bijection

สำหรับการจับคู่ระหว่างXและY (โดยที่Yไม่จำเป็นต้องแตกต่างจากX ) เพื่อเป็น bijection ต้องมีคุณสมบัติสี่ประการ:

1. องค์ประกอบของแต่ละXต้องจับคู่กับอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบของY ,
2. องค์ประกอบของการไม่มีXอาจจะจับคู่กับองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งของY ,
3. แต่ละองค์ประกอบของYต้องจับคู่กับXอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบและ
4. ไม่มีองค์ประกอบของYอาจจะจับคู่กับองค์ประกอบมากกว่าหนึ่งของX

คุณสมบัติความพึงพอใจ (1) และ (2) หมายความว่าการจับคู่เป็นฟังก์ชั่นที่มีประสิทธิภาพ X มันเป็นธรรมดาที่จะเห็นคุณสมบัติ (1) และ (2) เขียนเป็นคำเดียว: องค์ประกอบของทุกXถูกจับคู่กับว่าองค์ประกอบหนึ่งของY ฟังก์ชันที่ตอบสนองคุณสมบัติ (3) ถูกกล่าวว่า " เข้าสู่ Y " และเรียกว่าsurjections (หรือฟังก์ชัน surjective ) ฟังก์ชันที่ตอบสนองคุณสมบัติ (4) ถูกกล่าวว่าเป็น " ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง " และเรียกว่าการฉีด (หรือฟังก์ชันแบบฉีด ) ^[3]ด้วยคำศัพท์นี้ bijection คือฟังก์ชันที่เป็นได้ทั้งการคาดเดาและการฉีดยาหรือใช้คำอื่น ๆ bijection คือฟังก์ชันที่มีทั้งแบบ "ตัวต่อตัว" และ "เข้าสู่" ^{[1] [4]}

bijections บางครั้งจะแสดงโดยชี้ไปทางขวาสองหัวลูกศรกับหาง ( U + 2916 ⤖ rightwards สองหัวลูกศรกับหาง ) ในขณะที่F  : X ⤖ Y สัญลักษณ์นี้เป็นการรวมกันของลูกศรชี้ไปทางขวาสองหัว (U + 21A0 ↠ ลูกศรชี้ไปทางขวาสองตัว) บางครั้งใช้เพื่อแสดงถึงการยอมจำนนและลูกศรชี้ไปทางขวาที่มีหางหนาม (U + 21A3 ↣ ลูกศรชี้ไปทางขวาพร้อมหาง) บางครั้งใช้เพื่อแสดงถึงการฉีดยา

การตีลูกทีมเบสบอลหรือคริกเก็ต

พิจารณาการตีลูกของทีมเบสบอลหรือทีมคริกเก็ต (หรือรายชื่อผู้เล่นทั้งหมดของทีมกีฬาใด ๆ ที่ผู้เล่นทุกคนมีตำแหน่งที่เฉพาะเจาะจงในการเล่นตัวจริง) ชุดXจะเป็นผู้เล่นในทีม (ขนาดเก้าในกรณีของเบสบอล) และชุดYจะเป็นตำแหน่งในลำดับการตีลูก (ที่ 1, 2, 3 ฯลฯ ) "การจับคู่" กำหนดโดย ผู้เล่นอยู่ในตำแหน่งใดในลำดับนี้ คุณสมบัติ (1) เป็นที่พอใจเนื่องจากผู้เล่นแต่ละคนอยู่ที่ไหนสักแห่งในรายการ คุณสมบัติ (2) เป็นที่พึงพอใจเนื่องจากไม่มีผู้เล่นค้างคาวในสองตำแหน่ง (หรือมากกว่า) ตามลำดับ คุณสมบัติ (3) กล่าวว่าสำหรับแต่ละตำแหน่งในลำดับมีผู้เล่นบางคนตีบอลในตำแหน่งนั้นและคุณสมบัติ (4) ระบุว่าผู้เล่นสองคนขึ้นไปจะไม่ตีบอลในตำแหน่งเดียวกันในรายการ

ที่นั่งและนักเรียนในห้องเรียน

ในห้องเรียนมีที่นั่งจำนวนหนึ่ง มีนักเรียนจำนวนมากเข้ามาในห้องและผู้สอนขอให้พวกเขานั่ง หลังจากดูรอบ ๆ ห้องอย่างรวดเร็วผู้สอนประกาศว่ามีการคาดคะเนระหว่างกลุ่มนักเรียนและชุดที่นั่งโดยที่นักเรียนแต่ละคนจับคู่กับที่นั่งที่พวกเขานั่งอยู่สิ่งที่ผู้สอนสังเกตเพื่อให้ได้ข้อสรุปนี้ คือ:

1. นักเรียนทุกคนนั่ง (ไม่มีใครยืน)
2. ไม่มีนักเรียนนั่งมากกว่าหนึ่งที่นั่ง
3. ทุกที่นั่งมีคนนั่งอยู่ (ไม่มีที่นั่งว่าง) และ
4. ไม่มีที่นั่งใดที่มีนักเรียนมากกว่าหนึ่งคน

ผู้สอนสามารถสรุปได้ว่ามีที่นั่งมากพอ ๆ กับจำนวนนักเรียนโดยไม่ต้องนับชุดใดชุดหนึ่ง

• สำหรับการตั้งค่าใด ๆXที่ฟังก์ชั่นตัวตน 1 _X : X → X , 1 _X ( x ) = xเป็น bijective
• ฟังก์ชั่นF : R → R , F ( x ) = 2 x + 1 คือ bijective เนื่องจากในแต่ละปีมีเป็นเอกลักษณ์x = ( Y - 1) / 2 ดังกล่าวว่าF ( x ) = Y โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันเชิงเส้นใด ๆ ที่อยู่เหนือค่าความจริงf : R → R , f ( x ) = ax + b (โดยที่aไม่ใช่ศูนย์) คือการคาดคะเน แต่ละจำนวนจริงy ที่จะได้รับจาก (หรือจับคู่กับ) จำนวนจริงx = ( Y - ข ) /
• ฟังก์ชันf : R → (−π / 2, π / 2) ที่กำหนดโดยf ( x ) = arctan ( x ) เป็นแบบ bijective เนื่องจากจำนวนจริงแต่ละตัวxจับคู่กับมุมเดียวyในช่วงเวลา (−π / 2, π / 2) เพื่อให้ tan ( y ) = x (นั่นคือy = arctan ( x )) หากโคโดเมน (−π / 2, π / 2) ถูกสร้างให้ใหญ่ขึ้นเพื่อรวมจำนวนเต็มผลคูณของπ / 2 ฟังก์ชันนี้จะไม่อยู่ใน (surjective) อีกต่อไปเนื่องจากไม่มีจำนวนจริงที่สามารถจับคู่กับ ผลคูณของπ / 2 โดยฟังก์ชัน arctan นี้
• ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง , กรัม : R → R , G ( x ) = E ^xไม่ bijective: ยกตัวอย่างเช่นไม่มีxในRดังกล่าวว่ากรัม ( x ) = -1 แสดงให้เห็นว่าก.ไม่ได้เข้าสู่ (surjective) . อย่างไรก็ตามหากโคโดเมนถูก จำกัด ไว้ที่จำนวนจริงที่เป็นบวก${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {R} ^ {+} \; \ equiv \; \ left (0, \, + \ infty \ right)}$ดังนั้นgจะเป็น bijective; มันผกผัน (ดูด้านล่าง) คือฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ ln
• ฟังก์ชันh : R → R ⁺ , h ( x ) = x ²ไม่ใช่ bijective: ตัวอย่างเช่นh (−1) = h (1) = 1 แสดงว่าhไม่ใช่ตัวต่อตัว (หัวฉีด) อย่างไรก็ตามหากโดเมนถูก จำกัด ไว้ที่${\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+} \; \ equiv \; \ left [0, \, + \ infty \ right)}$จากนั้นhจะมีอคติ ผกผันของมันคือฟังก์ชันรากที่สองบวก
• ตามต้นเสียง-Bernstein-Schroder ทฤษฎีบทให้สองชุดXและYและทั้งสองฟังก์ชั่นนึงฉ : X → YและG : Y → Xมีอยู่ฟังก์ชั่น bijective ชั่วโมง : X → Y

bijection fกับโดเมนX (ระบุโดยf : X → Yในสัญกรณ์เชิงฟังก์ชัน ) ยังกำหนดความสัมพันธ์แบบสนทนาที่เริ่มต้นด้วยYและไปที่X (โดยการหมุนลูกศรไปรอบ ๆ ) กระบวนการของการ "เปลี่ยนลูกศรรอบ" สำหรับฟังก์ชั่นโดยพลการไม่ได้โดยทั่วไปผลผลิตฟังก์ชั่น แต่คุณสมบัติ (3) และ (4) การพูด bijection ที่ว่านี้มีความสัมพันธ์ผกผันคือฟังก์ชันที่มีโดเมนY นอกจากนี้ยังมีคุณสมบัติ (1) และ (2) แล้วบอกว่าผกผันนี้ฟังก์ชั่นเป็น surjection และฉีดที่เป็นฟังก์ชันผกผันที่มีอยู่และยังเป็น bijection ฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันผกผันจะบอกว่ากลับด้านได้ ฟังก์ชันจะกลับด้านได้ก็ต่อเมื่อเป็น bijection เท่านั้น

ระบุด้วยสัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ที่กระชับฟังก์ชั่นf : X → Yเป็นแบบ bijective ถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขเท่านั้น

สำหรับทุก yใน Yจะมีx ที่ไม่ซ้ำกัน ใน Xโดยมี y = f ( x )

ต่อด้วยตัวอย่างการตีลูกเบสบอลฟังก์ชั่นที่กำหนดจะใช้เป็นป้อนชื่อของผู้เล่นคนใดคนหนึ่งและแสดงตำแหน่งของผู้เล่นคนนั้นตามลำดับการตีลูก เนื่องจากฟังก์ชั่นนี้เป็น bijection จึงมีฟังก์ชันผกผันซึ่งใช้เป็นอินพุตตำแหน่งในลำดับการตีลูกและแสดงผลผู้เล่นที่จะตีลูกบอลในตำแหน่งนั้น

องค์ประกอบ ${\ displaystyle \ scriptstyle g \, \ circ \, f}$ของสอง bijection f : X → Yและg : Y → Zคือ bijection ซึ่งมีการผกผันโดย${\ displaystyle \ scriptstyle g \, \ circ \, f}$ คือ ${\ displaystyle \ scriptstyle (g \, \ circ \, f) ^ {- 1} \; = \; (f ^ {- 1}) \, \ circ \, (g ^ {- 1})}$.

bijection ประกอบด้วยการฉีดยา (ซ้าย) และการผ่าตัด (ขวา)

ในทางกลับกันถ้าองค์ประกอบ ${\ displaystyle \ scriptstyle g \, \ circ \, f}$ของทั้งสองฟังก์ชั่นเป็น bijective ก็เพียงตามที่ฉมีที่นึงและกรัมมีsurjective

ถ้าXและYเป็นเซต จำกัด แสดงว่ามี bijection ระหว่างสองเซตXและY ก็ต่อเมื่อ XและYมีจำนวนองค์ประกอบเท่ากัน อันที่จริงในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์สิ่งนี้ถูกนำมาใช้เป็นคำจำกัดความของ "จำนวนองค์ประกอบเดียวกัน" (ความเท่าเทียมกัน ) และการสรุปคำจำกัดความนี้ให้เป็นเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะนำไปสู่แนวคิดของจำนวนคาร์ดินัลซึ่งเป็นวิธีการแยกแยะขนาดต่างๆของเซตที่ไม่มีที่สิ้นสุด

• ฟังก์ชันf : R → Rเป็นแบบ bijective ก็ต่อเมื่อกราฟของมันตรงตามเส้นแนวนอนและแนวตั้งทุกเส้นเพียงครั้งเดียว
• ถ้าXเป็นชุดแล้วฟังก์ชั่น bijective จากXไปที่ตัวเองร่วมกับการดำเนินงานขององค์ประกอบการทำงาน (∘) ในรูปแบบกลุ่มที่กลุ่มได้ส่วนของXซึ่งจะแสดงนานัปการโดย S ( X ), S _Xหรือเอ็กซ์ ! ( X แฟกทอเรียล )
• bijections รักษาความสำคัญของเซต: สำหรับเซตย่อยAของโดเมนที่มี cardinality | A | และเซตย่อยBของโคโดเมนที่มีคาร์ดินาลิตี้ | B | หนึ่งมีความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

  | f ( A ) | = | A | และ | ฉ⁻¹ ( B ) | = | B |.

• หากXและYเป็นเซต จำกัด ที่มีคาร์ดินาลลิตี้เท่ากันและf : X → Yค่าต่อไปนี้จะเทียบเท่า:
  1. fคือ bijection
  2. ฉเป็นsurjection
  3. ฉเป็นฉีด
• สำหรับ จำกัด ชุดS , มี bijection ระหว่างชุดของที่เป็นไปได้orderings รวมขององค์ประกอบและชุดของ bijections จากSไปS กล่าวคือจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนองค์ประกอบของSจะเหมือนกับจำนวนลำดับทั้งหมดของชุดนั้นนั่นคือn !

Bijections คือisomorphismsอย่างแม่นยำในหมวดหมู่ Set of setsและ set functions อย่างไรก็ตาม bijections ไม่ใช่ isomorphisms สำหรับหมวดหมู่ที่ซับซ้อนมากขึ้นเสมอไป ตัวอย่างเช่นในหมวดหมู่Grpของกลุ่ม morphisms จะต้องเป็นhomomorphismsเนื่องจากต้องรักษาโครงสร้างของกลุ่มดังนั้น isomorphisms จึงเป็น isomorphisms ของกลุ่มซึ่งเป็น homomorphisms แบบ bijective

แนวคิดของการโต้ตอบแบบตัวต่อตัวเป็นการสรุปถึงฟังก์ชันบางส่วนโดยที่พวกเขาเรียกว่าbijectionsบางส่วนแม้ว่า bijections บางส่วนจะต้องฉีดเท่านั้น เหตุผลสำหรับการผ่อนคลายนี้คือฟังก์ชันบางส่วน (ที่เหมาะสม) ไม่ได้ถูกกำหนดไว้แล้วสำหรับบางส่วนของโดเมน ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่น่าสนใจที่จะ จำกัด การผกผันให้เป็นฟังก์ชันทั้งหมดกล่าวคือกำหนดไว้ทุกที่บนโดเมน ชุดของ bijections บางส่วนทั้งหมดที่ตั้งฐานที่กำหนดเรียกว่ากึ่งกลุ่มผกผันสมมาตร ^[5]

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดแนวคิดเดียวกันคือการบอกว่า bijection บางส่วนจากAถึงBคือความสัมพันธ์ใด ๆR (ซึ่งกลายเป็นฟังก์ชันบางส่วน) ด้วยคุณสมบัติที่Rคือกราฟของ bijection f : A ′ → B′ที่A 'เป็นส่วนย่อยของและB'เป็นส่วนหนึ่งของB ^[6]

เมื่อ bijection บางส่วนอยู่ในชุดเดียวกันมันเป็นบางครั้งเรียกว่าแบบหนึ่งต่อหนึ่งบางส่วนเปลี่ยนแปลง ^[7]ตัวอย่างคือการเปลี่ยนแปลงของMöbiusที่กำหนดไว้บนระนาบเชิงซ้อนแทนที่จะเสร็จสมบูรณ์ไปสู่ระนาบซับซ้อนส่วนขยาย ^[8]

• ฟังก์ชันหลายค่า

• การฉีดยาการฉีดและการผ่าตัด
• การคำนวณทางชีวภาพ
• หลักฐานทางชีวภาพ
• ทฤษฎีหมวดหมู่
• ขวาน - ทฤษฎีบท Grothendieck

หัวข้อนี้เป็นแนวคิดพื้นฐานในทฤษฎีเซตและสามารถพบได้ในข้อความใด ๆ ซึ่งรวมถึงบทนำเกี่ยวกับทฤษฎีเซต ข้อความเกือบทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับบทนำเกี่ยวกับการเขียนบทพิสูจน์จะมีส่วนเกี่ยวกับทฤษฎีเซตดังนั้นหัวข้อเหล่านี้อาจพบได้ใน:

• หมาป่า (1998) หลักฐานตรรกะและการคาดคะเน: นักคณิตศาสตร์ของกล่องเครื่องมือ ฟรีแมน.
• ซันด์สตรอม (2003). คณิตศาสตร์เหตุผล: การเขียนและหลักฐาน ศิษย์ฮอลล์.
• สมิ ธ ; ไข่เกน; เซนต์แอนเดร (2006). การเปลี่ยนแปลงขั้นสูงคณิตศาสตร์ (6 Ed.) ทอมสัน (บรูคส์ / โคล)
• ชูมัคเกอร์ (2539). บทที่ศูนย์: พัฒนาการพื้นฐานของบทคัดย่อคณิตศาสตร์ แอดดิสัน - เวสลีย์.
• โอเลียรี (2546). โครงสร้างของหลักฐาน: ด้วยเหตุผลและทฤษฎีเซต ศิษย์ฮอลล์.
• Morash สะพานเพื่อบทคัดย่อคณิตศาสตร์ สุ่มบ้าน
• แมดด็อกซ์ (2002). ความคิดทางคณิตศาสตร์และการเขียน Harcourt / สำนักพิมพ์วิชาการ.
• เลย์ (2544). การวิเคราะห์ด้วยการแนะนำให้หลักฐาน ศิษย์ฮอลล์.
• กิลเบิร์ต; แวนสโตน (2548). รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการคิดทางคณิตศาสตร์ Pearson Prentice-Hall
• เฟลทเชอร์; แพตตี้. ฐานรากของคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น PWS- เคนท์.
• อิเกลวิซ; สตอยล์. รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ MacMillan
• เดฟลินคี ธ (2004). ชุดฟังก์ชั่นและลอจิก: บทนำบทคัดย่อคณิตศาสตร์ Chapman & Hall / CRC Press.
• D'Angelo; ตะวันตก (2000). ความคิดทางคณิตศาสตร์: การแก้ปัญหาและการพิสูจน์ ศิษย์ฮอลล์.
• คิวพิลลารี . ถั่วและสกรูของหลักฐาน วัดส์เวิร์ ธ
• พันธบัตร. คณิตศาสตร์เบื้องต้นเบื้องต้น . บรูคส์ / โคล.
• บาร์เนียร์; เฟลด์แมน (2000). ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ขั้นสูง . ศิษย์ฮอลล์.
• เถ้า. รองพื้นของบทคัดย่อคณิตศาสตร์ MAA.

• "bijection" , สารานุกรมของคณิตศาสตร์ , EMS กด 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Bijection" . แม ธ เวิลด์
• การใช้คำศัพท์คณิตศาสตร์บางคำที่เร็วที่สุด: รายการเกี่ยวกับการฉีดยาการผ่าตัดและการคาดคะเนมีประวัติของการฉีดยาและคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง