ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

คาร์ทีเซียนคำคุณศัพท์หมายถึงRené Descartes นักคณิตศาสตร์และนักปรัชญา ชาวฝรั่งเศสผู้เผยแพร่แนวคิดนี้ในปี 1637 ปิแอร์เดอแฟร์มาต์ค้นพบโดยอิสระซึ่งทำงานในสามมิติแม้ว่า Fermat จะไม่ได้เผยแพร่การค้นพบนี้ก็ตาม ^[1] Nicole Oresmeนักบวชชาวฝรั่งเศสใช้โครงสร้างคล้ายกับพิกัดคาร์ทีเซียนก่อนสมัยเดส์การ์ตและแฟร์มาต์ ^[2]

ทั้ง Descartes และ Fermat ใช้แกนเดี่ยวในการรักษาและมีความยาวตัวแปรที่วัดได้โดยอ้างอิงกับแกนนี้ แนวคิดของการใช้แกนคู่ได้รับการแนะนำในภายหลังหลังจากLa Géométrieของ Descartes ได้รับการแปลเป็นภาษาละตินในปี 1649 โดยFrans van Schootenและนักเรียนของเขา นักวิจารณ์เหล่านี้แนะนำแนวคิดหลายประการในขณะที่พยายามชี้แจงแนวคิดที่มีอยู่ในงานของเดส์การ์ตส์ ^[3]

การพัฒนาของระบบ Cartesian ประสานงานจะมีบทบาทพื้นฐานในการพัฒนาของแคลคูลัสโดยไอแซกนิวตันและGottfried Wilhelm Leibniz ^[4]คำอธิบายสองพิกัดของเครื่องบินทั่วไปมาเป็นแนวคิดของเวกเตอร์พื้นที่ ^[5]

ระบบพิกัดอื่น ๆ อีกมากมายได้รับการพัฒนาตั้งแต่ Descartes เช่นพิกัดเชิงขั้วสำหรับระนาบและพิกัดทรงกลมและทรงกระบอกสำหรับพื้นที่สามมิติ

มิติเดียว

การเลือกระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับช่องว่างมิติเดียวนั่นคือสำหรับเส้นตรงเกี่ยวข้องกับการเลือกจุดOของเส้น (จุดกำเนิด) หน่วยความยาวและการวางแนวของเส้น การวางแนวจะเลือกว่าครึ่งบรรทัดใดที่กำหนดโดยOคือค่าบวกและซึ่งเป็นค่าลบ จากนั้นเราจะบอกว่าเส้น "เป็นเชิง" (หรือ "จุด") จากครึ่งลบไปยังครึ่งบวก จากนั้นแต่ละจุดPของเส้นสามารถระบุได้โดยระยะทางจากโอถ่ายด้วย + หรือ - สัญญาณซึ่งขึ้นอยู่กับครึ่งหนึ่งเส้นมีP

สายด้วยระบบคาร์ทีเซียนได้รับการแต่งตั้งจะเรียกว่าเส้นจำนวน จำนวนจริงทุกตัวมีตำแหน่งที่ไม่ซ้ำกันในบรรทัด ในทางกลับกันทุกจุดบนเส้นสามารถตีความเป็นตัวเลขในลำดับต่อเนื่องเช่นจำนวนจริง

สองมิติ

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนในสองมิติ (เรียกอีกอย่างว่าระบบพิกัดสี่เหลี่ยมหรือระบบพิกัดมุมฉาก^[6] ) ถูกกำหนดโดยคู่ของเส้นตั้งฉาก (แกน) ตามลำดับความยาวหน่วยเดียวสำหรับทั้งสองแกนและการวางแนวสำหรับแต่ละแกน แกน. จุดที่แกนมาบรรจบกันเป็นจุดเริ่มต้นของทั้งสองจึงเปลี่ยนแกนแต่ละแกนให้เป็นเส้นจำนวน สำหรับจุดใด ๆPเส้นจะลากผ่านP ที่ตั้งฉากกับแต่ละแกนและตำแหน่งที่ตรงกับแกนจะถูกตีความเป็นตัวเลข ตัวเลขสองในการสั่งซื้อได้รับการคัดเลือกว่าเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของP โครงสร้างย้อนกลับช่วยให้สามารถกำหนดจุดP ที่กำหนดพิกัดได้

พิกัดครั้งแรกและครั้งที่สองเรียกว่าพิกัดและพิกัดของPตามลำดับ; และจุดที่แกนบรรจบกันเรียกว่าจุดกำเนิดของระบบพิกัด พิกัดมักจะเขียนเป็นตัวเลขสองในวงเล็บในลำดับที่คั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคในขณะที่(3, -10.5) ดังนั้นจุดเริ่มต้นมีพิกัด(0, 0)และจุดบนบวกครึ่งแกน, หน่วยหนึ่งอยู่ห่างจากแหล่งกำเนิดที่มีพิกัด(1, 0)และ(0, 1)

ในวิชาคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรรมแกนแรกมักกำหนดหรือแสดงเป็นแนวนอนและวางแนวไปทางขวาและแกนที่สองเป็นแนวตั้งและวางแนวขึ้น ( แต่ในบางคอมพิวเตอร์กราฟิกบริบทแกนประสานอาจจะมุ่งเน้นการลดลง.) ที่มามักจะมีป้ายOและทั้งสองพิกัดมักจะแสดงด้วยตัวอักษรXและYหรือxและy ที่ จากนั้นแกนอาจเรียกว่าX -axis และY -axis ตัวเลือกของตัวอักษรมาจากแบบแผนดั้งเดิมนั่นคือการใช้ส่วนหลังของตัวอักษรเพื่อระบุค่าที่ไม่รู้จัก ส่วนแรกของตัวอักษรถูกใช้เพื่อกำหนดค่าที่รู้จัก

เครื่องบินยุคลิดกับได้รับการแต่งตั้ง Cartesian ระบบพิกัดที่เรียกว่าเครื่องบินคาร์ทีเซียน . ในระนาบคาร์ทีเซียนเราสามารถกำหนดตัวแทนมาตรฐานของรูปเรขาคณิตบางอย่างเช่นวงกลมหน่วย(มีรัศมีเท่ากับหน่วยความยาวและจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด)สี่เหลี่ยมจัตุรัสของหน่วย(ซึ่งเส้นทแยงมุมมีจุดสิ้นสุดที่(0, 0)และ(1, 1))หน่วยไฮเพอร์โบลาและอื่น ๆ

แกนทั้งสองแบ่งระนาบออกเป็นมุมฉากสี่มุมเรียกว่าควอดแดรนท์ แนวทางอาจจะมีชื่อหรือหมายเลขในรูปแบบต่างๆ แต่วอดที่พิกัดทั้งหมดเป็นบวกมักจะเรียกว่าวอดแรก

ถ้าพิกัดของจุดที่มี( x , Y )แล้วของระยะทางจากXแกนและจากYแกนเป็น | y | และ | x | ตามลำดับ; ที่ไหน | ... | หมายถึงค่าสัมบูรณ์ของตัวเลข

สามมิติ

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติโดยมีจุดเริ่มต้น Oและเส้นแกน X , Yและ Zตามที่ลูกศรแสดง เครื่องหมายขีดบนแกนมีความยาวห่างกันหนึ่งหน่วย สีดำจุดแสดงให้เห็นจุดที่มีพิกัด x = 2 , Y = 3และ Z = 4หรือ (2, 3, 4)

ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับช่องว่างสามมิติประกอบด้วยเส้นสามเส้นที่เรียงลำดับ ( แกน ) ที่ผ่านจุดร่วม (จุดกำเนิด ) และเป็นคู่ที่ตั้งฉากกันอย่างชาญฉลาด การวางแนวสำหรับแต่ละแกน และความยาวหน่วยเดียวสำหรับทั้งสามแกน ในกรณีสองมิติแต่ละแกนจะกลายเป็นเส้นตัวเลข สำหรับจุดใด ๆของพื้นที่Pเราจะพิจารณาไฮเปอร์เพลนผ่านP ที่ตั้งฉากกับแกนพิกัดแต่ละแกนและตีความจุดที่ไฮเปอร์เพลนตัดแกนเป็นตัวเลข พิกัดคาร์ทีเซียนของPคือตัวเลขสามตัวนั้นตามลำดับที่เลือก โครงสร้างย้อนกลับกำหนดจุดP โดยกำหนดพิกัดสามจุด

หรืออีกวิธีหนึ่งคือแต่ละพิกัดของจุดPสามารถใช้เป็นระยะทางจากPถึงไฮเปอร์เพลนที่กำหนดโดยอีกสองแกนโดยมีเครื่องหมายกำหนดโดยการวางแนวของแกนที่เกี่ยวข้อง

คู่ของแกนแต่ละกำหนดประสานงานไฮเปอร์เพล hyperplanes เหล่านี้แบ่งพื้นที่ออกเป็นแปดtrihedraเรียกoctants

เลขฐานแปดคือ: | (+ x, + y, + z) | (-x, + y, + z) | (+ x, + y, -z) | (-x, + y, -z) | (+ x, -y, + z) | (-x, -y, + z) | (+ x, -y, -z) | (-x, -y, -z) |

พิกัดมักจะเขียนเป็นเลขสาม (หรือสูตรพีชคณิต) ล้อมรอบด้วยวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคในขณะที่(3, -2.5, 1)หรือ( T , U + V , π / 2) ดังนั้นจุดเริ่มต้นมีพิกัด(0, 0, 0)และจุดหน่วยในสามแกน(1, 0, 0) , (0, 1, 0)และ(0, 0, 1)

ไม่มีชื่อมาตรฐานสำหรับพิกัดในแกนทั้งสาม (อย่างไรก็ตามในบางครั้งจะใช้คำว่าabscissa , ordinateและapplicate ) พิกัดมักจะแสดงด้วยตัวอักษรX , YและZหรือX , YและZ จากนั้นแกนอาจเรียกว่าX -axis, Y -axis และZ -axis ตามลำดับ จากนั้นไฮเปอร์เพลนพิกัดสามารถเรียกได้ว่าXY -plane, YZ -plane และXZ -plane

ในบริบททางคณิตศาสตร์ฟิสิกส์และวิศวกรรมแกนสองแกนแรกมักถูกกำหนดหรือแสดงเป็นแนวนอนโดยแกนที่สามชี้ขึ้น ในกรณีที่สามประสานงานอาจจะเรียกว่าสูงหรือระดับความสูง มักจะเลือกการวางแนวเพื่อให้มุม 90 องศาจากแกนแรกไปยังแกนที่สองดูทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากจุด(0, 0, 1) ; การประชุมที่เรียกว่าปกติกฎขวามือ

ประสานงานพื้นผิวของ Cartesian พิกัด ( x , Y , Z ) Zแกนอยู่ในแนวตั้งและ xแกนเป็นไฮไลต์สีเขียว ดังนั้นการแสดงไฮเปอร์เพลแดงจุดที่มี x = 1 , แสดงให้เห็นว่าไฮเปอร์เพลสีฟ้าจุดที่มี Z = 1และแสดงให้เห็นว่าไฮเปอร์เพลสีเหลืองจุดที่มี Y = -1 พื้นผิวทั้งสามตัดกันที่จุด P (แสดงเป็นทรงกลมสีดำ) ด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน (1, −1, 1 )

ขนาดที่สูงขึ้น

ตั้งแต่พิกัดคาร์ทีเซียนจะไม่ซ้ำกันและไม่คลุมเครือจุดที่เครื่องบินคาร์ทีเซียนสามารถระบุกับคู่ของตัวเลขจริง ; ที่มาพร้อมกับผลิตภัณฑ์คาร์ทีเซียน ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2} = \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R}}$, ที่ไหน ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ในทำนองเดียวกันจุดในสเปซของมิติยุคลิดใด ๆnจะถูกระบุด้วยทูเปิล (รายการ) ของจำนวนจริงnนั่นคือด้วยผลคูณคาร์ทีเซียน${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$.

ลักษณะทั่วไป

แนวคิดของพิกัดคาร์ทีเซียนเป็นการสรุปเพื่อให้แกนที่ไม่ตั้งฉากซึ่งกันและกันและ / หรือหน่วยที่แตกต่างกันในแต่ละแกน ในกรณีนี้แต่ละพิกัดจะได้รับโดยการฉายจุดไปยังแกนหนึ่งตามทิศทางที่ขนานกับแกนอีกแกนหนึ่ง (หรือโดยทั่วไปกับไฮเปอร์เพลนที่กำหนดโดยแกนอื่น ๆ ทั้งหมด) ในระบบพิกัดแนวเฉียงเช่นนี้การคำนวณระยะทางและมุมจะต้องได้รับการแก้ไขจากค่านั้นในระบบคาร์ทีเซียนมาตรฐานและสูตรมาตรฐานจำนวนมาก (เช่นสูตรพีทาโกรัสสำหรับระยะทาง) จะไม่ถือ (ดูระนาบเดียวกัน )

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดมักจะเขียนในวงเล็บและคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาคในขณะที่(10, 5)หรือ(3, 5, 7) ที่มามักจะมีป้ายที่มีตัวอักษรO ในเรขาคณิตวิเคราะห์พิกัดที่ไม่รู้จักหรือพิกัดทั่วไปมักแสดงด้วยตัวอักษร ( x , y ) ในระนาบและ ( x , y , z ) ในปริภูมิสามมิติ ประเพณีนี้มาจากรูปแบบของพีชคณิตซึ่งใช้ตัวอักษรที่อยู่ใกล้ท้ายตัวอักษรสำหรับค่าที่ไม่รู้จัก (เช่นพิกัดของจุดในปัญหาทางเรขาคณิตจำนวนมาก) และตัวอักษรที่อยู่ใกล้จุดเริ่มต้นสำหรับปริมาณที่กำหนด

ชื่อสามัญเหล่านี้มักใช้ในโดเมนอื่นเช่นฟิสิกส์และวิศวกรรมแม้ว่าอาจใช้ตัวอักษรอื่น ยกตัวอย่างเช่นในการแสดงกราฟวิธีการที่ความดันแตกต่างกับเวลาพิกัดกราฟอาจแสดงหน้าและเสื้อ แต่ละแกนมักจะตั้งชื่อตามพิกัดที่วัดตามนั้น ดังนั้นหนึ่งกล่าวว่าแกน xที่แกน yที่เสื้อแกนฯลฯ

หลักการทั่วไปอีกประการหนึ่งสำหรับการตั้งชื่อพิกัดคือการใช้ตัวห้อยเช่น ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) สำหรับพิกัดnในช่องว่างnมิติโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อnมีค่ามากกว่า 3 หรือไม่ได้ระบุ ผู้เขียนบางคนชอบการกำหนดหมายเลข ( x ₀ , x ₁ , ... , x _{n −1} ) สัญกรณ์เหล่านี้เป็นประโยชน์อย่างยิ่งในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ : โดยการจัดเก็บพิกัดของจุดเป็นอาร์เรย์แทนที่จะเป็นเรกคอร์ดตัวห้อยสามารถทำหน้าที่จัดทำดัชนีพิกัดได้

ในภาพประกอบทางคณิตศาสตร์ของระบบคาร์ทีเซียนสองมิติพิกัดแรก (ตามปกติเรียกว่าabscissa ) จะถูกวัดตามแกนแนวนอนโดยวางจากซ้ายไปขวา ที่สองพิกัด (คนบรรพชา ) เป็นวัดแล้วไปตามแนวแกนมักจะมุ่งเน้นจากด้านล่างสู่ด้านบน เด็กเล็กที่เรียนรู้ระบบคาร์ทีเซียนมักจะเรียนรู้ลำดับการอ่านค่าก่อนที่จะรวมแนวคิดx -, y - และz - แกนเข้าด้วยกันโดยเริ่มจากการจำ 2 มิติ (เช่น 'เดินไปตามห้องโถงแล้วขึ้นบันได' คล้ายกับตรง ข้ามแกนxแล้วขึ้นในแนวตั้งตามแกนy ) ^[7]

อย่างไรก็ตามคอมพิวเตอร์กราฟิกและการประมวลผลภาพมักใช้ระบบพิกัดที่มีแกนyที่วางลงบนจอแสดงผลคอมพิวเตอร์ การประชุมนี้ได้รับการพัฒนาในปี 1960 (หรือก่อนหน้า) จากวิธีการที่ภาพถูกเก็บไว้เดิมในบัฟเฟอร์การแสดงผล

สำหรับระบบสามมิติหลักการคือการวาดภาพxy -plane ในแนวนอนโดยเพิ่มแกนzเพื่อแทนความสูง (บวกขึ้น) นอกจากนี้ยังมีแบบแผนในการปรับแนวแกนxเข้าหาผู้ชมโดยจะเอนเอียงไปทางขวาหรือซ้าย หากแผนภาพ (การฉายภาพ 3 มิติหรือภาพวาดมุมมอง 2 มิติ ) แสดงแกนxและy ในแนวนอนและแนวตั้งตามลำดับแกนzควรจะแสดงโดยชี้ "ออกจากหน้า" ไปทางมุมมองหรือกล้อง เช่นในแผนภาพ 2D ของระบบ 3D ประสานงานที่Zแกนจะปรากฏเป็นเส้นหรือเรย์ชี้ลงและไปทางซ้ายหรือลงและไปทางขวาขึ้นอยู่กับมุมมองสันนิษฐานหรือกล้องมุมมอง ในแผนภาพหรือจอแสดงผลใด ๆ การวางแนวของแกนทั้งสามโดยรวมเป็นไปตามอำเภอใจ อย่างไรก็ตามการวางแนวแกนที่สัมพันธ์กันควรเป็นไปตามกฎมือขวาเสมอเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่นโดยเฉพาะ กฎทางฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ทั้งหมดถือว่าเป็นคนถนัดขวาซึ่งทำให้มั่นใจได้ว่ามีความสม่ำเสมอ

สำหรับแผนภาพ 3 มิติมักใช้ชื่อ "abscissa" และ "ordinate" สำหรับxและyตามลำดับ เมื่อพวกเขาเป็นZประสานงานบางครั้งเรียกว่าapplicate คำว่าabscissa , ordinateและapplicateบางครั้งใช้เพื่ออ้างถึงแกนพิกัดมากกว่าค่าพิกัด ^[6]

ควอดแดรนท์และอ็อกเทนต์

สี่ส่วนของระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

แกนของระบบคาร์ทีเซียนสองมิติแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วนที่ไม่มีที่สิ้นสุดเรียกว่าควอดแรนต์^[6]แต่ละแกนล้อมรอบด้วยแกนครึ่งสองแกน สิ่งเหล่านี้มักจะมีหมายเลขตั้งแต่ 1 ถึง 4 และแสดงด้วยตัวเลขโรมัน : I (โดยที่สัญลักษณ์ของพิกัดทั้งสองคือ I (+, +), II (-, +), III (-, -) และ IV (+, -) เมื่อแกนถูกวาดตามที่กำหนดเองทางคณิตศาสตร์การกำหนดหมายเลขจะหมุนทวนเข็มนาฬิกาโดยเริ่มจากด้านขวาบน ("ทิศตะวันออกเฉียงเหนือ") จตุภาค

ในทำนองเดียวกันระบบคาร์ทีเซียนสามมิติกำหนดการแบ่งพื้นที่ออกเป็นแปดส่วนหรืออ็อกแทนต์^[6]ตามสัญญาณของพิกัดของจุด การประชุมที่ใช้สำหรับการตั้งชื่อ octant เฉพาะคือการแสดงรายการสัญญาณของมันเช่น(+ + +)หรือ(- + -) การวางนัยทั่วไปของกำลังสองและฐานแปดเป็นจำนวนมิติโดยพลการคือออร์ธานต์และใช้ระบบการตั้งชื่อที่คล้ายกัน

ระยะห่างระหว่างสองจุด

ระยะทางยุคลิดระหว่างจุดสองจุดของเครื่องบินด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$ และ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$ คือ

${\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2}}}.}$

นี้เป็นรุ่นคาร์ทีเซียนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสของ ในปริภูมิสามมิติระยะห่างระหว่างจุด${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ และ ${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2}, z_ {2})}$ คือ

${\ displaystyle d = {\ sqrt {(x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} + (y_ {2} -y_ {1}) ^ {2} + (z_ {2} -z_ {1 }) ^ {2}}},}$

ซึ่งสามารถหาได้จากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของพีทาโกรัสสองครั้งติดต่อกัน ^[8]

การเปลี่ยนแปลงแบบยุคลิด

การเปลี่ยนแปลงแบบยุคลิดหรือการเคลื่อนไหวแบบยุคลิดคือการแมปจุดของระนาบแบบยุคลิด ( bijective ) กับตัวมันเองซึ่งรักษาระยะห่างระหว่างจุดไว้ : มีสี่ประเภทของแมปเหล่านี้ (หรือที่เรียกว่า isometries) เป็นคำแปล , การหมุน , การสะท้อนความเห็นและสะท้อนร่อน ^[9]

การแปล

การแปลชุดของจุดของเครื่องบินโดยรักษาระยะทางและทิศทางระหว่างพวกเขาจะเทียบเท่ากับการเพิ่มคู่ของตัวเลขคงที่( a , b )ไปยังพิกัดคาร์ทีเซียนของทุกจุดในชุดนั้น นั่นคือถ้าพิกัดดั้งเดิมของจุดคือ( x , y )หลังจากการแปลจะเป็น

${\ displaystyle (x ', y') = (x + a, y + b).}$

การหมุน

ในการหมุนรูปทวนเข็มนาฬิการอบจุดเริ่มต้นด้วยมุมบางมุม${\ displaystyle \ theta}$เทียบเท่ากับการแทนที่ทุกจุดด้วยพิกัด ( x , y ) ด้วยจุดที่มีพิกัด ( x ' , y' ) โดยที่

${\ displaystyle x '= x \ cos \ theta -y \ sin \ theta}$

${\ displaystyle y '= x \ sin \ theta + y \ cos \ theta.}$

ด้วยประการฉะนี้:

${\ displaystyle (x ', y') = ((x \ cos \ theta -y \ sin \ theta \,), (x \ sin \ theta + y \ cos \ theta \,))}$

การสะท้อน

ถ้า( x , y )เป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดดังนั้น(- x , y )คือพิกัดของการสะท้อนข้ามแกนพิกัดที่สอง (แกน y) ราวกับว่าเส้นนั้นเป็นกระจก ในทำนองเดียวกัน( x , - y )คือพิกัดของการสะท้อนบนแกนพิกัดแรก (แกน x) โดยทั่วไปแล้วการสะท้อนข้ามเส้นผ่านจุดกำเนิดทำมุม${\ displaystyle \ theta}$ด้วยแกน x เทียบเท่ากับการแทนที่ทุกจุดด้วยพิกัด( x , y )ด้วยจุดที่มีพิกัด( x ′, y ′)โดยที่

${\ displaystyle x '= x \ cos 2 \ theta + y \ sin 2 \ theta}$

${\ displaystyle y '= x \ sin 2 \ theta -y \ cos 2 \ theta.}$

ด้วยประการฉะนี้: ${\ displaystyle (x ', y') = ((x \ cos 2 \ theta + y \ sin 2 \ theta \,), (x \ sin 2 \ theta -y \ cos 2 \ theta \,))}$

เงาสะท้อน

การสะท้อนแบบเหินคือองค์ประกอบของการสะท้อนข้ามเส้นตามด้วยการแปลในทิศทางของเส้นนั้น จะเห็นได้ว่าลำดับของการดำเนินการเหล่านี้ไม่สำคัญ (การแปลสามารถมาก่อนตามด้วยการสะท้อนกลับ)

รูปแบบเมทริกซ์ทั่วไปของการแปลง

การเปลี่ยนแปลง Affineทั้งหมดของเครื่องบินสามารถอธิบายได้อย่างสม่ำเสมอโดยใช้เมทริกซ์ เพื่อจุดประสงค์นี้พิกัด${\ displaystyle (x, y)}$ของจุดมักจะแสดงเป็นเมทริกซ์ของคอลัมน์ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}}$ ผลลัพธ์ ${\ displaystyle (x ', y')}$ ของการนำการเปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์ไปใช้กับจุดหนึ่ง ${\ displaystyle (x, y)}$ ได้รับจากสูตร

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \ end {pmatrix}} = A {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} + b,}$

ที่ไหน

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} A_ {1,1} & A_ {1,2} \\ A_ {2,1} & A_ {2,2} \ end {pmatrix}}}$

คือเมทริกซ์ 2 × 2 และ${\ displaystyle b = {\ begin {pmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {pmatrix}}}$คือเมทริกซ์คอลัมน์ ^[10]นั่นคือ

${\ displaystyle x '= xA_ {1,1} + yA_ {1,1} + b_ {1}}$

${\ displaystyle y '= xA_ {2,1} + yA_ {2,2} + b_ {2}.}$

ในบรรดาการแปลงแบบ Affine การแปลงแบบยูคลิดนั้นมีลักษณะเฉพาะด้วยความจริงที่ว่าเมทริกซ์${\ displaystyle A}$เป็นมุมฉากนั่นคือคอลัมน์ของมันเป็นเวกเตอร์มุมฉากของบรรทัดฐานแบบยุคลิดหรืออย่างชัดเจน

${\ displaystyle A_ {1,1} A_ {1,2} + A_ {2,1} A_ {2,2} = 0}$

และ

${\ displaystyle A_ {1,1} ^ {2} + A_ {2,1} ^ {2} = A_ {1,2} ^ {2} + A_ {2,2} ^ {2} = 1.}$

นี้จะเทียบเท่ากับบอกว่าครั้งของtransposeเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ หากเงื่อนไขเหล่านี้ไม่ถือสูตรอธิบายทั่วไปมากขึ้นการเปลี่ยนแปลงเลียนแบบ

การเปลี่ยนแปลงคือการแปลและถ้าหาก เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ การเปลี่ยนแปลงคือการหมุนรอบจุดบางจุดถ้าAเป็นเมทริกซ์การหมุนหมายความว่ามันเป็นมุมฉากและ

${\ displaystyle A_ {1,1} A_ {2,2} -A_ {2,1} A_ {1,2} = 1.}$

การสะท้อนกลับหรือการสะท้อนแสงจะได้รับเมื่อ

${\ displaystyle A_ {1,1} A_ {2,2} -A_ {2,1} A_ {1,2} = - 1.}$

สมมติว่าไม่ได้ใช้คำแปล (นั่นคือ ${\ displaystyle b_ {1} = b_ {2} = 0}$) การแปลงสามารถประกอบได้โดยการคูณเมทริกซ์การแปลงที่เกี่ยวข้อง ในกรณีทั่วไปการใช้เมทริกซ์เสริมของการแปลงจะมีประโยชน์นั่นคือเพื่อทบทวนสูตรการแปลงใหม่

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ 1 \ end {pmatrix}} = A '{\ begin {pmatrix} x \\ y \\ 1 \ end {pmatrix}},}$

ที่ไหน

${\ displaystyle A '= {\ begin {pmatrix} A_ {1,1} & A_ {1,2} & b_ {1} \\ A_ {2,1} & A_ {2,2} & b_ {2} \\ 0 & 0 & 1 \ จบ {pmatrix}}}$

ด้วยเคล็ดลับนี้องค์ประกอบของการแปลงความสัมพันธ์จะได้รับโดยการคูณเมทริกซ์เสริม

การเปลี่ยนแปลงของ Affine

ผลของการใช้เมทริกซ์การแปลงคอนฟิน 2 มิติต่างๆบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย (การสะท้อนเป็นกรณีพิเศษของการปรับขนาด)

การเปลี่ยนแปลงของเครื่องบินแบบยุคลิดคือการเปลี่ยนแปลงที่จับคู่เส้นเป็นเส้น แต่อาจเปลี่ยนระยะทางและมุมได้ ดังที่ได้กล่าวไว้ในส่วนก่อนหน้าพวกเขาสามารถแสดงด้วยเมทริกซ์เสริม:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} A_ {1,1} & A_ {2,1} & b_ {1} \\ A_ {1,2} & A_ {2,2} & b_ {2} \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} x \\ y \\ 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x '\\ y' \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

การแปลงแบบยูคลิดเป็นการแปลงแบบ Affine เช่นเมทริกซ์ 2 × 2 ของ ${\ displaystyle A_ {i, j}}$เป็นมุมฉาก

เมทริกซ์เสริมที่แสดงถึงองค์ประกอบของการแปลงความสัมพันธ์สองรูปแบบนั้นหาได้จากการคูณเมทริกซ์เสริมของพวกมัน

การเปลี่ยนแปลงบางอย่างที่ไม่ใช่การเปลี่ยนแปลงแบบยุคลิดได้รับชื่อเฉพาะ

การปรับขนาด

ตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงของความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่แบบยุคลิดจะได้รับจากการปรับขนาด ที่จะทำให้รูปขนาดใหญ่หรือเล็กจะเทียบเท่ากับการคูณพิกัดคาร์ทีเซียนของทุกจุดโดยเดียวกันบวกจำนวนม ถ้า( x , y )เป็นพิกัดของจุดบนรูปต้นฉบับจุดที่สอดคล้องกันบนรูปที่ปรับขนาดจะมีพิกัด

${\ displaystyle (x ', y') = (mx, ของฉัน)}$

ถ้าmมากกว่า 1 ตัวเลขจะใหญ่ขึ้น ถ้าmอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 มันจะเล็กลง

การตัด

การแปลงแบบเฉือนจะดันด้านบนของสี่เหลี่ยมไปด้านข้างเพื่อสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การตัดแนวนอนถูกกำหนดโดย:

${\ displaystyle (x ', y') = (x + ys, y)}$

นอกจากนี้ยังสามารถใช้การตัดในแนวตั้งได้:

${\ displaystyle (x ', y') = (x, xs + y)}$

ในสองมิติ

กฎขวามือ

การแก้ไขหรือเลือกแกนxจะกำหนดแกนyตามทิศทาง กล่าวคือแกนyจำเป็นต้องตั้งฉากกับแกนxผ่านจุดที่ทำเครื่องหมาย 0 บนแกนx แต่มีให้เลือกว่าเส้นครึ่งสองเส้นตั้งฉากกับเส้นไหนเป็นบวกและเส้นไหนเป็นลบ แต่ละตัวเลือกทั้งสองนี้กำหนดทิศทางที่แตกต่างกัน (เรียกอีกอย่างว่าความถนัด ) ของระนาบคาร์ทีเซียน

วิธีการจัดแนวระนาบตามปกติโดยให้แกนxบวกชี้ไปทางขวาและแกนy ที่เป็นบวกชี้ขึ้น (และแกนxเป็น "ตัวแรก" และแกนy - แกน "ที่สอง") ถือเป็นการวางแนวบวกหรือมาตรฐานเรียกอีกอย่างว่าการวางแนวถนัดขวา

ที่ใช้กันทั่วไปความจำสำหรับการกำหนดทิศทางที่เป็นบวกเป็นกฎขวามือ วางมือขวาที่ค่อนข้างปิดบนระนาบโดยให้นิ้วหัวแม่มือชี้ขึ้นนิ้วชี้จากแกนxไปยังแกนyในระบบพิกัดเชิงบวก

อีกวิธีหนึ่งในการวางแนวระนาบคือทำตามกฎมือซ้ายวางมือซ้ายบนเครื่องบินโดยให้นิ้วหัวแม่มือชี้ขึ้น

เมื่อชี้นิ้วหัวแม่มือออกจากจุดเริ่มต้นตามแนวแกนไปทางบวกความโค้งของนิ้วจะบ่งบอกถึงการหมุนที่เป็นบวกตามแกนนั้น

ไม่ว่ากฎที่ใช้ในการวางแนวระนาบจะเป็นอย่างไรการหมุนระบบพิกัดจะรักษาการวางแนวไว้ การสลับสองแกนใด ๆ จะทำให้การวางแนวกลับกัน แต่การสลับทั้งสองจะทำให้การวางแนวไม่เปลี่ยนแปลง

ในสามมิติ

รูปที่ 7 - การวางแนวของคนถนัดซ้ายจะแสดงทางซ้ายและทางขวาจะอยู่ทางขวา

รูปที่ 8 - ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนทางขวาที่ระบุระนาบพิกัด

เมื่อระบุx - และy -ax แล้วพวกเขาจะกำหนดเส้นที่แกนzควรนอน แต่มีการวางแนวที่เป็นไปได้สองแนวสำหรับบรรทัดนี้ ระบบพิกัดที่เป็นไปได้สองระบบซึ่งผลลัพธ์เรียกว่า 'มือขวา' และ 'มือซ้าย' การวางแนวมาตรฐานที่XYเครื่องบินอยู่ในแนวนอนและZแกนจุดขึ้นไป (และx - และYแกนในรูปแบบเชิงบวกระบบพิกัดสองมิติในXYเครื่องบินถ้าสังเกตได้จากข้างต้นXYเครื่องบิน ) เรียกว่าขวามือหรือในเชิงบวก

ความถนัดมือประสานงานคาร์ทีเซียน 3 มิติ

ชื่อที่เกิดจากกฎขวามือ หากนิ้วชี้ของมือขวาชี้ไปข้างหน้านิ้วกลางจะงอเข้าด้านในเป็นมุมฉากและนิ้วหัวแม่มือวางไว้ที่มุมฉากทั้งสองนิ้วทั้งสามนิ้วแสดงถึงการวางแนวสัมพันธ์ของx -, y -, และz -axes ในระบบมือขวา นิ้วหัวแม่มือระบุแกนxนิ้วชี้แกนyและนิ้วกลางเป็นแกนz ในทางกลับกันถ้าทำเช่นเดียวกันกับมือซ้ายระบบที่ถนัดซ้ายจะส่งผล

รูปที่ 7 แสดงระบบพิกัดซ้ายและขวา เนื่องจากวัตถุสามมิติถูกแสดงบนหน้าจอสองมิติผลการบิดเบือนและความคลุมเครือ แกนที่ชี้ลง (และไปทางขวา) ยังหมายถึงการชี้ไปที่ผู้สังเกตในขณะที่แกน "ตรงกลาง" หมายถึงการชี้ให้ห่างจากผู้สังเกต วงกลมสีแดงขนานกับxy -plane แนวนอนและแสดงการหมุนจากแกนxไปยังแกนy (ในทั้งสองกรณี) ดังนั้นลูกศรสีแดงผ่านในด้านหน้าของZแกน

รูปที่ 8 เป็นความพยายามอีกครั้งในการแสดงระบบพิกัดทางขวา อีกครั้งมีความคลุมเครือที่เกิดจากการฉายระบบพิกัดสามมิติเข้าไปในระนาบ ผู้สังเกตการณ์หลายคนมองว่ารูปที่ 8 "พลิกเข้าออก" ระหว่างลูกบาศก์นูนกับ"มุม" ที่เว้า สิ่งนี้สอดคล้องกับสองทิศทางที่เป็นไปได้ของพื้นที่ การเห็นรูปนูนจะให้ระบบพิกัดทางซ้าย ดังนั้นวิธีที่ "ถูกต้อง" ในการดูรูปที่ 8 คือการจินตนาการถึงแกนxที่ชี้ไปทางผู้สังเกตและทำให้เห็นมุมเว้า

จุดในอวกาศในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนอาจแสดงด้วยเวกเตอร์ตำแหน่งซึ่งสามารถคิดได้ว่าเป็นลูกศรที่ชี้จากจุดเริ่มต้นของระบบพิกัดไปยังจุด ^[11]ถ้าพิกัดแสดงถึงตำแหน่งเชิงพื้นที่ (การกระจัด) เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงเวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุดสนใจเป็น${\ displaystyle \ mathbf {r}}$. ในสองมิติเวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y) สามารถเขียนเป็น:

${\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j},}$

ที่ไหน ${\ displaystyle \ mathbf {i} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}}$ และ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$คือเวกเตอร์หน่วยในทิศทางของแกนxและแกนyตามลำดับโดยทั่วไปเรียกว่าพื้นฐานมาตรฐาน (ในบางพื้นที่การใช้งานอาจเรียกว่าVersors ) ในทำนองเดียวกันในสามมิติเวกเตอร์จากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัดคาร์ทีเซียน${\ displaystyle (x, y, z)}$สามารถเขียนเป็น: ^[12]

${\ displaystyle \ mathbf {r} = x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k},}$

ที่ไหน ${\ displaystyle \ mathbf {i} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}},}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}},}$ และ ${\ displaystyle \ mathbf {k} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}}}$

ไม่มีการตีความตามธรรมชาติของเวกเตอร์การคูณเพื่อให้ได้เวกเตอร์อื่นที่ทำงานได้ในทุกมิติอย่างไรก็ตามมีวิธีการใช้จำนวนเชิงซ้อนเพื่อให้การคูณดังกล่าว ในระนาบคาร์ทีเซียนสองมิติระบุจุดพิกัด( x , Y )ที่มีจำนวนซับซ้อนZ = x + IY ในที่นี้ฉันคือหน่วยจินตภาพและถูกระบุด้วยจุดที่มีพิกัด(0, 1)ดังนั้นจึงไม่ใช่เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของx -axis เนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนสามารถคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนอื่นได้การระบุนี้จึงให้ความหมายในการ "คูณ" เวกเตอร์ ในพื้นที่คาร์ทีเซียนสามมิติบัตรประจำตัวที่คล้ายกันสามารถทำด้วยส่วนย่อยของที่quaternions

พิกัดคาร์ทีเซียนเป็นนามธรรมที่มีแอพพลิเคชั่นที่เป็นไปได้มากมายในโลกแห่งความเป็นจริง อย่างไรก็ตามขั้นตอนที่สร้างสรรค์สามขั้นตอนเกี่ยวข้องกับการซ้อนพิกัดบนแอปพลิเคชันที่มีปัญหา 1) หน่วยของระยะทางจะต้องตัดสินใจกำหนดขนาดเชิงพื้นที่ที่แสดงด้วยตัวเลขที่ใช้เป็นพิกัด 2) ต้องกำหนดจุดกำเนิดให้กับตำแหน่งหรือจุดสังเกตเชิงพื้นที่ที่เฉพาะเจาะจงและ 3) การวางแนวของแกนจะต้องกำหนดโดยใช้ตัวชี้นำทิศทางที่มีอยู่สำหรับทุกแกนยกเว้นแกนเดียว

พิจารณาเป็นตัวอย่างการซ้อนพิกัดคาร์ทีเซียน 3 มิติเหนือทุกจุดบนโลก (เช่น 3 มิติเชิงพื้นที่) หน่วยใดที่เหมาะสม? กิโลเมตรเป็นทางเลือกที่ดีเนื่องจากคำจำกัดความดั้งเดิมของกิโลเมตรคือเชิงพื้นที่ - 10,000 กิโลเมตรเท่ากับระยะทางพื้นผิวจากเส้นศูนย์สูตรถึงขั้วโลกเหนือ จะวางที่มาที่ไปอย่างไร? ตามความสมมาตรศูนย์กลางความโน้มถ่วงของโลกแสดงให้เห็นจุดสังเกตตามธรรมชาติ (ซึ่งสามารถรับรู้ได้ผ่านวงโคจรของดาวเทียม) สุดท้ายจะวางแนวแกน X-, Y- และ Z ได้อย่างไร? แกนของการหมุนของโลกมีการวางแนวตามธรรมชาติที่สัมพันธ์อย่างมากกับ "ขึ้นกับลง" ดังนั้น Z เชิงบวกจึงสามารถใช้ทิศทางจากศูนย์กลางทางภูมิศาสตร์ไปยังขั้วโลกเหนือ จำเป็นต้องมีตำแหน่งบนเส้นศูนย์สูตรเพื่อกำหนดแกน X และเส้นเมริเดียนไพรม์จะโดดเด่นเป็นแนวอ้างอิงดังนั้นแกน X จึงวางแนวจากศูนย์ภูมิศาสตร์ออกไปที่ลองจิจูด 0 องศาและละติจูด 0 องศา โปรดทราบว่าด้วยสามมิติและการวางแนวแกนตั้งฉากสองอันที่ตรึงไว้สำหรับ X และ Z แกน Y จะถูกกำหนดโดยสองตัวเลือกแรก เพื่อให้เป็นไปตามกฎมือขวาแกน Y จะต้องชี้ออกจากศูนย์กลางไปยังลองจิจูด 90 องศา, ละติจูด 0 องศา พิกัดภูมิศาสตร์ของตึกเอ็มไพร์สเตทในนิวยอร์กซิตี้คืออะไร? จากลองจิจูด −73.985656 องศาละติจูด 40.748433 องศาและรัศมีโลก 40,000 / 2πกม. และการเปลี่ยนจากทรงกลมเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนคุณสามารถประมาณพิกัดภูมิศาสตร์กลางของตึกเอ็มไพร์สเตทได้ ( x , y , z ) = (1330.53 กม., –4635.75 กม., 4155.46 กม.). การนำทางด้วย GPS อาศัยพิกัดทางภูมิศาสตร์ดังกล่าว

ในโครงการวิศวกรรมข้อตกลงเกี่ยวกับความหมายของพิกัดเป็นรากฐานที่สำคัญ เราไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่าพิกัดนั้นถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าสำหรับแอปพลิเคชันใหม่ดังนั้นความรู้เกี่ยวกับวิธีการสร้างระบบพิกัดโดยที่ไม่มีอะไรสำคัญในการใช้ความคิดของRené Descartes

ในขณะที่แอปพลิเคชันเชิงพื้นที่ใช้หน่วยที่เหมือนกันในทุกแกนในการใช้งานทางธุรกิจและทางวิทยาศาสตร์แกนแต่ละแกนอาจมีหน่วยวัดที่แตกต่างกัน(เช่นกิโลกรัมวินาทีปอนด์ ฯลฯ ) แม้ว่าช่องว่างสี่มิติและมิติที่สูงกว่าจะมองเห็นได้ยาก แต่พีชคณิตของพิกัดคาร์ทีเซียนสามารถขยายได้ค่อนข้างง่ายถึงสี่ตัวแปรขึ้นไปดังนั้นการคำนวณบางอย่างที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรหลายตัวสามารถทำได้ (ส่วนขยายพีชคณิตประเภทนี้เป็นสิ่งที่ใช้ในการกำหนดรูปทรงเรขาคณิตของช่องว่างมิติที่สูงกว่า) ในทางกลับกันการใช้เรขาคณิตของพิกัดคาร์ทีเซียนในสองหรือสามมิติมักจะเป็นประโยชน์เพื่อแสดงภาพความสัมพันธ์ทางพีชคณิตระหว่างสองหรือสามของจำนวนมากที่ไม่ใช่ - ตัวแปรเชิงพื้นที่

กราฟของฟังก์ชั่นหรือความสัมพันธ์เป็นชุดของทุกจุดที่น่าพอใจว่าการทำงานหรือความสัมพันธ์ สำหรับการทำงานของหนึ่งตัวแปรที่ฉชุดของทุกจุด( x , Y )ที่Y = F ( x )คือกราฟของฟังก์ชันฉ สำหรับฟังก์ชั่นกรัมของตัวแปรทั้งสองชุดของทุกจุด( x , Y , Z )ที่Z = กรัม ( x , Y )คือกราฟของฟังก์ชั่นกรัม ภาพร่างของกราฟของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ดังกล่าวจะประกอบด้วยส่วนสำคัญทั้งหมดของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ซึ่งจะรวมถึงส่วนขยายสัมพัทธ์ความเว้าและจุดของการเบี่ยงเบนจุดใด ๆ ของความไม่ต่อเนื่องและพฤติกรรมการสิ้นสุดของมัน คำศัพท์ทั้งหมดนี้มีคำจำกัดความอย่างครบถ้วนในแคลคูลัส กราฟดังกล่าวมีประโยชน์ในแคลคูลัสเพื่อทำความเข้าใจธรรมชาติและพฤติกรรมของฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์

• แนวนอนและแนวตั้ง
• แผนภาพโจนส์ซึ่งพล็อตตัวแปรสี่ตัวแทนที่จะเป็นสอง
• พิกัดมุมฉาก
• ระบบพิกัดเชิงขั้ว
• ตารางปกติ
• ระบบพิกัดทรงกลม

• บรานแนน, เดวิดเอ; เอสเปลนแมทธิวเอฟ; เกรย์เจเรมีเจ (1998) เรขาคณิตเคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ISBN 978-0-521-59787-6
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics / An Introduction (7th ed.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6
• Smart, James R. (1998), รูปทรงเรขาคณิตสมัยใหม่ (ฉบับที่ 5), Pacific Grove: Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-35188-5

• เดส์การ์ตส์เรอเน (2544). วาทกรรมเกี่ยวกับวิธีทัศนศาสตร์เรขาคณิตและอุตุนิยมวิทยา . แปลโดย Paul J. Indianapolis, IN: สำนักพิมพ์ Hackett ISBN 978-0-87220-567-3. OCLC  488633510 .
• Korn GA, Korn TM (2504). คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกร (ฉบับที่ 1) นิวยอร์ก: McGraw-Hill ได้ pp.  55-79 LCCN  59-14456 OCLC  19959906 .
• Margenau H , Murphy GM (1956) คณิตศาสตร์ฟิสิกส์และเคมี นิวยอร์ก: D. van Nostrand LCCN  55-10911
• Moon P, Spencer DE (1988). "พิกัดสี่เหลี่ยม (x, y, z)" คู่มือทฤษฎีภาคสนามรวมถึงระบบพิกัดสมการเชิงอนุพันธ์และแนวทางแก้ไข (แก้ไขพิมพ์ครั้งที่ 2, 3) นิวยอร์ก: Springer-Verlag หน้า 9–11 (ตารางที่ 1.01) ISBN 978-0-387-18430-2.
• มอร์ส PM , Feshbach H (1953). วิธีการของฟิสิกส์เชิงทฤษฎีตอนที่ 1 นิวยอร์ก: McGraw-Hill ISBN 978-0-07-043316-8. LCCN  52-11515
• Sauer R, Szabó I (1967) Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs นิวยอร์ก: Springer Verlag LCCN  67-25285

• ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
• คำอธิบาย MathWorld ของพิกัดคาร์ทีเซียน
• Coordinate Converter - แปลงระหว่างพิกัดเชิงขั้วคาร์ทีเซียนและทรงกลม
• พิกัดของจุดเครื่องมือโต้ตอบเพื่อสำรวจพิกัดของจุด
• คลาส JavaScript โอเพ่นซอร์สสำหรับการจัดการระบบพิกัดคาร์ทีเซียน 2D / 3D