เชื่อมโยงรูปทรงเรขาคณิต

ในปี 1748 Leonhard Euler ได้แนะนำคำว่าaffine ^{[4] [5]} (ภาษาละตินaffinis , "related") ในหนังสือIntroductio in analysin infinitorum (เล่ม 2 ตอนที่ XVIII) ในปีพ. ศ. 2370 August Möbiusเขียนเรื่องเรขาคณิตเชิงสัมพันธ์ในDer barycentrische Calcul (บทที่ 3)

หลังจากที่เฟลิกซ์ไคลน์ 's โปรแกรม Erlangenเรขาคณิตเลียนแบบได้รับการยอมรับว่าเป็นลักษณะทั่วไปของรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิด ^[6]

ในปีพ. ศ. 2455 เอ็ดวินบี. วิลสันและกิลเบิร์ตเอ็น. ลูอิสได้พัฒนารูปทรงเรขาคณิตแบบสัมพันธ์^{[7] [8]}เพื่อแสดงทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ

ในปี 1918, แฮร์มันน์ไวล์เรียกเรขาคณิตเลียนแบบสำหรับข้อความของเขาพื้นที่เวลาเรื่อง เขาใช้เรขาคณิตเชิงสัมพันธ์เพื่อแนะนำการบวกและการลบเวกเตอร์^[9]ในช่วงแรกสุดของการพัฒนาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ของเขา ต่อมาET Whittakerเขียนว่า: ^[10]

รูปทรงเรขาคณิตของไวล์เป็นที่น่าสนใจในอดีตว่าเป็นครั้งแรกของรูปทรงเรขาคณิตที่เลียนแบบที่จะทำงานออกมาในรายละเอียด: มันขึ้นอยู่กับชนิดพิเศษของ การขนส่งขนาน [ ... ใช้] worldlinesของแสงสัญญาณในสี่มิติพื้นที่เวลา องค์ประกอบสั้น ๆ ของหนึ่งของเหล่านี้โลกเส้นอาจจะเรียกว่าเป็น null เวกเตอร์ ; จากนั้นการขนส่งแบบขนานที่เป็นปัญหาก็คือมันนำเวกเตอร์ว่าง ณ จุดหนึ่งไปยังตำแหน่งของเวกเตอร์โมฆะที่จุดใกล้เคียง

ในปีพ. ศ. 2527 "ระนาบความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับพื้นที่เวกเตอร์ลอเรนต์เซียนL ² " ได้รับการอธิบายโดย Graciela Birman และKatsumi Nomizuในบทความชื่อ "ตรีโกณมิติในเรขาคณิตลอเรนต์เซียน" ^[11]

มีการหยิบยกแนวทางเชิงสัจพจน์หลายประการเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิต:

กฎหมายของ Pappus

กฎของ Pappus: ถ้าเส้นสีแดงขนานกันและเส้นสีน้ำเงินขนานกันเส้นประสีดำจะต้องขนานกัน

ในฐานะที่เป็นเรื่องเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับเส้นขนานคุณสมบัติอย่างหนึ่งของแนวขนานที่ระบุไว้โดยPappus of Alexandriaจึงถูกนำมาใช้เป็นหลักฐาน: ^{[12] [13]}

• ถ้า ${\ displaystyle A, B, C}$ อยู่ในบรรทัดเดียวและ ${\ displaystyle A ', B', C '}$ ในอีกด้านหนึ่งแล้ว

${\ displaystyle (AB '\ Parallel A'B \ land \ BC' \ parallel B'C) \ Rightarrow CA '\ parallel C'A}$

ระบบความจริงเต็มรูปแบบที่นำเสนอมีจุด , เส้นและเส้นจุดที่มีเป็นอนิยาม :

• สองจุดรวมอยู่ในบรรทัดเดียว
• สำหรับสายการใด ๆต่อลิตรและจุดใดPไม่ได้อยู่ในลิตรมีเพียงหนึ่งบรรทัดที่มีPและไม่ได้มีจุดใดลิตร บรรทัดนี้ก็บอกว่าจะขนานไปลิตร
• ทุกบรรทัดมีอย่างน้อยสองจุด
• มีอย่างน้อยสามจุดที่ไม่ได้อยู่ในบรรทัดเดียว

ตามHSM Coxeter :

ความน่าสนใจของสัจพจน์ทั้งห้านี้ได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าพวกเขาสามารถพัฒนาเป็นข้อเสนอมากมายไม่เพียง แต่ใน รูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดเท่านั้น แต่ยังรวม ถึงเรขาคณิตของเวลาและอวกาศของ Minkowski ด้วย (ในกรณีง่ายๆของมิติ 1 + 1 ในขณะที่ ทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษต้องการ 1 + 3) การขยายไปสู่รูปทรงเรขาคณิตแบบยูคลิดหรือมิงโคว์สเคียนสามารถทำได้โดยการเพิ่มสัจพจน์อื่น ๆ ของมุมฉากเป็นต้น ^[14]

ประเภทต่างๆของรูปทรงเรขาคณิตที่สอดคล้องกับสิ่งที่เลียนแบบการตีความเป็นที่สำหรับการหมุน สอดคล้องกับรูปทรงเรขาคณิตแบบยุคลิดกับความคิดสามัญของการหมุนในขณะที่คอฟสกีของรูปทรงเรขาคณิตที่สอดคล้องกับการผ่อนชำระหมุน ในส่วนที่เกี่ยวกับเส้นตั้งฉากพวกมันจะยังคงตั้งฉากเมื่อระนาบอยู่ภายใต้การหมุนธรรมดา ในรูปทรง Minkowski เส้นที่เป็นไฮเพอร์โบลิก - ออร์โธกอนอลจะยังคงอยู่ในความสัมพันธ์นั้นเมื่อระนาบอยู่ภายใต้การหมุนแบบไฮเพอร์โบลิก

โครงสร้างตามสั่ง

การรักษาเชิงสัจพจน์ของเรขาคณิตเชิงเส้นสามารถสร้างขึ้นจากสัจพจน์ของเรขาคณิตเชิงสั่งได้โดยการเพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติมสองประการ: ^[15]

1. ( สัจพจน์คู่ขนาน ) เมื่อกำหนดจุด A และเส้น r ไม่ถึง A มีมากที่สุดหนึ่งบรรทัดผ่าน A ซึ่งไม่ตรงตาม r
2. ( Desargues ) ระบุจุดที่แตกต่างกันเจ็ดจุด A, A ', B, B', C, C ', O เช่น AA', BB 'และ CC' เป็นเส้นที่แตกต่างกันผ่าน O และ AB ขนานกับ A'B 'และ BC ขนานกับ B'C 'จากนั้น AC จะขนานกับ A'C'

แนวคิดเรื่องคู่ขนานสร้างความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบนเส้น เนื่องจากสัจพจน์ของเรขาคณิตเชิงลำดับตามที่นำเสนอในที่นี้รวมถึงคุณสมบัติที่บ่งบอกถึงโครงสร้างของจำนวนจริงคุณสมบัติเหล่านั้นจึงนำมาที่นี่เพื่อให้เป็นสัจพจน์ของเรขาคณิตเชิงสัมพันธ์เหนือสนามของจำนวนจริง

แหวน Ternary

เป็นครั้งแรกที่เครื่องบินที่ไม่ใช่ Desarguesianก็สังเกตเห็นโดยเดวิดฮิลแบร์ตของเขาในรากฐานของเรขาคณิต ^[16]เครื่องบิน Moultonเป็นภาพมาตรฐาน เพื่อที่จะให้บริบทสำหรับรูปทรงเรขาคณิตดังกล่าวเช่นเดียวกับที่ทฤษฎีบท Desarguesถูกต้องจึงได้มีการพัฒนาแนวคิดของวงแหวนสามมิติ

เครื่องบินแนวสัมพันธ์พื้นฐานถูกสร้างขึ้นจากคู่ที่สั่งซื้อซึ่งนำมาจากวงแหวนเทอร์นารี กล่าวกันว่าระนาบมีคุณสมบัติ "minor affine Desargues" เมื่อสามเหลี่ยมสองรูปในมุมมองคู่ขนานมีด้านขนานสองด้านต้องมีด้านที่สามขนานกันด้วย หากคุณสมบัตินี้ถืออยู่ในระนาบความสัมพันธ์พื้นฐานที่กำหนดโดยวงแหวนเทอร์นารีจะมีความสัมพันธ์เทียบเท่าระหว่าง "เวกเตอร์" ที่กำหนดโดยคู่ของจุดจากระนาบ ^[17]นอกจากนี้เวกเตอร์ยังรวมกันเป็นกลุ่ม abelianภายใต้การบวกวงแหวนเทอร์นารีเป็นเส้นตรงและเป็นไปตามการกระจายที่เหมาะสม:

( + B ) C = AC + BC

ในทางเรขาคณิตการแปลงความสัมพันธ์ (affinities) รักษา collinearity: ดังนั้นพวกเขาจึงเปลี่ยนเส้นขนานเป็นเส้นขนานและรักษาอัตราส่วนของระยะทางตามเส้นขนาน

เราระบุว่าเป็นทฤษฎีเกี่ยวกับผลลัพธ์ทางเรขาคณิตใด ๆ ที่ไม่แปรผันภายใต้กลุ่ม Affine (ในโปรแกรม ErlangenของFelix Kleinนี่คือกลุ่มพื้นฐานของการแปลงสมมาตรสำหรับเรขาคณิต Affine) พิจารณาในปริภูมิเวกเตอร์Vที่ทั่วไปตรงกลุ่ม GL ( V ) มันไม่ได้เป็นทั้งเลียนแบบกลุ่มเพราะเรายังต้องให้แปลโดยเวกเตอร์vในV (การแปลดังกล่าวจะแมปwใด ๆในVถึงw + v .) กลุ่ม Affine ถูกสร้างขึ้นโดยกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปและการแปลและในความเป็นจริงผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็กของพวกเขา ${\ displaystyle V \ rtimes \ mathrm {GL} (V)}$. (ในที่นี้เราคิดว่าVเป็นกลุ่มภายใต้การดำเนินการของการเพิ่มและใช้การกำหนดตัวแทนของ GL ( V ) บนVเพื่อกำหนดผลิตภัณฑ์กึ่งไดเร็ก)

ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทจากเรขาคณิตระนาบของรูปสามเหลี่ยมเกี่ยวกับการรวมกันของเส้นที่เชื่อมต่อจุดยอดแต่ละจุดกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม (ที่เซนทรอยด์หรือศูนย์แบรีเซ็นเตอร์ ) ขึ้นอยู่กับแนวคิดของจุดกึ่งกลางและเซนทรอยด์เป็นค่าคงที่ของความสัมพันธ์ ตัวอย่างอื่น ๆ ได้แก่ ทฤษฎีบทของCevaและเมเนลอ

Affine invariants ยังสามารถช่วยในการคำนวณได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่นเส้นที่แบ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันจะสร้างซองจดหมายภายในสามเหลี่ยม อัตราส่วนของพื้นที่ของซองจดหมายต่อพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นมีค่าคงที่ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณจากกรณีง่ายๆเช่นหน้าจั่วของหน่วยสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อให้${\ displaystyle {\ tfrac {3} {4}} \ log _ {e} (2) - {\ tfrac {1} {2}},}$ เช่น 0.019860 ... หรือน้อยกว่า 2% สำหรับรูปสามเหลี่ยมทั้งหมด

สูตรที่คุ้นเคยเช่นครึ่งหนึ่งของฐานคูณความสูงสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหรือหนึ่งในสามของฐานคูณความสูงสำหรับปริมาตรของพีระมิด แม้ว่าแบบหลังจะเห็นได้ชัดน้อยกว่าในอดีตสำหรับเคสทั่วไป แต่ก็เห็นได้ง่ายสำหรับหนึ่งในหกของคิวบ์หน่วยที่เกิดจากใบหน้า (พื้นที่ 1) และจุดกึ่งกลางของลูกบาศก์ (ความสูง 1/2) ดังนั้นจึงถือพีระมิดทั้งหมดแม้กระทั่งรูปทรงเอียงที่มีส่วนปลายไม่ได้อยู่เหนือกึ่งกลางของฐานโดยตรงและฐานที่มีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแทนที่จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส สูตรนี้จะอธิบายถึงพีระมิดที่ฐานสามารถผ่าออกเป็นรูปคู่ขนานได้รวมถึงรูปกรวยด้วยการอนุญาตให้มีรูปคู่ขนานจำนวนมาก (โดยให้ความสำคัญกับการลู่เข้า) วิธีการเดียวกันนี้แสดงให้เห็นว่าปิรามิดสี่มิติมีไฮเปอร์โวลูม 4D หนึ่งในสี่ของปริมาตร 3 มิติของฐานคู่ขนานกับความสูงและอื่น ๆ สำหรับขนาดที่สูงขึ้น

เรขาคณิตเลียนแบบสามารถดูเป็นรูปทรงเรขาคณิตของนั้นพื้นที่เลียนแบบของมิติให้n , coordinatized กว่าฟิลด์ K นอกจากนี้ยังมี (ในสองมิติ) ลักษณะทั่วไปของพื้นที่ combinatorial เลียนแบบ coordinatized เช่นการพัฒนาในการสังเคราะห์ รูปทรงเรขาคณิต จำกัด ในรูปทรงเรขาคณิตแบบโพรเจกไทล์พื้นที่ใกล้เคียงหมายถึงส่วนเติมเต็มของไฮเปอร์เพลนที่อินฟินิตี้ในปริภูมิโปรเจ็กต์ นอกจากนี้ยังสามารถมองเห็นAffine spaceเป็นพื้นที่เวกเตอร์ซึ่งการดำเนินการจะ จำกัด เฉพาะชุดค่าผสมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์รวมเป็นหนึ่งตัวอย่างเช่น 2 x  -  y , x  -  y  +  z , ( x  +  y  +  z ) / 3, i x  + (1 -  i ) yฯลฯ

ในทางสังเคราะห์เครื่องบิน Affineเป็นรูปทรงเรขาคณิต 2 มิติที่กำหนดไว้ในแง่ของความสัมพันธ์ระหว่างจุดและเส้น (หรือบางครั้งในมิติที่สูงขึ้นไฮเปอร์เพลน ) การกำหนดรูปทรง Affine (และ projective) เป็นการกำหนดค่าของจุดและเส้น (หรือไฮเปอร์เพลน) แทนที่จะใช้พิกัดจะได้รับตัวอย่างที่ไม่มีฟิลด์พิกัด คุณสมบัติที่สำคัญคือตัวอย่างดังกล่าวทั้งหมดมีมิติ 2. ตัวอย่าง จำกัด ในมิติที่ 2 ( เครื่องบินเลียนแบบ จำกัด ) ได้รับที่มีคุณค่าในการศึกษาของการกำหนดค่าในพื้นที่เลียนแบบที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทฤษฎีกลุ่มและในcombinatorics

แม้จะเป็นน้อยกว่าทั่วไปวิธีการปรับแต่ง, วิธีการอื่นที่กล่าวถึงได้รับความสำเร็จอย่างมากในการส่องสว่างส่วนของรูปทรงเรขาคณิตที่เกี่ยวข้องกับความสมมาตร

ในรูปทรงเรขาคณิตแบบดั้งเดิมเรขาคณิตเชิงเส้นถือเป็นการศึกษาระหว่างเรขาคณิตแบบยุคลิดและเรขาคณิตเชิงโปรเจ็กต์ ในแง่หนึ่งเรขาคณิตเชิงสัมพันธ์คือเรขาคณิตแบบยูคลิดที่มีความสม่ำเสมอเหลืออยู่ บนมืออื่น ๆ , เรขาคณิตเลียนแบบอาจจะได้รับจากเรขาคณิต projective โดยการแต่งตั้งของสายโดยเฉพาะหรือเครื่องบินเพื่อเป็นตัวแทนของจุดที่อินฟินิตี้ ^[18]ในเรื่องเรขาคณิตเชิงสัมพันธ์ไม่มีโครงสร้างเมตริกแต่สมมุติฐานคู่ขนานถือเอาไว้ เรขาคณิตเลียนแบบให้พื้นฐานสำหรับโครงสร้างแบบยุคลิดเมื่อตั้งฉากเส้นที่กำหนดไว้หรือพื้นฐานสำหรับคอฟสกีเรขาคณิตผ่านความคิดของฉากการผ่อนชำระ ^[19]ในมุมมองนี้การแปลงความสัมพันธ์คือการแปลงแบบโปรเจกต์ที่ไม่อนุญาตให้มีจุด จำกัด ที่มีจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุดและรูปทรงเรขาคณิตของการเปลี่ยนแปลงคือการศึกษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตผ่านการกระทำของกลุ่มการแปลงความสัมพันธ์

• เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิด

• เอมิลีอาร์ทิน (1957) ทางเรขาคณิตพีชคณิตบทที่ 2: "เลียนแบบและเรขาคณิต projective" Interscience สำนักพิมพ์
• VG Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) แนวคิดและวิธีการของ Affine and Projective Geometry ( ภาษารัสเซีย ) กระทรวงศึกษาธิการมอสโก
• MK Bennett (1995) Affine and Projective Geometry , John Wiley & SonsISBN  0-471-11315-8 .
• HSM Coxeter (1955) "The Affine Plane", Scripta Mathematica 21: 5–14 การบรรยายก่อนการประชุมของ Society of Friends of Scripta Mathematicaเมื่อวันจันทร์ที่ 26 เมษายน 2497
• เฟลิกซ์ไคลน์ (1939) คณิตศาสตร์ประถมศึกษาจากมุมมองขั้นสูง: เรขาคณิตแปลโดย ER Hedrick และ CA โนเบิล, PP 70-86, Macmillan บริษัท
• บรูซอี Meserve (1955) แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิตบทที่ 5 เลียนแบบเรขาคณิต ,, PP 150-84, Addison-Wesley
• ปีเตอร์ Scherk & Rolf Lingenberg (1975) เก่งของเครื่องบินเลียนแบบเรขาคณิตคณิตศาสตร์ Expositions # 20 มหาวิทยาลัยโตรอนโตกด
• Wanda Szmielew (1984) จาก Affine to Euclidean Geometry: an axiomatic approach , D. Reidel , ISBN  90-277-1243-3
• Oswald Veblen (1918) Projective Geometryเล่ม 2 ตอนที่ 3: Affine group in the plane, pp 70 to 118, Ginn & Company.

• ปีเตอร์คาเมรอน 's Projective และเลียนแบบ Geometriesจากมหาวิทยาลัยลอนดอน
• ฌองเอชกัลลิเยร์ (2544). วิธีการทางเรขาคณิตและการประยุกต์ใช้งานสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์และวิศวกรรม , บทที่ 2: "พื้นฐานของการเลียนแบบเรขาคณิต" (PDF) สปริงเกอร์ในตำราคณิตศาสตร์ประยุกต์ # 38 บทออนไลน์จากมหาวิทยาลัยเพนซิล