เครื่องบินที่ซับซ้อน

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนจำนวนเชิงซ้อนจะแสดงโดยสัญลักษณ์zซึ่งสามารถแยกออกเป็นส่วนจริง ( x ) และจินตภาพ ( y ):

${\ displaystyle z = x + iy}$

ตัวอย่างเช่น: Z = 4 + 5 ฉันที่xและy ที่เป็นตัวเลขจริงและฉันเป็นหน่วยจินตภาพ ในประเพณีนี้สัญกรณ์ที่ซับซ้อนจำนวนZสอดคล้องกับจุด ( x , Y ) ในเครื่องบินคาร์ทีเซียน

ในระนาบคาร์ทีเซียนจุด ( x , y ) สามารถแสดงในพิกัดเชิงขั้วได้เช่นกัน

${\ displaystyle (x, y) = (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) \ qquad (r, \ theta) = \ left ({\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} }, \ quad \ arctan {\ frac {y} {x}} \ right).}$

ในระนาบคาร์ทีเซียนอาจสันนิษฐานได้ว่าอาร์กแทนเจนต์รับค่าจาก - π / 2ถึงπ / 2 ( เป็นเรเดียน ) และต้องใช้ความระมัดระวังเพื่อกำหนดฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์ที่สมบูรณ์ยิ่งขึ้นสำหรับจุด ( x , y ) เมื่อx ≤ 0. ^{[หมายเหตุ 2]}ในระนาบเชิงซ้อนพิกัดเชิงขั้วเหล่านี้อยู่ในรูปแบบ

${\ displaystyle z = x + iy = | z | \ left (\ cos \ theta + i \ sin \ theta \ right) = | z | e ^ {i \ theta}}$

ที่ไหน

${\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}; \ quad \ theta = \ arg (z) = {\ frac {1} {i}} \ ln {\ frac {z} {| z |}} = - i \ ln {\ frac {z} {| z |}}. \,}$^{[หมายเหตุ 3]}

ที่นี่ | z | เป็นค่าสัมบูรณ์หรือโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนZ ; θการโต้แย้งของZ , มักจะดำเนินการในช่วง 0 ≤ θ <2 π ; และความเสมอภาคที่ผ่านมา (ไป | Z | E ^iθ ) จะนำมาจากสูตรออยเลอร์ ได้ไม่ จำกัด ในช่วงของการθอาร์กิวเมนต์ของZมีหลายมูลค่าเพราะการทำงานที่ซับซ้อนชี้แจงเป็นระยะ ๆ โดยมีระยะเวลา 2 πฉัน ดังนั้นถ้าθเป็นค่าหนึ่งของ arg ( z ) ค่าอื่น ๆ จะถูกกำหนดโดย arg ( z ) = θ + 2 nπโดยที่nคือจำนวนเต็มใด ๆ ≠ 0 ^[2]

ในขณะที่ไม่ค่อยมีการใช้อย่างชัดเจนมุมมองทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนนั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างของเวกเตอร์แบบยุคลิดสเปซของมิติที่ 2 โดยปริยายซึ่งผลคูณภายในของจำนวนเชิงซ้อนwและzจะได้รับจาก${\ displaystyle \ Re (w {\ overline {z}})}$; จากนั้นสำหรับจำนวนเชิงซ้อนzค่าสัมบูรณ์ | z | สอดคล้องกับบรรทัดฐานของยุคลิดและโต้แย้งหาเรื่อง ( Z )กับเปลี่ยนมุมจาก 1 ถึง  Z

ทฤษฎีการรวมรูปร่างประกอบด้วยส่วนสำคัญของการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน ในบริบทนี้ทิศทางของการเดินทางรอบ ๆ เส้นโค้งปิดมีความสำคัญ - การย้อนกลับทิศทางที่เส้นโค้งเคลื่อนที่จะคูณค่าของอินทิกรัลด้วย −1 ตามแบบแผนทิศทางบวกคือทวนเข็มนาฬิกา ตัวอย่างเช่นวงกลมหน่วยเคลื่อนที่ไปในทิศทางบวกเมื่อเราเริ่มต้นที่จุดz = 1 จากนั้นเดินทางขึ้นไปทางซ้ายผ่านจุดz = iจากนั้นลงและไปทางซ้ายผ่าน −1 จากนั้นลงและไปที่ ทางขวาผ่าน - iและสุดท้ายขึ้นไปทางขวาถึงz = 1 จุดที่เราเริ่มต้น

การวิเคราะห์ที่ซับซ้อนเกือบทั้งหมดเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันที่ซับซ้อน  นั่นคือกับฟังก์ชันที่แมปเซตย่อยบางส่วนของระนาบเชิงซ้อนเข้ากับเซตย่อยอื่น ๆ (อาจทับซ้อนกันหรือเหมือนกัน) ของระนาบเชิงซ้อน ที่นี่เป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงโดเมนของf ( z ) ว่าอยู่ในz -plane ในขณะที่อ้างถึงช่วงของf ( z ) เป็นชุดของจุดในw -plane ในสัญลักษณ์ที่เราเขียน

${\ displaystyle z = x + iy; \ qquad f (z) = w = u + iv}$

และมักจะคิดว่าฟังก์ชันfเป็นการแปลงจากz -plane (พร้อมพิกัด ( x , y )) เป็นw -plane (พร้อมพิกัด ( u , v ))

Riemann sphereซึ่งทำแผนที่ทุกจุดบนทรงกลมยกเว้นจุดหนึ่งกับทุกจุดบนระนาบที่ซับซ้อน

การคิดระนาบเชิงซ้อนนั้นจะมีประโยชน์เหมือนกับว่ามันยึดครองพื้นผิวของทรงกลม กำหนดรัศมีหน่วยเป็นทรงกลมให้วางจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิดของระนาบเชิงซ้อนโดยเน้นให้เส้นศูนย์สูตรของทรงกลมตรงกับวงกลมหน่วยในระนาบและขั้วเหนืออยู่ "เหนือ" ระนาบ

เราสามารถสร้างความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดบนพื้นผิวของทรงกลมลบขั้วเหนือและจุดในระนาบเชิงซ้อนได้ดังนี้ กำหนดจุดในระนาบให้ลากเส้นตรงที่เชื่อมต่อกับขั้วเหนือบนทรงกลม เส้นนั้นจะตัดกับพื้นผิวของทรงกลมในอีกจุดหนึ่ง จุดz = 0จะฉายไปที่ขั้วใต้ของทรงกลม เนื่องจากด้านในของวงกลมหน่วยอยู่ภายในทรงกลมพื้นที่ทั้งหมด ( | z | <1 ) จะถูกจับคู่กับซีกโลกใต้ วงกลมหน่วย ( | z | = 1 ) จะถูกแมปเข้ากับเส้นศูนย์สูตรและด้านนอกของวงกลมหน่วย ( | z |> 1 ) จะถูกแมปลงบนซีกโลกเหนือลบด้วยขั้วเหนือ เห็นได้ชัดว่าขั้นตอนนี้สามารถย้อนกลับได้ - เนื่องจากจุดใด ๆ บนพื้นผิวของทรงกลมที่ไม่ใช่ขั้วเหนือเราสามารถลากเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดนั้นกับขั้วเหนือและตัดกับระนาบแบนในจุดเดียว

ภายใต้การฉายภาพสามมิตินี้ขั้วเหนือนั้นไม่เกี่ยวข้องกับจุดใด ๆ ในระนาบที่ซับซ้อน เราทำให้การโต้ตอบแบบตัวต่อตัวสมบูรณ์แบบโดยการเพิ่มอีกหนึ่งจุดให้กับระนาบที่ซับซ้อน - จุดที่เรียกว่าอินฟินิตี้  - และระบุด้วยขั้วเหนือบนทรงกลม นี้พื้นที่ทอพอโลยีเครื่องบินซับซ้อนจุดบวกที่อินฟินิตี้ที่เป็นที่รู้จักกันเป็นระนาบเชิงซ้อนขยาย เราพูดถึง "จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด" จุดเดียวเมื่อกล่าวถึงการวิเคราะห์ที่ซับซ้อน มีจุดสองจุดที่อินฟินิตี้ (บวกและลบ) บนเส้นจำนวนจริงแต่มีเพียงจุดเดียวที่อินฟินิตี้ (ขั้วเหนือ) ในระนาบเชิงซ้อนส่วนขยาย ^[5]

ลองนึกภาพสักครู่ว่าจะเกิดอะไรขึ้นกับเส้นละติจูดและลองจิจูดเมื่อเส้นเหล่านี้ถูกฉายจากทรงกลมไปยังระนาบแบน เส้นรุ้งจะเป็นแนวขนานกับเส้นศูนย์สูตรทั้งหมดดังนั้นพวกเขาจะกลายเป็นวงกลมที่สมบูรณ์แบบมีศูนย์กลางอยู่ที่ต้นกำเนิดZ = 0 และเส้นลองจิจูดจะกลายเป็นเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด (และผ่าน "จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด" ด้วยเนื่องจากเส้นเหล่านี้ผ่านทั้งขั้วเหนือและขั้วใต้บนทรงกลม)

นี่ไม่ใช่สถานการณ์เดียวที่เป็นไปได้ แต่น่าจะเป็นไปได้ของการฉายภาพทรงกลมไปยังระนาบที่ประกอบด้วยค่าตั้งแต่สองค่าขึ้นไป ตัวอย่างเช่นขั้วเหนือของทรงกลมอาจวางอยู่ด้านบนของจุดกำเนิดz = −1ในระนาบที่สัมผัสกับวงกลม รายละเอียดไม่สำคัญจริงๆ การฉายภาพสามมิติของทรงกลมบนระนาบจะทำให้เกิด "จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด" หนึ่งจุดและจะจับคู่เส้นละติจูดและลองจิจูดบนทรงกลมเป็นวงกลมและเส้นตรงตามลำดับในระนาบ

เมื่อพูดถึงฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนมักจะสะดวกที่จะนึกถึงการตัดในระนาบเชิงซ้อน ความคิดนี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในบริบทต่างๆ

ความสัมพันธ์หลายมูลค่าและคะแนนสาขา

พิจารณาความสัมพันธ์สองค่าที่เรียบง่าย

${\ displaystyle w = f (z) = \ pm {\ sqrt {z}} = z ^ {1/2}.}$

ก่อนที่เราจะถือว่าความสัมพันธ์นี้เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเดียวต้อง จำกัด ช่วงของค่าผลลัพธ์ไว้ก่อน เมื่อจัดการกับรากที่สองของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบสิ่งนี้ทำได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่นเราสามารถกำหนดได้

${\ displaystyle y = g (x) = {\ sqrt {x}} \ = x ^ {1/2}}$

จะเป็นจำนวนจริงที่ไม่ใช่เชิงลบYดังกล่าวว่าปี^{ที่ 2} = x แนวคิดนี้ใช้ไม่ได้ผลในระนาบเชิงซ้อนสองมิติ หากต้องการดูสาเหตุให้ลองคิดว่าค่าของf ( z ) แตกต่างกันอย่างไรเมื่อจุดzเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ วงกลมหน่วย เราสามารถเขียน

${\ displaystyle z = re ^ {i \ theta} \ quad {\ mbox {และ take}} \ quad w = z ^ {1/2} = {\ sqrt {r}} \, e ^ {i \ theta / 2} \ qquad (0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi).}$

เห็นได้ชัดว่าเป็นZย้ายทุกทางรอบวงกลมWร่องรอยเดียวที่ออกครึ่งหนึ่งของวงกลม ดังนั้นการเคลื่อนที่ต่อเนื่องหนึ่งครั้งในระนาบเชิงซ้อนได้เปลี่ยนรากที่สองที่เป็นบวกe ⁰ = 1 เป็นรากที่สองเชิงลบe ^iπ = −1

ปัญหานี้เกิดขึ้นเนื่องจากจุดz = 0 มีรากที่สองเพียงหนึ่งในขณะที่จำนวนเชิงซ้อนz ≠ 0 มีรากที่สองทั้งหมด บนเส้นจำนวนจริงเราสามารถหลีกเลี่ยงปัญหานี้ได้โดยการสร้าง "อุปสรรค" ที่จุดเดียวx = 0 จำเป็นต้องมีสิ่งกีดขวางที่ใหญ่กว่าในระนาบที่ซับซ้อนเพื่อป้องกันไม่ให้เส้นขอบปิดล้อมรอบกิ่งไม้จุด z = 0 นี้ จะทำกันทั่วไปโดยการแนะนำตัดสาขา ; ในกรณีนี้ "ตัด" อาจขยายจากจุดz = 0 ตามแกนจริงบวกไปยังจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อให้อาร์กิวเมนต์ของตัวแปรzในระนาบตัดถูก จำกัด ไว้ที่ช่วง 0 ≤ arg ( z ) < 2 π .

ตอนนี้เราสามารถให้คำอธิบายที่สมบูรณ์ของW = Z ½ ในการทำเช่นนั้นเราต้องใช้z -plane สองชุดแต่ละชุดจะตัดตามแกนจริง ในสำเนาหนึ่งชุดเรากำหนดรากที่สองของ 1 เป็น e ⁰ = 1 และอีกอันหนึ่งเรากำหนดรากที่สองของ 1 เป็นe ^iπ = −1 เราขอเรียกร้องทั้งสองสำเนาของการตัดระนาบสมบูรณ์แผ่น ด้วยการสร้างอาร์กิวเมนต์ความต่อเนื่องเราจะเห็นว่าฟังก์ชัน (ตอนนี้มีค่าเดียว) w = z ^½แมปแผ่นงานแรกกับครึ่งบนของw -plane โดยที่ 0 ≤ arg ( w ) < πในขณะที่แมปแผ่นงานที่สองลงใน ครึ่งล่างของw -plane (โดยที่π≤ arg ( w ) <2 π ) ^[6]

สาขาที่ตัดในตัวอย่างนี้ไม่จำเป็นต้องอยู่ตามแกนจริง ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นตรงด้วยซ้ำ เส้นโค้งต่อเนื่องใด ๆ ที่เชื่อมต่อจุดกำเนิดz = 0 กับจุดที่อินฟินิตี้จะใช้ได้ ในบางกรณีการตัดกิ่งไม่จำเป็นต้องผ่านจุดที่อินฟินิตี้ด้วยซ้ำ ตัวอย่างเช่นพิจารณาความสัมพันธ์

${\ displaystyle w = g (z) = \ left (z ^ {2} -1 \ right) ^ {1/2}.}$

ที่นี่พหุนามz ² - 1 จะหายไปเมื่อz = ± 1 ดังนั้นgจึงมีจุดกิ่งสองจุด เราสามารถ "ตัด" ระนาบตามแกนจริงจาก −1 ถึง 1 และได้แผ่นที่g ( z ) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเดียว หรืออีกวิธีหนึ่งคือการตัดสามารถวิ่งจากz = 1 ไปตามแกนจริงบวกผ่านจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดจากนั้น "ขึ้น" แกนจริงเชิงลบไปยังจุดสาขาอื่นz = −1

สถานการณ์นี้จะมองเห็นได้ง่ายที่สุดโดยใช้การฉาย stereographic อธิบายไว้ข้างต้น บนทรงกลมหนึ่งในรอยตัดเหล่านี้วิ่งตามยาวผ่านซีกโลกใต้โดยเชื่อมต่อจุดบนเส้นศูนย์สูตร ( z = −1) กับอีกจุดหนึ่งบนเส้นศูนย์สูตร ( z = 1) และผ่านขั้วใต้ (จุดกำเนิดz = 0) ระหว่างทาง การตัดรุ่นที่สองจะวิ่งตามแนวยาวผ่านซีกโลกเหนือและเชื่อมต่อจุดเส้นศูนย์สูตรสองจุดเดียวกันโดยผ่านขั้วเหนือ (นั่นคือจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด)

การ จำกัด โดเมนของฟังก์ชัน meromorphic

ฟังก์ชั่น meromorphicเป็นฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนที่เป็นholomorphicและดังนั้นจึงวิเคราะห์ทุกที่ในประสิทธิภาพสูงยกเว้นที่แน่นอนหรืออนันต์วท์จำนวนจุด ^{[หมายเหตุ 5]}จุดที่ไม่สามารถกำหนดฟังก์ชันดังกล่าวได้เรียกว่าเสาของฟังก์ชัน meromorphic บางครั้งเสาเหล่านี้ทั้งหมดอยู่ในแนวเส้นตรง ในกรณีนี้นักคณิตศาสตร์อาจกล่าวว่าฟังก์ชันคือ นี่คือตัวอย่างง่ายๆ

ฟังก์ชันแกมมาที่กำหนดโดย

${\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [\ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) ^ {- 1} e ^ {z / n} \ right]}$

โดยที่γคือค่าคงที่ของออยเลอร์ - มาสเชโรนีและมีขั้วอย่างง่ายที่ 0, −1, −2, −3, ... เนื่องจากตัวส่วนหนึ่งตัวในผลคูณที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะหายไปเมื่อzเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มลบ ^{[หมายเหตุ 6]}เนื่องจากเสาทั้งหมดอยู่บนแกนจริงเชิงลบตั้งแต่z = 0 ไปจนถึงจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดฟังก์ชันนี้อาจอธิบายได้ว่า "โฮโลมอร์ฟิคบนระนาบตัดการตัดที่ขยายไปตามแกนจริงเชิงลบจาก 0 ( รวม) ไปยังจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด "

หรืออีกวิธีหนึ่งอาจอธิบายΓ ( z ) เป็น "โฮโลมอร์ฟิกในระนาบตัดด้วย - π z ) < πและไม่รวมจุดz = 0"

การตัดนี้แตกต่างจากการตัดกิ่งที่เราเคยพบมาแล้วเล็กน้อยเนื่องจากการตัดนั้นไม่รวมแกนจริงเชิงลบออกจากระนาบการตัด การตัดกิ่งทิ้งแกนจริงที่เชื่อมต่อกับระนาบตัดด้านหนึ่ง (0 ≤θ ) แต่ตัดออกจากระนาบที่ตัดไปอีกด้านหนึ่ง ( θ <2 π )

แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องแยกส่วนของเส้นตรงทั้งหมดจากz = 0 ถึง −∞ เพื่อสร้างโดเมนที่ domain ( z ) เป็นโฮโลมอร์ฟิก สิ่งที่เราต้องทำจริงๆคือเจาะระนาบด้วยชุดจุดที่นับไม่ถ้วน {0, −1, −2, −3, ... } แต่รูปร่างปิดในระนาบเจาะอาจล้อมรอบหนึ่งหรือมากกว่าของขั้วของΓ (the Z ) ให้ความสำคัญรูปร่างที่ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์โดยทฤษฎีบทสารตกค้าง ด้วยการตัดระนาบที่ซับซ้อนเราไม่เพียง แต่มั่นใจว่าΓ ( z ) เป็นโฮโลมอร์ฟิกในโดเมนที่ถูก จำกัด นี้เท่านั้น แต่เรายังตรวจสอบให้แน่ใจว่าเส้นขอบที่เป็นส่วนประกอบของΓเหนือเส้นโค้งปิดใด ๆ ที่อยู่ในระนาบตัดจะเท่ากับศูนย์

การระบุภูมิภาคคอนเวอร์เจนซ์

ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนมากจะถูกกำหนดโดยชุดอนันต์หรือโดยfractions ต่อเนื่อง การพิจารณาพื้นฐานในการวิเคราะห์นิพจน์ที่ยาวไม่สิ้นสุดเหล่านี้คือการระบุส่วนของระนาบเชิงซ้อนที่พวกมันมาบรรจบกันเป็นค่า จำกัด การตัดในเครื่องบินอาจช่วยให้กระบวนการนี้ง่ายขึ้นดังตัวอย่างต่อไปนี้

พิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดโดยอนุกรมอนันต์

${\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (z ^ {2} + n \ right) ^ {- 2}.}$

เนื่องจากz ² = (- z ) ²สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อนzจึงเห็นได้ชัดว่าf ( z ) เป็นฟังก์ชันคู่ของzดังนั้นการวิเคราะห์จึง จำกัด ไว้ที่ครึ่งหนึ่งของระนาบเชิงซ้อน และเนื่องจากซีรีส์นี้ไม่ได้กำหนดไว้ว่าเมื่อใด

${\ displaystyle z ^ {2} + n = 0 \ quad \ Leftrightarrow \ quad z = \ pm ฉัน {\ sqrt {n}},}$

มันสมเหตุสมผลแล้วที่จะตัดระนาบไปตามแกนจินตภาพทั้งหมดและสร้างการบรรจบกันของอนุกรมนี้โดยที่ส่วนจริงของzไม่ใช่ศูนย์ก่อนที่จะดำเนินการตรวจสอบf ( z ) ที่ยากลำบากยิ่งขึ้นเมื่อzเป็นจำนวนจินตภาพที่บริสุทธิ์ ^{[หมายเหตุ 7]}

ในตัวอย่างนี้การตัดเป็นเพียงความสะดวกเนื่องจากจุดที่ไม่ได้กำหนดผลรวมที่ไม่ได้กำหนดจะถูกแยกออกและระนาบการตัดสามารถถูกแทนที่ด้วยระนาบที่มีการเจาะอย่างเหมาะสม ในบางบริบทจำเป็นต้องมีการตัดและไม่เพียง แต่สะดวก พิจารณาเศษส่วนต่อเนื่องที่ไม่มีที่สิ้นสุดเป็นระยะ

${\ displaystyle f (z) = 1 + {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {\ ddots}}}} }}}}.}$

มันจะแสดงให้เห็นว่าF ( Z ) ลู่เป็นค่าแน่นอนถ้าหากZไม่ได้เป็นจำนวนจริงเชิงลบดังกล่าวว่าZ <-¼ กล่าวอีกนัยหนึ่งขอบเขตการบรรจบกันของเศษส่วนต่อเนื่องนี้คือระนาบตัดซึ่งการตัดจะวิ่งไปตามแกนจริงเชิงลบจาก −¼ ไปยังจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ^[8]

เราได้เห็นแล้วว่ามีความสัมพันธ์กันอย่างไร

${\ displaystyle w = f (z) = \ pm {\ sqrt {z}} = z ^ {1/2}}$

สามารถทำให้เป็นฟังก์ชันมูลค่าเดียวได้โดยการแบ่งโดเมนของfออกเป็นสองแผ่นที่ไม่ได้เชื่อมต่อ นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะ "กาว" ทั้งสองแผ่นกลับเข้าด้วยกันเพื่อสร้างพื้นผิว Riemannแผ่นเดียวซึ่งf ( z ) = z ^1/2สามารถกำหนดเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีภาพเป็นw -plane ทั้งหมด(ยกเว้นจุดw = 0 ) นี่คือวิธีการทำงาน

ลองนึกภาพสองสำเนาของระนาบเชิงซ้อนที่ถูกตัดการตัดขยายไปตามแกนจริงบวกจากz = 0ไปยังจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในแผ่นงานหนึ่งกำหนด0 ≤ arg ( z ) <2 πดังนั้น1 ^1/2 = e ⁰ = 1ตามนิยาม ในแผ่นงานที่สองกำหนด2 π≤ arg ( z ) <4 πดังนั้น1 ^1/2 = e ^iπ = −1อีกครั้งตามนิยาม ตอนนี้ให้พลิกแผ่นงานที่สองโดยให้แกนจินตภาพชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับแกนจินตภาพบนแผ่นงานแรกโดยให้แกนจริงทั้งสองชี้ไปในทิศทางเดียวกันและ "กาว" ทั้งสองแผ่นเข้าด้วยกัน (เพื่อให้ขอบบน แผ่นงานแรกที่มีข้อความ " θ = 0 " เชื่อมต่อกับขอบที่มีข้อความ " θ <4 π " บนแผ่นงานที่สองและขอบของแผ่นงานที่สองที่มีข้อความ " θ = 2 π " เชื่อมต่อกับขอบที่มีข้อความ " θ <2 π "ในแผ่นแรก). ผลลัพธ์คือโดเมนพื้นผิว Riemann ซึ่งf ( z ) = z ^1/2เป็นค่าเดียวและโฮโลมอร์ฟิก (ยกเว้นเมื่อz = 0 ) ^[6]

เพื่อให้เข้าใจว่าเหตุใดfจึงมีค่าเดียวในโดเมนนี้ให้จินตนาการถึงวงจรรอบวงกลมหน่วยเริ่มต้นด้วยz = 1ในแผ่นงานแรก เมื่อ0 ≤θ <2 πเรายังอยู่ในแผ่นงานแรก เมื่อθ = 2 πเราข้ามไปยังแผ่นงานที่สองและจำเป็นต้องสร้างวงจรที่สองรอบ ๆ จุดกิ่งz = 0ก่อนที่จะกลับไปที่จุดเริ่มต้นของเราโดยที่θ = 4 πเทียบเท่ากับθ = 0เนื่องจาก ของวิธีที่เราติดกาวทั้งสองแผ่นเข้าด้วยกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเนื่องจากตัวแปรzทำการหมุนรอบจุดสาขาสองรอบภาพของzในw -plane จะติดตามวงกลมที่สมบูรณ์เพียงวงเดียว

ความแตกต่างอย่างเป็นทางการแสดงให้เห็นว่า

${\ displaystyle f (z) = z ^ {1/2} \ quad \ Rightarrow \ quad f ^ {\ prime} (z) = {\ textstyle {\ frac {1} {2}}} z ^ {- 1 / 2}}$

ซึ่งเราสามารถสรุปได้ว่าอนุพันธ์ของfมีอยู่และ จำกัด อยู่ทุกที่บนพื้นผิว Riemann ยกเว้นเมื่อz = 0 (นั่นคือfคือโฮโลมอร์ฟิกยกเว้นเมื่อz = 0 )

Riemann พื้นผิวสำหรับฟังก์ชั่นได้อย่างไร

${\ displaystyle w = g (z) = \ left (z ^ {2} -1 \ right) ^ {1/2},}$

ยังกล่าวถึงข้างต้นจะสร้าง? เราเริ่มต้นด้วยz -plane สองชุดอีกครั้งแต่คราวนี้แต่ละอันถูกตัดตามส่วนของเส้นตรงจริงที่ขยายจากz = −1ถึงz = 1 - นี่คือจุดกิ่งสองจุดของg ( z ) เราพลิกหนึ่งในนี้กลับหัวดังนั้นแกนจินตภาพทั้งสองจึงชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามและกาวขอบที่ตรงกันของแผ่นงานทั้งสองแผ่นเข้าด้วยกัน เราสามารถตรวจสอบว่ากรัมเป็นฟังก์ชันที่ valued เดียวบนพื้นผิวนี้โดยการติดตามวงจรรอบวงกลมของหน่วยรัศมีศูนย์กลางที่Z = 1 เริ่มที่จุดZ = 2บนแผ่นแรกที่เราเปิดครึ่งรอบวงกลมก่อนที่จะเผชิญหน้าตัดที่Z = 0 ตัดกองกำลังสหรัฐลงบนแผ่นที่สองเพื่อที่ว่าเมื่อZได้ตรวจสอบออกหนึ่งเปิดเต็มรูปแบบรอบจุดสาขาZ = 1 , Wได้ดำเนินการเพียงครึ่งหนึ่งของการเปิดเต็มรูปแบบสัญลักษณ์ของWได้กลับ (ตั้งแต่อี^iπ = −1 ) และเส้นทางของเราพาเราไปยังจุดz = 2บนแผ่นที่สองของพื้นผิว ต่อไปอีกครึ่งเทิร์นเราจะพบอีกด้านหนึ่งของการตัดโดยที่z = 0และในที่สุดก็มาถึงจุดเริ่มต้นของเรา ( z = 2ในแผ่นงานแรก ) หลังจากทำการเทิร์นเต็มสองรอบรอบ ๆ จุดกิ่งไม้

วิธีธรรมชาติที่จะติดป้ายθ = หาเรื่อง ( Z )ในตัวอย่างนี้คือการตั้งค่า- π < θ ≤ πบนแผ่นแรกกับπ < θ ≤ 3 πที่สอง แกนจินตภาพบนแผ่นงานทั้งสองชี้ไปในทิศทางตรงกันข้ามกันเพื่อรักษาความรู้สึกของการหมุนในเชิงบวกตามเข็มนาฬิกาไว้เนื่องจากเส้นขอบปิดจะเคลื่อนจากแผ่นงานหนึ่งไปยังอีกแผ่นหนึ่ง (โปรดจำไว้ว่าแผ่นงานที่สองจะกลับหัว ) ลองนึกภาพพื้นผิวนี้ฝังอยู่ในปริภูมิสามมิติโดยทั้งสองแผ่นขนานกับxy -plane จากนั้นดูเหมือนว่าจะมีรูแนวตั้งบนพื้นผิวซึ่งรอยตัดทั้งสองจะถูกรวมเข้าด้วยกัน จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการตัดถูกสร้างจากz = −1ลงแกนจริงไปยังจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดและจากz = 1ขึ้นแกนจริงจนกว่าการตัดจะบรรจบกัน สามารถสร้างพื้นผิว Riemann ได้อีกครั้ง แต่คราวนี้ "รู" เป็นแนวนอน เมื่อพูดถึงลักษณะเฉพาะแล้วพื้นผิว Riemann ทั้งสองรุ่นนี้มีความเท่าเทียมกัน - เป็นพื้นผิวสองมิติที่ปรับทิศทางได้ของสกุลที่หนึ่ง

ในทฤษฎีการควบคุมการใช้ระนาบเชิงซ้อนเรียกว่า ' s-plane ' ใช้เพื่อแสดงภาพรากของสมการที่อธิบายพฤติกรรมของระบบ (สมการลักษณะเฉพาะ) ในรูปแบบกราฟิก โดยปกติสมการจะแสดงเป็นพหุนามในพารามิเตอร์ 's' ของการแปลงลาปลาซดังนั้นชื่อระนาบ จุดในระนาบอยู่ในรูปแบบ${\ displaystyle s = \ sigma + j \ omega}$โดยที่'j'ถูกใช้แทน'i'ตามปกติเพื่อแสดงส่วนประกอบจินตภาพ

การใช้ระนาบเชิงซ้อนที่เกี่ยวข้องอีกประการหนึ่งคือการใช้เกณฑ์เสถียรภาพของนิควิสต์ นี่คือหลักการทางเรขาคณิตที่ช่วยให้เสถียรภาพของระบบป้อนกลับวงปิดสามารถกำหนดได้โดยการตรวจสอบพล็อต Nyquistของขนาดวงเปิดและการตอบสนองเฟสเป็นฟังก์ชันของความถี่ (หรือฟังก์ชันการถ่ายโอนลูป) ในระนาบที่ซับซ้อน

'z-plane' เป็นรุ่นที่ไม่ต่อเนื่องของ s-plane ซึ่งใช้z-transformแทนการแปลง Laplace

เครื่องบินที่ซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับการที่แตกต่างกันสองช่องว่างกำลังสอง สำหรับจุดz = x + iyในระนาบเชิงซ้อนฟังก์ชันกำลังสอง z ²และบรรทัดฐานกำลังสอง${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2}}$มีทั้งรูปแบบสมการกำลังสอง อดีตมักถูกละเลยเนื่องจากการใช้ในการตั้งค่าตัวชี้วัดบนระนาบที่ซับซ้อน เหล่านี้ใบหน้าที่แตกต่างของเครื่องบินซับซ้อนเป็นพื้นที่กำลังสองเกิดขึ้นในการก่อสร้างของจีบมากกว่าสนามกับกระบวนการเคย์ลี-ดิกสัน โพรซีเดอร์นั้นสามารถนำไปใช้กับฟิลด์ใดก็ได้และผลลัพธ์ที่แตกต่างกันจะเกิดขึ้นสำหรับฟิลด์ℂและℂ: เมื่อℝเป็นฟิลด์เทกออฟจากนั้นℂจะถูกสร้างด้วยรูปแบบกำลังสอง${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$แต่กระบวนการนี้สามารถเริ่มต้นด้วยℂและz ^{2 ได้}เช่นกันและกรณีนั้นจะสร้างอัลเกบราที่แตกต่างจากที่ได้มาจากℝ ในกรณีใด ๆ จีบราส์ที่สร้างขึ้นมีจีบองค์ประกอบ ; ในกรณีนี้ระนาบเชิงซ้อนคือจุดที่กำหนดไว้สำหรับ algebras ที่มีองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองแบบ

ส่วนก่อนหน้าของบทความนี้จัดการกับระนาบที่ซับซ้อนในแง่ของการแทนค่าทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน แม้ว่าการใช้คำว่า "ระนาบเชิงซ้อน" นี้จะมีประวัติศาสตร์อันยาวนานและร่ำรวยทางคณิตศาสตร์ แต่ก็ไม่ได้เป็นเพียงแนวคิดทางคณิตศาสตร์เพียงอย่างเดียวที่สามารถระบุได้ว่าเป็น "ระนาบเชิงซ้อน" มีความเป็นไปได้เพิ่มเติมอย่างน้อยสามประการ

1. สองมิติปริภูมิเวกเตอร์ที่ซับซ้อน "เครื่องบินที่ซับซ้อน" ในแง่ที่ว่ามันเป็นพื้นที่เวกเตอร์สองมิติที่มีพิกัดเป็นตัวเลขที่ซับซ้อน ดูเพิ่มเติม: พื้นที่เลียนแบบคอมเพล็กซ์§สองมิติ
2. (1 + 1) -dimensional Minkowski spaceหรือที่เรียกว่าSplit-Complex Planeคือ "ระนาบเชิงซ้อน" ในแง่ที่ว่าจำนวนเชิงซ้อนแยกเชิงพีชคณิตสามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบจริงสองส่วนที่เชื่อมโยงกับจุดได้ง่าย( x , y )ในระนาบคาร์ทีเซียน
3. นอกจากนี้ยังสามารถวางชุดของตัวเลขคู่ทับค่าเรียลลงในการโต้ตอบแบบตัวต่อตัวกับจุด( x , y )ของระนาบคาร์ทีเซียนและเป็นตัวแทนอีกตัวอย่างหนึ่งของ "ระนาบเชิงซ้อน"

ในขณะที่คำศัพท์ "เครื่องบินที่ซับซ้อน" ได้รับการยอมรับในอดีตวัตถุที่จะได้รับการตั้งชื่ออย่างเหมาะสมมากขึ้น "สายที่ซับซ้อน" มันเป็น 1 มิติปริภูมิเวกเตอร์ที่ซับซ้อน

Mandelbrot Fractalถ่ายภาพบนระนาบที่ซับซ้อน

• แผนภาพกลุ่มดาว
• Riemann ทรงกลม
• s- เครื่องบิน
• ส่วนประกอบในเฟสและพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส
• สายจริง

อ้างถึงผลงาน

• ฟลานิแกนฟรานซิสเจ (2526). ตัวแปรที่ซับซ้อน: ฟังก์ชั่นฮาร์มอนิและการวิเคราะห์ โดเวอร์. ISBN 0-486-61388-7.CS1 maint: อ้างอิงค่าเริ่มต้นที่ซ้ำกัน ( ลิงค์ )
• Moretti, Gino (2507) ฟังก์ชั่นของตัวแปรที่ซับซ้อน ศิษย์ฮอลล์.CS1 maint: อ้างอิงค่าเริ่มต้นที่ซ้ำกัน ( ลิงค์ )
• วอลล์ HS (2491) ทฤษฎีการวิเคราะห์เศษส่วนต่อเนื่อง . บริษัท D. Van NostrandCS1 maint: อ้างอิงค่าเริ่มต้นที่ซ้ำกัน ( ลิงค์ ) พิมพ์ซ้ำ (1973) โดย Chelsea Publishing Company ไอ 0-8284-0207-8 .
• Whittaker, ET ; วัตสัน GN (2470) หลักสูตรการวิเคราะห์สมัยใหม่ (Fourth ed.) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์CS1 maint: อ้างอิงค่าเริ่มต้นที่ซ้ำกัน ( ลิงค์ )

• Weisstein, Eric W. "Argand Diagram" . แม ธ เวิลด์
• ฌอง - โรเบิร์ตอาร์แกนด์ "Essai sur une manière de représenter des quantités imaginaires dans les constructions géométriques", 1806, ออนไลน์และวิเคราะห์บนBibNum [สำหรับเวอร์ชันภาษาอังกฤษคลิก "àtélécharger"]