เรขาคณิตวิเคราะห์

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา

ในทางคณิตศาสตร์คลาสสิกเรขาคณิตวิเคราะห์ยังเป็นที่รู้จักประสานงานเรขาคณิตหรือรูปทรงเรขาคณิต Cartesian , คือการศึกษาของรูปทรงเรขาคณิตที่ใช้ระบบพิกัด ความแตกต่างที่มีรูปทรงเรขาคณิตสังเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์ถูกนำมาใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรมและยังอยู่ในการบิน , จรวด , วิทยาศาสตร์และอวกาศ มันเป็นรากฐานของเขตข้อมูลที่ทันสมัยที่สุดของรูปทรงเรขาคณิตรวมทั้งพีชคณิต , ค่า , ไม่ต่อเนื่องและคำนวณเรขาคณิต

โดยปกติระบบ Cartesian ประสานงานถูกนำไปใช้ในการจัดการกับสมการสำหรับเครื่องบิน , เส้นตรงและสี่เหลี่ยมมักจะอยู่ในสองและบางครั้งสามมิติ ในทางเรขาคณิตมีการศึกษาระนาบยุคลิด ( สองมิติ ) และอวกาศแบบยุคลิด ( สามมิติ ) ตามที่สอนในหนังสือเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์สามารถอธิบายได้ง่ายขึ้น: เกี่ยวข้องกับการกำหนดและแสดงรูปทรงเรขาคณิตในรูปแบบตัวเลขและการดึงข้อมูลที่เป็นตัวเลขออกจากคำจำกัดความและการแสดงตัวเลขของรูปทรง ว่าพีชคณิตของจำนวนจริงสามารถทำงานเพื่อให้ผลลัพธ์ที่เกี่ยวกับความต่อเนื่องเชิงเส้นของรูปทรงเรขาคณิตที่อาศัยอยู่กับความจริงต้นเสียง-Dedekind

ประวัติ[ แก้ไข]

กรีกโบราณ[ แก้]

กรีกคณิตศาสตร์Menaechmusแก้ไขปัญหาและได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้วิธีการที่มีความแข็งแกร่งคล้ายคลึงกับการใช้งานของพิกัดและจะได้รับบางครั้งก็ยืนยันว่าเขาได้นำเรขาคณิตวิเคราะห์ [1]

Apollonius of Pergaในส่วนกำหนดจัดการกับปัญหาในลักษณะที่อาจเรียกว่าเรขาคณิตวิเคราะห์ของมิติเดียว ด้วยคำถามเกี่ยวกับการหาจุดบนเส้นที่มีอัตราส่วนกับคะแนนอื่น ๆ[2] Apollonius ในConicsได้พัฒนาวิธีการที่คล้ายกับเรขาคณิตวิเคราะห์จนบางครั้งคิดว่างานของเขาคาดว่าจะเป็นผลงานของDescartesประมาณ 1800 ปี การประยุกต์ใช้เส้นอ้างอิงเส้นผ่านศูนย์กลางและแทนเจนต์โดยพื้นฐานแล้วไม่แตกต่างจากการใช้กรอบพิกัดสมัยใหม่ของเราซึ่งระยะทางที่วัดตามเส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดสัมผัสคือ abscissas และส่วนที่ขนานกับเส้นสัมผัสและคั่นระหว่าง แกนและเส้นโค้งเป็นตัวกำหนด เขาพัฒนาความสัมพันธ์ระหว่าง abscissas และลำดับที่สอดคล้องกันซึ่งเทียบเท่ากับสมการทางวาทศิลป์ของเส้นโค้ง อย่างไรก็ตามแม้ว่า Apollonius จะเข้ามาใกล้การพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ แต่เขาก็ไม่สามารถทำเช่นนั้นได้เนื่องจากเขาไม่ได้คำนึงถึงขนาดเชิงลบและในทุกกรณีระบบพิกัดจะถูกซ้อนทับบนเส้นโค้งที่กำหนดไว้ที่ด้านหลังแทนที่จะเป็นแบบพรีโอริ. นั่นคือสมการถูกกำหนดโดยเส้นโค้ง แต่เส้นโค้งไม่ได้ถูกกำหนดโดยสมการ พิกัดตัวแปรและสมการเป็นแนวคิดย่อยที่ใช้กับสถานการณ์ทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจง [3]

เปอร์เซีย[ แก้ไข]

ศตวรรษที่ 11 เปอร์เซียคณิตศาสตร์โอมาร์คัยยามเห็นความสัมพันธ์ที่แข็งแกร่งระหว่างรูปทรงเรขาคณิตและพีชคณิตและเป็นไปในทิศทางที่ถูกต้องเมื่อเขาช่วยปิดช่องว่างระหว่างตัวเลขและพีชคณิตเรขาคณิต[4]กับการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตของเขาทั่วไปสมลูกบาศก์ , [5]แต่ขั้นตอนที่เด็ดขาดเกิดขึ้นในภายหลังกับเดส์การ์ตส์[4] Omar Khayyam ได้รับเครดิตในการระบุรากฐานของเรขาคณิตพีชคณิตและหนังสือของเขาTreatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070) ซึ่งวางหลักการของเรขาคณิตวิเคราะห์เป็นส่วนหนึ่งของเนื้อหาคณิตศาสตร์เปอร์เซียที่ถ่ายทอดในที่สุด ไปยุโรป[6]เนื่องจากวิธีการทางเรขาคณิตอย่างละเอียดถี่ถ้วนต่อสมการพีชคณิต Khayyam จึงถือได้ว่าเป็นปูชนียบุคคลของเดส์การ์ตส์ในการคิดค้นเรขาคณิตวิเคราะห์ [7] : 248

ยุโรปตะวันตก[ แก้]

เรขาคณิตวิเคราะห์ถูกคิดค้นโดยอิสระโดยRené Descartesและปิแอร์เดอแฟร์มาต์ , [8] [9]แม้ว่า Descartes บางครั้งจะได้รับเครดิต แต่เพียงผู้เดียว [10] [11] เรขาคณิตคาร์ทีเซียนซึ่งเป็นคำทางเลือกที่ใช้สำหรับเรขาคณิตวิเคราะห์ตั้งชื่อตามเดส์การ์ตส์

เดส์การ์ตมีความก้าวหน้าอย่างมากด้วยวิธีการในเรียงความเรื่องLa Geometrie (เรขาคณิต)หนึ่งในสามบทความประกอบ (ภาคผนวก) ที่ตีพิมพ์ในปี 1637 พร้อมกับวาทกรรมของเขาเกี่ยวกับวิธีการชี้นำเหตุผลของคนอย่างถูกต้องและการค้นหาความจริงในวิทยาศาสตร์โดยทั่วไป เรียกว่าเป็นวาทกรรมเกี่ยวกับวิธีการ La Geometrieเขียนด้วยภาษาฝรั่งเศสโดยกำเนิดและหลักการทางปรัชญาเป็นรากฐานสำหรับแคลคูลัสในยุโรป ในขั้นต้นงานไม่ได้รับการตอบรับอย่างดีเนื่องจากบางส่วนมีช่องว่างมากมายในการโต้แย้งและสมการที่ซับซ้อน หลังจากการแปลเป็นภาษาละตินและการเพิ่มความเห็นโดยvan Schootenในปี 1649 (และมีงานต่อไปหลังจากนั้น) ผลงานชิ้นเอกของ Descartes ได้รับการยอมรับเนื่องจาก [12]

ปิแอร์เดอแฟร์มาต์ยังเป็นหัวหอกในการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ แม้ว่าจะไม่ได้รับการตีพิมพ์ในชีวิตของเขาเป็นรูปแบบที่เขียนด้วยลายมือของโฆษณาโลคอส Planos et solidos Isagoge (รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเครื่องบินและของแข็ง Loci) คือการหมุนเวียนในปารีสในปี 1637 ก่อนที่จะมีการตีพิมพ์ของ Descartes ฯวาทกรรม [13] [14] [15]บทนำที่เขียนไว้อย่างชัดเจนและได้รับการตอบรับเป็นอย่างดียังวางรากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างการรักษาของแฟร์มาต์และเดการ์ตส์เป็นเรื่องของมุมมอง: แฟร์มาต์มักจะเริ่มต้นด้วยสมการพีชคณิตจากนั้นจึงอธิบายเส้นโค้งเรขาคณิตที่พอใจในขณะที่เดส์การ์ตส์เริ่มต้นด้วยเส้นโค้งทางเรขาคณิตและสร้างสมการเป็นหนึ่งในคุณสมบัติหลายประการของเส้นโค้ง . [12]ด้วยเหตุนี้เดส์การ์ตส์จึงต้องจัดการกับสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นและเขาต้องพัฒนาวิธีการทำงานกับสมการพหุนามในระดับที่สูงขึ้น Leonhard Euler เป็นคนแรกที่ใช้วิธีการประสานงานในการศึกษาเส้นโค้งอวกาศและพื้นผิวอย่างเป็นระบบ

พิกัด[ แก้ไข]

ภาพประกอบของระนาบพิกัดคาร์ทีเซียน จุดสี่จุดถูกทำเครื่องหมายและติดป้ายกำกับด้วยพิกัด: (2,3) เป็นสีเขียว (−3,1) เป็นสีแดง (−1.5, −2.5) เป็นสีน้ำเงินและจุดกำเนิด (0,0) เป็นสีม่วง

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ระนาบจะได้รับระบบพิกัดโดยทุกจุดมีพิกัดจำนวนจริงคู่หนึ่ง ในทำนองเดียวกันช่องว่างแบบยุคลิดจะได้รับพิกัดที่ทุกจุดมีสามพิกัด ค่าของพิกัดขึ้นอยู่กับการเลือกจุดเริ่มต้นของจุดเริ่มต้น มีระบบพิกัดที่หลากหลายที่ใช้ แต่ที่พบมากที่สุดมีดังต่อไปนี้: [16]

พิกัดคาร์ทีเซียน (ในระนาบหรืออวกาศ) [ แก้ไข]

ระบบพิกัดที่ใช้กันมากที่สุดคือระบบพิกัดคาร์ทีเซียนโดยแต่ละจุดมีx -coordinate แทนตำแหน่งแนวนอนและy -coordinate แทนตำแหน่งแนวตั้ง โดยทั่วไปจะเขียนเป็นคู่คำสั่ง ( xy ) ระบบนี้ยังสามารถใช้สำหรับรูปเรขาคณิตสามมิติซึ่งทุกจุดในปริภูมิยุคลิดจะแสดงด้วยพิกัดสามมิติที่เรียงลำดับ ( xyz )

พิกัดเชิงขั้ว (ในระนาบ) [ แก้ไข]

ในพิกัดเชิงขั้วจุดของเครื่องบินทุกเป็นตัวแทนจากระยะห่างRจากแหล่งกำเนิดและมุม θกับθทวนเข็มวัดตามปกติจากบวกxแกน การใช้สัญกรณ์นี้โดยทั่วไปจุดจะเขียนเป็นคู่ลำดับ ( r , θ ) หนึ่งอาจจะเปลี่ยนไปมาระหว่างสองมิติพิกัดคาร์ทีเซียนและขั้วโลกโดยใช้สูตรเหล่านี้: ระบบนี้อาจถูกกำหนดให้เป็นพื้นที่สามมิติโดยทั่วไปโดยใช้พิกัด ทรงกระบอกหรือทรงกลม

พิกัดทรงกระบอก (ในช่องว่าง) [ แก้ไข]

ในพิกัดทรงกระบอกจุดทุกพื้นที่เป็นตัวแทนจากความสูงZมันรัศมี RจากZแกนและมุม θฉายบนXYทำให้เครื่องบินที่เกี่ยวกับแกนนอน

พิกัดทรงกลม (ในช่องว่าง) [ แก้ไข]

ในพิกัดทรงกลมทุกจุดในอวกาศจะแสดงด้วยระยะทางของมันρจากจุดกำเนิดมุม θการฉายบนxy -เพลนเทียบกับแกนนอนและมุมφที่ทำเทียบกับแกนz . ชื่อของมุมมักจะกลับกันในฟิสิกส์ [16]

สมการและเส้นโค้ง[ แก้ไข]

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ใด ๆสมการที่เกี่ยวข้องกับพิกัดระบุเซตของเครื่องบินคือชุดโซลูชั่นสำหรับสมการหรือสถานทีตัวอย่างเช่นสมการy  =  xสอดคล้องกับเซตของจุดทั้งหมดบนระนาบที่x -coordinate และy -coordinate เท่ากัน จุดเหล่านี้เป็นเส้นตรงและy  =  xถูกกล่าวว่าเป็นสมการของเส้นนี้ โดยทั่วไปสมการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับxและyระบุเส้นสมการกำลังสองระบุภาคตัดกรวยและสมการที่ซับซ้อนมากขึ้นจะอธิบายตัวเลขที่ซับซ้อนมากขึ้น[17]

โดยปกติแล้วสมการเดียวจะสอดคล้องกับเส้นโค้งบนระนาบ ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป: สมการเล็กน้อยx  =  xระบุระนาบทั้งหมดและสมการx 2  +  y 2  = 0 ระบุเฉพาะจุดเดียว (0, 0) ในสามมิติสมเดียวมักจะช่วยให้พื้นผิวและเส้นโค้งจะต้องระบุเป็นจุดตัดของสองพื้นผิว (ดูด้านล่าง) หรือเป็นระบบของสมการตัวแปร [18]สมการx 2  +  y 2  =  r 2 คือสมการของวงกลมใด ๆ ที่อยู่ตรงกลางจุดกำเนิด (0, 0) ที่มีรัศมี r

เส้นและเครื่องบิน[ แก้ไข]

เส้นในระนาบคาร์ทีเซียนหรือมากกว่านั้นโดยทั่วไปในพิกัด Affineสามารถอธิบายได้ในเชิงพีชคณิตโดยสมการเชิงเส้น ในสองมิติสมการสำหรับเส้นที่ไม่ใช่แนวตั้งมักจะได้รับในรูปแบบลาดตัดขวาง :

ที่ไหน:

mคือความชันหรือการไล่ระดับสีของเส้น
bคือจุดตัด yของเส้น
xคือตัวแปรอิสระของฟังก์ชันy = f ( x )

ในลักษณะที่คล้ายคลึงกับวิธีที่เส้นในปริภูมิสองมิติถูกอธิบายโดยใช้รูปแบบจุด - ความชันสำหรับสมการของพวกเขาระนาบในปริภูมิสามมิติมีคำอธิบายที่เป็นธรรมชาติโดยใช้จุดในระนาบและเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับมัน ( เวกเตอร์ปกติ ) เพื่อระบุ "ความเอียง"

โดยเฉพาะให้เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดบางจุดและปล่อยให้เป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ เครื่องบินที่กำหนดโดยจุดนี้และเวกเตอร์ประกอบด้วยจุดเหล่านั้นด้วยเวกเตอร์ตำแหน่งเช่นว่าเวกเตอร์ที่มาจากการที่จะตั้งฉาก การนึกถึงว่าเวกเตอร์สองตัวตั้งฉากก็ต่อเมื่อและเฉพาะในกรณีที่ผลิตภัณฑ์ดอทของมันเป็นศูนย์ดังนั้นระนาบที่ต้องการจึงสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเซตของจุดทั้งหมดเช่นนั้น

(จุดในที่นี้หมายถึงผลิตภัณฑ์ดอทไม่ใช่การคูณสเกลาร์) เมื่อขยายแล้วจะกลายเป็น

ซึ่งเป็นรูปแบบจุดปกติของสมการของระนาบ [19]นี่เป็นเพียงสมการเชิงเส้น :

ในทางกลับกันแสดงให้เห็นได้อย่างง่ายดายว่าถ้าa , b , cและdเป็นค่าคงที่และa , bและcไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดดังนั้นกราฟของสมการ

คือระนาบที่มีเวกเตอร์เป็นเรื่องปกติ [20]สมการที่คุ้นเคยสำหรับเครื่องบินนี้เรียกว่าสมการทั่วไปของเครื่องบิน [21]

ในสามมิติเส้นไม่สามารถอธิบายได้ด้วยสมการเชิงเส้นเดียวดังนั้นจึงมักอธิบายโดยสมการพาราเมตริก :

ที่ไหน:

x , yและzเป็นฟังก์ชันทั้งหมดของตัวแปรอิสระtซึ่งมีค่ามากกว่าจำนวนจริง
( x 0 , y 0 , z 0 ) คือจุดใด ๆ บนเส้น
a , bและcเกี่ยวข้องกับความชันของเส้นเพื่อให้เวกเตอร์ ( a , b , c ) ขนานกับเส้น

ภาคตัดกรวย[ แก้ไข]

ในระบบ Cartesian ประสานงานที่กราฟของสมการสองตัวแปรอยู่เสมอภาคตัดกรวย - แม้ว่ามันอาจจะเป็นคนเลวและทุกส่วนที่มีรูปกรวยเกิดขึ้นในลักษณะนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ

เนื่องจากการปรับค่าคงที่ทั้งหกให้ได้ตำแหน่งของศูนย์เดียวกันเราสามารถพิจารณารูปกรวยเป็นจุดในพื้นที่ฉายภาพห้ามิติ

ส่วนรูปกรวยอธิบายโดยสมการนี้สามารถจำแนกโดยใช้จำแนก[22]

หากกรวยไม่เสื่อมสภาพให้:

  • ถ้าสมการแสดงให้เห็นถึงรูปวงรี ;
    • ถ้าและสมการแสดงถึงวงกลมซึ่งเป็นกรณีพิเศษของวงรี
  • ถ้าสมการแสดงให้เห็นถึงรูปโค้ง ;
  • ถ้าสมการแสดงให้เห็นถึงhyperbola ;
    • ถ้าเรายังมีสมการที่แสดงถึงhyperbola รูปสี่เหลี่ยม

พื้นผิวรูปสี่เหลี่ยม[ แก้ไข]

quadricหรือquadric พื้นผิวที่เป็น2มิติพื้นผิวในพื้นที่ 3 มิติกำหนดให้เป็นสถานทีของศูนย์ของพหุนามกำลังสอง ในพิกัดx 1 , x 2 , x 3 กำลังสองทั่วไปถูกกำหนดโดยสมการพีชคณิต[23]

พื้นผิว quadric ได้แก่ellipsoids (รวมทั้งทรงกลม ) paraboloids , hyperboloids , ถัง , กรวยและเครื่องบิน

ระยะและมุม[ แก้ไข]

สูตรระยะทางบนเครื่องบินมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ความคิดทางเรขาคณิตเช่นระยะทางและมุมวัดจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร คำนิยามเหล่านี้ได้รับการออกแบบเพื่อให้สอดคล้องกับพื้นฐานรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ตัวอย่างเช่นการใช้พิกัดคาร์ทีเซียนบนระนาบระยะห่างระหว่างจุดสองจุด ( x 1y 1 ) และ ( x 2y 2 ) ถูกกำหนดโดยสูตร

ซึ่งสามารถดูได้ว่าเป็นรุ่นที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในทำนองเดียวกันมุมที่เส้นทำกับแนวนอนสามารถกำหนดได้โดยสูตร

โดยที่mคือความชันของเส้น

ในสามมิติระยะทางจะได้รับจากการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

,

ในขณะที่มุมระหว่างสองเวกเตอร์จะได้รับจากผลิตภัณฑ์ dot ดอทโปรดัคของเวกเตอร์ยุคลิดสองตัวAและBถูกกำหนดโดย[24]

ที่θคือมุมระหว่างและB

การแปลงร่าง[ แก้ไข]

ก) y = f (x) = | x | ข) y = f (x + 3) c) y = f (x) -3 d) y = 1/2 f (x)

การแปลงจะนำไปใช้กับฟังก์ชันพาเรนต์เพื่อเปลี่ยนเป็นฟังก์ชันใหม่ที่มีลักษณะคล้ายกัน

กราฟของมีการเปลี่ยนแปลงโดยการแปลงมาตรฐานดังนี้:

  • การเปลี่ยนเพื่อย้ายกราฟไปยังหน่วยที่ถูกต้อง
  • การเปลี่ยนเพื่อย้ายหน่วยของกราฟขึ้น
  • เปลี่ยนไปเหยียดกราฟในแนวนอนโดยปัจจัยของ (คิดว่าจะขยาย)
  • การเปลี่ยนเป็นการยืดกราฟในแนวตั้ง
  • เปลี่ยนไปและการเปลี่ยนแปลงที่จะหมุนกราฟโดยมุม

มีการเปลี่ยนแปลงมาตรฐานอื่น ๆ ที่ไม่ได้ศึกษาในเรขาคณิตวิเคราะห์เบื้องต้นเนื่องจากการแปลงเปลี่ยนรูปร่างของวัตถุในลักษณะที่ไม่ได้พิจารณาตามปกติ Skewing เป็นตัวอย่างของการเปลี่ยนแปลงที่มักไม่ได้รับการพิจารณา สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมโปรดดูบทความวิกิพีเดียเลียนแบบแปลง

ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันพาเรนต์มีเส้นกำกับแนวนอนและแนวตั้งและตรงบริเวณจตุภาคที่ 1 และ 3 และรูปแบบที่เปลี่ยนรูปทั้งหมดจะมีเส้นกำกับแนวนอนและแนวตั้งหนึ่งช่องและใช้ทั้งด้านที่ 1 และ 3 หรือที่ 2 และ 4 โดยทั่วไปแล้วถ้าเป็นเช่นนั้นก็สามารถเปลี่ยนเป็น. ในฟังก์ชันที่แปลงใหม่เป็นปัจจัยที่ยืดฟังก์ชันในแนวตั้งหากมีค่ามากกว่า 1 หรือบีบอัดฟังก์ชันในแนวตั้งหากมีค่าน้อยกว่า 1 และสำหรับค่าลบฟังก์ชันจะแสดงใน-axis ค่าบีบอัดกราฟของฟังก์ชั่นในแนวนอนถ้ามากกว่า 1 และเหยียดฟังก์ชั่นในแนวนอนถ้าน้อยกว่า 1, และชอบสะท้อนให้เห็นถึงฟังก์ชั่นในการ- แกนเมื่อเป็นลบ และค่าแนะนำแปลแนวตั้งและแนวนอน ค่าบวกและค่าหมายถึงฟังก์ชันถูกแปลไปยังปลายด้านบวกของแกนและการแปลความหมายเชิงลบไปทางปลายด้านลบ

การแปลงสามารถนำไปใช้กับสมการทางเรขาคณิตใด ๆ ไม่ว่าสมการจะแสดงถึงฟังก์ชันหรือไม่ การแปลงร่างถือได้ว่าเป็นการทำธุรกรรมแต่ละรายการหรือรวมกัน

สมมติว่าเป็นความสัมพันธ์ในระนาบ ตัวอย่างเช่น,

คือความสัมพันธ์ที่อธิบายวงกลมหน่วย

การหาจุดตัดของวัตถุทางเรขาคณิต[ แก้ไข]

สำหรับวัตถุรูปทรงเรขาคณิตสองชิ้น P และ Q ที่แสดงด้วยความสัมพันธ์และจุดตัดคือการรวบรวมจุดทั้งหมดที่อยู่ในความสัมพันธ์ทั้งสอง[25]

ยกตัวอย่างเช่นอาจจะมีวงกลมที่มีรัศมี 1 และศูนย์: และอาจจะมีวงกลมที่มีรัศมี 1 และศูนย์ จุดตัดของวงกลมทั้งสองนี้คือการรวบรวมจุดที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง จุดนี้ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริงหรือไม่? ใช้สำหรับสมการสำหรับกลายเป็นหรือที่เป็นจริงเพื่อให้อยู่ในความสัมพันธ์ ในทางกลับกันยังคงใช้สำหรับสมการสำหรับกลายหรือซึ่งเป็นเท็จ ไม่ได้อยู่ในนั้นจึงไม่ได้อยู่ในสี่แยก

จุดตัดของและสามารถพบได้โดยการแก้สมการพร้อมกัน:

วิธีการแบบดั้งเดิมในการหาทางแยก ได้แก่ การแทนที่และการกำจัด

การแทนที่: แก้สมการแรกสำหรับในแง่ของแล้วแทนที่นิพจน์สำหรับในสมการที่สอง:

.

จากนั้นเราแทนที่ค่านี้ในสมการอื่นและดำเนินการแก้ปัญหาสำหรับ:

ต่อไปเราวางค่านี้ในสมการดั้งเดิมอย่างใดอย่างหนึ่งและแก้ปัญหาสำหรับ:

จุดตัดของเราจึงมีสองจุด:

การกำจัด : เพิ่ม (หรือลบ) หลาย ๆ สมการหนึ่งในสมการอื่นเพื่อให้ตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งถูกตัดออก ยกตัวอย่างเช่นในปัจจุบันของเราถ้าเราลบสมการแรกจากที่สองที่เราได้รับ ในสมการแรกจะถูกหักออกจากสมการที่สองไม่ทิ้งระยะ ตัดตัวแปรออกแล้ว จากนั้นเราจะแก้สมการที่เหลือสำหรับในลักษณะเดียวกับวิธีการแทนที่:

จากนั้นเราวางค่านี้ในสมการดั้งเดิมอย่างใดอย่างหนึ่งและแก้ปัญหาสำหรับ:

จุดตัดของเราจึงมีสองจุด:

สำหรับภาคตัดกรวยอาจมีจุดตัดได้มากถึง 4 จุด

การค้นหาการสกัดกั้น[ แก้ไข]

จุดตัดประเภทหนึ่งที่มีการศึกษากันอย่างแพร่หลายคือจุดตัดของวัตถุทางเรขาคณิตที่มีแกนและพิกัด

จุดตัดของวัตถุทางเรขาคณิตและ-axis เรียกว่า-intercept ของวัตถุ จุดตัดของวัตถุทางเรขาคณิตและ-axis เรียกว่า-intercept ของวัตถุ

สำหรับบรรทัดพารามิเตอร์ระบุจุดที่เส้นพาดผ่านแกน ขึ้นอยู่กับบริบทอย่างใดอย่างหนึ่งหรือจุดที่เรียกว่า-intercept

แทนเจนต์และบรรทัดฐาน[ แก้ไข]

เส้นสัมผัสและระนาบ[ แก้ไข]

ในรูปทรงเรขาคณิตที่เส้นสัมผัส (หรือเพียงแค่สัมผัส ) เพื่อระนาบเส้นโค้งที่กำหนดจุดเป็นเส้นตรงที่ว่า "เพียงแค่สัมผัส" เส้นโค้งที่จุดนั้น ไม่เป็นทางการมันเป็นเส้นผ่านคู่ของจุดปิดที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนเส้นโค้ง อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นเส้นตรงกล่าวว่าเป็นแทนเจนต์ของเส้นโค้งy = f ( x )ที่จุดx = cบนเส้นโค้งถ้าเส้นผ่านจุด( c , f ( c ))บนเส้นโค้งและมี ความลาดชัน' ( )ที่'เป็นอนุพันธ์ของ ความหมายคล้ายกันนำไปใช้กับเส้นโค้งพื้นที่และเส้นโค้งใน nมิติปริภูมิแบบยุคลิด

เมื่อมันผ่านจุดที่เส้นสัมผัสและเส้นโค้งมาบรรจบกันเรียกว่าจุดสัมผัสเส้นสัมผัสจะ "ไปในทิศทางเดียวกัน" กับเส้นโค้งดังนั้นจึงเป็นการประมาณเส้นตรงที่ดีที่สุดสำหรับเส้นโค้งที่จุดนั้น จุด.

ในทำนองเดียวกันระนาบสัมผัสกับพื้นผิวณ จุดหนึ่งคือระนาบที่ "สัมผัส" กับพื้นผิว ณ จุดนั้น แนวคิดของแทนเจนต์เป็นหนึ่งในแนวคิดพื้นฐานที่สุดในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และได้รับการกล่าวถึงอย่างกว้างขวาง ดูพื้นที่สัมผัส

เส้นปกติและเวกเตอร์[ แก้ไข]

ในรูปทรงเรขาคณิตเป็นปกติเป็นวัตถุเช่นเส้นหรือเวกเตอร์ที่เป็นแนวตั้งฉากกับวัตถุที่กำหนด ตัวอย่างเช่นในกรณีสองมิติเส้นปกติไปยังเส้นโค้ง ณ จุดหนึ่งคือเส้นที่ตั้งฉากกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุด

ในกรณีสามมิติพื้นผิวปกติหรือเพียงปกติเพื่อผิวที่จุดPเป็นเวกเตอร์ที่เป็นแนวตั้งฉากกับระนาบสัมผัสกับพื้นผิวที่ที่P คำว่า "ปกติ" นอกจากนี้ยังใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่: สายปกติไปยังเครื่องบินองค์ประกอบปกติของแรงที่เวกเตอร์ปกติฯลฯ แนวคิดของภาวะปกติ generalizes จะตั้งฉาก

ดูเพิ่มเติม[ แก้ไข]

  • ข้ามผลิตภัณฑ์
  • การหมุนแกน
  • คำแปลของแกน
  • พื้นที่เวกเตอร์

หมายเหตุ[ แก้ไข]

  1. ^ บอยเยอร์, คาร์ลบี (1991) “ ยุคของเพลโตและอริสโตเติล” . ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc ได้ pp.  94-95 ISBN 0-471-54397-7. เห็นได้ชัดว่า Menaechmus ได้รับคุณสมบัติเหล่านี้ของภาคตัดกรวยและอื่น ๆ เช่นกัน เนื่องจากวัสดุนี้มีความคล้ายคลึงอย่างมากกับการใช้พิกัดดังที่แสดงไว้ข้างต้นบางครั้งจึงได้รับการยืนยันว่า Menaechmus มีเรขาคณิตวิเคราะห์ การตัดสินดังกล่าวได้รับการรับประกันเพียงบางส่วนเท่านั้นเพราะ Menaechmus ไม่ทราบว่าสมการใด ๆ ในปริมาณที่ไม่รู้จักสองค่าเป็นตัวกำหนดเส้นโค้ง ในความเป็นจริงแนวคิดทั่วไปของสมการในปริมาณที่ไม่รู้จักเป็นสิ่งที่แปลกประหลาดสำหรับความคิดของชาวกรีก มันเป็นข้อบกพร่องในสัญกรณ์เกี่ยวกับพีชคณิตที่มากกว่าสิ่งอื่นใดที่ดำเนินการกับความสำเร็จของกรีกในเรื่องเรขาคณิตเชิงพิกัดที่สมบูรณ์
  2. ^ บอยเยอร์, คาร์ลบี (1991) “ อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กา” . ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc ได้ pp.  142 ISBN 0-471-54397-7. ตำรา Apollonian เรื่องกำหนดมาตราจัดการกับสิ่งที่อาจเรียกว่าเรขาคณิตวิเคราะห์ของมิติเดียว พิจารณาปัญหาทั่วไปดังต่อไปนี้โดยใช้การวิเคราะห์พีชคณิตกรีกทั่วไปในรูปแบบเรขาคณิต: ให้สี่จุด A, B, C, D บนเส้นตรงกำหนดจุดที่ห้า P บนนั้นเพื่อให้สี่เหลี่ยมผืนผ้าบน AP และ CP อยู่ใน a ให้อัตราส่วนกับสี่เหลี่ยมผืนผ้าใน BP และ DP ที่นี่เช่นกันปัญหาจะลดลงอย่างง่ายดายในการแก้ปัญหาของกำลังสอง; และเช่นเดียวกับในกรณีอื่น ๆ Apollonius ได้ปฏิบัติต่อคำถามอย่างละเอียดถี่ถ้วนรวมถึงขีด จำกัด ของความเป็นไปได้และจำนวนวิธีแก้ปัญหา
  3. ^ บอยเยอร์, คาร์ลบี (1991) “ อพอลโลนิอุสแห่งเปอร์กา” . ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc ได้ pp.  156 ISBN 0-471-54397-7. วิธีการของ Apollonius ในConicsในหลาย ๆ แง่มุมนั้นคล้ายคลึงกับแนวทางสมัยใหม่มากจนบางครั้งงานของเขาถูกตัดสินว่าเป็นเรขาคณิตวิเคราะห์ที่คาดว่าจะเป็นของเดส์การ์ตในปี 1800 การประยุกต์ใช้เส้นอ้างอิงโดยทั่วไปและมีเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นสัมผัสที่ปลายสุดโดยเฉพาะแน่นอนว่าไม่แตกต่างจากการใช้กรอบพิกัดไม่ว่าจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือโดยทั่วไปแล้วจะเป็นแนวเฉียง ระยะทางที่วัดตามเส้นผ่านศูนย์กลางจากจุดสัมผัสคือ abscissas และส่วนที่ขนานกับเส้นสัมผัสและคั่นระหว่างแกนและเส้นโค้งเป็นลำดับ ความสัมพันธ์ของชาวอะพอลโลเนียระหว่าง abscissas เหล่านี้กับลำดับที่สอดคล้องกันนั้นไม่มีอะไรมากหรือน้อยไปกว่ารูปแบบสมการของเส้นโค้งเชิงโวหาร อย่างไรก็ตามพีชคณิตเรขาคณิตของกรีกไม่ได้ระบุขนาดเชิงลบ ยิ่งไปกว่านั้นระบบพิกัดถูกซ้อนทับในทุกกรณีหลังบนเส้นโค้งที่กำหนดเพื่อศึกษาคุณสมบัติของมัน ดูเหมือนจะมีกรณีไม่มีในเรขาคณิตโบราณซึ่งเป็นกรอบการประสานงานของการอ้างอิงถูกวางลงเบื้องต้นสำหรับวัตถุประสงค์ของการแสดงกราฟิกของสมการหรือความสัมพันธ์ไม่ว่าจะเป็นสัญลักษณ์หรือรำพึงแสดง เรขาคณิตกรีกเราอาจพูดได้ว่าสมการถูกกำหนดโดยเส้นโค้ง แต่ไม่ใช่ว่าเส้นโค้งถูกกำหนดโดยสมการ พิกัดตัวแปรและสมการเป็นแนวคิดย่อยที่ได้มาจากสถานการณ์ทางเรขาคณิตที่เฉพาะเจาะจง [... ] Apollonius ซึ่งเป็นเรขาคณิตที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของสมัยโบราณล้มเหลวในการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์อาจเป็นผลมาจากความยากจนของเส้นโค้งมากกว่าความคิด วิธีการทั่วไปไม่จำเป็นเมื่อปัญหาเกี่ยวข้องกับกรณีเฉพาะจำนวน จำกัด เสมอไป
  4. ^ a b Boyer (1991) “ เจ้าโลกอาหรับ” . ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ได้ pp.  241-242 Omar Khayyam (ประมาณ 1050–1123) "ผู้สร้างเต็นท์" เขียนพีชคณิตที่เกินกว่าของอัล - ควาริซมีเพื่อรวมสมการของระดับที่สาม เช่นเดียวกับรุ่นก่อน ๆ ของเขาในอาหรับ Omar Khayyam จัดเตรียมสมการกำลังสองทั้งทางคณิตศาสตร์และทางเรขาคณิต สำหรับสมการลูกบาศก์ทั่วไปเขาเชื่อ (ผิดตามที่ศตวรรษที่สิบหกต่อมาแสดงให้เห็น) การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็นไปไม่ได้ ด้วยเหตุนี้เขาจึงให้คำตอบทางเรขาคณิตเท่านั้น รูปแบบของการใช้รูปกรวยตัดกันในการแก้ลูกบาศก์ถูกใช้ก่อนหน้านี้โดย Menaechmus, Archimedes และ Alhazan แต่ Omar Khayyam ได้ใช้ขั้นตอนที่น่ายกย่องในการสรุปวิธีการทั่วไปเพื่อให้ครอบคลุมสมการระดับที่สามทั้งหมด (มีรากเป็นบวก) สำหรับสมการที่มีระดับสูงกว่าสามเห็นได้ชัดว่า Omar Khayyam ไม่ได้จินตนาการถึงวิธีการทางเรขาคณิตที่คล้ายกันเนื่องจากพื้นที่ไม่มีมากกว่าสามมิติ ...หนึ่งในผลงานที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดของการผสมผสานภาษาอาหรับคือแนวโน้มที่จะปิดช่องว่างระหว่างพีชคณิตเชิงตัวเลขและเรขาคณิต ขั้นตอนที่เด็ดขาดในแนวทางนี้เกิดขึ้นในภายหลังกับเดส์การ์ตส์ แต่ Omar Khayyam กำลังเดินไปในทิศทางนี้เมื่อเขาเขียนว่า "ใครก็ตามที่คิดว่าพีชคณิตเป็นกลอุบายในการได้มาซึ่งสิ่งที่ไม่รู้จักคิดว่ามันไร้ประโยชน์ไม่ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าพีชคณิต และรูปทรงเรขาคณิตมีลักษณะที่แตกต่างกัน Algebras เป็นข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตที่พิสูจน์ได้ "ไม่ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าพีชคณิตและเรขาคณิตมีลักษณะที่แตกต่างกัน Algebras เป็นข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตที่พิสูจน์ได้ "ไม่ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าพีชคณิตและเรขาคณิตมีลักษณะที่แตกต่างกัน Algebras เป็นข้อเท็จจริงทางเรขาคณิตที่พิสูจน์ได้ "
  5. ^ เกลนเอ็มคูเปอร์ (2003) “ Omar Khayyam นักคณิตศาสตร์”วารสาร American Oriental Society 123 .
  6. ^ ผลงานชิ้นเอกทางคณิตศาสตร์: พงศาวดารเพิ่มเติมโดยนักสำรวจหน้า 92
  7. ^ คูเปอร์, G. (2003) วารสาร American Oriental Society, 123 (1), 248-249
  8. ^ Stillwell, John (2004). "เรขาคณิตวิเคราะห์". คณิตศาสตร์และประวัติศาสตร์ (Second ed.) หน้า Springer Science + Business Media Inc. 105. ISBN 0-387-95336-1. ผู้ก่อตั้งเรขาคณิตวิเคราะห์ทั้งสองคือแฟร์มาต์และเดส์การ์ตส์ต่างได้รับอิทธิพลอย่างมากจากพัฒนาการเหล่านี้
  9. ^ บอยเยอร์ 2004พี 74
  10. ^ Cooke โรเจอร์ (1997) "แคลคูลัส" . ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์: หลักสูตรสั้นWiley-Interscience ได้ pp.  326 ISBN 0-471-18082-3. บุคคลที่ได้รับการยกย่องว่าเป็นผู้ค้นพบเรขาคณิตวิเคราะห์คือนักปรัชญาRené Descartes (1596–1650) ซึ่งเป็นนักคิดที่มีอิทธิพลมากที่สุดคนหนึ่งในยุคปัจจุบัน
  11. ^ บอยเยอร์ 2004พี 82
  12. ^ a b Katz 1998หน้า 442
  13. ^ แคทซ์ 1998 , PG 436
  14. ^ แยร์เดอแฟร์มาต์, Varia Opera Mathematica d Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, France: Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge,"หน้า 91–103
  15. ^ "Eloge de Monsieur de Fermat" (Eulogy of Mr. de Fermat), Le Journal des Scavans , 9 กุมภาพันธ์ 1665, หน้า 69–72 จากหน้า 70: "Une แนะนำ aux lieux แผน & solides; qui est un traité analytique analytique la solution des problemes plans & solides, qui avit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet." (บทนำเกี่ยวกับ loci เครื่องบินและของแข็งซึ่งเป็นบทความเชิงวิเคราะห์เกี่ยวกับการแก้ปัญหาเครื่องบินและของแข็งซึ่งได้เห็นก่อนที่ Mr. des Cartes จะเผยแพร่อะไรในเรื่องนี้)
  16. ^ a b Stewart, James (2008) Calculus: Early Transcendentals , 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. ไอ978-0-495-01166-8 
  17. ^ Percey Franklyn สมิ ธ , อาร์เธอร์ซัลลิแวนเกล (1905)รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตวิเคราะห์ , Athaeneum กด
  18. ^ วิลเลียมเอช McCrea,เรขาคณิตวิเคราะห์ของสามมิติ Courier โดเวอร์ส์พิมพ์ 27 มกราคม 2012
  19. ^ แอนตัน 1994พี 155
  20. ^ แอนตัน 1994พี 156
  21. ^ Weisstein เอริคดับบลิว (2009), "เครื่องบิน" , แม ธ เวิลด์ - เป็นวุลแฟรมเว็บทรัพยากรเรียก2009/08/08
  22. ^ Fanchi จอห์นอาร์ (2006), ทบทวนคณิตศาสตร์สำหรับนักวิทยาศาสตร์และวิศวกรจอห์นไวลีย์และบุตรได้ pp. 44-45, ISBN 0-471-75715-2, หัวข้อ 3.2, หน้า 45
  23. ^ Silvio ประกาศ quadricsใน "สูตรเรขาคณิตและข้อเท็จจริง" ตัดตอนมาจากวันที่ 30 ฉบับตาราง CRC มาตรฐานทางคณิตศาสตร์และสูตร ,ซีอาร์ซีกดจากเรขาคณิตศูนย์ที่มหาวิทยาลัยมินนิโซตา
  24. ^ MR Spiegel; S. Lipschutz; ง. สเปลล์แมน (2552). การวิเคราะห์เวกเตอร์ (โครงร่างของ Schaum) (ฉบับที่ 2) McGraw Hill ISBN 978-0-07-161545-7.
  25. ^ แม้ว่าการสนทนานี้จะ จำกัด อยู่ที่ระนาบ xy แต่ก็สามารถขยายไปยังมิติที่สูงขึ้นได้อย่างง่ายดาย

อ้างอิง[ แก้ไข]

หนังสือ[ แก้ไข]

  • Boyer, Carl B. (2004) [1956], History of Analytic Geometry , Dover Publications, ISBN 978-0486438320
  • Cajori, Florian (1999), ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ , AMS, ISBN 978-0821821022
  • จอห์นเคซี่ย์ (1885) เรขาคณิตวิเคราะห์ของจุดเส้นวงกลมและภาคตัดกรวย , การเชื่อมโยงจากอินเทอร์เน็ตเอกสารเก่า
  • Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.) , Reading: Addison Wesley Longman, ISBN 0-321-01618-1
  • Struik, DJ (1969), แหล่งหนังสือคณิตศาสตร์, 1200-1800 , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด, ISBN 978-0674823556

บทความ[ แก้ไข]

  • Bissell, Christopher C. (1987), "เรขาคณิตคาร์ทีเซียน: ผลงานของชาวดัตช์", The Mathematical Intelligencer , 9 : 38–44, doi : 10.1007 / BF03023730
  • Boyer, Carl B. (1944), "Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes", ครูคณิตศาสตร์ , 37 (3): 99–105, doi : 10.5951 / MT.37.3.0099
  • Boyer, Carl B. (1965), "Johann Hudde และพิกัดอวกาศ", ครูคณิตศาสตร์ , 58 (1): 33–36, doi : 10.5951 / MT.58.1.0033
  • Coolidge, JL (1948), "The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions", American Mathematical Monthly , 55 (2): 76–86, doi : 10.2307/2305740 , JSTOR  2305740
  • Pecl, J. , Newton และเรขาคณิตวิเคราะห์

ลิงก์ภายนอก[ แก้ไข]

  • ประสานงานหัวข้อเรขาคณิตกับภาพเคลื่อนไหวเชิงโต้ตอบ