เฉลี่ย

ในภาษาพูดภาษาเป็นเฉลี่ยเป็นหมายเลขเดียวนำมาเป็นตัวแทนของรายการที่ไม่ว่างเปล่าของตัวเลข แนวคิดที่แตกต่างกันของค่าเฉลี่ยถูกนำมาใช้ในบริบทที่แตกต่างกัน บ่อยครั้ง "ค่าเฉลี่ย" หมายถึงค่าเฉลี่ยเลขคณิตผลรวมของตัวเลขหารด้วยจำนวนตัวเลขที่ถูกเฉลี่ย ในสถิติ , ค่าเฉลี่ย , ค่ามัธยฐานและโหมดจะรู้จักกันทั้งหมดเป็นมาตรการของแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางและในการใช้งานภาษาใด ๆ เหล่านี้อาจจะเรียกว่าค่าเฉลี่ย

คุณสมบัติทั่วไป

หากตัวเลขทั้งหมดในรายการเป็นตัวเลขเดียวกันค่าเฉลี่ยจะเท่ากับตัวเลขนี้ด้วย คุณสมบัตินี้ใช้ร่วมกันโดยค่าเฉลี่ยแต่ละประเภท

คุณสมบัติสากลอีกประการหนึ่งคือความเป็นเอกภาพ : หากสองรายการของตัวเลขAและBมีความยาวเท่ากันและแต่ละรายการของรายการAมีขนาดใหญ่เท่ากับรายการที่เกี่ยวข้องในรายการBเป็นอย่างน้อยค่าเฉลี่ยของรายการAจะเท่ากับค่าเฉลี่ยของรายการAเป็นอย่างน้อย รายการB นอกจากนี้ค่าเฉลี่ยทั้งหมดยังเป็นไปตามความสม่ำเสมอเชิงเส้น : หากตัวเลขทั้งหมดของรายการคูณด้วยจำนวนบวกเดียวกันค่าเฉลี่ยจะเปลี่ยนไปตามปัจจัยเดียวกัน

ในค่าเฉลี่ยบางประเภทรายการในรายการจะกำหนดน้ำหนักที่แตกต่างกันก่อนที่จะกำหนดค่าเฉลี่ย เหล่านี้รวมถึงค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักที่ถ่วงน้ำหนักเรขาคณิตค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานถ่วงน้ำหนัก นอกจากนี้สำหรับค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่บางประเภทน้ำหนักของรายการจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งในรายการ อย่างไรก็ตามค่าเฉลี่ยส่วนใหญ่เป็นไปตามการเปลี่ยนแปลง -ความไว: ทุกรายการนับเท่า ๆ กันในการกำหนดค่าเฉลี่ยและตำแหน่งในรายการไม่เกี่ยวข้อง ค่าเฉลี่ยของ (1, 2, 3, 4, 5) จะเหมือนกับของ (3, 2, 5, 4, 1)

ประเภท

พีทาโกรัสหมายถึง

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตและค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นที่รู้จักกันโดยรวมว่าหมายถึงพีทาโกรัส

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่พบมากที่สุดคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต ถ้าnหมายเลขจะได้รับแต่ละหมายเลขแสดงโดย_ฉัน (ที่ฉัน = 1,2, ... , n ) ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเป็นผลรวมของs หารด้วยnหรือ

{\ displaystyle {\ text {AM}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = {\ frac {a_ {1} + a_ {2 } + \ cdots + a_ {n}} {n}}}

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตมักเรียกง่ายๆว่าค่าเฉลี่ยของจำนวนสองจำนวนเช่น 2 และ 8 ได้มาจากการหาค่า A เช่น 2 + 8 = A + A หนึ่งอาจพบว่าA = (2 + 8) / 2 = 5. การสลับลำดับของ 2 และ 8 เพื่ออ่าน 8 และ 2 ไม่ทำให้ค่าผลลัพธ์ที่ได้รับสำหรับ A ค่าเฉลี่ย 5 ไม่น้อยกว่าค่าต่ำสุด 2 หรือมากกว่าค่าสูงสุด 8. ถ้าเราเพิ่มจำนวนพจน์ใน รายการที่ 2, 8, 11 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตพบโดยการแก้สำหรับค่าของในสมการ 2 + 8 + 11 = + + หนึ่งพบว่าA = (2 + 8 + 11) / 3 = 7

เฉลี่ยเรขาคณิต

เฉลี่ยเรขาคณิตของnตัวเลขบวกจะได้รับจากการคูณพวกเขาทั้งหมดเข้าด้วยกันแล้วการn TH ราก ในแง่พีชคณิตค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของ₁ , ₂ , ... , _nถูกกำหนดให้เป็น

{\ displaystyle {\ text {GM}} = {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}} = {\ sqrt [{n}] {a_ { 1} a_ {2} \ cdots a_ {n}}}}

ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตสามารถคิดได้ว่าเป็นantilogของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของบันทึกของตัวเลข

ตัวอย่าง: ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของ 2 และ 8 คือ ${\ displaystyle {\ text {GM}} = {\ sqrt {2 \ cdot 8}} = 4}$

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิสำหรับคอลเลกชันที่ไม่ว่างเปล่าของตัวเลข₁ , ₂ , ... , _nทั้งหมดแตกต่างจาก 0, ถูกกำหนดให้เป็นซึ่งกันและกันของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของส่วนกลับของ_ฉัน ' s:

{\ displaystyle {\ text {HM}} = {\ frac {1} {{\ dfrac {1} {n}} \ displaystyle \ sum \ LIMIT _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {a_ {i}}}}} = {\ frac {n} {{\ frac {1} {a_ {1}}} + {\ frac {1} {a_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {a_ {n}}}}}

ตัวอย่างหนึ่งที่ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกมีประโยชน์คือเมื่อตรวจสอบความเร็วของการเดินทางระยะทางคงที่จำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่นถ้าความเร็วในการไปจากจุดAไปBคือ 60 กม. / ชม. และความเร็วในการกลับจากBไปAคือ 40 กม. / ชม. ดังนั้นความเร็วเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะถูกกำหนดโดย

{\ displaystyle {\ frac {2} {{\ frac {1} {60}} + {\ frac {1} {40}}}} = 48}

ความไม่เท่าเทียมกันเกี่ยวกับ AM, GM และ HM

อสมการที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับวิธีการทางคณิตศาสตร์เรขาคณิตและฮาร์มอนิกสำหรับชุดของจำนวนบวกใด ๆ คือ

{\ displaystyle {\ text {AM}} \ geq {\ text {GM}} \ geq {\ text {HM}}}

(ตามลำดับตัวอักษรของตัวอักษร, GและHเป็นที่เก็บรักษาไว้ในความไม่สมดุลกัน.) เห็นความไม่เท่าเทียมกันของค่ามัชฌิมเลขคณิตและเรขาคณิต

ดังนั้นสำหรับตัวอย่างค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกข้างต้น: AM = 50, GM ≈ 49 และ HM = 48 กม. / ชม.

ตำแหน่งทางสถิติ

โหมดการแบ่งและช่วงกลางมักจะใช้ในนอกเหนือไปจากค่าเฉลี่ยเป็นประมาณการแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางในสถิติเชิงพรรณนา สิ่งเหล่านี้สามารถมองได้ว่าเป็นการลดความผันแปรโดยการวัดบางอย่าง ดูกลางแนวโน้ม§การแก้ปัญหาแปรผัน

การเปรียบเทียบค่าเฉลี่ยทั่วไปของค่า {1, 2, 2, 3, 4, 7, 9}
ประเภท	คำอธิบาย	ตัวอย่าง	ผลลัพธ์
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	ผลรวมของชุดข้อมูลหารด้วยจำนวนค่า: ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$	(1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 7 + 9) / 7	4
ค่ามัธยฐาน	ค่ากลางแยกส่วนที่มากขึ้นและน้อยลงของชุดข้อมูล	1, 2, 2, 3 , 4, 7, 9	3
โหมด	ค่าที่พบบ่อยที่สุดในชุดข้อมูล	1, 2 , 2 , 3, 4, 7, 9	2
ช่วงกลาง	ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าสูงสุดและต่ำสุดของเซต	(1 + 9) / 2	5

โหมด

การเปรียบเทียบ ค่าเฉลี่ย , ค่ามัธยฐานและ โหมดของทั้งสอง การกระจายระบบปกติที่มีแตกต่างกัน เบ้

หมายเลขที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในรายการเรียกว่าโหมด ตัวอย่างเช่นโหมดของรายการ (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) คือ 3 อาจเกิดขึ้นได้ว่ามีตัวเลขสองตัวขึ้นไปซึ่งเกิดขึ้นบ่อยเท่ากันและบ่อยกว่าจำนวนอื่น ๆ ในกรณีนี้ไม่มีคำจำกัดความของโหมดที่ตกลงกันไว้ ผู้เขียนบางคนบอกว่าเป็นโหมดทั้งหมดและบางคนบอกว่าไม่มีโหมด

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐานคือจำนวนกลางของกลุ่มเมื่อมีการจัดลำดับตามลำดับ (หากมีเลขคู่จะใช้ค่าเฉลี่ยของค่ากลางสองค่า)

ดังนั้นในการค้นหาค่ามัธยฐานให้เรียงลำดับรายการตามขนาดขององค์ประกอบแล้วลบคู่ที่ประกอบด้วยค่าสูงสุดและต่ำสุดซ้ำ ๆ จนกว่าจะเหลือหนึ่งหรือสองค่า ถ้าเหลือเพียงค่าเดียวก็จะเป็นค่ามัธยฐาน ถ้าสองค่ามัธยฐานคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสองค่านี้ วิธีนี้ใช้รายการ 1, 7, 3, 13 และสั่งให้อ่าน 1, 3, 7, 13 จากนั้น 1 และ 13 จะถูกลบออกเพื่อให้ได้รายการ 3, 7 เนื่องจากมีสององค์ประกอบในรายการที่เหลือนี้ มัธยฐานคือค่าเฉลี่ยเลขคณิต (3 + 7) / 2 = 5

ช่วงกลาง

ช่วงกลางคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าสูงสุดและต่ำสุดของเซต

สรุปประเภท

ชื่อ	สมการหรือคำอธิบาย
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	${\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = {\ frac {1} {n}} (x_ {1} + \ cdots + x_ {n})}$
ค่ามัธยฐาน	ค่ากลางที่แยกครึ่งที่สูงกว่าออกจากครึ่งล่างของชุดข้อมูล
ค่ามัธยฐานทางเรขาคณิต	หมุน คงที่ส่วนขยายของค่ามัธยฐานสำหรับจุดใน R ⁿ
โหมด	ค่าที่พบบ่อยที่สุดในชุดข้อมูล
เฉลี่ยเรขาคณิต	${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}} = {\ sqrt [{n}] {x_ {1} \ cdot x_ {2} \ dotsb x_ {n}}}}$
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก	${\ displaystyle {\ frac {n} {{\ frac {1} {x_ {1}}} + {\ frac {1} {x_ {2}}} + \ cdots + {\ frac {1} {x_ { n}}}}}}$
ค่าเฉลี่ยกำลังสอง (หรือ RMS)	${\ displaystyle {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}} = {\ sqrt {{\ frac {1} {n}} \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ right)}}}$
ค่าเฉลี่ยลูกบาศก์	${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {{\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {3}}} = {\ sqrt [{ 3}] {{\ frac {1} {n}} \ left (x_ {1} ^ {3} + x_ {2} ^ {3} + \ cdots + x_ {n} ^ {3} \ right)} }}$
ค่าเฉลี่ยทั่วไป	${\ displaystyle {\ sqrt [{p}] {{\ frac {1} {n}} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {p}}}}$
ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก	${\ displaystyle {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} x_ {i}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}} = {\ frac {w_ {1} x_ {1} + w_ {2} x_ {2} + \ cdots + w_ {n} x_ {n}} {w_ {1} + w_ {2} + \ cdots + w_ {n} }}}$
ค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอน	ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าข้อมูลหลังจากจำนวนหรือสัดส่วนที่แน่นอนของค่าข้อมูลสูงสุดและต่ำสุดถูกทิ้งไป
ค่าเฉลี่ยระหว่างควอไทล์	เป็นกรณีพิเศษของการตัดทอนค่าเฉลี่ยโดยใช้ช่วง interquartile กรณีพิเศษของค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอนระหว่างควอนไทล์ซึ่งทำงานบนควอนไทล์ (มักจะเป็นทศนิยมหรือเปอร์เซ็นไทล์) ที่มีระยะทางเท่ากัน แต่อยู่คนละด้านของค่ามัธยฐาน
เสียงกลาง	${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (\ max x + \ min x \ right)}$
ค่าเฉลี่ยที่ชนะ	คล้ายกับค่าเฉลี่ยที่ถูกตัดทอน แต่แทนที่จะลบค่าสุดโต่งค่าเหล่านี้จะถูกกำหนดให้เท่ากับค่าที่มากที่สุดและน้อยที่สุดที่ยังคงอยู่

ตารางของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์อธิบายสัญลักษณ์ที่ใช้ด้านล่าง

ประเภทเบ็ดเตล็ด

ค่าเฉลี่ยที่ซับซ้อนมากขึ้นอื่น ๆ ได้แก่ ค่าเฉลี่ยไตรเมียน , ทริมเมเดียนและค่าเฉลี่ยมาตรฐานพร้อมด้วยลักษณะทั่วไป ^[1]

เราสามารถสร้างเมตริกเฉลี่ยของตัวเองโดยใช้f -mean ทั่วไป :

{\ displaystyle y = f ^ {- 1} \ left ({\ frac {1} {n}} \ left [f (x_ {1}) + f (x_ {2}) + \ cdots + f (x_ { n}) \ right] \ right)}

โดยที่fคือฟังก์ชันที่กลับหัวได้ ค่าเฉลี่ยฮาร์โมนิเป็นตัวอย่างของการนี้โดยใช้F ( x ) = 1 / xและค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเป็นอีกหนึ่งใช้F ( x ) = บันทึก x

อย่างไรก็ตามวิธีการสร้างค่าเฉลี่ยวิธีนี้ไม่ได้เป็นการทั่วไปเพียงพอที่จะจับค่าเฉลี่ยทั้งหมด วิธีการทั่วไปมากขึ้น^[2]สำหรับการกำหนดค่าเฉลี่ยจะใช้เวลาใด ๆ ฟังก์ชั่นG ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) ของรายการของอาร์กิวเมนต์ที่เป็นอย่างต่อเนื่อง , อย่างเคร่งครัดที่เพิ่มขึ้นในแต่ละข้อโต้แย้งและสมมาตร (คงที่อยู่ใต้การเปลี่ยนแปลงของอาร์กิวเมนต์) ค่าเฉลี่ยyคือค่าที่เมื่อแทนที่สมาชิกแต่ละคนของรายการผลลัพธ์จะได้ค่าฟังก์ชันเดียวกัน: g ( y , y , ... , y ) = g ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) . คำจำกัดความทั่วไปส่วนใหญ่นี้ยังคงรวบรวมคุณสมบัติที่สำคัญของค่าเฉลี่ยทั้งหมดที่ค่าเฉลี่ยของรายการองค์ประกอบที่เหมือนกันคือองค์ประกอบนั้นเอง ฟังก์ชันg ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) = x ₁ + x ₂ + ··· + x _nให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ฟังก์ชันg ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) = x ₁x ₂ ··· x _n (โดยที่องค์ประกอบของรายการเป็นตัวเลขบวก) ให้ค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต ฟังก์ชันg ( x ₁ , x ₂ , ... , x _n ) = - ( x ₁⁻¹ + x ₂⁻¹ + ··· + x _n⁻¹ ) (โดยที่องค์ประกอบของรายการเป็นตัวเลขบวก) ให้ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก ^[2]

เปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนเฉลี่ยและ CAGR

ประเภทของค่าเฉลี่ยที่ใช้ในการเงินคือเปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนเฉลี่ย เป็นตัวอย่างของค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต เมื่อผลตอบแทนเป็นรายปีจะเรียกว่า Compound Annual Growth Rate (CAGR) ตัวอย่างเช่นหากเราพิจารณาระยะเวลาสองปีและผลตอบแทนจากการลงทุนในปีแรกคือ −10% และผลตอบแทนในปีที่สองคือ + 60% ดังนั้นเปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนเฉลี่ยหรือ CAGR, Rจะได้รับ โดยการแก้สมการ(1 - 10%) x (1 + 60%) = (1-0.1) × (1 + 0.6) = (1 + R ) x (1 + R ) ค่าของRที่ทำให้สมการนี้เป็นจริงคือ 0.2 หรือ 20% ซึ่งหมายความว่าผลตอบแทนรวมในช่วง 2 ปีจะเท่ากับว่ามีการเติบโต 20% ในแต่ละปี ลำดับของปีไม่มีความแตกต่าง - เปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนเฉลี่ย + 60% และ −10% เป็นผลลัพธ์เดียวกับที่สำหรับ −10% และ + 60%

วิธีนี้สามารถสรุปได้ทั่วไปกับตัวอย่างที่ช่วงเวลาไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่นพิจารณาช่วงเวลาครึ่งปีที่ผลตอบแทนเท่ากับ −23% และระยะเวลาสองปีครึ่งที่ผลตอบแทนคือ + 13% เปอร์เซ็นต์ผลตอบแทนเฉลี่ยสำหรับช่วงเวลารวมคือผลตอบแทนปีเดียวRนั่นคือคำตอบของสมการต่อไปนี้: (1 - 0.23) ^0.5 × (1 + 0.13) ^2.5 = (1 + R ) ^{0.5 + 2.5}ให้ ผลตอบแทนเฉลี่ยR 0.0600 หรือ 6.00%

ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่

เมื่อพิจารณาถึงอนุกรมเวลาเช่นราคาตลาดหุ้นรายวันหรืออุณหภูมิรายปีผู้คนมักต้องการสร้างซีรี่ส์ที่ราบรื่นขึ้น ^[3]วิธีนี้ช่วยในการแสดงแนวโน้มพื้นฐานหรือพฤติกรรมเป็นระยะ ๆ วิธีง่ายๆในการทำเช่นนี้คือค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ : หนึ่งเลือกจำนวนnและสร้างอนุกรมใหม่โดยหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าn ตัวแรกจากนั้นเคลื่อนไปข้างหน้าที่เดียวโดยทิ้งค่าที่เก่าแก่ที่สุดและนำค่าใหม่ไปไว้ที่อีกค่าหนึ่ง ท้ายรายการและอื่น ๆ นี่คือรูปแบบของค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ที่ง่ายที่สุด รูปแบบที่ซับซ้อนมากขึ้นเกี่ยวข้องกับการใช้ถัวเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก น้ำหนักสามารถนำมาใช้เพื่อเพิ่มหรือปราบปรามพฤติกรรมธาตุต่างๆและมีการวิเคราะห์อย่างกว้างขวางมากในสิ่งที่น้ำหนักที่จะใช้ในหนังสือที่เกี่ยวกับการกรอง ในการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลจะใช้คำว่า "ค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่" แม้ว่าผลรวมของน้ำหนักจะไม่ใช่ 1.0 ก็ตาม (ดังนั้นชุดเอาต์พุตจึงเป็นค่าเฉลี่ยในเวอร์ชันที่ปรับขนาดแล้ว) ^[4]เหตุผลก็คือโดยปกติแล้วนักวิเคราะห์จะสนใจเฉพาะแนวโน้มหรือพฤติกรรมเป็นช่วง ๆ

ประวัติศาสตร์

แหล่งกำเนิด

ครั้งแรกที่บันทึกไว้ที่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตถูกขยายจาก 2 เป็น n กรณีสำหรับการใช้การประมาณคือในศตวรรษที่สิบหก ตั้งแต่ปลายศตวรรษที่สิบหกเป็นต้นมามันค่อยๆกลายเป็นวิธีการทั่วไปที่ใช้เพื่อลดข้อผิดพลาดของการวัดในพื้นที่ต่างๆ ^[5]^[6]ในเวลานั้นนักดาราศาสตร์ต้องการทราบค่าที่แท้จริงจากการวัดที่มีเสียงดังเช่นตำแหน่งของดาวเคราะห์หรือเส้นผ่านศูนย์กลางของดวงจันทร์ เมื่อใช้ค่าเฉลี่ยของค่าที่วัดได้หลายค่านักวิทยาศาสตร์สันนิษฐานว่าข้อผิดพลาดรวมกันเป็นจำนวนที่ค่อนข้างน้อยเมื่อเทียบกับค่าทั้งหมดที่วัดได้ทั้งหมด วิธีการหาค่าเฉลี่ยในการลดข้อผิดพลาดในการสังเกตได้รับการพัฒนาในทางดาราศาสตร์เป็นหลัก ^[5]^[7]สารตั้งต้นที่เป็นไปได้ของค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือช่วงกลาง (ค่าเฉลี่ยของค่าสุดขั้วสองค่า) ซึ่งใช้ในดาราศาสตร์อาหรับในศตวรรษที่เก้าถึงสิบเอ็ด แต่ยังใช้ในโลหะวิทยาและการนำทางด้วย ^[6]

อย่างไรก็ตามมีการอ้างถึงการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่คลุมเครืออยู่หลายครั้ง (ซึ่งไม่ชัดเจนเท่าที่ควร แต่อาจเกี่ยวข้องกับนิยามที่ทันสมัยของค่าเฉลี่ย) ในข้อความจากศตวรรษที่ 4 มีการเขียนว่า (ข้อความในวงเล็บเหลี่ยมเป็นข้อความที่ขาดหายไปซึ่งอาจอธิบายความหมายได้ชัดเจน): ^[8]

ในตอนแรกเราต้องจัดเรียงลำดับของตัวเลขจากโมนาดเป็นแถวเรียงกันถึงเก้า: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 จากนั้นเราจะต้องเพิ่มจำนวนทั้งหมด ของพวกเขาเข้าด้วยกันและเนื่องจากแถวนั้นมีคำศัพท์เก้าคำเราจึงต้องมองหาส่วนที่เก้าของผลรวมเพื่อดูว่ามีอยู่แล้วโดยธรรมชาติในตัวเลขในแถวหรือไม่ และเราจะพบว่าคุณสมบัติของการเป็น [หนึ่ง] เก้า [ของผลรวม] เป็นของ [เลขคณิต] เท่านั้นเอง ...

แม้แต่การอ้างอิงที่เป็นไปได้ที่เก่ากว่าก็มีอยู่ มีบันทึกว่าตั้งแต่ประมาณ 700 ปีก่อนคริสตกาลพ่อค้าและผู้ส่งสินค้าเห็นพ้องกันว่าความเสียหายที่เกิดขึ้นกับสินค้าและเรือ ("เงินช่วยเหลือ" ของพวกเขาในกรณีที่เกิดความเสียหายทางทะเล) ควรได้รับการแบ่งปันอย่างเท่าเทียมกัน ^[7]สิ่งนี้อาจคำนวณโดยใช้ค่าเฉลี่ยแม้ว่าจะไม่มีการบันทึกโดยตรงเกี่ยวกับการคำนวณก็ตาม

นิรุกติศาสตร์

รากศัพท์ถูกพบในภาษาอาหรับว่าعوارʿ awārข้อบกพร่องหรือสิ่งใด ๆ ที่มีข้อบกพร่องหรือเสียหายรวมถึงสินค้าที่เน่าเสียบางส่วน และعواريʿ awārī (เช่นعوارةʿ awāra ) = "ของหรือเกี่ยวข้องกับʿawārสถานะของความเสียหายบางส่วน" ^[9]ในภาษาตะวันตกประวัติของคำเริ่มต้นในการค้าขายทางทะเลในยุคกลางในทะเลเมดิเตอร์เรเนียน อาวาเรียภาษาละตินเจนัวในศตวรรษที่ 12 และ 13 หมายถึง "ความเสียหายการสูญเสียและค่าใช้จ่ายที่ไม่ปกติที่เกิดจากการเดินทางทางทะเลของพ่อค้า" และความหมายเดียวกันสำหรับavariaคือใน Marseille ในปี 1210, Barcelona ในปี 1258 และ Florence ในช่วงปลายวันที่ 13 ^[10] avarieภาษาฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 15 มีความหมายเหมือนกันและให้กำเนิดภาษาอังกฤษ "averay" (1491) และ "average" ในภาษาอังกฤษ (1502) ที่มีความหมายเดียวกัน วันนี้, อิตาลีAvaria , คาตาลันAvariaและภาษาฝรั่งเศสavarieยังคงมีความหมายหลักของ "ความเสียหาย" การเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ของความหมายในภาษาอังกฤษเริ่มต้นด้วยการปฏิบัติในสัญญาการค้าทางทะเลของตะวันตกในยุคกลางและสมัยใหม่ในตอนต้นซึ่งหากเรือพบกับพายุร้ายและสินค้าบางส่วนจะต้องถูกโยนลงน้ำเพื่อให้เรือมีน้ำหนักเบาและปลอดภัยยิ่งขึ้น จากนั้นพ่อค้าทุกคนที่มีสินค้าอยู่บนเรือต้องทนทุกข์ทรมานตามสัดส่วน (และสินค้าของใครไม่ถูกโยนลงน้ำ); และอื่น ๆ โดยทั่วไปมีที่จะกระจายตามสัดส่วนของAvaria จากนั้นคำดังกล่าวถูกนำมาใช้โดย บริษัท ประกันอังกฤษเจ้าหนี้และพ่อค้าเพื่อพูดถึงการสูญเสียของพวกเขาที่กระจายไปทั่วพอร์ตโฟลิโอของสินทรัพย์และมีสัดส่วนเฉลี่ย ความหมายในปัจจุบันพัฒนามาจากสิ่งนั้นและเริ่มต้นในกลางศตวรรษที่ 18 และเริ่มเป็นภาษาอังกฤษ ^[10] [1]

ความเสียหายทางทะเลเป็นค่าเฉลี่ยโดยเฉพาะซึ่งเกิดขึ้นโดยเจ้าของทรัพย์สินที่เสียหายเท่านั้นหรือค่าเฉลี่ยทั่วไปโดยที่เจ้าของสามารถเรียกร้องเงินสมทบตามสัดส่วนจากทุกฝ่ายที่มีต่อกิจการทางทะเล ประเภทของการคำนวณที่ใช้ในการปรับค่าเฉลี่ยทั่วไปทำให้เกิดการใช้ "ค่าเฉลี่ย" หมายถึง "ค่าเฉลี่ยเลขคณิต"

การใช้ภาษาอังกฤษครั้งที่สองซึ่งมีการบันทึกไว้ในช่วงต้นปี ค.ศ. 1674 และบางครั้งสะกดว่า "averish" คือการตกค้างและการเจริญเติบโตครั้งที่สองของพืชไร่ซึ่งถือว่าเหมาะกับการบริโภคโดยสัตว์ร่าง ("avers") ^[11]

มีก่อนหน้านี้ (อย่างน้อยศตวรรษที่ 11) การใช้คำที่ไม่เกี่ยวข้องกัน ดูเหมือนจะเป็นศัพท์ทางกฎหมายเก่าสำหรับภาระผูกพันด้านแรงงานในแต่ละวันของผู้เช่าที่มีต่อนายอำเภอซึ่งอาจมาจากคำว่า "avera" ที่พบในหนังสือ Domesday ของอังกฤษ(1085)

ฟอร์ดอังกฤษพจนานุกรม แต่กล่าวว่าการพิสูจน์จากเยอรมันHafenสวรรค์และอาหรับ'awârสูญเสียความเสียหายได้รับการ "ค่อนข้างทิ้ง" และคำว่ามีต้นกำเนิดโรแมนติก ^[12]

ค่าเฉลี่ยเป็นเครื่องมือทางวาทศิลป์

เนื่องจากลักษณะการเรียกขานดังกล่าวข้างต้นของคำว่า "ค่าเฉลี่ย" คำนี้สามารถใช้เพื่อทำให้ความหมายที่แท้จริงของข้อมูลสับสนและแนะนำคำตอบที่แตกต่างกันสำหรับคำถามตามวิธีการหาค่าเฉลี่ย (ค่าเฉลี่ยเลขคณิตค่ามัธยฐานหรือโหมด) ที่ใช้บ่อยที่สุด ในบทความของเขา "Framed for Lying: Statistics as In / Artistic Proof" อาจารย์ Daniel Libertz จากมหาวิทยาลัยพิตต์สเบิร์กแสดงความเห็นว่าข้อมูลทางสถิติมักถูกปฏิเสธจากข้อโต้แย้งเชิงโวหารด้วยเหตุผลนี้ ^[13]อย่างไรก็ตามเนื่องจากอำนาจในการโน้มน้าวใจจึงไม่ควรทิ้งค่าเฉลี่ยและค่าทางสถิติอื่น ๆ โดยสิ้นเชิง แต่ควรใช้และตีความด้วยความระมัดระวังแทน Libertz เชิญชวนให้เรามีส่วนร่วมในเชิงวิจารณ์ไม่เพียง แต่กับข้อมูลทางสถิติเช่นค่าเฉลี่ยเท่านั้น แต่ยังรวมถึงภาษาที่ใช้อธิบายข้อมูลและการใช้งานด้วยโดยกล่าวว่า "หากสถิติขึ้นอยู่กับการตีความนักวาทศิลป์ควรเชิญผู้ชมให้ตีความแทนที่จะยืนกรานใน การตีความ." ^[13]ในหลาย ๆ กรณีมีการจัดเตรียมข้อมูลและการคำนวณที่เฉพาะเจาะจงเพื่อช่วยอำนวยความสะดวกในการตีความตามผู้ชม

ดูสิ่งนี้ด้วย

ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์เฉลี่ย
กฎของค่าเฉลี่ย
มูลค่าที่คาดหวัง
ทฤษฎีบทข้อ จำกัด กลาง

อ้างอิง

^ Merigo, Jose M. ; คานาโนวาส, มอนต์เซอร์รัต (2552). "การทั่วไป Averaging ไฮบริดผู้ประกอบการและการประยุกต์ใช้ในการตัดสินใจ" วารสารวิธีการเชิงปริมาณเศรษฐศาสตร์และบริหารธุรกิจ . 9 : 69–84. ISSN 1886-516X^{[ ลิงก์ตายถาวร ]}
^ ก ข บิบบีจอห์น (1974) "Axiomatisations ของเฉลี่ยและหลักเกณฑ์ต่อไปของลำดับต่อเนื่อง" กลาสโกว์คณิตศาสตร์ Journal 15 : 63–65. ดอย : 10.1017 / s0017089500002135 .
^ กล่อง George EP; เจนกินส์ Gwilym M. (1976). การวิเคราะห์อนุกรมเวลา: การพยากรณ์และการควบคุม (ฉบับแก้ไข) โฮลเดน - วัน ISBN 0816211043.
^ เฮย์กินไซมอน (1986) ทฤษฎีการปรับตัวกรอง ศิษย์ฮอลล์. ISBN 0130040525.
^ ก ข Plackett, RL (2501). "การศึกษาประวัติศาสตร์ความน่าจะเป็นและสถิติ: VII. The Principle of the Arithmetic Mean". ไบโอเมตริก้า . 45 (1/2): 130–135 ดอย : 10.2307 / 2333051 . JSTOR 2333051
^ a b Eisenhart, Churchill "การพัฒนาแนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ยที่ดีที่สุดของชุดการวัดตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบัน" ที่อยู่ประธานาธิบดีที่ไม่ได้เผยแพร่สมาคมสถิติอเมริกันการประชุมประจำปีครั้งที่ 131 ฟอร์ตคอลลินส์โคโลราโด พ.ศ. 2514
^ ข แบกเกอร์, อาร์เธอร์ "ประวัติศาสตร์ยุคแรกของค่าเฉลี่ยและผลกระทบต่อการศึกษา" วารสารสถิติการศึกษา 11.1 (2546): 17-26.
^ "Waterfield, Robin" The theology of arithmetic. On the Mystical, mathematical and Cosmological Symbolism of the First Ten Number (1988). page 70 " (PDF) . เก็บจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 2016-03-04 . สืบค้นเมื่อ2018-11-27 .
^ ภาษาอาหรับในยุคกลางมีعورʿ awrแปลว่า "ตาบอดในตาข้างเดียว" และعوار āawārหมายถึง "ข้อบกพร่องใด ๆ หรือสิ่งใด ๆ ที่บกพร่องหรือเสียหาย" บางพจนานุกรมภาษาอาหรับในยุคกลางที่มีความ Baheth.info เก็บไว้ 2013/10/29 ที่เครื่อง Waybackและแปลเป็นภาษาอังกฤษบางส่วนของสิ่งที่อยู่ในพจนานุกรมภาษาอาหรับในยุคกลางที่อยู่ในเลนของอาหรับพจนานุกรมอังกฤษหน้า 2193 และ 2195 พจนานุกรมยุคกลางที่ไม่ได้แสดงรายการคำฟอร์มعوارية'awārīa ʿAwārīaสามารถสร้างขึ้นตามธรรมชาติในไวยากรณ์ภาษาอาหรับเพื่ออ้างถึงสิ่งที่มี ʿawārแต่ในทางปฏิบัติในตำราภาษาอาหรับยุคกลาง ʿawārīaเป็นสิ่งที่หายากหรือไม่มีอยู่จริงในขณะที่รูปแบบعواريʿ awārīและعوارةʿ awāraมักใช้เมื่อกล่าวถึงสิ่งที่มี ʿawārหรือความเสียหาย - สามารถดูได้ในคอลเลคชันข้อความยุคกลางที่ค้นหาได้ที่ AlWaraq.net (ลิงก์หนังสือสามารถคลิกได้ทางด้านขวา)
^ a b แหล่งกำเนิดอาวาเรียในภาษาอาหรับได้รับการรายงานครั้งแรกโดย Reinhart Dozy ในศตวรรษที่ 19 Dozy รายงานสรุปเดิมขึ้นในปี 1869 หนังสือของเขาGlossaire ข้อมูลสรุปเกี่ยวกับประวัติต้นของคำในภาษาละติน, อิตาลี, คาตาลัน, และฝรั่งเศสที่avarie @ CNRTL.fr เก็บไว้ 2019/01/06 ที่เครื่อง Wayback เมืองท่าของเจนัวเป็นที่ตั้งของบันทึกที่เก่าแก่ที่สุดซึ่งเป็นที่รู้จักในภาษายุโรปในปี ค.ศ. 1157 ชุดของบันทึกภาษาละตินยุคกลางของavariaที่เจนัวอยู่ในพจนานุกรมVocabolario Ligure ที่ดาวน์โหลดได้โดย Sergio Aprosio ปี 2001 avariaในเล่ม 1 หน้า 115-116. บันทึกอื่น ๆ อีกมากมายในยุคกลางละตินที่เจนัวอยู่ที่StoriaPatriaGenova.itมักจะอยู่ในรูปพหูพจน์avariisและavarias ที่ท่าเรือมาร์เซย์ใน 1 ครึ่งหนึ่งของศตวรรษที่ 13 การรับรองสัญญาการค้ามีหลายสิบของกรณีของละตินavariis (พหูพจน์ระเหยของAvaria ) เช่นการตีพิมพ์ในBlancard ปี 1884 ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับคำภาษาอังกฤษตลอดหลายศตวรรษที่NED (ปี 1888) ดูคำจำกัดความของ "ค่าเฉลี่ย" ของภาษาอังกฤษในพจนานุกรมภาษาอังกฤษที่ตีพิมพ์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 18 เช่นในช่วงเวลาก่อนการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ของความหมาย: พจนานุกรม Kersey-Phillips (1706) , พจนานุกรมของ Blount (ฉบับ 1707) , พจนานุกรม Hatton ของ (1712) , เบลีย์พจนานุกรม (1726) , มาร์ตินพจนานุกรม (1749) ความซับซ้อนบางรอบประวัติศาสตร์คำภาษาอังกฤษที่ได้รับการกล่าวถึงในHensleigh เวดจ์ปี 1882 หน้า 11และวอลเตอร์ Skeat ปี 1888 หน้า 781 วันนี้มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่า: (# 1) "ค่าเฉลี่ย" ภาษาอังกฤษในปัจจุบันมาจากavariaอิตาลีในยุคกลาง, คาตาลันavariaและ (# 2) ในหมู่ชาวลาตินคำว่าavariaเริ่มต้นในศตวรรษที่ 12 และเริ่มเป็นคำว่าทะเลเมดิเตอร์เรเนียน การค้าและ (# 3) ไม่มีรากสำหรับavariaที่จะพบในภาษาละตินและ (# 4) คำภาษาอาหรับจำนวนมากที่ป้อนภาษาอิตาลีคาตาลันและภาษาโพรวองซัลในศตวรรษที่ 12 และ 13 โดยเริ่มจากการค้าทางทะเลในทะเลเมดิเตอร์เรเนียน และ (# 5) ภาษาอาหรับʿawār | ʿawārīเป็นคำที่เข้ากันได้ดีกับavariaเนื่องจากการแปลง w เป็น v เป็นภาษาละตินและอิตาลีเป็นประจำและ-iaเป็นคำต่อท้ายในภาษาอิตาลีและบันทึกที่เก่าแก่ที่สุดของคำตะวันตกเป็นภาษาที่พูดภาษาอิตาลี (เขียนเป็นภาษาละติน) และผู้แสดงความคิดเห็นส่วนใหญ่ยอมรับว่า (# 6) ภาษาอาหรับʿawār | ʿawārī = "ความเสียหาย | ที่เกี่ยวข้องกับความเสียหาย" มีความหมายตรงกับavaria = "ค่าใช้จ่ายในการสร้างความเสียหายหรือความเสียหาย" ชนกลุ่มน้อยของการแสดงความเห็นที่ได้รับที่น่าสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบริเวณที่บันทึกแรกของอิตาลีละตินAvariaได้ในบางกรณีหมายของ "ค่าใช้จ่าย" ในความหมายทั่วไปมากขึ้น - เห็น TLIO (ในอิตาลี) มุมมองส่วนใหญ่คือความหมายของ "ค่าใช้จ่าย" คือการขยายตัวจาก "ค่าใช้จ่ายความเสียหายและความเสียหาย" และลำดับความหมายในบันทึกก็สนับสนุนมุมมองนี้และความหมายกว้าง ๆ "ค่าใช้จ่าย" ไม่เคยเป็นที่แพร่หลายมากที่สุด ใช้ความหมาย บนพื้นฐานของประเด็นข้างต้นขั้นตอนการอนุมานนั้นทำขึ้นว่าคำ Latinate มาหรืออาจมาจากคำภาษาอาหรับ
^ เรย์จอห์น (1674) คอลเลกชันของอังกฤษคำที่ไม่ได้ใช้โดยทั่วไป ลอนดอน: เอชบรูจส์ สืบค้นเมื่อ18 พฤษภาคม 2558 .
^ "ค่าเฉลี่ย n.2" OED ออนไลน์ กันยายน 2019 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (เข้าถึง 5 กันยายน 2019)
^ ก ข Libertz, Daniel (2018-12-31). "กรอบสำหรับการโกหก: สถิติเป็นใน / หลักฐานศิลปะ" Res Rhetorica . 5 (4). ดอย : 10.29107 / rr2018.4.1 . ISSN 2392-3113

ลิงก์ภายนอก

มัธยฐานเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิตถ่วงน้ำหนักของการสังเกตตัวอย่างทั้งหมด
การคำนวณและการเปรียบเทียบระหว่างค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเรขาคณิตของสองค่า

[1] Merigo, Jose M. ; คานาโนวาส, มอนต์เซอร์รัต (2552). "การทั่วไป Averaging ไฮบริดผู้ประกอบการและการประยุกต์ใช้ในการตัดสินใจ" วารสารวิธีการเชิงปริมาณเศรษฐศาสตร์และบริหารธุรกิจ . 9 : 69–84. ISSN 1886-516X^{[ ลิงก์ตายถาวร ]}

[Bibby-2] ก ข บิบบีจอห์น (1974) "Axiomatisations ของเฉลี่ยและหลักเกณฑ์ต่อไปของลำดับต่อเนื่อง" กลาสโกว์คณิตศาสตร์ Journal 15 : 63–65. ดอย : 10.1017 / s0017089500002135 .

[3] กล่อง George EP; เจนกินส์ Gwilym M. (1976). การวิเคราะห์อนุกรมเวลา: การพยากรณ์และการควบคุม (ฉบับแก้ไข) โฮลเดน - วัน ISBN 0816211043.

[4] เฮย์กินไซมอน (1986) ทฤษฎีการปรับตัวกรอง ศิษย์ฮอลล์. ISBN 0130040525.

[ReferenceA-5] ก ข Plackett, RL (2501). "การศึกษาประวัติศาสตร์ความน่าจะเป็นและสถิติ: VII. The Principle of the Arithmetic Mean". ไบโอเมตริก้า . 45 (1/2): 130–135 ดอย : 10.2307 / 2333051 . JSTOR 2333051

[york.ac.uk-6] Eisenhart, Churchill "การพัฒนาแนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ยที่ดีที่สุดของชุดการวัดตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงปัจจุบัน" ที่อยู่ประธานาธิบดีที่ไม่ได้เผยแพร่สมาคมสถิติอเมริกันการประชุมประจำปีครั้งที่ 131 ฟอร์ตคอลลินส์โคโลราโด พ.ศ. 2514

[amstatbakker-7] ข แบกเกอร์, อาร์เธอร์ "ประวัติศาสตร์ยุคแรกของค่าเฉลี่ยและผลกระทบต่อการศึกษา" วารสารสถิติการศึกษา 11.1 (2546): 17-26.

[8] "Waterfield, Robin" The theology of arithmetic. On the Mystical, mathematical and Cosmological Symbolism of the First Ten Number (1988). page 70 " (PDF) . เก็บจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 2016-03-04 . สืบค้นเมื่อ2018-11-27 .

[9] ภาษาอาหรับในยุคกลางมีعورʿ awrแปลว่า "ตาบอดในตาข้างเดียว" และعوار āawārหมายถึง "ข้อบกพร่องใด ๆ หรือสิ่งใด ๆ ที่บกพร่องหรือเสียหาย" บางพจนานุกรมภาษาอาหรับในยุคกลางที่มีความ Baheth.info เก็บไว้ 2013/10/29 ที่เครื่อง Waybackและแปลเป็นภาษาอังกฤษบางส่วนของสิ่งที่อยู่ในพจนานุกรมภาษาอาหรับในยุคกลางที่อยู่ในเลนของอาหรับพจนานุกรมอังกฤษหน้า 2193 และ 2195 พจนานุกรมยุคกลางที่ไม่ได้แสดงรายการคำฟอร์มعوارية'awārīa ʿAwārīaสามารถสร้างขึ้นตามธรรมชาติในไวยากรณ์ภาษาอาหรับเพื่ออ้างถึงสิ่งที่มี ʿawārแต่ในทางปฏิบัติในตำราภาษาอาหรับยุคกลาง ʿawārīaเป็นสิ่งที่หายากหรือไม่มีอยู่จริงในขณะที่รูปแบบعواريʿ awārīและعوارةʿ awāraมักใช้เมื่อกล่าวถึงสิ่งที่มี ʿawārหรือความเสียหาย - สามารถดูได้ในคอลเลคชันข้อความยุคกลางที่ค้นหาได้ที่ AlWaraq.net (ลิงก์หนังสือสามารถคลิกได้ทางด้านขวา)

[Avaria-10] แหล่งกำเนิดอาวาเรียในภาษาอาหรับได้รับการรายงานครั้งแรกโดย Reinhart Dozy ในศตวรรษที่ 19 Dozy รายงานสรุปเดิมขึ้นในปี 1869 หนังสือของเขาGlossaire ข้อมูลสรุปเกี่ยวกับประวัติต้นของคำในภาษาละติน, อิตาลี, คาตาลัน, และฝรั่งเศสที่avarie @ CNRTL.fr เก็บไว้ 2019/01/06 ที่เครื่อง Wayback เมืองท่าของเจนัวเป็นที่ตั้งของบันทึกที่เก่าแก่ที่สุดซึ่งเป็นที่รู้จักในภาษายุโรปในปี ค.ศ. 1157 ชุดของบันทึกภาษาละตินยุคกลางของavariaที่เจนัวอยู่ในพจนานุกรมVocabolario Ligure ที่ดาวน์โหลดได้โดย Sergio Aprosio ปี 2001 avariaในเล่ม 1 หน้า 115-116. บันทึกอื่น ๆ อีกมากมายในยุคกลางละตินที่เจนัวอยู่ที่StoriaPatriaGenova.itมักจะอยู่ในรูปพหูพจน์avariisและavarias ที่ท่าเรือมาร์เซย์ใน 1 ครึ่งหนึ่งของศตวรรษที่ 13 การรับรองสัญญาการค้ามีหลายสิบของกรณีของละตินavariis (พหูพจน์ระเหยของAvaria ) เช่นการตีพิมพ์ในBlancard ปี 1884 ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับคำภาษาอังกฤษตลอดหลายศตวรรษที่NED (ปี 1888) ดูคำจำกัดความของ "ค่าเฉลี่ย" ของภาษาอังกฤษในพจนานุกรมภาษาอังกฤษที่ตีพิมพ์ในช่วงต้นศตวรรษที่ 18 เช่นในช่วงเวลาก่อนการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ของความหมาย: พจนานุกรม Kersey-Phillips (1706) , พจนานุกรมของ Blount (ฉบับ 1707) , พจนานุกรม Hatton ของ (1712) , เบลีย์พจนานุกรม (1726) , มาร์ตินพจนานุกรม (1749) ความซับซ้อนบางรอบประวัติศาสตร์คำภาษาอังกฤษที่ได้รับการกล่าวถึงในHensleigh เวดจ์ปี 1882 หน้า 11และวอลเตอร์ Skeat ปี 1888 หน้า 781 วันนี้มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่า: (# 1) "ค่าเฉลี่ย" ภาษาอังกฤษในปัจจุบันมาจากavariaอิตาลีในยุคกลาง, คาตาลันavariaและ (# 2) ในหมู่ชาวลาตินคำว่าavariaเริ่มต้นในศตวรรษที่ 12 และเริ่มเป็นคำว่าทะเลเมดิเตอร์เรเนียน การค้าและ (# 3) ไม่มีรากสำหรับavariaที่จะพบในภาษาละตินและ (# 4) คำภาษาอาหรับจำนวนมากที่ป้อนภาษาอิตาลีคาตาลันและภาษาโพรวองซัลในศตวรรษที่ 12 และ 13 โดยเริ่มจากการค้าทางทะเลในทะเลเมดิเตอร์เรเนียน และ (# 5) ภาษาอาหรับʿawār | ʿawārīเป็นคำที่เข้ากันได้ดีกับavariaเนื่องจากการแปลง w เป็น v เป็นภาษาละตินและอิตาลีเป็นประจำและ-iaเป็นคำต่อท้ายในภาษาอิตาลีและบันทึกที่เก่าแก่ที่สุดของคำตะวันตกเป็นภาษาที่พูดภาษาอิตาลี (เขียนเป็นภาษาละติน) และผู้แสดงความคิดเห็นส่วนใหญ่ยอมรับว่า (# 6) ภาษาอาหรับʿawār | ʿawārī = "ความเสียหาย | ที่เกี่ยวข้องกับความเสียหาย" มีความหมายตรงกับavaria = "ค่าใช้จ่ายในการสร้างความเสียหายหรือความเสียหาย" ชนกลุ่มน้อยของการแสดงความเห็นที่ได้รับที่น่าสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้ในบริเวณที่บันทึกแรกของอิตาลีละตินAvariaได้ในบางกรณีหมายของ "ค่าใช้จ่าย" ในความหมายทั่วไปมากขึ้น - เห็น TLIO (ในอิตาลี) มุมมองส่วนใหญ่คือความหมายของ "ค่าใช้จ่าย" คือการขยายตัวจาก "ค่าใช้จ่ายความเสียหายและความเสียหาย" และลำดับความหมายในบันทึกก็สนับสนุนมุมมองนี้และความหมายกว้าง ๆ "ค่าใช้จ่าย" ไม่เคยเป็นที่แพร่หลายมากที่สุด ใช้ความหมาย บนพื้นฐานของประเด็นข้างต้นขั้นตอนการอนุมานนั้นทำขึ้นว่าคำ Latinate มาหรืออาจมาจากคำภาษาอาหรับ

[11] เรย์จอห์น (1674) คอลเลกชันของอังกฤษคำที่ไม่ได้ใช้โดยทั่วไป ลอนดอน: เอชบรูจส์ สืบค้นเมื่อ18 พฤษภาคม 2558 .

[12] "ค่าเฉลี่ย n.2" OED ออนไลน์ กันยายน 2019 สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด. https://www.oed.com/view/Entry/13681 (เข้าถึง 5 กันยายน 2019)

[:0-13] ก ข Libertz, Daniel (2018-12-31). "กรอบสำหรับการโกหก: สถิติเป็นใน / หลักฐานศิลปะ" Res Rhetorica . 5 (4). ดอย : 10.29107 / rr2018.4.1 . ISSN 2392-3113