มุม

ในรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นมุมเป็นรูปที่เกิดขึ้นจากสองรังสีที่เรียกว่าด้านของมุมแบ่งปันปลายทางร่วมกันเรียกว่าจุดสุดยอดของมุม ^[1]มุมที่เกิดจากรังสี 2 เส้นอยู่ในระนาบที่มีรังสี มุมยังเกิดจากการตัดกันของเครื่องบินสองลำ เหล่านี้เรียกว่ามุมไดฮีดรั เส้นโค้งที่ตัดกันสองเส้นยังกำหนดมุมซึ่งเป็นมุมของเส้นสัมผัสที่จุดตัดกัน ตัวอย่างเช่นมุมทรงกลมที่เกิดจากวงกลมใหญ่สองวงบนทรงกลม เท่ากับมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบที่มีวงกลมใหญ่

มุมที่เกิดจากรังสีสองตัวที่พุ่งออกมาจากจุดยอด

มุมยังใช้ในการกำหนดตัวชี้วัดของมุมหรือของการหมุน วัดนี้เป็นอัตราส่วนของความยาวของที่วงกลมไปของรัศมี ในกรณีของมุมเรขาคณิตส่วนโค้งจะอยู่กึ่งกลางที่จุดยอดและคั่นด้วยด้านข้าง ในกรณีของการหมุนส่วนโค้งจะอยู่กึ่งกลางที่จุดศูนย์กลางของการหมุนและคั่นด้วยจุดอื่น ๆ และรูปภาพของมันโดยการหมุน

ประวัติศาสตร์และนิรุกติศาสตร์

คำว่า Angle มาจากภาษาสันสกฤตคำว่าAngula , Aṅgula (अङ्गुल,“ finger-breadth”) เป็นชื่อภาษาสันสกฤตสำหรับหน่วยการวัด Aṅgulaเป็นหนึ่งในหน่วยวัดพื้นฐานสองหน่วยตาม [ViṣṇudharmottaraPurāṇa]

คำว่ามุมมาจากคำภาษาละตินangulusแปลว่า "มุม"; สายเลือดคำเป็นภาษากรีก ἀγκύλος (ankylοs)ความหมาย "คดเคี้ยวโค้ง" และภาษาอังกฤษคำว่า " ข้อเท้า " ทั้งสองจะเชื่อมต่อกับโปรโตยุโรปราก* ank-หมายถึง "การโค้งงอ" หรือ "โบว์" ^[2]

Euclidกำหนดมุมระนาบเป็นความเอียงซึ่งกันและกันในระนาบของเส้นสองเส้นที่มาบรรจบกันและอย่านอนตรงด้วยความเคารพซึ่งกันและกัน ตามProclusมุมต้องมีทั้งคุณภาพหรือปริมาณหรือความสัมพันธ์ แนวคิดแรกที่ถูกนำมาใช้โดยEudemusที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นมุมการเบี่ยงเบนจากเป็นเส้นตรง ; ที่สองโดยCarpus of Antiochซึ่งมองว่ามันเป็นช่วงเวลาหรือช่องว่างระหว่างเส้นที่ตัดกัน; Euclid นำแนวคิดที่สามมาใช้ ^[3]

การระบุมุม

ในนิพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นเรื่องปกติที่จะใช้อักษรกรีก ( α , β , γ , θ , φ,. ) เป็นตัวแปรแสดงขนาดของมุมบางมุม^[4] (เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับความหมายอื่นสัญลักษณ์ $π$ คือ โดยทั่วไปจะไม่ใช้เพื่อจุดประสงค์นี้) กรณีที่ต่ำกว่าตัวอักษรโรมัน ( , ข , ค ,...) นอกจากนี้ยังมีการใช้เช่นเดียวกับบนตัวอักษรกรณีโรมันในบริบทของรูปหลายเหลี่ยม ดูตัวเลขในบทความนี้สำหรับตัวอย่าง

ในรูปทรงเรขาคณิตป้ายกำกับที่ติดอยู่กับจุดสามจุดอาจระบุมุมได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่นมุมที่จุดยอด A ล้อมรอบด้วยรังสี AB และ AC (เช่นเส้นจากจุด A ไปยังจุด B และจุด A ถึงจุด C) จะแสดงเป็น∠BAC (ใน Unicode U + 2220 ∠ ANGLE ) หรือ ${\ displaystyle {\ widehat {\ rm {BAC}}}}$ . ในกรณีที่ไม่มีความเสี่ยงต่อความสับสนมุมบางครั้งอาจถูกอ้างถึงเพียงแค่ด้วยจุดยอด (ในกรณีนี้คือ "มุม A")

เป็นไปได้ว่ามุมที่แสดงว่า∠BACอาจหมายถึงมุมใด ๆ จากสี่มุม: มุมตามเข็มนาฬิกาจาก B ถึง C มุมทวนเข็มนาฬิกาจาก B ถึง C มุมตามเข็มนาฬิกาจาก C ถึง B หรือมุมทวนเข็มนาฬิกาจาก C ถึง B ซึ่งทิศทางที่วัดมุมจะกำหนดสัญลักษณ์ของมัน (ดูมุมบวกและลบ ) อย่างไรก็ตามในหลาย ๆ สถานการณ์ทางเรขาคณิตจะเห็นได้ชัดจากบริบทที่หมายถึงมุมบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 องศาซึ่งในกรณีนี้จะไม่มีความคลุมเครือเกิดขึ้น มิฉะนั้นอาจใช้รูปแบบเพื่อให้∠BACอ้างถึงมุมทวนเข็มนาฬิกา (บวก) จาก B ถึง C เสมอและ∠CABมุมทวนเข็มนาฬิกา (บวก) จาก C ถึง B

ประเภทของมุม

มุมส่วนตัว

มีคำศัพท์ทั่วไปสำหรับมุมซึ่งการวัดจะไม่เป็นลบเสมอ (ดู# มุมบวกและมุมลบ ): ^[5]^[6]

มุมที่เท่ากับ 0 °หรือไม่หมุนเรียกว่ามุมศูนย์
มุมที่เล็กกว่ามุมฉาก (น้อยกว่า 90 °) เรียกว่ามุมแหลม ("เฉียบพลัน" แปลว่า "คม")
มุมเท่ากับ 1/4 เลี้ยว (90 °หรือ $π$ /2เรเดียน) เรียกว่ามุมขวา สองบรรทัดที่ฟอร์มมุมขวาจะกล่าวว่าเป็นปกติ , มุมฉากหรือตั้งฉาก
มุมที่ใหญ่กว่ามุมฉากและเล็กกว่ามุมตรง (ระหว่าง 90 °ถึง 180 °) เรียกว่ามุมป้าน ("ป้าน" หมายถึง "ทื่อ")
มุมเท่ากับ 1/2เปิด (180 องศาหรือ $π$ เรเดียน) เรียกว่ามุมตรง
มุมขนาดใหญ่กว่ามุมตรง แต่น้อยกว่า 1 เปิด (ระหว่าง 180 °และ 360 °) จะเรียกว่ามุมที่สะท้อน
มุมเท่ากับ 1 เปิด (360 °หรือ 2 $π$ เรเดียน) เรียกว่ามุมเต็ม , มุมที่สมบูรณ์ , มุมรอบหรือperigon
มุมที่ไม่ได้อยู่มุมขวาหรือหลายมุมขวาจะเรียกว่ามุมเฉียง

ชื่อช่วงเวลาและหน่วยการวัดแสดงในตารางด้านล่าง:

มุมฉาก

มุมแหลม ( a ), ป้าน ( b ) และตรง ( c ) มุมแหลมและมุมป้านเรียกอีกอย่างว่ามุมเฉียง

มุมสะท้อน

หน่วย	ช่วงเวลา
ชื่อ	ศูนย์	เฉียบพลัน	มุมฉาก	ป้าน	ตรง	สะท้อน	เพริกอน
เลี้ยว	0	(0, 1/4)	1/4	( 1/4, 1/2)	1/2	( 1/2, 1)	1
เรเดียน	0	(0, 1/2 $π$ )	1/2 $π$	( 1/2 $π$ , $π$ )	$π$	( $π$ , 2 $π$ )	2 $π$
องศา	0 °	(0, 90) °	90 °	(90, 180) °	180 °	(180, 360) °	360 °
Gons	0 ^ก	(0, 100) ^ก	100 ^ก	(100, 200) ^ก	200 ^ก	(200, 400) ^ก	400 ^ก

คู่มุมเท่ากัน

มุมที่มีมาตรการเดียวกัน (เช่นขนาดเดียวกัน) จะกล่าวว่าเป็นที่เท่ากันหรือเท่ากันทุกประการ มุมถูกกำหนดโดยการวัดและไม่ขึ้นอยู่กับความยาวของด้านข้างของมุม (เช่นมุมฉากทั้งหมดมีค่าเท่ากันในการวัด)
มุมสองมุมที่ใช้เทอร์มินัลร่วมกัน แต่มีขนาดแตกต่างกันโดยจำนวนเต็มหลายเทิร์นเรียกว่ามุมโคเทอร์มินัล
มุมอ้างอิงเป็นรุ่นเฉียบพลันของมุมใดกำหนดด้วยซ้ำลบหรือเพิ่มมุมตรง ( 1/2เลี้ยว 180 °หรือ $π$ เรเดียน) ไปยังผลลัพธ์ตามความจำเป็นจนกระทั่งขนาดของผลลัพธ์เป็นมุมแหลมค่าระหว่าง 0 ถึง 1/4 เลี้ยว 90 °หรือ $π$ /2เรเดียน ตัวอย่างเช่นมุม 30 องศามีมุมอ้างอิง 30 องศาและมุม 150 องศายังมีมุมอ้างอิง 30 องศา (180–150) มุม 750 องศามีมุมอ้างอิง 30 องศา (750–720) ^[7]

คู่ของมุมในแนวตั้งและที่อยู่ติดกัน

มุม A และ B เป็นมุมแนวตั้งคู่หนึ่ง มุม C และ D เป็นมุมแนวตั้งคู่หนึ่ง เครื่องหมายฟักถูกใช้เพื่อแสดงความเท่าเทียมกันของมุม

เมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน ณ จุดหนึ่งจะเกิดมุมทั้งสี่มุม มุมเหล่านี้ตั้งชื่อคู่กันตามตำแหน่งที่สัมพันธ์กัน

คู่ของมุมตรงข้ามกันที่เกิดขึ้นจากทั้งสองเส้นตัดตรงที่รูปแบบ "X" รูปร่างเหมือนจะถูกเรียกว่ามุมแนวตั้งหรือมุมตรงข้ามหรือมุมตรงข้ามแนวตั้ง พวกเขาย่อว่าจุดยอด opp. ∠s . ^[8]

ความเสมอภาคของมุมตรงข้ามแนวตั้งที่เรียกว่า ทฤษฎีบทมุมแนวตั้ง Eudemus โรดส์มาประกอบหลักฐานเพื่อ Thales มิลีทัส ^[9]^[10]ประพจน์แสดงให้เห็นว่าเนื่องจากมุมแนวตั้งทั้งคู่เสริมกับมุมที่อยู่ติดกันทั้งสองมุมในแนวตั้งจึงมีค่าเท่ากันในการวัด ตามบันทึกทางประวัติศาสตร์ ^[10]เมื่อธาเลสไปเยือนอียิปต์เขาสังเกตว่าเมื่อใดก็ตามที่ชาวอียิปต์ลากเส้นตัดกันสองเส้นพวกเขาจะวัดมุมในแนวตั้งเพื่อให้แน่ใจว่าเท่ากัน Thales สรุปว่าเราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามุมในแนวตั้งทั้งหมดเท่ากันหากยอมรับแนวคิดทั่วไปบางประการเช่น:

มุมตรงทั้งหมดเท่ากัน
การเพิ่มเท่ากับเท่ากับจะมีค่าเท่ากัน
เท่ากับลบออกจากเท่ากับเท่ากับ

เมื่อมุมสองมุมที่อยู่ติดกันเป็นเส้นตรงจะเป็นส่วนเสริม ดังนั้นถ้าเราคิดว่าตัวชี้วัดของมุม เท่ากับ xแล้วมาตรการของมุม Cจะเป็น 180 - x ในทำนองเดียวกันการวัดของมุม Dจะเป็น 180 - x ทั้งมุม Cและมุม Dมีขนาดเท่ากับ 180 - xและมีความสอดคล้องกัน ตั้งแต่มุม Bเป็นเสริมทั้งมุม Cและ Dอย่างใดอย่างหนึ่งของมาตรการมุมเหล่านี้อาจจะใช้ในการกำหนดตัวชี้วัดของมุม B โดยใช้ตัวชี้วัดของทั้งมุม Cหรือมุม D,เราพบว่าตัวชี้วัดของมุม Bจะเป็น 180 - (180 - x ) = 180 - 180 + x = x ดังนั้นทั้งมุม Aและมุม Bจึงมีขนาดเท่ากับ xและมีค่าเท่ากันในการวัด

มุม Aและ Bอยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันมักเรียกโดยย่อว่าadj. ∠sเป็นมุมที่ใช้จุดสุดยอดที่พบบ่อยและขอบ แต่ไม่ได้ร่วมจุดใด ๆ ภายใน กล่าวอีกนัยหนึ่งก็คือมุมที่อยู่เคียงข้างกันหรืออยู่ติดกันโดยใช้ "แขน" ร่วมกัน มุมที่อยู่ติดกันซึ่งรวมไปมุมขวามุมตรงหรือมุมเต็มรูปแบบพิเศษและจะเรียกว่าตามลำดับเสริม , เสริมและexplementaryมุม (ดู "รวมคู่มุม" ด้านล่าง)

ขวางเป็นเส้นที่ตัดคู่ของ (มักจะขนาน) เส้นและมีความเกี่ยวข้องกับมุมสลับการตกแต่งภายใน , มุมที่สอดคล้องกัน , มุมภายในและมุมภายนอก ^[11]

การรวมคู่มุม

คู่ของมุมพิเศษสามคู่เกี่ยวข้องกับการรวมของมุม:

เสริมมุม และ ข ( ขเป็น ส่วนเติมเต็มของ และ เป็นส่วนเติมเต็มของ ข )

มุมเสริมคือคู่มุมที่วัดรวมกับมุมฉากหนึ่งมุม ( 1/4 เลี้ยว 90 °หรือ $π$ /2เรเดียน) ^[12]ถ้ามุมเสริมทั้งสองอยู่ติดกันด้านที่ไม่ใช้ร่วมกันจะเป็นมุมฉาก ในเรขาคณิตแบบยูคลิดมุมแหลมทั้งสองในสามเหลี่ยมมุมฉากนั้นเสริมกันเนื่องจากผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมคือ 180 องศาและมุมฉากนั้นมีค่า 90 องศา

คำคุณศัพท์เสริมมาจากภาษาละติน complementumซึ่งเกี่ยวข้องกับคำกริยา complere "to fill up" มุมแหลมถูก "เติมเต็ม" โดยส่วนเติมเต็มเพื่อสร้างมุมฉาก

ความแตกต่างระหว่างมุมและมุมฉากเรียกว่า ส่วนเติมเต็มของมุม ^[13]

หากมุม Aและ Bเสริมกันความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะถือ:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ sin ^ {2} A + \ sin ^ {2} B = 1 && \ cos ^ {2} A + \ cos ^ {2} B = 1 \\ [3pt] & \ tan A = \ cot B && \ sec A = \ csc B \ end {aligned}}}

( แทนเจนต์ของมุมเท่ากับ โคแทนเจนต์ของส่วนเสริมและซีแคนต์ของมันเท่ากับ โคซีแคนต์ของส่วนเสริม)

คำนำหน้า " ร่วม " ในชื่อของอัตราส่วนตรีโกณมิติบางหมายถึงคำว่า "เสริม"

มุม aและ bเป็น มุม เสริม

มุมสองมุมที่รวมเป็นมุมตรง ( 1/2เปิด 180 องศาหรือ $π$ เรเดียน) จะเรียกว่ามุมเสริม ^[14]

หากทั้งสองมุมเสริม ที่อยู่ติดกัน (เช่นมีการร่วมกัน จุดสุดยอดและส่วนแบ่งเพียงด้านเดียว) ด้านที่ไม่ใช้ร่วมกันของพวกเขาในรูปแบบ เส้นตรง มุมดังกล่าวจะเรียกว่า คู่เชิงเส้นของมุม ^[15]อย่างไรก็ตามมุมเสริมไม่จำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกันและสามารถแยกออกจากกันได้ในอวกาศ ตัวอย่างเช่นมุมที่อยู่ติดกันของรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นส่วนเสริมและมุมตรงข้ามของ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (มุมที่จุดยอดทั้งหมดตกอยู่ในวงกลมวงเดียว) เป็นส่วนเสริม

ถ้าจุด P อยู่ภายนอกวงกลมที่มี O ตรงกลางและถ้า เส้นสัมผัสจาก P แตะวงกลมที่จุด T และ Q ดังนั้น∠TPQและ∠TOQจะเป็นส่วนเสริม

ไซน์ของมุมเสริมมีค่าเท่ากัน โคไซน์และแทนเจนต์ (เว้นแต่ไม่ได้กำหนด) มีขนาดเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

ในเรขาคณิตแบบยูคลิดผลรวมของสองมุมในรูปสามเหลี่ยมจะเสริมกับมุมที่สามเนื่องจากผลรวมของมุมภายในของสามเหลี่ยมเป็นมุมตรง

ผลรวมของสอง explementaryมุมเป็น ที่สมบูรณ์มุม

สองมุมได้ว่าจำนวนเงินที่จะเป็นมุมที่สมบูรณ์แบบ (1 เลี้ยว 360 องศาหรือ 2 $π$ เรเดียน) จะเรียกว่ามุม explementaryหรือมุมผัน
ความแตกต่างระหว่างมุมและมุมสมบูรณ์เรียกว่าการ ขยายมุมหรือการ ผันของมุม

มุมที่เกี่ยวข้องกับรูปหลายเหลี่ยม

มุมภายในและภายนอก

มุมที่เป็นส่วนหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาเรียกว่ามุมภายในถ้ามุมนั้นอยู่ด้านในของรูปหลายเหลี่ยมธรรมดานั้น รูปหลายเหลี่ยมเว้าธรรมดามีมุมภายในอย่างน้อยหนึ่งมุมที่เป็นมุมสะท้อน
ใน เรขาคณิตแบบยูคลิดการวัดมุมภายในของ สามเหลี่ยมจะรวมกัน เป็น $π$ เรเดียน 180 °หรือ 1/2กลับ; มาตรการของมุมภายในของง่ายที่ นูน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเพิ่มขึ้นถึง 2 $π$ เรเดียน 360 °หรือ 1 เปิด โดยทั่วไปการวัดมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมนูนธรรมดาที่ มี nด้านบวกได้ถึง ( n - 2) $π$ เรเดียนหรือ 180 ( n - 2) องศา, (2 n - 4) มุมฉากหรือ ( n/2 - 1) เลี้ยว
อาหารเสริมของมุมภายในที่เรียกว่ามุมภายนอกที่เป็นมุมภายในและมุมภายนอกแบบฟอร์มคู่เชิงเส้นของมุม มีมุมภายนอกสองมุมที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละมุมถูกกำหนดโดยการขยายด้านใดด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอด มุมทั้งสองนี้เป็นแนวตั้งและด้วยเหตุนี้จึงเท่ากัน มุมภายนอกวัดปริมาณการหมุนที่จุดยอดเพื่อติดตามรูปหลายเหลี่ยม ^[16]ถ้ามุมภายในที่สอดคล้องกันคือมุมที่สะท้อนมุมด้านนอกควรจะได้รับการพิจารณาในเชิงลบ แม้จะอยู่ในรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ง่ายมันอาจจะเป็นไปได้ที่จะกำหนดมุมภายนอก แต่อย่างหนึ่งที่จะต้องเลือกการวางแนวของเครื่องบิน (หรือพื้นผิว ) ที่จะตัดสินใจเข้าสู่ระบบของตัวชี้วัดที่มุมด้านนอก
ในเรขาคณิตแบบยูคลิดผลรวมของมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมนูนธรรมดาถ้าสมมติว่ามุมภายนอกเพียงมุมเดียวในสองมุมที่จุดยอดแต่ละจุดจะเท่ากับหนึ่งเทิร์นเต็ม (360 °) มุมด้านนอกที่นี่อาจจะเรียกว่า มุมภายนอกเสริม มุมภายนอกมักใช้ใน โปรแกรม Logo Turtleเมื่อวาดรูปหลายเหลี่ยมปกติ
ในรูปสามเหลี่ยมเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายนอกสองมุมและเส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในอื่น ๆ จะพร้อมกัน (มาบรรจบกันที่จุดเดียว) ^[17]^{: น. 149}
ในรูปสามเหลี่ยมสามจุดตัดแต่ละของเส้นแบ่งครึ่งมุมภายนอกที่มีที่อยู่ตรงข้ามด้านการขยายเป็นcollinear ^[17]^{: น. 149}
ในรูปสามเหลี่ยมจุดตัดกันสามจุดสองจุดระหว่างเส้นแบ่งครึ่งมุมภายในกับด้านตรงข้ามและจุดที่สามระหว่างเส้นแบ่งมุมด้านนอกอีกด้านและด้านตรงข้ามที่ขยายออกมาเป็น collinear ^[17]^{: น. 149}
ผู้เขียนบางคนใช้ชื่อมุมภายนอกของรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาเพื่อหมายถึงเพียงแค่ใช้มุมภายนอก ( ไม่เสริม!) ของมุมภายใน ^[18]สิ่งนี้ขัดแย้งกับการใช้งานข้างต้น

มุมที่เกี่ยวข้องกับเครื่องบิน

มุมระหว่างสองระนาบ (เช่นสองใบหน้าที่อยู่ติดกันของรูปทรงหลายเหลี่ยม ) เรียกว่ามุมไดฮีดรั ^[13]มันอาจถูกกำหนดให้เป็นมุมแหลมระหว่างเส้นสองเส้นปกติกับระนาบ
มุมระหว่างระนาบกับเส้นตรงที่ตัดกันเท่ากับเก้าสิบองศาลบมุมระหว่างเส้นที่ตัดกันกับเส้นที่ผ่านจุดตัดและเป็นเรื่องปกติของระนาบ

การวัดมุม

ขนาดของมุมทางเรขาคณิตมักจะมีลักษณะตามขนาดของการหมุนที่เล็กที่สุดซึ่งจะจับคู่รังสีหนึ่งเข้ากับอีกรังสีหนึ่ง มุมที่มีขนาดเดียวกันจะกล่าวว่าเป็นที่เท่ากันหรือสอดคล้องกันหรือเท่ากันในวัด

ในบางบริบทเช่นการระบุจุดบนวงกลมหรือการอธิบายการวางแนวของวัตถุในสองมิติที่สัมพันธ์กับการวางแนวอ้างอิงมุมที่แตกต่างกันโดยผลคูณที่แน่นอนของการเลี้ยวเต็มจะเทียบเท่ากันได้อย่างมีประสิทธิภาพ ในบริบทอื่น ๆ เช่นการระบุจุดบนเส้นโค้งเกลียวหรืออธิบายการหมุนสะสมของวัตถุในสองมิติที่สัมพันธ์กับการวางแนวอ้างอิงมุมที่แตกต่างกันโดยผลคูณที่ไม่ใช่ศูนย์ของการหมุนเต็มจะไม่เทียบเท่า

มาตรการของมุม θ (เรเดียน) เป็นความฉลาดของ sและ R

เพื่อวัดมุมθเป็นวงกลมศูนย์กลางที่จุดสุดยอดของมุมจะถูกวาดเช่นกับคู่ของวงเวียน อัตราส่วนของความยาวของส่วนโค้งโดยรัศมีRของวงกลมเป็นตัวชี้วัดของมุมในที่เรเดียน

จากนั้นการวัดมุมในหน่วยเชิงมุมอื่นจะได้รับโดยการคูณการวัดเป็นเรเดียนด้วยตัวคูณมาตราส่วน k/2 $π$ โดยที่kคือหน่วยวัดของการเลี้ยวที่สมบูรณ์ในหน่วยที่เลือก (เช่น 360 สำหรับองศาหรือ 400 สำหรับผู้ไล่ระดับสี ):

{\ displaystyle \ theta = k {\ frac {s} {2 \ pi r}}}

ค่าของθที่กำหนดจึงไม่ขึ้นกับขนาดของวงกลม: ถ้าความยาวของรัศมีเปลี่ยนไปความยาวส่วนโค้งจะเปลี่ยนไปในสัดส่วนเดียวกันดังนั้นอัตราส่วนs / rจะไม่เปลี่ยนแปลง (หลักฐานสูตรด้านบนสามารถเขียนใหม่เป็นk = θr/s. หนึ่งหันซึ่งθ = nหน่วยสอดคล้องกับโค้งเท่ากับความยาวของวงกลมรอบซึ่งเป็น 2 $π$ Rดังนั้นs = 2 $π$ R การแทนnสำหรับθและ 2 $π$ rสำหรับsในสูตรจะได้ผลลัพธ์เป็นk = nr/2 $π$ r = n/2 $π$ . ) ^{[nb 1]}

มุมบวกสมมุติ

การบวกมุมสมมุติว่าถ้าBอยู่ภายในของมุมAOCแล้ว

{\ displaystyle m \ angle AOC = m \ angle AOB + m \ angle BOC}

มาตรการของมุมAOCคือผลรวมของตัวชี้วัดของ AOB มุมและตัวชี้วัดของมุมBOC ในสมมุติฐานนี้ไม่สำคัญว่าจะวัดมุมในหน่วยใดตราบเท่าที่แต่ละมุมถูกวัดในหน่วยเดียวกัน

หน่วย

หน่วยที่ใช้แทนมุมจะแสดงรายการด้านล่างตามลำดับขนาดจากมากไปหาน้อย ในหน่วยเหล่านี้องศาและเรเดียนเป็นส่วนที่ใช้กันมากที่สุด มุมที่แสดงในเรเดียนเป็นมิติสำหรับการวิเคราะห์มิติ

หน่วยส่วนใหญ่ของการวัดเชิงมุมมีการกำหนดดังกล่าวว่าการเปิด (เช่นวงกลมเต็ม) เท่ากับnหน่วยสำหรับบางจำนวนเต็มn ข้อยกเว้นสองประการคือส่วนเรเดียนและส่วนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง

เลี้ยว ( n = 1): เปิดยัง วงจร , วงกลมเต็มรูปแบบ , การปฏิวัติและ การหมุนคือการเคลื่อนไหวที่สมบูรณ์กลมหรือวัด (เท่าที่จะกลับไปที่จุดเดียวกัน) กับวงกลมหรือวงรี เลี้ยวย่อ $τ$ , CYC , REVหรือ เน่าขึ้นอยู่กับโปรแกรม แต่ในตัวย่อ รอบต่อนาที (รอบต่อนาที) เพียง Rถูกนำมาใช้ เปิดของ nหน่วยจะได้รับโดยการตั้งค่า k = 1/2 $π$ ในสูตรด้านบน ความเท่าเทียมกันของ 1 เทิร์นคือ 360 °, 2 $π$ rad, 400 grad และ 4 มุมฉาก สัญลักษณ์ $τ$ ยังสามารถใช้เป็น ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์เพื่อแทน 2 $π$ เรเดียน ใช้ในลักษณะนี้ ( $k = τ / 2π$ ) อนุญาตให้แสดงเรเดียนเป็นเศษเสี้ยวของการเลี้ยว ตัวอย่างเช่นครึ่งรอบคือ $τ / 2 = π$ .

กำลังสอง ( n = 4): วอดคือ 1/4ของเทิร์นเช่น มุมขวา มันเป็นหน่วยที่ใช้ใน ยุคลิดองค์ประกอบ 1 รูปสี่เหลี่ยม = 90 ° = $π$ /2 rad = 1/4เทิร์น = 100 ผู้สำเร็จการศึกษา ในภาษาเยอรมันสัญลักษณ์ ^∟ถูกใช้เพื่อแสดงถึงรูปสี่เหลี่ยม

Sextant ( n = 6): ทิศทาง ( มุมของรูปสามเหลี่ยม ) เป็น 1/6ของการเลี้ยว มันเป็นหน่วยที่ใช้โดย ชาวบาบิโลน , ^[20]^[21]และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเรื่องง่ายที่จะสร้างด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน การศึกษาระดับปริญญา, ลิปดาและครั้งที่สองของส่วนโค้งมี sexagesimalหน่วยย่อยของหน่วยบาบิโลน 1 หน่วยบาบิโลน = 60 ° = $π$ / 3 rad ≈ 1.047197551 rad

θ = s / r rad = 1 rad

เรเดียน ( n = 2 $π$ = 6.283.): เรเดียนเป็นมุม subtended โดยส่วนโค้งของวงกลมที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของวงกลม กรณีของเรเดียนสำหรับสูตรที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ได้รับ เรเดียนของ n = 2 $π$ หน่วยโดยการตั้งค่า k = 2 $π$ /2 $π$ = 1 รอบหนึ่งคือ 2 $π$ เรเดียนและหนึ่งเรเดียนคือ 180/ $π$ องศาหรือประมาณ 57.2958 องศา เรเดียนเป็นตัวย่อ radแม้ว่าสัญลักษณ์นี้มักจะถูกละไว้ในข้อความทางคณิตศาสตร์ซึ่งจะถือว่าเรเดียนเว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น เมื่อใช้เรเดียนมุมจะถือว่าไม่มีมิติ เรเดียนถูกนำมาใช้ในงานทางคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดนอกเหนือจากรูปทรงเรขาคณิตที่ใช้งานได้จริงเช่นเนื่องจากคุณสมบัติ "เป็นธรรมชาติ" ที่น่าพึงพอใจซึ่ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติจะแสดงเมื่ออาร์กิวเมนต์เป็นเรเดียน เรเดียนเป็นหน่วย (ที่ได้มา) ของการวัดเชิงมุมใน ระบบ SI

ตำแหน่งนาฬิกา ( n = 12): ตำแหน่งนาฬิกาเป็น ทิศทางญาติของวัตถุที่อธิบายไว้โดยใช้ความคล้ายคลึงของที่ นาฬิกาแบบ 12 ชั่วโมง คนหนึ่งจินตนาการถึงหน้าปัดนาฬิกาที่ตั้งตรงหรือแบนข้างหน้าตัวเองและระบุเครื่องหมายสิบสองชั่วโมงพร้อมทิศทางที่พวกเขาชี้

มุมชั่วโมง ( n = 24): มุมชั่วโมงทาง ดาราศาสตร์ คือ 1/24ของการเลี้ยว ในฐานะที่เป็นระบบนี้คือคล้อยตามการวัดวัตถุรอบที่วันละครั้ง (เช่นตำแหน่งสัมพัทธ์ของดาว) หน่วยย่อย sexagesimal จะเรียกว่า นาทีของเวลาและ ที่สองของเวลา สิ่งเหล่านี้แตกต่างจากและใหญ่กว่า 15 เท่าของส่วนโค้งนาทีและวินาที 1 ชั่วโมง = 15 ° = $π$ /12 rad = 1/6 รูปสี่เหลี่ยม = 1/24เลี้ยว = 16+2/3 จบ.

(เข็มทิศ) จุดหรือลม ( n = 32): จุดที่ใช้ใน การนำทางเป็น 1/32ของการเลี้ยว 1 คะแนน = 1/8ของมุมฉาก = 11.25 ° = 12.5 ระดับ แต่ละแต้มจะแบ่งย่อยออกเป็นสี่แต้มในควอเตอร์เพื่อให้ 1 เทิร์นเท่ากับ 128 แต้มในควอเตอร์ - พอยต์

เฮกซาคอนเทด ( n = 60): hexacontadeเป็นหน่วยของ 6 °ว่า Eratosthenesใช้เพื่อให้เปิดทั้งหมดถูกแบ่งออกเป็น 60 หน่วย

Pechus ( n = 144–180): pechusเป็น ชาวบาบิโลนหน่วยเท่ากับประมาณ 2 องศาหรือ 2+1/2°.

องศาไบนารี ( n = 256): ศึกษาระดับปริญญาไบนารียังเป็นที่รู้จักในฐานะ เรเดียนไบนารี (หรือ แบรด ) เป็น 1/256ของการเลี้ยว ^[22]องศาไบนารีถูกใช้ในการคำนวณเพื่อให้สามารถแสดงมุมได้อย่างมีประสิทธิภาพในไบต์เดียว (แม้ว่าจะมีความแม่นยำ จำกัด ก็ตาม) มาตรการอื่น ๆ ของมุมที่ใช้ในการคำนวณอาจจะอยู่บนพื้นฐานของการหารเปิดหนึ่งทั้งเป็น 2 ⁿเท่ากับชิ้นส่วนสำหรับค่าอื่น ๆ ของ n ^[23]
องศา ( n = 360): ศึกษาระดับปริญญาชี้แนะด้วยวงกลมยกขนาดเล็ก (°) เป็น 1/360 ของเทิร์นดังนั้นหนึ่ง หัน 360 องศา กรณีขององศาสำหรับสูตรที่ได้รับก่อนหน้านี้ การศึกษาระดับปริญญาของ n = 360 หน่วยจะได้รับโดยการตั้งค่า k = 360 °/2 $π$ . ข้อดีอย่างหนึ่งของหน่วยย่อยทางเพศแบบเก่านี้ คือหลาย ๆ มุมที่พบบ่อยในรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่ายจะวัดเป็นจำนวนองศาทั้งหมด เศษส่วนขององศาอาจเขียนด้วยสัญกรณ์ทศนิยมปกติ (เช่น 3.5 °สำหรับสามองศาครึ่ง) แต่ยังมีการใช้หน่วยย่อยทางเพศของ "นาที" และ "วินาที" ของระบบ "องศา - นาที - วินาที" โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับ พิกัดทางภูมิศาสตร์และ ดาราศาสตร์และ กระสุน

ส่วนเส้นผ่านศูนย์กลาง ( n = 376.99.): ส่วนเส้นผ่าศูนย์กลาง (บางครั้งใช้ในวิชาคณิตศาสตร์อิสลาม) เป็น 1/60เรเดียน. "ส่วนที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง" หนึ่งชิ้นจะอยู่ที่ประมาณ 0.95493 ° มีเส้นผ่านศูนย์กลางประมาณ 376.991 ชิ้นส่วนต่อเทิร์น

เกรด ( n = 400): ผู้สำเร็จ การ ศึกษาเรียกอีกอย่างว่า เกรดผู้ ไล่ระดับหรือ gonคือ 1/400ของการเลี้ยวดังนั้นมุมฉากคือ 100 grads ^[4]เป็นหน่วยย่อยทศนิยมของควอดแรนต์ กิโลเมตรถูกกำหนดในฐานะอดีต subtending centi -grad ของส่วนโค้งตาม วงกลมใหญ่บนโลก ดังนั้นกิโลเมตรเป็นอะนาล็อกทศนิยมกับ sexagesimalไมล์ทะเล ^{[ ต้องการอ้างอิง ]}ผู้สำเร็จการศึกษาส่วนใหญ่จะใช้ใน รูปสามเหลี่ยมและเนลตัล สำรวจ

มิลลิราเดียน: มิลลิเรเดียน (mil หรือ mrad) ถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งในพันของเรเดียนซึ่งหมายความว่าการหมุนหนึ่ง รอบประกอบด้วย2,000πล้าน (หรือประมาณ 6283.185 ... mil) และขอบเขตการมองเห็นเกือบทั้งหมด สำหรับ อาวุธปืนจะได้รับการปรับเทียบตามคำจำกัดความนี้ . นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความที่ได้รับอีกสามคำที่ใช้สำหรับปืนใหญ่และการนำทางซึ่งมี ค่าประมาณเท่ากับหนึ่งมิลลิเรี่ยน ภายใต้คำจำกัดความอื่น ๆ สามคำนี้หนึ่งเทิร์นคิดเป็น 6000, 6300 หรือ 6400 ไมล์ซึ่งเท่ากับช่วงตั้งแต่ 0.05625 ถึง 0.06 องศา (3.375 ถึง 3.6 นาที) ในการเปรียบเทียบมิลลิเรเดียนที่แท้จริงจะอยู่ที่ประมาณ 0.05729578 ... องศา (3.43775 ... นาที) คำจำกัดความ" NATO mil" หนึ่งรายการคือ 1/6400ของวงกลม เช่นเดียวกับมิลลิเรเดียนที่แท้จริงคำจำกัดความอื่น ๆ แต่ละคำใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติของส่วนย่อยที่มีประโยชน์ของ mil นั่นคือค่าของหนึ่งมิลลิเรเดียนโดยประมาณเท่ากับมุมที่ถูกย่อยด้วยความกว้าง 1 เมตรเมื่อเห็นจากระยะ 1 กม. ( 2 $π$ /6400 = 0.0009817 ... ≈ 1/1,000).

นาทีของส่วนโค้ง ( n = 21,600): ลิปดา (หรือ MOA , arcminuteหรือเพียงแค่ นาที ) เป็น 1/60 ของระดับ = 1/21,600กลับ. มันแสดงด้วยไพรม์เดียว (′) ตัวอย่างเช่น 3 ° 30 ′เท่ากับ 3 × 60 + 30 = 210 นาทีหรือ 3 + 30/60= 3.5 องศา บางครั้งก็ใช้รูปแบบผสมกับเศษส่วนทศนิยมเช่น 3 ° 5.72 ′= 3 + 5.72/60องศา ใน อดีตไมล์ทะเลถูกกำหนดให้เป็นนาทีของส่วนโค้งตาม วงกลมใหญ่ของโลก

วินาทีของส่วนโค้ง ( n = 1,296,000): ที่สองของอาร์ (หรือ arcsecondหรือเพียงแค่ สอง ) เป็น 1/60 นาทีของส่วนโค้งและ 1/3600ระดับ มันแสดงด้วยไพรม์คู่ (″) ตัวอย่างเช่น 3 ° 7 ′30″ เท่ากับ 3 + 7/60 + 30/3600 องศาหรือ 3.125 องศา

มิลลิวินาที ( n = 1,296,000,000): มาส
ไมโครวินาที ( n = 1,296,000,000,000): µas

มุมบวกและลบ

แม้ว่าคำจำกัดความของการวัดมุมจะไม่สนับสนุนแนวคิดของมุมลบ แต่ก็มักจะมีประโยชน์ในการกำหนดรูปแบบที่อนุญาตให้ค่าเชิงมุมบวกและลบแสดงถึงการวางแนวและ / หรือการหมุนในทิศทางตรงกันข้ามเมื่อเทียบกับการอ้างอิงบางส่วน

ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสองมิติโดยทั่วไปมุมจะถูกกำหนดโดยทั้งสองด้านโดยมีจุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด ด้านเริ่มต้นอยู่ในเชิงบวกแกน xในขณะที่อีกด้านหนึ่งหรือด้านขั้วจะถูกกำหนดโดยวัดจากด้านในเบื้องต้นเรเดียนองศาหรือผลัดกัน ด้วยมุมบวกที่แสดงถึงการหมุนไปยังแกน y ที่เป็นบวกและมุมลบที่แสดงถึงการหมุนไปยังแกนy ที่เป็นลบ เมื่อพิกัดคาร์ทีเซียนโดยมีตัวแทนตำแหน่งมาตรฐานที่กำหนดโดยxแกนขวาและYแกนขึ้นผลัดบวกทวนเข็มนาฬิกาและลบผลัดเป็นตามเข็มนาฬิกา

ในหลาย ๆ บริบทมุมของ - θจะเทียบเท่ากับมุมของ "หนึ่งเทิร์นเต็มลบθ " ตัวอย่างเช่นการวางแนวที่แสดงเป็น −45 °มีประสิทธิภาพเทียบเท่ากับการวางแนวที่แสดงเป็น 360 ° - 45 °หรือ 315 ° แม้ว่าตำแหน่งสุดท้ายจะเหมือนกัน แต่การหมุนทางกายภาพ (การเคลื่อนไหว) ที่ −45 °จะไม่เหมือนกับการหมุน 315 ° (ตัวอย่างเช่นการหมุนของคนที่ถือไม้กวาดที่วางอยู่บนพื้นฝุ่นจะทำให้มีร่องรอยที่แตกต่างกันออกไป ของภูมิภาคที่กวาดบนพื้น)

ในรูปเรขาคณิตสามมิติ "ตามเข็มนาฬิกา" และ "ทวนเข็มนาฬิกา" ไม่มีความหมายที่แน่นอนดังนั้นจึงต้องกำหนดทิศทางของมุมบวกและลบให้สัมพันธ์กับการอ้างอิงบางส่วนซึ่งโดยทั่วไปแล้วเวกเตอร์ที่ผ่านจุดยอดของมุมและตั้งฉากกับระนาบใน ซึ่งรังสีของมุมอยู่

ในการนำทาง , แบริ่งหรือราบวัดเทียบกับทิศตะวันตกเฉียงเหนือ ตามการประชุมเมื่อมองจากด้านบนมุมแบริ่งจะเป็นบวกตามเข็มนาฬิกาดังนั้นแบริ่ง 45 °จึงสอดคล้องกับการวางแนวตะวันออกเฉียงเหนือ ไม่ใช้ตลับลูกปืนเชิงลบในการนำทางดังนั้นการวางแนวตะวันตกเฉียงเหนือจึงสอดคล้องกับแบริ่งที่ 315 °

ทางเลือกอื่นในการวัดขนาดของมุม

มีหลายทางเลือกในการวัดขนาดของมุมด้วยมุมการหมุน ลาดชันหรือการไล่ระดับสีเท่ากับแทนเจนต์ของมุมหรือบางครั้ง (ไม่ค่อย) เดอะซายน์ ; การไล่ระดับสีมักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ สำหรับค่าที่น้อยมาก (น้อยกว่า 5%) เกรดของความชันจะอยู่ที่การวัดมุมในหน่วยเรเดียนโดยประมาณ

ในเรขาคณิตเชิงเหตุผลการแพร่กระจายระหว่างสองเส้นถูกกำหนดให้เป็นกำลังสองของไซน์ของมุมระหว่างเส้น เนื่องจากไซน์ของมุมและไซน์ของมุมเสริมเท่ากันมุมของการหมุนใด ๆ ที่จับคู่เส้นใดเส้นหนึ่งเข้ากับอีกเส้นหนึ่งจะนำไปสู่ค่าเดียวกันสำหรับการแพร่กระจายระหว่างเส้น

การประมาณทางดาราศาสตร์

นักดาราศาสตร์วัดการแยกวัตถุเชิงมุมเป็นองศาจากจุดสังเกต

0.5 °คือความกว้างของดวงอาทิตย์หรือดวงจันทร์โดยประมาณ
1 °คือความกว้างประมาณนิ้วก้อยที่ความยาวแขน
10 °คือความกว้างของกำปั้นปิดที่ความยาวของแขนโดยประมาณ
20 °คือความกว้างของด้ามจับที่ความยาวแขนโดยประมาณ

การวัดเหล่านี้ขึ้นอยู่กับแต่ละบุคคลอย่างชัดเจนและข้างต้นควรถือเป็นกฎคร่าวๆของการประมาณหัวแม่มือเท่านั้น

มุมระหว่างเส้นโค้ง

มุมระหว่างสองเส้นโค้งที่ Pถูกกำหนดให้เป็นมุมระหว่างเสียบ้างที่ และ Bที่ P

มุมระหว่างเส้นกับเส้นโค้ง (มุมผสม) หรือระหว่างเส้นโค้งที่ตัดกันสองเส้น (มุมโค้ง) ถูกกำหนดให้เป็นมุมระหว่างเส้นสัมผัสที่จุดตัดกัน มีการกำหนดชื่อต่างๆ (ตอนนี้ไม่ค่อยมีใช้) สำหรับบางกรณี: - amphicyrtic (Gr. ἀμφί , ทั้งสองด้าน, κυρτός, นูน) หรือcissoidal (Gr. κισσός, ivy), biconvex; xystroidalหรือsistroidal (Gr. ξυστρίς, เครื่องมือสำหรับขูด), เว้านูน; amphicoelic (Gr. κοίλη, กลวง) หรือangulus lunularis , biconcave ^[24]

มุมทวิและสามจุด

คณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณรู้วิธีการแบ่งครึ่งมุม (แบ่งออกเป็นสองมุมของวัดเท่ากัน) โดยใช้เพียงเข็มทิศและระนาบแต่อาจ trisect มุมบางอย่าง ในปี 1837 Pierre Wantzelแสดงให้เห็นว่าสำหรับมุมส่วนใหญ่ไม่สามารถใช้โครงสร้างนี้ได้

ผลิตภัณฑ์ดอทและลักษณะทั่วไป

ในปริภูมิยุคลิดมุมθระหว่างเวกเตอร์ยุคลิด สองตัวuและvสัมพันธ์กับผลคูณดอทและความยาวตามสูตร

{\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} = \ cos (\ theta) \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

สูตรนี้ให้วิธีง่ายๆในการหามุมระหว่างระนาบสองระนาบ (หรือพื้นผิวโค้ง) จากเวกเตอร์ปกติและระหว่างเส้นเอียงจากสมการเวกเตอร์

สินค้าภายใน

ในการกำหนดมุมในพื้นที่ผลิตภัณฑ์ด้านในที่เป็นนามธรรมเราแทนที่ผลิตภัณฑ์ Euclidean dot ( · ) ด้วยผลิตภัณฑ์ด้านใน ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ เช่น

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle = \ cos (\ theta) \ \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ ขวา \ |.}

ในพื้นที่ผลิตภัณฑ์ด้านในที่ซับซ้อนนิพจน์สำหรับโคไซน์ด้านบนอาจให้ค่าที่ไม่ใช่ค่าจริงดังนั้นจึงถูกแทนที่ด้วย

{\ displaystyle \ operatorname {Re} \ left (\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right) = \ cos (\ theta) \ \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

หรือโดยทั่วไปใช้ค่าสัมบูรณ์ด้วย

{\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = | \ cos (\ theta) | \ \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |.}

คำจำกัดความหลังไม่สนใจทิศทางของเวกเตอร์และอธิบายถึงมุมระหว่างพื้นที่ย่อยหนึ่งมิติ ${\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {u})}$ และ ${\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {v})}$ ทอดโดยเวกเตอร์ ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ และ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ที่สอดคล้องกัน.

มุมระหว่างพื้นที่ย่อย

นิยามของมุมระหว่างพื้นที่ย่อยหนึ่งมิติ ${\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {u})}$ และ ${\ displaystyle \ operatorname {span} (\ mathbf {v})}$ ให้โดย

{\ displaystyle \ left | \ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ right | = | \ cos (\ theta) | \ left \ | \ mathbf {u} \ right \ | \ left \ | \ mathbf {v} \ right \ |}

ในพื้นที่ฮิลเบิร์ตสามารถขยายไปยังพื้นที่ย่อยของมิติที่ จำกัด ได้ กำหนดสองพื้นที่ย่อย ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ , ${\ displaystyle {\ mathcal {W}}}$ ด้วย ${\ displaystyle \ dim ({\ mathcal {U}}): = k \ leq \ dim ({\ mathcal {W}}): = l}$ สิ่งนี้นำไปสู่คำจำกัดความของ ${\ displaystyle k}$ มุมที่เรียกว่ามุมมาตรฐานหรือมุมหลักระหว่างพื้นที่ย่อย

มุมในรูปทรงเรขาคณิต Riemannian

ในรีมันเรขาคณิตที่เมตริกซ์ตัวชี้วัดที่ใช้ในการกำหนดมุมระหว่างสองเสียบ้าง ที่ไหนUและVจะสัมผัสเวกเตอร์และกรัม_IJเป็นส่วนประกอบของเมตริกซ์เมตริกG ,

{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {g_ {ij} U ^ {i} V ^ {j}} {\ sqrt {\ left | g_ {ij} U ^ {i} U ^ {j} \ right | \ left | g_ {ij} V ^ {i} V ^ {j} \ right |}}}.}

มุมไฮเพอร์โบลิก

มุมผ่อนชำระเป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชั่นการผ่อนชำระเช่นเดียวกับมุมกลมเป็นข้อโต้แย้งของที่ฟังก์ชั่นวงกลม การเปรียบเทียบสามารถมองเห็นได้เป็นขนาดของช่องเปิดของเซกเตอร์ไฮเพอร์โบลิกและเซกเตอร์วงกลมเนื่องจากพื้นที่ของเซกเตอร์เหล่านี้สอดคล้องกับขนาดของมุมในแต่ละกรณี มุมไฮเพอร์โบลิกไม่เหมือนมุมวงกลม เมื่อฟังก์ชันแบบวงกลมและไฮเพอร์โบลิกถูกมองว่าเป็นอนุกรมอนันต์ในอาร์กิวเมนต์มุมของฟังก์ชันวงกลมจะเป็นเพียงรูปแบบอนุกรมที่สลับกันของฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก การทอผ้าของทั้งสองประเภทของมุมและฟังก์ชั่นนี้ได้รับการอธิบายโดยLeonhard ออยเลอร์ในเบื้องต้นเกี่ยวกับการวิเคราะห์ของอินฟินิท

มุมในภูมิศาสตร์และดาราศาสตร์

ในทางภูมิศาสตร์ที่ตั้งของจุดบนโลกใด ๆ สามารถระบุได้โดยใช้ระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์ ระบบนี้ระบุละติจูดและลองจิจูดของตำแหน่งใด ๆ ในแง่ของมุมที่ระบุไว้ที่ใจกลางโลกโดยใช้เส้นศูนย์สูตรและ (โดยปกติ) เส้นเมริเดียนกรีนิชเป็นข้อมูลอ้างอิง

ในทางดาราศาสตร์สามารถระบุจุดที่กำหนดบนทรงกลมท้องฟ้า (นั่นคือตำแหน่งที่ชัดเจนของวัตถุทางดาราศาสตร์) ได้โดยใช้ระบบพิกัดทางดาราศาสตร์หลายระบบซึ่งการอ้างอิงจะแตกต่างกันไปตามระบบนั้น ๆ นักดาราศาสตร์วัดการแยกเชิงมุมของดาวสองดวงโดยจินตนาการถึงเส้นสองเส้นผ่านจุดศูนย์กลางของโลกโดยแต่ละเส้นตัดกันดาวดวงใดดวงหนึ่ง สามารถวัดมุมระหว่างเส้นเหล่านั้นได้และเป็นการแยกเชิงมุมระหว่างดาวทั้งสอง

ทั้งในทางภูมิศาสตร์และดาราศาสตร์ทิศทางเล็งสามารถระบุได้ในแง่ของมุมแนวตั้งเช่นระดับความสูง / ความสูงที่เกี่ยวกับเส้นขอบฟ้าเช่นเดียวกับราบที่เกี่ยวกับทิศตะวันตกเฉียงเหนือ

นักดาราศาสตร์ยังวัดขนาดที่เห็นได้ชัดของวัตถุที่เป็นมุมเส้นผ่าศูนย์กลาง ตัวอย่างเช่นดวงจันทร์เต็มดวงมีเส้นผ่านศูนย์กลางเชิงมุมประมาณ 0.5 °เมื่อมองจากโลก อาจกล่าวได้ว่า "เส้นผ่านศูนย์กลางของดวงจันทร์หักมุมครึ่งองศา" สูตรมุมเล็กสามารถใช้ในการแปลงเช่นการวัดมุมเป็นระยะทางอัตราส่วน / ขนาด

ดูสิ่งนี้ด้วย

เครื่องมือวัดมุม
ค่าเฉลี่ยเชิงมุม
เส้นแบ่งมุม
ความเร็วเชิงมุม
อาร์กิวเมนต์ (การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน)
ด้านโหราศาสตร์
มุมกลาง
ปัญหามุมนาฬิกา
มุมไดฮีดรัล
ทฤษฎีบทมุมภายนอก
มุมทอง
ระยะวงกลมที่ดี
มุมที่ถูกจารึกไว้
มุมที่ไม่ลงตัว
เฟส (คลื่น)
ไม้โปรแทรกเตอร์
มุมทึบ
มุมทรงกลม
มุมที่เหนือกว่า
ไตรสิกขา
มุมสุดยอด

หมายเหตุ

^ วิธีนี้ต้อง แต่หลักฐานเพิ่มเติมว่ามาตรการของมุมไม่เปลี่ยนแปลงกับการเปลี่ยนแปลงรัศมี Rนอกเหนือไปจากปัญหาของ "หน่วยการวัดได้รับการแต่งตั้ง." วิธีที่ราบรื่นกว่าคือการวัดมุมตามความยาวของส่วนโค้งวงกลมหน่วยที่เกี่ยวข้อง "หน่วย" ที่นี่สามารถเลือกให้ไม่มีมิติได้ในแง่ที่ว่าเป็นจำนวนจริง 1 ที่เชื่อมโยงกับส่วนของหน่วยบนเส้นจริง ดูตัวอย่างเช่น Radoslav M. Dimitrić ^[19]

อ้างอิง

^ Sidorov 2001
^ Slocum 2007
^ Chisholm 1911 ; ไฮแบร์ก 1908 , หน้า 177–178
^ ข "ย่อของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-03-01 . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .
^ "มุม - เฉียบพลันป้านตรงและขวา" . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .
^ Weisstein, Eric W. "มุม" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .
^ "Mathwords: Reference Angle" . www.mathwords.com . สืบค้นเมื่อ 23 ตุลาคม 2560 . สืบค้นเมื่อ26 เมษายน 2561 .
^ วงศ์ & วงศ์ 2552 , หน้า 161–163
^ ยุคลิด . องค์ประกอบ ข้อเสนอที่ 1: 13.
^ a b Shute, Shirk & Porter 1960 , หน้า 25–27
^ จาคอบส์ 1974พี 255.
^ "มุมเสริม" . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .
^ a b ชิสโฮล์ม 2454
^ “ มุมเสริม” . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .
^ จาคอบส์ 1974พี 97.
^ เดอร์สันและ Taimina 2005พี 104.
^ a b c Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry , Dover Publications, 2007
^ D. Zwillinger, ed. (1995), ตารางและสูตรคณิตศาสตร์มาตรฐาน CRC , Boca Raton, FL: CRC Press, p. 270 ตามที่อ้างถึงใน Weisstein, Eric W. "มุมภายนอก" . แม ธ เวิลด์
^ Dimitrić, Radoslav M. (2012). "ในมุมและมุมวัด" (PDF) การสอนคณิตศาสตร์ . XV (2): 133–140 เก็บถาวร (PDF)จากเดิม 2019/01/17 สืบค้นเมื่อ2019-08-06 .
^ กางเกงยีนส์ James Hopwood (2490) การเจริญเติบโตของวิทยาศาสตร์กายภาพ ที่เก็บถ้วย น. 7 .
^ Murnaghan, Francis Dominic (2489). เรขาคณิตวิเคราะห์ . น. 2.
^ "ooPIC Programmer ของคำแนะนำ - บทที่ 15: URCP" ooPICคู่มือและข้อมูลจำเพาะทางเทคนิค - ooPIC คอมไพเลอร์ Ver 6.0 Savage Innovations, LLC. พ.ศ. 2550 [2540]. สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2008-06-28 . สืบค้นเมื่อ2019-08-05 .
^ ฮาร์กรีฟส์, ชอว์น "มุมจำนวนเต็มและโมดูโลคณิตศาสตร์" blogs.msdn.com เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2019/06/30 สืบค้นเมื่อ2019-08-05 .
^ Chisholm 1911 ; ไฮเบอร์ก 1908 , น. 178

บรรณานุกรม

เฮนเดอร์สัน, เดวิดดับเบิลยู.; Taimina, Daina (2005), Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.), Pearson Prentice Hall, p. 104, ISBN 978-0-13-143748-7
Heiberg, Johan Ludvig (1908), Heath, TL (ed.), Euclid , The Thirteen Books of Euclid's Elements, 1 , Cambridge : Cambridge University Press.
Sidorov, LA (2001) [1994], "Angle" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
Jacobs, Harold R. (1974), เรขาคณิต , WH Freeman, หน้า 97, 255, ISBN 978-0-7167-0456-0
Slocum, Jonathan (2007), ศัพท์ภาษาอินโด - ยูโรเปียนเบื้องต้น - ข้อมูล Pokorny PIE , ฝ่ายวิจัยของมหาวิทยาลัยเท็กซัส: ศูนย์วิจัยภาษาศาสตร์, สืบค้นเมื่อ2 กุมภาพันธ์ 2553
ชูตวิลเลียมจี; ปัดวิลเลียมดับบลิว; Porter, George F. (1960), Plane and Solid Geometry , American Book Company, หน้า 25–27
วงศ์, ตาก - วา; Wong, Ming-sim (2009), "Angles in Intersecting and Parallel Lines", New Century Mathematics , 1B (1 ed.), HongKong: Oxford University Press, pp. 161–163, ISBN 978-0-19-800177-5

บทความนี้รวมเอาข้อความจากสิ่งพิมพ์ที่เป็นสาธารณสมบัติ : Chisholm, Hugh, ed. (1911), " Angle ", Encyclopædia Britannica , 2 (11th ed.), Cambridge University Press, p. 14

ลิงก์ภายนอก

"Angle" , Encyclopædia Britannica , 2 (9th ed.), 1878, pp. 29–30

[20] วิธีนี้ต้อง แต่หลักฐานเพิ่มเติมว่ามาตรการของมุมไม่เปลี่ยนแปลงกับการเปลี่ยนแปลงรัศมี Rนอกเหนือไปจากปัญหาของ "หน่วยการวัดได้รับการแต่งตั้ง." วิธีที่ราบรื่นกว่าคือการวัดมุมตามความยาวของส่วนโค้งวงกลมหน่วยที่เกี่ยวข้อง "หน่วย" ที่นี่สามารถเลือกให้ไม่มีมิติได้ในแง่ที่ว่าเป็นจำนวนจริง 1 ที่เชื่อมโยงกับส่วนของหน่วยบนเส้นจริง ดูตัวอย่างเช่น Radoslav M. Dimitrić ^[19]

[1] Sidorov 2001

[2] Slocum 2007

[3] Chisholm 1911 ; ไฮแบร์ก 1908 , หน้า 177–178

[:0-4] ข "ย่อของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์" คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-03-01 . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .

[5] "มุม - เฉียบพลันป้านตรงและขวา" . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .

[6] Weisstein, Eric W. "มุม" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .

[7] "Mathwords: Reference Angle" . www.mathwords.com . สืบค้นเมื่อ 23 ตุลาคม 2560 . สืบค้นเมื่อ26 เมษายน 2561 .

[tb-8] วงศ์ & วงศ์ 2552 , หน้า 161–163

[9] ยุคลิด . องค์ประกอบ ข้อเสนอที่ 1: 13.

[FOOTNOTEShuteShirkPorter196025–27-10] Shute, Shirk & Porter 1960 , หน้า 25–27

[FOOTNOTEJacobs1974255-11] จาคอบส์ 1974พี 255.

[12] "มุมเสริม" . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .

[Chisholm_1911-13] ชิสโฮล์ม 2454

[14] “ มุมเสริม” . www.mathsisfun.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-17 .

[FOOTNOTEJacobs197497-15] จาคอบส์ 1974พี 97.

[FOOTNOTEHendersonTaimina2005104-16] เดอร์สันและ Taimina 2005พี 104.

[Johnson-17] Johnson, Roger A. Advanced Euclidean Geometry , Dover Publications, 2007

[18] D. Zwillinger, ed. (1995), ตารางและสูตรคณิตศาสตร์มาตรฐาน CRC , Boca Raton, FL: CRC Press, p. 270 ตามที่อ้างถึงใน Weisstein, Eric W. "มุมภายนอก" . แม ธ เวิลด์

[Dimitric_2012-19] Dimitrić, Radoslav M. (2012). "ในมุมและมุมวัด" (PDF) การสอนคณิตศาสตร์ . XV (2): 133–140 เก็บถาวร (PDF)จากเดิม 2019/01/17 สืบค้นเมื่อ2019-08-06 .

[Jeans_1947-21] กางเกงยีนส์ James Hopwood (2490) การเจริญเติบโตของวิทยาศาสตร์กายภาพ ที่เก็บถ้วย น. 7 .

[Murnaghan_1946-22] Murnaghan, Francis Dominic (2489). เรขาคณิตวิเคราะห์ . น. 2.

[ooPIC-23] "ooPIC Programmer ของคำแนะนำ - บทที่ 15: URCP" ooPICคู่มือและข้อมูลจำเพาะทางเทคนิค - ooPIC คอมไพเลอร์ Ver 6.0 Savage Innovations, LLC. พ.ศ. 2550 [2540]. สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2008-06-28 . สืบค้นเมื่อ2019-08-05 .

[Hargreaves_2010-24] ฮาร์กรีฟส์, ชอว์น "มุมจำนวนเต็มและโมดูโลคณิตศาสตร์" blogs.msdn.com เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2019/06/30 สืบค้นเมื่อ2019-08-05 .

[25] Chisholm 1911 ; ไฮเบอร์ก 1908 , น. 178

[1]