตารางของรัศมีของตนเป็นสัดส่วน
  • ค่าคงที่ของสัดส่วนคือ 2 πและπตามลำดับ
• วงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดเริ่มต้นที่มีรัศมี 1 จะเรียกว่ายูนิทวงกลม
  • คิดว่าเป็นวงกลมใหญ่ของหน่วยทรงกลมมันจะกลายเป็นวงกลมรีมัน
• ผ่านสามจุดใด ๆ ไม่ใช่ทั้งหมดในบรรทัดเดียวกันมีวงกลมที่ไม่ซ้ำกัน ในพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นไปได้ที่จะให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับพิกัดของจุดศูนย์กลางของวงกลมและรัศมีในรูปของพิกัดของสามจุดที่กำหนด ดูcircumcircle

คอร์ด

• คอร์ดจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเท่ากันถ้าหากมีความยาวเท่ากัน
• bisector ตั้งฉากของคอร์ดผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น ข้อความเทียบเท่าที่เกิดจากความเป็นเอกลักษณ์ของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากคือ:
  • เส้นตั้งฉากจากศูนย์กลางของวงกลมแบ่งคอร์ด
  • ส่วนของเส้นตรงผ่านศูนย์กลางแบ่งครึ่งคอร์ดตั้งฉากกับคอร์ด
• หากมุมกลางและมุมที่จารึกไว้ของวงกลมถูกย่อยด้วยคอร์ดเดียวกันและอยู่ด้านเดียวกันของคอร์ดมุมกลางจะเป็นสองเท่าของมุมที่จารึกไว้
• หากมุมสองมุมถูกจารึกไว้บนคอร์ดเดียวกันและอยู่ด้านเดียวกันของคอร์ดแสดงว่ามุมนั้นเท่ากัน
• หากทั้งสองมุมที่จะถูกจารึกไว้บนคอร์ดเดียวกันและในด้านตรงข้ามของคอร์ดแล้วพวกเขาจะเสริม
  • สำหรับวงกลมสี่เหลี่ยมที่มุมด้านนอกจะเท่ากับมุมตรงข้ามกับการตกแต่งภายใน
• มุมที่จารึกไว้ซึ่งย่อยด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางคือมุมฉาก (ดูทฤษฎีบทของ Thales )
• เส้นผ่านศูนย์กลางเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลม
  • ในบรรดาวงกลมทั้งหมดที่มีคอร์ด AB เหมือนกันวงกลมที่มีรัศมีน้อยที่สุดคือวงที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง AB
• หากจุดตัดของสองคอร์ดแบ่งคอร์ดหนึ่งความยาวและขและแบ่งคอร์ดอื่น ๆ ลงในความยาวคและdแล้วAB = CD
• หากจุดตัดของสองคอร์ดแบ่งตั้งฉากหนึ่งคอร์ดความยาวและขและแบ่งคอร์ดอื่น ๆ ลงในความยาวคและdแล้ว² + B ² + ค² + d ²เท่ากับตารางของเส้นผ่าศูนย์กลาง ^[9]
• ผลรวมของความยาวกำลังสองของคอร์ดสองคอร์ดใด ๆ ที่ตัดกันเป็นมุมฉาก ณ จุดที่กำหนดจะเหมือนกับของคอร์ดตั้งฉากอีกสองคอร์ดที่ตัดกันที่จุดเดียวกันและกำหนดโดย 8 r ² - 4 p ²โดยที่rคือ รัศมีวงกลมและpคือระยะทางจากจุดศูนย์กลางถึงจุดตัด ^[10]
• ระยะทางจากจุดบนวงกลมถึงคอร์ดที่กำหนดคูณเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเท่ากับผลคูณของระยะทางจากจุดถึงจุดสิ้นสุดของคอร์ด ^{[11] : น. 71}

สัมผัส

• เส้นที่ลากตั้งฉากกับรัศมีผ่านจุดสิ้นสุดของรัศมีที่วางอยู่บนวงกลมเป็นเส้นสัมผัสกับวงกลม
• เส้นที่ลากตั้งฉากกับแทนเจนต์ผ่านจุดสัมผัสกับวงกลมผ่านศูนย์กลางของวงกลม
• เส้นสัมผัสสองเส้นสามารถลากเป็นวงกลมจากจุดใดก็ได้นอกวงกลมเสมอและเส้นสัมผัสเหล่านี้มีความยาวเท่ากัน
• ถ้าแทนเจนต์ที่Aและแทนเจนต์ที่Bตัดกันที่จุดภายนอกPแสดงว่าจุดศูนย์กลางเป็นOมุม∠ BOAและ∠ BPAจะเสริม
• ถ้าADสัมผัสกับวงกลมที่Aและถ้าAQเป็นคอร์ดของวงกลมดังนั้นthen DAQ = 1/2โค้ง ( AQ )

ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทซีแคนต์ - ซีแคนท์

• คอร์ดทฤษฎีบทระบุว่าถ้าสองคอร์ดซีดีและEB , ตัดที่แล้วAC × AD = AB × AE
• ถ้าสองวินาทีคือAEและADตัดวงกลมที่BและCตามลำดับดังนั้นAC × AD = AB × AE (ข้อสรุปของทฤษฎีบทคอร์ด)
• แทนเจนต์ถือได้ว่าเป็นกรณีที่ จำกัด ของตัวคั่นที่มีจุดจบตรงกัน ถ้าแทนเจนต์จากจุดภายนอกAตรงกับวงกลมที่Fและเซแคนท์จากจุดภายนอกAตรงกับวงกลมที่CและDตามลำดับแล้วAF ² = AC × AD (ทฤษฎีบทแทนเจนต์ - วินาที)
• มุมระหว่างคอร์ดและแทนเจนต์ที่จุดปลายด้านใดด้านหนึ่งจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของมุมที่อยู่ตรงกลางของวงกลมด้านตรงข้ามของคอร์ด (มุมของคอร์ดแทนเจนต์)
• ถ้ามุมที่คอร์ดที่อยู่ตรงกลางเป็น 90 °ดังนั้นℓ = r √ 2โดยที่ℓคือความยาวของคอร์ดและrคือรัศมีของวงกลม
• หากมีการจารึกสองวินาทีในวงกลมดังที่แสดงไว้ทางด้านขวาการวัดมุมAจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของความแตกต่างของการวัดของส่วนโค้งที่ปิดล้อม (${\ displaystyle {\ overset {\ frown} {DE}}}$ และ ${\ displaystyle {\ overset {\ frown} {BC}}}$). นั่นคือ,${\ displaystyle 2 \ angle {CAB} = \ angle {DOE} - \ angle {BOC}}$โดยที่Oเป็นศูนย์กลางของวงกลม (ทฤษฎีบทซีแคนต์ - ซีแคนท์)

มุมที่ถูกจารึกไว้

ทฤษฎีบทมุมจารึก

มุมที่จารึกไว้ (ตัวอย่างคือมุมสีน้ำเงินและสีเขียวในรูป) คือครึ่งหนึ่งของมุมกลางที่ตรงกัน(สีแดง) ดังนั้นมุมที่จารึกไว้ทั้งหมดที่ย่อยส่วนโค้งเดียวกัน (สีชมพู) จึงมีค่าเท่ากัน มุมที่จารึกไว้บนส่วนโค้ง (สีน้ำตาล) เป็นส่วนเสริม โดยเฉพาะอย่างยิ่งทุกมุมที่จารึกไว้ที่ลบเส้นผ่านศูนย์กลางจะเป็นมุมฉาก (เนื่องจากมุมกลางคือ 180 °)

Sagitta

Sagitta เป็นส่วนแนวตั้ง

ธนู (ยังเป็นที่รู้จักในฐานะversine ) เป็นส่วนของเส้นตรงที่ลากตั้งฉากกับคอร์ดระหว่างจุดกึ่งกลางของคอร์ดที่และส่วนโค้งของวงกลม

เมื่อพิจารณาจากความยาวyของคอร์ดและความยาวxของ sagitta ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามารถใช้ในการคำนวณรัศมีของวงกลมเฉพาะที่จะพอดีกับสองบรรทัด:

${\ displaystyle r = {\ frac {y ^ {2}} {8x}} + {\ frac {x} {2}}.}$

ข้อพิสูจน์อีกประการหนึ่งของผลลัพธ์นี้ซึ่งอาศัยคุณสมบัติของคอร์ดสองอย่างที่ให้ไว้ข้างต้นมีดังนี้ ด้วยคอร์ดที่มีความยาวyและ sagitta ของความยาวxเนื่องจาก sagitta ตัดกับจุดกึ่งกลางของคอร์ดเราจึงรู้ว่ามันเป็นส่วนหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เนื่องจากเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นสองเท่าของรัศมีส่วนที่ "หายไป" ของเส้นผ่านศูนย์กลางจึงมีความยาว ( 2 r - x ) การใช้ความจริงที่ว่าส่วนหนึ่งของหนึ่งครั้งคอร์ดส่วนอื่น ๆ จะมีค่าเท่ากับผลิตภัณฑ์เดียวกันนำไปตัดคอร์ดคอร์ดแรกที่เราพบว่า ( 2 R - x ) x = ( Y / ²⁾ 2 การแก้หาrเราพบผลลัพธ์ที่ต้องการ

มีการสร้างเข็มทิศและเส้นตรงจำนวนมากที่ทำให้เกิดวงกลม

สิ่งที่ง่ายที่สุดและเป็นพื้นฐานที่สุดคือการสร้างโดยให้จุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม วางขาคงที่ของเข็มทิศไว้ที่จุดกึ่งกลางขาที่เคลื่อนย้ายได้บนจุดบนวงกลมแล้วหมุนเข็มทิศ

การก่อสร้างด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางที่กำหนด

• สร้างจุดกึ่งกลาง Mของเส้นผ่านศูนย์กลาง
• สร้างวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางMผ่านจุดสิ้นสุดจุดใดจุดหนึ่งของเส้นผ่านศูนย์กลาง (มันจะผ่านจุดสิ้นสุดอีกจุดหนึ่งด้วย)

สร้างวงกลมผ่านจุด A, B และ C โดยการหาเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก (สีแดง) ของด้านข้างของสามเหลี่ยม (สีน้ำเงิน) ต้องใช้เส้นแบ่งครึ่งสองในสามเท่านั้นเพื่อหาจุดศูนย์กลาง

ก่อสร้างผ่านจุดที่ไม่เป็นเส้นตรงสามจุด

• ชื่อจุดP , QและR ,
• สร้างbisector ตั้งฉากของส่วนPQ
• สร้างbisector ตั้งฉากของกลุ่มประชาสัมพันธ์
• ป้ายจุดตัดของทั้งสอง bisectors ตั้งฉากM (เพราะพวกเขาได้พบจุดที่จะไม่collinear )
• สร้างวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางMผ่านจุดใดจุดหนึ่งP , QหรือR (มันจะผ่านอีกสองจุดด้วย)

คำจำกัดความของวงกลม Apollonius: ค่าคงที่ d ₁ / d ₂

Apollonius ของ Pergaแสดงให้เห็นว่าเป็นวงกลมยังอาจจะกำหนดเป็นชุดของจุดในระนาบที่มีค่าคงที่อัตราส่วน (นอกเหนือจาก 1) ของระยะทางถึงสอง foci คงและB ^{[12] [13]} (เซตของจุดที่ระยะทางเท่ากันคือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของส่วนABเส้นหนึ่ง) วงกลมนั้นบางครั้งถูกวาดประมาณสองจุด

การพิสูจน์เป็นสองส่วน ก่อนอื่นเราต้องพิสูจน์ว่าด้วยจุดโฟกัสAและBสองจุดและอัตราส่วนของระยะทางจุดใด ๆP ที่ตรงตามอัตราส่วนของระยะทางจะต้องตกอยู่ในวงกลมใดวงหนึ่ง ให้Cเป็นจุดอื่นยังความพึงพอใจของอัตราส่วนและนอนอยู่บนส่วนAB ตามทฤษฎีบทเส้นแบ่งครึ่งมุมพีซีส่วนของเส้นตรงจะแบ่งมุมภายใน APBเนื่องจากส่วนต่างๆมีความคล้ายคลึงกัน:

${\ displaystyle {\ frac {AP} {BP}} = {\ frac {AC} {BC}}}$

ในทำนองเดียวกันส่วนของเส้นตรงPDผ่านบางจุดDบนAB ที่ขยายออกเป็นสองเท่าของมุมภายนอกที่สอดคล้องกันBPQโดยที่Qอยู่บนAP ที่ขยายออกไป เนื่องจากมุมภายในและภายนอกรวมกันเป็น 180 องศาCPD ของมุมจึงเท่ากับ 90 องศา นั่นคือมุมฉาก ชุดของจุดPเช่นนั้นCPDมุมคือมุมฉากเป็นวงกลมซึ่งซีดีมีเส้นผ่านศูนย์กลาง

ประการที่สองดู^{[14] : หน้า 15}สำหรับการพิสูจน์ว่าทุกจุดบนวงกลมที่ระบุตรงตามอัตราส่วนที่กำหนด

อัตราส่วนข้าม

คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของวงกลมเกี่ยวข้องกับรูปทรงเรขาคณิตของอัตราส่วนข้ามของจุดในระนาบเชิงซ้อน ถ้าA , BและCเป็นดังข้างต้นวงกลมของ Apollonius สำหรับสามจุดนี้คือการรวบรวมคะแนนPซึ่งค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนข้ามเท่ากับหนึ่ง:

${\ displaystyle {\ big |} [A, B; C, P] {\ big |} = 1.}$

ระบุอีกวิธีหนึ่งว่าPคือจุดบนวงกลมของ Apollonius ถ้าอัตราส่วนข้าม[ A , B ; C , P ]อยู่บนวงกลมหน่วยในระนาบเชิงซ้อน

วงกลมทั่วไป

ถ้าCคือจุดกึ่งกลางของเซ็กเมนต์ABดังนั้นการรวบรวมคะแนนPเป็นไปตามเงื่อนไข Apollonius

${\ displaystyle {\ frac {| AP |} {| BP |}} = {\ frac {| AC |} {| BC |}}}$ 

ไม่ใช่วงกลม แต่เป็นเส้น

ดังนั้นถ้าA , BและCได้รับจุดที่แตกต่างกันในระนาบตำแหน่งของจุดP ที่ตรงตามสมการข้างต้นจะเรียกว่า "วงกลมทั่วไป" อาจเป็นวงกลมจริงหรือเส้นก็ได้ ในแง่นี้เส้นคือวงกลมทั่วไปของรัศมีอนันต์

ในทุก ๆรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่าincircleสามารถจารึกไว้เพื่อให้สัมผัสกับแต่ละด้านของสามเหลี่ยมได้ ^[15]

เกี่ยวกับทุกรูปสามเหลี่ยมวงกลมที่ไม่ซ้ำกันเรียกว่า circumcircle ที่สามารถ circumscribed ดังกล่าวว่ามันจะไปผ่านแต่ละสามเหลี่ยมสามจุด ^[16]

รูปหลายเหลี่ยมวงเช่นวงรูปสี่เหลี่ยมเป็น ๆหลายเหลี่ยมนูนออกภายในที่วงกลมสามารถจารึกไว้ที่สัมผัสกันไปแต่ละด้านของรูปหลายเหลี่ยม ^[17]ทุก ๆรูปหลายเหลี่ยมปกติและทุก ๆ สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่สัมผัสได้

รูปหลายเหลี่ยมวงกลมเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนใด ๆ เกี่ยวกับที่วงกลมสามารถ circumscribedผ่านแต่ละจุดสุดยอด ตัวอย่างที่ได้รับการศึกษามาเป็นอย่างดีคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ทุกรูปหลายเหลี่ยมปกติและทุก ๆ สามเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบบวนรอบ รูปหลายเหลี่ยมที่มีทั้งวงจรและวงเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม bicentric

ไฮโพไซคลอยด์เป็นเส้นโค้งที่จะถูกจารึกไว้ในวงกลมที่ได้รับจากการติดตามจุดคงที่ในวงกลมขนาดเล็กที่ม้วนภายในและสัมผัสกันในวงกลมที่กำหนด

วงกลมสามารถมองได้ว่าเป็นกรณี จำกัดของตัวเลขอื่น ๆ :

• Cartesian รูปไข่เป็นชุดของจุดดังกล่าวว่าน้ำหนักรวมของระยะทางจากจุดที่สองจุดคงที่ (foci) เป็นค่าคงที่ วงรีคือกรณีที่น้ำหนักเท่ากัน วงกลมคือวงรีที่มีความเยื้องศูนย์เป็นศูนย์ซึ่งหมายความว่าจุดโฟกัสทั้งสองตรงกับจุดศูนย์กลางของวงกลม วงกลมเป็นกรณีพิเศษที่แตกต่างกันของวงรีคาร์ทีเซียนซึ่งหนึ่งในน้ำหนักเป็นศูนย์
• superellipseมีสมการที่มีรูปแบบ${\ displaystyle \ left | {\ frac {x} {a}} \ right | ^ {n} \! + \ left | {\ frac {y} {b}} \ right | ^ {n} \! = 1 }$บวก, ขและn supercircle มีข = วงกลมเป็นกรณีพิเศษของ supercircle ในการที่n = 2
• Cassini รูปไข่เป็นชุดของจุดดังกล่าวว่าผลิตภัณฑ์ของระยะทางจากจุดที่จะสองจุดคงที่เป็นค่าคงที่ เมื่อจุดคงที่ทั้งสองตรงกันผลลัพธ์วงกลม
• โค้งของความกว้างอย่างต่อเนื่องเป็นตัวเลขที่มีความกว้างกำหนดเป็นระยะทางตั้งฉากที่แตกต่างกันระหว่างสองเส้นคู่ขนานแต่ละตัดเขตแดนในจุดเดียวเหมือนกันโดยไม่คำนึงถึงทิศทางของทั้งสองเส้นคู่ขนาน วงกลมเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของรูปประเภทนี้

ภาพประกอบของวงกลมหน่วย (ดูที่ เส้นเหนือเส้น ) ในp -norms ต่างกัน (ทุกเวกเตอร์ตั้งแต่จุดเริ่มต้นจนถึงวงกลมหน่วยมีความยาวเท่ากับหนึ่งความยาวที่คำนวณด้วยสูตรความยาวของp ที่สอดคล้องกัน )

การกำหนดวงกลมเป็นชุดของจุดที่มีระยะห่างคงที่จากจุดหนึ่งรูปร่างที่แตกต่างกันสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นวงกลมภายใต้คำจำกัดความของระยะทางที่แตกต่างกัน ในp -normระยะทางจะถูกกำหนดโดย

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {p} = \ left (| x_ {1} | ^ {p} + | x_ {2} | ^ {p} + \ dotsb + | x_ {n} | ^ {p} \ right) ^ {1 / p}}$

ในเรขาคณิตแบบยูคลิดp = 2 ทำให้คนคุ้นเคย

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} = {\ sqrt {| x_ {1} | ^ {2} + | x_ {2} | ^ {2} + \ dotsb + | x_ {n } | ^ {2}}}.}$

ในรูปทรงเรขาคณิตรถแท็กซี่ , Pวงการ = 1. รถแท็กซี่เป็นสี่เหลี่ยมที่มีด้านที่มุ่งเน้นที่มุม 45 °กับแกนพิกัด ในขณะที่แต่ละด้านจะมีความยาว${\ displaystyle {\ sqrt {2}} r}$โดยใช้ตัวชี้วัดแบบยุคลิดที่Rคือรัศมีวงกลมของความยาวของมันในเรขาคณิตรถแท็กซี่ 2 R ดังนั้นเส้นรอบวงของวงกลมเป็น 8 R ดังนั้นค่าของอะนาล็อกเชิงเรขาคณิตถึง${\ displaystyle \ pi}$คือ 4 ในรูปเรขาคณิตนี้ สูตรสำหรับวงกลมหน่วยในเรขาคณิตแท็กซี่คือ${\ displaystyle | x | + | y ​​| = 1}$ ในพิกัดคาร์ทีเซียนและ

${\ displaystyle r = {\ frac {1} {| \ sin \ theta | + | \ cos \ theta |}}}$

ในพิกัดเชิงขั้ว

วงกลมรัศมี 1 (โดยใช้ระยะนี้) คือย่านฟอนนอยมันน์ที่อยู่ตรงกลาง

วงกลมรัศมีrสำหรับระยะทาง Chebyshev ( L ∞ metric ) บนระนาบยังเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านข้าง 2 rขนานกับแกนพิกัดดังนั้นระยะทาง Chebyshev แบบระนาบสามารถมองได้ว่าเท่ากันโดยการหมุนและปรับให้เท่ากับระยะห่างของรถแท็กซี่แบบระนาบ อย่างไรก็ตามความเท่าเทียมกันระหว่างเมตริกL ₁และ L _∞นี้ไม่ได้หมายความรวมถึงมิติข้อมูลที่สูงกว่า

พิจารณาชุดที่ จำกัด ของ ${\ displaystyle n}$จุดในเครื่องบิน ที่ตั้งของจุดที่ผลรวมของกำลังสองของระยะทางไปยังจุดที่กำหนดเป็นค่าคงที่คือวงกลมซึ่งจุดศูนย์กลางอยู่ที่เซนทรอยด์ของจุดที่กำหนด ^[18]การกำหนดลักษณะทั่วไปสำหรับพลังแห่งระยะทางที่สูงขึ้นจะได้รับหากต่ำกว่า${\ displaystyle n}$ ชี้จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติ ${\ displaystyle P_ {n}}$ถูกนำมา ^[19]ที่ตั้งของจุดเช่นที่ผลรวมของ${\ displaystyle (2 ม.)}$- พลังแห่งระยะทาง ${\ displaystyle d_ {i}}$ ไปยังจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่กำหนดด้วยเส้นรอบวง ${\ displaystyle R}$ ค่าคงที่คือวงกลมถ้า

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} ^ {2m}> nR ^ {2m}}$, ที่ไหน ${\ displaystyle m}$= 1,2, …, ${\ displaystyle n}$-1;

ซึ่งศูนย์กลางคือเซนทรอยด์ของ ${\ displaystyle P_ {n}}$.

ในกรณีของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าตำแหน่งของผลรวมคงที่ของกำลังสองและสี่คือวงกลมในขณะที่สำหรับกำลังสอง loci เป็นวงกลมสำหรับผลรวมคงที่ของกำลังที่สองสี่และหก สำหรับรูปห้าเหลี่ยมปกติผลรวมคงที่ของกำลังที่แปดของระยะทางจะถูกเพิ่มเข้ามาเรื่อย ๆ

squaring วงกลมเป็นปัญหาที่เสนอโดยโบราณ geometers , การสร้างตารางที่มีพื้นที่เดียวกับวงกลมที่กำหนดโดยใช้เพียงจำนวน จำกัด ของขั้นตอนที่มีเข็มทิศและระนาบ

ในปี ค.ศ. 1882 งานที่ได้รับการพิสูจน์เป็นไปไม่ได้เป็นผลมาจากการทฤษฎีบท Lindemann-Weierstrassซึ่งพิสูจน์ให้เห็นว่าปี่ ( π ) เป็นจำนวนอดิศัยมากกว่าจำนวนอตรรกยะพีชคณิต ; นั่นคือไม่ใช่รากของพหุนามใด ๆ ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงเหตุผล แม้จะเป็นไปไม่ได้ แต่หัวข้อนี้ยังคงเป็นที่สนใจสำหรับผู้ที่ชื่นชอบการปลอมตัว

ตั้งแต่สมัยอารยธรรมแรก ๆ ที่เป็นที่รู้จักเช่นชาวอัสซีเรียและชาวอียิปต์โบราณที่อยู่ในหุบเขาสินธุและตามแม่น้ำฮวงโหในประเทศจีนและอารยธรรมตะวันตกของกรีกและโรมโบราณในสมัยโบราณ - วงกลมถูกนำมาใช้โดยตรงหรือ ทางอ้อมในทัศนศิลป์เพื่อถ่ายทอดข้อความของศิลปินและเพื่อแสดงความคิดบางอย่าง อย่างไรก็ตามความแตกต่างในโลกทัศน์ (ความเชื่อและวัฒนธรรม) มีผลกระทบอย่างมากต่อการรับรู้ของศิลปิน ในขณะที่บางคนเน้นขอบเขตของวงกลมเพื่อแสดงให้เห็นถึงการแสดงความเป็นประชาธิปไตยของพวกเขา แต่บางคนก็มุ่งเน้นไปที่ศูนย์กลางของมันเพื่อเป็นสัญลักษณ์ของแนวคิดเรื่องเอกภาพของจักรวาล ในหลักคำสอนลึกลับวงกลมส่วนใหญ่เป็นสัญลักษณ์ของลักษณะการดำรงอยู่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเป็นวัฏจักร แต่ในประเพณีทางศาสนานั้นแสดงถึงร่างกายของสวรรค์และวิญญาณของพระเจ้า วงกลมมีความหมายถึงแนวคิดศักดิ์สิทธิ์และจิตวิญญาณมากมายรวมถึงความสามัคคีความไม่มีที่สิ้นสุดความสมบูรณ์จักรวาลความเป็นพระเจ้าความสมดุลความมั่นคงและความสมบูรณ์แบบเป็นต้น แนวคิดดังกล่าวได้รับการถ่ายทอดในวัฒนธรรมทั่วโลกผ่านการใช้สัญลักษณ์เช่นเข็มทิศรัศมีที่ piscis vesica และอนุพันธ์ (ปลาตารัศมี, mandorla ฯลฯ ) Ouroboros ที่ล้อธรรมะเป็น รุ้งแมนดาลาหน้าต่างกุหลาบและอื่น ๆ ^[20]

• Pedoe, Dan (1988). เรขาคณิต: หลักสูตรที่ครอบคลุม โดเวอร์.
• "วงกลม" ในที่เก็บถาวรของ MacTutor History of Mathematics

• "วงกลม" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• วงกลมที่PlanetMath
• Weisstein, Eric W. "Circle" . แม ธ เวิลด์
• "อินเตอร์จาวา" สำหรับคุณสมบัติของและสิ่งก่อสร้างพื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับวงกลม
• "แบบอินเตอร์แอคทีสมมาตรฐานวงกลม" คลิกและลากจุดเพื่อดูการทำงานของสมการในรูปแบบมาตรฐาน
• "munching ในแวดวง" ตัดปม