พีชคณิต

พีชคณิต (จากภาษาอาหรับ : الجبر , romanized : อัล jabr , สว่าง 'ชุมนุมของชิ้นส่วนที่หัก^[1] bonesetting ^[2] ) เป็นหนึ่งในพื้นที่ที่กว้างของคณิตศาสตร์ร่วมกับทฤษฎีจำนวน , รูปทรงเรขาคณิตและการวิเคราะห์ ในรูปแบบทั่วไปพีชคณิตคือการศึกษาสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์และกฎสำหรับการจัดการกับสัญลักษณ์เหล่านี้ ^[3]มันเป็นเธรดที่รวมกันของคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมด ^[4]มันรวมทุกอย่างจากการแก้สมการประถมศึกษาเพื่อการศึกษาของนามธรรมเช่นกลุ่ม , แหวน , และสาขา ส่วนพื้นฐานของพีชคณิตจะเรียกว่าพีชคณิตประถม ; ส่วนที่เป็นนามธรรมมากขึ้นเรียกว่าพีชคณิตนามธรรมหรือพีชคณิตสมัยใหม่ พีชคณิตระดับประถมศึกษาโดยทั่วไปถือว่ามีความจำเป็นสำหรับการศึกษาคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์หรือวิศวกรรมศาสตร์ตลอดจนการประยุกต์ใช้เช่นการแพทย์และเศรษฐศาสตร์ พีชคณิตนามธรรมเป็นสาขาวิชาสำคัญในคณิตศาสตร์ขั้นสูงซึ่งศึกษาโดยนักคณิตศาสตร์มืออาชีพเป็นหลัก

สมสูตรเป็นการแสดงออกถึงการแก้ปัญหาของสมการ

ขวาน 2 + BX + C = 0

ที่ ไม่เป็นศูนย์ในแง่ของค่าสัมประสิทธิ์ของ

,

ข

และ ค

พีชคณิตเบื้องต้นแตกต่างจากเลขคณิตในการใช้นามธรรมเช่นการใช้ตัวอักษรเพื่อแทนตัวเลขที่ไม่ทราบสาเหตุหรือได้รับอนุญาตให้รับค่าต่างๆ ^[5]ตัวอย่างเช่นใน ${\ displaystyle x + 2 = 5}$ จดหมาย ${\ displaystyle x}$ เป็นสิ่งที่ไม่รู้จัก แต่การใช้การผกผันเพิ่มเติมสามารถเปิดเผยมูลค่าของมันได้: ${\ displaystyle x = 3}$ . ใน $E = mc 2$ ตัวอักษร ${\ displaystyle E}$ และ ${\ displaystyle m}$ คือตัวแปรและตัวอักษร ${\ displaystyle c}$ เป็นค่าคงที่ความเร็วของแสงในสุญญากาศ พีชคณิตให้วิธีการเขียนสูตรและการแก้สมการที่ชัดเจนและง่ายกว่าวิธีเก่าในการเขียนทุกอย่างออกมาเป็นคำพูด

คำว่าพีชคณิตยังใช้ในรูปแบบเฉพาะบางอย่าง ชนิดพิเศษของวัตถุทางคณิตศาสตร์ในพีชคณิตนามธรรมที่เรียกว่า "พีชคณิต" และคำที่ใช้สำหรับตัวอย่างเช่นในวลีเชิงเส้นพีชคณิตและtopology เกี่ยวกับพีชคณิต

นักคณิตศาสตร์ที่ไม่วิจัยในพีชคณิตเรียกว่าalgebraist

นิรุกติศาสตร์

คำ พีชคณิตมาจากชื่อของหนังสือโดย มูฮัมหมัดมูซาอัล Khwarizmi ^[6]

คำว่าพีชคณิตมาจากภาษาอาหรับ : الجبر , romanized : al-jabr , lit 'การชุมนุมของชิ้นส่วนที่หัก^[1] bonesetting ^[7]จากชื่อของหนังสือเล่มต้นศตวรรษที่ 9 ค Ilm อัลวา jabr L-muqabala "ศาสตร์แห่งการกู้คืนและสมดุล" โดยเปอร์เซียนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์อัล Khwarizmi ในงานของเขาคำว่าal-jabrหมายถึงการดำเนินการย้ายคำจากด้านหนึ่งของสมการไปอีกด้านหนึ่งالمقابلة al-muqābala "สมดุล" ที่อ้างถึงการเพิ่มเงื่อนไขที่เท่าเทียมกันให้กับทั้งสองฝ่าย ลงไปเพียงalgeberหรือพีชคณิตในละตินคำว่าในที่สุดก็เดินเข้ามาในภาษาอังกฤษในช่วงศตวรรษที่สิบห้าจากทั้งสเปน, อิตาลี, หรือยุคโบราณ แต่เดิมหมายถึงขั้นตอนการผ่าตัดเพื่อกำหนดกระดูกที่หักหรือเคลื่อน ความหมายทางคณิตศาสตร์ได้รับการบันทึกครั้งแรก (เป็นภาษาอังกฤษ) ในศตวรรษที่สิบหก ^[8]

ความหมายที่แตกต่างกันของ "พีชคณิต"

คำว่า "พีชคณิต" มีความหมายที่เกี่ยวข้องหลายประการในทางคณิตศาสตร์เป็นคำเดียวหรือมีคุณสมบัติ

ในฐานะที่เป็นคำเดียวที่ไม่มีบทความ "พีชคณิต" จึงตั้งชื่อส่วนกว้าง ๆ ของคณิตศาสตร์
ในฐานะที่เป็นคำเดียวที่มีบทความหรือในพหูพจน์ "พีชคณิต" หรือ "พีชคณิต" หมายถึงโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่เฉพาะเจาะจงซึ่งคำจำกัดความที่แม่นยำขึ้นอยู่กับบริบท โดยปกติโครงสร้างจะมีการบวกการคูณและการคูณสเกลาร์ (ดูพีชคณิตบนฟิลด์ ) เมื่อผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "พีชคณิต" พวกเขาจะสร้างส่วนย่อยของสมมติฐานเพิ่มเติมดังต่อไปนี้: การเชื่อมโยง , การสับเปลี่ยน , เอกภาพและ / หรือมิติ จำกัด ในพีชคณิตสากลคำว่า "พีชคณิต" หมายถึงลักษณะทั่วไปของแนวคิดข้างต้นซึ่งช่วยให้สามารถดำเนินการแบบ n-aryได้
ด้วยคุณสมบัติมีความแตกต่างเหมือนกัน:
- โดยไม่ต้องบทความก็หมายความว่าส่วนหนึ่งของพีชคณิตเช่นพีชคณิตเชิงเส้น , พีชคณิตประถมศึกษา (สัญลักษณ์การจัดการกฎการสอนในหลักสูตรประถมศึกษาของคณิตศาสตร์เป็นส่วนหนึ่งของหลักและการศึกษาระดับมัธยมศึกษา ) หรือพีชคณิตนามธรรม (การศึกษาโครงสร้างพีชคณิตสำหรับ ตัวเอง)
- ด้วยบทความก็หมายความว่าตัวอย่างของโครงสร้างนามธรรมบางอย่างเช่นพีชคณิตเป็นสมาคมพีชคณิตหรือพีชคณิตประกอบการจุดสุดยอด
- บางครั้งความหมายทั้งที่มีอยู่สำหรับรอบคัดเลือกเช่นเดียวกับในประโยค: พีชคณิต Commutativeคือการศึกษาของแหวนสับเปลี่ยนซึ่งเป็นจีบสับเปลี่ยนกว่าจำนวนเต็ม

พีชคณิตเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์

พีชคณิตเริ่มต้นด้วยการคำนวณที่คล้ายกับคณิตศาสตร์โดยมีตัวอักษรเป็นตัวเลข ^[5]สิ่งนี้อนุญาตให้มีการพิสูจน์คุณสมบัติที่เป็นจริงไม่ว่าตัวเลขใดจะเกี่ยวข้องก็ตาม ตัวอย่างเช่นในสมการกำลังสอง

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}

${\ displaystyle a, b, c}$ สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ (ยกเว้นสิ่งนั้น ${\ displaystyle a}$ ไม่สามารถ ${\ displaystyle 0}$ ) และสูตรกำลังสองสามารถใช้เพื่อค้นหาค่าของปริมาณที่ไม่รู้จักได้อย่างรวดเร็วและง่ายดาย ${\ displaystyle x}$ ซึ่งเป็นไปตามสมการ กล่าวคือเพื่อหาคำตอบทั้งหมดของสมการ

ในอดีตและในการสอนปัจจุบันการศึกษาพีชคณิตเริ่มต้นด้วยการแก้สมการเช่นสมการกำลังสองข้างต้น จากนั้นคำถามทั่วไปอื่น ๆ เช่น "สมการมีคำตอบหรือไม่" "สมการมีคำตอบกี่ข้อ" "สามารถพูดอะไรเกี่ยวกับลักษณะของคำตอบได้" ได้รับการพิจารณา คำถามเหล่านี้นำพีชคณิตขยายไปยังวัตถุที่ไม่ใช่ตัวเลขเช่นพีชคณิต , เวกเตอร์ , การฝึกอบรมและมีหลายชื่อ คุณสมบัติของโครงสร้างของวัตถุเหล่านี้ไม่ใช่ตัวเลขที่ถูกแยกออกแล้วเป็นโครงสร้างพีชคณิตเช่นกลุ่ม , แหวน , และสาขา

ก่อนศตวรรษที่ 16, คณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นเพียงสองฟิลด์, เลขคณิตและเรขาคณิต แม้ว่าวิธีการบางอย่างซึ่งได้รับการพัฒนามาก่อนหน้านี้อาจถือได้ว่าเป็นพีชคณิตการเกิดขึ้นของพีชคณิตและหลังจากนั้นไม่นานแคลคูลัสที่มีจำนวนน้อยที่สุดซึ่งเป็นเขตข้อมูลย่อยของคณิตศาสตร์ในช่วงศตวรรษที่ 16 หรือ 17 เท่านั้น ตั้งแต่ครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมามีสาขาคณิตศาสตร์ใหม่ ๆ ปรากฏขึ้นซึ่งส่วนใหญ่ใช้ทั้งเลขคณิตและเรขาคณิตและเกือบทั้งหมดใช้พีชคณิต

วันนี้พีชคณิตได้เติบโตขึ้นจนมีหลายสาขาของคณิตศาสตร์ที่สามารถมองเห็นได้ในเรื่องคณิตศาสตร์การจำแนกประเภท^[9]ที่ไม่มีผู้ใดในพื้นที่ระดับแรก (สองรายการหลัก) เรียกว่าพีชคณิต วันนี้พีชคณิตรวมถึงส่วน 08 ทั่วไประบบพีชคณิต 12 ทฤษฎีสนามและพหุนาม , 13- พีชคณิต Commutative , 15- เชิงเส้นและพีชคณิต multilinear ; ทฤษฎีเมทริกซ์ 16- วงแหวนเชื่อมโยงและ algebras , 17- แหวนที่ไม่สัมพันธ์กันและalgebras , 18- ทฤษฎีหมวดหมู่ ; พีชคณิต homological , 19- K- ทฤษฎีและ 20 ทฤษฎีกลุ่ม พีชคณิตยังถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางใน 11- ทฤษฎีจำนวนและ 14- พีชคณิตเรขาคณิต

ประวัติศาสตร์

ประวัติความเป็นมาของพีชคณิตในช่วงต้น

หน้าจาก Al-Khwārizmīของ al-Kitāb al-muḫtaṣarfīḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala

รากของพีชคณิตสามารถโยงไปถึงสมัยโบราณชาวบาบิโลน , ^[10]ผู้พัฒนาระบบคณิตศาสตร์ขั้นสูงกับที่พวกเขาก็สามารถที่จะทำการคำนวณในอัลกอริทึมแฟชั่น บาบิโลเนียพัฒนาสูตรเพื่อแก้ปัญหาการคำนวณสำหรับการแก้ปัญหาโดยทั่วไปแล้วในวันนี้โดยใช้สมการเชิงเส้น , สมการกำลังสองและไม่แน่นอนสมการเชิงเส้น โดยคมชัดมากที่สุดชาวอียิปต์ในยุคนี้เช่นเดียวกับกรีกและคณิตศาสตร์ภาษาจีนใน 1 พันปีก่อนคริสต์ศักราชมักจะแก้สมดังกล่าวโดยวิธีการทางเรขาคณิตเช่นที่ระบุไว้ในนด์คำนวณกก , Euclid 's องค์ประกอบและบทที่เก้าในคณิตศาสตร์ ศิลปะ . การทำงานทางเรขาคณิตของชาวกรีกตรึงตราในองค์ประกอบให้กรอบการทำงานสำหรับ generalizing สูตรเกินกว่าการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งในระบบทั่วไปมากขึ้นของการระบุและการแก้สมการนี้ แต่จะไม่ได้ตระหนักจนกว่าคณิตศาสตร์การพัฒนาในยุคกลางอิสลาม ^[11]

เมื่อถึงเวลาของเพลโตคณิตศาสตร์ของกรีกได้รับการเปลี่ยนแปลงอย่างรุนแรง ชาวกรีกได้สร้างพีชคณิตเรขาคณิตโดยที่คำต่างๆแสดงด้วยด้านของวัตถุทางเรขาคณิตโดยปกติจะเป็นเส้นที่มีตัวอักษรเกี่ยวข้อง ^[5] Diophantus (ศตวรรษที่ 3 AD) เป็นกระทิงนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกและผู้เขียนหนังสือชุดที่เรียกว่าArithmetica ข้อความเหล่านี้จัดการกับการแก้สมการพีชคณิต , ^[12]และได้นำในทฤษฎีจำนวนเพื่อความคิดที่ทันสมัยของสม Diophantine

ประเพณีก่อนหน้านี้ที่กล่าวถึงข้างต้นมีอิทธิพลโดยตรงต่อนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียMuḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (ค.ศ. 780–850) หลังจากนั้นเขาก็เขียนCompendious หนังสือในการคำนวณโดยเสร็จสมบูรณ์และสมดุลซึ่งเป็นที่ยอมรับพีชคณิตเป็นวินัยทางคณิตศาสตร์ที่เป็นอิสระจากรูปทรงเรขาคณิตและคณิตศาสตร์ ^[13]

ขนมผสมน้ำยานักคณิตศาสตร์ฮีโร่ซานเดรียและ Diophantus ^[14]เช่นเดียวกับนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียเช่นBrahmaguptaยังคงประเพณีของอียิปต์และบาบิโลนแม้ว่า Diophantus' Arithmeticaและ Brahmagupta ของBrāhmasphuṭasiddhāntaอยู่ในระดับที่สูงขึ้น ^[15]^{[ ต้องการแหล่งข้อมูลที่ดีกว่า ]}ตัวอย่างเช่นวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์แบบแรกที่เขียนด้วยคำแทนสัญลักษณ์^[16]รวมทั้งวิธีแก้ปัญหาศูนย์และลบสำหรับสมการกำลังสองได้อธิบายไว้โดยพรหมาคุปตะในหนังสือของเขาพรหมชาติภูษิตถารซึ่งตีพิมพ์ในคริสตศักราช 628 ^[17]ต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียและอาหรับได้พัฒนาวิธีการทางพีชคณิตให้มีความซับซ้อนมากขึ้น แม้ว่า Diophantus และชาวบาบิโลเนียนส่วนใหญ่จะใช้วิธีเฉพาะกิจพิเศษในการแก้สมการ แต่การมีส่วนร่วมของ Al-Khwarizmi ก็เป็นพื้นฐาน เขาแก้สมการเชิงเส้นและกำลังสองโดยไม่มีสัญลักษณ์พีชคณิตจำนวนลบหรือศูนย์ดังนั้นเขาจึงต้องแยกแยะสมการหลายประเภท ^[18]

ในบริบทที่ระบุพีชคณิตด้วยทฤษฎีสมการนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก Diophantus ได้รับการขนานนามว่าเป็น "บิดาแห่งพีชคณิต" และในบริบทที่ระบุด้วยกฎสำหรับการจัดการและแก้สมการ al-Khwarizmi นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียคือ ได้รับการยกย่องว่าเป็น "บิดาแห่งพีชคณิต" ^[19]^[20]^[21]^[22]^[23]^[24]^[25]ขณะนี้มีการถกเถียงกันว่าใคร (ในความหมายทั่วไป) มีสิทธิได้รับการขนานนามว่าเป็น "บิดาแห่งพีชคณิต" มากกว่ากัน ผู้ที่สนับสนุน Diophantus ชี้ไปที่ข้อเท็จจริงที่ว่าพีชคณิตที่พบในAl-Jabrนั้นมีระดับประถมศึกษามากกว่าพีชคณิตที่พบในArithmeticaเล็กน้อยและArithmeticaนั้นซิงค์กันในขณะที่Al-Jabrมีวาทศิลป์อย่างสมบูรณ์ ^[26]ผู้ที่สนับสนุน Al-Khwarizmi ชี้ให้เห็นว่าเขาแนะนำวิธีการ " ลด " และ "สมดุล" (การย้ายคำที่ลบไปยังอีกด้านหนึ่งของสมการนั่นคือการยกเลิกคำที่เหมือนกันในทางตรงกันข้าม ด้านข้างของสมการ) ซึ่งคำว่าal-jabrแต่เดิมอ้างถึง^[27]และเขาได้ให้คำอธิบายอย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับการแก้สมการกำลังสอง^[28]โดยได้รับการสนับสนุนจากการพิสูจน์ทางเรขาคณิตในขณะที่ถือว่าพีชคณิตเป็นระเบียบวินัยที่เป็นอิสระในสิทธิของมันเอง ^[23]พีชคณิตของเขาก็ไม่ได้กังวลอีกต่อไป "ด้วยชุดของปัญหาที่ต้องแก้ไข แต่การจัดนิทรรศการที่เริ่มต้นด้วยคำดั้งเดิมซึ่งการรวมกันจะต้องให้ต้นแบบที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการซึ่งจากนั้นจึงถือเป็นเป้าหมายที่แท้จริงของการศึกษาอย่างชัดเจน" . นอกจากนี้เขายังศึกษาสมการเพื่อประโยชน์ของมันเองและ "ในลักษณะทั่วไปตราบเท่าที่มันไม่ได้เกิดขึ้นในระหว่างการแก้ปัญหาเพียงอย่างเดียว แต่ได้รับการเรียกร้องโดยเฉพาะเพื่อกำหนดระดับของปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุด" ^[29]

อีกเปอร์เซียคณิตศาสตร์โอมาร์คัยยามจะให้เครดิตกับการระบุฐานรากของพีชคณิตเรขาคณิตและพบว่าวิธีการแก้ปัญหาทางเรขาคณิตทั่วไปของสมลูกบาศก์ หนังสือของเขาTreatise on Demonstrations of Problems of Algebra (1070) ซึ่งวางหลักการของพีชคณิตเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์เปอร์เซียซึ่งในที่สุดก็ถูกถ่ายทอดไปยังยุโรป ^[30]นักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียอีกคนหนึ่งคือSharaf al-Dīn al-Tūsīพบวิธีแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิตและตัวเลขสำหรับกรณีต่างๆของสมการลูกบาศก์ ^[31]นอกจากนี้เขายังได้รับการพัฒนาแนวคิดของการที่ฟังก์ชั่น ^[32]นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียMahaviraและBhaskara II , เปอร์เซียคณิตศาสตร์อัลคาราจี , ^[33]และจีนคณิตศาสตร์จู้ Shijieแก้กรณีต่างๆของลูกบาศก์quartic , quinticและสูงกว่าการสั่งซื้อพหุนามสมการโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลข ในศตวรรษที่ 13 การแก้สมการลูกบาศก์โดยFibonacciเป็นตัวแทนของจุดเริ่มต้นของการฟื้นฟูพีชคณิตยุโรป Abū al-Ḥasan ibnʿAlī al-Qalaṣādī (1412–1486) ได้ใช้ "ขั้นตอนแรกสู่การนำสัญลักษณ์เกี่ยวกับพีชคณิต" นอกจากนี้เขายังคำนวณ ∑ n ² , ∑ n ³และใช้วิธีการประมาณต่อเนื่องเพื่อหารากที่สอง ^[34]

ประวัติศาสตร์สมัยใหม่ของพีชคณิต

นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาเลียน จิโรลาโมคาตีพิมพ์ทางออกที่จะแก้ ลูกบาศก์และ สม quarticในหนังสือของเขาที่ 1545 Ars Magna

ผลงานของFrançoisVièteเกี่ยวกับพีชคณิตใหม่ในช่วงใกล้ศตวรรษที่ 16 เป็นก้าวสำคัญสู่พีชคณิตสมัยใหม่ ในปี 1637 René Descartes ได้ตีพิมพ์La Géométrieโดยประดิษฐ์รูปทรงเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์และนำเสนอสัญกรณ์เกี่ยวกับพีชคณิตสมัยใหม่ เหตุการณ์สำคัญอีกอย่างหนึ่งในการพัฒนาพีชคณิตเพิ่มเติมคือการแก้ปัญหาพีชคณิตทั่วไปของสมการลูกบาศก์และควอร์ติกซึ่งพัฒนาขึ้นในกลางศตวรรษที่ 16 ความคิดของการให้ปัจจัยที่ได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น เซกิ Kowaในศตวรรษที่ 17 ตามอิสระโดยGottfried Leibnizสิบปีต่อมาเพื่อวัตถุประสงค์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นพร้อมกันโดยใช้เมทริกซ์ Gabriel Cramerยังทำงานเกี่ยวกับเมทริกซ์และดีเทอร์มิแนนต์ในศตวรรษที่ 18 พีชคณิตได้รับการศึกษาโดยโจเซฟหลุยส์ Lagrangeใน 1,770 กระดาษ "ของเขาRéflexions sur la ละเอียดalgébrique des สม"ที่ทุ่มเทให้กับการแก้ปัญหาของสมการพีชคณิตซึ่งเขาแนะนำresolvents Lagrange Paolo Ruffiniเป็นบุคคลแรกที่พัฒนาทฤษฎีกลุ่มการเปลี่ยนแปลงและเช่นเดียวกับรุ่นก่อน ๆ ของเขาในบริบทของการแก้สมการพีชคณิต

พีชคณิตนามธรรมได้รับการพัฒนาในศตวรรษที่ 19 โดยมีที่มาจากความสนใจในการแก้สมการโดยเริ่มแรกมุ่งเน้นไปที่สิ่งที่เรียกว่าทฤษฎี Galois ในตอนนี้และประเด็นความสามารถในการสร้าง ^[35] George Peacockเป็นผู้ก่อตั้งความคิดเชิงสัจพจน์ในวิชาเลขคณิตและพีชคณิต ออกัสตัสเดอมอร์แกนค้นพบพีชคณิตสัมพันธ์ในหลักสูตรของระบบตรรกะที่เสนอ Josiah Willard Gibbs ได้พัฒนาพีชคณิตของเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติและArthur Cayley ได้พัฒนาพีชคณิตของเมทริกซ์ (นี่คือพีชคณิตที่ไม่ใช่เชิงคำนวณ) ^[36]

สาขาคณิตศาสตร์ที่มีคำว่าพีชคณิตอยู่ในชื่อ

บางพื้นที่ของคณิตศาสตร์ที่อยู่ภายใต้การจำแนกประเภทพีชคณิตนามธรรมมีคำว่าพีชคณิตอยู่ในชื่อ พีชคณิตเชิงเส้นเป็นตัวอย่างหนึ่ง ที่คนอื่นทำไม่ได้: ทฤษฎีกลุ่ม , แหวนทฤษฎีและทฤษฎีสนามเป็นตัวอย่าง ในส่วนนี้เราจะแสดงรายการคณิตศาสตร์บางส่วนที่มีคำว่า "พีชคณิต" อยู่ในชื่อ

พีชคณิตระดับประถมศึกษาเป็นส่วนหนึ่งของพีชคณิตที่มักจะสอนในรายวิชาคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษา
พีชคณิตนามธรรมซึ่งในโครงสร้างพีชคณิตเช่นกลุ่ม , แหวนและสาขาที่จะaxiomaticallyกำหนดและการตรวจสอบ
พีชคณิตเชิงเส้นซึ่งในคุณสมบัติเฉพาะของสมการเชิงเส้น , ช่องว่างเวกเตอร์และการฝึกอบรมมีการศึกษา
พีชคณิตแบบบูลสาขาของพีชคณิตสรุปการคำนวณที่มีความจริงค่า เท็จและความจริง
พีชคณิตสับเปลี่ยนการศึกษาของแหวนสับเปลี่ยน
พีชคณิตคอมพิวเตอร์ , ดำเนินการตามวิธีพีชคณิตเป็นอัลกอริทึมและโปรแกรมคอมพิวเตอร์
พีชคณิต homologicalการศึกษาโครงสร้างพีชคณิตที่มีพื้นฐานในการศึกษาช่องว่าง topological
พีชคณิตสากลซึ่งมีการศึกษาคุณสมบัติทั่วไปของโครงสร้างพีชคณิตทั้งหมด
ทฤษฎีจำนวนพีชคณิตซึ่งศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขจากมุมมองเกี่ยวกับพีชคณิต
เรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตในรูปแบบดั้งเดิมที่ระบุเส้นโค้งและพื้นผิวเป็นคำตอบของสมการพหุนาม
พีชคณิตคอมบิเนเตอร์ซึ่งใช้วิธีการทางพีชคณิตเพื่อศึกษาคำถามเชิงผสม
พีชคณิตเชิงสัมพันธ์ : ชุดของความสัมพันธ์ทางการเงินที่ปิดภายใต้ตัวดำเนินการบางอย่าง

โครงสร้างทางคณิตศาสตร์หลายอย่างเรียกว่าalgebras :

พีชคณิตกว่าฟิลด์หรือทั่วไปมากขึ้นพีชคณิตมากกว่าแหวน
algebras หลายคลาสบนสนามหรือบนวงแหวนมีชื่อเฉพาะ:
- พีชคณิตเชื่อมโยง
- พีชคณิตที่ไม่เชื่อมโยง
- พีชคณิตโกหก
- พีชคณิต Hopf
- C * - พีชคณิต
- พีชคณิตสมมาตร
- พีชคณิตภายนอก
- พีชคณิตเทนเซอร์
ในทฤษฎีการวัด ,
- ซิกม่า - พีชคณิต
- พีชคณิตมากกว่าหนึ่งชุด
ในทฤษฎีหมวดหมู่
- F-algebraและF-Coalgebra
- T- พีชคณิต
ในตรรกะ ,
- พีชคณิตเชิงสัมพันธ์พีชคณิตบูลีนที่ตกค้างขยายตัวด้วยการวิงวอนที่เรียกว่าการสนทนา
- พีชคณิตบูลีนที่ครบครัน จำหน่ายตาข่าย
- พีชคณิตเฮ้

พีชคณิตเบื้องต้น

สัญกรณ์นิพจน์พีชคณิต:
1 - กำลัง (เลขชี้กำลัง)
2 - สัมประสิทธิ์
3 - เทอม
4 - ตัวดำเนินการ
5 - ระยะคงที่
x y c - ตัวแปร / ค่าคงที่

พีชคณิตเบื้องต้นเป็นรูปแบบพื้นฐานที่สุดของพีชคณิต มันสอนให้กับนักเรียนที่มีความเชื่อว่าจะมีความรู้ไม่มีคณิตศาสตร์เกินหลักการพื้นฐานของคณิตศาสตร์ ในทางคณิตศาสตร์จะมีเพียงตัวเลขและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เท่านั้น (เช่น +, -, ×, ÷) เท่านั้นที่เกิดขึ้น ในพีชคณิตตัวเลขมักแสดงด้วยสัญลักษณ์ที่เรียกว่าตัวแปร (เช่นa , n , x , yหรือz ) สิ่งนี้มีประโยชน์เนื่องจาก:

จะช่วยให้สูตรทั่วไปของกฎหมายเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ (เช่น+ B = B + สำหรับทุกและข ) และจึงเป็นขั้นตอนแรกในการสำรวจระบบของคุณสมบัติของระบบจำนวนจริง
ช่วยให้สามารถอ้างอิงถึงตัวเลข "ไม่ทราบ" การกำหนดสมการและการศึกษาวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ (ตัวอย่างเช่น "หาจำนวนxเช่นที่ 3 x + 1 = 10" หรือไปอีกเล็กน้อย "หาจำนวนxเช่นนั้นax + b = c " ขั้นตอนนี้จะนำไปสู่ข้อสรุปว่าไม่ใช่ลักษณะของ ตัวเลขเฉพาะที่ช่วยให้เราแก้ไขได้ แต่การดำเนินการที่เกี่ยวข้อง)
ช่วยให้สามารถกำหนดความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันได้ (ตัวอย่างเช่น "หากคุณขายตั๋วxกำไรของคุณจะเท่ากับ 3 x - 10 ดอลลาร์หรือf ( x ) = 3 x - 10 โดยที่fคือฟังก์ชันและxคือจำนวนที่ใช้ฟังก์ชัน ".)

พหุนาม

กราฟของฟังก์ชันพหุนามของระดับ 3

พหุนามเป็นการแสดงออกที่เป็นผลรวมของจำนวน จำกัด ของที่ไม่ใช่ศูนย์แง่แต่ละระยะประกอบด้วยผลิตภัณฑ์ของการอย่างต่อเนื่องและในจำนวนที่ จำกัด ของตัวแปรยกอำนาจจำนวนทั้งหมด ยกตัวอย่างเช่นx ² + 2 x - 3 เป็นพหุนามในตัวแปรเดียวx แสดงออกพหุนามคือการแสดงออกที่อาจจะเขียนใหม่เป็นพหุนามโดยใช้ commutativity, การเชื่อมโยงกันและ distributivity ของบวกและการคูณ ตัวอย่างเช่น ( x - 1) ( x + 3) เป็นนิพจน์พหุนามที่พูดอย่างถูกต้องไม่ใช่พหุนาม ฟังก์ชันพหุนามเป็นฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยพหุนามหรือเท่ากันโดยการแสดงออกพหุนาม สองตัวอย่างก่อนหน้านี้กำหนดฟังก์ชันพหุนามเดียวกัน

สองปัญหาที่สำคัญและเกี่ยวข้องในพีชคณิตเป็นตัวประกอบของพหุนาม , ที่อยู่, การแสดงพหุนามให้เป็นผลิตภัณฑ์ของพหุนามอื่น ๆ ที่ไม่สามารถเอาเรื่องใด ๆ เพิ่มเติมและการคำนวณของพหุนามหารกันมากที่สุด ตัวอย่างพหุนามข้างต้นสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น ( x - 1) ( x + 3) ระดับของปัญหาที่เกี่ยวข้องคือการค้นหานิพจน์พีชคณิตสำหรับรากของพหุนามในตัวแปรเดียว

การศึกษา

มีการเสนอว่าควรสอนพีชคณิตระดับประถมศึกษาให้กับนักเรียนที่อายุน้อยกว่าสิบเอ็ดปี^[37]แม้ว่าในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาบทเรียนสาธารณะจะเริ่มในระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 (≈ 13 yo ±) ในสหรัฐอเมริกาเป็นเรื่องปกติมากขึ้น . ^[38]อย่างไรก็ตามในโรงเรียนบางแห่งของสหรัฐอเมริกาพีชคณิตเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่เก้า

พีชคณิตนามธรรม

พีชคณิตนามธรรมขยายแนวคิดที่คุ้นเคยที่พบในพีชคณิตเบื้องต้นและเลขคณิตของตัวเลขไปสู่แนวคิดทั่วไปมากขึ้น นี่คือแนวคิดพื้นฐานที่ระบุไว้ในพีชคณิตนามธรรม

ชุด : แทนที่จะพิจารณาเพียงประเภทของตัวเลขที่แตกต่างกันพีชคณิตนามธรรมเกี่ยวข้องกับแนวคิดทั่วไปของชุด : ชุดของวัตถุทั้งหมด (เรียกว่าองค์ประกอบ ) ที่เลือกโดยคุณสมบัติเฉพาะสำหรับชุดนั้น คอลเลกชันทั้งหมดของประเภทตัวเลขที่คุ้นเคยคือชุด ตัวอย่างอื่น ๆ ของเซต ได้แก่ เซตของเมทริกซ์สองคูณสองเซตของพหุนามดีกรีสองทั้งหมด(ขวาน² + bx + c ) เซตของเวกเตอร์สองมิติทั้งหมดในระนาบและกลุ่ม จำกัด ต่างๆเช่น เป็นกลุ่มเป็นวงกลมซึ่งเป็นกลุ่มของเลขแบบโมดูโล n ทฤษฎีเซตเป็นสาขาหนึ่งของตรรกะและไม่ใช่สาขาพีชคณิตในทางเทคนิค

การดำเนินการแบบไบนารี : แนวคิดของการบวก (+) ถูกทำให้เป็นนามธรรมเพื่อให้การดำเนินการแบบไบนารี ∗ พูด แนวคิดของการดำเนินการไบนารีไม่มีความหมายหากไม่มีชุดที่กำหนดการดำเนินการ สำหรับสององค์ประกอบและขในชุด S ,*ขเป็นองค์ประกอบอื่นในชุด; สภาพนี้เรียกว่าปิด การบวก (+) การลบ (-) การคูณ (×) และการหาร (÷) อาจเป็นการดำเนินการแบบไบนารีเมื่อกำหนดไว้ในชุดต่างๆเช่นเดียวกับการบวกและการคูณเมทริกซ์เวกเตอร์และพหุนาม

องค์ประกอบประจำตัว : ตัวเลขศูนย์และหนึ่งเป็นนามธรรมเพื่อให้แนวคิดขององค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการดำเนินการ ศูนย์เป็นองค์ประกอบประจำตัวสำหรับการบวกและหนึ่งคือองค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการคูณ สำหรับตัวดำเนินการไบนารีทั่วไป ∗ องค์ประกอบเอกลักษณ์ eต้องเป็นไปตาม∗ e = aและ e ∗ a = aและจำเป็นต้องไม่ซ้ำกันหากมีอยู่ นี้ถือสำหรับการเพิ่มเป็น+ 0 =และ 0 +=และการคูณ× 1 =และ 1 ×= ชุดค่าผสมและตัวดำเนินการบางชุดไม่ได้มีองค์ประกอบประจำตัว ตัวอย่างเช่นชุดของจำนวนธรรมชาติที่เป็นบวก (1, 2, 3, ... ) ไม่มีองค์ประกอบประจำตัวสำหรับการบวก

ผกผันองค์ประกอบ : ตัวเลขเชิงลบก่อให้เกิดแนวคิดขององค์ประกอบผกผัน การต่อเติมการผกผันของถูกเขียน -และการคูณผกผันถูกเขียน-1ทั่วไปสองด้านที่ตรงกันข้ามองค์ประกอบ^-1 satisfies ทรัพย์สินที่*^-1 =อีและ^-1 *=อีที่อีเป็นองค์ประกอบตัวตน

Associativity : การบวกจำนวนเต็มมีคุณสมบัติที่เรียกว่า Associativity นั่นคือการจัดกลุ่มของตัวเลขที่จะเพิ่มไม่มีผลต่อผลรวม ตัวอย่างเช่น: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) โดยทั่วไปสิ่งนี้จะกลายเป็น ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) คุณสมบัตินี้ถูกใช้ร่วมกันโดยฐานปฏิบัติการส่วนใหญ่ แต่ไม่ได้ลบหรือการแบ่งหรือ octonion คูณ

การสับเปลี่ยน : การบวกและการคูณจำนวนจริงเป็นทั้งการสับเปลี่ยน นั่นคือลำดับของตัวเลขไม่มีผลต่อผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่น 2 + 3 = 3 + 2 โดยทั่วไปนี้จะกลายเป็น* B = B * คุณสมบัตินี้ไม่ได้มีไว้สำหรับการดำเนินการไบนารีทั้งหมด ตัวอย่างเช่นการคูณเมทริกซ์และการคูณควอเทอร์เนียนเป็นทั้งแบบไม่สับเปลี่ยน

กลุ่ม

รวมแนวความคิดดังกล่าวข้างต้นจะช่วยให้หนึ่งในโครงสร้างที่สำคัญที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์กกลุ่ม กลุ่มคือการรวมกันของเซตSและการดำเนินการไบนารีเดียว∗ ซึ่งกำหนดด้วยวิธีใดก็ได้ที่คุณเลือก แต่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

เอกลักษณ์องค์ประกอบอีที่มีอยู่เช่นว่าสมาชิกทุกคนของS , E * และ* อีมีทั้งที่เหมือนกันกับ
องค์ประกอบทุกคนมีความผกผัน: สำหรับสมาชิกทุกคนในของSมีอยู่สมาชิก^-1ดังกล่าวว่า* ^-1และ^-1 * มีทั้งที่เหมือนกันกับองค์ประกอบตัวตน
การดำเนินการเป็นแบบเชื่อมโยง: ถ้าa , bและcเป็นสมาชิกของSดังนั้น ( a ∗ b ) ∗ cจะเหมือนกับa ∗ ( b ∗ c )

ถ้ากลุ่มนี้ยังมีการสับเปลี่ยน - นั่นคือสำหรับสองสมาชิกใด ๆและขของS , * ขเป็นเหมือนb * - แล้วกลุ่มที่ได้รับการกล่าวถึงเป็นคริสต์

ตัวอย่างเช่นเซตของจำนวนเต็มภายใต้การดำเนินการของการบวกคือกลุ่ม ในกลุ่มนี้เอกลักษณ์องค์ประกอบคือ 0 และผกผันขององค์ประกอบใด ๆเป็นผลทางลบของมัน - เป็นไปตามข้อกำหนดการเชื่อมโยงเนื่องจากสำหรับจำนวนเต็มa , bและc , ( a + b ) + c = a + ( b + c )

จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์รวมกันเป็นกลุ่มภายใต้การคูณ นี่เอกลักษณ์องค์ประกอบคือ 1 ตั้งแต่วันที่ 1 × = × 1 = สำหรับการใด ๆ จำนวนจริง ค่าผกผันของaคือ 1 / aเนื่องจากa × 1 / a = 1

อย่างไรก็ตามจำนวนเต็มภายใต้การดำเนินการคูณจะไม่สร้างกลุ่ม เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วผกผันการคูณของจำนวนเต็มไม่ใช่จำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น 4 คือจำนวนเต็ม แต่ผกผันการคูณคือ¼ซึ่งไม่ใช่จำนวนเต็ม

ทฤษฎีของกลุ่มที่มีการศึกษาในทฤษฎีกลุ่ม ผลลัพธ์ที่สำคัญในทฤษฎีนี้คือการจำแนกกลุ่มที่เรียบง่าย จำกัดซึ่งส่วนใหญ่ตีพิมพ์ระหว่างประมาณปีพ. ศ. 2498 ถึง พ.ศ. 2526 ซึ่งแบ่งกลุ่มที่เรียบง่ายจำกัด ออกเป็นประเภทพื้นฐานประมาณ 30 ประเภท

กึ่งกลุ่ม , กึ่งกลุ่มและmonoidsโครงสร้างคล้ายกับกลุ่ม แต่ทั่วไปมากขึ้น ประกอบด้วยเซตและการดำเนินการไบนารีแบบปิด แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นไปตามเงื่อนไขอื่น ๆ กลุ่มกึ่งมีการดำเนินการไบนารีที่เชื่อมโยงแต่อาจไม่มีองค์ประกอบข้อมูลประจำตัว หนังสือเป็นกึ่งกลุ่มซึ่งจะมีตัวตน แต่ไม่อาจมีผกผันทุกองค์ประกอบ กลุ่มกึ่งหนึ่งเป็นไปตามข้อกำหนดที่ว่าองค์ประกอบใด ๆ สามารถเปลี่ยนเป็นองค์ประกอบอื่น ๆ ได้โดยการคูณทางซ้ายที่ไม่ซ้ำกันหรือการคูณทางขวา อย่างไรก็ตามการดำเนินการไบนารีอาจไม่เชื่อมโยงกัน

กลุ่มทั้งหมดเป็นกลุ่มเดียวและกลุ่มเดียวทั้งหมดเป็นกลุ่มกึ่งหนึ่ง

ตัวอย่าง
ชุด	จำนวนธรรมชาติ N		จำนวนเต็ม Z		ตัวเลขเชิงเหตุผล Q (เช่นR จริง และเลขC เชิงซ้อน )				จำนวนเต็มโมดูโล 3: Z ₃ = {0, 1, 2}
การดำเนินการ	+	× (ไม่มีศูนย์)	+	× (ไม่มีศูนย์)	+	-	× (ไม่มีศูนย์)	÷ (ไม่มีศูนย์)	+	× (ไม่มีศูนย์)
ปิด	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่
เอกลักษณ์	0	1	0	1	0	ไม่มี	1	ไม่มี	0	1
ผกผัน	ไม่มี	ไม่มี	- ก	ไม่มี	- ก	ไม่มี	1 / ก	ไม่มี	0, 2, 1 ตามลำดับ	N / A, 1, 2 ตามลำดับ
Associative	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ไม่	ใช่	ไม่	ใช่	ใช่
สับเปลี่ยน	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ไม่	ใช่	ไม่	ใช่	ใช่
โครงสร้าง	monoid	monoid	กลุ่ม abelian	monoid	กลุ่ม abelian	กึ่งกลุ่ม	กลุ่ม abelian	กึ่งกลุ่ม	กลุ่ม abelian	กลุ่มอาเบเลียน ( Z ₂ )

วงแหวนและฟิลด์

กลุ่มมีการดำเนินการไบนารีเพียงครั้งเดียว ในการอธิบายพฤติกรรมของตัวเลขประเภทต่างๆอย่างครบถ้วนจำเป็นต้องศึกษาโครงสร้างที่มีตัวดำเนินการสองตัว ที่สำคัญที่สุดของเหล่านี้เป็นแหวนและสาขา

แหวนมีสองฐานปฏิบัติการ (+) และ (×) กับ×จำหน่ายกว่า + ภายใต้การดำเนินการครั้งแรก (+) มันรูปแบบคริสต์กลุ่ม ภายใต้ตัวดำเนินการที่สอง (×) เป็นตัวเชื่อมโยง แต่ไม่จำเป็นต้องมีตัวตนหรือผกผันดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีการหาร สารเติมแต่ง (+) เอกลักษณ์องค์ประกอบเขียนเป็น 0 และตรงกันข้ามของเขียนเป็น -

การกระจายทั่วไปอธิบายกฎการกระจายสำหรับตัวเลข สำหรับจำนวนเต็ม ( + ข ) × C = × C + B × คและค × ( + ข ) = C × + C × ข ,และ×กล่าวจะจำหน่ายกว่า +

จำนวนเต็มเป็นตัวอย่างของวงแหวน จำนวนเต็มมีคุณสมบัติเพิ่มเติมซึ่งทำให้มันเป็นโดเมนหนึ่ง

ฟิลด์เป็นแหวนที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่องค์ประกอบทั้งหมดไม่รวม 0 แบบคริสต์กลุ่มภายใต้× คูณ (×) ตัวตนเขียนเป็นที่ 1 และผกผันของเขียนเป็น-1

จำนวนตรรกยะจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนเป็นตัวอย่างของเขตข้อมูลทั้งหมด

ดูสิ่งนี้ด้วย

โครงร่างของพีชคณิต
โครงร่างของพีชคณิตเชิงเส้น
กระเบื้องพีชคณิต

อ้างอิง

การอ้างอิง

^ ข "พีชคณิต" พจนานุกรมภาษาอังกฤษ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2013/12/31 สืบค้นเมื่อ2013-11-20 .
^ เมนินี่, คลอเดีย; Oystaeyen, Freddy Van (2017-11-22). พีชคณิตนามธรรม: ครอบคลุมการรักษา CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2021/02/21 สืบค้นเมื่อ2020-10-15 .
^ ดู Herstein 1964หน้า 1: "ระบบพีชคณิตสามารถอธิบายได้ว่าเป็นชุดของวัตถุพร้อมกับการดำเนินการบางอย่างสำหรับการรวมเข้าด้วยกัน"
^ ดู Herstein 1964หน้า 1: "... นอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นเธรดที่รวมเข้าด้วยกันซึ่งเชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดด้วย"
^ a b c See Boyer 1991 , ยุโรปในยุคกลาง , p. 258: "ในทฤษฎีบทเลขคณิตในElements VII – IX ของ Euclid ตัวเลขได้แสดงด้วยส่วนของเส้นที่มีตัวอักษรติดอยู่และการพิสูจน์ทางเรขาคณิตใน Al-Khwarizmi's Algebraใช้แผนภาพที่เป็นตัวอักษร แต่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการที่ใช้ ในพีชคณิตเป็นตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงไม่ว่าจะแสดงด้วยตัวเลขหรือเขียนออกมาเป็นคำพูดความคิดเรื่องทั่วไปนั้นมีนัยในการอธิบายของอัล - ควาริซมี แต่เขาไม่มีรูปแบบในการแสดงเชิงพีชคณิตของประพจน์ทั่วไปที่พร้อมใช้งานในรูปทรงเรขาคณิต "
^ Esposito, จอห์นลิตร (2000/04/06) ประวัติความเป็นมาฟอร์ดของศาสนาอิสลาม สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด หน้า 188. ISBN 978-0-19-988041-6
^ เมนินี่, คลอเดีย; Oystaeyen, Freddy Van (2017-11-22). พีชคณิตนามธรรม: ครอบคลุมการรักษา CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2021/02/21 สืบค้นเมื่อ2020-10-15 .
^ TF Hoad, ed. (2546). "พีชคณิต" . กระชับ Oxford พจนานุกรมภาษาอังกฤษนิรุกติศาสตร์ Oxford: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ดอย : 10.1093 / acref / 9780192830982.001.0001 . ISBN 978-0-19-283098-2.
^ “ การแบ่งประเภทวิชาคณิตศาสตร์ปี 2553” . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2014-06-06 . สืบค้นเมื่อ2014-10-05 .
^ Struik, Dirk J. (1987). ประวัติย่อ ๆ ของคณิตศาสตร์ นิวยอร์ก: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60255-4.
^ ดูบอยเยอร์ 1991
^ Cajori, Florian (2010). ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ประถมศึกษา - มีคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการสอน หน้า 34. ISBN 978-1-4460-2221-4. เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2021/02/21 สืบค้นเมื่อ2020-10-15 .
^ Roshdi Rashed (พฤศจิกายน 2552) อัล Khwarizmi: จุดเริ่มต้นของพีชคณิต หนังสือ Saqi ISBN 978-0-86356-430-7.
^ “ ไดโอแฟนทัสบิดาแห่งพีชคณิต” . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2013-07-27 . สืบค้นเมื่อ2014-10-05 .
^ "ประวัติพีชคณิต" . เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2014/11/11 สืบค้นเมื่อ2014-10-05 .
^ Mackenzie, Dana จักรวาลในคำที่เป็นศูนย์: เรื่องราวของคณิตศาสตร์ตามที่บอกผ่านสมการหน้า 61 (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, 2555).
^ แบรดลีย์ไมเคิล กำเนิดคณิตศาสตร์: สมัยโบราณถึง 1300 , p. 86 (Infobase Publishing 2006).
^ Meri, Josef W. (2004). ในยุคกลางอารยธรรมอิสลาม จิตวิทยากด. หน้า 31. ISBN 978-0-415-96690-0. เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2013/06/02 สืบค้นเมื่อ2012-11-25 .
^ Corona, Brezina (8 กุมภาพันธ์ 2549). อัล Khwarizmi: ประดิษฐ์ของพีชคณิต นิวยอร์กสหรัฐอเมริกา: Rosen Pub Group ISBN 978-1404205130.
^ ดู Boyer 1991หน้า 181: "ถ้าเราคิดถึงเรื่องของสัญกรณ์เป็นหลัก Diophantus มีข้อเรียกร้องที่ดีที่เรียกว่า 'บิดาแห่งพีชคณิต' แต่ในแง่ของแรงจูงใจและแนวความคิดการอ้างสิทธิ์มีความเหมาะสมน้อยกว่า The Arithmetica ไม่ใช่การอธิบายอย่างเป็นระบบของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตหรือฟังก์ชันพีชคณิตหรือการแก้สมการพีชคณิต "
^ ดู Boyer 1991หน้า 230: "หกกรณีของสมการที่ให้ไว้เหนือความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ... ในแง่นี้อัล - ควาริซมีจึงได้รับการขนานนามว่าเป็น 'บิดาแห่งพีชคณิต'"
^ ดู Boyer 1991หน้า 228: "Diophantus บางครั้งเรียกว่าบิดาแห่งพีชคณิต แต่ชื่อนี้เหมาะสมกว่าเป็นของ al-Khowarizmi"
^ a b ดูGandz 1936หน้า 263–277: "ในแง่หนึ่ง al-Khwarizmi มีสิทธิเรียกว่า" บิดาแห่งพีชคณิต "มากกว่า Diophantus เนื่องจาก al-Khwarizmi เป็นคนแรกที่สอนพีชคณิตในรูปแบบประถมศึกษาและสำหรับ เพื่อประโยชน์ของมันเอง Diophantus เกี่ยวข้องกับทฤษฎีตัวเลขเป็นหลัก ".
^ Christianidis, Jean (สิงหาคม 2550). "วิธีของไดโอแฟนทัส: คำชี้แจงบางประการเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาของไดโอแฟนทัส" Historia Mathematica 34 (3): 289–305 ดอย : 10.1016 / j.hm.2006.10.003 . เป็นความจริงที่ว่าถ้าเราเริ่มต้นจากแนวความคิดเกี่ยวกับพีชคณิตที่เน้นการแก้สมการเช่นเดียวกับที่มักเกิดขึ้นกับนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับตั้งแต่อัล - ควาริซมีเป็นต้นไปเช่นเดียวกับนักพีชคณิตชาวอิตาลีในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยางานของไดโอแฟนทัสก็จะปรากฏขึ้น แตกต่างอย่างมากจากผลงานของนักพีชคณิตเหล่านั้น
^ Cifoletti, GC (1995). "La question de l'algèbre: Mathématiques et rhétorique des homes de droit dans la France du 16e siècle". Annales de l'École des Hautes Études en Sciences Sociales, 50 (6) : 1385–1416 Le travail des Arabes et de leurs successeurs a privilégié la solution des problèmes. Arithmetica de Diophantine ont privilégié la théorie des equations
^ ดู Boyer 1991หน้า 228
^ ดูบอยเยอร์ 1991 ,อาหรับอำนาจพี 229: "ไม่แน่ใจว่าคำว่า al-jabrและ muqabalahหมายถึงอะไร แต่การตีความตามปกตินั้นคล้ายคลึงกับคำแปลข้างต้นคำว่า al-jabrน่าจะหมายถึงบางอย่างเช่น" การฟื้นฟู "หรือ" การทำให้เสร็จ "และดูเหมือนว่า เพื่ออ้างถึงการเปลี่ยนตำแหน่งของคำที่ลบไปยังอีกด้านหนึ่งของสมการคำว่า muqabalahกล่าวถึง "การลด" หรือ "การปรับสมดุล" นั่นคือการยกเลิกคำที่เหมือนกันในด้านตรงข้ามของสมการ "
^ ดูบอยเยอร์ 1991 ,อาหรับอำนาจพี 230: "ทั้งหกกรณีของสมการที่ให้ไว้ข้างต้นหมดความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการเชิงเส้นและกำลังสองที่มีรากบวกดังนั้นการอธิบายอย่างเป็นระบบและละเอียดถี่ถ้วนของอัล - ควาริซมีที่ผู้อ่านของเขาต้องมีปัญหาเล็กน้อยในการเรียนรู้วิธีแก้ปัญหา"
^ ผื่น, R.; อาร์มสตรองแองเจลา (1994) การพัฒนาคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับ สปริงเกอร์ . หน้า 11–12 ISBN 978-0-7923-2565-9. OCLC 29181926
^ เอกคณิตศาสตร์: พงศาวดารเพิ่มเติมโดยการสำรวจ หน้า 92.
^ โอคอนเนอร์จอห์นเจ ; Robertson, Edmund F. , "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi" , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews.
^ วิคเตอร์เจแคทซ์บิลบาร์ตัน; Barton, Bill (ตุลาคม 2550). "ขั้นตอนในประวัติศาสตร์พีชคณิตที่มีผลกระทบต่อการสอน". การศึกษาการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ 66 (2): 185–201 [192] ดอย : 10.1007 / s10649-006-9023-7 . S2CID 120363574
^ ดูบอยเยอร์ 1991 ,อาหรับอำนาจพี 239: "Abu'l Wefa เป็นนักพีชคณิตที่มีความสามารถเช่นเดียวกับตรีโกณมิติ ... อัล - คาร์คีผู้สืบทอดของเขาใช้การแปลนี้เพื่อเป็นสาวกภาษาอาหรับของ Diophantus - แต่ไม่มีการวิเคราะห์ Diophantine! ... โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอัล -Karkhi เป็นผลมาจากการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขแรกของสมการของรูปแบบ ax²ⁿ + bxⁿ = c (พิจารณาเฉพาะสมการที่มีรากบวกเท่านั้น) "
^ “ ชีวประวัติ Al-Qalasadi” . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2019/10/26 สืบค้นเมื่อ2017-10-17 .
^ "ต้นกำเนิดของพีชคณิตนามธรรมที่ เก็บถาวร 2010-06-11 ที่ Wayback Machine " แผนกคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยฮาวาย
^ "เอกสารทางคณิตศาสตร์ที่รวบรวม " สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
^ "ฮัลล์พีชคณิต" (PDF) นิวยอร์กไทม์ส . 16 กรกฎาคม 1904. Archived (PDF) from the original on 2021-02-21 . สืบค้นเมื่อ2012-09-21 .
^ เควดลิบบี้ (2008-09-22) "เด็กถูกใส่ผิดในพีชคณิต" (รายงาน) Associated Press . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2011-10-27 . สืบค้นเมื่อ2012-09-23 .

อ้างถึงผลงาน

Boyer, Carl B. (1991). ประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ (2nd ed.). จอห์นไวลีย์แอนด์ซันส์ ISBN 978-0-471-54397-8.
Gandz, S. (มกราคม 2479). "แหล่งที่มาของพีชคณิตของ Al-Khowārizmī" โอซิริส . 1 : 263–277 ดอย : 10.1086 / 368426 . JSTOR 301610 . S2CID 60770737
เฮอร์สไตน์, IN (1964) หัวข้อในพีชคณิต Ginn และ บริษัท ISBN 0-471-02371-X.

อ่านเพิ่มเติม

Allenby, RBJT (1991). แหวนทุ่งและกลุ่ม ISBN 0-340-54440-6.
อาซิมอฟไอแซค (2504) ดินแดนของพีชคณิต ฮัฟตันมิฟฟลิน
ออยเลอร์ลีออนฮาร์ด (พฤศจิกายน 2548) องค์ประกอบของพีชคณิต ISBN 978-1-899618-73-6. สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2011-04-13.
เฮอร์สไตน์, IN (1975). หัวข้อในพีชคณิต ISBN 0-471-02371-X.
ฮิลล์โดนัลด์อาร์. (1994). วิทยาศาสตร์และวิศวกรรมอิสลาม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเอดินบะระ
โจเซฟจอร์จเกเวอร์เกเซ (2000) เดอะเครสท์ของนกยูง: รากนอกยุโรปคณิตศาสตร์ หนังสือเพนกวิน
โอคอนเนอร์จอห์นเจ.; โรเบิร์ตสัน, เอ็ดมันด์เอฟ. (2548). "หัวข้อประวัติ: พีชคณิตดัชนี" ประวัติ MacTutor คณิตศาสตร์เก็บ มหาวิทยาลัยเซนต์แอนดรู สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2016-03-03 . สืบค้นเมื่อ2011-12-10 .
ซาร์ดาร์, เซียอุดดิน; ราเว็ตซ์, เจอร์รี่; Loon, Borin Van (2542). แนะนำวิชาคณิตศาสตร์ . หนังสือ Totem

ลิงก์ภายนอก

Khan Academy: วิดีโอแนวความคิดและตัวอย่างการทำงาน
Khan Academy: ต้นกำเนิดของพีชคณิตการบรรยายไมโครออนไลน์ฟรี
Algebrarules.com: แหล่งข้อมูลโอเพ่นซอร์สสำหรับการเรียนรู้พื้นฐานของพีชคณิต
4000 Years of Algebraบรรยายโดย Robin Wilson ที่Gresham Collegeวันที่ 17 ตุลาคม 2550 (มีให้ดาวน์โหลด MP3 และ MP4 รวมถึงไฟล์ข้อความ)
แพรตต์วอห์น "พีชคณิต" . ในZalta, Edward N. (ed.) สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด .

[oed-1] ข "พีชคณิต" พจนานุกรมภาษาอังกฤษ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2013/12/31 สืบค้นเมื่อ2013-11-20 .

[2] เมนินี่, คลอเดีย; Oystaeyen, Freddy Van (2017-11-22). พีชคณิตนามธรรม: ครอบคลุมการรักษา CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2021/02/21 สืบค้นเมื่อ2020-10-15 .

[3] ดู Herstein 1964หน้า 1: "ระบบพีชคณิตสามารถอธิบายได้ว่าเป็นชุดของวัตถุพร้อมกับการดำเนินการบางอย่างสำหรับการรวมเข้าด้วยกัน"

[4] ดู Herstein 1964หน้า 1: "... นอกจากนี้ยังทำหน้าที่เป็นเธรดที่รวมเข้าด้วยกันซึ่งเชื่อมโยงกับคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดด้วย"

[citeboyer-5] See Boyer 1991 , ยุโรปในยุคกลาง , p. 258: "ในทฤษฎีบทเลขคณิตในElements VII – IX ของ Euclid ตัวเลขได้แสดงด้วยส่วนของเส้นที่มีตัวอักษรติดอยู่และการพิสูจน์ทางเรขาคณิตใน Al-Khwarizmi's Algebraใช้แผนภาพที่เป็นตัวอักษร แต่ค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดในสมการที่ใช้ ในพีชคณิตเป็นตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงไม่ว่าจะแสดงด้วยตัวเลขหรือเขียนออกมาเป็นคำพูดความคิดเรื่องทั่วไปนั้นมีนัยในการอธิบายของอัล - ควาริซมี แต่เขาไม่มีรูปแบบในการแสดงเชิงพีชคณิตของประพจน์ทั่วไปที่พร้อมใช้งานในรูปทรงเรขาคณิต "

[6] Esposito, จอห์นลิตร (2000/04/06) ประวัติความเป็นมาฟอร์ดของศาสนาอิสลาม สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด หน้า 188. ISBN 978-0-19-988041-6

[7] เมนินี่, คลอเดีย; Oystaeyen, Freddy Van (2017-11-22). พีชคณิตนามธรรม: ครอบคลุมการรักษา CRC Press. ISBN 978-1-4822-5817-2. เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2021/02/21 สืบค้นเมื่อ2020-10-15 .

[8] TF Hoad, ed. (2546). "พีชคณิต" . กระชับ Oxford พจนานุกรมภาษาอังกฤษนิรุกติศาสตร์ Oxford: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ดอย : 10.1093 / acref / 9780192830982.001.0001 . ISBN 978-0-19-283098-2.

[9] “ การแบ่งประเภทวิชาคณิตศาสตร์ปี 2553” . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2014-06-06 . สืบค้นเมื่อ2014-10-05 .

[10] Struik, Dirk J. (1987). ประวัติย่อ ๆ ของคณิตศาสตร์ นิวยอร์ก: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60255-4.

[11] ดูบอยเยอร์ 1991

[12] Cajori, Florian (2010). ประวัติความเป็นมาของคณิตศาสตร์ประถมศึกษา - มีคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีการสอน หน้า 34. ISBN 978-1-4460-2221-4. เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2021/02/21 สืบค้นเมื่อ2020-10-15 .

[13] Roshdi Rashed (พฤศจิกายน 2552) อัล Khwarizmi: จุดเริ่มต้นของพีชคณิต หนังสือ Saqi ISBN 978-0-86356-430-7.

[14] “ ไดโอแฟนทัสบิดาแห่งพีชคณิต” . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2013-07-27 . สืบค้นเมื่อ2014-10-05 .

[15] "ประวัติพีชคณิต" . เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2014/11/11 สืบค้นเมื่อ2014-10-05 .

[16] Mackenzie, Dana จักรวาลในคำที่เป็นศูนย์: เรื่องราวของคณิตศาสตร์ตามที่บอกผ่านสมการหน้า 61 (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน, 2555).

[Bradley-17] แบรดลีย์ไมเคิล กำเนิดคณิตศาสตร์: สมัยโบราณถึง 1300 , p. 86 (Infobase Publishing 2006).

[Meri2004-18] Meri, Josef W. (2004). ในยุคกลางอารยธรรมอิสลาม จิตวิทยากด. หน้า 31. ISBN 978-0-415-96690-0. เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2013/06/02 สืบค้นเมื่อ2012-11-25 .

[19] Corona, Brezina (8 กุมภาพันธ์ 2549). อัล Khwarizmi: ประดิษฐ์ของพีชคณิต นิวยอร์กสหรัฐอเมริกา: Rosen Pub Group ISBN 978-1404205130.

[20] ดู Boyer 1991หน้า 181: "ถ้าเราคิดถึงเรื่องของสัญกรณ์เป็นหลัก Diophantus มีข้อเรียกร้องที่ดีที่เรียกว่า 'บิดาแห่งพีชคณิต' แต่ในแง่ของแรงจูงใจและแนวความคิดการอ้างสิทธิ์มีความเหมาะสมน้อยกว่า The Arithmetica ไม่ใช่การอธิบายอย่างเป็นระบบของการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตหรือฟังก์ชันพีชคณิตหรือการแก้สมการพีชคณิต "

[21] ดู Boyer 1991หน้า 230: "หกกรณีของสมการที่ให้ไว้เหนือความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการเชิงเส้นและสมการกำลังสอง ... ในแง่นี้อัล - ควาริซมีจึงได้รับการขนานนามว่าเป็น 'บิดาแห่งพีชคณิต'"

[22] ดู Boyer 1991หน้า 228: "Diophantus บางครั้งเรียกว่าบิดาแห่งพีชคณิต แต่ชื่อนี้เหมาะสมกว่าเป็นของ al-Khowarizmi"

[Gandz-23] ดูGandz 1936หน้า 263–277: "ในแง่หนึ่ง al-Khwarizmi มีสิทธิเรียกว่า" บิดาแห่งพีชคณิต "มากกว่า Diophantus เนื่องจาก al-Khwarizmi เป็นคนแรกที่สอนพีชคณิตในรูปแบบประถมศึกษาและสำหรับ เพื่อประโยชน์ของมันเอง Diophantus เกี่ยวข้องกับทฤษฎีตัวเลขเป็นหลัก ".

[24] Christianidis, Jean (สิงหาคม 2550). "วิธีของไดโอแฟนทัส: คำชี้แจงบางประการเกี่ยวกับวิธีการแก้ปัญหาของไดโอแฟนทัส" Historia Mathematica 34 (3): 289–305 ดอย : 10.1016 / j.hm.2006.10.003 . เป็นความจริงที่ว่าถ้าเราเริ่มต้นจากแนวความคิดเกี่ยวกับพีชคณิตที่เน้นการแก้สมการเช่นเดียวกับที่มักเกิดขึ้นกับนักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับตั้งแต่อัล - ควาริซมีเป็นต้นไปเช่นเดียวกับนักพีชคณิตชาวอิตาลีในยุคฟื้นฟูศิลปวิทยางานของไดโอแฟนทัสก็จะปรากฏขึ้น แตกต่างอย่างมากจากผลงานของนักพีชคณิตเหล่านั้น

[25] Cifoletti, GC (1995). "La question de l'algèbre: Mathématiques et rhétorique des homes de droit dans la France du 16e siècle". Annales de l'École des Hautes Études en Sciences Sociales, 50 (6) : 1385–1416 Le travail des Arabes et de leurs successeurs a privilégié la solution des problèmes. Arithmetica de Diophantine ont privilégié la théorie des equations

[26] ดู Boyer 1991หน้า 228

[Boyer-229-27] ดูบอยเยอร์ 1991 ,อาหรับอำนาจพี 229: "ไม่แน่ใจว่าคำว่า al-jabrและ muqabalahหมายถึงอะไร แต่การตีความตามปกตินั้นคล้ายคลึงกับคำแปลข้างต้นคำว่า al-jabrน่าจะหมายถึงบางอย่างเช่น" การฟื้นฟู "หรือ" การทำให้เสร็จ "และดูเหมือนว่า เพื่ออ้างถึงการเปลี่ยนตำแหน่งของคำที่ลบไปยังอีกด้านหนึ่งของสมการคำว่า muqabalahกล่าวถึง "การลด" หรือ "การปรับสมดุล" นั่นคือการยกเลิกคำที่เหมือนกันในด้านตรงข้ามของสมการ "

[28] ดูบอยเยอร์ 1991 ,อาหรับอำนาจพี 230: "ทั้งหกกรณีของสมการที่ให้ไว้ข้างต้นหมดความเป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับสมการเชิงเส้นและกำลังสองที่มีรากบวกดังนั้นการอธิบายอย่างเป็นระบบและละเอียดถี่ถ้วนของอัล - ควาริซมีที่ผู้อ่านของเขาต้องมีปัญหาเล็กน้อยในการเรียนรู้วิธีแก้ปัญหา"

[Rashed-Armstrong-29] ผื่น, R.; อาร์มสตรองแองเจลา (1994) การพัฒนาคณิตศาสตร์ภาษาอาหรับ สปริงเกอร์ . หน้า 11–12 ISBN 978-0-7923-2565-9. OCLC 29181926

[30] เอกคณิตศาสตร์: พงศาวดารเพิ่มเติมโดยการสำรวจ หน้า 92.

[31] โอคอนเนอร์จอห์นเจ ; Robertson, Edmund F. , "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi" , MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews.

[32] วิคเตอร์เจแคทซ์บิลบาร์ตัน; Barton, Bill (ตุลาคม 2550). "ขั้นตอนในประวัติศาสตร์พีชคณิตที่มีผลกระทบต่อการสอน". การศึกษาการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์ 66 (2): 185–201 [192] ดอย : 10.1007 / s10649-006-9023-7 . S2CID 120363574

[Boyer_al-Karkhi_ax2n-33] ดูบอยเยอร์ 1991 ,อาหรับอำนาจพี 239: "Abu'l Wefa เป็นนักพีชคณิตที่มีความสามารถเช่นเดียวกับตรีโกณมิติ ... อัล - คาร์คีผู้สืบทอดของเขาใช้การแปลนี้เพื่อเป็นสาวกภาษาอาหรับของ Diophantus - แต่ไม่มีการวิเคราะห์ Diophantine! ... โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับอัล -Karkhi เป็นผลมาจากการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขแรกของสมการของรูปแบบ ax²ⁿ + bxⁿ = c (พิจารณาเฉพาะสมการที่มีรากบวกเท่านั้น) "

[34] “ ชีวประวัติ Al-Qalasadi” . www-history.mcs.st-andrews.ac.uk เก็บถาวรไปจากเดิมใน 2019/10/26 สืบค้นเมื่อ2017-10-17 .

[35] "ต้นกำเนิดของพีชคณิตนามธรรมที่ เก็บถาวร 2010-06-11 ที่ Wayback Machine " แผนกคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยฮาวาย

[36] "เอกสารทางคณิตศาสตร์ที่รวบรวม " สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์

[37] "ฮัลล์พีชคณิต" (PDF) นิวยอร์กไทม์ส . 16 กรกฎาคม 1904. Archived (PDF) from the original on 2021-02-21 . สืบค้นเมื่อ2012-09-21 .

[38] เควดลิบบี้ (2008-09-22) "เด็กถูกใส่ผิดในพีชคณิต" (รายงาน) Associated Press . สืบค้นจากต้นฉบับเมื่อ 2011-10-27 . สืบค้นเมื่อ2012-09-23 .

[1]