เส้นโค้งพีชคณิต

จาก Wikipedia สารานุกรมเสรี
ข้ามไปที่การนำทางข้ามไปที่การค้นหา
Tschirnhausen ลูกบาศก์เป็นเส้นโค้งพีชคณิตของระดับสาม

ในวิชาคณิตศาสตร์การเลียนแบบโค้งเครื่องบินพีชคณิตเป็นชุดศูนย์ของพหุนามสองตัวแปรprojective โค้งเครื่องบินพีชคณิตเป็นชุดที่ศูนย์ในprojective เครื่องบินของพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันในสามตัวแปร เส้นโค้งของระนาบพีชคณิต Affine สามารถทำได้ในเส้นโค้งระนาบพีชคณิตเชิงโปรเจ็กต์โดยการทำให้เป็นเนื้อเดียวกันที่กำหนดพหุนาม ในทางกลับกันเส้นโค้งระนาบพีชคณิตเชิงโปรเจ็กต์ของสมการเอกพันธ์h ( x , y , t ) = 0สามารถ จำกัด ได้เฉพาะเส้นโค้งระนาบพีชคณิตของสมการh( x , y , 1) = 0 . เหล่านี้ทั้งสองดำเนินการแต่ละผกผันไปที่อื่น ๆ ; ดังนั้นวลีเส้นโค้งระนาบพีชคณิตมักใช้โดยไม่ได้ระบุอย่างชัดเจนว่าเป็นความสัมพันธ์หรือกรณีเชิงฉายที่พิจารณา

โดยทั่วไปเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเป็นความหลากหลายเกี่ยวกับพีชคณิตของมิติหนึ่ง เส้นโค้งพีชคณิตคือความหลากหลายทางพีชคณิตที่เทียบเท่ากับเส้นโค้งระนาบพีชคณิต ถ้าเส้นโค้งมีอยู่ในสเปซAffineหรือปริภูมิโปรเจกต์เราสามารถใช้การคาดคะเนสำหรับความเท่าเทียมทางชีวภาพดังกล่าวได้

ความเท่าเทียมกันทางชีวภาพเหล่านี้ลดการศึกษาส่วนใหญ่ของเส้นโค้งพีชคณิตไปจนถึงการศึกษาเส้นโค้งของระนาบพีชคณิต อย่างไรก็ตามคุณสมบัติบางอย่างจะไม่ถูกเก็บไว้ภายใต้ความเท่าเทียมทางชีวภาพและต้องศึกษาเกี่ยวกับเส้นโค้งที่ไม่ใช่ระนาบ นี่คือโดยเฉพาะอย่างยิ่งกรณีสำหรับการศึกษาระดับปริญญาและเรียบเนียน ตัวอย่างเช่นมีเส้นโค้งเรียบของสกุล 0 และองศาที่มากกว่าสอง แต่การฉายระนาบใด ๆ ของเส้นโค้งดังกล่าวมีจุดเอกพจน์ (ดูสูตรสกุล - องศา )

เส้นโค้งที่ไม่ใช่เครื่องบินมักจะเรียกว่าเส้นโค้งพื้นที่หรือโค้งลาด

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด[ แก้]

เส้นโค้งพีชคณิตในระนาบยุคลิดคือชุดของจุดที่มีพิกัดเป็นคำตอบของสมการพหุนาม สองตัวแปรp ( x , y ) = 0 สมการนี้มักเรียกว่าสมการโดยนัยของเส้นโค้งตรงกันข้ามกับเส้นโค้งที่ กำลังกราฟของฟังก์ชั่นการกำหนดอย่างชัดเจน Yเป็นหน้าที่ของx

ด้วยเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการนัยปัญหาแรกคือการกำหนดรูปร่างของเส้นโค้งและวาดมัน ปัญหาเหล่านี้ไม่ได้เป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ปัญหาเช่นในกรณีของกราฟของฟังก์ชั่นซึ่งในปีอาจคำนวณได้อย่างง่ายดายสำหรับค่าต่างๆของxความจริงที่ว่าสมการนิยามเป็นพหุนามโดยนัยว่าเส้นโค้งมีคุณสมบัติทางโครงสร้างบางอย่างที่อาจช่วยในการแก้ปัญหาเหล่านี้

ทุกโค้งพีชคณิตอาจถูกย่อยสลายโดยไม่ซ้ำกันเป็นจำนวน จำกัด ของโมโนโทนเรียบโค้ง (เรียกว่าสาขา ) บางครั้งการเชื่อมต่อโดยบางจุดบางครั้งเรียกว่า "จุดที่น่าทึ่ง" และอาจจะเป็นจำนวน จำกัด ของจุดแยกที่เรียกว่าacnodes โค้งเดียวเรียบเป็นกราฟของที่ฟังก์ชั่นที่เรียบซึ่งถูกกำหนดและเสียงเดียวในช่วงเวลาเปิดของxแกน ในแต่ละทิศทางส่วนโค้งจะไม่ถูกผูกมัด (โดยปกติเรียกว่าส่วนโค้งไม่มีที่สิ้นสุด ) หรือมีจุดสิ้นสุดซึ่งเป็นจุดเอกพจน์ (ซึ่งจะถูกกำหนดไว้ด้านล่าง) หรือจุดที่มีเส้นสัมผัสขนานกับแกนพิกัดใดแกนหนึ่ง

ตัวอย่างเช่นสำหรับลูกบาศก์ Tschirnhausenมีส่วนโค้งอนันต์สองส่วนที่มีจุดเริ่มต้น (0,0) เป็นจุดสิ้นสุด จุดนี้เป็นจุดเอกพจน์เดียวของเส้นโค้ง นอกจากนี้ยังมีสองส่วนโค้งที่มีจุดเอกพจน์นี้เป็นจุดสิ้นสุดหนึ่งและมีจุดสิ้นสุดที่สองที่มีเส้นสัมผัสแนวนอน ในที่สุดก็มีส่วนโค้งอีกสองเส้นซึ่งแต่ละจุดมีหนึ่งในจุดเหล่านี้โดยมีเส้นสัมผัสแนวนอนเป็นจุดสิ้นสุดแรกและมีจุดที่ไม่ซ้ำกันโดยมีเส้นสัมผัสแนวตั้งเป็นจุดสิ้นสุดที่สอง ในทางตรงกันข้ามไซนัสไม่ใช่เส้นโค้งพีชคณิตอย่างแน่นอนโดยมีส่วนโค้งโมโนโทนจำนวนไม่ จำกัด

ในการวาดเส้นโค้งพีชคณิตสิ่งสำคัญคือต้องรู้จุดที่น่าทึ่งและแทนเจนต์กิ่งก้านที่ไม่มีที่สิ้นสุดและเส้นกำกับ (ถ้ามี) และวิธีที่ส่วนโค้งเชื่อมต่อกัน นอกจากนี้ยังมีประโยชน์ในการพิจารณาจุดเบี่ยงเบนเป็นจุดที่โดดเด่น เมื่อข้อมูลทั้งหมดนี้ถูกวาดลงบนแผ่นกระดาษรูปร่างของเส้นโค้งมักจะปรากฏค่อนข้างชัดเจน หากไม่เป็นเช่นนั้นก็เพียงพอที่จะเพิ่มจุดอื่น ๆ และเส้นสัมผัสเพื่อให้ได้คำอธิบายที่ดีของเส้นโค้ง

วิธีการคำนวณหาจุดที่โดดเด่นและเสียบ้างของพวกเขาที่มีการระบุไว้ด้านล่างหลังจากที่ส่วนโค้ง Projective

เส้นโครงร่างระนาบ[ แก้ไข]

มันมักจะเป็นที่พึงปรารถนาที่จะต้องพิจารณาในโค้งprojective พื้นที่ เส้นโค้งพีชคณิตในระนาบโปรเจ็กต์หรือเส้นโค้งโปรเจ็กต์ระนาบคือชุดของจุดในระนาบโปรเจ็กต์ที่มีพิกัดการฉายเป็นศูนย์ของพหุนามเอกพันธ์ในสามตัวแปรP ( x , y , z )

เส้นโค้งพีชคณิตทุกเส้นของสมการp ( x , y ) = 0 อาจจะเสร็จสมบูรณ์ในเส้นโค้งของสมการโดยที่

เป็นผลจากการที่เป็นเนื้อเดียวกันของพีในทางกลับกันถ้าP ( x , y , z ) = 0 เป็นสมการเอกพันธ์ของเส้นโค้งโปรเจ็กต์ดังนั้นP ( x , y , 1) = 0 คือสมการของเส้นโค้ง Affine ซึ่งประกอบด้วยจุดของเส้นโค้งโปรเจ็กต์ ซึ่งพิกัดโปรเจ็กต์ที่สามไม่ได้เป็นศูนย์ สองคนนี้เป็นหนึ่งในการดำเนินงานซึ่งกันและกันไปที่อื่น ๆ เป็นและถ้าหน้าจะถูกกำหนดโดยแล้วเร็วที่สุดเท่าที่เป็นเนื้อเดียวกันพหุนามPไม่หารด้วยZ

ตัวอย่างเช่นเส้นโค้งโปรเจ็กต์ของสมการx 2 + y 2 - z 2คือความสำเร็จของการฉายภาพของวงกลมหน่วยของสมการx 2 + y 2 - 1 = 0

นี่หมายความว่าเส้นโค้ง Affine และเส้นโค้งที่สมบูรณ์เป็นเส้นโค้งเดียวกันหรือที่แน่ชัดกว่านั้นเส้นโค้ง Affine เป็นส่วนหนึ่งของเส้นโค้งการฉายภาพที่มีขนาดใหญ่พอที่จะกำหนดเส้นโค้ง "สมบูรณ์" ได้ดี มุมมองนี้มักแสดงออกโดยการเรียก "จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด" ของเส้นโค้งความสัมพันธ์ที่จุด (เป็นจำนวน จำกัด ) ของความสำเร็จในการฉายภาพที่ไม่ได้อยู่ในส่วนที่สัมพันธ์กัน

มักมีการศึกษาเส้นโค้งโปรเจ็กต์ด้วยตนเอง นอกจากนี้ยังมีประโยชน์สำหรับการศึกษาเส้นโค้งความสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่นถ้าp ( x , y ) เป็นพหุนามที่กำหนดเส้นโค้ง Affine ข้างอนุพันธ์ย่อยและจะมีประโยชน์ในการพิจารณาอนุพันธ์ที่อินฟินิตี้

ตัวอย่างเช่นสมการของแทนเจนต์ของเส้นโค้ง Affine ของสมการp ( x , y ) = 0 ที่จุด ( a , b ) คือ

จุดที่โดดเด่นของเส้นโค้งระนาบ[ แก้ไข]

ในส่วนนี้เราจะพิจารณาเครื่องบินโค้งพีชคณิตกำหนดโดยสองตัวแปรพหุนามP ( x , Y ) และเสร็จสิ้น projective มันกำหนดโดยเป็นเนื้อเดียวกันของพี

ตัดกับเส้น[ แก้ไข]

การรู้จุดตัดกันของเส้นโค้งกับเส้นที่กำหนดมักมีประโยชน์ จุดตัดกับแกนพิกัดและเส้นกำกับมีประโยชน์ในการวาดเส้นโค้ง การตัดกันด้วยเส้นที่ขนานกับแกนทำให้สามารถหาจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดในแต่ละกิ่งของเส้นโค้งได้ หากมีอัลกอริธึมการค้นหารูทที่มีประสิทธิภาพสิ่งนี้จะช่วยให้สามารถวาดเส้นโค้งโดยการพล็อตจุดตัดกับเส้นทั้งหมดขนานกับแกนyและส่งผ่านแต่ละพิกเซลบนแกน x

ถ้าพหุนามที่กำหนดเส้นโค้งมีองศาdเส้นใด ๆ จะตัดส่วนโค้งในจุดdมากที่สุดทฤษฎีบทBézoutของอ้างว่าตัวเลขตรงนี้เป็นวันที่ถ้าจุดที่มีการค้นหาใน projective เครื่องบินกว่าพีชคณิตปิดสนาม (ตัวอย่างเช่นตัวเลขที่ซับซ้อน ) และนับกับพวกเขามากมายหลายหลากวิธีการคำนวณที่ตามมาพิสูจน์อีกครั้งทฤษฎีบทนี้ในกรณีง่ายๆนี้

ในการคำนวณจุดตัดของเส้นโค้งที่กำหนดโดยพหุนามpด้วยเส้นสมการax + by + c = 0 หนึ่งจะแก้สมการของเส้นสำหรับx (หรือสำหรับyถ้าa = 0) การแทนที่ผลลัพธ์ในpจะได้สมการเอกภาพq ( y ) = 0 (หรือq ( x ) = 0 ถ้าสมการของเส้นตรงได้รับการแก้ไขในy) ซึ่งแต่ละคนมีรากเป็นพิกัดหนึ่งของจุดตัดกัน พิกัดอื่นอนุมานได้จากสมการของเส้น ความหลายหลากของจุดตัดคือความหลายหลากของรากที่เกี่ยวข้อง มีจุดตัดที่อินฟินิตี้ถ้าองศาqต่ำกว่าองศาp ; หลายหลากเช่นจุดตัดที่อินฟินิตี้คือความแตกต่างขององศาของPและQ

สัมผัสที่จุดหนึ่ง[ แก้ไข]

แทนเจนต์ที่จุด ( a , b ) ของเส้นโค้งคือเส้นของสมการเช่นเดียวกับเส้นโค้งที่แตกต่างกันทุกเส้นที่กำหนดโดยสมการโดยนัย ในกรณีของพหุนามสูตรอื่นสำหรับแทนเจนต์มีระยะคงที่ง่ายกว่าและสมมาตรมากกว่า:

ที่เป็นตราสารอนุพันธ์ที่อินฟินิตี้ สมดุลของทั้งสองสมการผลจากทฤษฎีบทฟังก์ชั่นที่เป็นเนื้อเดียวกันออยเลอร์นำไปใช้กับP

หากสัมผัสกันไม่ได้ถูกกำหนดและจุดเป็นจุดเอกพจน์

สิ่งนี้ขยายไปสู่กรณีการฉายภาพทันที: สมการของแทนเจนต์ที่จุดพิกัดโปรเจ็กต์ ( a : b : c ) ของเส้นโค้งโปรเจ็กต์ของสมการP ( x , y , z ) = 0 คือ

และจุดของเส้นโค้งที่เป็นเอกพจน์คือจุดนั้น

(เงื่อนไขP ( a , b , c ) = 0 เป็นนัยโดยเงื่อนไขเหล่านี้โดยทฤษฎีบทฟังก์ชันเอกพันธ์ของออยเลอร์)

เส้นกำกับ[ แก้ไข]

ทุกแขนงที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเส้นโค้งพีชคณิตจะสอดคล้องกับจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนเส้นโค้งนั่นคือจุดของความสำเร็จในการฉายภาพของเส้นโค้งที่ไม่ได้อยู่ในส่วนที่สัมพันธ์กัน เส้นกำกับที่สอดคล้องกันคือแทนเจนต์ของเส้นโค้งที่จุดนั้น อาจใช้สูตรทั่วไปสำหรับแทนเจนต์กับเส้นโค้งเชิงโปรเจ็กต์ได้ แต่ควรทำให้ชัดเจนในกรณีนี้

อนุญาตจะสลายตัวของพหุนามการกำหนดเส้นโค้งเป็นส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันของมันที่หน้าฉันคือผลรวมของ monomials ของพีปริญญาฉัน ก็เป็นไปตามนั้น

และ

จุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดของเส้นโค้งเป็นศูนย์ของpของรูปแบบ ( a , b , 0) เท่า ( , ) เป็นศูนย์หน้า dทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิตหมายความว่ากว่าปิดสนามพีชคณิต (โดยปกติข้อมูลของตัวเลขที่ซับซ้อน) P dปัจจัยลงในผลิตภัณฑ์ของปัจจัยเชิงเส้น แต่ละปัจจัยกำหนดจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดบนเส้นโค้ง: ถ้าbx  -  ayเป็นปัจจัยดังกล่าวจะกำหนดจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ( a , b , 0) เหนือค่าความจริงp dปัจจัยเป็นปัจจัยเชิงเส้นและกำลังสอง ลดลงปัจจัยกำลังสองกำหนดจุดที่ไม่จริงที่อินฟินิตี้และจุดจริงจะได้รับจากปัจจัยเชิงเส้น ถ้า ( , , 0) เป็นจุดที่อินฟินิตี้ของเส้นโค้งหนึ่งบอกว่า ( , ) เป็นทิศทางเชิง การตั้งค่าq = p dสมการของเส้นกำกับที่เกี่ยวข้องคือ

ถ้าและสิ้นสุดคือเส้นที่อินฟินิตี้และในกรณีที่จริงโค้งมีสาขาที่มีลักษณะเช่นพาราโบลา ในกรณีนี้หนึ่งบอกว่าเส้นโค้งมีสาขาเป็นรูปโค้ง ถ้า

เส้นโค้งมีจุดเอกพจน์ที่อินฟินิตี้และอาจมีหลายเส้นกำกับ อาจคำนวณโดยวิธีการคำนวณกรวยแทนเจนต์ของจุดเอกพจน์

จุดเอกพจน์[ แก้ไข]

จุดเอกพจน์ของเส้นโค้งของการศึกษาระดับปริญญาdกำหนดโดยพหุนามP ( x , Y ) ของการศึกษาระดับปริญญาdโซลูชั่นของระบบสมการ:

ในลักษณะศูนย์ระบบนี้เทียบเท่ากับ

ที่มีสัญกรณ์ของส่วนก่อนหน้านี้ระบบจะเทียบเท่าเพราะทฤษฎีบทฟังก์ชั่นที่เป็นเนื้อเดียวกันออยเลอร์ ระบบหลังมีความได้เปรียบของการมีพหุนามที่สามของการศึกษาระดับปริญญาd -1 แทนd

ในทำนองเดียวกันสำหรับเส้นโค้งที่กำหนดโดยพหุนามที่เป็นเนื้อเดียวกันP ( x , y , z ) ขององศาdจุดเอกพจน์จะมีคำตอบของระบบ

เป็นเหมือนกันพิกัด (ในลักษณะที่เป็นบวกจำเป็นต้องเพิ่มสมการลงในระบบ)

นี่ก็หมายความว่าจำนวนจุดเอกพจน์มี จำกัด ตราบเท่าที่P ( x , Y ) หรือP ( x , Y , Z ) เป็นตารางฟรี ทฤษฎีบทของBézoutหมายความว่าจำนวนจุดเอกพจน์มากที่สุด ( d −1) 2แต่ขอบเขตนี้ไม่คมเนื่องจากระบบของสมการถูกกำหนดมากเกินไปหากอนุญาตให้ใช้พหุนามแบบลดค่าได้ขอบเขตคมคือd ( d −1) / 2 ค่านี้จะถึงเมื่อปัจจัยพหุนามในปัจจัยเชิงเส้นนั่นคือถ้าเส้นโค้งเป็นสหภาพของdเส้น สำหรับเส้นโค้งและพหุนามที่ไม่สามารถวัดได้จำนวนจุดเอกพจน์จะมีค่ามากที่สุด ( d −1) ( d −2) / 2 เนื่องจากสูตรที่แสดงสกุลในรูปของเอกฐาน (ดูด้านล่าง) ค่าสูงสุดมาถึงโดยเส้นโค้งของศูนย์สกุลซึ่งความเป็นเอกฐานทั้งหมดมีหลายหลากสองและแทนเจนต์ที่แตกต่างกัน (ดูด้านล่าง)

สมการของแทนเจนต์ที่จุดเอกพจน์จะได้รับจากส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ของระดับต่ำสุดในอนุกรมเทย์เลอร์ของพหุนามที่จุดเอกพจน์ เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงพิกัดเพื่อวางจุดเอกพจน์ที่จุดกำเนิดสมการของแทนเจนต์ที่จุดเอกพจน์จึงเป็นส่วนที่เป็นเนื้อเดียวกันที่ไม่ใช่ศูนย์ของระดับต่ำสุดของพหุนามและความทวีคูณของจุดเอกพจน์คือระดับของความเป็นเนื้อเดียวกันนี้ ส่วน.

โครงสร้างการวิเคราะห์[ แก้ไข]

การศึกษาโครงสร้างการวิเคราะห์ของเส้นโค้งพีชคณิตในบริเวณใกล้เคียงของจุดเอกพจน์ให้ข้อมูลที่ถูกต้องเกี่ยวกับโทโพโลยีของเอกพจน์ ในความเป็นจริงใกล้จุดเอกพจน์เส้นโค้งพีชคณิตจริงคือการรวมกันของกิ่งก้านจำนวน จำกัด ที่ตัดกันเฉพาะจุดเอกพจน์และมีลักษณะเป็นจุดยอดหรือเป็นเส้นโค้งเรียบ

ใกล้จุดปกติหนึ่งในพิกัดของเส้นโค้งอาจแสดงเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของพิกัดอื่น นี่คือข้อพิสูจน์ของทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยนัยเชิงวิเคราะห์และหมายความว่าเส้นโค้งนั้นเรียบใกล้กับจุด ใกล้จุดเอกพจน์สถานการณ์มีความซับซ้อนมากขึ้นและเกี่ยวข้องกับซีรีย์ Puiseuxซึ่งให้สมการเชิงพารามิเตอร์เชิงวิเคราะห์ของกิ่งก้าน

สำหรับการอธิบายความเป็นเอกฐานเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การแปลเส้นโค้งสำหรับการมีเอกฐานที่จุดกำเนิด ซึ่งประกอบด้วยการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรของรูปแบบที่พิกัดของจุดเอกพจน์อยู่ที่ไหน ในสิ่งต่อไปนี้จุดเอกพจน์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาควรอยู่ที่จุดเริ่มต้นเสมอ

สมการของเส้นโค้งพีชคณิตเป็นที่เป็นพหุนามxและy ที่ พหุนามนี้อาจถือได้ว่าเป็นพหุนามในปีที่มีค่าสัมประสิทธิ์ในพีชคณิตปิดสนามของชุด Puiseuxในx ดังนั้นfอาจถูกนำมาพิจารณาในปัจจัยของรูปแบบโดยที่Pเป็นอนุกรม Puiseux ปัจจัยเหล่านี้ล้วนแตกต่างกันไปหากfเป็นพหุนามที่ไม่สามารถวัดได้เนื่องจากสิ่งนี้หมายความว่าfเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเป็นคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นอยู่กับเขตของสัมประสิทธิ์

ชุด Puiseux ที่เกิดขึ้นที่นี่มีรูปแบบ

โดยที่dเป็นจำนวนเต็มบวกและเป็นจำนวนเต็มที่ควรจะเป็นบวกเนื่องจากเราพิจารณาเฉพาะกิ่งก้านของเส้นโค้งที่ผ่านจุดกำเนิด หากไม่มีการสูญเสียความเป็นทั่วไปเราอาจสมมติว่าdเป็นcoprime ที่มีตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของnเช่นนั้น(มิฉะนั้นเราสามารถเลือกตัวส่วนร่วมที่เล็กกว่าสำหรับเลขชี้กำลัง)

อนุญาตเป็นดั้งเดิมd TH รากของความสามัคคี ถ้าข้างต้น Puiseux ซีรีส์ที่เกิดขึ้นในตัวประกอบของแล้วdชุด

ยังเกิดขึ้นในการแยกตัวประกอบ (อันเป็นผลมาจากทฤษฎี Galois ) เหล่านี้dชุดจะกล่าวผันและได้รับการพิจารณาเป็นสาขาเดียวของเส้นโค้งของการแตกกิ่งก้านดัชนีd

In the case of a real curve, that is a curve defined by a polynomial with real coefficients, three cases may occur. If none has real coefficients, then one has a non-real branch. If some has real coefficients, then one may choose it as . If d is odd, then every real value of x provides a real value of , and one has a real branch that looks regular, although it is singular if d > 1. If d is even, then and have real values, but only for x ≥ 0. In this case, the real branch looks as a cusp (or is a cusp, depending of the definition of a cusp that is used).

For example, the ordinary cusp has only one branch. If it is defined by the equation then the factorization is the ramification index is 2, and the two factors are real and define each a half branch. If the cusp is rotated, it equation becomes and the factorization is with (the coefficient has not been simplified to j for showing how the above definition of is specialized). Here the ramification index is 3, and only one factor is real; this shows that, in the first case, the two factors must be considered as defining the same branch.

Non-plane algebraic curves[edit]

An algebraic curve is an algebraic variety of dimension one. This implies that an affine curve in an affine space of dimension n is defined by, at least, n−1 polynomials in n variables. To define a curve, these polynomials must generate a prime ideal of Krull dimension 1. This condition is not easy to test in practice. Therefore, the following way to represent non-plane curves may be preferred.

Let be n polynomials in two variables x1 and x2 such that f is irreducible. The points in the affine space of dimension n such whose coordinates satisfy the equations and inequations

are all the points of an algebraic curve in which a finite number of points have been removed. This curve is defined by a system of generators of the ideal of the polynomials h such that it exists an integer k such belongs to the ideal generated by . This representation is a birational equivalence between the curve and the plane curve defined by f. Every algebraic curve may be represented in this way. However, a linear change of variables may be needed in order to make almost always injective the projection on the two first variables. When a change of variables is needed, almost every change is convenient, as soon as it is defined over an infinite field.

This representation allows us to deduce easily any property of a non-plane algebraic curve, including its graphical representation, from the corresponding property of its plane projection.

For a curve defined by its implicit equations, above representation of the curve may easily deduced from a Gröbner basis for a block ordering such that the block of the smaller variables is (x1, x2). The polynomial f is the unique polynomial in the base that depends only of x1 and x2. The fractions gi/g0 are obtained by choosing, for i = 3, ..., n, a polynomial in the basis that is linear in xi and depends only on x1, x2 and xi. If these choices are not possible, this means either that the equations define an algebraic set that is not a variety, or that the variety is not of dimension one, or that one must change of coordinates. The latter case occurs when f exists and is unique, and, for i = 3, ..., n, there exist polynomials whose leading monomial depends only on x1, x2 and xi.

Algebraic function fields[edit]

The study of algebraic curves can be reduced to the study of irreducible algebraic curves: those curves that cannot be written as the union of two smaller curves. Up to birational equivalence, the irreducible curves over a field F are categorically equivalent to algebraic function fields in one variable over F. Such an algebraic function field is a field extension K of F that contains an element x which is transcendental over F, and such that K is a finite algebraic extension of F(x), which is the field of rational functions in the indeterminate x over F.

For example, consider the field C of complex numbers, over which we may define the field C(x) of rational functions in C. Ify2 = x3 − x − 1, then the field C(xy) is an elliptic function field. The element x is not uniquely determined; the field can also be regarded, for instance, as an extension of C(y). The algebraic curve corresponding to the function field is simply the set of points (xy) in C2 satisfying y2 = x3 − x − 1.

If the field F is not algebraically closed, the point of view of function fields is a little more general than that of considering the locus of points, since we include, for instance, "curves" with no points on them. For example, if the base field F is the field R of real numbers, then x2 + y2 = −1 defines an algebraic extension field of R(x), but the corresponding curve considered as a subset of R2 has no points. The equation x2 + y2 = −1 does define an irreducible algebraic curve over R in the scheme sense (an integral, separated one-dimensional schemes of finite type over R). In this sense, the one-to-one correspondence between irreducible algebraic curves over F (up to birational equivalence) and algebraic function fields in one variable over F holds in general.

Two curves can be birationally equivalent (i.e. have isomorphic function fields) without being isomorphic as curves. The situation becomes easier when dealing with nonsingular curves, i.e. those that lack any singularities. Two nonsingular projective curves over a field are isomorphic if and only if their function fields are isomorphic.

Tsen's theorem is about the function field of an algebraic curve over an algebraically closed field.

Complex curves and real surfaces[edit]

A complex projective algebraic curve resides in n-dimensional complex projective space CPn. This has complex dimension n, but topological dimension, as a real manifold, 2n, and is compact, connected, and orientable. An algebraic curve over C likewise has topological dimension two; in other words, it is a surface.

The topological genus of this surface, that is the number of handles or donut holes, is equal to the geometric genus of the algebraic curve that may be computed by algebraic means. In short, if one consider a plane projection of a nonsingular curve that has degree d and only ordinary singularities (singularities of multiplicity two with distinct tangents), then the genus is (d − 1)(d − 2)/2 − k, where k is the number of these singularities.

Compact Riemann surfaces[edit]

A Riemann surface is a connected complex analytic manifold of one complex dimension, which makes it a connected real manifold of two dimensions. It is compact if it is compact as a topological space.

There is a triple equivalence of categories between the category of smooth irreducible projective algebraic curves over C (with non-constant regular maps as morphisms), the category of compact Riemann surfaces (with non-constant holomorphic maps as morphisms), and the opposite of the category of algebraic function fields in one variable over C (with field homomorphisms that fix C as morphisms). This means that in studying these three subjects we are in a sense studying one and the same thing. It allows complex analytic methods to be used in algebraic geometry, and algebraic-geometric methods in complex analysis and field-theoretic methods to be used in both. This is characteristic of a much wider class of problems in algebraic geometry.

See also algebraic geometry and analytic geometry for a more general theory.

Singularities[edit]

Using the intrinsic concept of tangent space, points P on an algebraic curve C are classified as smooth (synonymous: non-singular), or else singular. Given n−1 homogeneous polynomials in n+1 variables, we may find the Jacobian matrix as the (n−1)×(n+1) matrix of the partial derivatives. If the rank of this matrix is n−1, then the polynomials define an algebraic curve (otherwise they define an algebraic variety of higher dimension). If the rank remains n−1 when the Jacobian matrix is evaluated at a point P on the curve, then the point is a smooth or regular point; otherwise it is a singular point. In particular, if the curve is a plane projective algebraic curve, defined by a single homogeneous polynomial equation f(x,y,z) = 0, then the singular points are precisely the points P where the rank of the 1×(n+1) matrix is zero, that is, where

Since f is a polynomial, this definition is purely algebraic and makes no assumption about the nature of the field F, which in particular need not be the real or complex numbers. It should, of course, be recalled that (0,0,0) is not a point of the curve and hence not a singular point.

Similarly, for an affine algebraic curve defined by a single polynomial equation f(x,y) = 0, then the singular points are precisely the points P of the curve where the rank of the 1×n Jacobian matrix is zero, that is, where

The singularities of a curve are not birational invariants. However, locating and classifying the singularities of a curve is one way of computing the genus, which is a birational invariant. For this to work, we should consider the curve projectively and require F to be algebraically closed, so that all the singularities which belong to the curve are considered.

Classification of singularities[edit]

x3 = y2

Singular points include multiple points where the curve crosses over itself, and also various types of cusp, for example that shown by the curve with equation x3 = y2 at (0,0).

A curve C has at most a finite number of singular points. If it has none, it can be called smooth or non-singular. Commonly, this definition is understood over an algebraically closed field and for a curve C in a projective space (i.e., complete in the sense of algebraic geometry). For example, the plane curve of equation is considered as singular, as having a singular point (a cusp) at infinity.

In the remainder of this section, one considers a plane curve C defined as the zero set of a bivariate polynomial f(x, y). Some of the results, but not all, may be generalized to non-plane curves.

The singular points are classified by means of several invariants. The multiplicity m is defined as the maximum integer such that the derivatives of f to all orders up to m – 1 vanish (also the minimal intersection number between the curve and a straight line at P). Intuitively, a singular point has delta invariant δ if it concentrates δ ordinary double points at P. To make this precise, the blow up process produces so-called infinitely near points, and summing m(m−1)/2 over the infinitely near points, where m is their multiplicity, produces δ. For an irreducible and reduced curve and a point P we can define δ algebraically as the length of where is the local ring at P and is its integral closure.[1]

The Milnor number μ of a singularity is the degree of the mapping grad f(x,y)/|grad f(x,y)| on the small sphere of radius ε, in the sense of the topological degree of a continuous mapping, where grad f is the (complex) gradient vector field of f. It is related to δ and r by the Milnor–Jung formula,

μ = 2δ − r + 1.

Here, the branching number r of P is the number of locally irreducible branches at P. For example, r = 1 at an ordinary cusp, and r = 2 at an ordinary double point. The multiplicity m is at least r, and that P is singular if and only if m is at least 2. Moreover, δ is at least m(m-1)/2.

Computing the delta invariants of all of the singularities allows the genus g of the curve to be determined; if d is the degree, then

where the sum is taken over all singular points P of the complex projective plane curve. It is called the genus formula.

Assign the invariants [m, δ, r] to a singularity, where m is the multiplicity, δ is the delta-invariant, and r is the branching number. Then an ordinary cusp is a point with invariants [2,1,1] and an ordinary double point is a point with invariants [2,1,2], and an ordinary m-multiple point is a point with invariants [m, m(m−1)/2, m].

Examples of curves[edit]

Rational curves[edit]

A rational curve, also called a unicursal curve, is any curve which is birationally equivalent to a line, which we may take to be a projective line; accordingly, we may identify the function field of the curve with the field of rational functions in one indeterminate F(x). If F is algebraically closed, this is equivalent to a curve of genus zero; however, the field of all real algebraic functions defined on the real algebraic variety x2+y2 = −1 is a field of genus zero which is not a rational function field.

Concretely, a rational curve embedded in an affine space of dimension n over F can be parameterized (except for isolated exceptional points) by means of n rational functions of a single parameter t; by reducing these rational functions to the same denominator, the n+1 resulting polynomials define a polynomial parametrization of the projective completion of the curve in the projective space. An example is the rational normal curve, where all these polynomials are monomials.

Any conic section defined over F with a rational point in F is a rational curve. It can be parameterized by drawing a line with slope t through the rational point, and an intersection with the plane quadratic curve; this gives a polynomial with F-rational coefficients and one F-rational root, hence the other root is F-rational (i.e., belongs to F) also.

x2 + xy + y2 = 1

For example, consider the ellipse x2 + xy + y2 = 1, where (−1, 0) is a rational point. Drawing a line with slope t from (−1,0), y = t(x+1), substituting it in the equation of the ellipse, factoring, and solving for x, we obtain

Then the equation for y is

which defines a rational parameterization of the ellipse and hence shows the ellipse is a rational curve. All points of the ellipse are given, except for (−1,1), which corresponds to t = ∞; the entire curve is parameterized therefore by the real projective line.

Such a rational parameterization may be considered in the projective space by equating the first projective coordinates to the numerators of the parameterization and the last one to the common denominator. As the parameter is defined in a projective line, the polynomials in the parameter should be homogenized. For example, the projective parameterization of the above ellipse is

Eliminating T and U between these equations we get again the projective equation of the ellipse

which may be easily obtained directly by homogenizing the above equation.

Many of the curves on Wikipedia's list of curves are rational and hence have similar rational parameterizations.

Rational plane curves[edit]

Rational plane curves are rational curves embedded into . Given generic sections of degree homogeneous polynomials in two coordinates, , there is a map

given by

defining a rational plane curve of degree .[2] There is an associated moduli space (where is the hyperplane class) parametrizing all such stable curves. A dimension count can be made to determine the moduli spaces dimension: There are parameters in giving parameters total for each of the sections. Then, since they are considered up to a projective quotient in there is less parameter in . Furthermore, there is a three dimensional group of automorphisms of , hence has dimension . This moduli space can be used to count the number of degree rational plane curves intersecting points using Gromov–Witten theory.[3] It is given by the recursive relation

where .

Elliptic curves[edit]

An elliptic curve may be defined as any curve of genus one with a rational point: a common model is a nonsingular cubic curve, which suffices to model any genus one curve. In this model the distinguished point is commonly taken to be an inflection point at infinity; this amounts to requiring that the curve can be written in Tate-Weierstrass form, which in its projective version is

If the characteristic of the field is different from 2 and 3, then a linear change of coordinates allows putting which gives the classical Weierstrass form

Elliptic curves carry the structure of an abelian group with the distinguished point as the identity of the group law. In a plane cubic model three points sum to zero in the group if and only if they are collinear. For an elliptic curve defined over the complex numbers the group is isomorphic to the additive group of the complex plane modulo the period lattice of the corresponding elliptic functions.

The intersection of two quadric surfaces is, in general, a nonsingular curve of genus one and degree four, and thus an elliptic curve, if it has a rational point. In special cases, the intersection either may be a rational singular quartic or is decomposed in curves of smaller degrees which are not always distinct (either a cubic curve and a line, or two conics, or a conic and two lines, or four lines).

Curves of genus greater than one[edit]

Curves of genus greater than one differ markedly from both rational and elliptic curves. Such curves defined over the rational numbers, by Faltings's theorem, can have only a finite number of rational points, and they may be viewed as having a hyperbolic geometry structure. Examples are the hyperelliptic curves, the Klein quartic curve, and the Fermat curve xn + yn = zn when n is greater than three. Also projective plane curves in and curves in provide many useful examples.

Projective plane curves[edit]

Plane curves of degree , which can be constructed as the vanishing locus of a generic section , has genus

which can be computed using Coherent sheaf cohomology. Here's a brief summary of the curves genera relative to their degree

For example, the curve defines a curve of genus which is smooth since the differentials have no common zeros with the curve.. A non-example of a generic section is the curve which, by Bezouts theorem, should intersect at most points, is the union of two rational curves intersecting at two points. Note is given by the vanishing locus of and is given by the vanishing locus of . These can be found explicitly: a point lies in both if . So the two solutions are the points such that , which are and .

Curves in product of projective lines[edit]

Curve given by the vanishing locus of , for , give curves of genus

which can be checked using Coherent sheaf cohomology. If , then they define curves of genus , hence a curve of any genus can be constructed as a curve in . Their genera can be summarized in the table

and for , this is

See also[edit]

Classical algebraic geometry[edit]

  • Acnode
  • Bézout's theorem
  • Cramer's theorem (algebraic curves)
  • Crunode
  • Curve
  • Curve sketching
  • Jacobian variety
  • Klein quartic
  • List of curves
  • Hilbert's sixteenth problem
  • Cubic plane curve
  • Hyperelliptic curve

Modern algebraic geometry[edit]

  • Birational geometry
  • Conic section
  • Elliptic curve
  • Fractional ideal
  • Function field of an algebraic variety
  • Function field (scheme theory)
  • Genus (mathematics)
  • Polynomial lemniscate
  • Quartic plane curve
  • Rational normal curve
  • Riemann–Roch theorem for algebraic curves
  • Weber's theorem

Geometry of Riemann surfaces[edit]

  • Riemann–Hurwitz formula
  • Riemann–Roch theorem for Riemann surfaces
  • Riemann surface

Notes[edit]

  1. ^ Hartshorne, Algebraic Geometry, IV Ex. 1.8.
  2. ^ Kazaryan, Maxim E.; Lando, Sergei K.; Prasolov, Victor (2018). Algebraic Curves: Towards Moduli Spaces. Moscow Lectures. Springer International Publishing. pp. 213–214. ISBN 978-3-030-02942-5.
  3. ^ "Kontsevich's Formula for Rational Plane Curves" (PDF). Archived (PDF) from the original on 26 February 2020.

References[edit]

  • Brieskorn, Egbert; Knörrer, Horst (2013). Plane Algebraic Curves. Translated by Stillwell, John. Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-5097-1.
  • Chevalley, Claude (1951). Introduction to the Theory of Algebraic Functions of One Variable. Mathematical surveys. 6. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1506-9.
  • Coolidge, Julian L. (2004) [1931]. A Treatise on Algebraic Plane Curves. Dover. ISBN 978-0-486-49576-7. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Farkas, H. M.; Kra, I. (2012) [1980]. Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics. 71. Springer. ISBN 978-1-4684-9930-8. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Fulton, William (1989). Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry. Mathematics lecture note series. 30 (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-51010-2.
  • Gibson, C.G. (1998). Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64641-3.
  • Griffiths, Phillip A. (1985). Introduction to Algebraic Curves. Translation of Mathematical Monographs. 70 (3rd ed.). American Mathematical Society. ISBN 9780821845370.
  • Hartshorne, Robin (2013) [1977]. Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics. 52. Springer. ISBN 978-1-4757-3849-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Iitaka, Shigeru (2011) [1982]. Algebraic Geometry: An Introduction to Birational Geometry of Algebraic Varieties. Graduate Texts in Mathematics. 76. Springer New York. ISBN 978-1-4613-8121-1. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Milnor, John (1968). Singular Points of Complex Hypersurfaces. Princeton University Press. ISBN 0-691-08065-8.
  • Serre, Jean-Pierre (2012) [1988]. Algebraic Groups and Class Fields. Graduate Texts in Mathematics. 117. Springer. ISBN 978-1-4612-1035-1. CS1 maint: discouraged parameter (link)
  • Kötter, Ernst (1887). "Grundzüge einer rein geometrischen Theorie der algebraischen ebenen Curven" [Fundamentals of a purely geometrical theory of algebraic plane curves]. Transactions of the Royal Academy of Berlin. — gained the 1886 Academy prize[1]
  1. ^ Norman Fraser (Feb 1888). "Kötter's synthetic geometry of algebraic curves". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 7: 46–61, See p. 46.