คอร์ด (เรขาคณิต)

ในคุณสมบัติของคอร์ดของวงกลมมีดังต่อไปนี้:

1. คอร์ดจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากันก็ต่อเมื่อความยาวเท่ากัน
2. คอร์ดที่เท่ากันจะถูกย่อยด้วยมุมที่เท่ากันจากจุดศูนย์กลางของวงกลม
3. คอร์ดที่ผ่านศูนย์กลางของวงกลมเรียกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางและเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลมนั้น ๆ
4. ถ้าส่วนขยายบรรทัด (เส้นคั่น) ของคอร์ด AB และ CD ตัดกันที่จุด P ความยาวจะเป็นไปตาม AP · PB = CP · PD ( พลังของทฤษฎีบทจุด )

จุดกึ่งกลางของการตั้งค่าของคอร์ดขนานของวงรีมีcollinear ^[1]

คอร์ดถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการพัฒนาตรีโกณมิติในยุคแรกๆ ตารางตรีโกณมิติที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกซึ่งรวบรวมโดยHipparchusได้จัดทำตารางค่าของฟังก์ชันคอร์ดสำหรับทุกๆ7+1/2 องศา ในคริสต์ศตวรรษที่สองปโตเลมีแห่งอเล็กซานเดรียได้รวบรวมตารางคอร์ดที่ครอบคลุมมากขึ้นในหนังสือของเขาเกี่ยวกับดาราศาสตร์โดยให้คุณค่าของคอร์ดสำหรับมุมตั้งแต่ 1/2 ถึง 180 องศาโดยเพิ่มขึ้นทีละ 1/2ระดับ. วงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 120 และความยาวคอร์ดมีความแม่นยำถึงสองหลักฐาน -60 หลังส่วนจำนวนเต็ม ^[2]

ฟังก์ชันคอร์ดถูกกำหนดทางเรขาคณิตดังแสดงในภาพ คอร์ดของมุมคือความยาวของคอร์ดระหว่างจุดสองจุดบนวงกลมหน่วยที่คั่นด้วยมุมกลางนั้น มุมθจะนำมาในความรู้สึกในเชิงบวกและต้องอยู่ในช่วง0 < θ ≤ เธ (วัดเรเดียน) ฟังก์ชั่นคอร์ดสามารถเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันไซน์สมัยใหม่โดยใช้จุดใดจุดหนึ่งเป็น (1,0) และอีกจุดหนึ่งเป็น ( cos θ , sin θ ) จากนั้นใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเพื่อคำนวณคอร์ด ความยาว: ^[2]

${\ displaystyle \ operatorname {crd} \ \ theta = {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta}} = {\ sqrt {2-2 \ cos \ theta}} = 2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}$

ขั้นตอนสุดท้ายใช้สูตรครึ่งมุม ตรีโกณมิติสมัยใหม่มากพอ ๆ กับฟังก์ชันไซน์ตรีโกณมิติโบราณถูกสร้างขึ้นจากฟังก์ชันคอร์ด Hipparchus มีเจตนาที่จะเขียนคอร์ดสิบสองเล่มตอนนี้หายไปหมดแล้วดังนั้นจึงน่าจะเป็นที่รู้กันดีเกี่ยวกับพวกเขา ในตารางด้านล่าง (โดยที่cคือความยาวคอร์ดและDเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม) ฟังก์ชันคอร์ดสามารถแสดงเพื่อตอบสนองอัตลักษณ์หลายอย่างที่คล้ายคลึงกับสิ่งที่ทันสมัยที่รู้จักกันดี:

ชื่อ	ตามไซน์	ตามคอร์ด
พีทาโกรัส	${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ theta + \ cos ^ {2} \ theta = 1 \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {crd} ^ {2} \ theta + \ operatorname {crd} ^ {2} (\ pi - \ theta) = 4 \,}$
ครึ่งมุม	${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}} \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {crd} \ {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {2- \ operatorname {crd} (\ pi - \ theta)}} \,}$
อะโปเธม ( a )	${\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}}}$	${\ displaystyle c = {\ sqrt {D ^ {2} -4a ^ {2}}}}$
มุม ( θ )	${\ displaystyle c = 2r \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$	${\ displaystyle c = {\ frac {D} {2}} \ operatorname {crd} \ \ theta}$

ฟังก์ชันผกผันมีอยู่เช่นกัน: ^[3]

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {\ frac {c} {2}}}$

• ส่วนวงกลม - ส่วนของเซกเตอร์ที่ยังคงอยู่หลังจากลบสามเหลี่ยมที่เกิดจากศูนย์กลางของวงกลมและจุดสิ้นสุดทั้งสองของส่วนโค้งวงกลมบนขอบเขต
• ขนาดของคอร์ด
• ตารางคอร์ดของปโตเลมี
• ทฤษฎีบทของโฮลดิชสำหรับคอร์ดที่หมุนในโค้งปิดแบบนูน
• กราฟวงกลม
• Exsecant และ excosecant
• Versine และ haversine
• เส้นโค้ง Zindler ( เส้นโค้งแบบปิดและแบบธรรมดาซึ่งคอร์ดทั้งหมดที่แบ่งความยาวส่วนโค้งออกเป็นครึ่งหนึ่งมีความยาวเท่ากัน)

• Hawking, Stephen William , ed. (2545). บนไหล่ของยักษ์นี้: การทำงานที่ดีของฟิสิกส์และดาราศาสตร์ ฟิลาเดลเฟียสหรัฐอเมริกา: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN  2002100441 สืบค้นเมื่อ2017-07-31 .
• Stávek, Jiří (2017-03-10) [2017-02-26]. "เกี่ยวกับความงามที่ซ่อนอยู่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ" . การวิจัยฟิสิกส์ประยุกต์ . ปราก, CZ: ศูนย์วิทยาศาสตร์และการศึกษาของแคนาดา 9 (2): 57–64. ดอย : 10.5539 / เม.ย. v9n2p57 . ISSN  1916-9639 ISSN  1916-9647 [1]

• ประวัติความเป็นมาของโครงร่างตรีโกณมิติ
• ฟังก์ชันตรีโกณมิติเน้นประวัติศาสตร์
• คอร์ด (ของวงกลม)พร้อมภาพเคลื่อนไหวแบบโต้ตอบ