• logo

ความเร็วเชิงมุม

ในฟิสิกส์ , ความเร็วเชิงมุม ( ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}} {\ boldsymbol {\ omega}} หรือ Ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ Omega}}} {\ boldsymbol {\ Omega}}) ยังเป็นที่รู้จักกันเป็นเวกเตอร์ความถี่เชิงมุม , [1]เป็นตัวชี้วัดเวกเตอร์ของอัตราการหมุนที่หมายถึงวิธีการอย่างรวดเร็วหมุนวัตถุหรือหมุนเทียบกับอีกจุดหนึ่งคือวิธีการที่รวดเร็วตำแหน่งหรือการวางแนวทางของการเปลี่ยนแปลงวัตถุที่มีเวลาเชิงมุม

ความเร็วเชิงมุม
สัญลักษณ์ทั่วไป
ω
ในหน่วยฐาน SIs −1
กว้างขวาง ?ใช่
เร่งรัด ?ใช่ (สำหรับร่างกายที่แข็งเท่านั้น)
อนุรักษ์ ?ไม่
พฤติกรรมภายใต้การเปลี่ยนแปลงเชิง
ประสาน
pseudovector
ที่มาจาก
ปริมาณอื่น ๆ
ω = d θ / d t
มิติ ที - 1 {\ displaystyle {\ mathsf {T}} ^ {- 1}} {\ displaystyle {\ mathsf {T}} ^ {- 1}}

ความเร็วเชิงมุมมีสองประเภท ความเร็วเชิงมุมของวงโคจรหมายถึงความเร็วที่วัตถุจุดหมุนรอบจุดกำเนิดคงที่นั่นคืออัตราเวลาของการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งเชิงมุมที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิด ความเร็วเชิงมุมของสปินหมายถึงความเร็วที่ร่างกายแข็งหมุนตามจุดศูนย์กลางของการหมุนและไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกแหล่งกำเนิดตรงกันข้ามกับความเร็วเชิงมุมของวงโคจร

โดยทั่วไปความเร็วเชิงมุมมีขนาดของมุมต่อหน่วยเวลา (มุมแทนที่ระยะทางจากความเร็วเชิงเส้นด้วยเวลาร่วมกัน) SI หน่วยของความเร็วเชิงมุมเป็นเรเดียนต่อวินาที , [2]กับเรเดียนเป็นปริมาณมิติดังนั้นหน่วย SI ของความเร็วเชิงมุมอาจถูกระบุว่าเป็น s -1 ความเร็วเชิงมุมมักแสดงด้วยสัญลักษณ์โอเมก้า ( ωบางครั้งΩ ) ตามแบบแผนความเร็วเชิงมุมบวกแสดงถึงการหมุนทวนเข็มนาฬิกาในขณะที่ค่าลบคือตามเข็มนาฬิกา

ตัวอย่างเช่นดาวเทียม geostationary จะโคจรครบหนึ่งวงต่อวันเหนือเส้นศูนย์สูตรหรือ 360 องศาต่อ 24 ชั่วโมงและมีความเร็วเชิงมุมω = (360 °) / (24 h) = 15 ° / h หรือ (2π rad) / ( 24 ชม.) ≈ 0.26 rad / h ถ้าวัดมุมเป็นเรเดียนความเร็วเชิงเส้นคือรัศมีคูณด้วยความเร็วเชิงมุม v = ร ω {\ displaystyle v = r \ omega} {\ displaystyle v = r \ omega}. ด้วยรัศมีวงโคจร 42,000 กม. จากใจกลางโลกความเร็วของดาวเทียมผ่านอวกาศจึงเป็นv = 42,000 กม. × 0.26 / ชม. ≈ 11,000 กม. / ชม. ความเร็วเชิงมุมเป็นบวกเนื่องจากดาวเทียมเดินทางไปทางทิศตะวันออกพร้อมกับการหมุนของโลก (ทวนเข็มนาฬิกาจากเหนือขั้วเหนือ)

ความเร็วเชิงมุมคือpseudovectorโดยขนาดของมันจะวัดความเร็วเชิงมุมอัตราที่วัตถุหมุนหรือหมุนและทิศทางของมันชี้ตั้งฉากกับระนาบการหมุนทันทีหรือการกระจัดเชิงมุม การวางแนวของความเร็วเชิงมุมที่ระบุไว้ตามอัตภาพโดยกฎขวามือ [3]

ความเร็วเชิงมุมวงโคจรของอนุภาคจุด

อนุภาคในสองมิติ

ความเร็วเชิงมุมของอนุภาคที่ Pเกี่ยวกับต้นกำเนิด Oจะถูกกำหนดโดย องค์ประกอบในแนวตั้งฉากของเวกเตอร์ความเร็ว วี

ในกรณีที่ง่ายที่สุดของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่รัศมี ร {\ displaystyle r} rด้วยตำแหน่งที่กำหนดโดยการกระจัดเชิงมุม ϕ ( t ) {\ displaystyle \ phi (t)} \phi (t) จากแกน x ความเร็วเชิงมุมของวงโคจรคืออัตราการเปลี่ยนมุมตามเวลา: ω = ง ϕ ง t {\ textstyle \ omega = {\ frac {d \ phi} {dt}}} {\textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}. ถ้า ϕ {\ displaystyle \ phi} \phi วัดเป็นเรเดียนความยาวส่วนโค้งจากแกน x บวกรอบวงกลมถึงอนุภาคคือ ℓ = ร ϕ {\ displaystyle \ ell = r \ phi} {\displaystyle \ell =r\phi }และความเร็วเชิงเส้นคือ v ( t ) = ง ℓ ง t = ร ω ( t ) {\ textstyle v (t) = {\ frac {d \ ell} {dt}} = r \ omega (t)} {\textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}, ดังนั้น ω = v ร {\ textstyle \ omega = {\ frac {v} {r}}} {\textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}.

ในกรณีทั่วไปของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในระนาบความเร็วเชิงมุมของวงโคจรคืออัตราที่เวกเตอร์ตำแหน่งเทียบกับมุมที่เลือก "กวาดออก" แผนภาพแสดงเวกเตอร์ตำแหน่ง ร {\ displaystyle \ mathbf {r}} \mathbf {r} จากแหล่งกำเนิด โอ {\ displaystyle O} O เป็นอนุภาค ป {\ displaystyle P} Pด้วยพิกัดเชิงขั้ว ( ร , ϕ ) {\ displaystyle (r, \ phi)} {\displaystyle (r,\phi )}. (ตัวแปรทั้งหมดเป็นฟังก์ชันของเวลา t {\ displaystyle t} t.) อนุภาคมีความเร็วเชิงเส้นแยกเป็น v = v ‖ + v ⊥ {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {\ |} + \ mathbf {v} _ {\ perp}} {\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\|}+\mathbf {v} _{\perp }}ด้วยองค์ประกอบรัศมี v ‖ {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ |}} {\displaystyle \mathbf {v} _{\|}} ขนานกับรัศมีและส่วนประกอบข้ามรัศมี (หรือเส้นสัมผัส) v ⊥ {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}} \mathbf{v}_\perpตั้งฉากกับรัศมี เมื่อไม่มีส่วนประกอบในแนวรัศมีอนุภาคจะเคลื่อนที่ไปรอบ ๆ จุดกำเนิดเป็นวงกลม แต่เมื่อไม่มีส่วนประกอบแนวรัศมีมันจะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงจากจุดกำเนิด เนื่องจากการเคลื่อนที่ในแนวรัศมีทำให้มุมไม่เปลี่ยนแปลงจึงมีเพียงส่วนประกอบข้ามรัศมีของความเร็วเชิงเส้นเท่านั้นที่ก่อให้เกิดความเร็วเชิงมุม

ความเร็วเชิงมุมωคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งเชิงมุมตามเวลาซึ่งสามารถคำนวณได้จากความเร็วไขว้ในแนวรัศมีดังนี้

ω = ง ϕ ง t = v ⊥ ร . {\ displaystyle \ omega = {\ frac {d \ phi} {dt}} = {\ frac {v _ {\ perp}} {r}}.} {\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.}

นี่คือความเร็วข้ามรัศมี v ⊥ {\ displaystyle v _ {\ perp}} v_\perp คือขนาดที่ลงนามของ v ⊥ {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp}} \mathbf{v}_\perpบวกสำหรับการเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกาลบสำหรับตามเข็มนาฬิกา การหาพิกัดเชิงขั้วสำหรับความเร็วเชิงเส้น v {\ displaystyle \ mathbf {v}} \mathbf {v} ให้ขนาด v {\ displaystyle v} v (ความเร็วเชิงเส้น) และมุม θ {\ displaystyle \ theta} \theta เทียบกับเวกเตอร์รัศมี ในเงื่อนไขเหล่านี้ v ⊥ = v บาป ⁡ ( θ ) {\ displaystyle v _ {\ perp} = v \ sin (\ theta)} {\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}, ดังนั้น

ω = v บาป ⁡ ( θ ) ร . {\ displaystyle \ omega = {\ frac {v \ sin (\ theta)} {r}}.} {\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}

สูตรเหล่านี้อาจได้มาจากการทำ ร = ( ร cos ⁡ ( φ ) , ร บาป ⁡ ( φ ) ) {\ displaystyle \ mathbf {r} = (r \ cos (\ varphi), r \ sin (\ varphi))} {\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}, การเป็น ร {\ displaystyle r} r ฟังก์ชันของระยะทางไปยังจุดเริ่มต้นตามเวลาและ φ {\ displaystyle \ varphi} \varphi ฟังก์ชันของมุมระหว่างเวกเตอร์และแกน x แล้ว ง ร ง t = ( ร ˙ cos ⁡ ( φ ) - ร φ ˙ บาป ⁡ ( φ ) , ร ˙ บาป ⁡ ( φ ) + ร φ ˙ cos ⁡ ( φ ) ) {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = ({\ dot {r}} \ cos (\ varphi) -r {\ dot {\ varphi}} \ sin (\ varphi), {\ dot {r}} \ sin (\ varphi) + r {\ dot {\ varphi}} \ cos (\ varphi))} {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi ))}. ซึ่งเท่ากับ ร ˙ ( cos ⁡ ( φ ) , บาป ⁡ ( φ ) ) + ร φ ˙ ( - บาป ⁡ ( φ ) , cos ⁡ ( φ ) ) = ร ˙ ร ^ + ร φ ˙ φ ^ {\ displaystyle {\ dot {r}} (\ cos (\ varphi), \ sin (\ varphi)) + r {\ dot {\ varphi}} (- \ sin (\ varphi), \ cos (\ varphi) ) = {\ dot {r}} {\ hat {r}} + r {\ dot {\ varphi}} {\ hat {\ varphi}}} {\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}. (ดูเวกเตอร์หน่วยในพิกัดทรงกระบอก) รู้ ง ร ง t = v {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = \ mathbf {v}} {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }เราสรุปได้ว่าส่วนประกอบในแนวรัศมีของความเร็วได้มาจาก ร ˙ {\ displaystyle {\ dot {r}}} \dot{r}, เพราะ ร ^ {\ displaystyle {\ hat {r}}} {\hat {r}}เป็นเวกเตอร์หน่วยรัศมี และส่วนประกอบตั้งฉากจะได้รับจาก ร φ ˙ {\ displaystyle r {\ dot {\ varphi}}} {\displaystyle r{\dot {\varphi }}} เพราะ φ ^ {\ displaystyle {\ hat {\ varphi}}} {\hat {\varphi }} คือเวกเตอร์หน่วยตั้งฉาก

ในสองมิติความเร็วเชิงมุมคือตัวเลขที่มีเครื่องหมายบวกหรือลบแสดงการวางแนว แต่ไม่ได้ชี้ไปในทิศทาง เครื่องหมายจะถูกนำไปเป็นค่าบวกตามอัตภาพหากเวกเตอร์รัศมีหมุนทวนเข็มนาฬิกาและลบหากตามเข็มนาฬิกา จากนั้นความเร็วเชิงมุมอาจเรียกว่าpseudoscalarซึ่งเป็นปริมาณตัวเลขที่เปลี่ยนเครื่องหมายภายใต้การผกผันของพาริตีเช่นการกลับแกนหนึ่งแกนหรือเปลี่ยนแกนสองแกน

อนุภาคในสามมิติ

เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของวงโคจรเข้ารหัสอัตราเวลาของการเปลี่ยนตำแหน่งเชิงมุมเช่นเดียวกับระนาบการเคลื่อนที่เชิงมุมในทันที ในกรณีนี้ (การเคลื่อนที่แบบวงกลมทวนเข็มนาฬิกา) เวกเตอร์จะชี้ขึ้น

ในปริภูมิสามมิติเรามีเวกเตอร์ตำแหน่งrของอนุภาคเคลื่อนที่อีกครั้ง ในที่นี้ความเร็วเชิงมุมของวงโคจรคือpseudovectorที่มีขนาดเป็นอัตราที่rกวาดออกจากมุมและทิศทางของมันตั้งฉากกับระนาบทันทีที่rกวาดออกจากมุม (เช่นระนาบที่ทอดโดยrและv ) อย่างไรก็ตามเนื่องจากมีสองทิศทางตั้งฉากกับระนาบใด ๆ จึงจำเป็นต้องมีเงื่อนไขเพิ่มเติมเพื่อระบุทิศทางของความเร็วเชิงมุมโดยไม่ซ้ำกัน ตามอัตภาพจะใช้กฎมือขวา

ให้ pseudovector ยู {\ displaystyle \ mathbf {u}} \mathbf {u} เป็นเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบที่ขยายโดยrและvเพื่อให้พอใจกับกฎทางขวามือ (กล่าวคือทิศทางในทันทีของการกระจัดเชิงมุมจะทวนเข็มนาฬิกาโดยมองจากด้านบนของ ยู {\ displaystyle \ mathbf {u}} \mathbf {u} ). การหาพิกัดเชิงขั้ว ( ร , ϕ ) {\ displaystyle (r, \ phi)} {\displaystyle (r,\phi )} ในระนาบนี้เช่นเดียวกับในกรณีสองมิติด้านบนเราอาจกำหนดเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของวงโคจรเป็น:

ω = ω ยู = ง ϕ ง t ยู = v บาป ⁡ ( θ ) ร ยู , {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ omega \ mathbf {u} = {\ frac {d \ phi} {dt}} \ mathbf {u} = {\ frac {v \ sin (\ theta)} {r}} \ mathbf {u},} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}

ที่θคือมุมระหว่างRและโวลต์ ในแง่ของผลิตภัณฑ์ข้ามนี้คือ:

ω = ร × v ร 2 . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}[4]

จากสมการข้างต้นเราสามารถกู้คืนความเร็วสัมผัสได้ดังนี้:

v ⊥ = ω × ร {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ perp} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}} {\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }

การเพิ่มเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม

การสร้างแผนผังสำหรับการเพิ่มเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมสำหรับการหมุนเฟรม

ถ้าจุดหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมของวงโคจร ω 1 {\ displaystyle \ omega _ {1}} \omega _{1}เกี่ยวกับจุดศูนย์กลางของการหมุนในกรอบพิกัด ฉ 1 {\ displaystyle F_ {1}} F_{1} ซึ่งหมุนเองด้วยความเร็วเชิงมุมสปิน ω 2 {\ displaystyle \ โอเมก้า _ {2}} \omega _{2} เกี่ยวกับกรอบภายนอก ฉ 2 {\ displaystyle F_ {2}} F_{2}เราสามารถกำหนดได้ ω 1 + ω 2 {\ displaystyle \ โอเมก้า _ {1} + \ โอเมก้า _ {2}} \omega_1 + \omega_2 เพื่อเป็นเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของออร์บิทัลเชิงประกอบของจุดเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางของการหมุนที่เกี่ยวกับ ฉ 2 {\ displaystyle F_ {2}} F_{2}. การดำเนินการนี้เกิดขึ้นพร้อมกับการเพิ่มเวกเตอร์ตามปกติและทำให้โครงสร้างพีชคณิตของเวกเตอร์จริงมีความเร็วเชิงมุมแทนที่จะเป็นเพียงเวกเตอร์หลอก

สถานที่ให้บริการเพียงคนเดียวไม่ใช่ที่เห็นได้ชัดนอกจากที่กล่าวมาเป็นcommutativity สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าความเร็วเทนเซอร์W (ดูด้านล่าง) นั้นเอียงสมมาตรดังนั้น ร = จ ว ⋅ ง t {\ displaystyle R = e ^ {W \ cdot dt}} {\displaystyle R=e^{W\cdot dt}}เป็นเมทริกซ์การหมุนซึ่งสามารถขยายได้เป็น ร = ผม + ว ⋅ ง t + 1 2 ( ว ⋅ ง t ) 2 + ⋯ {\ displaystyle R = I + W \ cdot dt + {\ tfrac {1} {2}} (W \ cdot dt) ^ {2} + \ cdots} {\displaystyle R=I+W\cdot dt+{\tfrac {1}{2}}(W\cdot dt)^{2}+\cdots }. องค์ประกอบของการหมุนไม่ได้เป็นการสับเปลี่ยน แต่ ( ผม + ว 1 ⋅ ง t ) ( ผม + ว 2 ⋅ ง t ) = ( ผม + ว 2 ⋅ ง t ) ( ผม + ว 1 ⋅ ง t ) {\ displaystyle (I + W_ {1} \ cdot dt) (I + W_ {2} \ cdot dt) = (I + W_ {2} \ cdot dt) (I + W_ {1} \ cdot dt)} (I+W_1\cdot dt)(I+W_2 \cdot dt)=(I+W_2 \cdot dt)(I+W_1\cdot dt) เปลี่ยนเป็นคำสั่งแรกดังนั้น ω 1 + ω 2 = ω 2 + ω 1 {\ displaystyle \ โอเมก้า _ {1} + \ โอเมก้า _ {2} = \ โอเมก้า _ {2} + \ โอเมก้า _ {1}} {\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}.

โปรดสังเกตว่าสิ่งนี้ยังกำหนดการลบเป็นการบวกของเวกเตอร์เชิงลบ

หมุนความเร็วเชิงมุมของโครงร่างแข็งหรือกรอบอ้างอิง

ด้วยกรอบการหมุนของเวกเตอร์พิกัดสามหน่วยทั้งสามต้องมีความเร็วเชิงมุมเท่ากันในแต่ละช่วงเวลา ในกรอบดังกล่าวเวกเตอร์แต่ละตัวอาจถือได้ว่าเป็นอนุภาคเคลื่อนที่ที่มีรัศมีสเกลาร์คงที่

หมุนกรอบปรากฏขึ้นในบริบทของร่างกายแข็งและเครื่องมือพิเศษได้รับการพัฒนาสำหรับมันความเร็วเชิงมุมปั่นอาจจะอธิบายเป็นเวกเตอร์หรือเท่ากันเป็นเมตริกซ์

ตามคำจำกัดความทั่วไปความเร็วเชิงมุมของเฟรมถูกกำหนดให้เป็นความเร็วเชิงมุมของวงโคจรของเวกเตอร์สามตัวใดตัวหนึ่งจากสามเวกเตอร์ (เหมือนกันสำหรับทั้งหมด) เทียบกับจุดศูนย์กลางการหมุนของตัวมันเอง นอกจากนี้ของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมสำหรับเฟรมยังถูกกำหนดโดยเวกเตอร์นอกจากปกติ (องค์ประกอบของการเคลื่อนไหวเชิงเส้น) และจะเป็นประโยชน์ในการย่อยสลายการหมุนในขณะที่gimbal ส่วนประกอบทั้งหมดของเวกเตอร์สามารถคำนวณเป็นอนุพันธ์ของพารามิเตอร์ที่กำหนดเฟรมเคลื่อนที่ (มุมออยเลอร์หรือเมทริกซ์การหมุน) เช่นเดียวกับในกรณีทั่วไปการเพิ่มเป็นสับเปลี่ยน: ω 1 + ω 2 = ω 2 + ω 1 {\ displaystyle \ โอเมก้า _ {1} + \ โอเมก้า _ {2} = \ โอเมก้า _ {2} + \ โอเมก้า _ {1}} {\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}.

ตามทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์กรอบการหมุนใด ๆ จะมีแกนหมุนทันทีซึ่งเป็นทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมและขนาดของความเร็วเชิงมุมจะสอดคล้องกับกรณีสองมิติ

ถ้าเราเลือกจุดอ้างอิง ร {\ displaystyle {\ boldsymbol {R}}} {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} คงที่ในร่างกายที่แข็งความเร็ว ร ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {r}}}} {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}} จุดใด ๆ ในร่างกายจะได้รับจาก

ร ˙ = ร ˙ + ( ร - ร ) × ω {\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {r}}} = {\ dot {\ boldsymbol {R}}} + ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {R}}) \ times {\ boldsymbol { \ โอเมก้า}}} {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {\boldsymbol {R}}}+({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}})\times {\boldsymbol {\omega }}}

ส่วนประกอบจากเวกเตอร์พื้นฐานของเฟรมคงที่

พิจารณาร่างแข็งที่หมุนรอบจุดคงที่ O สร้างกรอบอ้างอิงในร่างกายซึ่งประกอบด้วยชุดเวกเตอร์ออร์ ธ อนตามปกติ จ 1 , จ 2 , จ 3 {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}} {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}} จับจ้องไปที่ร่างกายและมีจุดกำเนิดร่วมกันที่ O เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของทั้งเฟรมและร่างกายเกี่ยวกับ O คือ

ω = ( จ ˙ 1 ⋅ จ 2 ) จ 3 + ( จ ˙ 2 ⋅ จ 3 ) จ 1 + ( จ ˙ 3 ⋅ จ 1 ) จ 2 , {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ left ({\ dot {\ mathbf {e}}} _ {1} \ cdot \ mathbf {e} _ {2} \ right) \ mathbf {e} _ {3} + \ left ({\ dot {\ mathbf {e}}} _ {2} \ cdot \ mathbf {e} _ {3} \ right) \ mathbf {e} _ {1} + \ left ({ \ dot {\ mathbf {e}}} _ {3} \ cdot \ mathbf {e} _ {1} \ right) \ mathbf {e} _ {2},} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}

ที่นี่

จ ˙ ผม = ง จ ผม ง t {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {e}}} _ {i} = {\ frac {d \ mathbf {e} _ {i}} {dt}}} {\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}} คืออัตราเวลาของการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์เฟรม จ ผม , ผม = 1 , 2 , 3 , {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {i}, i = 1,2,3,} {\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,} เนื่องจากการหมุน

โปรดทราบว่าสูตรนี้เข้ากันไม่ได้กับนิพจน์

ω = ร × v ร 2 . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} {r ^ {2}}}} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}

เนื่องจากสูตรนั้นกำหนดเฉพาะความเร็วเชิงมุมของจุดเดียวเกี่ยวกับ O ในขณะที่สูตรในส่วนนี้ใช้กับเฟรมหรือส่วนที่แข็ง ในกรณีของร่างกายที่แข็งเพียงครั้งเดียว ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}ต้องคำนึงถึงการเคลื่อนที่ของอนุภาคทั้งหมดในร่างกาย

ส่วนประกอบจากมุมออยเลอร์

แผนภาพแสดงกรอบออยเลอร์เป็นสีเขียว

ส่วนประกอบของ pseudovector ความเร็วเชิงมุมสปินถูกคำนวณครั้งแรกโดยLeonhard Eulerโดยใช้มุมออยเลอร์ของเขาและการใช้เฟรมกลาง:

  • หนึ่งแกนของกรอบอ้างอิง (แกนพรีเซสชั่น)
  • เส้นของโหนดของเฟรมเคลื่อนที่ที่เกี่ยวข้องกับกรอบอ้างอิง (แกนน็อต)
  • แกนหนึ่งของเฟรมเคลื่อนที่ (แกนหมุนภายใน)

ออยเลอร์พิสูจน์แล้วว่าการคาดคะเนของ pseudovector ความเร็วเชิงมุมในแต่ละแกนทั้งสามนี้เป็นอนุพันธ์ของมุมที่สัมพันธ์กัน (ซึ่งเทียบเท่ากับการสลายการหมุนทันทีเป็นสามการหมุนของออยเลอร์ทันที) ดังนั้น: [5]

ω = α ˙ ยู 1 + β ˙ ยู 2 + γ ˙ ยู 3 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ dot {\ alpha}} \ mathbf {u} _ {1} + {\ dot {\ beta}} \ mathbf {u} _ {2} + {\ จุด {\ gamma}} \ mathbf {u} _ {3}} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}

พื้นฐานนี้ไม่ใช่ orthon ปกติและใช้ยาก แต่ตอนนี้เวกเตอร์ความเร็วสามารถเปลี่ยนเป็นเฟรมคงที่หรือเฟรมเคลื่อนที่ได้ด้วยการเปลี่ยนฐาน ตัวอย่างเช่นการเปลี่ยนเป็นเฟรมมือถือ:

ω = ( α ˙ บาป ⁡ β บาป ⁡ γ + β ˙ cos ⁡ γ ) ผม ^ + ( α ˙ บาป ⁡ β cos ⁡ γ - β ˙ บาป ⁡ γ ) ญ ^ + ( α ˙ cos ⁡ β + γ ˙ ) k ^ {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = ({\ dot {\ alpha}} \ sin \ beta \ sin \ gamma + {\ dot {\ beta}} \ cos \ gamma) {\ hat {\ mathbf { i}}} + ({\ dot {\ alpha}} \ sin \ beta \ cos \ gamma - {\ dot {\ beta}} \ sin \ gamma) {\ hat {\ mathbf {j}}} + ({ \ dot {\ alpha}} \ cos \ beta + {\ dot {\ gamma}}) {\ hat {\ mathbf {k}}}} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}

ที่ไหน ผม ^ , ญ ^ , k ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}, {\ hat {\ mathbf {j}}}, {\ hat {\ mathbf {k}}}} {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}คือเวกเตอร์หน่วยสำหรับเฟรมที่กำหนดไว้ในร่างกายที่เคลื่อนไหว ตัวอย่างนี้สร้างขึ้นโดยใช้หลักการ ZXZ สำหรับมุมออยเลอร์ [ ต้องการอ้างอิง ]

เทนเซอร์

เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม ω = ( ω x , ω ย , ω z ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}ที่กำหนดไว้ข้างต้นอาจแสดงได้เทียบเท่ากับเทนเซอร์ความเร็วเชิงมุมเมทริกซ์ (หรือการทำแผนที่เชิงเส้น) W = W ( t ) ที่กำหนดโดย:

ว = ( 0 - ω z ω ย ω z 0 - ω x - ω ย ω x 0 ) {\ displaystyle W = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y } & \ omega _ {x} & 0 \\\ end {pmatrix}}} {\displaystyle W={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}

นี่คือเมทริกซ์การหมุนที่น้อยที่สุด การแมปเชิงเส้นWทำหน้าที่เป็น ( ω × ) {\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times)} {\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}:

ω × ร = ว ⋅ ร . {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = W \ cdot \ mathbf {r}.} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =W\cdot \mathbf {r} .}

การคำนวณจากเมทริกซ์การวางแนว

เวกเตอร์ ร {\ displaystyle \ mathbf {r}} \mathbf {r} ภายใต้การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอรอบแกนคงที่เป็นไปตาม:

ง ร ง t = ω × ร = ว ⋅ ร {\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = W \ cdot \ mathbf {r}} {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =W\cdot \mathbf {r} }

กำหนดเมทริกซ์การวางแนวA ( t ) ของเฟรมซึ่งมีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์พิกัดเคลื่อนที่หรือปกติ จ 1 , จ 2 , จ 3 {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}, \ mathbf {e} _ {3}} {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}เราสามารถหาค่าเทนเซอร์ความเร็วเชิงมุมW ( t ) ได้ดังนี้ ความเร็วเชิงมุมต้องเท่ากันสำหรับเวกเตอร์สามตัว ร = จ ผม {\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {e} _ {i}} {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {e} _{i}}ดังนั้นการจัดเรียงสมการเวกเตอร์สามสมการเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์เราจึงมี:

ง ก ง t = ว ⋅ ก . {\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = W \ cdot A. } {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=W\cdot A.}

(สิ่งนี้ถือได้แม้ว่าA ( t ) จะไม่หมุนสม่ำเสมอก็ตาม) ดังนั้นเทนเซอร์ความเร็วเชิงมุมคือ:

ว = ง ก ง t ⋅ ก - 1 = ง ก ง t ⋅ ก ที , {\ displaystyle W = {\ frac {dA} {dt}} \ cdot A ^ {- 1} = {\ frac {dA} {dt}} \ cdot A ^ {\ mathrm {T}},} {\displaystyle W={\frac {dA}{dt}}\cdot A^{-1}={\frac {dA}{dt}}\cdot A^{\mathrm {T} },}

เนื่องจากผกผันของเมทริกซ์มุมฉาก ก {\ displaystyle A} A คือทรานสโพส ก ที {\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}}} {\displaystyle A^{\mathrm {T} }}.

คุณสมบัติ

โดยทั่วไปความเร็วเชิงมุมในnพื้นที่มิติเป็นอนุพันธ์ของเมตริกซ์กระจัดเชิงมุมซึ่งเป็นอันดับที่สองเมตริกซ์เอียงสมมาตร

เมตริกซ์นี้Wจะมีn ( n -1) / 2ส่วนประกอบอิสระซึ่งเป็นมิติของพีชคณิตของกลุ่มโกหกของการหมุนของnพื้นที่มิติสินค้าภายใน [6]

ความเป็นคู่เทียบกับเวกเตอร์ความเร็ว

ในสามมิติความเร็วเชิงมุมสามารถแสดงได้ด้วย pseudovector เนื่องจากเทนเซอร์อันดับที่สองเป็นแบบคู่กับตัวปลอมในสามมิติ เนื่องจากเทนเซอร์ความเร็วเชิงมุมW = W ( t ) เป็นเมทริกซ์สมมาตรเอียง :

ว = ( 0 - ω z ω ย ω z 0 - ω x - ω ย ω x 0 ) , {\ displaystyle W = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y } & \ omega _ {x} & 0 \\\ end {pmatrix}},} {\displaystyle W={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}},}

ของฮ็อดจ์คู่เป็นเวกเตอร์ที่แม่นยำก่อนหน้านี้เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม ω = [ ω x , ω ย , ω z ] {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = [\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z}]} \boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z].

เอกซ์โปเนนเชียลของW

ถ้าเรารู้กรอบเบื้องต้น(0) และเราจะได้รับอย่างต่อเนื่องเชิงมุมความเร็วเมตริกซ์Wเราสามารถได้รับ( T ) สำหรับการใดก็ตามที เรียกคืนสมการเชิงอนุพันธ์ของเมทริกซ์:

ง ก ง t = ว ⋅ ก . {\ displaystyle {\ frac {dA} {dt}} = W \ cdot A. } {\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=W\cdot A.}

สมการนี้สามารถรวมเพื่อให้:

ก ( t ) = จ ว t ก ( 0 ) , {\ displaystyle A (t) = e ^ {Wt} A (0),} {\displaystyle A(t)=e^{Wt}A(0),}

ซึ่งแสดงการเชื่อมต่อกับกลุ่มการหมุนของการโกหก

Wเอียง - สมมาตร

เราพิสูจน์ได้ว่าเทนเซอร์ความเร็วเชิงมุมเอียงสมมาตรกล่าวคือ ว = ง ก ( t ) ง t ⋅ ก ที {\ displaystyle W = {\ frac {dA (t)} {dt}} \ cdot A ^ {\ text {T}}} {\displaystyle W={\frac {dA(t)}{dt}}\cdot A^{\text{T}}} พอใจ ว ที = - ว {\ displaystyle W ^ {\ text {T}} = - W} {\displaystyle W^{\text{T}}=-W}.

เมทริกซ์การหมุนAเป็นมุมฉากตรงกันข้ามกับมุมมองของมันดังนั้นเราจึงมี ผม = ก ⋅ ก ที {\ displaystyle I = A \ cdot A ^ {\ text {T}}} {\displaystyle I=A\cdot A^{\text{T}}}. สำหรับ ก = ก ( t ) {\ displaystyle A = A (t)} {\displaystyle A=A(t)} เมทริกซ์เฟรมการหาอนุพันธ์เวลาของสมการจะให้:

0 = ง ก ง t ก ที + ก ง ก ที ง t {\ displaystyle 0 = {\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} + A {\ frac {dA ^ {\ text {T}}} {dt}}} {\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+A{\frac {dA^{\text{T}}}{dt}}}

ใช้สูตร ( ก ข ) ที = ข ที ก ที {\ displaystyle (AB) ^ {\ text {T}} = B ^ {\ text {T}} A ^ {\ text {T}}} {\displaystyle (AB)^{\text{T}}=B^{\text{T}}A^{\text{T}}},

0 = ง ก ง t ก ที + ( ง ก ง t ก ที ) ที = ว + ว ที {\ displaystyle 0 = {\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} + \ left ({\ frac {dA} {dt}} A ^ {\ text {T}} \ right) ^ {\ text {T}} = W + W ^ {\ text {T}}} {\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}+\left({\frac {dA}{dt}}A^{\text{T}}\right)^{\text{T}}=W+W^{\text{T}}}

ดังนั้นWจึงเป็นลบของทรานสโพสซึ่งหมายความว่ามันเบ้สมมาตร

คำอธิบายแบบไม่ระบุพิกัด

ในเวลาใดก็ได้ t {\ displaystyle t} tเทนเซอร์ความเร็วเชิงมุมแสดงถึงแผนที่เชิงเส้นระหว่างเวกเตอร์ตำแหน่ง ร ( t ) {\ displaystyle \ mathbf {r} (t)} {\mathbf {r}}(t) และเวกเตอร์ความเร็ว v ( t ) {\ displaystyle \ mathbf {v} (t)} \mathbf {v} (t) ของจุดบนลำตัวแข็งที่หมุนรอบจุดกำเนิด:

v = ว ร . {\ displaystyle \ mathbf {v} = W \ mathbf {r}.} {\displaystyle \mathbf {v} =W\mathbf {r} .}

ความสัมพันธ์ระหว่างแผนที่เชิงเส้นนี้กับpseudovectorความเร็วเชิงมุม ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}} {\boldsymbol \omega } ดังต่อไปนี้

เนื่องจากWเป็นอนุพันธ์ของการแปลงมุมฉากรูปแบบทวิภาคี

ข ( ร , s ) = ( ว ร ) ⋅ s {\ displaystyle B (\ mathbf {r}, \ mathbf {s}) = (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s}} B(\mathbf{r},\mathbf{s}) = (W\mathbf{r}) \cdot \mathbf{s}

เป็นลาดสมมาตร ดังนั้นเราสามารถใช้ข้อเท็จจริงของพีชคณิตภายนอกว่ามีรูปแบบเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกัน ล {\ displaystyle L} L บน Λ 2 วี {\ displaystyle \ Lambda ^ {2} V} {\displaystyle \Lambda ^{2}V} ที่

ล ( ร ∧ s ) = ข ( ร , s ) {\ displaystyle L (\ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = B (\ mathbf {r}, \ mathbf {s})} L(\mathbf{r}\wedge \mathbf{s}) = B(\mathbf{r},\mathbf{s})

ที่ไหน ร ∧ s ∈ Λ 2 วี {\ displaystyle \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s} \ in \ Lambda ^ {2} V} {\displaystyle \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} \in \Lambda ^{2}V}เป็นผลิตภัณฑ์ภายนอกของ ร {\ displaystyle \ mathbf {r}} \mathbf {r} และ s {\ displaystyle \ mathbf {s}} \mathbf {s} .

การคม L ♯ของLที่เราได้รับ

( ว ร ) ⋅ s = ล ♯ ⋅ ( ร ∧ s ) {\ displaystyle (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} = L ^ {\ sharp} \ cdot (\ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s})} {\displaystyle (W\mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =L^{\sharp }\cdot (\mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )}

แนะนำ ω : = ⋆ ( ล ♯ ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}: = {\ star} (L ^ {\ sharp})} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\star }(L^{\sharp })}เป็นHodge dualของL ♯และใช้คำจำกัดความของ Hodge dual สองครั้งโดยสมมติว่าเวกเตอร์หน่วย 3 ที่ต้องการคือ ⋆ 1 {\ displaystyle \ star 1} {\displaystyle \star 1}

( ว ร ) ⋅ s = ⋆ ( ⋆ ( ล ♯ ) ∧ ร ∧ s ) = ⋆ ( ω ∧ ร ∧ s ) = ⋆ ( ω ∧ ร ) ⋅ s = ( ω × ร ) ⋅ s , {\ displaystyle (W \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s} = {\ star} ({\ star} (L ^ {\ sharp}) \ wedge \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s} ) = {\ star} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge \ mathbf {r} \ wedge \ mathbf {s}) = {\ star} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge \ mathbf {r }) \ cdot \ mathbf {s} = ({\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}) \ cdot \ mathbf {s},} {\displaystyle (W\mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ={\star }({\star }(L^{\sharp })\wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} \wedge \mathbf {s} )={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} =({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )\cdot \mathbf {s} ,}

ที่ไหน

ω × ร : = ⋆ ( ω ∧ ร ) {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}: = {\ star} ({\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge \ mathbf {r})} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} :={\star }({\boldsymbol {\omega }}\wedge \mathbf {r} )}

ตามความหมาย

เพราะ s {\ displaystyle \ mathbf {s}} \mathbf {s} เป็นเวกเตอร์ตามอำเภอใจจากการไม่รู้จักผลิตภัณฑ์สเกลาร์ดังต่อไปนี้

ว ร = ω × ร {\ displaystyle W \ mathbf {r} = {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r}} {\displaystyle W\mathbf {r} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }

ความเร็วเชิงมุมเป็นฟิลด์เวกเตอร์

ตั้งแต่ปั่นเชิงมุมเมตริกซ์ความเร็วของร่างกายแข็ง (ส่วนที่เหลืออยู่ในกรอบของมัน) เป็นแปลงเชิงเส้นที่แผนที่ตำแหน่งถึงความเร็ว (ภายในร่างกายแข็ง) ก็สามารถได้รับการยกย่องเป็นค่าคงที่สนามเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการหมุนความเร็วเชิงมุมเป็นฟิลด์ฆ่าเวกเตอร์ที่อยู่ในองค์ประกอบของพีชคณิต SO (3) ของ 3 มิติกลุ่มหมุน SO (3)

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงให้เห็นว่าสนามเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมของสปินเท่ากับครึ่งหนึ่งของขดของสนามเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นv ( r ) ของร่างกายแข็ง ในสัญลักษณ์

ω = 1 2 ∇ × v {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla \ times \ mathbf {v}} {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} }

การพิจารณาร่างกายที่แข็ง

ตำแหน่งของจุด P อยู่ในร่างกายแข็ง (แสดงเป็นสีน้ำเงิน) R ฉันเป็นตำแหน่งที่เกี่ยวกับกรอบห้องปฏิบัติการศูนย์กลางที่ โอและ r ฉันเป็นตำแหน่งที่เกี่ยวกับกรอบร่างกายแข็งศูนย์กลางที่ O ' จุดเริ่มต้นของโครงร่างแข็งอยู่ที่ตำแหน่งเวกเตอร์ Rจากโครงห้องปฏิบัติการ

สมการเดียวกันสำหรับความเร็วเชิงมุมสามารถหาเหตุผลได้จากร่างกายแข็งที่หมุนได้ ที่นี่ไม่ได้สันนิษฐานว่าร่างกายแข็งหมุนรอบต้นกำเนิด แต่มันควรจะหมุนรอบจุดใดจุดหนึ่งที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงเส้นV ( t ) ในแต่ละช่วงเวลา

เพื่อให้ได้สมการจะสะดวกในการจินตนาการถึงร่างกายที่แข็งที่ติดอยู่กับเฟรมและพิจารณาระบบพิกัดที่ได้รับการแก้ไขโดยคำนึงถึงร่างกายที่แข็ง จากนั้นเราจะศึกษาการเปลี่ยนแปลงพิกัดระหว่างพิกัดนี้กับระบบ "ห้องปฏิบัติการ" คงที่

ดังแสดงในรูปด้านขวากำเนิดระบบห้องปฏิบัติการอยู่ที่จุดOที่มาของระบบร่างกายแข็งที่O 'และเวกเตอร์จากOเพื่อO 'เป็นR อนุภาค ( i ) ในร่างกายแข็งตั้งอยู่ที่จุด P และตำแหน่งเวกเตอร์ของอนุภาคนี้คือR iในโครงห้องปฏิบัติการและที่ตำแหน่งr iในโครงร่าง จะเห็นได้ว่าสามารถเขียนตำแหน่งของอนุภาคได้:

ร ผม = ร + ร ผม {\ displaystyle \ mathbf {R} _ {i} = \ mathbf {R} + \ mathbf {r} _ {i}} \mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathbf{r}_i

ลักษณะที่กำหนดของร่างกายที่แข็งคือระยะห่างระหว่างจุดสองจุดใด ๆ ในร่างกายที่แข็งจะไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ซึ่งหมายความว่าความยาวของเวกเตอร์ ร ผม {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}} \mathbf {r} _{i}ไม่เปลี่ยนแปลง โดยทฤษฎีบทการหมุนของออยเลอร์เราอาจแทนที่เวกเตอร์ ร ผม {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}} \mathbf {r} _{i} ด้วย ร ร ผม o {\ displaystyle {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}} \mathcal{R}\mathbf{r}_{io} ที่ไหน ร {\ displaystyle {\ mathcal {R}}} {\mathcal {R}}คือเมทริกซ์การหมุน 3 × 3 และ ร ผม o {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {io}} \mathbf{r}_{io}คือตำแหน่งของอนุภาคที่จุดคงที่บางอย่างในเวลาที่พูดT = 0 การแทนที่นี้มีประโยชน์เพราะตอนนี้เป็นเพียงเมทริกซ์การหมุนเท่านั้น ร {\ displaystyle {\ mathcal {R}}} {\mathcal {R}} ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาไม่ใช่เวกเตอร์อ้างอิง ร ผม o {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {io}} \mathbf{r}_{io}ขณะที่หมุนร่างกายแข็งเกี่ยวกับจุดO ' นอกจากนี้ตั้งแต่สามคอลัมน์ของเมทริกซ์หมุนแทนสามversorsของกรอบอ้างอิงหมุนร่วมกับร่างกายแข็งใด ๆ เกี่ยวกับการหมุนแกนใด ๆ จะกลายเป็นตอนนี้สามารถมองเห็นได้ในขณะที่เวกเตอร์ ร ผม {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}} \mathbf {r} _{i}จะไม่หมุนถ้าแกนหมุนขนานกับมันและด้วยเหตุนี้มันจะอธิบายการหมุนเกี่ยวกับแกนที่ตั้งฉากกับมันเท่านั้น (กล่าวคือมันจะไม่เห็นส่วนประกอบของ pseudovector ความเร็วเชิงมุมขนานกับมันและจะอนุญาตให้คำนวณได้เท่านั้น ของส่วนประกอบที่ตั้งฉากกับมัน) ตอนนี้ตำแหน่งของอนุภาคเขียนเป็น:

ร ผม = ร + ร ร ผม o {\ displaystyle \ mathbf {R} _ {i} = \ mathbf {R} + {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}} \mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}

การหาอนุพันธ์ของเวลาจะให้ความเร็วของอนุภาค:

วี ผม = วี + ง ร ง t ร ผม o {\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} \ mathbf {r} _ {io}} \mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathbf{r}_{io}

โดยที่V iคือความเร็วของอนุภาค (ในโครงห้องปฏิบัติการ) และVคือความเร็วของO ′ (จุดกำเนิดของโครงร่างแข็ง) ตั้งแต่ ร {\ displaystyle {\ mathcal {R}}} {\mathcal {R}}คือเมทริกซ์การหมุนผกผันคือทรานสโพส ดังนั้นเราจึงแทนที่ ผม = ร ที ร {\ displaystyle {\ mathcal {I}} = {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T}} {\ mathcal {R}}} {\displaystyle {\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}}:

วี ผม = วี + ง ร ง t ผม ร ผม o {\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {I}} \ mathbf {r} _ { io}} \mathbf{V}_i = \mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{I}\mathbf{r}_{io}
วี ผม = วี + ง ร ง t ร ที ร ร ผม o {\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T} } {\ mathcal {R}} \ mathbf {r} _ {io}} {\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}}
วี ผม = วี + ง ร ง t ร ที ร ผม {\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T} } \ mathbf {r} _ {i}} {\displaystyle \mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}\mathbf {r} _{i}}

หรือ

วี ผม = วี + ว ร ผม {\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + W \ mathbf {r} _ {i}} \mathbf{V}_i = \mathbf{V}+W\mathbf{r}_{i}

ที่ไหน ว = ง ร ง t ร ที {\ displaystyle W = {\ frac {d {\ mathcal {R}}} {dt}} {\ mathcal {R}} ^ {\ text {T}}} {\displaystyle W={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{\text{T}}}คือก่อนหน้านี้เมตริกซ์ความเร็วเชิงมุม

สามารถพิสูจน์ได้ว่านี่เป็นเมทริกซ์สมมาตรที่เอียงดังนั้นเราจึงสามารถใช้คู่ของมันเพื่อให้ได้ pseudovector 3 มิติที่เป็นเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมก่อนหน้าอย่างแม่นยำ ω {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}} {\boldsymbol {\omega }}:

ω = [ ω x , ω ย , ω z ] {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = [\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z}]} \boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]

การแทนที่ωสำหรับWในนิพจน์ความเร็วข้างต้นและแทนที่การคูณเมทริกซ์ด้วยผลคูณไขว้ที่เทียบเท่า:

วี ผม = วี + ω × ร ผม {\ displaystyle \ mathbf {V} _ {i} = \ mathbf {V} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} _ {i}} \mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_i

จะเห็นได้ว่าความเร็วของจุดในร่างกายแข็งสามารถแบ่งออกได้เป็นสองพจน์คือความเร็วของจุดอ้างอิงที่กำหนดในร่างกายแข็งบวกกับระยะผลิตภัณฑ์ข้ามที่เกี่ยวข้องกับความเร็วเชิงมุมของวงโคจรของอนุภาคที่เกี่ยวข้องกับการอ้างอิง จุด. ความเร็วเชิงมุมนี่คือสิ่งที่นักฟิสิกส์เรียกว่า "การหมุนความเร็วเชิงมุม" ของร่างกายแข็งเมื่อเทียบกับการโคจรความเร็วเชิงมุมของจุดอ้างอิงO 'เกี่ยวกับต้นกำเนิดO

ความสม่ำเสมอ

เราคิดว่าร่างกายที่แข็งจะหมุนไปรอบ ๆ จุดใดจุดหนึ่งโดยพลการ เราควรพิสูจน์ว่าความเร็วเชิงมุมของสปินที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกแหล่งกำเนิดซึ่งหมายความว่าความเร็วเชิงมุมของการหมุนเป็นคุณสมบัติที่แท้จริงของตัวแข็งที่หมุน (หมายเหตุความคมชัดทำเครื่องหมายนี้กับวงโคจรความเร็วเชิงมุมของอนุภาคจุดซึ่งแน่นอนไม่ขึ้นอยู่กับทางเลือกของแหล่งกำเนิด.)

พิสูจน์ความเป็นอิสระของความเร็วเชิงมุมสปินจากการเลือกแหล่งกำเนิด

ดูกราฟทางด้านขวา: ต้นกำเนิดของเฟรมห้องปฏิบัติการคือOในขณะที่O 1และO 2เป็นจุดคงที่สองจุดบนร่างกายที่แข็งซึ่งมีความเร็วเท่ากับ v 1 {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}} \mathbf{v}_1 และ v 2 {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2}} \mathbf{v}_2ตามลำดับ สมมติว่าความเร็วเชิงมุมเทียบกับO 1และ O 2คือ ω 1 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1}} \boldsymbol{\omega}_1 และ ω 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2}} \boldsymbol{\omega}_2ตามลำดับ เนื่องจากจุดPและO 2มีความเร็วเพียงครั้งเดียว

v 1 + ω 1 × ร 1 = v 2 + ω 2 × ร 2 {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times \ mathbf {r} _ {1} = \ mathbf {v} _ {2} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2} \ times \ mathbf {r} _ {2}} \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r}_1 = \mathbf{v}_2 + \boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_2
v 2 = v 1 + ω 1 × ร = v 1 + ω 1 × ( ร 1 - ร 2 ) {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2} = \ mathbf {v} _ {1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times \ mathbf {r} = \ mathbf {v} _ { 1} + {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} \ times (\ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2})} \mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r} = \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2)

สองข้อข้างต้นให้ผลตอบแทนนั้น

( ω 2 - ω 1 ) × ร 2 = 0 {\ displaystyle ({\ boldsymbol {\ omega}} _ {2} - {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1}) \ times \ mathbf {r} _ {2} = 0} {\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}_{2}-{\boldsymbol {\omega }}_{1})\times \mathbf {r} _{2}=0}

ตั้งแต่จุดP (และด้วยเหตุนี้ ร 2 {\ displaystyle \ mathbf {r} _ {2}} \mathbf{r}_2 ) เป็นไปตามอำเภอใจก็เป็นไปตามนั้น

ω 1 = ω 2 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} _ {1} = {\ boldsymbol {\ omega}} _ {2}} \boldsymbol{\omega}_1 = \boldsymbol{\omega}_2

หากจุดอ้างอิงเป็นแกนหมุนในทันทีการแสดงออกของความเร็วของจุดในร่างกายแข็งจะมีเพียงระยะความเร็วเชิงมุม เนื่องจากความเร็วของแกนหมุนทันทีเป็นศูนย์ ตัวอย่างของแกนหมุนในทันทีคือบานพับของประตู อีกตัวอย่างหนึ่งคือจุดสัมผัสของร่างกายที่แข็งเป็นทรงกลม (หรือโดยทั่วไปคือนูน)

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • ความเร่งเชิงมุม
  • ความถี่เชิงมุม
  • โมเมนตัมเชิงมุม
  • ความเร็วของพื้นที่
  • ไอโซเมตริก
  • กลุ่มมุมฉาก
  • พลวัตของร่างกายที่แข็ง
  • ความแปรปรวน

อ้างอิง

  1. ^ คัมมิงกะเหรี่ยง; ฮัลลิเดย์เดวิด (2550). ฟิสิกส์การทำความเข้าใจ นิวเดลี: John Wiley & Sons Inc. ได้รับอนุญาตให้พิมพ์ซ้ำไปยัง Wiley - อินเดีย หน้า 449, 484, 485, 487 ISBN 978-81-265-0882-2.(UP1)
  2. ^ เทย์เลอร์, Barry N. (2009). International System of Units (SI) (แก้ไข 2008 ed.) สำนักพิมพ์ DIANE. น. 27. ISBN 978-1-4379-1558-7. สารสกัดจากหน้า 27
  3. ^ ฮิบเบเลอร์รัสเซลซี. (2552). กลศาสตร์วิศวกรรม . Upper Saddle River, นิวเจอร์ซีย์: Pearson Prentice Hall หน้า 314, 153 ISBN 978-0-13-607791-6.(EM1)
  4. ^ ซิงห์นิลเค"เชิงมุม Velocity" OpenStax มหาวิทยาลัยข้าว. สืบค้นเมื่อ21 พฤษภาคม 2564 .
  5. ^ KSHEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) และพลวัตของร่างกายที่แข็งแกร่ง
  6. ^ การ หมุนและโมเมนตัมเชิงมุมในหน้ากลศาสตร์คลาสสิกของเว็บไซต์ของ John Baezโดยเฉพาะคำถามที่ 1 และ 2
  • Symon, Keith (1971). กลศาสตร์ . แอดดิสัน - เวสลีย์เรดดิ้งแมสซาชูเซตส์ ISBN 978-0-201-07392-8.
  • กุ๊บ, LD ; Lifshitz, EM (1997). กลศาสตร์ . บัตเตอร์เวิร์ ธ - ไฮเนมันน์. ISBN 978-0-7506-2896-9.

ลิงก์ภายนอก

  • หนังสือเรียนวิชาฟิสิกส์ของวิทยาลัยโดย Arthur Lalanne Kimball ( ความเร็วเชิงมุมของอนุภาค )
  • พิกเคอริงสตีฟ (2552). "ωความเร็วในการหมุน [เชิงมุม Velocity]" สัญลักษณ์หกสิบ เบรดี้ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม
Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Angular_velocity" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP