• logo

เลขอาเลฟ

ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการตั้งทฤษฎีที่หมายเลข alephเป็นลำดับของตัวเลขที่ใช้แทนcardinality (หรือขนาด) ของชุดอนันต์ที่สามารถมีระเบียบ พวกเขาได้รับการแนะนำโดยนักคณิตศาสตร์Georg Cantor [1]และได้รับการตั้งชื่อตามสัญลักษณ์ที่เขาใช้เพื่อแสดงถึงตัวอักษรฮีบรูaleph ( ℵ {\displaystyle \aleph } \aleph ). [2] [3]

Aleph-nought, aleph-zero หรือ aleph-null จำนวนคาร์ดินัลอนันต์ที่เล็กที่สุด

(แม้ว่าในหนังสือเก่าคณิตศาสตร์ aleph ตัวอักษรที่มักจะถูกพิมพ์ลงคว่ำโดยอุบัติเหตุ[nb 1]ส่วนหนึ่งเป็นเพราะMonotypeเมทริกซ์สำหรับ Aleph ถูกเข้าใจผิดสร้างทางที่ผิดขึ้นไป) [4]

คาร์ดินัลลิตี้ของจำนวนธรรมชาติคือ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}(อ่านAleph-มิใช่หรือaleph ศูนย์ ; ระยะaleph โมฆะนอกจากนี้ยังใช้ในบางครั้ง) ที่ cardinality ต่อไปที่มีขนาดใหญ่ของดีสามารถสั่งซื้อชุด Aleph หนึ่ง ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} \aleph _{1}แล้ว ℵ 2 {\displaystyle \aleph _{2}} \aleph _{2}และอื่นๆ ต่อไปในลักษณะนี้ เป็นไปได้ที่จะกำหนดจำนวนคาร์ดินัล ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} \aleph _{\alpha }สำหรับทุกเลขลำดับ α {\displaystyle \alpha } \alpha ตามที่อธิบายไว้ด้านล่าง

แนวคิดและสัญกรณ์เป็นเพราะเฟรดต้นเสียง , [5]ที่กำหนดความคิดของ cardinality และตระหนักว่าชุดอนันต์สามารถมี cardinalities

ตัวเลข aleph แตกต่างจากอนันต์ ( ∞ {\displaystyle \infty } \infty ) พบได้ทั่วไปในพีชคณิตและแคลคูลัส โดยที่ alephs วัดขนาดของเซต ในขณะที่อนันต์มักถูกกำหนดเป็นขีดจำกัดสุดขีดของเส้นจำนวนจริง (ใช้กับฟังก์ชันหรือลำดับที่ " แตกต่างกับอนันต์" หรือ "เพิ่มขึ้นโดยไม่มี ผูกพัน ") หรือเป็นจุดที่สูงที่สุดของการขยายเส้นจำนวนจริง

Aleph-nought

ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}(Aleph-ใดยัง Aleph-ศูนย์หรือ aleph โมฆะ) เป็น cardinality ของชุดของตัวเลขทั้งหมดจากธรรมชาติและเป็นพระราชาคณะที่ไม่มีที่สิ้นสุด เซตของลำดับจำกัดทั้งหมดเรียกว่า ω {\displaystyle \โอเมก้า } \omega หรือ ω 0 {\displaystyle \โอเมก้า _{0}} \omega _{0} (ที่ไหน ω {\displaystyle \โอเมก้า } \omega เป็นอักษรกรีกตัวพิมพ์เล็กโอเมก้า ) มีคาร์ดินัลลิตี้ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}. ชุดมีคาร์ดินัลลิตี้ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}ถ้าหากว่ามันนับได้อนันต์นั่นคือ มีการบิดเบือน (การติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่ง) ระหว่างมันกับจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างของชุดดังกล่าวคือ

  • เซตของจำนวนเต็มทั้งหมด,
  • เซตย่อยอนันต์ใดๆ ของจำนวนเต็ม เช่น เซตของตัวเลขกำลังสองทั้งหมดหรือเซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมด ,
  • เซตของจำนวนตรรกยะทั้งหมด ,
  • ชุดของตัวเลขที่สร้างได้ทั้งหมด (ในแง่เรขาคณิต)
  • ชุดของตัวเลขพีชคณิตทั้งหมด ,
  • ชุดของตัวเลขที่คำนวณได้ทั้งหมด ,
  • ชุดของสตริงไบนารีทั้งหมดที่มีความยาวจำกัด และ
  • เซตของเซตย่อยจำกัดทั้งหมดของเซตอนันต์ที่นับได้

ลำดับอนันต์เหล่านี้: ω {\displaystyle \โอเมก้า } \omega , ω + 1 {\displaystyle \โอเมก้า +1} \omega +1, ω ⋅ 2 {\displaystyle \โอเมก้า \cdot 2} \omega \cdot 2, ω 2 {\displaystyle \โอเมก้า ^{2}} \omega ^{2}, ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega }} \omega^{\omega} และ ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} อยู่ในชุดอนันต์นับได้ [6]ตัวอย่างเช่นลำดับ (กับordinality ω· 2) ของจำนวนเต็มคี่บวกทั้งหมดตามด้วยจำนวนเต็มบวกแม้ทั้งหมด

{ 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . } {\displaystyle \{1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\}} {\displaystyle \{1,3,5,7,9,...,2,4,6,8,10,...\}}

เป็นลำดับของชุด (มีคาร์ดินาลลิตี้) ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}) ของจำนวนเต็มบวก

หากสัจพจน์ของทางเลือกที่นับได้ (รุ่นที่อ่อนแอกว่าของสัจพจน์ของทางเลือก ) ถือได้ว่า ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0} มีขนาดเล็กกว่าพระคาร์ดินัลอนันต์อื่นๆ

อาเลฟวัน

ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} \aleph _{1}คือ จำนวนนับของเซตของเลขลำดับนับได้ทั้งหมดเรียกว่า ω 1 {\displaystyle \โอเมก้า _{1}} \omega _{{1}} หรือบางครั้ง Ω {\displaystyle \โอเมก้า } \Omega . นี้ ω 1 {\displaystyle \โอเมก้า _{1}} \omega _{{1}}เป็นตัวเองเลขลำดับที่มีขนาดใหญ่กว่าคนนับได้ทั้งหมดจึงเป็นชุดที่นับไม่ได้ ดังนั้น, ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} \aleph _{1} แตกต่างจาก ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}. คำจำกัดความของ ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} \aleph _{1}หมายความว่า (ใน ZF ทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel โดยไม่มีสัจพจน์ของตัวเลือก) ว่าไม่มีเลขคาร์ดินัลอยู่ระหว่าง ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0} และ ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} \aleph _{1}. หากใช้สัจพจน์ของการเลือกก็สามารถพิสูจน์เพิ่มเติมได้ว่าคลาสของจำนวนคาร์ดินัลนั้นเรียงกันโดยสิ้นเชิงและด้วยเหตุนี้ ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} \aleph _{1}เป็นจำนวนนับอนันต์ที่เล็กที่สุดเป็นอันดับสอง โดยใช้สัจพจน์ที่เลือก เราสามารถแสดงคุณสมบัติที่มีประโยชน์ที่สุดของเซต ω 1 {\displaystyle \โอเมก้า _{1}} \omega _{{1}}: เซตย่อยใด ๆ ที่นับได้ของ ω 1 {\displaystyle \โอเมก้า _{1}} \omega _{{1}} มีขอบเขตบนใน ω 1 . {\displaystyle \โอเมก้า _{1}.} {\displaystyle \omega _{1}.} (ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการรวมของจำนวนนับได้ของเซตนับได้นั้นสามารถนับได้—หนึ่งในการประยุกต์ใช้สัจพจน์ทางเลือกที่พบบ่อยที่สุด) ข้อเท็จจริงนี้คล้ายคลึงกับสถานการณ์ใน ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}: เซตจำกัดของจำนวนธรรมชาติทุกเซตมีค่าสูงสุดซึ่งเป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน และจำนวนจำกัดของเซตจำกัดมีจำกัด

ω 1 {\displaystyle \โอเมก้า _{1}} \omega _{{1}}เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์จริง ๆ หากค่อนข้างฟังดูแปลกใหม่ ตัวอย่างแอปพลิเคชันคือ "ปิด" เกี่ยวกับการดำเนินการที่นับได้ เช่น พยายามอธิบายให้ชัดเจน σ {\displaystyle \sigma } -พีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยการรวบรวมชุดย่อยตามอำเภอใจ (ดูเช่นBorel hierarchy ) นี้เป็นงานหนักกว่ารายละเอียดมากที่สุดที่ชัดเจนของ "รุ่น" ในพีชคณิต ( ช่องว่างเวกเตอร์ , กลุ่มอื่น ๆ ) เพราะในกรณีที่เราจะต้องปิดส่วนที่เกี่ยวกับการดำเนินงานเงินก้อน จำกัด ผลิตภัณฑ์และไม่ชอบ กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการกำหนด สำหรับแต่ละลำดับที่นับได้ ผ่านการเหนี่ยวนำทรานสฟินิท กำหนดโดย "โยนเข้า" การรวมและการเติมเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่นับได้ และนำการรวมกันของทั้งหมดนั้นมารวมกัน ω 1 {\displaystyle \โอเมก้า _{1}} \omega _{{1}}.

ทุกชุดย่อยของcoanalytic ที่นับไม่ได้ของสเปซโปแลนด์ X {\displaystyle X} X มีพระคาร์ดินัลลิตี้ ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} \aleph _{1} หรือ 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 2^{\aleph _{0}}. [7]

สมมติฐานต่อเนื่อง

cardinalityชุดของตัวเลขจริง ( cardinality ของความต่อเนื่อง ) เป็น 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 2^{\aleph _{0}}. ไม่สามารถกำหนดได้จาก ZFC ( Zermelo–Fraenkel ตั้งทฤษฎีที่มีสัจพจน์ของทางเลือก ) โดยที่ตัวเลขนี้พอดีในลำดับชั้นของหมายเลข aleph แต่ตามมาจาก ZFC ว่าสมมติฐานคอนตินิวอัมCHเทียบเท่ากับเอกลักษณ์

2 ℵ 0 = ℵ 1 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}} 2^{{\aleph _{0}}}=\aleph _{1}[8]

CH ระบุว่าไม่มีเซตใดที่คาร์ดินัลลิตี้อยู่ระหว่างจำนวนเต็มกับจำนวนจริงอย่างเคร่งครัด [9] CH เป็นอิสระจาก ZFC: ไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างได้ภายในบริบทของระบบสัจพจน์นั้น (โดยมีเงื่อนไขว่า ZFC มีความสอดคล้องกัน ) CH นั้นสอดคล้องกับ ZFC ซึ่งแสดงโดยKurt Gödelในปี 1940 เมื่อเขาแสดงให้เห็นว่าการปฏิเสธไม่ใช่ทฤษฎีบทของ ZFC ว่ามันเป็นอิสระจาก ZFC ก็แสดงให้เห็นโดยพอลโคเฮนในปี 1963 เมื่อเขาแสดงให้เห็นว่าตรงกันข้าม CH ตัวเองไม่ได้เป็นทฤษฎีของ ZFC-โดย (นวนิยายแล้ว) วิธีการบังคับ [8]

อะเลฟ-โอเมก้า

Aleph-omega is

ℵ ω = จีบ { ℵ น : น ∈ ω } = จีบ { ℵ น : น ∈ { 0 , 1 , 2 , … } } {\displaystyle \aleph _{\omega }=\sup\{\aleph _{n}:n\in \omega \}=\sup\{\aleph _{n}:n\in \left\{\, 0,1,2,\dots \,\right\}\,\}} {\displaystyle \aleph _{\omega }=\sup\{\aleph _{n}:n\in \omega \}=\sup\{\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\}}

โดยที่ลำดับอนันต์ที่เล็กที่สุดแสดง ω กล่าวคือ เลขคาร์ดินัล ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} \aleph _{\omega } เป็นขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของ

{ ℵ น : น ∈ { 0 , 1 , 2 , … } } {\displaystyle \left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}} \left\{\,\aleph _{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}.

ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} \aleph _{\omega }เป็นจำนวนพระคาร์ดินัลนับเป็นครั้งแรกที่สามารถแสดงให้เห็นถึงภายในการตั้งทฤษฎี Zermelo-Fraenkel ไม่ได้จะเท่ากับ cardinality ชุดของทุกตัวเลขจริง ; สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆnเราสามารถสันนิษฐานได้ว่า consistently 2 ℵ 0 = ℵ น {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}} 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}และสามารถสันนิษฐานได้ว่า it 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 2^{\aleph _{0}}มีขนาดใหญ่เท่าที่เราต้องการ เราถูกบังคับเพียงให้หลีกเลี่ยงการกำหนดให้เป็นพระคาร์ดินัลพิเศษบางองค์ที่มีความเป็นคู่กัน ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}หมายความว่ามีฟังก์ชันไม่จำกัดจาก un ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} \aleph _{0}ไปที่มัน (ดูทฤษฎีบทของอีสตัน )

Aleph-α สำหรับ α . ทั่วไป

เพื่อกำหนด ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} \aleph _{\alpha } สำหรับเลขลำดับตามอำเภอใจ α {\displaystyle \alpha } \alpha , เราต้องกำหนดการดำเนินการของพระคาร์ดินัลสืบทอดซึ่งกำหนดให้กับเลขคาร์ดินัลใด ๆ ρ {\displaystyle \rho } \rho พระคาร์ดินัลลำดับต่อไปที่ใหญ่กว่า ρ + {\displaystyle \rho ^{+}} {\displaystyle \rho ^{+}}(ถ้าสัจพจน์ของการเลือกถืออยู่นี่คือพระคาร์ดินัลที่ใหญ่กว่าถัดไป)

จากนั้นเราสามารถกำหนดตัวเลข aleph ได้ดังนี้:

ℵ 0 = ω {\displaystyle \aleph _{0}=\omega } \aleph _{0}=\omega
ℵ α + 1 = ℵ α + {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}} \aleph _{\alpha +1}=\aleph _{\alpha }^{+}

และสำหรับ λ ลำดับขีดจำกัดอนันต์,

ℵ λ = ⋃ β < λ ℵ β . {\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.} \aleph _{\lambda }=\bigcup _{\beta <\lambda }\aleph _{\beta }.

เขียนลำดับเริ่มต้นอนันต์ที่ α-th ω α {\displaystyle \omega _{\alpha }} \omega _{\alpha }. คาร์ดินาลลิตี้ของมันเขียน ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} \aleph _{\alpha }. ใน ZFC ฟังก์ชัน aleph ℵ {\displaystyle \aleph } \aleph เป็นการแบ่งแยกจากลำดับไปสู่พระคาร์ดินัลที่ไม่มีที่สิ้นสุด [10]

จุดคงที่ของโอเมก้า

สำหรับลำดับ α ใดๆ ที่เรามี

α ≤ ω α . {\displaystyle \alpha \leq \omega _{\alpha }.} \alpha \leq \omega _{\alpha }.

ในหลายกรณี ω α {\displaystyle \omega _{\alpha }} \omega _{\alpha }มีค่ามากกว่า α อย่างเคร่งครัด ตัวอย่างเช่น สำหรับลำดับ α ที่สืบทอดต่อใดๆ สิ่งนี้ถือเป็น อย่างไรก็ตามยังมีบางเลขขีด จำกัด ซึ่งมีจุดคงที่การทำงานของโอเมก้าเพราะแทรกจุดคงที่สำหรับการทำงานปกติ อย่างแรกคือขีดจำกัดของลำดับ

ω ,   ω ω ,   ω ω ω ,   … . {\displaystyle \omega ,\ \omega _{\omega },\ \omega _{\omega _{\omega }},\ \ldots .} \omega ,\ \omega _{\omega },\ \omega _{\omega _{\omega }},\ \ldots .

พระคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างอ่อนๆก็เป็นจุดตายตัวของฟังก์ชัน aleph [11]สามารถแสดงใน ZFC ได้ดังนี้ สมมติ κ = ℵ λ {\displaystyle \kappa =\aleph _{\lambda }} \kappa =\aleph _{\lambda }เป็นพระคาร์ดินัลที่ไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างอ่อน ถ้า λ {\displaystyle \lambda } \lambda เป็นผู้สืบทอดลำดับจากนั้น ℵ λ {\displaystyle \aleph _{\lambda }} \aleph _{\lambda }จะเป็นผู้สืบทอดพระคาร์ดินัลและด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถเข้าถึงได้อย่างอ่อน ถ้า λ {\displaystyle \lambda } \lambda เป็นลำดับลิมิตน้อยกว่า κ {\displaystyle \kappa } \kappa , แล้วสัมพันธภาพของมัน(และด้วยเหตุนี้ สัมพันธภาพของ ℵ λ {\displaystyle \aleph _{\lambda }} \aleph _{\lambda }) จะน้อยกว่า κ {\displaystyle \kappa } \kappa แล้วก็ κ {\displaystyle \kappa } \kappa จะไม่ปกติและไม่สามารถเข้าถึงได้ง่าย ดังนั้น λ ≥ κ {\displaystyle \lambda \geq \kappa } \lambda \geq \kappa และด้วยเหตุนี้ λ = κ {\displaystyle \lambda =\kappa } \lambda =\kappa ซึ่งทำให้เป็นจุดคงที่

บทบาทของสัจพจน์ของทางเลือก

คาร์ดินัลลิตี้ของเลขลำดับอนันต์ใดๆเป็นเลขแอลฟ์ ทุก aleph เป็นคาร์ดินาลลิตี้ของลำดับบางส่วน อย่างน้อยของเหล่านี้เป็นของลำดับเริ่มต้น ชุดใด ๆ ที่มี cardinality เป็น Aleph เป็นequinumerousกับลำดับและจึงดีสามารถสั่งซื้อได้

เซตไฟไนต์แต่ละเซตสามารถจัดลำดับได้ดี แต่ไม่มีเอลฟ์เป็นคาร์ดินาลลิตี้ของมัน

สมมติฐานที่ cardinality ของแต่ละชุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดเป็นจำนวน aleph เทียบเท่ามากกว่า ZF เพื่อการดำรงอยู่ของการสั่งซื้อของทุกชุดซึ่งจะเทียบเท่ากับที่จริงของการเลือก ทฤษฎีเซตของ ZFC ซึ่งรวมถึงสัจพจน์ของการเลือก บอกเป็นนัยว่าเซตอนันต์ทุกเซตมีเลข aleph เป็นตัวนับ (กล่าวคือ มีจำนวนเท่ากันกับลำดับเริ่มต้น) ดังนั้นลำดับเริ่มต้นของตัวเลข aleph จึงเป็นกลุ่มตัวแทนสำหรับทุกคน จำนวนนับที่เป็นไปได้อนันต์

เมื่อศึกษาการนับจำนวนครั้งใน ZF โดยไม่มีสัจพจน์ของการเลือก เป็นไปไม่ได้อีกต่อไปที่จะพิสูจน์ว่าเซตอนันต์แต่ละเซตมีเลขแอลฟเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลลิตี้ของมัน เซตที่มีคาร์ดินาลลิตี้เป็นตัวเลข aleph เป็นเซตอนันต์ที่สามารถจัดลำดับได้ดี วิธีการหลอกลวงของสกอตต์บางครั้งใช้เป็นทางเลือกในการสร้างตัวแทนสำหรับหมายเลขคาร์ดินัลในการตั้งค่าของ ZF ตัวอย่างเช่น สามารถกำหนดไพ่ ( S ) ให้เป็นชุดของชุดที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากันกับSของอันดับขั้นต่ำที่เป็นไปได้ สิ่งนี้มีคุณสมบัติที่ไพ่ ( S ) = บัตร ( T ) ถ้าและเฉพาะในกรณีที่SและTมีคาร์ดินาลลิตี้เหมือนกัน (ไพ่เซ็ต ( S ) ไม่มีคาร์ดินัลลิตี้เหมือนกันของSโดยทั่วไป แต่องค์ประกอบทั้งหมดมี)

ดูสิ่งนี้ด้วย

  • หมายเลขเบธ
  • ฟังก์ชัน Gimel
  • พระคาร์ดินัลประจำ
  • จำนวนอนันต์
  • เลขลำดับ

หมายเหตุ

  1. ^ ตัวอย่างเช่น ใน ( Sierpiński 1958 , p. 402) ตัวอักษร aleph ปรากฏทั้งทางขวาขึ้นและกลับหัว

การอ้างอิง

  1. ^ "อาเลฟ" . สารานุกรมคณิตศาสตร์ .
  2. ^ "รายการสัญลักษณ์ทฤษฎีเซตที่ครอบคลุม" . คณิตศาสตร์ห้องนิรภัย 2020-04-11 . สืบค้นเมื่อ2020-08-12 .
  3. ^ ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "อาเลฟ" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-12 .
  4. ^ สเวนสัน, เอลเลน; โอ' ฌอน, อาร์ลีน แอน; Schleyer, Antoinette Tingley (1999) [1979], Mathematics into type: Copy Editing and proofreading of Mathematics for Editorial Assistant and Authors (updated ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , p. 16, ISBN 0-8218-0053-1, มร.  0553111
  5. ^ เจฟฟ์ มิลเลอร์. "การใช้สัญลักษณ์ของทฤษฎีเซตและลอจิกเร็วที่สุด" . jeff560.tripod.com . สืบค้นเมื่อ2016-05-05 . คำพูดของมิลเลอร์ โจเซฟ วอร์เรน โดเบน (1990). เฟรดต้นเสียง: คณิตศาสตร์ของเขาและปรัชญาของอินฟินิท ISBN 9780691024479. : "ตัวเลขใหม่ของเขาสมควรได้รับบางสิ่งที่ไม่เหมือนใคร ... ไม่ต้องการสร้างสัญลักษณ์ใหม่ด้วยตนเอง เขาเลือก aleph อักษรตัวแรกของตัวอักษรฮีบรู... สามารถใช้ aleph เพื่อแสดงถึงการเริ่มต้นใหม่ได้..."
  6. ^ Jech, Thomas (2003), Set Theory , Springer Monographs in Mathematics, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag
  7. ^ Dales HG, Dashiell FK, Lau A.TM., Strauss D. (2016) บทนำ ใน: Banach Spaces ของฟังก์ชันต่อเนื่องเป็นช่องว่างคู่ หนังสือ CMS ในวิชาคณิตศาสตร์ (Ouvrages de mathématiques de la SMC) สปริงเกอร์ จาม
  8. ^ ข Szudzik, Mattew (31 กรกฎาคม 2018). "สมมติฐานต่อเนื่อง" . วุลแฟรม Mathworld วุลแฟรมแหล่งข้อมูลบนเว็บ สืบค้นเมื่อ15 สิงหาคม 2018 .
  9. ^ Weisstein, Eric W. "สมมติฐานต่อเนื่อง" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2020-08-12 .
  10. ^ หมายเลข alephที่PlanetMath
  11. ^ แฮร์ริส เคนเนธ (6 เมษายน 2552) "คณิต 582 บทนำ ทฤษฎีเซต บทเรียนที่ 31" (PDF) . ภาควิชาคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยมิชิแกน. เก็บถาวรจากต้นฉบับ (PDF)เมื่อ 4 มีนาคม 2559 . สืบค้นเมื่อ1 กันยายน 2555 .

อ้างอิง

  • Sierpiński, Wacław (1958), Cardinal and ordinal numbers , Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne, 34 , วอร์ซอ: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR  0095787

ลิงค์ภายนอก

  • "Aleph-zero" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
  • ไวส์สไตน์, อีริค ดับเบิลยู "Aleph-0" . คณิตศาสตร์โลก.


Language
  • Thai
  • Français
  • Deutsch
  • Arab
  • Português
  • Nederlands
  • Türkçe
  • Tiếng Việt
  • भारत
  • 日本語
  • 한국어
  • Hmoob
  • ខ្មែរ
  • Africa
  • Русский

©Copyright This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Aleph-Null" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to admin@tvd.wiki

TOP