ความหลากหลายของพีชคณิต

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
  (เปลี่ยนเส้นทางจากชุดพีชคณิต )
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา
บิดลูกบาศก์คือความหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิต projective

พันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตเป็นวัตถุกลางของการศึกษาในรูปทรงเรขาคณิตพีชคณิตเป็นสาขาย่อยของคณิตศาสตร์คลาสสิกหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตถูกกำหนดให้เป็นชุดของการแก้ปัญหาของระบบสมการพหุนามเหนือจริงหรือตัวเลขที่ซับซ้อนคำจำกัดความสมัยใหม่สรุปแนวคิดนี้ในหลาย ๆ วิธีในขณะที่พยายามรักษาสัญชาตญาณทางเรขาคณิตที่อยู่เบื้องหลังคำจำกัดความดั้งเดิม[1] : 58

ข้อตกลงเกี่ยวกับความหมายของความหลากหลายทางพีชคณิตแตกต่างกันเล็กน้อย ยกตัวอย่างเช่นคำจำกัดความบางอย่างต้องใช้หลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตที่จะลดลงซึ่งหมายความว่ามันไม่ได้เป็นสหภาพของขนาดเล็กสองชุดที่มีการปิดในtopology Zariskiภายใต้คำนิยามนี้ไม่ลดลงพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตจะเรียกว่าชุดพีชคณิตอนุสัญญาอื่น ๆ ไม่ต้องการความไม่เอื้ออำนวย

ทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตกำหนดความเชื่อมโยงระหว่างพีชคณิตและเรขาคณิตโดยแสดงให้เห็นว่าพหุนาม monic (วัตถุพีชคณิต) หนึ่งในตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเชิงซ้อนจะถูกกำหนดโดยชุดของตนราก (วัตถุทางเรขาคณิต) ในระนาบเชิงซ้อนสรุปผลลัพธ์นี้Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ตให้ความสอดคล้องพื้นฐานระหว่างอุดมคติของวงแหวนพหุนามและเซตพีชคณิต การใช้Nullstellensatzและผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องนักคณิตศาสตร์ได้สร้างความสอดคล้องที่ชัดเจนระหว่างคำถามเกี่ยวกับเซตพีชคณิตและคำถามเกี่ยวกับทฤษฎีวงแหวน. การติดต่อกันนี้เป็นการกำหนดคุณลักษณะของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

พีชคณิตหลายชนิดมีความหลากหลายแต่ความหลากหลายทางพีชคณิตอาจมีจุดเอกพจน์ในขณะที่ความหลากหลายไม่สามารถทำได้ พันธุ์พีชคณิตสามารถโดดเด่นด้วยมิติของมัน พีชคณิตพันธุ์ของมิติหนึ่งที่เรียกว่าเส้นโค้งพีชคณิตและพันธุ์เกี่ยวกับพีชคณิตของมิติที่สองจะเรียกว่าพีชคณิตพื้นผิว

ในบริบทของทฤษฎีโครงร่างสมัยใหม่ความหลากหลายทางพีชคณิตบนสนามเป็นโครงร่างเชิงปริพันธ์ (ไม่สามารถลดและลดลง) เหนือเขตข้อมูลนั้นซึ่งมีการแยกโครงสร้างของมอร์ฟีนและประเภท จำกัด

ภาพรวมและคำจำกัดความ[ แก้ไข]

หลากหลายเลียนแบบมากกว่าพีชคณิตปิดสนามเป็นแนวคิดชนิดที่ง่ายที่สุดของความหลากหลายในการกำหนดซึ่งจะมีการดำเนินการในส่วนนี้ ถัดไปเราสามารถกำหนดพันธุ์แบบฉายภาพและกึ่งฉายได้ในลักษณะที่คล้ายกัน คำจำกัดความทั่วไปส่วนใหญ่ของความหลากหลายนั้นได้มาจากการปะติดปะต่อพันธุ์กึ่งโปรเจกต์ที่มีขนาดเล็กเข้าด้วยกัน ไม่เห็นได้ชัดว่าเราสามารถสร้างตัวอย่างใหม่ ๆ ของพันธุ์ด้วยวิธีนี้ได้ แต่Nagataยกตัวอย่างของพันธุ์ใหม่ในปี 1950

พันธุ์ Affine [ แก้ไข]

สำหรับพีชคณิตปิดสนามKและจำนวนธรรมชาติ nให้nจะเลียนแบบnอวกาศมากกว่าKชื่อที่ประกอบด้วยหลายในแหวนK [ x 1 , ... , x n ]สามารถดูเป็นK -valued ฟังก์ชั่นในnโดยการประเมินจุดในnคือโดยการเลือกค่าในKสำหรับแต่ละxฉันสำหรับพหุนามSแต่ละชุดในK [ x 1 , ... , x n ]กำหนด zero-locus Z ( S ) เป็นเซตของจุดใน A nที่ฟังก์ชันใน Sหายไปพร้อม ๆ กันกล่าวคือ

เซตย่อยVของA nเรียกว่าเซตพีชคณิต Affineถ้าV = Z ( S ) สำหรับSบางตัว[1] : 2ว่างเลียนแบบพีชคณิตชุดVเรียกว่าลดลงไม่ได้ถ้ามันไม่สามารถจะเขียนเป็นสหภาพของทั้งสองที่เหมาะสมย่อยพีชคณิต[1] : 3ลดลงไม่ได้เลียนแบบชุดพีชคณิตเรียกว่ายังมีความหลากหลายเลียนแบบ [1] : 3 (ผู้เขียนหลายคนใช้วลีaffine varietyเพื่ออ้างถึงเซตพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ไม่สามารถวัดได้หรือไม่[หมายเหตุ 1] )

พันธุ์ Affine สามารถได้รับโทโพโลยีตามธรรมชาติโดยการประกาศว่าเซตปิดเป็นเซตเชิงพีชคณิตที่แม่นยำ โทโพโลยีนี้เรียกว่าโทโพโลยี Zariski [1] : 2

ด้วยส่วนย่อยVของA nเรากำหนดI ( V ) ให้เป็นอุดมคติของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดที่หายไปบนV :

สำหรับการใด ๆ เลียนแบบพีชคณิตชุดVการประสานงานแหวนหรือโครงสร้างแหวนของVเป็นความฉลาดของแหวนพหุนามโดยอุดมคตินี้ [1] : 4

พันธุ์ฉายและพันธุ์กึ่งฉาย[ แก้]

ให้kเป็นพีชคณิตปิดสนามและให้P nเป็นprojective nอวกาศมากกว่าk Let ในk [ x 0 , ... , x n ]เป็นพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันของการศึกษาระดับปริญญาdมันไม่ได้เป็นที่ดีที่กำหนดในการประเมินจุดในP nในพิกัดที่เป็นเนื้อเดียวกันอย่างไรก็ตามเนื่องจากfเป็นเนื้อเดียวกันหมายความว่าf   ( λx 0 , ... , λx n) = λ d F   ( x 0 , ... , x n )ก็ไม่ทำให้ความรู้สึกที่จะถามว่าหายตัวไปที่จุด[ x 0  : ... : x n ]สำหรับแต่ละชุดSของพหุนามเอกพันธ์ให้กำหนดศูนย์ - โลคัสของSเป็นเซตของจุดในP nซึ่งฟังก์ชันในSจะหายไป:

เซตย่อยVของP nเรียกว่าเซตพีชคณิตเชิงโปรเจ็กต์ถ้าV = Z ( S ) สำหรับSบางตัว [1] : 9เซตพีชคณิตเชิงโปรเจ็กต์ที่วัดไม่ได้เรียกว่าตัวแปรเชิงโปรเจ็กต์ [1] : 10

พันธุ์โปรเจ็กต์ยังติดตั้งโทโพโลยี Zariski ด้วยการประกาศให้ปิดชุดพีชคณิตทั้งหมด

กำหนดเซตVของP nให้ฉัน ( V ) จะเหมาะที่สร้างขึ้นโดยมีหลายชื่อเหมือนกันทุกที่หายไปบนVสำหรับการใด ๆ เกี่ยวกับพีชคณิต projective ชุดVที่แหวนประสานงานของVคือความฉลาดของแหวนพหุนามโดยอุดมคตินี้[1] : 10

พันธุ์กึ่งโปรเจ็กต์คือเซตย่อยแบบเปิดของZariskiของความหลากหลายแบบโปรเจ็กต์ สังเกตว่าทุกความหลากหลายของ Affine เป็นแบบกึ่งฉายภาพ [2]โปรดสังเกตด้วยว่าส่วนเติมเต็มของพีชคณิตที่กำหนดในความหลากหลายของ Affine นั้นเป็นความหลากหลายแบบกึ่งฉายภาพ ในบริบทของพันธุ์ Affine ความหลากหลายกึ่งโปรเจ็กต์ดังกล่าวมักไม่เรียกว่าหลากหลาย แต่เป็นชุดที่สร้างได้

พันธุ์นามธรรม[ แก้]

ในเรขาคณิตพีชคณิตคลาสสิกพันธุ์ทุกคนโดยนิยามพันธุ์กึ่ง projectiveซึ่งหมายความว่าพวกเขา subvarieties เปิด subvarieties ปิดprojective พื้นที่ยกตัวอย่างเช่นในบทที่ 1 ของ Hartshorne หลากหลายกว่าพีชคณิตปิดสนามถูกกำหนดให้เป็นความหลากหลายกึ่ง projective , [1] : 15แต่จากบทที่ 2 เป็นต้นไประยะหลากหลาย (เรียกว่ายังมีความหลากหลายนามธรรม ) หมายถึงขึ้น วัตถุทั่วไปซึ่งในพื้นที่เป็นความหลากหลายกึ่งฉายภาพ แต่เมื่อมองโดยรวมแล้วไม่จำเป็นต้องเป็นเสมือนการฉายภาพ คือมันอาจจะไม่ได้มีการฝังลงไปในพื้นที่ projective [1]: 105ดังนั้นนิยามของความหลากหลายทางพีชคณิตแบบคลาสสิกจึงจำเป็นต้องมีการฝังลงในพื้นที่ฉายภาพและการฝังนี้ถูกใช้เพื่อกำหนดโทโพโลยีเกี่ยวกับความหลากหลายและฟังก์ชันปกติของความหลากหลาย ข้อเสียของคำจำกัดความดังกล่าวคือไม่ใช่ทุกพันธุ์ที่มาพร้อมกับการฝังตัวตามธรรมชาติในพื้นที่ฉายภาพ ตัวอย่างเช่นภายใต้คำจำกัดความนี้ผลิตภัณฑ์P 1 × P 1จะไม่หลากหลายจนกว่าจะถูกฝังลงในพื้นที่ฉายภาพ นี้มักจะทำโดยการฝัง Segreอย่างไรก็ตามความหลากหลายใด ๆ ที่ยอมรับการฝังหนึ่งในพื้นที่ฉายจะยอมรับคนอื่น ๆ อีกมากมายโดยการประกอบการฝังด้วยการฝัง Veronese. ดังนั้นแนวคิดหลายอย่างที่ควรเป็นเนื้อแท้เช่นแนวคิดของฟังก์ชันปกติจึงไม่เป็นเช่นนั้นอย่างชัดเจน

ความพยายามที่ประสบความสำเร็จเร็วที่สุดเท่าที่จะกำหนดหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตนามธรรมโดยไม่ต้องฝังถูกทำโดยอันเดรวีลในของเขาฐานรากของพีชคณิตเรขาคณิต , Weil กำหนดหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตนามธรรมโดยใช้การประเมินมูลค่า Claude Chevalleyได้ให้คำจำกัดความของโครงการซึ่งมีจุดประสงค์คล้ายกัน แต่มีความกว้างมากกว่า อย่างไรก็ตามคำจำกัดความของโครงการของAlexander Grothendieckยังคงมีอยู่ทั่วไปและได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางที่สุด ในภาษา Grothendieck ของหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตนามธรรมมักจะกำหนดให้เป็นหนึ่ง , แยกรูปแบบของการจำกัด ประเภทบนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต[หมายเหตุ 2]แม้ว่าผู้เขียนบางคนจะทิ้งความไม่สามารถวัดได้หรือการลดลงหรือเงื่อนไขการแบ่งแยกหรืออนุญาตให้ฟิลด์ที่อยู่ภายใต้ปิดด้วยพีชคณิต [หมายเหตุ 3]พันธุ์พีชคณิตคลาสสิกเป็นโครงร่างประเภท จำกัด ที่แยกออกจากกันแบบ quasiprojective ในสนามที่ปิดด้วยพีชคณิต

การมีอยู่ของพันธุ์พีชคณิตนามธรรมที่ไม่ใช่ quasiprojective [ แก้ไข]

หนึ่งในตัวอย่างแรกสุดของความหลากหลายทางพีชคณิตแบบไม่เป็นโครงร่างได้รับจาก Nagata [3]ตัวอย่างของนากาตะยังไม่สมบูรณ์ (อะนาล็อกของความกะทัดรัด) แต่หลังจากนั้นไม่นานเขาก็พบพื้นผิวพีชคณิตที่สมบูรณ์และไม่เป็นโครงร่าง [4]ตั้งแต่นั้นมาก็พบตัวอย่างอื่น ๆ

ตัวอย่าง[ แก้ไข]

ความหลากหลาย[ แก้ไข]

subvarietyเป็นส่วนหนึ่งของความหลากหลายที่เป็นตัวเองที่มีความหลากหลาย (ที่เกี่ยวกับโครงสร้างการเหนี่ยวนำจากหลากหลายโดยรอบ) ตัวอย่างเช่นทุกส่วนย่อยที่เปิดอยู่ของความหลากหลายคือความหลากหลาย ดูการแช่แบบปิดด้วย

Nullstellensatz ของฮิลเบิร์ตกล่าวว่าพันธุ์ย่อยแบบปิดของความสัมพันธ์แบบใกล้ชิดหรือความหลากหลายเชิงโปรเจ็กต์นั้นอยู่ในความสอดคล้องแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับอุดมคติที่สำคัญหรืออุดมคติเฉพาะที่เป็นเนื้อเดียวกันของวงแหวนพิกัดของความหลากหลาย

Affine หลากหลาย[ แก้ไข]

ตัวอย่างที่ 1 [ แก้ไข]

ให้k = Cและ2เป็นสองมิติพื้นที่เลียนแบบมากกว่าCพหุนามในแหวนC [ x , Y ] สามารถดูเป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่ซับซ้อนบน2โดยการประเมินที่จุดใน2ให้เซ็ตย่อยSของC [ x , y ] มีองค์ประกอบเดียวf   ( x , y ) :

เป็นศูนย์สถานทีของF   ( x , Y )เป็นชุดของจุดใน2ที่ฟังก์ชั่นนี้หายไป: มันเป็นชุดของทุกคู่ของตัวเลขที่ซับซ้อน (the x , Y ) เช่นที่Y = 1 - xสิ่งนี้เรียกว่าเส้นในระนาบ Affine (ในโทโพโลยีคลาสสิกที่มาจากโทโพโลยีเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนเส้นที่ซับซ้อนคือท่อร่วมที่แท้จริงของมิติที่สอง) นี่คือเซตZ (  f  ) :

ดังนั้นเซตV = Z (   )ของ2เป็นชุดพีชคณิต ชุดVไม่ว่างเปล่า ไม่สามารถวัดได้เนื่องจากไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมของเซตย่อยพีชคณิตที่เหมาะสมสองชุดได้ ดังนั้นมันจึงเป็นความหลากหลายเชิงพีชคณิต

ตัวอย่างที่ 2 [ แก้ไข]

ให้k = Cและ2เป็นพื้นที่ที่เลียนแบบสองมิติมากกว่าCพหุนามในแหวนC [ x , Y ] สามารถดูเป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่ซับซ้อนบน2โดยการประเมินที่จุดใน2ให้เซ็ตย่อยSของC [ x , y ] มีองค์ประกอบเดียวg ( x , y ):

ศูนย์โลคัสของg ( x , y ) คือเซตของจุดในA 2ที่ฟังก์ชันนี้หายไปนั่นคือเซตของจุด ( x , y ) ซึ่งx 2 + y 2 = 1 เป็นg ( x , y ) เป็นพหุนามที่วัดไม่ได้อย่างแน่นอนนี่คือความหลากหลายทางพีชคณิต ชุดของจุดที่แท้จริงของมัน (นั่นคือจุดที่xและy ที่เป็นตัวเลขจริง) เป็นที่รู้จักกันเป็นวงกลมหน่วย ; ชื่อนี้มักจะถูกกำหนดให้กับความหลากหลายทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 3 [ แก้ไข]

ตัวอย่างต่อไปนี้ไม่ใช่ไฮเปอร์พื้นผิวหรือปริภูมิเชิงเส้นหรือจุดเดียว ให้3เป็นพื้นที่ที่เลียนแบบสามมิติมากกว่าCชุดของจุด ( x , x 2 , x 3 ) สำหรับxในCคือความหลากหลายทางพีชคณิตและเป็นเส้นโค้งพีชคณิตที่ไม่มีอยู่ในระนาบใด ๆ[หมายเหตุ 4]คือลูกบาศก์บิดที่แสดงในรูปด้านบน มันอาจถูกกำหนดโดยสมการ

ความไม่สามารถวัดได้ของชุดพีชคณิตนี้จำเป็นต้องมีการพิสูจน์ แนวทางหนึ่งในกรณีนี้คือการตรวจสอบว่าการฉายภาพ ( x , y , z ) → ( x , y ) ถูกฉีดเข้าไปในชุดของการแก้ปัญหาและภาพของมันเป็นเส้นโค้งระนาบที่ไม่สามารถวัดได้

สำหรับตัวอย่างที่ยากกว่านั้นอาจได้รับการพิสูจน์ที่คล้ายกันเสมอ แต่อาจบ่งบอกถึงการคำนวณที่ยาก: ขั้นแรกการคำนวณพื้นฐานของGröbnerเพื่อคำนวณมิติตามด้วยการเปลี่ยนแปลงตัวแปรเชิงเส้นแบบสุ่ม (ไม่จำเป็นเสมอไป) จากนั้นจึงเป็นการคำนวณพื้นฐานของGröbnerสำหรับการสั่งซื้อแบบโมโนเมียลอื่นเพื่อคำนวณการฉายภาพและเพื่อพิสูจน์ว่าเป็นการฉีดโดยทั่วไปและภาพของมันเป็นไฮเปอร์เซอร์พื้นผิวและในที่สุดก็เป็นการแยกตัวประกอบพหุนามเพื่อพิสูจน์ความไม่เอื้ออำนวยของภาพ

ความหลากหลายของการฉายภาพ[ แก้ไข]

หลากหลาย projectiveเป็น subvariety ปิดของพื้นที่ projective นั่นคือมันเป็นศูนย์ของเซตของพหุนามเอกพันธ์ที่สร้างอุดมคติเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1 [ แก้ไข]

โค้งเครื่องบินเลียนแบบY 2 = x 3 - x เส้นโค้งที่สอดคล้องกันเรียกว่าเส้นโค้งวงรี

เส้นโค้งแบบระนาบคือตำแหน่งศูนย์ของพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ไม่สามารถวัดได้ในสามพิกัดที่ไม่แน่นอน projective แถว P 1เป็นตัวอย่างของเส้นโค้ง projective; ก็สามารถที่จะมองว่าเป็นเส้นโค้งใน projective เครื่องบินP 2 = {[ x , Y , Z ] } กำหนดโดยx = 0 ตัวอย่างอื่นก่อนอื่นให้พิจารณาเส้นโค้งลูกบาศก์ของความสัมพันธ์

ในช่องว่างเชิงสัมพันธ์ 2 มิติ (เหนือเขตข้อมูลลักษณะไม่ใช่สอง) มันมีสมการพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันของลูกบาศก์ที่เกี่ยวข้อง:

ซึ่งได้กำหนดเส้นโค้งในP 2เรียกว่าเส้นโค้งรูปไข่เส้นโค้งมีสกุลหนึ่ง ( สูตรสกุล ); โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิกสำหรับเส้นฉายP 1ซึ่งมีสกุลศูนย์ การใช้สกุลเพื่อแยกความแตกต่างของเส้นโค้งนั้นเป็นเรื่องพื้นฐานมาก: ในความเป็นจริงสกุลนี้เป็นสกุลที่ไม่แปรเปลี่ยนประเภทแรกที่ใช้ในการจำแนกเส้นโค้ง (ดูการสร้างโมดูลิของเส้นโค้งพีชคณิต )

ตัวอย่างที่ 2 [ แก้ไข]

ให้Vเป็นพื้นที่เวกเตอร์มิติ จำกัด หลากหลาย Grassmannian G n ( V ) คือชุดของทั้งหมดn subspaces มิติของV มันเป็นความหลากหลายที่ฉายภาพ: มันถูกฝังลงในพื้นที่ฉายภาพผ่านการฝังPlücker :

ที่ฉันเป็นชุดของเวกเตอร์ linearly อิสระในV , เป็นn -th อำนาจภายนอกของVและวงเล็บ [ W ] หมายถึงเส้นทอดเวกเตอร์ภัณฑ์W

ความหลากหลาย Grassmannian มาพร้อมกับธรรมชาติกำเวกเตอร์ (หรือมัดฟรีในประเทศในคำศัพท์อื่น ๆ ) เรียกว่ากำซ้ำซึ่งเป็นสิ่งสำคัญในการศึกษาชั้นเรียนลักษณะเช่นเรียนเชิญ

ตัวอย่างที่ไม่ใช่การเชื่อมโยงและไม่เป็นโครงร่าง[ แก้ไข]

ความหลากหลายทางพีชคณิตไม่สามารถเป็นได้ทั้งความสัมพันธ์และการคาดการณ์ ในการยกตัวอย่างให้X = P 1 × A 1และp : XA 1การฉายภาพ มันเป็นความหลากหลายทางพีชคณิตเนื่องจากเป็นผลผลิตจากพันธุ์ ไม่เกี่ยวข้องเนื่องจากP 1เป็นค่าความแปรปรวนย่อยแบบปิดของX (เป็นศูนย์ที่ตั้งของp ) แต่ความหลากหลายของ Affine ไม่สามารถมีมิติเชิงบวกที่หลากหลายที่คาดการณ์ไว้เป็นความหลากหลายแบบปิดได้ มันไม่ได้เป็น projective อย่างใดอย่างหนึ่งเนื่องจากมี nonconstant ฟังก์ชั่นปกติในX ; กล่าวคือp .

อีกตัวอย่างหนึ่งของความหลากหลายที่ไม่เกี่ยวข้องกับการฉายภาพคือX = A 2 - (0, 0) ( เปรียบเทียบการแปรสัณฐานของพันธุ์§ตัวอย่าง )

ผลลัพธ์พื้นฐาน[ แก้ไข]

  • เลียนแบบพีชคณิตชุดVคือความหลากหลายและถ้าหาก ฉัน ( V ) เป็นที่เหมาะนายก ; ในทำนองเดียวกันVคือความหลากหลายในกรณีที่วงแหวนพิกัดเป็นโดเมนหนึ่งเท่านั้น [5] : 52 [1] : 4
  • ชุดพีชคณิตเชิงสัมพันธ์ที่ไม่ว่างเปล่าทุกชุดอาจถูกเขียนโดยไม่ซ้ำกันว่าเป็นสหภาพที่ จำกัด ของพันธุ์พีชคณิต (โดยที่ไม่มีพันธุ์ใดในการสลายตัวเป็นความหลากหลายที่ไม่ชัดเจนของสิ่งอื่นใด) [1] : 5
  • มิติของความหลากหลายอาจจะกำหนดในรูปแบบต่าง ๆ เทียบเท่า ดูมิติของความหลากหลายทางพีชคณิตสำหรับรายละเอียด
  • ผลคูณของพีชคณิตมากมาย (ในสนามที่ปิดด้วยพีชคณิต) คือความหลากหลายทางพีชคณิต

Isomorphism ของพันธุ์พีชคณิต[ แก้]

ให้V 1 , V 2เป็นพันธุ์พีชคณิต เราพูดV 1และV 2เป็นisomorphicและเขียนV 1V 2ถ้ามีแผนที่ปกติ φ  : V 1V 2และψ  : V 2V 1ดังกล่าวว่าองค์ประกอบ ψφและφψมีตัวตนแผนที่บนV1และ V 2ตามลำดับ

การอภิปรายและการสรุป[ แก้ไข]

คำจำกัดความพื้นฐานและข้อเท็จจริงข้างต้นช่วยให้สามารถทำเรขาคณิตเชิงพีชคณิตแบบคลาสสิกได้ เพื่อให้สามารถทำอะไรได้มากขึ้น - ตัวอย่างเช่นในการจัดการกับพันธุ์ในฟิลด์ที่ไม่ได้ปิดด้วยพีชคณิต - จำเป็นต้องมีการเปลี่ยนแปลงพื้นฐานบางอย่าง ความคิดสมัยใหม่เกี่ยวกับความหลากหลายนั้นมีความเป็นนามธรรมมากกว่าแนวคิดข้างต้นแม้ว่าจะเทียบเท่ากันในกรณีของพันธุ์ในเขตปิดที่มีพีชคณิตหลากหลายพีชคณิตนามธรรมเป็นชนิดหนึ่งของโครงการ; การวางนัยทั่วไปของโครงร่างทางด้านเรขาคณิตช่วยให้สามารถขยายการโต้ตอบที่อธิบายไว้ข้างต้นไปยังระดับของวงแหวน โครงร่างคือพื้นที่ที่มีวงแหวนในท้องถิ่นซึ่งทุกจุดมีพื้นที่ใกล้เคียงซึ่งในฐานะที่เป็นพื้นที่ที่มีวงแหวนในท้องถิ่นนั้นมีความเป็นไอโซมอร์ฟิกกับสเปกตรัมของวงแหวน. โดยทั่วไปความหลากหลายของkคือโครงร่างที่มีโครงสร้างเป็นฟ่อนของk -algebras ที่มีคุณสมบัติที่วงแหวนRที่เกิดขึ้นข้างต้นเป็นโดเมนหนึ่งทั้งหมดและเป็นk -algebras ที่สร้างขึ้นอย่างประณีตกล่าวคือเป็นผลหาร ของalgebras พหุนามโดยอุดมคติที่สำคัญ

คำนิยามนี้ทำงานผ่านสาขาใด ๆkช่วยให้คุณติดกาวพันธุ์เดียวกัน (ตามชุดเปิดทั่วไป) โดยไม่ต้องกังวลว่าจะสามารถใส่วัตถุที่เป็นผลลัพธ์ลงในพื้นที่ฉายภาพได้หรือไม่ นอกจากนี้ยังนำไปสู่ความยากลำบากเนื่องจากสามารถแนะนำวัตถุทางพยาธิวิทยาได้เช่นเส้นตรงที่มีศูนย์เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า วัตถุดังกล่าวมักจะไม่ได้รับการพิจารณาพันธุ์และจะถูกตัดออกโดยกำหนดรูปแบบที่อยู่ภายใต้ความหลากหลายที่จะแยกออกจากกัน (พูดอย่างเคร่งครัดนอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขที่สามนั่นคือสิ่งที่ต้องการเพียงแค่แพทช์ affine จำนวนมากในคำจำกัดความข้างต้น)

Some modern researchers also remove the restriction on a variety having integral domain affine charts, and when speaking of a variety only require that the affine charts have trivial nilradical.

A complete variety is a variety such that any map from an open subset of a nonsingular curve into it can be extended uniquely to the whole curve. Every projective variety is complete, but not vice versa.

These varieties have been called "varieties in the sense of Serre", since Serre's foundational paper FAC on sheaf cohomology was written for them. They remain typical objects to start studying in algebraic geometry, even if more general objects are also used in an auxiliary way.

One way that leads to generalizations is to allow reducible algebraic sets (and fields k that aren't algebraically closed), so the rings R may not be integral domains. A more significant modification is to allow nilpotents in the sheaf of rings, that is, rings which are not reduced. This is one of several generalizations of classical algebraic geometry that are built into Grothendieck's theory of schemes.

Allowing nilpotent elements in rings is related to keeping track of "multiplicities" in algebraic geometry. For example, the closed subscheme of the affine line defined by x2 = 0 is different from the subscheme defined by x = 0 (the origin). More generally, the fiber of a morphism of schemes XY at a point of Y may be non-reduced, even if X and Y are reduced. Geometrically, this says that fibers of good mappings may have nontrivial "infinitesimal" structure.

There are further generalizations called algebraic spaces and stacks.

Algebraic manifolds[edit]

An algebraic manifold is an algebraic variety that is also an m-dimensional manifold, and hence every sufficiently small local patch is isomorphic to km. Equivalently, the variety is smooth (free from singular points). When k is the real numbers, R, algebraic manifolds are called Nash manifolds. Algebraic manifolds can be defined as the zero set of a finite collection of analytic algebraic functions. Projective algebraic manifolds are an equivalent definition for projective varieties. The Riemann sphere is one example.

See also[edit]

  • Variety (disambiguation) — listing also several mathematical meanings
  • Function field of an algebraic variety
  • Birational geometry
  • Abelian variety
  • Motive (algebraic geometry)
  • Analytic variety
  • Zariski–Riemann space
  • Semi-algebraic set

Footnotes[edit]

  1. ^ Hartshorne, p.xv, notes that his choice is not conventional; see for example, Harris, p.3
  2. ^ Hartshorne 1976, pp. 104–105
  3. ^ Liu, Qing. Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, p. 55 Definition 2.3.47, and p. 88 Example 3.2.3
  4. ^ Harris, p.9; that it is irreducible is stated as an exercise in Hartshorne p.7

References[edit]

  1. ^ a b c d e f g h i j k l m Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.
  2. ^ Hartshorne, Exercise I.2.9, p.12
  3. ^ Nagata, Masayoshi (1956), "On the imbedding problem of abstract varieties in projective varieties", Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics, 30: 71–82, MR 0088035
  4. ^ Nagata, Masayoshi (1957), "On the imbeddings of abstract surfaces in projective varieties", Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics, 30: 231–235, MR 0094358
  5. ^ Harris, Joe (1992). Algebraic Geometry - A first course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97716-3.
  • Cox, David; John Little; Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
  • Eisenbud, David (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
  • Milne, James S. (2008). "Algebraic Geometry". Retrieved 2009-09-01.

This article incorporates material from Isomorphism of varieties on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.