ศูนย์ (เรขาคณิต)

จุดศูนย์กลางของวงกลมคือจุดที่ห่างจากจุดบนขอบเท่ากัน ในทำนองเดียวกัน จุดศูนย์กลางของทรงกลมคือจุดที่ห่างจากจุดบนพื้นผิวเท่ากัน และจุดศูนย์กลางของส่วนของเส้นตรงคือจุดกึ่งกลางของปลายทั้งสองข้าง

สำหรับวัตถุที่มีหลายสมมาตรที่ศูนย์ของสมมาตรเป็นจุดไม่มีการเปลี่ยนแปลงโดยการกระทำสมมาตร ดังนั้นศูนย์กลางของที่ตาราง , สี่เหลี่ยมผืนผ้า , รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นที่ที่เส้นทแยงมุมตัดเป็นอยู่นี้ (ในหมู่คุณสมบัติอื่น ๆ ) จุดคงที่ของสมมาตรหมุน ในทำนองเดียวกัน จุดศูนย์กลางของวงรีหรือไฮเพอร์โบลาคือจุดที่แกนตัดกัน

จุดพิเศษหลายจุดของรูปสามเหลี่ยมมักถูกอธิบายว่าเป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม :

• วงล้อมซึ่งเป็นศูนย์กลางของวงกลมที่ผ่านทั้งสามจุด ;
• เซนทรอยด์หรือจุดศูนย์กลางมวลจุดที่สามเหลี่ยมจะสมดุลถ้ามันมีความหนาแน่นสม่ำเสมอ
• incenter , ศูนย์กลางของวงกลมที่มีการสัมผัสกันภายในเพื่อทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมนั้น
• orthocenterแยกของรูปสามเหลี่ยมที่สามระดับความสูง ; และ
• ศูนย์เก้าจุดศูนย์ของวงกลมที่ผ่านเก้าจุดสำคัญของรูปสามเหลี่ยม

สำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่าจุดเหล่านี้คือจุดเดียวกัน ซึ่งอยู่ที่จุดตัดของสมมาตรสามแกนของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นหนึ่งในสามของระยะทางจากฐานถึงยอด

คำจำกัดความที่เข้มงวดของจุดศูนย์กลางรูปสามเหลี่ยมคือจุดที่พิกัดไตรลิเนียร์คือf ( a , b , c ) : f ( b , c , a ) : f ( c , a , b ) โดยที่fคือฟังก์ชันของความยาวของ สามด้านของรูปสามเหลี่ยมa , b , c โดยที่:

1. fเป็นเนื้อเดียวกันในa , b , c ; เช่นf ( ta , tb , tc )= t ^h f ( a , b , c ) สำหรับพลังที่แท้จริงh ; ดังนั้นตำแหน่งของจุดศูนย์กลางจึงเป็นอิสระจากมาตราส่วน
2. fมีความสมมาตรในสองอาร์กิวเมนต์สุดท้าย เช่นf ( a , b , c )= f ( a , c , b ); ดังนั้นตำแหน่งของจุดศูนย์กลางในสามเหลี่ยมภาพสะท้อนในกระจกจึงเป็นภาพสะท้อนของตำแหน่งในสามเหลี่ยมเดิม ^[1]

นี้อย่างเข้มงวดไม่รวมคำนิยามคู่ของจุด bicentric เช่นจุด Brocard (ซึ่งจะสบตาด้วยกระจกสะท้อนภาพ) ในปี 2020 สารานุกรมของศูนย์สามเหลี่ยมแสดงรายการศูนย์สามเหลี่ยมที่แตกต่างกันกว่า 39,000 แห่ง ^[2]

รูปหลายเหลี่ยมวงมีแต่ละด้านสัมผัสกันจะเป็นวงกลมโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เรียกว่าวงกลมแนบหรือวงกลมไว้ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางถือได้ว่าเป็นจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม

รูปหลายเหลี่ยมวงกลมมีแต่ละจุดของตนในวงกลมโดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เรียกว่าcircumcircleหรือวงกลม จุดศูนย์กลางของวงกลมที่เรียกว่า circumcenter ถือได้ว่าเป็นจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม

ถ้ารูปหลายเหลี่ยมเป็นทั้งวงและวงจรก็จะเรียกว่าbicentric (ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดเป็นแบบสองศูนย์กลาง) จุดศูนย์กลางและจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมแบบสองศูนย์กลางนั้นโดยทั่วไปแล้วจะไม่เป็นจุดเดียวกัน

จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมทั่วไปสามารถกำหนดได้หลายวิธี "จุดยอดจุดยอด" มาจากการพิจารณาว่ารูปหลายเหลี่ยมว่างเปล่า แต่มีมวลเท่ากันที่จุดยอด "เซนทรอยด์ด้าน" มาจากการพิจารณาด้านที่มีมวลคงที่ต่อความยาวหน่วย จุดศูนย์กลางปกติที่เรียกว่าเซนทรอยด์ (ศูนย์กลางของพื้นที่) มาจากการพิจารณาพื้นผิวของรูปหลายเหลี่ยมว่ามีความหนาแน่นคงที่ จุดทั้งสามนี้โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่จุดเดียวกันทั้งหมด

• จุดศูนย์กลาง
• ศูนย์กลางของมวล
• ศูนย์ Chebyshev
• จุดคงที่ของกลุ่มมีมิติเท่ากันในอวกาศแบบยุคลิด